Cấu trúc tôpô của tập nghiệm cho một bao hàm thức vi phân dạng impulsive

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Mai

CẤU TRÚC TƠPƠ CỦA TẬP NGHIỆM CHO
MỘT BAO HÀM THỨC VI PHÂN
DẠNG IMPULSIVE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Mai

CẤU TRÚC TƠPƠ CỦA TẬP NGHIỆM CHO
MỘT BAO HÀM THỨC VI PHÂN
DẠNG IMPULSIVE

Chuyên ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ XUÂN TRƯỜNG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2015

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy hướng dẫn của tôi, Tiến sĩ Lê Xuân
Trường – khoa Toán Thống kê – trường Đại học Kinh tế TP. Hồ Chí Minh. Thầy đã
tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt q trình
nghiên cứu. Bên cạnh đó, tơi cũng xin cảm ơn thầy Nguyễn Ngọc Trọng – khoa Giáo
dục Tiểu học – trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Thầy đã nhiệt tình chỉ dạy
cho tơi trong thời gian qua, nhờ vậy mà luận văn được hoàn thành thuận lợi.
Xin cám ơn quý thầy cô trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, những người
đã mang hết tâm huyết để giảng dạy, trang bị cho chúng tôi những kiến thức cơ sở.
Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin và Phòng Sau
Đại học – trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho
tôi trong thời gian học tại trường.
Xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn vì đã dành
thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý và phản biện để tơi hồn thành luận văn này
một cách hoàn chỉnh nhất.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã ln quan tâm và động viên giúp tơi
hồn thành luận văn này.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
TP. Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2015
Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Tuyết Mai


MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG


Tập hợp số tự nhiên {1,2,...}

+

Tập các số thực không âm

P( E )

Họ các tập con khác rỗng của E

Pcl ( E )

Họ các tập con đóng, khác rỗng của E

Pcl ,cv ( E )

Họ các tập con lồi, đóng, khác rỗng của E

Pcp ( E )

Họ các tập con compact, khác rỗng của E

Pcp ,cv ( E )

Họ các tập con lồi, compact, khác rỗng của E

A

Bao đóng của tập A

conv( A)

Bao lồi của tập A

conv( A)

Bao lồi đóng của tập A

B

Tích Descartes của tập A và B

∏ Xα

Tích Descartes của họ {X α }α∈I

(X, ⋅ )

Không gian Banach X với chuẩn ⋅

⋅

Chuẩn trên không gian Banach X

α ∈I

X

C ([a, b], E )

Không gian các hàm liên tục c :[a, b] → E

PC ([a, b], E )

Không gian các hàm liên tục từng khúc c :[a, b] → E với chuẩn
=
c PC sup { c(t ) :t ∈ [a,b]}

 ([ − τ ,0], E )

Không gian các hàm liên tục từng khúc c :[ − τ ,0] → E với chuẩn
c

= ∫−t c(t ) dt
0




f : X → Y, f

A

Ánh xạ thu hẹp của ánh xạ f trên tập A ⊂ X

L1 ([a, b], X )

Khơng gian các hàm khả tích Bochner trên [a, b]

L1loc ([0,∞), X )

Khơng gian các hàm khả tích Bochner trên các tập con compact của

[0, ∞)

{X α , Π αβ , Σ}

Hệ ngược

limX
 α

Giới hạn của hệ ngược {X α , Π αβ , Σ}

id X : X → X

Ánh xạ đồng nhất

Br ( x)

Quả cầu mở tâm x bán kính r

Supp(f)

Giá của ánh xạ f

h.k.n

Hầu khắp nơi



Kết thúc chứng minh

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................................... 5
1.1.

Giải tích đa trị ....................................................................................................5

1.2.

Độ đo phi compact .............................................................................................7

1.3.

Các không gian hàm...........................................................................................8

1.4.

Tập Rδ .............................................................................................................10

1.5.

Giới hạn ngược.................................................................................................12

1.6.

Phân hoạch đơn vị Lipschitz địa phương .........................................................13

Chương 2. CẤU TRÚC TÔPÔ CỦA TẬP NGHIỆM TRÊN KHOẢNG
COMPACT ............................................................................................... 15
2.1. Giới thiệu bài toán và kết quả ............................................................................15
2.2. Chứng minh ........................................................................................................18
Chương 3. CẤU TRÚC TÔPÔ CỦA TẬP NGHIỆM TRÊN KHOẢNG
KHÔNG COMPACT .............................................................................. 34
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 44


1

PHẦN MỞ ĐẦU
Các định lý nổi tiếng như Brouwer, Schauder và Lipschitz đưa ra sự tồn tại điểm
bất động cho các lớp ánh xạ đơn và đa trị. Tuy nhiên phần lớn các kết quả này khơng
đảm bảo tính duy nhất của điểm bất động. Do đó hướng nghiên cứu đặc trưng tơpơ của
tập các điểm bất động được hình thành. Điều này cũng kéo theo một loạt các kết quả
liên quan đến cấu trúc tập nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân. Đó là lý
do khi nghiên cứu các bao hàm thức vi phân, ngoài việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm,
cấu trúc tôpô cho tập nghiệm cũng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
Việc nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của phương trình có lịch sử lâu đời và thú
vị. Kneser là người đầu tiên đã chứng minh rằng tập nghiệm của bài tốn Cauchy cho
phương trình vi phân trên khơng gian hữu hạn chiều là continuum (compact, liên thông
và khác rỗng). Sau đó Hukuhara đã phát triển kết quả này cho trường hợp không gian
nền là không gian Banach vô hạn chiều. Hơn nữa, Aronszajn còn chỉ ra rằng tập
nghiệm của bài toán Cauchy là một Rδ - tập. Điều này khơng chỉ dẫn đến tính
continuum mà cịn dẫn đến tính acyclic, nghĩa là theo quan điểm tơpơ đại số phương
trình có duy nhất nghiệm. Kết quả tương tự cho bao hàm thức vi phân upperCarathéodory cũng đã được giải quyết bởi De Blasi và Myjak.
Năm 1987, B. Ricceri [22] chứng minh rằng nếu X là tập con lồi đóng khác rỗng
của không gian Banach E và ϕ : E → P ( E ) , với P ( E ) là tập các tập con khác rỗng

