Biên soạn hệ thống lý thuyết và bài tập phần đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến cho giáo trình giải tích 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN VĂN DŨNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ
BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO
GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2
Chun ngành: Sư phạm Vật lý

TP. Hồ Chí Minh, năm 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ
BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO
GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

Người thực hiện: Nguyễn Văn Dũng
Người hướng dẫn khoa học: ThS. Nguyễn Lê Anh

TP. Hồ Chí Minh, năm 2019

LỜI CẢM ƠN
Từ những ngày đầu thực hiện đến khi hồn thành khóa luận tốt nghiệp, đó là cả
một q trình cố gắng học tập và trưởng thành lên từng ngày của bản thân em. Tuy
nhiên trên thực tế không có sự thành cơng nào mà khơng gắn liền với sự hỗ trợ, giúp
đỡ, dù ít hay nhiều, dù gián tiếp hay trực tiếp của người khác. Vì vậy, xin cho phép
em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến:
− Quý thầy cô giảng viên khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ
Chí Minh đã dạy dỗ, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm, sự nhiệt huyết với nghề cho
em trong suốt quá trình học tập tại trường.
− Thầy ThS. Nguyễn Lê Anh, giảng viên đã trực tiếp hướng dẫn, hỗ trợ, dìu dắt
em thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Thầy - với kinh nghiệm, sự nhiệt huyết cùng lịng
u nghề của mình - đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ và động viên những lúc
em khó khăn; tạo điều kiện thuận lợi cho em được nghiên cứu và phát triển. Hơn bao
giờ hết, em cảm nhận được sự quan tâm, dạy dỗ ân cần và tận tâm từ thầy.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn của mình đến gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh,
giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình học tập và hồn thành khóa luận tốt nghiệp
này.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Văn Dũng


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1. Các dạng bài tập và kĩ thuật giải tương ứng trong S1 và S2 ................... 63
Bảng 2.2. Số lượng bài tập trong S1 và S2 ............................................................ 63


DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 2.1. Giá trị chỉ số nhiệt [8].............................................................................. 8
Hình 2.2. Mối liên hệ giữa số gia y và vi phân dy [8] ....................................... 13
Hình 2.3. Mối liên hệ giữa số gia z và vi phân dz [8] ......................................... 18
Hình 2.4. Sơ đồ cây [8] ......................................................................................... 25
Hình 2.5. Đường cong  ( x, y ) = 0 . [3] ................................................................. 50
Hình 2.6. Biểu đồ nhiệt độ các Bang ở Hoa Kỳ [8] ............................................... 30
Hình 2.7. Vector đơn vị u .[8] .............................................................................. 31
Hình 2.8. Mặt cong S cắt mặt phẳng thẳng đứng theo hướng vector u . [8] .......... 32
Hình 2.9. Đồ thị của hàm số f có cực trị [8] .......................................................... 40
2
2
Hình 2.10. Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x − y [8] .................................................... 42

Hình 2.11. Dốc núi có hình n ngựa. [8] ............................................................. 43
Hình 2.12. Các dạng tập hợp [8] ........................................................................... 46
Hình 2.13. Đường đồng mức của f ( x, y ) và g ( x, y ) = k [8] ............................. 49
Hình 2.14. Giao tuyến C và các vector gradient tại P [8] ....................................... 53
Hình 2.15. Mặt phẳng tiếp tuyến với S tại P và vector gradient tại P [8] ......... 57
Hình 2.16. Đường tiếp tuyến T1 và T2 với mặt cong tại P [8] ................................ 59
Hình 2.17. Đồ thị hàm số z = 2 x2 + y 2 và mặt phẳng tiếp tuyến (1,1,3) [8] ......... 61
Hình 2.18. Đường đồng mức hàm số z = 2x + y . [8] .......................................... 61
2

2

Hình 3.1. Ý nghĩa đạo hàm riêng .......................................................................... 74
Hình 3.2. Hình tam giác. ....................................................................................... 75
Hình 3.3. Mặt phẳng tiếp tuyến gồm hai đường thẳng tiếp tuyến T1 và T2 ............ 88
Hình 3.4. Đồ thị hàm số z = x 2 + 3 y 2 + 9 và mặt pẳng tuyến tuyến tại điểm ( 2,1, 4 )
.............................................................................................................................. 91

Hình 3.5. Đồ thị hàm số z = x2 + xy + 4 y 2 và mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm (1,0,1)
.............................................................................................................................. 91
Hình 3.6. Đồ thi hàm số ........................................................................................ 96
Hình 3.7. Đồ thị thể hiện mối liên hệ giữa dy và y ............................................ 99


