Tải Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn - Giải bài tập môn Toán lớp 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Nui - Tơn</b>
<i><b>Bài 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:</b></i>

<i>a) (a + 2b)5_{b) (a - √2)}6_{c) (x - )}13</i>
<i><b>Bài giải:</b></i>

a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

(a + 2b)5 _{= a}5_{+ 5a}4_{(2b) + 10a}3_(2b)2_{+ 10a}2_(2b)3_{+ 5a(2b)}4_{+ (2b)}5

= a5_{+ 10a}4_{b + 40a}3_b2_{+ 80a}2_b3_{+ 80ab}4_{+ 32b}5

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

(a - √2)6_{= [a + (-√2)]}6_{= a}6_{+ 6a}5_{(-√2) + 15a}4_(-√2)2_{+ 20a}3_(-√2)3_{+ 15a}2_(-√2)4_{+ 6a(-√2)}5 _{+ (-√2)}6

= a6_{- 6√2a}5_{+ 30a}4_{- 40√2a}3_{+ 60a}2_{- 24√2a + 8.}

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:
(x - )13_{= [x + (- )]}13_{= C}k

13 . x13 – k . (-)k = Ck13 . (- 1)k . x13 – 2k

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì
ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

<i><b>Bài 2. Tìm hệ số của x</b>3_{trong khai triển của}</i> <i>_{biểu thức: (x + )}6_.</i>
<i><b>Bài giải:</b></i>

(x + )6_{= C}k

6 . x6 – k . ()k = Ck6 . 2k . x6 – 3k

Trong tổng này, số hạng Ck

6 . 2k . x6 – 3k có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi

⇔ k = 1.

Do đó hệ số của x3_{trong khai triển của}

biểu thức đã cho là:

2 . C1

6 = 2 . 6 = 12.

<i><b>Bài 3. Biết hệ số của x</b>2 _{trong khai triển của (1 - 3x)}n_{là 90. Tìm n.}</i>
<i><b>Bài giải:</b></i>

Với số thực x ≠ 0 và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:
(1 - 3x)n_{= [1 - (3x)]}n_{= C}k

n (1)n – k (-3)k . xk.

Suy ra hệ số của x2 _{trong khai triển này là} ₃2_C2

n . Theo giả thiết, ta có:

32_C2

n = 90 => C2n = 10.

Từ đó ta có:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

⇔ n2_{– n – 20 = 0 n = -4 (loại) hoặc n = 5.}_⇔

Đáp số: n = 5.

<i><b>Bài 4. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của (x</b>3_{+ )}8</i>
<i><b>Bài giải:</b></i>

Ta có: (x3_{+ )}8_{= C}k

8 x3(8 – k) ()k = Ck8 x24 – 4k

Trong tổng này, số hạng Ck

8 x24 – 4k không chứa x khi và chỉ khi

⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai

triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là C6
8 = 28.

<i><b>Bài 5. Từ khai triển biểu thức (3x – 4)</b>17_{thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận}</i>

<i>được:</i>

<i><b>Bài giải:</b></i>

Tổng các hệ số của đa thức f(x) = (3x – 4)17_bằng:

f(1) = (3 – 4)17_{= (– 1)}17_{= -1.}

<i><b>Bài 6. Chứng minh rằng:</b></i>

<i>a) 1110_{– 1 chia hết cho 100;}</i>

<i>b) 101100_{– 1 chia hết cho 10 000;}</i>

<i>c) √10[(1 + √10)100_{– (1- √10)}100_{] là một số nguyên.}</i>
<i><b>Bài giải:</b></i>

a) 1110_{– 1 = (1 + 10)}10_{– 1 = (1 + C}1

10 10 + C210 102 + … +C910 109 + 1010) – 1

= 102_{+ C}2

10 102 +…+ C910 109 + 1010.

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 1110_{– 1 chia hết cho 100.}

b) Ta có

101100_{– 1 = (1 + 100)}100_{- 1}

= (1 + C1

100 100 + C2100 1002 + …+C99100 10099 + 100100) – 1.

= 1002_{+ C}2

1001002 + …+ 10099 + 100100.

Tổng sau cùng chia hết cho 10 000 suy ra 101100_{– 1 chia hết cho 10 000.}

c) (1 + √10)100_{= 1 + C}1

100 √10 + C2100 (√10)2 + …+ (√10)99 + (√10)100

(1 - √10)100_{= 1 - C}1

100 √10 + C2100 (√10)2 - …- (√10)99 + (√10)100

√10[(1 + √10)100_{– (1 - √10)}100_{] =} _2√10[C1

100 √10 + C3100 (√10)3 +…+ . (√10)99]

= 2(C1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3></div>

<!--links-->