Xây dựng hàm tử tor trong phạm trù các môđun trên vành chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TRẦN VĂN XUÂN

XÂY DỰNG HÀM TỬ TOR
TRONG PHẠM TRÙ CÁC MƠĐUN
TRÊN VÀNH CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

TP. HCM-2003



LỜI CẢM TẠ
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở Trường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Đại
học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tơi trong q trình học tập.
Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn thầy Tiến sĩ Trần Huyên, Người đã trực tiếp ra đề tài và hướng
dẫn tơi trong suốt q trình hồn thành luận văn này.

3


LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TP. HCM

THẦY HƯỚNG DẪN: TS. TRẦN HUYÊN

THẦY PHẢN BIỆN 1: TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG

THẦY PHẢN BIỆN 2: PGS. TS. MỴ VINH QUANG

NGƯỜI THỰC HIỆN: TRẦN VĂN XUÂN

LUẬN VĂN ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN TRƯỜNG ĐẠI HỌC
SƯ PHẠM TP.HCM

4


MỤC LỤC

LỜI CẢM TẠ .................................................................................................................... 3
MỤC LỤC ......................................................................................................................... 5
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................................................ 8
CHƯƠNG 1: XÂY DỰNG HÀM TỬ TOR BANG PHƯƠNG PHÁP PHÂN
HOẠCH CẮC DÃY NỬA KHỚP ................................................................................. 14
1.1. Nhóm Abel Tor n (G, C) .................................................................................................... 14
1.1.1. Định nghĩa : .............................................................................................................. 14
1.1.2. Quan hệ toàn đẳng trên Tor n (G,C): ......................................................................... 14
1.1.3. Định lý: ..................................................................................................................... 15
1.1.4. Ánh xạ cảm sinh: ...................................................................................................... 15
1.1.5. Tổng trực tiếp của hai phần tử thuộc Tor n (G,C) ..................................................... 16
1.1.6. Phép cộng trên Tor n (G,C): ....................................................................................... 17
1.1.7. Tính chất kết hợp của phép cộng: ............................................................................ 17
1.1.8. Tính chất giao hốn của phép cộng: ........................................................................ 18
1.1.9. Phần tử không: ......................................................................................................... 18
1.1.10. Phần tử đôi: ............................................................................................................ 19
1.1.12. Định lý: ................................................................................................................... 19
1.2. Một số trường hợp đặc biệt ............................................................................................. 20
1.2.1.Định lý: ...................................................................................................................... 20

1.2.2. Định lý: ..................................................................................................................... 21
1.2.3. Định lý: ..................................................................................................................... 25
1.3. Các hàm tử Tor n ............................................................................................................. 26
5


1.3.1. Định lý : .................................................................................................................... 26
1.3.2. Hàm tử Tor n .............................................................................................................. 27
1.3.3. Tor n là hàm tử cộng tính .......................................................................................... 27
1.3.4. Định lý: ..................................................................................................................... 28
1.3.5.Hệ quả: ...................................................................................................................... 28
1.4. Hai dãy khớp đối với Tor n .............................................................................................. 29
1.4.1. Tích của các phần tử thuộc Tor n với dãy khớp ngắn. .............................................. 29
1.4.2. Định lý: ..................................................................................................................... 29
1.4.3. Định lý: ..................................................................................................................... 35
1.4.4. Định lý: ..................................................................................................................... 42

CHƯƠNG 2: CÁC HÀM TỬ TOR ĐỐI VỚI MƠ ĐUN TRÊN VÀNH CHÍNH .... 44
2.1. Hệ sinh của Tor (G, C): .................................................................................................. 44
2.1.1. Định lý : .................................................................................................................... 45
2.1.2. Hệ quả: ..................................................................................................................... 56
2.2. Tor của các mô đun hữu hạn sinh:................................................................................ 57
2.2.1.Định lý: ...................................................................................................................... 57
2.2.2. Định lý: ..................................................................................................................... 57
2.2.3. Định lý: ..................................................................................................................... 57
2.2.4. Định lý: ..................................................................................................................... 58
2.2.5. Hệ quả: ..................................................................................................................... 59
2.2.6. Định lý: ..................................................................................................................... 59
2.2.7. Định lý :Tor(𝑹𝑹/R,A) ≅ A t .......................................................................................... 62
2.3. Vài nhận xét. ................................................................................................................... 64