Hình 3.8. Sơ đồ mạch điện cơ bản....................................................................... 103
Hình 3.9. Sơ đồ cây ............................................................................................ 115
Hình 3.10. Sơ đồ cây........................................................................................... 118
Hình 3.11. Sơ đồ cây........................................................................................... 119
Hình 3.12. Sơ đồ cây........................................................................................... 120
Hình 3.13. Sơ đồ cây........................................................................................... 121
Hình 3.14. Sơ đồ cây........................................................................................... 123
Hình 3.15. Mặt phẳng tiếp tuyến tại P. [8]........................................................... 135
Hình 3.16. Vector đơn vị u = ai + bj . ................................................................. 136
Hình 3.17. Vector gradient và đường đồng mức .................................................. 151
Hình 3.18. Đồ thị hàm số z = cos xy .................................................................... 160
Hình 3.19. Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 3 ................................... 160
Hình 3.20. Đồ thị hàm số f ( x, y ) = 9 − x 2 − y 2 .................................................. 160
Hình 3.21. Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x 2 − y 2 ........................................................ 161
Hình 3.22. Đồ thị hàm số f ( x, y ) = 3x 2 + 6 xy + 7 y 2 − 2 x + 4 y ........................... 162
Hình 3.23. Đồ thị hàm số z = f ( x, y ) = 6 x 2 − 2 x 3 + 3 y 2 + 6 xy ............................ 163
Hình 3.24. Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x 3 + 6 xy + y 3 ............................................... 166
Hình 3.25. Đồ thị hàm số z = 2 x5 + y3 + 3 y 2 − 5x2 ............................................... 166
Hình 3.26. Đồ thị hàm số z = xy + x − y ............................................................. 167
Hình 3.27. Ứng dụng khớp hàm .......................................................................... 170
Hình 3.28. Miền xác định D ................................................................................ 174
Hình 3.29. Khoảng cách từ gốc tọa đơ ................................................................ 183
Hình 3.30. Khoảng cách từ gốc tọa độ ................................................................ 186
Hình 3.31. Các đường đồng mức ........................................................................ 187

Hình 3.32. Giao tuyến giữa g ( x, y, z ) = 0 và h ( x, y, z ) = 0 ................................ 194


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU .................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 2
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .................................................................. 2
4. Giải thiết khoa học ............................................................................................. 3
5. Giới hạn nghiên cứu .......................................................................................... 3
6. Cấu trúc luận văn .............................................................................................. 3
Chương 1.

NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRỌNG TÂM ....................... 5

1.1.

Giáo trình phân tích ........................................................................... 5

1.2.

Câu hỏi nghiên cứu ............................................................................ 5

1.3.

Nội dung trong Đề cương chi tiết học phần Giải tích 2 .................... 6

1.4.

Cấu trúc nội dung .............................................................................. 6

Chương 2.

PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

CỦA HÀM NHIỀU BIẾN ..................................................................................... 8
2.1.

Phần lý thuyết..................................................................................... 8

2.1.1. Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến .. 8
2.1.2. Định nghĩa và tính chất Đạo hàm riêng và Vi phân của hàm nhiều
biến ............................................................................................................... 13
2.1.3. Các phương pháp tính đạo hàm riêng phân ..................................... 21
2.1.4. Ứng dụng của đạo hàm riêng ............................................................ 30
2.2. Phần bài tập .............................................................................................. 62
2.3. Một vài kết luận ........................................................................................ 64
Chương 3.

VIẾT MẪU PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU

BIẾN

....................................................................................................... 67

3.1.

Đạo hàm riêng .................................................................................. 68

3.1.1. Đạo hàm riêng cấp một ...................................................................... 71
3.1.1.1. Định nghĩa ................................................................................... 71
3.1.1.2. Một số kí hiệu của đạo hàm riêng .............................................. 71
3.1.1.3. Quy tắc tìm đạo hàm riêng ......................................................... 72
3.1.1.4. Ý nghĩa đạo hàm riêng cấp một ................................................. 74
3.1.2. Đạo hàm riêng cấp một của hàm số nhiều hơn hai biến................... 76
3.1.3. Đạo hàm cấp cao ................................................................................ 77
3.1.3.1. Định nghĩa ................................................................................... 78
3.1.3.2. Định lý Clairaut .......................................................................... 81
3.1.4. Bài tập................................................................................................. 84
3.2.

Khả vi và vi phân ............................................................................. 87

3.2.1. Mặt phẳng tiếp tuyến và phép tính gần đúng tuyến tính ................. 88
3.2.1.1. Mặt phẳng tiếp tuyến .................................................................. 88
3.2.1.2. Phép tính tuyến tính gần đúng ................................................... 92
3.2.2. Khả vi.................................................................................................. 96
3.2.2.1. Định nghĩa ................................................................................... 97
3.2.2.2. Điều kiện đủ khả vi ..................................................................... 98
3.2.2.3. Hệ quả của hàm khả vi ............................................................... 99
3.2.3. Vi phân ............................................................................................... 99
3.2.3.1. Vi phân cấp một .......................................................................... 99
3.2.3.2. Vi phân cấp cao ......................................................................... 104
3.2.4. Hàm ba biến hoặc nhiều hơn ba biến .............................................. 106
3.2.5. Bài tập............................................................................................... 108
3.3.

Quy tắc dây chuyền ........................................................................ 113

3.3.1. Quy tắc dây chuyền (Đạo hàm riêng của hàm hợp) ....................... 114


3.3.1.1. Đạo hàm riêng của hàm hợp hai biến ...................................... 114
3.3.1.2. Đạo hàm riêng hàm hợp tổng quát .......................................... 119
3.3.2. Đạo hàm của hàm ẩn........................................................................ 121
3.3.2.1. Đạo hàm của hàm ẩn một biến ................................................. 121
3.3.2.2. Đạo hàm riêng của hàm ẩn nhiều biến .................................... 123
3.3.2.3. Đạo hàm riêng của hệ hàm ẩn .................................................. 128
3.3.3. Bài tập............................................................................................... 132
3.4.

