50 CÂU TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG HÌNH GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN
Câu 1. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A 1; 1;3 , B 1; 2;1 , C 3;5; 4 .
Khi đó tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
�3
�
;3;0 �
.
A. G �
B. G 3;6;0 .
C. G 1; 2;0 .
�2
�
Lời giải
Chọn C
� 1 1 3
1
�xG
3
�
�
1 2 5 2 � G 1; 2;0 .
Ta có �yG
3
�
�
3 1 4
0
�zG
3
�
�1 2 �
; ;0 �
.
D. G �
�3 3 �
Câu 2. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A 2;1; 1 , B 2;0;1 , C 1; 3; 2 .
uuur uuur
Giá trị của tích vơ hướng AB. AC bằng
A. 22.
B. 14.
C. 10.
D. 22.
Lời giải
Chọn D
uuur
�
uuur uuur
�AB 4; 1; 2
� AB. AC 22.
�uuur
�AC 3; 4;3
r
r
Câu 3. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véctơ a 1; m; 2 , b 4; 2;3 .
r r
Để a b thì giá trị tham số thực m bằng bao nhiêu?
A. m 0.
B. m 1.
C. m 1.
D. m 2.
Lời giải
Chọn C
r r
rr
a b � a.b 0 � 4 2m 6 0 � m 1.
r
r
Câu 4. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a 2; 3;1 và b là véctơ cùng phương
r
r
rr
với a thỏa mãn a.b 28 . Khi đó b bằng bao nhiêu?
r
r
r
r
A. b 2 14.
B. b 2 7.
C. b 14.
D. b 14 2.
Lời giải
Chọn A
r
r
r
r
rr
Ta có b là véctơ cùng phương với a � b ka 2k ; 3k ; k suy ra a.b 4k 9k k 28 � k 2.
r
r
2
2
2
Suy ra b 4;6; 2 � b 4 6 2 2 14.
Câu 5. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A 0; 1;1 , B 2;1; 1 , C 1;3; 2 .
Biết rằng ABCD là hình bình hành, khi đó tạo độ điểm D là
2�
�
1;1; �
.
A. D 1; 3; 2 .
B. D �
C. D 1;3; 4 .
3�
�
Lời giải
Chọn D
uuur
uuur
Gọi tọa độ điểm D x; y; z � AD x; y 1; z 1 . Ta có BC 1; 2;3 .
D. D 1;1; 4 .
�x 1
�x 1
uuur uuur
�
�
ABCD là hình bình hành � AD BC � �y 1 2 � �y 1 � D 1;1; 4 .
�z 1 3
�z 4
�
�
Câu 6. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 3 , B 1;0; 2 ,
C x; y; 2 thẳng hàng. Khi đó tổng x y bằng bao nhiêu?
11
11
A. x y 1.
B. x y 17.
C. x y .
D. x y .
5
5
Lời giải
Chọn A
uuur
�
�AB 2; 2;5
Ta có �uuur
�AC x 1; y 2;1 .
x 1 y 2 1
3
8
� x ; y � x y 1.
Khi đó A, B, C thẳng hàng �
2
2
5
5
5
Câu 7. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M 1; 2;5 . Khi đó tọa độ hình
chiếu vng góc M ' của M trên mặt phẳng Oxy là
A. M ' 0;0;5 .
B. M ' 1; 2;0 .
C. M ' 1;0;5 .
Lời giải
D. M ' 0; 2;5 .
Chọn B
Ta có M 1; 2;5 , suy ra hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng Oxy là M ' 1; 2;0 .
Chú ý: Hình chiếu vng góc của M x0 ; y0 ; z0 trên các mặt phẳng Oxy , Oyz , Oxz lần lượt là
các điểm M 1 x0 ; y0 ;0 , M 2 0; y0 ; z0 , M 3 x0 ;0; z0 .
Câu 8. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M 2; 1;3 . Khi đó tọa độ hình
chiếu vng góc M ' của M trên mặt phẳng Ox là
A. M ' 0;0;3 .
B. M ' 0; 1;0 .
C. M ' 4;0;0 .
D. M ' 2;0;0 .
Lời giải
Chọn D
Ta có M 2; 1;3 , suy ra hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng Ox là M ' 2;0;0 .
Chú ý: Hình chiếu vng góc của M x0 ; y0 ; z0 trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là các điểm
M 1 x0 ;0;0 , M 2 0; y0 ;0 , M 3 0;0; z0 .
r
r r
r
Câu 9. [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a , b 120�và a 3, b 4 . Khi đó
r r
a b có giá trị bằng bao nhiêu?
r r
r r
r r
r r
A. a b 13.
B. a b 37.
C. a b 1.
D. a b 5.
Lời giải
Chọn B
r r2
r r
Ta có a b a b
r r
� a b 37.
2
r
rr r
r2 r2
r r
r r
a 2 2ab b 2 a b 2 a . b .cos a , b 37.
uuu
r
r
r r
Câu 10. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho OA 3i j 2k và B m; m 1; 4 .
Tìm tất cả giá trị của m để độ dài đoạn AB 3 ?
A. m 1.
B. m 4.
C. m 1.
D. m 1 hoặc m 4.
Lời giải
Chọn D
uuu
r
r
r r
Ta có OA 3i j 2k � A 3;1; 2 .
m 1
�
2
2
2
2
2
.