2.3.1. Dạng đặc biệt của hai dãy khớp đối với Tor :.......................................................... 64
6


2.3.2. Ví dụ: ........................................................................................................................ 67

SÁCH THAM KHẢO .................................................................................................... 70

7


KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mục này nhắc lại các khái niệm và kết quả về lý thuyết mô đun, việc chứng minh chúng
có thể tìm thấy ở các sách tham khảo sẽ được chỉ ra ở trang sau cùng. Đối với các khái niệm
mô đun, mô đun tự do, mô đun xạ ảnh, đồng cấu mô đun, tổng trực tiếp các mô đun, dãy khớp,
hàm tử Hôm, hàm tử Ten xơ ... chúng ta xem như đã biết. Ở đây chỉ nêu một số kết quả sẽ được
sử dụng nhiều lần khi triển khai đề tài.
1. Mô đun đối ngẫu:
Cho R - môđun trái A, ký hiệu A* = Hom R (A,R),trên A* ta xác định các phép toán :
∀f,g ∈ A*, ∀a ∈ A.

(f + g)(a) = f(a) + g(a),

∀ £ A*, ∀r ∈ R, ∀a ∈ A.

(fr)(a) = f(a)r,

Thế thì A* trở thành R-mơđun phải và gọi là mơđun đối ngẫu của môđun A. Tương tự, đối
ngẫu của R - môđun phải A lại là R - môđun trái A* .

2. Mệnh đề:
(A ⊕ B)* ≅ A* ⊕ B*
3. Mệnh đề:
Nếu L là mô đun xạ ảnh hữu hạn sinh thì
a. L* cũng là mơđun xạ ảnh hữu hạn sinh.
b. (L*)* = L** ≅ L
c. Đặc biệt: Nếu F là môđun tự do hữu hạn sinh với một cơ sở {ei }i =i ,n thì F* là mơđun tự
do hữu hạn sinh với cơ sở {e }i=1-n
i

với ei(e j ) =

1 nếu i = j
0 nếu i ≠ j

8


4. Mệnh đề:
Cho f:—>Y là đồng cấu giữa các R-mô đun phải tự do hữu hạn sinh , nếu {e
cơ sở của X , {ε j } j = 1, m là một cơ sở của Y và nếu f(e i ) =

i

}

i=1-n

là một

m

∑ ε r , i = 1, n
j =1

j ji

Thì trên các mơ đun đối ngẫu ta có f* : Y*-> X* sao cho =
f * (e j )

m

r e ,j
∑=
i

j =1

ji

1, m

Phát biểu tương tự cho R-mô đun trái.
5. Phức hợp : Cho R là vành có đơn vị. Một phức hợp dây chuyền K các R -môđun là họ
{K n , ∂ n } n∈Z gồm các R - môđun và các R - đồng cấu ∂ n : K n —» K n-1 sao cho ∂ n .∂ n+1 = 0. Như
vậy phức hợp (hay phức) K là dãy vô tận về hai đầu
K : ... <— K -2 <— K -1 <— K 0 <-...sao cho tích hai đồng cấu liên tiếp bằng khơng. Điều
kiện ∂ n .∂ n+1 = 0 có nghĩa là Im∂ n+1 ⊂ Ker∂ n .
Một phức là dương nếu K n = 0 khi n < 0
Một phức độ dài n là phức K 0 <— K 1 <—....<— K n .