Đạo hàm có hướng và vector gradient .......................................... 135

3.4.1. Đạo hàm theo hướng ........................................................................ 136
3.4.1.1. Định nghĩa ................................................................................. 137
3.4.1.2. Định lý ....................................................................................... 139
3.4.2. Vector Gradient ............................................................................... 143
3.4.2.1. Định nghĩa ................................................................................. 143
3.4.2.2. Tính chất ................................................................................... 145
3.4.2.3. Ứng dụng của Gradient ............................................................ 146
3.4.2.4. Ý nghĩa hình học của vector gradient ...................................... 150
3.4.3. Đối với hàm ba biến ......................................................................... 152
3.4.4. Bài tập............................................................................................... 155
3.5.

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN ...................................... 158

3.5.1. Cực trị của hàm hai biến ................................................................. 159
3.5.1.1. Định nghĩa cực trị địa phương của hàm hai biến .................... 159

3.5.1.2. Điều kiện cần để có cực trị........................................................ 161
3.5.1.3. Điều kiện đủ để có cực trị ......................................................... 163
3.5.2. Cực trị tuyệt đối và cực trị tuyệt đối ở vùng đóng hoặc bị chặn .... 173
3.5.3. Cực trị của hàm ba biến................................................................... 176


3.5.4. Bài tập............................................................................................... 179
3.6.

Phương pháp nhân tử lagrange ..................................................... 182

3.6.1. Nhân tử Lagrange với một ràng buộc ............................................. 182
3.6.1.1. Phương pháp nhân tử Lagrange – Điều kiện cần của cực trị có
điều kiện ................................................................................................. 185
3.6.1.2. Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện ....................................... 185
3.6.2. Nhân tử Lagrange với hai ràng buộc .............................................. 192
3.6.3. Bài tập............................................................................................... 196
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................... 199
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 200


1

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Roger Bacon từng dành những lời có cánh cho tốn học: “Nếu chúng ta muốn
đo tới tính xác thực hiển nhiên và chân lý vô điều kiện trong các khoa học khác, cần
phải lấy căn cứ của mọi tri thức từ toán học.”. Thật vậy, từ thời cổ đại, toán học đã
bắt đầu hình thành ở nhiều nơi trên thế giới tiêu biểu là ở Hy Lạp cổ đại. Ngày nay,
khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển, toán học trở nên quan trọng hơn nữa và trở

thành một trong những công cụ không thể thiếu để giải quyết các vấn đề thực tiện. Ở
thời cổ đại, Pythagoras đã nghĩ ra định lý Pythagoras về liên hệ các cạnh của tam giác
vuông để giúp ta tìm ra được các cạnh của một tịa tháp. Tương tự vậy, Newton đã
suy nghĩ ra phép vi phân và tích phân giúp ta có thể đưa ra định nghĩa chính xác các
khái niệm như vận tốc, gia tốc,... Ở thời nay, tốn học giúp chúng ta tìm ra số liệu và
cách tối ưu để giải quyết vấn đề, giúp chúng ta xử lý các vấn đề của vật lý, hóa học,
sinh học,...
Ở cấp độ trung học, học sinh tiếp cận giải tích của hàm một biến một cách tổng
quát và chỉ tập trung ở mặt toán học, do đó, ta chưa hiểu được nó thật sự. Ở học kì 1,
năm nhất của bậc đại học, học sinh tiếp tục học về giải tích hàm một biến một cách
chuyên sâu hơn, biết được nhiều ứng dụng của toán học trong vật lý. Tuy nhiên, các
vấn đề sau này giải quyết khơng phải lúc nào cũng chỉ có một biến số mà đa số là
nhiều yếu tố, nhiều biến số chi phối. Do đó, học sinh cần tìm hiểu về hàm nhiều biến
số và những ứng dụng của hàm nhiều biến số.
Có thể khẳng định giải tích là mơn học với những ứng dụng chi phối hầu như
các toàn bộ các ngành khoa học – kĩ thuật và kể cả kinh tế. Tất cả các ngành học về
khoa học tự nhiên đều gắn liền với giải tích. Vì thế, giải tích là mơn bắt buộc đối với
các ngành khoa học tự nhiên. Do vậy, ở nước ta nói riêng, nguồn tài liệu tham khảo
về bộ mơn giải tích ngày càng nhiều, các giáo trình ra đời với nhiều mục đích khác
nhau, nhưng đa số các tài liệu này chỉ tập trung cung cấp các cơng thức tốn học, các
phương pháp tính tốn, các bài tập thuần tốn học mà chưa có nhiều ứng dụng đến
thực tiễn nói chung và các bài tập vật lý nói riêng.
Các giáo trình giải tích nước ngồi có nhiều ứng dụng của giải tích vào trong
rất nhiều lĩnh vực và đặc biệt có khá nhiều ứng dụng vào trong vật lý. Tuy nhiên,
chúng tôi nhận thấy rằng sinh viên khoa vật lý ít quan tâm đến các tài liệu nước ngoài,
hạn chế trong việc trao dồi ngoại ngữ trong quá trình học ở bậc đại học – chỉ 10 tín
chỉ chiếm 7,4% chương trình học ở Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh.

