Mô hình hóa trong dạy học định lí côsin ở hình học lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Vũ Thị Thu Hiền

MƠ HÌNH HĨA TRONG DẠY HỌC
ĐỊNH LÍ CƠSIN Ở HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Vũ Thị Thu Hiền

MƠ HÌNH HĨA TRONG DẠY HỌC
ĐỊNH LÍ CƠSIN Ở HÌNH HỌC LỚP 10

Chun ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 8140111
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN ANH DŨNG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu, những kết quả
trong luận văn là trung thực.
Vũ Thị Thu Hiền


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc nhất tới người thầy của tôi: thầy Trần Anh
Dũng. Thầy đã cho tôi những hướng dẫn quý báu về luận văn, góp ý cho tơi cách diễn
đạt, ln tâm lí và động viên tơi. Thầy là sứ giả truyền cảm hứng và nguồn năng
lượng để tơi vững tin hồn thành luận văn này!
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cơ: cơ Lê Thị Hồi Châu, thầy Tăng Minh
Dũng, cô Vũ Như Thư Hương, cô Nguyễn Thị Nga, thầy Lê Văn Tiến, thầy Lê Thái
Bảo Thiên Trung, thầy Trần Lương Công Khanh, cô Annie Bessot và thầy Hamid
Chaachoua đã cho chúng tôi những kiến thức quan trọng trong ngành Didactic Tốn
cũng như góp ý của các thầy cơ cho luận văn của tôi.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Tốn – Tin và Ban Giám
hiệu của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho
chúng tơi được học tập ở đây.
Tơi xin tri ân với lớp Didactic tốn khóa 27, những kỉ niệm và năm tháng chúng
ta đã đi cùng nhau. Tôi sẽ rất nhớ mọi người khi chúng ta ra trường!
Xin được cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT chuyên Lương Thế Vinh tỉnh
Đồng Nai cùng các em HS lớp 10 Lí khóa 2018 – 2021. Nhà trường đã tạo mọi thuận
lợi cho tôi trong thời gian thực nghiệm và các em HS rất dễ thương, hoạt động tích
cực.
Xin chân thành cảm ơn người bạn đồng hành với tôi trong suốt thời gian làm
luận văn: bạn Trần Thị Hương.
Và cuối cùng, con xin cảm ơn ba mẹ đã cho con được học những gì mà con
thích, con theo đuổi. Luôn ủng hộ con và yêu thương con!

Con yêu ba mẹ!
Vũ Thị Thu Hiền


MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ, đồ thị
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chương 1. MƠ HÌNH HĨA TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ CƠSIN
Ở VIỆT NAM VÀ MỸ................................................................ 16
1.1. Dạy học định lí cơsin ở Việt Nam ....................................................... 16
1.1.1. Mơ hình hóa trong hình học 10 cơ bản ....................................... 16
1.1.2. Mơ hình hóa trong hình học 10 nâng cao ................................... 28
1.1.3. Kết luận ....................................................................................... 39
1.2. Dạy học định lí cơsin ở Mỹ ................................................................. 39
1.2.1. Lý thuyết ..................................................................................... 40
1.2.2. Bài tập ......................................................................................... 48
1.2.3. Kết luận ....................................................................................... 57
1.3. Kết luận ............................................................................................... 58
Chương 2. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ............................................. 60
2.1. Giới thiệu thực nghiệm........................................................................ 60
2.1.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................ 60
2.1.2. Đối tượng thực nghiệm ............................................................... 60
2.1.3. Các bài toán thực nghiệm ........................................................... 60
2.1.4. Dàn dựng và phân tích kịch bản ................................................. 65

2.2. Phân tích tiên nghiệm .......................................................................... 67
2.2.1. Bài tốn mở đầu .......................................................................... 67
2.2.2. Bài toán 1 .................................................................................... 74
2.2.3. Bài toán 2 .................................................................................... 78


2.3. Phân tích hậu nghiệm .......................................................................... 82
2.3.1. Những ghi nhận tổng quát .......................................................... 82
2.3.2. Phân tích chi tiết ......................................................................... 83
2.4. Kết luận ............................................................................................. 103
KẾT LUẬN. .................................................................................................. 104
TÀI LIỆU THAM KHẢO. .......................................................................... 105
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HS

:

Học sinh

GV

:

Giáo viên

KNV :

Kiểu nhiệm vụ

SBT

:

Sách bài tập

SGK

:

Sách giáo khoa

SGV

:

Sách GV

Tr.