6. Biến đổi dây chuyền : Cho hai phức K và K', biến đổi dây chuyền f : K —» K' là họ
đồng cấu {f n : K n —> K’ n } n⊂Z sao cho ∂' n f n = f n-1 ∂ n , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

(Sau này để đơn giản sẽ không viết chỉ s n ở các đồng cấu).
7. Đồng luân dây chuyền : Cho f, g : K —> K' là hai bđdc, thế thì f & g được gọi là
đồng luân dây chuyền nếu tồn tại một họ đồng cấu : s = {S n : K n —» K' n+1 } n∈Z , sao cho:
f n - g n =∂’ n+1 ,S n + S n-1 ∂ n .
8. Phức trên một mô đun :
𝜕𝜕=0

𝜕𝜕=0

Cho một mơ đun A, thế thì ta có phức tầm thường …0 �⎯� 𝐴𝐴 �⎯� 0 ← ⋯
9


Phức K trên môđun A là phức dương K cùng với bđdc ε : K → A, thực chất chỉ là đồng
cấu ε : K 0 → A để ε∂ = 0 , ký hiệu :
ε
ε
∂
A ←
 K : A ←
 K 0 ←
 K1 ← ...

9. Phức đối ngẫu : Cho phức K, thế thì phức đối ngẫu của phức K là
δ

δ

δ

K* = Hom (K, R) : ... → K * -2 → K* -1 → K*0 → ...
Trong đó K* n =Hom(K n ,R) và δ n = (-l)n+l δ*n+1

10. Phép giải xạ ảnh :
ε
Cho phức X trên mô đun A : ←
 : A ← A ← X 0 ← X 1 ← ...

Nếu dãy này trở thành một dãy khớp thì X được gọi là một phép giải của môđun A, nếu
X i , i ≥ 0, đều là các mơđun xạ ảnh thì X gọi là phép giải xạ ảnh của A.
11. Mệnh đề: Mỗi mô đun đều tồn tại một phép giải xạ ảnh.
12. Mệnh đề : (định lí so sánh)Nếu γ : A → A' là một đồng cấu và ε : X → A là phức xạ
ảnh trên A và ε’ : X' → A' là phép giải của A' thì tồn tại biến đổi dây chuyền f : X -> X' sao cho
ε’f 0 = γε, hơn nữa hai bđdc như thế thì đồng luân, f được gọi là bđdc treo trên γ.
13. Mở rộng mô đun : Giả sử A, C là các R mô đun, một mở rộng A nhờ C là một dãy
khớp ngắn E:0 → A → B → C → 0
14. Cấu xạ giữa các mở rộng : cấu xạ  : E → E' của các mở rộng là bộ ba  = (α, β, γ)
sao cho biểu đồ sau giao hoán :
E: 0 → A → B → C → 0
↓

↓α ↓β

↓γ

E':0 → A' → B' → C →0
Nếu A = A’, C = C’ thì E' lại trở thành một mở rộng của A nhờ C, khi đó hai mở rộng

của A nhờ C được gọi là tồn đẳng, kí hiệu E = E' nếu tồn tại cấu xạ(l A , β, l C ):E →E’
15. Mệnh đề: Quan hệ toàn đẳng giữa các mở rộng là một quan hệ tương đương.

10


Từ đó ta gọi Ext R (C,A) hay đơn giản hơn Ext(C,A) là tập hợp tất cả các lớp toàn đẳng của
các mở rộng A nhờ C, mỗi lớp như thế sẽ được kí hiệu là : ClsE∈Ext(C,A) với E là một mở
rộng hay đơn giản hơn E∈Ext(C,A)
16. Mở rộng chẻ : là mở rộng có dạng A >→A ⊕ C→>C
17. Đồng cấu cảm sinh :
Cho đồng cấu γ : C’ → C và mở rộng E∈Ext(C,A) thế thì tồn tại mở rộng E'=γ*(E), E'
được ký hiệu là Eγ được xác định theo biểu đồ giao hoán :
E: 0 → A → B’ → C’ → 0
↓

↓

↓

↓

E':0 → A → B → C →0
18. Mệnh đề : Nếu E là mở rộng A nhờ C, γ : C → C’ là đồng cấu thì tồn tại mở rộng E'
của A nhờ C’, và cấu xạ Γ = (l A , β, γ) : E' → E . Cặp (Γ, E') được xác định duy nhất chính xác
tới một tồn đẳng của E'.
19. Mệnh đề: Ta có các tồn đẳng El C = E; E(γγ’) = (Eγ)γ’.
20. Mệnh đề: Với mỗi E∈Ext(C,A) và α : A → A' thế thì tồn tại mở rộng
E' : A' >→0 →> C và cấu xạ Γ = (α,β,l C ) : E → E'. Cặp (Γ,E') được xác định duy nhất
chính xác tới một toàn đẳng của E'. Ta viết E' = α * (E) = αE.