2

Đồng thời tiếp nối đề tài nghiên cứu của sinh viên Bùi Quốc Long – sinh viên
khoa vật lý khóa 37 Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh – đã thực
hiện luận văn [6] để nghiên cứu các giáo trình Giải tích hiện tại ảnh hướng đến việc
dạy và học của giảng viên cũng như sinh viên khoa vật lý – Trường Đại học Sư phạm
Thành Phố Hồ Chí Minh. Trong đó, luận văn [6] đã phân tích giữa các giáo trình giải
tích ở các trường đại học có ngành vật lý, như là [3] so sánh với giáo trình nước ngồi
[8] để thấy điểm mạnh và điểm yếu. Từ đó, chúng tơi đưa ra cấu trúc để viết mẫu
phần Đạo hàm của hàm một biến trong luận văn [6] để minh họa.
Để tiếp tục đến mục tiêu hồn thiện một giáo trình giải tích bằng tiếng Việt với
ngơn ngữ dễ hiểu và có các ví dụ về ứng dụng Vật lý cụ thể nhằm tạo thêm tài liệu
tham khảo cho sinh viên ngành Vật lý – trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh nói riêng, chúng tôi quyết định thực hiện luận văn này dựa trên cấu trúc đã có
ở [5,6] để phân tích và so sánh phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến giữa
các giáo trình trong nước [3] và [7] với giáo trình nước ngồi [8] và cuối cùng là viết
mẫu phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến dựa trên những phân tích và so
sánh đó. Đồng thời, chúng tôi cũng đưa thêm các bài tập ứng dụng vật lý cụ thể tham
khảo từ các tài liệu vật lý [1,2], [4].

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm hồn thiện ý tưởng một giáo trình Giải tích bằng tiếng Việt có thể
dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành
phố Hồ Chí Minh. Trong luận văn này, chúng tôi chú trọng đến khái niệm Đạo hàm
và Vi phân của hàm nhiều biến số: định nghĩa và ứng dụng của nó.
Các kết quả cần đạt được trong luận văn này:
− Phân tích và so sánh khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số
giữa các giáo trình [3], [7] với [8] để rút ra những điểm mạnh và điểm yếu của
chúng.
− Cấu trúc lại để viết phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số dựa trên

những phân tích và so sánh.

3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
− Chương trình Giải tích 2 và Vật lý.
− Mối liên hệ và ứng dụng của toán học trong Vật lý.


3

4. Giả thiết khoa học
Nếu luận văn này được hoàn thiện sẽ hỗ trợ cho sinh viên năm nhất khi học về
giải tích hàm nhiều biến một cách đầy đủ hơn, đồng thời thấy được ứng dụng cụ thể
của toán học trong vật lý, đặc biệt là ở khía cạnh giải tích.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu
− Tìm hiểu các giáo trình được sử dụng tại khoa vật lý của một số trường đại
học có đào tạo ngành vật lý.
− Phân tích và so sánh các giáo trình trên với giáo trình nước ngồi [8]. Từ đó,
rút ra kết luận để đi đến việc viết phần Đạo hàm và Vi phân cùa hàm số nhiều
biến số.

6. Giới hạn nghiên cứu
Chúng tôi chỉ nêu ra sự khác nhau của các khái niệm Đạo hàm và Vi phân của
hàm nhiều biến số của các giáo trình trong vào ngồi nước. Đồng thời phân tích kiến
thức của phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số trong các giáo trình trên
và tiến hành viết mẫu chương Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số theo mẫu
đã có trong [5,6].
Trong luận văn này, chúng tôi không viết về Hàm nhiều biến và Giới hạn và
Khai triển Taylor của hàm nhiều biến.

7. Những đóng góp mới của đề tài
Trong luận văn này, chúng tôi viết được phần Đạo hàm và Vi phân của hàm
nhiều biến số với ngôn ngữ gần gũi và dễ hiểu thơng qua những ví dụ và giải thích cụ
thể.
Chúng tôi chú ý đến nội dung, màu sắc, cách trình bày cùng với hình ảnh làm
cho nội dung thêm sinh động hơn. Những thay đổi sẽ được đề cập ở chương 3 của
luận văn – Viết mẫu phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến.