:

Trang


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng

Nội dung

Trang

1.1

Các tổ chức toán học trong SGK hình học 10 cơ bản

23

1.2

Số lượng các KNV trong SGK và SBT hình học 10 cơ bản

27

1.3
1.4
1.5
1.6
1.7

1.8

Tỉ lệ giữa KNV thuộc bài toán thực tế và KNV thuộc bài tốn tốn
học trong chương trình hình học 10 cơ bản
Số lượng các KNV trong SGK và SBT hình học 10 nâng cao
Tỉ lệ giữa KNV thuộc bài toán thực tế và KNV thuộc bài tốn tốn

học trong chương trình hình học 10 nâng cao
Số lượng các KNV trong Precalculus (Demana)
Phân bố các KNV trong Precalculus (Demana) thuộc bài tốn ngồi
tốn học
Tỉ lệ giữa bài toán loại 1 và loại 2; KNV thuộc bài tốn tốn học và
ngồi tốn học trong Precalculus (Demana)

27
37
37
54
55

55

2.1

Mục đích câu hỏi trong bài tốn thực nghiệm

64

2.2

Đáp số các nhóm trong bài tốn 1

83

2.3

Bảng đánh giá tỉ lệ chất lượng các nhóm

102


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình

Nội dung

Trang

1.1

Các chương trong sách Precalculus (Demana)

40

2.1

Nội dung bài toán mở đầu

60

2.2

Nội dung bài toán 1

61

2.3

Nội dung bài toán 2

62


DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ
Sơ đồ
1.1

Nội dung
Mối quan hệ giữa các tổ chức tốn học trong SGK hình học 10
cơ bản

Trang
26


1

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chúng tơi chọn đề tài này vì các lí do sau đây:
1.1. Chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo
Từ một tham luận tại hội thảo về định hướng chương trình giáo dục phổ thông
của nước ta sau 2015, chúng tôi ghi nhận được những ý kiến chung của Bộ Giáo dục
– Đào tạo:
Lựa chọn nội dung giáo dục là những tri thức cơ bản của nhân loại, những
thành tựu khoa học công nghệ và những giá trị lịch sử, tinh hoa văn hóa dân tộc phải
đảm bảo vừa hội nhập quốc tế, vừa gắn kết với thực tiễn nước ta trong giai đoạn

cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa. Nội dung được thiết kế theo hướng giảm tính hàn lâm,
tăng tính thực hành và ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn để tạo
điều kiện phát triển các năng lực chung, năng lực riêng biệt cho HS; dung lượng học
tập phải phù hợp với thời lượng học tập.
Như vậy, Toán học với tư cách là một môn học cơ bản, xun suốt ở các cấp
học, có vai trị nền tảng trong hình thành năng lực của HS tất yếu phải đảm bảo những
đặc trưng quan trọng đó.
Những yêu cầu này cũng đã được nhấn mạnh từ trước, trong chương trình 2008.
Cụ thể, sách GV Đại số 10 (tr. 3, 4) có đưa ra ba định hướng nhằm đáp ứng nhu cầu
đổi mới giáo dục như sau:
1. Tăng cường tính thực tiễn và tính sư phạm, giảm nhẹ yêu cầu quá chặt
chẽ về lí thuyết. […]
2. Xây dựng nội dung chương trình đáp ứng mục tiêu mơn học, đồng thời
chú ý đáp ứng yêu cầu của một số môn học khác như Vật lí, Sinh học. […]
3. Hội nhập. […].

(Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, và Nguyễn Tiến
Tài, 2013)


2

1.2. Bản thân đối tượng nghiên cứu
Mơ hình hóa tốn học với những thế mạnh trong việc rèn luyện năng lực khám
phá, suy luận, sáng tạo và giải quyết vấn đề của HS là sự lựa chọn rất tốt cho chúng
tơi để xây dựng những tình huống dạy học đáp ứng những tiêu chí trên.
Khi tìm kiếm những kiến thức tốn học có khả năng gắn với mơ hình hóa, chúng
tơi thấy định lí cơsin với ứng dụng rộng rãi của nó trong thực tế là đối tượng tốn học
thích hợp để lựa chọn.
1.3. Ghi nhận từ thăm dò HS và GV

Trong tháng 4/2018, chúng tôi thực hiện một cuộc phỏng vấn nhỏ với 10 HS
lớp 11 trường THPT Nguyễn Trãi, Đồng Nai để tìm hiểu suy nghĩ của HS về tính ứng
dụng thực tế của định lí cơsin. Dưới đây thống kê một số câu trả lời:
Theo em định lí cơsin dùng để làm gì? Em có nhớ bài tốn thực tế nào
trong SGK có sử dụng định lí cơsin
khơng?