Khi đó AB 9 � m 3 m 2 2 9 � 2m 10m 8 0 � �
m4
�
Câu 11. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 2;9; 1 , B 0; 4;1 , C m; 2m 5;1 . Biết
m m0 là giá trị để tam giác ABC vuông tại C. Khi đó giá trị m0 gần giá trị nào nhất trong các
giá trị sau?
A. 0 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A
uuur
�
�AC m 2; 2m 5; 2
Ta có �uuur
. Do tam giác ABC vng tại C .
�BC m; 2m 1;0
uuur uuur
� AC.BC 0 � m 2 .m 2m 5 . 2m 1 2.0 0 � m 2 2m 1 0 � m 1 m0 .
Trong các phương án thì m0 1 gần 0 nhất.
Câu 12. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' biết A 1; 1;0 ,
B ' 2;1;3 , C ' 1; 2; 2 , D ' 2;3; 2 . Khi đó tọa độ điểm B là?
A. B 1; 2;3 .
B. B 2; 2;0 .
C. B 2; 2;0 .
Lời giải
D. B 4; 2;6 .
Chọn C
uuuuu
r
uuuuur
Gọi A ' x; y; z � B ' A ' x 2; y 1; z 3 . Ta có C ' D ' 1;1;0 .
A ' B ' C ' D ' là hình bình hành
�x 2 1 �x 1
uuuuu
r uuuuur
uuuur
�
�
� B ' A ' C ' D ' � �y 1 1 � �y 2 � A ' 1; 2;3 � A ' A 0; 3; 3 .
�z 3 0
�z 3
�
�
uuuur
Gọi B a; b; c � B ' B a 2; b 1; c 3 .
a2 0
a2
�
�
uuuur uuuur
�
�
b 1 3 � �
b 2 � B 2; 2;0 .
ABB ' A ' là hình bình hành � B ' B A ' A � �
�
�
c 3 3 �
c0
�
Câu 13. [2H3-2] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' biết A 2; 1; 2
, B ' 1; 2;1 , C 2;3; 2 , D ' 3;0;1 . Khi đó tọa độ điểm B là?
A. B 1; 2; 2 .
B. B 1; 2; 2 .
C. B 2; 2;1 .
Lời giải
Chọn A
Gọi I ; I �lần lượt là tâm của các hình bình hành
ABCD , A����
BCD .
Khi đó I là trung điểm AC � I 0;1;2 .
uur
D � I�
2;1;1 � II �
2;0; 1 .
I �là trung điểm B��
uuur
1 x; 2 y;1 z .
Gọi B x; y; z � BB�
D. B 2; 1; 2 .
B�
C�
I�
A�
D�
C
B
A
I
D
1 x 2
�
�x 1
uuur ur
�
�
B'BII�là hình bình hành � BB ' II' � �2 y 0 � �y 2 � B 1; 2; 2 .
�
1 z 1 �
�
�z 2
Chú ý: Tất cả 6 mặt của hình hộp đều là hình bình hành.
r
r
Câu 14. [2H3-3] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a 1; 1;0 , b 2;1; 1 ,
r
r r r
c m;0; 2m 1 . Khi đó để ba vectơ a, b, c đồng phẳng thì giá trị của tham số thực m bằng bao
nhiêu?
A. m
7
.
3
B. m
1
.
2
C. m
3
.
7
D. m
2
.
7
Lời giải
Chọn C
r r
r r r
� 1;1;3 � �
�
a
,
b
a
.c 7 m 3 .
Ta có �
� �
�, b �
r r r
r r r
3
�
a
.c 0 � 7 m 3 0 � m .
Khi đó ba vectơ a, b, c đồng phẳng � �
�, b �
r 7
r
Câu 15. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a 1; 2; 4 , b x0 ; y0 ; z0 cùng
r
r
r
phương với vectơ a . Biết vectơ b tạo với tia Oy một góc nhọn và b 21 . Khi đó tổng
x0 y0 z0 bằng bao nhiêu?
A. x0 y0 z0 3 .
B. x0 y0 z0 3 .
C. x0 y0 z0 6 .
D. x0 y0 z0 6 .
Lời giải
Chọn
r rB
Do a, b cùng phương
r
r
r
� b ka k ; 2k ; 4k � b 21 � k 2 4k 2 16k 2 21 � k 2 1 � k �1 .
r
Mặt khác b tạo với tia Oy một góc nhọn �
r r
rr
cos b, j 0 � b. j 0 � 2k 0 � k 0 ��
� k 1.
�x0 1
r
�
� b 1; 2; 4 � �y0 2 � x0 y0 z0 3 .
�z 4
�0
Câu 16. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1; 1;0 , B 2;1;1 , C 1;0; 1 ,
D m; m 3;1 . Tìm tất cả các giá trị thực của m để ABCD là một tứ diện.
5
2
A. m � .
B. m � .
C. m ��.
D. m �3 .
2
5
Lời giải
Chọn A
uuur
�AC 1; 2;1
�
uuu
r uuur
�uuur
�
��
AB
�AC 2;1; 1
� , AC � 3; 1;5 .