8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm 3 chương:
❖ Chương 1: Những vấn đề nghiên cứu trọng tâm
Nhằm mục đích tìm hiểu vấn đề nghiên cứu một cách có hệ thống, logic và
hiệu quả, chúng tôi sẽ đặt ra một số câu hỏi và trả lời các câu hỏi này sau khi phân
tích phần Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến trong Chương 3 của luận văn.
❖ Chương 2: Phân tích và so sánh phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến.
Chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp phân tích và so sánh lý thuyết cùng với
phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết để tìm hiểu sâu sắc về phần Đạo hàm


4

và Vi phân của hàm nhiều biến được trình bày trong các giáo trình. Từ đó, chúng tơi
phân loại và so sánh chúng để tìm ra các kết luận nhằm trả lời các câu hỏi trong
Chương 1 của luận văn.
❖ Chương 3: Viết mẫu phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến.
Ở chương này, chúng tôi sử dụng các kết quả phân tích và so sánh ở Chương
2 để tổng hợp các kiến thức vừa phân tích được và đồng thời kết hợp hài hòa giữa ưu
điểm và nhược điểm giữa các giáo trình trong và ngồi nước để tiến hành viết phần
Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến sao cho phù hợp với sinh viên Vật lý nhưng
vẫn thỏa mãn các yêu cầu về kỹ thuật tính tốn.

5

Chương 1.

NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
TRỌNG TÂM

1.1. Giáo trình phân tích
Để thấy rõ điểm giống nhau và tương đồng cũng như là điểm khác nhau giữa
các giáo trình trong nước ở một số trường Đại học có đào tạo ngành Vật lý và giáo
trình nước ngồi, chúng tơi chọn các giáo trình sau để tiến hành phân tích:
− [3] Đỗ Cơng Khanh (2012), Tốn cao cấp – Giải tích hàm nhiều biến, phương
trình vi phân, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh
(TP.HCM). Đây là giáo trình sử dụng ở trường Đại học Sư phạm Thành Phố
Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học Tự Nhiên TP.HCM, Đại học Bách khoa
TP.HCM và Đại học Sài Gòn.
− [7] Nguyễn Đình Trí (2006), Tốn học cao cấp – Tập 3, Nhà xuất bản Giáo
dục. Đây là giáo trình được sử dụng ở trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ
Chí Minh.
Chúng tơi gọi hai giáo trình [3] và [7] là giáo trình S1.
− [8] James Stewart, Calculus, Canada.
Chúng tơi gọi giáo trình [8] là giáo trình S2.
Chúng tơi chọn S1 và S2 để so sánh vì S1 được sử dụng rộng rãi và phổ biến,
đây cũng là giáo trình giải tích 2 chính của rất nhiều trường đã đề cập ở trên. Cịn S2
là một giáo trình nổi tiếng ở Mỹ và các nước Châu Âu.

1.2. Câu hỏi nghiên cứu
Để phân tích hiệu quả và có logic, chúng tơi đặt ra một số câu hỏi sau mà câu

trả lời của nó sẽ làm rõ vấn đề mà chúng tơi nghiên cứu.
Chúng tôi đưa ra năm câu hỏi (CH), cụ thể là:
CH1: Khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được S1 và S2 tiếp
cận như thế nào? S1 và S2 có những ví dụ để đi đến định nghĩa Đạo hàm và Vi phân
của hàm nhiều biến hay không?
CH2: Khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được định nghĩa như
thế nào? Việc định nghĩa như vậy tác động như thế nào đến việc tiếp thu kiến này?
CH3: Các phương pháp tính Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được S1
và S2 trình bày theo hình thức nào?
Hình thức 1: Thơng báo kiến thức mới rồi đưa ra bài tập ví dụ.
Hình thức 2: Đưa ra tình huống có vấn đề rồi xây dựng kiến thức giải quyết.


6

CH4: Ứng dụng của Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được S1 và S2
trình bày như thế nào? Hệ thống bài tập được xây dựng như thế nào, có đề cập đến
các bài tập vật lý hay khơng?
CH5: Cách trình bày về nội dung, hình ảnh, màu sắc được chú trọng hay khơng?
Việc trình bày như vậy tác động như thế nào?

1.3. Nội dung trong Đề cương chi tiết học phần Giải tích 2
Chúng tơi đã dựa theo đề cương chi tiết học phần Giải tích 2 của khoa vật lý
Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh để phân tích. Với thời lượng 15
tiết, nội dung chi tiết của Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến như sau:
Chương 1: Hàm nhiều biến
1.1 Đạo hàm riêng.
1.2 Khả vi và vi phân, ứng dụng tính gần đúng.
1.3 Đạo hàm, vi phân của hàm hợp.
1.4 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn.

1.5 Đạo hàm có hướng theo hướng. Gradient.
1.6 Cực trị tự do.
1.7 Cực trị có điều kiện.

1.4. Cấu trúc nội dung
Trong phần này, chúng tôi đề cập đến cấu trúc chương Đạo hàm và Vi phân của
hàm nhiều biến. Dựa trên cấu trúc đã xây dựng ở luận văn [5,6] để làm nền tảng và
có chỉnh sửa để phù hợp hơn. Cấu trúc chương Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều
biến gồm
Phần mở đầu: chúng tôi nêu lên ý tưởng, đặt vấn đề hoặc nhắc lại các kiến thức
đã học để dẫn dắt sinh viên tiếp cận với nội dung kiến thức tốt hơn, kích thích tư duy
của người học.
Trình bày kiến thức: các kiến thức sẽ được trình bày cụ thể, chi tiết. Trước khi
đưa ra định nghĩa, chúng tôi sẽ trình bày phần dẫn dắt và giải quyết một vài trường
hợp cụ thể. Bên cạnh đó, các ví dụ phải bao quát, giải chi tiết và giải thích được định
nghĩa cũng như tính chất và các ví dụ liên quan đến kiến thức vật lý. Ngồi ra, chúng
tơi kèm thêm một vài lưu ý ở các kiến thức hay ví dụ giúp sinh viên khơng hiểu sai
kiến thức và tránh được những lỗi thường gặp. Từ đó, sinh viên sẽ giải các bài tập
một cách dễ dàng hơn.
Bảng tóm tắt: chúng tơi trình bày lại các nội dung kiến thức một cách cơ đọng,
dễ nhớ để sinh viên có thể tra cứu lại khi cần thiết.