21. Mệnh đề: Ta có các tồn đẳng 1 A E ≡ E, (αα’) E ≡ α(α’E)
22. Mệnh đề : Với mọi cấu xạ mở rộng Γ=(α,β,γ):E → E' ta có tồn đẳng αE = E'γ.
23. Phép cộng các mở rộng : Trước hết ta đưa ra vài khái niệm :
Đồng cấu chéo của môđun C là ∆ C : C → C ⊕ C;

c  (c,c)

Đồng cấu đối chéo hay đồng cấu tổng của môđun A là ∇ A : A⊕A → A.
(a 1 , a 2 )l  a 1 + a 2 .

11


Các đồng cấu ∆ và ∇ giúp ta viết lại tổng f+g giữa các đồng cấu f,g : C → A như sau :
f + g = ∇ A (f⊕g)∆ C .
Bây giờ nếu đã cho hai mở rộng: E i = (χ i .σ i ) : O → A → B i → C → O, i = 1,2
Thế thì tổng trực tiếp của hai mở rộng là :
E 1⊕ E 2 : 0 → A⊕A → B 1 ⊕B 2 → C⊕C → 0 Nó cho phép ta định nghĩa phép cộng hai mở
rộng E 1 và E 2 là :
E 1 + E 2 = ∇ A (E 1 ⊕E 2 )∆ C và gọi là phép cộng Berơ.
24. Mệnh đề : Đối với các mô đun A và C cho trước, tập hợp các lớp toàn đẳng của các
mở rộng A nhờ C là một nhóm aben với phép tốn hai ngơi cho tương ứng các lớp toàn đẳng
của các mở rộng E 1 và E 2 với lớp toàn đẳng của mở rộng E 1 + E 2 = ∇ A (E 1 ⊕E 2 )∆ C . Lớp toàn
đẳng của mở rộng O → A → A⊕C → O là phần tử không của nhóm này, phần tử đối của mở
rộng E là (-1 A )E.
25. Mơ đun trên vành chính :
Trong mục này ta nêu một số tính chất của mơ đun trên vành chính R.
1) Mệnh đề : Nếu F là môđun tự do và G là mô đun con của F thì G cũng là mơ đun tự do
và rank(G) ≤ rank(F).
2) Mệnh đề : Mọi mô đun con của mô đun hữu hạn sinh đều là mô đun hữu hạn sinh.

3) Mệnh đề : Nếu M là mô đun tự do hữu hạn sinh có hạng n và N là mơ đun con của M
thì: i) N là tự do và rank(N) = q ≤ n.
ii) Tồn tại một cơ sở {e 1 ,…,e n } của M và những phần tử khác không α 1 ,..., α q ∈ R sao
cho {(α 1 e 1 ,..., α q e q } là một cơ sở của N.
4) Mệnh đề : Mỗi mô đun hữu hạn sinh G đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp hữu hạn:
n
⊕
i) G ≅
(R/α i R), α i ∈ R .
i=1

m
ii) G ≅ ⊕ M i với M i ≅ R hoặc M i ≅ R/ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑅𝑅, p i là phần tử bất khả qui của R.
i=1
12