của E, là ánh xạ co đa trị với giá trị lồi đóng thì tập điểm bất động Fix (ϕ ) là co rút
tuyệt đối. Các kết quả tổng quát nhất cho toán tử co đa trị đã được chứng minh trong
[15] và [16].
Những cố gắng tổng quát các kết quả trên cho trường hợp khơng gian Fréchet
vấp phải các khó khăn do cấu trúc tôpô của không gian mà cụ thể là việc kiểm tra tính
chất co của ánh xạ. Một ánh xạ là co theo từng nửa nhóm với cùng hằng số co vẫn có


2

thể không là co theo metric của không gian. Trong [13] các tác giả đã giới thiệu một kĩ
thuật giúp chúng ta vượt qua những trở ngại này bằng cách sử dụng giới hạn ngược
của không gian tôpô kết hợp với kết quả về cấu trúc tôpô cho tập điểm bất động của
ánh xạ giới hạn cảm sinh bởi các ánh xạ của hệ ngược. Phương pháp này, sau đó, cũng
đã được phát triển trong [1, 2].
Mục đích của luận văn là trình bày chi tiết hơn những kết quả của bài báo [14].
Nội dung chính của bài báo là nghiên cứu cấu trúc tôpô cho tập các nghiệm mild của
một lớp bài toán Cauchy cho bao hàm thức vi phânnửa tuyến tính dạng impulsive với
đối số lệch trên khoảng không compact. Dưới đây chúng tôi giới thiệu nội dung và một
số vấn đề liên quan đến bài toán được nghiên cứu.
Bài toán
Cho τ > 0 cố định, x là một hàm liên tục từng khúc trên đoạn [−𝜏, 0] và nhận giá

trị trong không gian Banach khả ly E. Ta nghiên cứu cấu trúc tôpô của tập nghiệm của
bài toán sau đây

 y′(t ) ∈ A(t ) y (t ) + F (t , yt ), h.k.n t ∈ [0, ∞), t ≠ t k , k ∈ ,

y (t ) x(t ), t ∈ [-t ,0],
=

 y (t + ) =
y (t k ) + I k ( ytk ), k ∈ ,
 k

(1)

trong đó


{ A(t )}t∈[0,∞ )

là họ các tốn tử tuyến tính trên E, sinh ra một tốn tử tiến hóa;

 F là ánh xạ đa trị thỏa điều kiện upper-Carathéodory;
 yt (θ=
) y (t + θ ), θ ∈ [−t ,0] ;
 I k là các hàm impulsive, k ∈  ;
 y (t + ) = lim+ y ( s ) ;
s →t

 (t k ) k∈ là dãy thời gian tăng, khơng có điểm tụ.
Phương trình vi phân dạng impulsive được nghiên cứu đầu tiên bởi Milman và
Myshkis [20]. Các phương trình và bao hàm thức vi phân loại này có nhiều ứng dụng


3

trong sinh học, kinh tế học, y học, vật lý học và những lĩnh vực khác. Nói chung,
những phương trình (hoặc bao hàm thức) vi phân dạng impulsive thường mô tả các
hiện tượng có trạng thái thay đổi đột ngột. Một trong những ví dụ điển hình là sự

chuyển động của quả bóng đàn hồi nảy thẳng đứng trên một bề mặt. Tác động đẩy xuất
hiện tại các thời điểm quả bóng chạm bề mặt và nhanh chóng thay đổi vận tốc.
Gần đây việc nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của các bao hàm thức vi phân dạng
impulsive được sự quan tâm rộng rãi của nhiều nhà toán học. Đối với một số cơng
trình về bài tốn vi phân dạng impulsive, liên quan đến các khía cạnh mà luận văn
trình bày, chúng ta có thể tham khảo [7], [9], [10], [11], [21].
Bài toán (1) đã được nghiên cứu trong [7]. Ở đó, các tác giả đã thu được kết quả
liên quan đến sự tồn tại nghiệm. Trong luận văn này, chúng tơi sẽ trình bày và chứng
minh rằng tập nghiệm của bài toán này là compact và hơn nữa là một Rδ - tập. Và do
đó nó sẽ có tính chất Hukuhara-Kneser (compact liên thơng khác rỗng) và acyclic.
Ngồi phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm có ba chương.
Chương 1 dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cần thiết, được sử
dụng trong luận văn. Các kiến thức này bao gồm: Giải tích đa trị, Giới hạn ngược,
Tôpô đại số, Các không gian hàm, v.v.
Nội dung chính của luận văn nằm ở chương 2 và chương 3. Trong chương 2, bài
toán trên khoảng compact được xem xét. Với một số giả thiết, chúng tôi chứng minh
rằng tập hợp nghiệm của bài toán tương ứng là Rδ .Chương 3 dành cho việc nghiên
cứu bài toán trên khoảng khơng compact, cụ thể là tính Rδ của tập nghiệm được
chứng minh trên nửa đường thẳng, và do đó kéo theo tính compact của tập nghiệm.
Chúng ta cũng lưu ý rằng, những kết quả chính được trình bày trong luận văn này
là hoàn thiện hơn kết quả của [7, Định lí 4.2], trong đó chỉ thu được sự tồn tại nghiệm
của bài tốn. Ngồi ra, những chứng minh ở đây là ngắn gọn hơn và cho thấy hiệu quả
của việc sử dụng kỹ thuật giới hạn ngược. Một điểm đáng lưu ý nữa là, trong [10], tập
nghiệm của bài toán dạng impulsive trên khoảng compact là một Rδ - tập nếu F là ánh