7

Hệ thống bài tập:chúng tơi trình bày hệ thống bài tập tự giải. Trong đó, các bài
tập về tốn học vẫn chiếm đa số tập trung ở những bài tập đầu tiên và bổ sung thêm
các bài toán vật lý cụ thể. Các bài toán vật lý chỉ dừng lại ở mức độ vừa phải và đảm
bảo được yêu cầu về kiến thức toán học tương ứng.

8

Chương 2.

PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
2.1. Phần lý thuyết
Giáo trình S1

Giáo trình S2

2.1.1. Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến
Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm
riêng cấp một
Khơng có phần nào nói về cách

Cách tiếp cận khái niệm Đạo
hàm riêng cấp một
Một ngày nóng, độ ẩm cao làm

tiếp cận khái niệm đạo hàm riêng cấp chúng ta cảm thấy nhiệt độ cao hơn nhiệt
một của hàm nhiều biến.

độ thực, nơi có khơng khí khơ chúng ta
cảm nhận nhiệt độ thấp hơn chỉ số của
nhiệt kế. The National Weather Service
đã nghĩ ra chỉ số nhiệt (còn gọi là chỉ số
nhiệt độ - độ ẩm) để miêu tả ảnh hưởng

của nhiệt độ và độ ẩm. Chỉ số nhiệt I là
nhiệt độ cảm nhận được lúc nhiệt độ
thực là T và độ ẩm tương đối là H . Do
đó, I là hàm số theo T và H và có thể
viết I = f (T , H ) . Hình 2.1 biểu diễn giá
trị của I được trích từ bảng hồn chỉnh
từ The National Weather Service.

Hình 2.1. Giá trị chỉ số nhiệt [8]
Nếu chúng ta tập trung vào cột màu
xanh, tương ứng với độ ẩm tương đối là
H = 70% , chúng ta xét chỉ số nhiệt như
hàm số của một biến T với giá trị cố


9

định của H . Hãy viết g (T ) = f (T ,70 ) .
Khi đó g (T ) miêu tả chỉ số nhiệt I tăng
như thế nào khi nhiệt độ thực tăng lúc độ
ẩm tương đối là 70% . Đạo hàm của g
lúc T = 96o F là tốc độ thay đổi của I
đối với T lúc T = 96o F :
g ( 96 + h ) − g ( 96 )
h →0
h
f ( 96 + h, 70 ) − f ( 96, 70 )
= lim
.
h →0

h

g  ( 96 ) = lim

Chúng ta có thể tính gần đúng g  ( 96 ) sử
dụng giá trị trong Hình 2.1 bằng cách lấy
h = 2 và −2 :
g ( 98 ) − g ( 96 )
2
f ( 98, 70 ) − f ( 96, 70 )
=
2
133 − 125
=
2
= 4.

g  ( 96 ) 

g ( 94 ) − g ( 96 )
−2
f ( 94, 70 ) − f ( 96, 70 )
=
−2
118 − 125
=
−2
= 3,5.

g  ( 96 ) 

Trung bình các giá trị trên, ta có thể kết
luận rằng đạo hàm g  ( 96 ) xấp xỉ 3,75 .
Có nghĩa là, khi nhiệt độ là 96o F và độ
ẩm tương đối là 70% thì nhiệt độ biểu
kiến (chỉ số nhiệt) tăng 3,75o F với mỗi
độ tăng của nhiệt độ thực.
Bây giờ chúng ta hãy quan sát hàng
màu xanh, tương ứng với nhiệt độ cố
định T = 96o F . Những số trong hàng là


10

những

giá

trị

của

hàm

số

G ( H ) = f ( 96, H ) , miêu tả chỉ số nhiệt
sẽ tăng như thế nào khi độ ẩm tương đối
tăng lúc nhiệt độ thực là T = 96o F ? Đạo
hàm của hàm số khi H = 70% là tốc độ

thay đổi của I đối với H lúc H = 70%
G ( 70 + h ) − G ( 70 )
h →0
h
f ( 96, 70 + h ) − f ( 96, 70 )
= lim
.
h →0
h

G ( 70 ) = lim

Bằng cách lấy h = 5 và −5 , chúng ta
tính xấp xỉ G ( 70 ) bằng cách sử dụng
giá trị trong Hình 2.1:
G ( 75 ) − G ( 70 )
5
f ( 96, 75 ) − f ( 96, 70 )
=
5
130 − 125
=
5
= 1.

G ( 70 ) 

G ( 65 ) − G ( 70 )
−5
f ( 96, 65) − f ( 96, 70 )

=
−5
121 − 125
=
−5
= 0,8.