Ta có �uuur
�AD m 1; m 2;1
uuu
r uuur uuur
�
��
AB
. AD 4m 10.
� , AC �
uuu
r uuur uuur
5
�
AB
. AD �۹
0
m
.
Để ABCD là một tứ diện thì �
� , AC �
2
Câu 17. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cặp mặt phẳng nào sau đây cắt nhau?
A. 1 : x 2 y 3 z 5 0 và 1 : 2 x 4 y 6 z 6 0 .
B. 2 : 2 x y 3 z 2 0 và 2 : 6 x 3 y 9 z 6 0 .
C. 3 : 3 x y 3 z 1 0 và 3 : 6 x 2 y 6 z 2 0 .
D. 4 : 4 x 4 y 8 z 1 0 và 4 : x y 2 z 3 0 .
Lời giải
Chọn C
1 2 3 5
� � 1 / / 1 .
Thử A: ta có
2 4 6 6
2 1 3 2
B: ta có
Thử
2 2 .
6 3 9 6
3 1 3
Thử C: ta có � � 3 , 3 cắt nhau.
6 2 6
Câu 18. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : mx 4 y 8 z 1 0 và
mặt phẳng Q : x ny 4 z 3 0 . Nếu P / / Q thì giá trị của m, n là
1
1
A. m 2 và n 2 .
B. m 2 và n 2 .
C. m và n . D. m 1 và n 4 .
2
2
Lời giải
Chọn B
m2
�
m 4 8
2� �
Ta có P / / Q �
.
m 2
1 n 4
�
x
y 2 z 1
Câu 19. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :
và
1
3
2
�x 1 t
�
d 2 : �y 2 2t . Vị trí tương đối của d1 và d 2 là
�z t
�
A. Song song.
B. Trùng nhau.
C. Cắt nhau.
Lời giải
D. Chéo nhau.
Chọn D
ur uu
r
ur
uu
r
�
�
�
�
u
,
u
u
1;3;
2
u
1;
2;1
�1
�2
� 1 2�
� 1; 1;1
� ��
Ta có �
và �
uuuuuur
�M 1 0; 2;1 �d1
�
�M 2 1; 2;0 �d 2
�M 1M 2 1; 4; 1
ur uu
r uuuuuur
��
u1 , u2 �
.M 1M 2 6 �0 � d1 , d 2 chéo nhau.
�
�
Câu 20. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :
x 1 y 2 z
và
2
1
3
�x at
�
d 2 : �y 1 3t . Khi đó giá trị a và b bằng bao nhiêu để d1 và d 2 song song.
�z 2 bt
�
a
6 và b 9 .
A.
B. Không tồn tại a và b .C. a 6 và b 9 .
D. a 6 và b 9 .
Lời giải
Chọn D
ur
uu
r
Ta có u1 2; 1;3 và u2 a;3; b . Để d1 //d 2 thì:
ur uu
r
�a 6
a 3 b
��
.
+) Điều kiện cần: u1 , u2 cùng phương �
b9
2 1 3
�
+) Điều kiện đủ:
Cách 1:
ur uuuuuur
r
�
�M 1 1; 2;1 �d1 uuuuuur
� 10; 5;5 �0 � d1 //d 2 (thỏa mãn).
� M 1M 2 1;3;1 � �
u
,
M
M
Có �
1
1
2
�
�
�M 2 0;1; 2 �d 2
Suy ra a 6 và b 9 thì d1 //d 2 .
1 6t
�x 6t
�
a 6
�
�
�
thay M 1; 2;0 �d1
� d 2 : �y 1 3t ������
� �2 1 3t (Vô nghiệm). � M �d 2 � d1 / / d 2 .
Cách 2: �
b9
�
�z 2 9t
�
0 2 9t
�
�
Suy ra a 6 và b 9 thì d1 / / d 2 .
Câu 21. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d1 :
x 1 y 3 z
và
a
b
4
x y 1 z 2
. Khi đó giá trị và b bằng bao nhiêu để d1 , d 2 song song?
1
4
2
A. a 2 và b 8.
B. Không tồn tại a, b. C. a 2 và b 8.
D. a 2 và b 8.
Lời Giải:
Chọn B
ur
uur
Ta có u1 (a; b; 4) và u2 (1; 4; 2) . Để d1 //d 2 thì: a
d2 :
ur uu
r
a 2
�
a b 4
2 � �
.
+, Điều kiện cần: u1 , u2 cùng phương �
b 8
1 4 2
�
+, Điều kiện đủ:
uuuuuur
uu
r uuuuuur
r
�M 1 (1;3;0) �d1
� (0;0; 0) 0 d1 d 2
M�
M 2 �( 1; 4; 2) �
u
,
M
M
Cách 1: Ta có �
1
2
1
2
�
�
�M 2 (0; 1; 2) �d 2
Suy ra không tồn tại a, b.
a 2
�
x 1 y 3 z
0 1 1 3 2
� d1 :
. Thay M (0; 1; 2) �d 2 �
(luôn đúng)
Cách 2: Với �
b 8
2
8
4
2
8
4
�
�M� d1 d1 d 2 . Suy ra tồn tại a, b.
Câu 22. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , vị trí tương đối của đường thẳng
x 1 y z 2
với mặt phẳng nào sau đây là song song?