4

xạ đa trị σ-Ca-selectionable và A(t ) = A sinh ra một C0 - nửa nhóm. Tuy nhiên, tính
chất σ-Ca-selectionable có thể khơng đúng trên khơng gian vơ hạn chiều. Vì vậy, trong

luận văn, chúng tơi sử dụng những giả thiết khác để tránh các trở ngại trong việc
chứng minh tính R δ trên các khoảng compact. Cuối cùng, trong Định lí 3.2 ta đã kết
hợp cấu trúc tơpơ của tập nghiệm trên các khoảng compact với phương pháp giới hạn
ngược để thu được tính R δ trên nửa đường thẳng. Bằng cách này, chúng tôi đã phát
triển những kết quả gần đây trong [11], ở đó cấu trúc R δ cho tập nghiệm của bao hàm
thức vi phân dạng impulsive trên nửa đường thẳng chỉ được phát biểu trong trường
hợp hữu hạn chiều, khi đó tính compact trở nên dễ kiểm tra hơn và bài tốn cũng
khơng có đối số lệch.


5

Chương 1.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Giải tích đa trị
Cho X, Y là các khơng gian vectơ tơpơ. Ta kí hiệu:


P(Y) là họ các tập con khác rỗng của Y,



P cl (Y) = {A∈P(Y): A đóng},



P cl,cv (Y) = {A ∈P(Y): A đóng và lồi},



P cp (Y) = {A ∈P(Y): Acompact},



P cp,cv (Y) = {A∈P(Y): Acompact và lồi}.

Các tính chất liên tục của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.1.1. Cho X và Y là hai không gian tôpô. Ánh xạ đa trị F : X → P (Y )
được gọi là
 nửa liên tục trên nếu F −1 (V )=:

{ x ∈ X : F ( x) ⊂ V }

là tập con mở của X với mỗi

tập mở V ⊂ Y .
 nửa liên tục dưới nếu F+−1 (V )=:

{ x ∈ X : F ( x) ∩ V ≠ ∅}

là tập con mở của X,

với mỗi tập mở V ⊂ Y .
 liên tục nếu F nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Định lí 1.1.2. [4, Bổ đề 1.4.13] Cho X, Y là hai không gian mêtric. Giả sử ánh xạ đa
trị
G : X → Pcp (Y )

là nữa liên tục trên. Khi đó, với mỗi x0 ∈ X , ta có

{

}

G ( x0 ) =
lim sup G ( x ) :=
y ∈ Y : lim inf d ( y, G ( x ) ) =
0 .
x → x0

x → x0


6

Ánh xạ đa trị đo được
Định nghĩa 1.1.3. Cho ( X , ⋅ ) là một không gian Banach thực, Ω ⊂  d là tập mở. Ta
ký hiệu ℑ là σ -đại số các tập đo được Lebesgue trên Ω . Hàm đa trị F : Ω → P ( X )

được gọi là hàm bậc thang nếu tồn tại

• dãy {𝐴𝑛 } ⊂ ℑ, với 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ với mọi i, j,

• dãy {M n } ⊂ P ( X ) ,

sao cho F = ∑1An M n , với 1A là hàm đặc trưng của tập A.
n

Định nghĩa 1.1.4. Cho I ⊂  là một khoảng compact, µ là độ đo Lebesgue trên I và
X là một không gian Banach. Ánh xạ đa trị F : I → Pcp ( X ) được gọi là:
 đo được nếu F −1 (V ) là đo được với mọi tập con mở V ⊂ X .
 đo được yếu nếu F −1 (V ) là đo được với mọi tập con đóng V ⊂ X .
 đo được mạnh nếu tồn tại dãy {Fn }∞n =1 các hàm đa trị bậc thang sao cho

d H ( Fn (t ), F (t )) → 0 khi n → ∞ với h.k.n t ∈ I .
Nếu X là một khơng gian Banach thì ta kí hiệu L1 ([a, b],X ) và L1loc ([0, ∞), X ) lần
lượt là không gian các hàm khả tích Bochner trên [a, b] và trên các tập con compact
của [0,∞), một cách tương ứng. Ngồi ra, khi 𝑋 ≡ ℝ thì ta sẽ kí hiệu L1 ([a, b]) thay
cho L1 ([a, b], ) .

Mệnh đề 1.1.5. Giả sử F : I → Pcp ( X ) là hàm đa trị đo được mạnh và bị chặn khả
tích, nghĩa là tồn tại α ∈ L1 ( I ) sao cho
F (t ) := max { y : y ∈ F (t )} ≤ a (t ) , h.k.n t ∈ I .