G ( 70 ) 

Bằng cách lấy trung bình các giá trị này
chúng ta có thể ước lượng G ( 70 )  0,9.
Nó nói lên rằng, lúc nhiệt độ là 96o F và
độ ẩm tương đối là 70% , chỉ số nhiệt
tăng khoảng 0,9o F cho mỗi phần trăm
mà độ ẩm tương đối tăng.
Trong trường hợp tổng quát, nếu

f là hàm số của hai biến x và y , giả sử
chúng ta chỉ xét biến x trong khi giữ y


11

cố định, y = b , trong đó b là hằng số.
Khi đó chúng ta thật ra đang xét hàm số
của

một

x,

biến

tên

tương tự

g ( x ) = f ( x, a ) . Nếu g có đạo hàm tại
a , khi đó chúng ta gọi nó là đạo hàm

riêng của f đối với x tại ( a, b ) và kí
hiệu bằng f x ( a, b ) . Do đó
1 f x ( a, b ) = g  ( a ) ở đó g ( x ) = f ( x, b ) .
Bằng cách định nghĩa của đạo hàm,
chúng ta có
g  ( a ) = lim
h →0

g (a + h) − g (a)
,
h

và phương trình 1 trở thành
2 f x ( a, b ) = lim
h →0

f ( a + h, b ) − f ( a , b )

h

Một cách tương tự, đạo hàm riêng của

f đối với y tại ( a, b ) được kí hiệu bằng

f y ( a, b ) , là thu được bằng cách giữ x
cố định ( x = a ) và tìm đạo hàm thường
tại b của hàm số G ( y ) = f ( a, y ) :
3 f y ( a, b ) = lim
h →0

f ( a, b + h ) − f ( a , b )

h

Với kí hiệu này cho đạo hàm riêng,
chúng ta có thể viết tốc độ thay đổi của
chỉ số nhiệt I đối với nhiệt độ thực T
và độ ẩm tương đối H lúc T = 96o F và

H = 70% như sau:

fT ( 96,70 )  3,75 ,

f H ( 96,70 )  0,9 .

Nếu chúng ta giả sử điểm ( a, b ) biến đổi
trong phương trình 2 và 3, f x và f y trở
Cách tiếp cận Khả vi và Vi phân

thành hàm số của hai biến.

Cách tiếp cận Khả vi và Vi phân


12

Khơng có phần nào nói về cách tiếp cận
Khả vi và Vi phân của hàm nhiều biến.

Đối với Khả vi và Vi phân, S2 đã
lập luận bằng cách nhắc lại các kiến thức
và ý tưởng có trong hàm một biến để liên
hệ với các kiến thức này đối với hàm
nhiều biến.
Một trong những ý tưởng quan
trọng trong giải tích hàm một biến là
chúng ta phóng to một điểm trên đồ thị
của hàm số có thể phân biệt được, đồ thị
trở nên khơng thể phân biệt được từ tiếp
tuyến của nó và chúng ta có thể xấp xỉ
hàm số bằng một hàm tuyến tính. Ở đây,
chúng ta phát triển ý tưởng tương tự
trong khơng gian ba chiều. Chúng ta có
thể phóng to một điểm trên bề mặt là đồ
thị của hàm số có thể phân biệt được của
hai biến, bề mặt của chúng sẽ trông như
mặt phẳng (mặt phẳng tiếp tuyến) và
chúng ta có thể xấp xỉ hàm số bằng hàm
số tuyến tính của hai biến. Chúng ta
đồng thời mở rộng ý tưởng vi phân hàm
số của hai hay nhiều hơn hai biến.

Đối với hàm số một biến khả vi,

z = f ( x, y ) , chúng ta xác định vi phân

dx là biến độc lập, đó là, dx có thể là
bất kì số thực nào. Vi phân của y được
xác định là

dy = f  ( x ) dx


13

Hình 2.2. Mối liên hệ giữa số gia
và vi phân
[8]
Hình 2.2 thể hiện mối liên hệ giữa số gia
y và vi phân dy : y thể hiện sự thay

đổi độ cao của đường cong y = f ( x ) và

dy thể hiện sự thay đổi của độ cao của
đường tiếp tuyến lúc x thay đổi một
lượng dx = x .
2.1.2. Định nghĩa và tính chất Đạo hàm riêng và Vi phân của hàm nhiều biến
Định nghĩa Đạo hàm riêng
Định nghĩa Đạo hàm riêng
Chúng ta định nghĩa đạo hàm riêng của Hàm hai biến
hàm f ( x, y ) theo biến x tại điểm Nếu f là hàm số của hai biến, đạo hàm
x , y như là đạo hàm thường của riêng của nó hàm số f x và f y được xác

(

0

0

)