5) Mệnh đề: Một mô đun là tự do khi và chỉ khi nó là xạ ảnh.
6) Mệnh đề: Cho X, Y là các mô đun, Y tự do, f : X → Y là đồng cấu, thế thì X ≅
Kerf⊕X' và f'=f| x’ : X' → Y là một đơn cấu .
7) Mệnh đề: Cho mô đun A, a ∈ A. Đặt 0(a) = {r ∈ R ra = 0} thế thì
i) 0(a) là một iđêan của R.
ii) A t ={a∈A0(a) ≠ 0} là một môđun con của A.
iii) ∀a∈A có đẳng cấu R/0(a) ≅ Ra ≅ {rar∈R}.
8) Định nghĩa: A t được gọi là mô đun con xoắn của A và a ∈ A t được gọi là phần tử
xoắn của A. Nếu A t = A thì A được gọi là mô đun xoắn, nếu A t = 0 thì A được gọi là mơ đun
khơng xoắn.
Vì 0(a) là một Iđêan của R nên 0(a) cùng là Iđêan chính : 0(a) = <α>, khi đó α được gọi
là cấp (hay bậc) của a.
Như vậy α là cấp của a ⇔ αa =0

Nếu βa = 0 thì β = αα' với α'∈R
Cấp của a là duy nhất sai khác một nhân tử khả nghịch.
9) Mệnh đề: A là mô đun xoắn, p∈R là phần tử bất khả quy, đặt A(p) = {a∈A, a có bậc là
một lũy thừa của p}. Thế thì :
i) A(p) là một mơ đun con của A.
ii) A≅⊕A(p i )với ∀p i bất khả quy ∈R. Nếu A hữu hạn sinh thì tổng trên hữu
hạn.

13


CHƯƠNG 1: XÂY DỰNG HÀM TỬ TOR BANG PHƯƠNG PHÁP
PHÂN HOẠCH CẮC DÃY NỬA KHỚP

1.1. Nhóm Abel Torn(G, C)
1.1.1. Định nghĩa :
Cho n ≥ 0, với các môđun G R , R C. Ta gọi 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛𝑅𝑅 (G,C) là tập tất cả các bộ ba (m,L,ν), trong

đó m : L → G, ν: L* → C là các biến đổi dây chuyền, L là phức xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n,
L* là phức đối ngẫu của L.
Trong nhiều trường hợp, khi không cần thiết nhấn mạnh vành hệ tử R thì 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛𝑅𝑅 (G,C) chỉ

ký hiệu đơn giản là Torn (G,C), cịn Tor1 (G,C) là Tor(G.C).
1.1.2. Quan hệ tồn đẳng trên Torn(G,C):

Cho ρ :L → L' là biến đổi dây chuyền giữa hai phức xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n là
L : L 0 ← L 1 ←...← L n và L': L' 0 ← L' 1 ←...← L' n
Giả sử (m,L,ν) ∈Tor(G,C) thế thì m: L → G là bđdc.
Nếu m=m’ρ 0 với m':L' → G là bđdc thì ta định nghĩa (m' ρ 0 ,L,ν) = (m',L',νρ n *) và gọi là đó
là đồng nhất thức trượt trên Tor n (G,C). Để đơn giản ta thường viết đồng nhất thức trên dưới

dạng (m'ρ,L,ν) = (m’,L', νρ*).
Quan hệ toàn đẳng trên Tor n (G,C) là quan hệ tương đương bé nhất bảo tồn đồng nhất
thức trượt nói trên, nghĩa là phần tử teTor n (G,C) được gọi là toàn đẳng với t'∈Tor n (G,C) nếu t'
được suy ra từ t sau một số hữu hạn bước thực hiện các đồng nhất thức trượt (ở đây biến đổi
dây chuyền ρ có thể từ L → L' hay L' → L).
Tuy Tor n được xây dựng dựa trên phức xạ ảnh hưu hạn sinh L, nó vẫn có thể được xây
dựng dựa trên phức tự do hữu hạn sinh F.