2
1
1
A. (1 ) : x 2 y z 5 0.
B. ( 2 ) : 3 x 5 y z 5 0.
C. ( 3 ) : 2 x 3 y z 2 0.
D. ( 4 ) : 4 x 2 y 2 z 1 0.
Lời Giải:
Chọn C
uur
Ta có M (1;0; 2) � và u (2; 1;1) .
ur
uurur
+) Với (1 ) : x 2 y z 5 0 � n1 (1; 2;1) � u .n1 5 �0 � cắt (1 ) � Loại
A.
uuruu
r
uu
r
�
u .n2 0
� �( 2 ) � Loại
+) Với ( 2 ) : 3 x 5 y z 5 0 � n2 (3;5; 1) � �
B.
�M (1;0; 2) �( 2 )
uu
r uu
r
uu
r
�
u .n3 0
�
� / /( 3 ) � Đáp án C.
+) Với ( 3 ) : 2 x 3 y z 2 0 � n3 (2;3; 1) � �
�M (1;0; 2) �( 3 )
x y 3 z 2
Câu 23. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng :
cắt mặt
2
1
3
phẳng ( P) : x 2 y z 1 0 tại điểm M . Khi đó tọa độ điểm M là?
A. M (0;3; 2).
B. M (2; 2;1).
C. M (1; 2; 6).
D. M (4;1; 4).
Lời Giải:
:
Chọn B
M �(P)
� 2t 2(3 t) 2 3 t 1 0 � t 1 � M(2; 2;1).
Do M � � M (2 t;3 t; 2 3 t) ���
x
y 2 z 1
Câu 24. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng :
và mặt
2
1
3
phẳng ( P ) :11x my nz 16 0 . Biết �( P ) . Khi đó m, n có giá trị bằng bao nhiêu?
A. m 6; n 4.
B. m 4; n 6.
C. m 10; n 4.
D. m 4; n 10.
Lời Giải:
Chọn C
Cách 1: Lấy M (0; 2; 1) � và N ( 2;3; 2) � .
2m n 16 0
m 10
�M �(P)
�
�
��
��
.
Vì �(P) � �
22 3m 2n 16 0
n4
�N �(P)
�
�
Cách 2: Lấy M (0; 2; 1) �.
(P)
�
2m n 16
m 10
�
�
�Mr �
uuu
r
��
��
.
Khi đó �(P) � �uu
22 m 3n 0
n4
u .n(P) 0
�
�
�
�x 1 t
�
Câu 25. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng : �y m 2t và mặt phẳng
�z nt
�
( P) : x y z 2 0 . Biết �( P ) , khi đó m n có giá trị bằng bao nhiêu?
A. m n 0.
B. m n 1.
C. m n 1.
D. m n 3.
Lời Giải:
Chọn A
Cách 1: Lấy M (1; m;0) � và N (0; m 2; n) �
1 m 2 0
m 1
�M �(P)
�
�
��
��
� m n 0 � Đáp án A.
Vì �(P) � �
m 2 ( n) 2 0
�N �(P)
�
�n 1
Cách 2: Lấy M (1; m;0) �
(P)
�
1 m 2 0
m 1
�
�
�Mr �
uuu
r
��
��
� m n 0 � Đáp án A.
Khi đó �(P) � �uu
1.1 (2).1 n .(1) 0
n 1
u .n(P) 0
�
�
�
Oxy ,
Câu 26. [2H3-2]
Trong
không
gian
với
hệ
tọa
độ
cho
mặt
cầu
(S) : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 . Hỏi trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không cắt
mặt cầu?
A. (1 ) : x 2 y 2 z 1 0.
C. ( 3 ) : 2 x y 2 z 4 0.
B. ( 2 ) : 2 x 2 y z 12 0.
D. ( 4 ) : x 2 y 2 z 3 0.
Lời Giải:
Chọn C
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;1) và bán kính R 3 .
1 2.(2) 2.1 1
2 3 R � (1 ) cắt (S).
Thử
A. Ta có d ( I , (1 ))
12 (2) 2 22
2.1 2.(2) 1 12
Thử
B. Ta có d (I, ( 2 ))
Thử
C. Ta có d ( I , ( 3 ))
(S).
12 (2) 2 22
3 R � ( 2 ) tiếp xúc với (S).
2.1 (2) 2.1 4
12 (2)2 22
10
3 R � ( 3 ) không cắt
3
Câu 27. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho mặt cầu ( S ) có tâm I (2; 3;0) tiếp xúc với
mặt phẳng ( P) : 2 x y 2 z 1 0 . Khi đó phương trình mặt cầu ( S ) là?
A. ( x 2) 2 ( y 3) 2 z 2 4.
B. ( x 2) 2 ( y 3) 2 z 2 2.
C. ( x 2) 2 ( y 3) 2 z 2 4.
D. ( x 2) 2 ( y 3) 2 z 2 2.
Lời Giải:
Chọn A
2.2 (3) 2.0 1
2.
Ta có ( P ) tiếp xúc với ( S ) � R d ( I , ( P))
22 (1) 2 2 2
Suy ra ( S ) : ( x 2) 2 ( y 3) 2 z 2 4.