 Tính cạnh trong tam giác, tính góc  Khơng ạ
 Tính cạnh của tam giác bất kì
 Mấy bài cho vài cạnh, vài góc
rồi yêu cầu xác định tam giác
 Tính mấy bài trong tam giác, để
xây nhà, cơng trình
 Bài tính khoảng cách từ bờ sơng
đến cù lao
 Em không biết
Chúng tôi cũng phỏng vấn 4 GV đang giảng dạy: 2 GV trường THPT Nguyễn
Trãi, Đồng Nai, 1 GV trường THPT Bà Rịa và 1 GV trường THPT Châu Thành với
câu hỏi:
Theo thầy cô, khi cho một bài tốn thực tế cần phải vận dụng định lí cơsin để
giải quyết thì HS lớp 11 có làm được khơng?
Ý kiến chung nhận được là: Đa số HS khơng cịn nhớ đến cơng thức của định lí,
chưa nói đến chuyện vận dụng giải quyết vấn đề. Chỉ một số ít HS giỏi là còn
nhớ.
Từ những ghi nhận trên ở 1.1, 1.2, 1.3, chúng tôi nảy sinh ra những câu hỏi ban
đầu:


3

1. SGK hình học 10 đã trình bày ứng dụng của định lí cơsin trong thực tế như
thế nào?
2. Chúng ta có thể xây dựng một tiến trình dạy học tích cực, cụ thể là mơ hình
hóa nhằm rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn, mở rộng hiểu biết của HS
về vai trị của định lí cơsin khơng?
1.4. Tổng quan về một số cơng trình nghiên cứu liên quan
Chúng tơi bắt đầu tìm kiếm những kết quả liên quan đến mơ hình hóa và định lí
cơsin trong chun ngành Didactic Tốn:

 Mơ hình hóa:
Nguyễn Thị Tân An (2014). Sử dụng tốn học hóa để phát triển các năng lực
hiểu biết định lượng của HS lớp 10. Luận án tiến sĩ. Trường đại học Sư phạm thành
phố Hồ Chí Minh:
Luận án đã:
Xây dựng một cách phân loại các tình huống tốn học
Xây dựng q trình tốn học hóa phù hợp và khả thi với chương trình
Hướng dẫn cụ thể các bước của q trình mơ hình hóa cho HS
Làm rõ mối liên hệ giữa năng lực hiểu biết định lượng và q trình tốn học
hóa.
Thiết kế và phân loại theo mức độ 19 tình huống tốn học hóa có trong ba chủ
đề của lớp 10 nâng cao: hàm số bậc hai, bất phương trình và hệ bất phương trình bậc
nhất, hệ thức lượng trong tam giác.
Xây dựng riêng một thang đánh giá để đo năng lực hiểu biết định lượng của HS
khi đang xử lí một tình huống tốn có yếu tố định lượng.
Qua cơng trình, chúng tơi thu thập được một vài kinh nghiệm về cách chọn bài
toán cũng như xây dựng bài toán thực nghiệm sao cho đúng mục đích của mình.

 Định lí cơsin:
 Lê Thị Bích Liễu (2012). Định lý hàm số cơsin trong chương trình tốn
– hình học 10 ở trường phổ thơng. Luận văn tốt nghiệp đại học. Trường

đại học Cần Thơ:


4

Luận văn đã nêu một số thông tin về định lí cơsin, trình bày sáu cách chứng
minh định lí này. Sau đó đã phân tích định lí cơsin trong sách giáo khoa hình học 10
hiện hành, ứng dụng định lí cơsin vào giải các bài tốn cụ thể, chủ yếu về các bài tốn
tốn học. Đối với bài tốn ngồi tốn học thì đề bài chỉ là ngữ cảnh thực tế được lồng
ghép vào. Vì ngay trong đề bài đã cho thấy HS cần phải vẽ mơ hình gì. Ví dụ: “Một
tấm bìa hình thang cân có đường chéo là d, đáy nhỏ là a. Tính các cạnh cịn lại và
diện tích tấm bìa.” (Bài tập 2 trang 41). Và cuối cùng, tác giả xây dựng các giáo án
đề nghị sử dụng trong giảng dạy định lí này.
Phạm vi lí thuyết tham chiếu của luận văn không thuộc trường phái Didactic
Tốn nhưng luận văn vẫn có thể hữu ích cho chúng tơi về mặt nào đó.
Đối tượng khảo sát ở luận văn tiếp theo dưới đây thuộc chương trình thí điểm
THPT trở về trước, nhưng chúng có thể liên quan đến chủ đề của chúng tôi:

 Nghiêm Thị Xoa (2006). Máy tính bỏ túi và lượng giác trong chủ đề
dạy học “Giải tam giác”. Luận văn thạc sĩ. Trường đại học Sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh:
Kết quả luận văn cho thấy máy tính bỏ túi trong các chương trình tốn ở trường
phổ thơng Việt Nam vẫn chủ yếu giữ vai trị là cơng cụ tính tốn; các quy tắc hợp
đồng được tìm thấy liên quan đến đối tượng lượng giác trong hoạt động giải tam giác;
từ nghiên cứu thực hành dạy học của GV, quy tắc hợp đồng đã được thể hiện rõ; cuối
cùng qua nghiên cứu nảy sinh ra giả thuyết và đã kiểm chứng được.
Những nhận xét của tác giả có liên quan đến định lí cơsin có thể sẽ giúp ích cho
chúng tơi sau này.
Như vậy, chúng tôi nghĩ rằng giới hạn trong chuyên ngành didactic tốn Việt
Nam thì trước đó có thể chưa có cơng trình nào khai thác về mơ hình hóa định lí cơsin

và tất cả những lí do trên đưa chúng tơi đến quyết định nghiên cứu đề tài: “Mơ hình
hóa trong dạy học định lí cơsin ở hình học lớp 10”.
2. PHẠM VI LÍ THUYẾT THAM CHIẾU (DIDACTIC TỐN)
Để có cơ sở lí luận cho câu hỏi ban đầu, chúng tơi chọn các lí thuyết sau với
mục đích:


5

 Thuyết nhân học
(quan hệ thể chế,
tổ chức toán học)

 Mơ hình hóa trong dạy học
 Lí thuyết tình huống

Biết quan hệ thể chế đối với định lí
cơsin trong mối liên hệ với mơ hình
hóa
Xây dựng thực nghiệm

Các lí thuyết này phần lớn có trong Những yếu tố cơ bản của Didactic toán, Sách
song ngữ Việt – Pháp.
Theo Lê Văn Tiến (2005), một số thuật ngữ liên quan khác có trong phương
pháp dạy học mơn tốn ở trường phổ thơng là:

 Tình huống có vấn đề: Tình huống trong đó tồn tại một vấn đề, với vấn đề
ở đây là những khó khăn trong nhận thức, được chủ thể ý thức một cách rõ
ràng hoặc mơ hồ, chưa có phương pháp mang tính thuật tốn để giải quyết.

 Tình huống gợi vấn đề: Thỏa mãn 3 điều kiện: Tồn tại một vấn đề, gợi nhu
cầu nhận thức và gây niềm tin ở khả năng.

 Bài toán thực tiễn (bài toán thực tế): Được hiểu theo nghĩa rộng. Tức có
thể là bài toán với các yếu tố thực tiễn “thực” hoặc mô phỏng thực tiễn
“thực” (các số liệu đã được làm đẹp, kết quả tính ra khơng phức tạp …)
Theo Y. Chevallard (1984) và L. Coulange (1997) thì bài tốn được
chia làm ba loại: Bài toán thực tiễn, bài toán phỏng thực tiễn và bài tốn
tốn học. Vì vậy, với việc hiểu theo nghĩa rộng trên, chúng tôi đồng nhất
các khái niệm bài tốn ngồi tốn học với bài tốn thực tiễn để sử dụng sau
này.
Một vài tiến trình dạy học định lí:

 Tiến trình bài tốn – định lí:
 Pha 0: Tạo động cơ
 Pha 1: Giải các bài toán
 Pha 2: Phát biểu định lí
 Pha 3: Củng cố, vận dụng

 Tiến trình suy diễn:


6

 Pha 0: Tạo động cơ
 Pha 1: Phát biểu định lí
 Pha 3: Chứng minh hay cơng nhận định lí
 Pha 4: Củng cố, vận dụng.
Sơ lược về mơ hình hóa tốn học:
Theo Nguyễn Thị Nga (2016) thì:

Mơ hình tốn học có thể hiểu là một cấu trúc tốn học (đồ thị, bảng biểu, phương
trình, hệ phương trình, biểu thức đại số, hàm số, hình hình học, …) gồm các kí hiệu
và các quan hệ tốn học mà nó biểu diễn, mơ tả đặc điểm một tình huống.
Mơ hình hóa tốn học là sự giải thích tốn học cho một hệ thống ngồi tốn học
nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này.
Q trình mơ hình hóa tốn học là q trình chuyển đổi một vấn đề ngồi tốn
học sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mơ hình tốn học,
thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình nếu cách giải
quyết khơng thể chấp nhận.
Có nhiều sơ đồ trình bày q trình mơ hình hóa một vấn đề thực tiễn khác nhau.
Trong đó chúng tơi chọn sơ đồ của Coulange (1997) để trình bày:

Sơ đồ q trình mơ hình hóa tốn học (Coulange, 1997)
Q trình này gồm 4 bước:


7

Bước 1: Chuyển hệ thống ngồi tốn học thành mơ hình trung gian (xây dựng
mơ hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố quan trọng nhất và xác lập
những quy luật mà chúng phải tuân theo).
Bước 2: Chuyển mơ hình trung gian thành mơ hình tốn học (khi có mơ hình
trung gian, ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét. Từ đó
dẫn đến việc lập mơ hình tốn học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham
số của tình huống).
Bước 3: Hoạt động tốn học trong mơ hình tốn học (sử dụng các cơng cụ tốn
học để khảo sát và giải quyết mơ hình tốn học hình thành ở bước 2).
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3. Trở lại tình
huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu trả lời
của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn được mơ hình hóa.

Trong bước này có hai khả năng:
-

Khả năng 1: Mơ hình và các kết quả tính tốn phù hợp với thực tế thì ta chấp
nhận

-

Khả năng 2: Mơ hình và các kết quả tính tốn khơng phù hợp với thực tế.
Khi đó cần xem xét các nguyên nhân như:
+ Tính chính xác của lời giải tốn học, thuật tốn, quy trình
+ Mơ hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét
+ Tính thỏa đáng của mơ hình toán học đang xây dựng
+ Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế
Trong trường hợp này, cần phải thực hiện lại quy trình trên cho đến khi tìm
được mơ hình tốn học thích hợp cho tình huống.

Theo Lê Văn Tiến (2005) thì:

 Dạy học mơ hình hóa là dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học của
thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.
Quy trình dạy học mơ hình hóa:
Dạy học tri thức tốn học lí thuyết → Vận dụng tri thức này vào giải bài tốn
thực tiễn: xây dựng mơ hình tốn học, giải mơ hình tốn học, trả lời cho bài tốn
thực tiễn.


8

 Dạy học bằng mơ hình hóa: Là dạy học thơng qua dạy học mơ hình hóa.

Tri thức tốn học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các
bài tốn thực tiễn.
Quy trình giống quy trình trên nhưng thêm giai đoạn nảy sinh ra tri thức
mới trước đó:
Bài tốn thực tiễn → Xây dựng mơ hình tốn học → Câu trả lời cho bài toán
thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng tri thức này vào giải bài tốn thực
tiễn.
Quy trình dạy học bằng mơ hình hóa cho phép khắc phục khiếm khuyết: tri thức
tốn học khơng cịn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài tốn thực tiễn mà nó tồn
tại trong quy trình dạy học mơ hình hóa.
3. MỤC TIÊU VÀ CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
Mục tiêu của luận văn là:
Xây dựng một tiến trình dạy học bằng mơ hình hóa nhằm dạy ứng dụng của
định lí cơsin cho HS, giúp HS tham gia vào q trình mơ hình hóa tốn học.
Từ lí thuyết tham chiếu, mục tiêu được chúng tơi cụ thể hóa thành các câu hỏi
nghiên cứu như sau:
1. Định lí cơsin ra đời như thế nào? Có vai trị gì trong thực tiễn?
2. Quan hệ của thể chế dạy học hình học 10 đối với định lí cơsin trong mối liên
hệ với mơ hình hóa ra sao?
3. Cùng tri thức này thì thể chế dạy học Việt Nam và thể chế dạy học một nước
khác có những tương đồng và khác biệt gì?
4. Xây dựng một tiểu đồ án dạy học bằng mơ hình hóa định lí cơsin cụ thể ra
sao để giúp HS có cơ hội làm việc với mơ hình hóa tốn học, đồng thời mở rộng hiểu
biết của HS về vai trị của định lí cơsin?
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp luận nghiên cứu có thể được sơ đồ hóa như sau:


9

Vậy nhiệm vụ nghiên cứu của chúng tơi là:
1. Tìm hiểu một số yếu tố về định lí cơsin.
2. Rà sốt, phân tích chương trình và SGK Việt Nam, Mỹ.
3. Từ 1, 2 hình thành ý kiến, quan điểm dạy học để xây dựng thực nghiệm sát
với mục tiêu.
4. Xây dựng tiến trình dạy học, nghiên cứu các bài tốn thực nghiệm, phân tích
tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm.
5. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Luận văn gồm các phần chính như sau: Mở đầu, hai chương và kết luận, trong
đó:
Mở đầu: Sơ lược một số yếu tố về định lí cơsin
Chương 1: Mơ hình hóa đối với định lí cơsin trong dạy học ở Việt Nam và Mỹ
Phân tích và so sánh hai thể chế nhằm tìm ra những mặt tích cực và hạn chế,
phục vụ cho việc xây dựng thực nghiệm.
Chương 2: Nghiên cứu thực nghiệm
Nhằm xây dựng tiểu đồ án dạy học bằng mơ hình hóa, thực nghiệm và rút ra kết
luận.
6. SƠ LƯỢC MỘT SỐ YẾU TỐ VỀ ĐỊNH LÍ CƠSIN
Mục này giúp giải đáp câu hỏi 1: Định lí cơsin ra đời như thế nào, có vai trị gì trong
thực tiễn?
Định lí cơsin ở đây được nói đến trong phạm vi hình học Euclid (khơng phải hình học
phi Euclid).

 Về sự xuất hiện


10

Theo Pickover (2009) thì từ thế kỉ III trước cơng ngun, định lí cơsin đã ngầm
xuất hiện trong cơng trình Những nguyên lí của Euclid. Để cụ thể hơn, chúng tôi dịch

ở mệnh đề 12, quyển 2 (thể loại thuộc đại số hình học) trong bản tiếng Anh của
Fitzpatrick như sau:
Trong các tam giác tù, hình vng trên cạnh đối diện góc tù lớn hơn (tổng
của) các hình vng trên hai cạnh chứa góc tù hai lần hình chữ nhật gồm một
trong các cạnh là cạnh kề góc tù – cạnh mà có đường thẳng vng góc hạ xuống,
và đoạn thẳng bị chặn lại bên ngoài tam giác bởi đường vng góc hướng về góc
tù.

(Fitzpatrick, 2008)
(Từ mệnh đề thứ 35 của quyển 1, Euclid đã mở rộng “sự bằng nhau” là “bằng
nhau về diện tích”, thay vì “trùng khít lên nhau” (Fitzpatrick, 2008). Do đó sự so sánh
lớn hơn, nhỏ hơn giữa các hình hay các thao tác thêm bớt các hình là làm việc trên
diện tích của chúng. Như vậy, hình vng hay hình chữ nhật trong phát biểu trên tức
là diện tích hình vng, diện tích hình chữ nhật).
Có thể hiểu định lí này theo ngơn ngữ hiện tại là:
“Trong một tam giác tù, bình phương cạnh đối diện góc tù bằng tổng bình
phương của hai cạnh bên rồi cộng thêm hai lần tích của một cạnh bên và hình chiếu
vng góc của cạnh bên cịn lại trên cạnh bên đó”.
Tóm tắt bài tốn
Tam giác ABC có góc A tù. Khi đó:
𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 + 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐷
Nếu đối chứng lại với công thức định lí cơsin ngày nay thì:
̂
𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 − 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐵𝐴𝐶
̂ = −𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐵𝐴𝐶
̂ nên hai hệ thức này là tương đương với
và AD = 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐵𝐴𝐷
nhau.