Khi đó F có hàm chọn f ∈ L1 ( I , E ) , tức là f (t ) ∈ F (t ) với h.k.n t ∈ I .
Định nghĩa 1.1.6. Ta nói họ Λ ⊂ Λ1 ( I , X ) là bị chặn khả tích nếu hàm đa trị

V : I → P( X )


7

được xác định bởi V (t ) = {v(t ) : v ∈ Λ} là bị chặn khả tích.
Từ Mệnh đề 4.2.1 trong [19] ta có kết quả sau
Định lí 1.1.7. Cho X là một không gian Banach và Λ ⊂ Λ1 ([a, b], X ) là bị chặn khả
tích. Giả sử các tập V(t) là compact tương đối trong X, với h.k.n t ∈ [a, b] . Khi đó Λ
là compact yếu trong L1 ([a, b], X ) .
Khoảng cách Hausdorff

Giả sử (X,d) là khơng gian mêtric.Ta kí hiệu BC(X) là họ các tập con đóng, bị
chặn, khác rỗng của X. Khi đó, với A, B ∈ BC ( X ) , đặt
d H ( A, B ) = inf { > 0 : A ⊂ O ( B ) và B ⊂ O ( A)} ,

với O ( A=
)

{ x ∈ X : d (x, A)<} . Hàm

d H : BC ( X ) × BC ( X ) →  + là một mêtric trên

BC(X). Ta gọi mêtric này là mêtric Hausdorff. Ta cũng lưu ý rằng

{

}

d H ( A, B ) = max sup d(a, B),sup d(b, A) .
a∈A

b∈B

Cuối cùng, ta có kết quả sau liên quan đến giới hạn của một dãy tập.
Định lí 1.1.8. [4, Bổ đề 1.1.9] Cho K là một tập con compact của không gian Banach
khả ly. Giả sử ( K n ) n∈ ⊂ K là một dãy các tập con của K. Ta có đẳng thức sau

(

)



conv lim sup K n =  conv   K n  ,
n →∞
m >0
 n≥ m 
∞
 ∞

trong đó lim sup K n =    K m  .
n →∞
n 1=
=
m n


1.2. Độ đo phi compact
Định nghĩa 1.2.1. Cho E là không gian Banach và B(E) là họ các tập con bị chặn của
E. Khi đó hàm β : B ( E ) →  + định bởi:

β ( A ) = inf{ r > 0 : A được phủ bởi hữu hạn quả cầu bán kính r},


8

được gọi là độ đo phi compact Hausdorff.
Nhận xét 1.2.2. Độ đo phi compact β có các tính chất sau:


β ( A) = 0 nếu và chỉ nếu A compact,



A ⊂ B ⇒ β ( A) ≤ β ( B),



β ( A + B) ≤ β ( A) + β ( B),

=
β (λ A) λ β ( A), λ ∈ ,


β ( A ∪ B) =
max{β ( A), β ( B)} ,



β ( conv( A) ) = β ( A) .

Định nghĩa 1.2.3. Hàm α : B ( E ) →  + được gọi là:
 đơn điệu nếu A, B ∈ B ( E ), A ⊂ B ⇒ α ( A) ≤ α ( B ) .
 không kì dị nếu α ({c} ∪ A ) =
α ( A) , với mỗi c ∈ E , A ∈ B( E ) .
 thực nếu  + sắp thứ tự tự nhiên và α ( A) < ∞ với mọi tập bị chặn A.
 chính qui nếu α ( A)= 0 ⇔ A compact tương đối.
Mệnh đề 1.2.4. [19] Độ đo phi compact Hausdorff là một hàm thực, chính qui, đơn
điệu và khơng kì dị.

1.3. Các khơng gian hàm

Khơng gian pha
Ta xét không gian  ([ − τ ,0], E ) gồm các hàm liên tục từng khúc 𝑐: [−𝜏, 0] → 𝐸

với hữu hạn điểm gián đoạn t* ≠ 0 sao cho các giá trị

(ti ) c=
(t*− ) lim− c(t* + h )
=
c(t*+ ) lim+ c(t* + h) và c=
h →0

là hữu hạn. Trên không gian này ta sẽ sử dụng chuẩn c

h →0

= ∫−t c(t ) dt .
0




9

Các không gian pha loại này đã được xét trong [6, 21]. Ta lưu ý rằng nếu xét
không gian  ([ − τ ,0], E ) với chuẩn max thìánh xạ t ∈ [0, ∞) → yt không liên tục, và
hơn nữa, nó có thể khơng đo được (xem [17, Ví dụ 3.1]).
Khơng gian các hàm liên tục từng khúc với chuẩn max
 Ta kí hiệu PC ([a, b], E ) là không gian các hàm liên tục từng khúc 𝑐 ∶ [−𝜏, 0] → 𝐸
với hữu hạn điểm gián đoạn t* sao cho các giá trị

=
c(t*+ ) lim+ c(t* + h) và lim− c(t* + h) =
c(t*− )
h →0

h →0

là hữu hạn. Không gian PC ([a, b], E ) là một không gian Banach với chuẩn
=
c PC sup { c(t ) : t ∈ [a, b]} .

Ngồi ra, khơng gian các hàm liên tục trên [a,b], C ([a, b], E ) là khơng gian con đóng
của nó.
 Kí hiệu PC ([a, ∞), E ) là không gian các hàm liên tục từng khúc c:[a,∞)→E với vô
hạn điểm gián đoạn t1 , t 2 , sao cho
 lim t n = +∞ ,
n →∞

 Với mọi i∈ {1, 2, 3, …}, các giá trị c(ti− ), c(ti+ ) là hữu hạn và c(ti− ) = c(ti ) .
Không gian PC ([a, ∞), E ) là không gian Fréchet với họ nửa chuẩn {p n } cho bởi

pn (c) = c |[0,tn ]

PC

và liên kết với mêtric

1 pn (c1 − c2 )
.
n

n =1 2 1 + p n (c1 − c2 )
∞

d (c1 , c2 ) = ∑

 Tiêu chuẩn compact trong không gian PC ([0, t m ], E )
Với mỗi z ∈ PC ([0, t m ], E ) , ta ký hiệu z i (i = 1, 2, …, m – 1) là hàm liên tục trên
đoạn [t i , t i+1 ] được xác định bởi