Câu 28. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho mặt cầu ( S ) : x 2 ( y 2) 2 ( z 1)2 169 cắt
mặt phẳng ( P ) : 2 x 2 y z 10 0 theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r . Khi đó giá trị
r bằng bao nhiêu?
A. r 12.
B. r 5.
C.
D. r 7.
Lời Giải:
Chọn A
Mặt cầu (S) có tâm I (0; 2; 1) và bán kính R 13.
Gọi I ' là tâm của đường trịn đường kính r ( I ' là hình chiếu vng góc của I trên (P) )
2.0 2.2 (1) 10
5. Khi đó r R 2 II '2 132 52 12 �
Suy ra: II ' d (I, (P))
2
2
2
2 2 1
Câu 29. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho mặt cầu ( S ) : ( x 2) 2 ( y 1) 2 z 2 4 và mặt
phẳng ( ) : x 2 y 2 z m 0 . Xét các mệnh đề sau:
I) ( ) cắt (S) theo một đường tronfkhi và cbgir khi 10 m 2
II) ( ) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi m 10 hoặc m 2
III) ( ) không cắt (S) khi và chỉ khi m 10 hoặc m 2
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời Giải:
Chọn D
Mặt cầu (S) có tâm I (2; 1;0) và bán kính R 2. Ta có d (I, ( ))
+) ( ) cắt (S) theo một đường tròn � d (I, ( )) R �
D. 3.
22m
12 22 22
m4
3
m4
2 � 10 m 2 � I đúng.
3
m4
2 � m 10 hoặc m 2 � II đúng.
3
m4
+) ( ) không cắt (S) � d(I, ( )) R �
2 � m 10 hoặc m 2 � III đúng.
3
Suy ra có 3 mệnh đề đúng � đáp án
D
Oxy ,
Câu 30. [2H3-3]
Trong
không
gian
với
hệ
tọa
độ
cho
mặt
+) ( ) tiếp xúc với (S) � d (I, ( )) R �
cầu
(S) : x y z 2 x 4 y 2 z 14 0 . Đường thẳng đi qua tâm I của mặt cầu (S) và vng
ghóc với mặt phẳng ( P) : x 3 y 3 z 2 0 . Biết cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B . Đặt
2
2
2
x0 x A xB (với x A, xB là hoành độ của A và B ). Khi đó x0 bằng bao nhiêu?
A. 0.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
Lời Giải:
Chọn D
�x 1 t
uu
r uuu
r
�
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;0). Do (P) � u n(P) (1; 3; 3) � : �y 2 3t .(*)
�z 3t
�
Thay (*) vào phương trình mặt cầu ta được:
(1 t) 2 (2 3 t) 2 (3 t) 2 2(1 t) 4(2 3 t) 14 0
�x 1 1 2
�x A 0
� 19t 2 19 � t �1 � �A
� x0 x A xB 2.
hoặc �
�xB 1 1 0
�xB 2
Câu 31. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đương thẳng d1 :
x
y 1 z
và
2
2
4
�x 1 at
�
d 2 : �y t . Khi đó giá trị a, b và c bằng bao nhiêu để d1 , d 2 trùng nhau?
�z b ct
�
A. a 1 ; b 2 và c 2.
B. a 1 ; b 2 và c 2.
C. a 1 ; b 2 và c 2.
D. a 1 ; b 2 và c 2.
Lời giải
Chọn C
ur
uu
r
�
�
uuuuuur
u
2;
2;
4
u
�1
�2 a; 1; c
� M 1M 2 1; 1; b
Cách 1: Ta có �
;�
�M 1 0;1;0 �d1 �M 1 1;0; b �d 2
ur uu
r
��
u1 , u2 �
��
� 2c 4; 2c 4a; 2 2a
� �ur uuuuuur
�
u , M M � 2b 4; 2b 4;0
�
��1 1 2 �
ur uu
r
a 1
�
��
�
u
,
u
1
2c 4 2c 4 a 2 2 a 0
�
�� 2 � 0
�
��
b 2.
Ta có d1 , d 2 trùng nhau khi và chỉ khi �ur uuuuuur
r ��
2b 4 0
�
� 0
�
u
,
M
M
�
�
1
1
2
c2
�
��
�
�M �d 2 (1)
.
Cách 2: Lấy M 0;1;0 �d1 và N 2; 1; 4 �d1 . Khi đó d1 , d 2 trùng nhau khi �
�N �d 2 (2)
0 1 at
t 1
�
�
�a 1
�
�
(1) � �
1 t
��
a 1
��
*
bc 0
�
�
�
0 b ct
bc 0
�
�
t 1
�2 1 at
�
a 1
�
�
�
(2) � �1 t � �
a 1
��
2*
bc 4
�
�4 b ct
�
bc 4
�
�
Từ (*) và (2*) suy ra a 1 ; b 2 và c 2.
Câu 32. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đương thẳng d1 :
�x 1 bt
�
d 2 : �y ct . Khi đó để d1 , d 2 song song thì điều kiện a, b và c là?
�z 1 2t
�
a
�
0 ; b 2 và c 6.
A.