định bằng

f ( x, y0 ) tại x = x0 .
Đạo hàm riêng theo biến x của hàm

z = f ( x, y ) tại điểm ( x0 , y0 ) là giới hạn
(nếu có)

lim

x →0

f ( x0 + x, y0 ) − f ( x0 , y0 )
,
x

và được kí hiệu

f x ( x, y ) = lim
h→0

f ( x + h, y ) − f ( x, y )
,
h

f ( x, y + h ) − f ( x, y )

h→0
h
Có nhiều kí hiệu thay thế cho đạo hàm
riêng. Ví dụ, thay thế f x chúng ta có thể
f y ( x, y ) = lim

f
( x0 , y0 ) , hoặc ghi f1 hoặc D1 f (để chỉ ra đạo hàm đối
x

z
f x ( x0 , y0 ) , hoặc
( x0 , y0 ) .
x
Rõ ràng ta có

với biến thứ nhất) hoặc

f
f
. Nhưng
x
x

ở đây khơng thể được giải thích là tỉ lệ
vi phân.
Kí hiệu của đạo hàm riêng:


14

f
d
( x0 , y0 ) = f ( x, y0 ) x = x0 .
x
dx
Tương tự ta có đạo hàm riêng theo y

Nếu z = f ( x, y ) , chúng ta có thể viết
f x ( x, y ) = f x =

f
( x0 , y0 )
y
f ( x0 , y0 + y ) − f ( x0 , y0 )
= lim

y →0
y

z
= f1 = D1 f = Dx f .
x

=

f y ( x, y ) = f y =
=

Chú ý: đối với hàm một biến ta đã biết,
nếu hàm có đạo hàm thì nó liên tục (tại

f

=
f ( x, y )
x x

f

=
f ( x, y )
y y

z
= f 2 = D2 f = Dy f .
y

Hàm số nhiều hơn hai biến
điểm khảo sát). Đối với hàm nhiều biến,
Đạo hàm riêng cũng có thể được xác
việc tồn tại các đạo hàm riêng chưa đảm
định cho hàm ba hay nhiều hơn ba biến.
bảo sự liên tục của hàm số.

Ví dụ, nếu f là hàm số của ba biến x ,

y và z , khi ấy đạo hàm riêng với biến
x được xác định là

f x ( x, y , z )
f ( x + h, y, z ) − f ( x, y, z )
h →0
h
và nó được tìm bằng cách đối với y và
= lim

z như là hằng số và lấy đạo hàm

f ( x, y , z )

đối với biến

x . Nếu

w = f ( x, y, z ) , khi ấy f x =

f
có thể
x

được giải thích là tỉ lệ thay đổi của w
đối với x khi y và z được giữ cố định,
nhưng chúng ta khơng thể giải thích hình
học bởi vì đồ thị của f nằm trong không

gian bốn chiều.
Trong trường hợp tổng quát, nếu u
n
là
hàm
số
của
biến,

u = f ( x1 , x2 ,..., xn ) , đạo hàm riêng với
biến xi là


15

u
=
xi
lim

f ( x1 ,..., xi + h,..., xn ) − f ( x1 ,..., xi ,..., xn )

h →0

h

,

và chúng ta cũng viết
u f

=
= f xi = fi = Di f .
xi xi

Đạo hàm riêng cấp cao
Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng cấp cao
Nếu f là hàm số hai biến, khi đó đạo

của đạo hàm riêng cấp một. Giả sử xét hàm riêng của nó f x và f y cũng là
hàm hai biến z = f ( x, y ) , ta có các đạo những hàm số hai biến, nên chúng ta có
thể xét đạo hàm riêng

hàm cấp hai sau:
  f   2 f
= f yx ,
 =
x  y  yx

  f   2 f
= f xx = f x2 ,
 =
x  x  x 2
  f   2 f
= f xy ,
 =
y  x  xy
  f   f
= f yy = f y2 .

 =
y  y  y 2
2

Ví dụ: f ( x, y ) = e sin y + x
x

(f ) , (f )
y

y x

liên tục thì chúng bằng nhau, điều đó thể
hiện trong định lý Schwarz sau đây.
Định lý (về đạo hàm hỗn hợp). Nếu hàm

mà chúng được gọi là đạo

hàm riêng cấp hai của

f . Nếu

z = f ( x, y ) , chúng ta sử dụng các kí
hiệu sau:

( f x )x

  f   2 f  2 z
= f xx =   = 2 = 2 ,
x  x  x

x

( fx )y

  f   2 f
2 z
,
= f xy =   =
=
y  x  yx yx

(f )

= f yx =

3

Tuy vậy, nếu các đạo hàm hỗn hợp

y

( f x )x , ( f x ) y ,

y

x

(f )
y

y

  f   2 f
2 z
,
=
=
 
x  y  xy xy

= f yy =

  f   2 f
2 z
.
=
=
 
y  y  y 2 y 2

2 f
) nghĩa
f ( x, y ) và các đạo hàm f x , f y , f xy , Theo đó kí hiệu f xy (hoặc

f yx xác định trong miền mở G chứa

( x0 , y0 ) và liên tục tại ( x0 , y0 ) thì
f xy ( x0 , y0 ) = f yx ( x0 , y0 )

xy

là chúng ta lấy đạo hàm với biến

x

sau

đó với biến y , ngược lại trong việc tính

f yx thì theo thứ tự đảo ngược.

Hồn tồn tương tự ta có các đạo hàm Ví dụ: Tìm đạo hàm riêng cấp hai của
riêng cấp 3,4...
Ví dụ như:

f ( x, y ) = x 3 + x 2 y 3 − y 2 .
Định lý Clairaut