10

 z (t ), t ∈ (ti , ti +1 ],
zi (t ) =  +
 z (ti ), t = ti .
Với mỗi tập K ⊂ PC ([0, t m ], E ) , ta kí hiệu K i := {zi : z ∈ K }, i =
1, 2,..., m − 1 .
Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.3.1. Một tập K là compact tương đối trong PC ([0, t m ], E ) nếu và chỉ
nếumỗi tập
=
K i , i 1, 2,..., m − 1 là compact tương đối trong không gian các hàm liên
tục, C ([ti , ti +1 ], E ) , với chuẩn max .
 Với mỗi z ∈ PC ([0, t m ], E ) , hoặc z ∈ PC ([0, ∞), E ) , sao cho z ( 0 ) = x ( 0 ) ta định
nghĩa hàm z[x] :[ − t , t m ] → E bởi

 x(t ), t ∈ [−t ,0],
z[x] = 
 z (t ), t ∈ [0, t m ],
ở đây x :[ − τ ,0] → E là hàm pha được xác định từ điều kiện ban đầu trong (1). Chú ý

rằng hàm s ∈ [0, t m ]  z[x]s ∈  ([ − t ,0], E ) là liên tục.
Ta sẽ kí hiệu Ω[x] = { z[x]:z ∈ Ω} .

1.4. Tập Rδ
Cho X, Y là hai không gian tôpô.
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử A là một tập con của X.
i)

A được gọi là co rút của X nếu tồn tại một hàm liên tục r : X → A , sao cho

r ( x) = x , với mỗi x ∈ A .
ii) A được gọi là co rút lân cận của X nếu tồn tại tập con mở U ⊂ X sao cho

A ⊂ U và A là co rút của U.
Định nghĩa 1.4.2.
i)

Một đơn ánh liên tục h : X → Y sao cho h(X) là tập con đóng của Y được gọi là
phép nhúng.


11

ii) Ta nói X là co rút tuyệt đối nếu và chỉ nếu với mọi không gian tôpô Y và phép
nhúng h : X → Y , tập h(X) là co rút của Y. Khi đó ta kí hiệu X ∈ AR .
iii) Ta nói X là co rút lân cận tuyệt đối nếu và chỉ nếu với mọi không gian tôpô Y và
phép nhúng h : X → Y , tập h(X) là co rút lân cận của Y. Khi đó ta kí hiệu

X ∈ ANR .
iv) Tập con của A của X được gọi là co rút lân cận tuyệt đối nếu A là co rút trong

mỗi lân cận của Y ∈ ANR mà A được nhúng.
v) A gọi là co rút được nếu tồn tại ánh xạ liên tục h : A × [ 0,1] → A và x0 ∈ A sao
cho h ( x,0=
) x, h ( x,1=) x0 , ∀x ∈ A .
Định nghĩa 1.4.3. Một không gian compact khác rỗng được gọi là Rδ nếu tồn tại một
dãy giảm {An } các tập compact co rút tuyệt đối sao cho:

A =  An .
n ≥1

Mệnh đề 1.4.4. Giao tùy ý của dãy giảm các Rδ -tập là Rδ .
Chú ý: Tập Rδ là compact liên thông khác rỗng. Hệ thống bao hàm sau đúng cho các
tập con khác rỗng của một không gian metric:
Compact + lồi ⊂ compact AR ⊂ compact co rút được ⊂ Rδ ⊂ continuum
Tính chất sau của các Rδ -tập được phát triển từ định lí của Hyman [18] đã được
chỉ ra bởi D. Bothe và có thể tìm thấy trong [8].
Định lí 1.4.5. Cho X là khơng gian metric đầy đủ, β là độ đo phi compact Hausdorff
trong X và ∅ ≠ A ⊂ X . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i)

A là Rδ ,

(ii) A là giao của một dãy giảm {An } các không gian đóng co rút được thỏa mãn

β ( An ) → 0 ,
(iii) A là compact và co rút lân cận tuyệt đối.


12

1.5. Giới hạn ngược
Định nghĩa 1.5.1. Cho ∑ là tập định hướng được sắp thứ tự bởi quan hệ ≤ và X α là
không gian tôpô Hausdorff với mỗi α ∈ ∑ . Họ {X α , π αβ , Σ} được gọi là hệ ngược nếu
(i) π αβ : X β → X α là ánh xạ liên tục với mọi α , β ∈ ∑ thỏa α ≤ β .
(ii) Với mỗi α , β , γ ∈ ∑ thỏa mãn α ≤ β ≤ γ thì π αα = id X α và π αβ π βγ = π αγ .
Định nghĩa 1.5.2. Cho hệ ngược {X α , π αβ , Σ} . Giới hạn của hệ ngược {X α , π αβ , Σ} ,
được ký hiệu bởi lim
 X α , là một không gian con của tích Descartes

X α và được xác
∏
α
∈∑

định như sau



β
lim
 X α := ( xα ) ∈ ∏ X α : π α ( xβ )= xα , ∀α ≤ β  .
α ∈∑


Chú ý: Nếu X α là các không gian metric và một tập A đẳng cự với lim
 X α thì ta đồng
nhất A và lim
 X α .
và S ′ {Yα ′ , π αβ′′ , ∑′} . Một ánh xạ
Định nghĩa 1.5.3. Xét hai hệ ngược

=
S { X α , π αβ , ∑}=
đa trị từ hệ ngược S vào hệ ngược 𝑆′ là một họ {σ ,ϕσ (α ′) } bao gồm

(a) một hàm đơn điệu σ : ∑′ → ∑ , tức là nếu α ′ ≤ β ′ thì σ (α ′) ≤ σ ( β ′) ,

(b) các ánh xạ đa trị ϕσ (α ′) : X σ (α ′) → P (Yα ′ ) xác định với mọi α ′ ∈ ∑′ và thỏa

π αβ′′ϕσ ( β ′) = ϕσ (α ′)π σσ ((αβ′′)) , với mỗi α ′ ≤ β ′ .
Ta lưu ý rằng mỗi ánh xạ đa trị {σ , ϕσ (α ′) } từ hệ ngược S vào hệ ngược 𝑆′ sẽ cảm sinh
ánh xạ giới hạn ϕ : lim
 X α → P(lim
Yα ′ ) được xác định như sau

=
ϕ ( x)

∏ ϕσ α

α ′∈∑′

( ′)

( xσ (α ′) ) ∩ lim
Yα ′ .