14


1.1.3. Định lý:
Mỗi phần tử của Tor n (G,C) có dạng (m,F,ν) với m : F → G, ν: F* → C, F là phức tự do
hữu hạn sinh độ dài n.
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh Tor n được định nghĩa dựa vào phức các môđun tự so hữu
hạn sinh thì trùng với Tor n được định nghĩa dựa vào phức các môđun xạ ảnh hữu hạn sinh.
Thật vậy , để phân biệt ta ký hiệu Torf n (G,C) là Tor n được định nghĩa dựa vào phức tự do
hữu hạn sinh.Vì mỗi mơđun tự do hữu hạn sinh cũng là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh nên mỗi
phần tử của Torf n (G,C) cũng là một phần tử của Tor n (G,C).
Ngược lại lấy phần tử bất kỳ (m,L,ν)∈Tor(G,C), khi đó :
L : L 0 ← L 1 ←...←L n là phức các môđun xạ ảnh hữu hạn sinh, nhưng mỗi môđun xạ ảnh
hữu hạn sinh lại là hạng tử trực tiếp của một môđun tự do hữu hạn sinh nên ta có biểu diễn :
F k = L k⊕ M k , k=0,...,n với F k tự do.
Ta xây dựng đồng cấu :
∂⊕0 : L k ⊕M k → L k-1⊕ M k-1 .
Trong đó : ∂ : L k → L k-1 , và 0 : M k → M k-1 , được phức
𝜕𝜕⨁0

F : F 0 �⎯�F 1 ←…←F n

Còn phép nhúng i k : L k → F k cho ta biến đổi dây chuyền i : L → K và phép chiếu
π k : F k → L k cho ta biến đổi dây chuyền π : F → L.
Vì trên mỗi thành phần ta có π=i k = 1 ⇒ πi = 1 ⇒ i*π* = (πi)* = 1*=1.
Theo qui tắc trượt ta có :

(m,L,ν) = (m,L,νi*π*) = (mm,F,νi*).

Nhưng mπ:F → G,νi* :F* → C là các biến đối dây chuyển nên (mπ,F,νi*)∈Torf n (G,C) và
hiển nhiên (mπ,F,νi*) = (m,L,ν)∈Tor n (G,C)
1.1.4. Ánh xạ cảm sinh:
Cho η : G → G' là đồng cấu môđun, ta định nghĩa:

15


η * : Tor n (G,C) → Tor n (G',C)
(m,L,ν) ,ν)\→ (ηm,L,ν)
Thì η * xác định hợp lý vì từ m: L → G là bđdc ⇒ ηm: L → G' cũng là bđdc, do đó
(ηm,L,ν)∈Tor n (G',C). Hơn nữa nếu có (m'ρ,L,ν) = (m',L',νρ*) thế thì η * (m'ρ,L,ν) = (η(m'ρ),L,ν)
=((ηm')ρ,L,ν) =(ηm',L',νρ*) =η * (m',L',νρ*) nghĩa là η * bảo toàn đồng nhất thức trượt.
Hoàn toàn tương tự nếu γ :C → C là đồng cấu thì ta có ánh xạ
γ*:Tor n (G,C) → Tor n (G,C')
(m,L,ν) ⟼ (m,L, γν)

Các ánh xạ η * , γ * được gọi là ánh xạ cảm sinh từ η,γ.
1.1.5. Tổng trực tiếp của hai phần tử thuộc Torn(G,C)
Cho t 1 = (m 1 ,L1,ν 1 ), t 2 = (m 2 ,L2,ν 2 )∈Tor n (G,C) thế thì :
m 1 :L1 → G, ν 1 :L1* → C
m 2 :L2 → G, ν 2 :L2* → C
là các biến đổi dây chuyền, cho ta :

m 1 ⊕m 2 : L1⊕L2 → G⊕G
ν 1 ⊕ν 2 : L1*⊕L2*≅(L1⊕L2)* → C⊕C
cũng là các bđdc, do đó :
(m 1 ⊕m 2 , L1⊕L2, ν1⊕ν2)∈Tor n (G⊕G, C⊕C)
và nó được gọi là tổng trực tiếp của hai phần tử t 1 , t 2 ký hiệu : t 1 ⊕t 2 .
Tổng trực tiếp của hai phần tử bảo toàn đồng nhất thức trượt.
Thật vậy , giả sử :

(m 1 ’ρ 1 ,L1,ν 1 ) = (m 1 ’, L1’, ν 1 ρ 1 *)
(m 2 ’ρ 2 ,L2,ν 2 ) = (m 2 ’, L2’, ν 2 ρ 2 *)

Thế thì ρ 1 : L1→ L1’, ρ 2 : L2→ L2’ là các bđdc cho ta ρ 1 ⊕ρ 2 : L1⊕L2 → L1’⊕L2’ là bđdc
nên ta có :
16