11

Có thể thấy một sự tương ứng giữa mệnh đề 12 của Euclid và định lí cơsin bây
giờ:
Chúng ta

Euclid

𝑎2
= 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

𝑏 2 tương ứng với diện tích hình vng cạnh b, 𝑐 2 tương ứng với diện tích hình
vng cạnh c và cả hạng tử chứa 𝑐𝑜𝑠𝐴 tương ứng là diện tích hai hình chữ nhật
kích thước b x m.
Vào lúc đó, đối tượng mà Euclid làm việc là các tam giác, hình vng, hình chữ
nhật, hình bình hành, đường trịn … và sử dụng những định nghĩa, tiên đề, mệnh đề
riêng của mình để chứng minh các phát biểu của ơng. Ví dụ như theo Fitzpatrick
(2008):
Tiên đề 2, quyển 1: “Nếu cùng thêm những thứ bằng nhau vào những thứ bằng
nhau khác thì những tổng thể sẽ bằng nhau”
Mệnh đề 47, quyển 1: “Trong một tam giác vng, hình vng trên cạnh đối
diện góc vng bằng (tổng của) các hình vng trên các cạnh góc vng”
Mệnh đề 4, quyển 2: “Nếu một đoạn thẳng bị cắt ngẫu nhiên thì hình vng trên
đoạn tổng thể (đoạn thẳng đó) bằng với (tổng của) các hình vng trên đoạn từng
phần (của đoạn thẳng đó), và hai lần hình chữ nhật có kích thước là các đoạn từng
phần”.


12

Chúng tôi diễn tả lại cách chứng minh của Euclid theo cách viết bây giờ cho
gọn hơn (tức diện tích hình vng sẽ thay bằng bình phương cạnh hình vng, tương
tự cho hình chữ nhật):
Vì DC bị điểm A chia cắt nên theo mệnh đề 4
quyển 2 thì:
𝐷𝐶 2 = 𝐶𝐴2 + 𝐴𝐷2 + 2. 𝐶𝐴. 𝐴𝐷
Thêm vào hai vế với 𝐷𝐵2 , ta được:
𝐷𝐵2 + 𝐷𝐶 2 = 𝐷𝐵2 + 𝐶𝐴2 + 𝐴𝐷2 + 2. 𝐶𝐴. 𝐴𝐷
(Tiên đề 2, quyển 1)
Ta có 𝐶𝐵2 = 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐵2 và 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2 + 𝐷𝐵2 do góc D vng (Mệnh đề 47,
quyển 1).
Vì vậy 𝐶𝐵2 = 𝐶𝐴2 + 𝐴𝐵2 + 2. 𝐶𝐴. 𝐴𝐷.
Trường hợp dành cho góc nhọn cũng được phát biểu trong mệnh đề 13 tiếp theo
của quyển 2:
Trong các tam giác nhọn, hình vng trên cạnh đối diện một góc nhọn bé
hơn (tổng của) các hình vng trên hai cạnh chứa góc nhọn đó hai lần hình chữ
nhật gồm một trong các cạnh là cạnh kề góc nhọn đó – cạnh mà có đường vng
góc hạ xuống, và đoạn thẳng bị chặn lại bên trong tam giác bởi đường vng góc
hướng về góc nhọn.

(Fitzpatrick, 2008)
Minh họa bài tốn:
Tam giác ABC nhọn. Xét góc nhọn B, khi đó ta có:
𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶 2 − 2. 𝐵𝐶. 𝐵𝐷
Chứng minh tương tự như trên. Và theo cách lí luận
hiện đại thì 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐵, khớp với cơng thức định lí
cơsin 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶 2 − 2. 𝐵𝐶. 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐵.
Tới thế kỉ XV, nhà thiên văn học, toán học người Ba Tư al – Kashi cung cấp
các bảng lượng giác chính xác và diễn đạt định lí theo một dạng phù hợp cách sử

13

dụng hiện đại (Pickover, 2009). Do khơng tìm thấy tài liệu nên chúng tôi không biết
ông đã biểu diễn định lí thế nào.
Sau đó một thế kỉ, định lí cơsin được Viète tìm ra độc lập với al – Kashi
(Pickover, 2009) và Viète đã phát biểu vào năm 1593 (Sullivan, 2012). Cuối cùng,
định lí cơsin có biểu thức như ngày nay nhờ vào sự đổi mới của hệ thống biểu đạt
tốn học.
Như vậy, định lí cơsin có mầm mống từ những bài tốn hình học, qua các thời
kì phát triển của tốn học mà có được cách viết này.
Các cách chứng minh định lí cơsin đã có trong nhiều tài liệu nên chúng tơi khơng
trình bày lại. Trở lại với cơng thức định lí cơsin:
Trong tam giác ABC cho trước, ta có
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 với 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑎
Có bốn yếu tố xuất hiện trong biểu thức: ba cạnh và một góc trong tam giác. Vì
đây là phương trình bậc hai đơn giản nên khi cho ba yếu tố trong tam giác này, ta sẽ
tìm được yếu tố cịn lại: ba cạnh  góc, hai cạnh và một góc  cạnh. Như vậy, các
trường hợp khác nhau khi sử dụng đến định lí cơsin có thể là:
Cho