Nói cách khác, ánh xạ giới hạn là ánh xạ thỏa

π α ′ϕ = ϕσ (α ′)π σ (α ′) , với mỗi α ′ ∈ ∑′ .

13

Trong đó π α : lim
 X α → X α là thu hẹp của phép chiếu pα : ∏ X α → X α .
α ∈∑

Dưới đây là một số tính chất hữu ích của giới hạn ngược.
Mệnh đề 1.5.4. [12] Giả sử {X α , π αβ , ∑ } là hệ ngược. Nếu với mỗi α ∈ ∑, X α là
compact và khác rỗng thì lim
 X α là compact và khác rỗng.
Mệnh đề 1.5.5. [13] Giả sử {X n , p np , }} là hệ ngược. Nếu với mỗi n ∈ , X n là Rδ thì

lim
 X n cũng là Rδ .
Định lí 1.5.6 [1] Cho hệ ngược {X α , π αβ , ∑ } và ϕ : lim
 X α → P (lim
 X α ) là ánh xạ giới
hạn cảm sinh bởi ánh xạ {id , ϕα } , với ϕα : X α → P ( X α ) . Khi đó tập các điểm bất
động của ϕ là giới hạn của hệ ngược sinh bởi tập Fix(ϕα ) . Đặc biệt, nếu tập

Fix(ϕα ) là compact acyclic (tương ứng Rδ ) thì tập các điểm bất động của ϕ là
compact acyclic (tướng ứng Rδ ).

1.6. Phân hoạch đơn vị Lipschitz địa phương
Các khái niệm và kết quả trong mục này được trích dẫn từ [3].
Cho X là một khơng gian tôpô. Một họ { Ai }i∈I gồm các tập con của X, sao cho
X =  Ai được gọi là một phủ của X. Nếu Ai là mở với mọi i ∈ I thì ta nói họ { Ai }i∈I
i

là phủ mở của X.
Định nghĩa 1.6.1. Cho hai phủ

{ Ai }i∈I

{ Ai }i∈I và {Bi }i∈J

của không gian tôpô X. Ta nói

là một lọc của { Bi }i∈J nếu với mọi i ∈ I , tồn tại j ∈ J sao cho Ai ⊂ B j .

Định nghĩa 1.6.2. Cho { Ai }i∈I là một phủ của X. Nếu { Ai }i∈J , với J ⊂ I , cũng là một
phủ của X thì ta nói nó là phủ con của { Ai }i∈I .


14

Định nghĩa 1.6.3. Cho { Ai }i∈I là một phủ của X. Ta nói { Ai }i∈I là hữu hạn địa phương
nếu với mọi x ∈ X , tồn tại một lân cận V của x sao cho {i ∈ I : V  Ai ≠ ∅} là hữu hạn.
Định nghĩa 1.6.4. Một không gian tôpô Hausdorff được gọi là paracompact nếu mọi
phủ mở đều có lọc mở hữu hạn địa phương.
Mệnh đề 1.6.5. Mọi không gian metric là paracompact.
Định nghĩa 1.6.6. Cho ( X , d ) là không gian metric. Ánh xạ f : A ⊂ X → X gọi là
Lipzchitz địa phương nếu với mọi x0 ∈ A, ∃M > 0, δ 0 > 0 sao cho
d ( x, x0 ) < d 0 ⇒ d ( f ( x ) , f ( x0 ) ) ≤ Md ( x, x0 ) .

Định nghĩa 1.6.7. Họ ánh xạ {ψ i }i∈I được gọi là một phân hoạch đơn vị Lipschitz địa
phương của không gian metric X nếu với mọi i ∈ I ta có:
a) ψ i là Lipschitz địa phương và không âm,
b)

{supp(ψ i )}i∈I

là phủ hữu hạn địa phương đóng của X,

c) Với mọi x ∈ X , ∑ψ i ( x ) =
1.
i∈I

Định nghĩa 1.6.8. Họ ánh xạ {ψ i }i∈I được gọi là tương thích với { Ai }i∈I nếu

supp(ψ i ) ⊂ Ai với mỗi i ∈ I .
Mệnh đề 1.6.9. Cho X là một không gian metric và một phủ mở hữu hạn địa phương

{ Ai }i∈I

của X. Khi đó tồn tại một phân hoạch đơn vị Lipschitz địa phương tương thích

với { Ai }i∈I .


15

Chương 2.