B. a 0 ; b 2 và c 6.
C. a �0 ; b 2 và c 6.
D. a 0 ; b 2 và c 6.
Lời giải
Chọn A
x
y a z 1
và
1
3
1
ur
uu
r
Ta có u1 1;3;1 và u2 b; c; 2 . Để d1 / / d 2 thì:
ur uu
r
b2
�
b c 2
.
2 � �
+) Điều kiện cần: u1 , u2 cùng phương �
c 6
1 3 1
�
+) Điều kiện đủ:
ur uuuuuur
uuuuuur
�
�M 1 1; a;1 �d1
� a;0; a .
u
� M 1M 2 0; a;0 � �
Cách 1: Ta có �
1 , M 1M 2 �
�
M
1;0;1
�
d
2
� 2
ur uuuuuur
r
�
u
,
M
M
�
0
Để d1 / / d 2 thì �
�1 1 2 � ۹ a 0. Vậy a �0 ; b 2 và c 6.
1 1 0 a 1 1
Cách 2: Chọn M 2 1;0;1 �d 2 . Để d1 / / d 2 thì M 2 �d1 �
vơ nghiệm a �0.
1
3
1
Vậy a �0 ; b 2 và c 6.
x
y 1 z
và
Câu 33. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đương thẳng d1 :
2
3
1
�x 1 3t
�
d 2 : �y 3 t . Khi đó giá trị a bằng bao nhiêu để d1 , d 2 cắt nhau?
�z 2 at
�
A. a 1.
B. a 1.
C. a 2.
D. a 2.
Lời giải
Chọn B
ur uu
r
ur
uu
r
��
�
�
u
,
u
3a 1; 2a 3; 7
u
2;3;1
u
3;
1;
a
�1
�2
��1 2 �
� �uuuuuur�
Cách 1: Ta có �
và �
.
�M 1 0;1;0 �d1
�M 2 1;3; 2 �d 2
M
M
1;
2;
2
�
�1 2
ur uu
r uuuuuur
��
u1 , u2 �
.M 1 M 2 3a 1 2(2a 3) 7.2 7a 7.
�
�
ur uu
r uuuuuur
�
u
,
u
.M 1M 2 0 � 7 a 7 0 � a 1.
Ta có d1 , d 2 cắt nhau � �
1
� 2�
ur uuuuuur uu
r
�
u
,
M
M
.
u
Chú ý: Ở bài tốn này ta cũng có thể cho điều kiện �
1
1
2
�
�2 0
�x 2t '
�
Cách 2: Viết lại d1 : �y 1 3t '. Ta có d1 , d 2 cắt nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm t và t ' :
�z t '
�
�2t ' 1 3t (1)
t ' 1
�
�
(1),(2)
thay (3)
1 3t ' 3 t (2) ���
��
���
� a 1.
�
t
1
�
�
t ' 2 at (3)
�
Câu 34. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đương thẳng d1 :
�x a 3t
�
d 2 : �y t . Khi đó giá để d1 , d 2 chéo nhau thì điều kiện của a là
�z 1 t
�
A. a 13.
B. a 9.
C. a �13.
Lời giải
Chọn C
ur uu
r
ur
uu
r
�
�
�
�
u
,
u
u
2;3;
1
u
3;
1;1
�1
�2
� 1 2�
� 2; 5; 11
� ��
Ta có �
và �
.
uuuuuur
�M 1 2;0; 1 �d1
�M 2 a;0;1 �d 2
M
M
a
2;0;
2
�
�1 2
x 2 y z 1
và
2
3
1
D. a �9.
ur uuuuuur uu
r
�
u
,
M
M
.
u
Để d1 , d 2 chéo nhau thì �
�1 1 2 � 2 2(a 2) 0 11.2 2a 26 �0 ۹ a 13.
Câu 35. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đương thẳng d1 :
x y 1 z 2
và
1
m
3
�x 1 t
�
d 2 : �y 2 3t . Khi đó giá trị m bằng bao nhiêu để d1 , d 2 chéo nhau?
�z 1 2t
�
A. m 7.
B. m �7.
C. m 17.
D. m �17.
Lời giải
Chọn D
ur
uu
r
�
�
uu
r uuuuuur
u
1;
m
;
3
u
�1
�2 1;3; 2 uuuuuur
�
u
M 1M 2 1;1;1 � �
Ta có �
và �
�2 , M 1M 2 � 5; 1; 4 .
M
0;1;
2
�
d
M
1;
2;
1
�
d
�1
� 2
1
2
uu
r uuuuuur ur
u2 , M 1 M 2 �
.u1 5.1 ( 1).m ( 4).( 3) �0 ۹ m 17.
Để d1 , d 2 chéo nhau thì �
�
�
�x 2 t
�
Câu 36. [2H3-2] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , góc tạo bởi đường thẳng d1 : �y 3 t và trục
�z 3
�
hoành là
.
A. 30�
.
B. 45�
.
C. 60�
Lời giải
.
D. 90�
Chọn B
uu
r
r
Ta có ud 1;1;0 và i 1;0;0 là vecto đơn vị của trục hồnh. Gọi là góc tạo bởi đường thẳng d1
uu
rr
ud , i
uu
rr
1.1 1.0 0.0
1
.
r r 2 2
và trục hồnh. Khi đó: cos cos ud , i uu
. � 45�
2
2
ud , i
1 1 0 .1
Câu 37. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
: 3x 4 y 5 z 0. Khi đó góc tạo bởi hai mặt phẳng
.