(m 1 ’ρ 1 ,L1,ν 1 )⊕(m 2 ’ρ 2 ,L2,ν 2 ) = (m 1 ’ρ 1 ⊕m 2 ’ρ 2 ,L1⊕L2,ν1⊕ν2)
= ((m 1 ’⊕m 2 ’).(ρ 1 ⊕ρ 2 ),L1⊕L2,ν1⊕ν2)
= (m 1 ’⊕m 2 ’,L1’⊕L2’,(ν1⊕ν2))(ρ 1 ⊕ρ 2 )*)
= (m 1 ’⊕m 2 ’,L1’⊕L2’,(ν1⊕ν2))(ρ 1 ⊕ρ 2 )*))
= (m 1 ’⊕m 2 ’,L1’⊕L2’,(ν 1 ρ 1 *)⊕ν 2 ρ 2 *))
= (m 1 ’,L1’,ν 1 ρ 1 *)⊕(m 2 ’,L2’ν 2 ρ 2 *)
1.1.6. Phép cộng trên Torn(G,C):
Với t 1 , t 2 được xác định như trên ta định nghĩa :
T 1 +t 2 =(∇ G ) *(∇ C ) * (t 1 ⊕t 2 ) = (∇ G (m 1 ⊕m 2 ), L1⊕L2, ∇ C (ν 1 ⊕ν 2 )).
Định nghĩa này hợp lý vì:
∇ G (m 1 ⊕m 2 ) : L1⊕L2 → G. ∇ G (ν 1 ⊕ν 2 ) : (L1⊕L2)* → C là các bđdc, L1⊕L2 là phức xạ ảnh
hữu hạn sinh độ dài n nên t 1 +t 2 ∈Tor n (G,C). Hơn nữa do t 1 ⊕t 2 , (∇ G )*, (∇ C )* bào toàn đồng
nhất thức trượt nên t 1 +t 2 cũng vậy.
1.1.7. Tính chất kết hợp của phép cộng:

Giả sử t i =(m i ,Li,γ i ) , (i = l,2,3),∈Tor n (G,C)
Thế thì t 1 +t 2 = (∇G(m 1 ⊕m 2 ),L1⊕L2,∇ C (ν 1 ⊕ν 2 ))
⇒(t 1 +t 2 )+t 3 =(∇ G [∇ G (m 1 ⊕m 2 )m 3 ],(L1⊕L2)⊕L3,∇ C [∇ C (ν 1 ⊕ν 2 )⊕ν 3 )]).
Tương tự:
t 1 +(t 2 +t 3 )=(∇ G [m 1 ⊕∇ G (m 2 +m 3 )],L1⊕(L2⊕L3),∇ C [ν 1 ⊕∇ C (ν 2 ⊕ν 3 )])
Vì (L1⊕L2)⊕L3 = L1⊕(L2⊕L3)
Nên ∀(l 1 ,l 2 ,l 3 ) ta có:
∇ G (∇ G (m 1 ⊕m 2 ))⊕m 3 )(l 1 , l 2 , l 3 ) =∇ G (∇ G (m 1 ⊕m 2 )((l 1 , l 2 ), m 3 l 3 )=
=∇ G (∇ G (m 1 l 1 , m 2 l 2 ), m 3 l 3 )=∇ G (m 1 l 1 + m 2 l 2 ), m 3 l 3 ) = (m 1 l 1 + m 2 l 2 ) + m 3 l 3

17


Tương tự : ∇ G (m 1 ⊕∇ G (m 2 ⊕m 3 ))(l 1 ,l 2 ,l 3 ) = m 1 l 1 +(m 2 l 2 +m 3 l 3 )
Vì tính chất kép hợp của phép cộng trong G nên ta có :
(m 1 l 1 +m 2 l 2 )+m 3 l 3 =m 1 l 1 +(m 2 l 2 +m 3 l 3 )
⇒∇ G (∇ G (m 1 ⊕m 2 )+m 3 =∇ G (m 1 ⊕∇ G (m 2 +m 3 ))
Tương tự ∇ C (∇ C (ν 1 ∈ν 2 )⊕ν 3 ) = ∇ C (ν 1 ⊕∇ C (ν 2 ⊕ν 3 ))
Vậy ta có : (t 1 +t 2 )+t 3 = t 1 +(t 2 +t 3 ).
1.1.8. Tính chất giao hốn của phép cộng:
Gọi ωG là đồng cấu :