CẤU TRÚC TÔPÔ CỦA TẬP NGHIỆM
TRÊN KHOẢNG COMPACT

2.1. Giới thiệu bài toán và kết quả
Lấy t m cố định. Trong chương này chúng ta nghiên cứu tính chất tơpơ của tập

nghiệm của bài toán sau đây

 y′(t ) ∈ A(t ) y (t ) + F (t , yt ), k.h.n t ∈ [0, t m ], t ≠ t k , k < m,

y (t ) x(t ), t ∈ [-t ,0],
=
 y (t + ) =
y (t k ) + I k ( ytk ), k < m.
 k

(2.1)

Bài toán này đã được nghiên cứu trong [7]. Ở đó các tác giả đã chứng minh rằng tập
S m gồm tất cả các nghiệm mild của (2.1) là khác rỗng và compact. Mục tiêu của chúng
ta là thu được tính chất sâu sắc hơn cho tập S m . Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh rằng
S m là một R δ -tập.
Với mục đích như vậy, trước hết ta xác định các giả thiết trên A và trên ánh xạ đa
trị F. Lưu ý rằng, nếu a > 0 , các ký hiệu sau sẽ được sử dụng

∆a =
{(t , s ) ∈ [ 0, a ] × [ 0, a ] : s ≤ t ≤ a} và Δ𝑚 = Δ𝑡𝑚 .

Giả thiết đối với 𝐴(𝑡)

(A) m Giả sử A(t ) : D( A) ⊂ E → E , t ∈ [0, t m ] là một họ các tốn tử tuyến tính khơng
bị chặn trên E với miền D( A) là tập con trù mật của E và khơng phụ thuộc vào
t. Ngồi ra A(t) sinh ra tốn tử tiến hóa T : ∆ m → L ( E ) , nghĩa là T thỏa các điều
kiện sau

16

(i)

T (t , r )T (r , s ) = T (t , s ) , với 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ t m ,

(ii)

T ( t , t ) = Id với t ∈ [0, t m ] ,

(iii)

( t , s )  T ( t ,s )

liên tục mạnh trên ∆ tm , nghĩa là ánh xạ

( t , s )  T ( t ,s ) x
liên tục trên ∆ tm với mỗi x ∈ E .
Giả thiết về ánh xạ đa trị 𝐹 (∙,∙)

Giả sử F :[0, t m ] ×  ([ − t ,0], E ) → Pcp ,cv ( E ) thỏa các điều kiện sau

(F1) m

F (⋅, c) có hàm chọn đo được mạnh với mọi c ∈  ([ − τ ,0], E ) ,

(F2) m

F (t , ⋅) nửa liên tục trên h.k.n t ∈ [0, t m ] ,

(F3) m

F (t , ⋅) tăng trưởng dưới tuyến tính với h.k.n t ∈ [0, t m ] , nghĩa là tồn tại hàm

α ∈ L1 ([0, t m ]) sao cho
F (t , c) ≤ α (t )(1 + c  ) h.k.n t ∈ [0, t m ] ,

(F4) m Tồn tại hàm m ∈ L1 ([0, t m ]) sao cho, với mỗi 𝜀 > 0và mỗi tập bị chặn

D ⊂  ([ − τ ,0], E ) , tồn tại 𝛿 > 0 sao cho

β ( F ( t , Oδ ( D ) ) ) ≤ µ (t ) sup β ( Oε ( D(θ ) ) )
−t ≤θ ≤ 0

với h.k.n t ∈ [0, t m ] , trong đó 𝑂𝛿 (𝐷) là một δ lân cận của D, được xác định bởi
𝑂𝛿 (𝐷): = {𝑧 ∈ 𝐶 ([−𝜏, 0], 𝐸 ) ∶ dist(𝑧, 𝐷 ) < 𝛿 },

và D(θ ) = {c(θ ) : c ∈ D} .

Ta lưu ý rằng nếu điều kiện (F4) m được thỏa mãn thì ta suy ra điều kiện (𝐹4 )′𝑚 dưới
đây cũng thỏa

(𝐹4 )′𝑚 Tồn tại hàm m ∈ L1 ([0, t m ]) sao cho

β ( F (t , D)) ≤ µ (t ) sup β ( D(θ )) h.k.n t ∈ [0, t m ]
−t ≤θ ≤ 0

và với mỗi tập bị chặn D ⊂  ([ − τ ,0], E ) .

17

Thật vậy, với mỗi tập bị chặn D ⊂  ([ − τ ,0], E ) và mỗi 𝜀 > 0, ta lấy 𝛿 > 0 sao

cho với h.k.n 𝑡 ∈ [0, 𝑡𝑚 ],

β ( F ( t , D ) ) ≤ β ( F ( t , Oδ ( D ) ) ) ≤ µ (t ) sup β ( Oε ( D(θ ) ) ) .
−t ≤θ ≤ 0

Do 𝜀 tùy ý nên ta suy ra điều kiện (𝐹4 )′𝑚 thỏa mãn.

Để thuận lợi cho việc trình bày kết quả chính của chương, chúng ta sẽ nêu ở đây

khái niệm nghiệm mild của bài toán (2.1).
Định nghĩa 2.1.1. Một hàm liên tục từng khúc y :[ − t , t m ] → E được gọi là nghiệm
mild của bài toán Cauchy (2.1) nếu tồn tại f ∈ L1 ([0, t m ], E ) sao cho f ( s ) ∈ F ( s, y s )
h.k.n s ∈ [0, t m ] và thỏa các điều kiện sau
(a) y (t ) =
T (t ,0) x(0) +

∑ T (t , t

0
t

k ) I k ( yt k ) + ∫ T (t , s ) f ( s ) ds , t ∈ [0, t m ] ,
0

y (t ) x(t ), t ∈ [−t ,0] ,

(b) =
(c) y (t k+ ) =
y (t k ) + I k ( ytk ), k < m .
Kết quả chính của chương này được cho trong định lý sau. Chứng minh của nó sẽ
được chỉ ra trong mục tiếp theo.
Định lí 2.1.2. Cho E là khơng gian Banach. Giả sử rằng Athỏa giả thiết (A) m và ánh
xạ đa trị F thỏa các điều kiện (F1) m -(F4) m . Ngoài ra, giả sử các ánh xạ

I k :  ([−τ ,0], E ) → E , k ∈  ,
liên tục và tồn tại các hằng số rk > 0 sao cho,
m

(I1)

∑r
k =1

k

<

1
, với Bm = sup T (t , s )
Bm
( t , s )∈∆ m

L (E)

, và

(I2) β ( I k ( D)) ≤ rk sup β ( D(θ )) , với mỗi tập bị chặn D ⊂  ([−τ ,0], E ) .
θ ∈[ −τ ,0]

Khi đó tập nghiệm S m của (2.1) là Rδ trong không gian PC ([0, t m ], E )[x] .