A. 30�
.
B. 45�
.
C. 60�
Lời giải
: 2 x y z 3 0 và
và bằng
.
D. 90�
Chọn A
uur uur
uur
�
n
u
u
r
u
u
r
n
2;
1;1
2.3 (1).(4) 1.5
.n
�
3
� cos ( ), ( ) cos n , n uur uur
Ta có �uur
.
2
2
2
2
2
2
n . n
n 3; 4;5
2
2 1 1 . 3 4 5
�
� ( ), ( ) 30�
.
Câu 38. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi là góc tạo bởi đường thẳng
x 1 y z 2
và mặt phẳng : x y 2 z 1 0. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
2
1
1
5
1
5
1
A. cos .
B. cos .
C. sin .
D. sin .
6
6
6
6
Lời giải
Chọn A
uur uu
r
uu
r
�
n .ud
ud 2; 1;1
2.1 (1).(1) 1.2
5
�
� sin uur uu
r
.
Ta có �uur
2
2
2
2
2
1
6
n
.
u
n
1;
1;
2
2
1
1
.
1
1
1
�
d
d:
Câu 39. [2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;0 , B 1; 2;3 . Khi đó độ
dài đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu?
A. AB 10.
B. AB 2 2.
C. AB 26.
Lời giải
D. AB 34.
Chọn D
Ta có AB (1 (2)) 2 (2 2) 2 (3 0) 2 34.
Câu 40. [2H3-1] ( Đề minh họa – 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
P : 3x 4 y 2 z 4 0
5
A. d .
9
và điểm A 1; 2;3 . Tính khoảng cách d từ A đến P .
5
5
5
.
B. d .
C. d
D. d
.
29
29
3
Lời giải
Chọn C
Ta có d A,( P)
3.1 4.(2) 2.3 4
32 42 22
5
.
29
Câu 41. [2H3-2]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :
x y 1 z 1
và mặt
1
4
1
phẳng P : 2 x y 2 z 9 0. Khoảng cách giữa và P bằng bao nhiêu?
5
8
A. 1.
B. 2 .
C. .
D. .
3
3
Lời giải
Chọn B
2.0 1 2.1 9
2.
Chọn M 0; 1;1 � . Khi đó d , P d M , P
2
22 1 22
Chú ý: Khi câu hỏi đi tính khoảng cách từ đường thẳng tới P thì đề ln cho // P nên ta có thể
khơng cần kiểm tra điều này hoặc các phương án đưa ra đều tồn tại khoảng cách ( khác 0 ) nên chắc
chắn // P .
Câu 42. [2H3-2]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng song song
P : x 2 y 2 z 13 0 và mặt phẳng Q : x 2 y 2 z 1 0 .
phẳng P và Q bằng bao nhiêu?
A. h 3 .
8
C. h .
3
Lời giải
B. h 4 .
Khoảng cách h giữa hai mặt
D. h
14
.
3
Chọn D
Cách 1: Chọn M 13;0;0 � P , h d P , Q d M , Q
Cách 2: Ta có h d P , Q
13 1
12 2 2
2
2
13 2.0 2.0 1
12 2 2
2
2
14
3 .
14
.
3
Chú ý: Ở cách 2 ta sử dụng công thức sau:
Nếu P : ax by cz d 0 và Q : ax by cz e 0 thì h d P , Q
d e
a 2 b2 c 2
.
Câu 43. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;5; 1 và đường thẳng
x 2 y 1 z
. Khi đó khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng bằng bao nhiêu?
1
2
3
A. h 2 3 .
B. h 3 2 .
C. h 2 17 .
D. h 26 .
Lời giải
Chọn A
uu
r
Cách 1: Ta có u 1; 2; 3 . Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên suy ra
uuuur
H 2 t;1 2t; 3t � � MH 3 t ; 4 2t ;1 3t .
uuuur r
Vì MH .u 0 � 3 t 2 4 2t 3 1 3t 0 � t 1 � H 1;3; 3 .
:
Khi đó h d M , MH 22 22 22 2 3 .
uur uuuu
r
uu
r
uuuu
r
� 10;8; 2 . Khi đó
u
,
MN
Cách 2: Ta có u 1; 2; 3 và N 2;1;0 � � MN 3; 4;1 � �
�
�
uu
r uuuu
r
�
� 10 2 82 22
u
,
MN
�
�
h d M ,
2 3.
uu
r
2
2
2
�
�
u
1
2
3
��
Cách 3: H � � H 2 t ;1 2t ; 3t .
� MH 2 t 3 2 4 3t 1 14t 2 28t 26 14 t 1 12 �12 .
2
2
2
2
Khi đó h d M , MH min 12 2 3 .
�x 1 4t
�
Câu 44. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 : �y 2 t và
�z 3 t
�
2 :
A. 1.
x 2 y 1 z
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 và 2 bằng bao nhiêu?
4
1
1
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn
ur C
uu
r
Do u1 4; 1;1 cùng phương với u2 4;1; 1 và các phương án cho kết quả khác 0 suy ra 1 , 2
song song với nhau.
uu
r uuuu
r
uuuu
r
�M 1; 2; 3 �1
�
�
� 0; 9; 9 .