Tìm

c.c.c

g

c.g.c

c

c.c.g

c

Tuy nhiên, với thơng tin hai cạnh và một góc đối (c.c.g) tùy ý thì tam giác có
thể khơng tồn tại, xác định duy nhất hoặc tồn tại cả hai tam giác. Hình ảnh sau có thể
minh họa rõ hơn

(Larson, 2013)
Lúc này, khi thế các giả thiết vào cơng thức định lí cơsin thì hệ thức trở thành phương
trình bậc hai một ẩn với ẩn là cạnh chưa biết. Vì thế mà giá trị cạnh cần tính cũng có


14

thể cho kết quả âm (không tồn tại tam giác), ra một nghiệm dương (tồn tại duy nhất
tam giác) hoặc hai nghiệm dương (có hai tam giác thỏa mãn).

 Về tính ứng dụng trong thực tế
Định lí cơsin dễ dàng được ứng dụng trong những tình huống có mơ hình gần
giống với tam giác. Trong một số giáo trình sử dụng cho bậc THPT ở một số nước
nói tiếng Anh như Precalculus 4e (Blitzer, 2007), Precalculus 9e (Larson, 2013),
Precalculus 6e: Mathematics for calculus (Stewart, Redlin, & Watson, 2010) và
Algebraic & Trigonometry (Sullivan, 2012), chúng tơi thấy định lí cơsin được áp
dụng cho một số trường hợp như:

 Tính được khoảng cách giữa hai vị trí bị cản trở, khó đo đạc

(Stewart, Redlin, & Watson, 2010)

(Stewart, 2010)

 Tính góc so với một hướng cố định đã biết để tìm được hướng cần
đi tới điểm đến

(Sullivan, 2012)

(Blitzer, 2007)

 Tính tốn độ dài, khoảng cách thông thường


15

(Larson, 2013)

(Larson, 2013) (Sullivan, 2012)

 Tính tốn góc, độ dài trong mơ hình tam giác thay đổi

(Larson, 2013)

(Larson, 2013)

Có thể thấy định lí cơsin là biểu thức dùng tính tốn các yếu tố về cạnh và góc
trong tam giác. Điều đó dẫn đến các vấn đề thực tế muốn được định lí cơsin giải quyết
thì phải tồn tại mơ hình tam giác tương ứng.
Như vậy, định lí cơsin đã xuất hiện từ thời Euclid trong hình hài của một mệnh
đề về các hình đa giác, mà việc chứng minh chúng phải dựa vào hệ thống các tiên đề,

định đề, định nghĩa, mệnh đề do Euclid xây dựng nên. Trải qua một thời gian rất dài,
đến thế kỉ XV, al – Kashi mới cơng bố về định lí cơsin với cách diễn đạt thuận tiện
và tổng quát hơn. Viète độc lập tìm ra định lí cơsin vào thế kỉ XVI. Cuối cùng, định
lí cơsin đã được sử dụng như cách viết hiện nay.
Định lí cơsin có nhiều ứng dụng hữu ích trong thực tiễn, liên quan đến nhu cầu
tính tốn khoảng cách, góc trong những mơ hình tam giác. Pickover (2009) cũng đã
nhận xét rằng “ứng dụng của định lí trải dài từ khảo sát địa chất đến tính tốn đường
bay của máy bay”.
Những ghi nhận trên cho chúng ta thấy từ thời Hy Lạp cổ đại đến nay, định lí
cơsin đã được sử dụng trong những tính tốn hình học và nó là cơng cụ khơng thể
thiếu được trong các đo đạc thực tế hay mô phỏng.
Với hệ thống công cụ toán học đầy đủ như bây giờ cũng như sự đa dạng của
khoa học giáo dục, chúng ta có nhiều thuận lợi trong việc xây dựng được tình huống
dạy học tích cực cho HS. Để phục vụ mục đích dạy học này, theo chúng tơi, có thể