18

2.2. Chứng minh
Trước hết ta lưu ý rằng vì tốn tử tiến hóa T là liên tục mạnh trên tập compact ∆ m
nên rõ ràng ta có Bm < ∞ . Chứng minh Định lí 2.1.2 cần đến các bổ đề sau
Bổ đề 2.2.1. Với mỗi k ≥ 1, nghiệm của bài toán Cauchy sau đây

 y′(t ) ∈ A(t ) y (t ) + F (t , yt ), h.k.n t ∈ [0, t k ],

y (t ) x(t ), t ∈ [−t ,0],
=
 y (t + ) =
y (ti ) + I i ( yti ), i < k ,
 i

(2.2)

bị chặn điểm bởi hằng số 𝐾𝑘 . Hơn nữa, ta có 𝐾𝑘 ≥ 𝐾𝑘−1 với mọi k ≥ 2.
Chứng minh

• Trong trường hợp k = 1, ta xét bài toán Cauchy sau đây

 y′(t ) ∈ A(t ) y (t ) + F (t , yt ), h.k.n t ∈ [0, t1 ],


y (t ) x(t ), t ∈ [−t ,0].
=

(2.3)

Trong [7], các tác giả đã chỉ ra rằngtập nghiệm của bài toán (2.3) là compact khác rỗng
và do đó bị chặn bởi hằng số K1 ≥ 0 nào đó.
•

Với k = 2, giả sử z(t) là một nghiệm mild của bài toán

 y′(t ) ∈ A(t ) y (t ) + F (t , yt ), h.k.n t ∈ [0, t 2 ],

y (t ) x(t ), t ∈ [−t ,0],
=
 y (=
+
 t1 ) y (t1 ) + I1 ( yt1 ),

(2.4)

và z1(t) là hạn chế của z(t) trên khoảng [−τ, t 1 ]. Rõ ràng z1(t) là nghiệm của bài toán
(2.3) nên bị chặn bởi 𝐾1 . Do đó, ta chỉ cần chứng minh rằng z(t) bị chặn bởi K 2 trên
khoảng [t 1 ,t 2 ]. Dễ thấy rằng z(t) cũng là nghiệm của bài toán Cauchy sau đây

 y′(t ) ∈ A(t ) y (t ) + F (t , yt ), h.k.n t ∈ [t1 , t 2 ],

y (t ) z1 (t ), t ∈ [−t , t1 ],
=
 +

(t1 ) z1 (t1 ) + I1 ( zt11 ).
 y=

(2.5)


19

Nghiệm mild của (2.5) có dạng:
t

y (t ) =T (t , t1 ) z1 (t1 ) + T (t , t1 ) I1 ( zt11 ) + ∫ T (t , s ) f ( s )ds , t ∈ [t1 , t 2 ] ,
t1

với f ∈ L1 ([t1 , t 2 ], E ) , f ( s ) ∈ F ( s, y s ), h.k.n s ∈ [t1 , t 2 ] .
Đánh giá nghiệm y(t):
t

y (t ) ≤ Bm z1 (t1 ) + Bm I1 ( zt11 ) + Bm ∫ f ( s ) ds
t1

(

t

≤ Bm ( K1 + R ) + Bm ∫ α ( s ) 1 + y s
t1

≤ Bm ( K1 + R + α



t

1

L [ t1 ,t 2

với R là cận trên đúng của

) ds

) + Bm ∫ α ( s )
]
t1

(∫

)

0

y s (θ ) dθ ds ,

−t

{ I ( z ) : z là nghiệm của bài toán (2.3) trên [−t ,t ]} . Ở
1

t1

1

đây ta lưu ý rằng R tồn tại vì tập nghiệm của (2.3) là compact và hàm I 1 liên tục.
Do đó, với t ∈ [t1 , t 2 ] ta suy ra
t

y (t ) ≤ M 2 + Bm ∫ α ( s )
t1

(∫

0

−t

)

y s (θ ) dθ ds

t

≤ M 2 + Bm ∫ α ( s )t ⋅ sup y s (θ ) ds
t1

−t ≤θ ≤ 0

t

≤ M 2 + Bm ∫ α ( s )t ⋅ sup y ( s + θ ) ds

t1

−t ≤θ ≤ 0

t

≤ M 2 + Bm ∫ α ( s )t ⋅ sup y (θ ) ds
t1

s −t ≤θ ≤ s

t

≤ M 2 + Bm ∫ α ( s )t ⋅ sup y (θ ) ds
t1

trong đó M 2 ≥ Bm ( K1 + R + α

−t ≤θ ≤ s

L1 [ t1 ,t 2 ]

) + K1 .

Vì vế phải trong bất đẳng thức cuối cùng ở trên là một hàm tăng theo biến thời
gian t nên ta có các đánh giá tương tự cho mọi r ∈ ( t1 , t ] . Điều này suy ra
t

sup y (r ) ≤ M 2 + t Bm ∫ α ( s ) sup y (s ) ds .

t1 < r ≤t

t1

−ts
≤ ≤s