�
u
,
MN
MN
3;
3;3
Ta có �
, suy ra
�2
�
�N 2; 1;0 � 2
uu
r uuuu
r
�
� 02 9 2 9 2
u
,
MN
2
�
�
3.
uu
r
Khi đó d 1 , 2 d M , 2
2
2
2
�
�
u
4
1
1
2
��
Câu 45. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , khoảng cách h giữa hai đường thẳng
x y 4 z 1
x 1 y 2 z 1
và 2 :
bằng bao nhiêu?
2
1
1
3
1
2
2
2
A. h 3 .
B. h 3 .
C. h
.
D. h .
3
3
Lời giải
Chọn
B
ur
uu
r
Do u1 2; 1; 1 không cùng phương với u2 3; 1; 2 và các kết quả có tồn tại h suy ra 1 , 2
1 :
chéo nhau.
ur uu
r
�
�
�
M
0;
4;1
�
�
M
1;
2;
1
�
u
,
u
1
2
�1
� 2
��1 2 �
� 1;1;1
r
Ta có �ur
và �uu
, suy ra �uuuuuur
.
u1 2; 1; 1
u2 3; 1; 2
�
�
�
M
M
1;
2;
2
�1 2
ur uu
r uuuuuur
�
u1 , u2 �
.M 1M 2 1.1 1. 2 1. 2
�
�
3.
Khi đó h d 1 , 2
ur uu
r
2
2
2
�
�
u
,
u
1
1
1
�1 2 �
Câu 46. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;3 , B 2; 1;1 ,
C 1;1;0 , D 1; 2; 1 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu?
4
6
8
10
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
11
11
11
11
Lời giải
Chọn C
uuu
r uuur
uuu
r
uuur
uuur
�
AB
Ta có AB 1;1; 2 , CD 2;1; 1 , AC 2;3; 3 , suy ra �
� , CD � 1; 3; 1 .Suy ra
uuu
r uuur uuur
�
�
AB
. AC 1. 2 3.3 1. 3
8
� , CD �
d AB, CD
.
uuu
r uuur
2
2
2
�
�
11
AB
,
CD
1
3
1
�
�
Câu 47. [2H3-2]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 0;1;1 , B 1; 2;0 ,
C 2;1; 1 . Diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?
A.
22 .
B. 2 22 .
C.
22
.
2
D.
11
.
2
Lời giải
Chọn A
uuur
2
�
�AB 1; 3; 1 uuu
r uuur
uuu
r uuur
6 2 4 2 6
1
u
u
u
r
Ta có �
�
�
AB, AC �
AB, AC �
22 .
� 6; 4; 6 � S ABC 2 �
�
�AC 2;0; 2 �
2
Câu 48. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A 0; 1;1 , B 2;1;1 ,
C 1;0;0 , D 1;1;1 . Thể tích V của tứ diện ABCD bằng bao nhiêu?
1
1
A. V .
B. V .
C. V 2 .
D. V 1 .
6
3
Lời giải
Chọn D
uuu
r
uuur
uuur
Ta có AB 2; 2;0 , AC 1;1; 1 , AD 1; 2;0 .
uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur 1
� 2;2;0 � V VABCD 1 �
AB
,
AC
AB
, AC �
. AD 2.1 2.2 0 1 .
Suy ra �
�
�
�
6�
6
B C D có A 1;0; 2 ,
Câu 49. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A����
B 1;1; 1 , D 0;1;1 , A�
2; 1;0 . Thể tích V của khối hình hộp ABCD.A����
B C D là
A. V 1 .
B. V 4 .
C. V 5 .
D. V 6 .
Lời giải
Chọn C
uuur
uuur
uuur
3; 1; 2 .
Ta có AD 2;1; 3 , AD 1;1; 1 , AA�
uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur
� 2; 1;1 � V VABCD. A����
�
�
AB
,
AD
AB
. AA� 2.3 1. 1 1. 2 5 .
Suy ra �
BCD
�
�
� , AD �
Câu 50. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S . ABCD có S 1;3; 1 ,
A 1;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0; 4 . Độ dài đường cao của hình chóp S . ABCD bằng
A.
1
.
21
B.
21
.
7
C.
2
.
13
D.
21
.
3
Lời giải
Chọn D
x y z
1 � 4x 2 y z 4 0 .
Cách 1: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ABC :
1 2 4
4.1 2.3 1 4
7
21
Khi đó đường cao của hình chóp S . ABCD : h d S , ABC
.
2
2
2
3
21
4 2 1
uur
uur
uuu
r
uuu
r
uuur
Cách 2: Ta có SA 0; 3;1 , SB 1; 5;1 , SC 1;3; 5 và AB 1; 2;0 , AC 1;0; 4 .
r
uur uur
1 uur uur �uuu
��
� 2; 1; 3
3. �
SA
,
SB
.
SC
SA
,
SB
2.1 1.3 3. 5
�
�
3V
21
��
�
� h S . ABC 6 uuu
Suy ra �uuu
.
r uuur
r
u
u
u
r
2
2
2
1�
S ABC
3
�
� 8; 4; 2
8
4
2
AB
,
AC
�
�
AB, AC �
�
��
2