ωG : G⊕G → G⊕G , (g 1 ,g 2 ) ⟼ (g 2 ,g 1 )

Tương tự cho ω C , thế thì (ωG ) * (t 1 ⊕t 2 ) = (ωC ) * (t 2 ⊕t 1 ).

Thật vậy : vì ωL : L1⊕L2 → L2⊕L1 là bđdc treo trên ωC nên :
(ω G ) * (t 1 ⊕t 2 ) = (ωG (m 1 ⊕m 2 ), L1⊕L2, ν 1 ⊕ν 2 ) =
= ((m 2 ⊕m 1 )ω L ,L2⊕L1,ν 1 ⊕ν 2 ) =
= (m 2 ⊕m 1, L2⊕L1,ν 1 ⊕ν 2 )ωL *) =

=(m 2 ⊕m 1, L2⊕L1,ωC (ν2⊕ν1)

= (ωC ) * (t 2 ⊕t 1 )

Mặt khác, ta luôn có : ∇ G ωG = ∇ G , ∇ C ωC = ∇ C .
Nên t 1 +t 2 = (∇ G ) * (∇ C ) * (t 1 ⊕t 2 ) = (∇ G ) * (∇ C ω C ) *(t 1 ⊕t 2 )
=(∇ G ) * (∇ C ) * [(ωC ) * (t 1 ⊕t 2 )] = (∇ G ) * (∇ C ).[(ω G ) * (t 2 ⊕t 1 )]
=(∇ G ) * (ωG ) * (∇ C ) * (t 2 ⊕t 1 ) = (∇ G ω G ) * (∇ C ) * (t 2 ⊕t 1 ) = (∇ G ) * (∇ C ) * (t 2 ⊕t 1 ) = t 2 +t 1 .
1.1.9. Phần tử không:
Phần tử 0 là θ = (0,0,0) trong đó 0 ở giữa là phức gồm các mơđun 0 độ dài n.
Thật vậy:
Ta có θ∈Tor n (G,C) và với ∀t = (m,L,ν)eTor n G,C) thì
t⊕θ = (m⊕0, L⊕0, ν⊕0) = (m,L,ν) ⇒ t+⊕ = t.
18


Chú ý : Do tính chất giao hốn của biểu đồ :

Cho nên với ∀m : L → G;

0 : L* → C.

Ta có (0.0.0) = (m0,0,0) =(m,L,0).
Tương tự với ∀ν : L* → C thì (0,0,0) = (0.L,ν) , nghĩa là chỉ cần một trong các đồng cấu
m, hoặc ν bằng 0 thì (m,L,ν) = θ.
1.1.10. Phần tử đơi:
Xét t = (m,Lν)∈Tor n (G,C), theo qui tắc trượt ta có :(-m,L,ν) = (m,L,-ν).
Ta định nghĩa : -t = (-m,L,ν) = (m,L,-ν) và gọi đó là phần tử đối của t.
Thật vậy : rõ ràng -t∈Tor n (G,C) và t+(-t) = (∇ G (m⊕(-m)), L⊕L, ∇ C (ν⊕ν))= =(m -m, L⊕L,
∇ C (ν⊕ν)) = (0, L⊕L, ∇ C (γ⊕γ)) = θ

Vậy : Tor n (G,C) là một nhóm Aben.
Ngồi ra các phần tử của Tor n cịn có tính chất cộng tính theo nghĩa sau
1.1.12. Định lý:
Các phần tử của Tor n (G,C) có tính chất cộng tính theo m và ν, nghĩa là :
(m 1 +m 2 ,L,ν) = (m 1 ,L,ν) + (m 2, L,ν)
(m 1 ,L,ν 1 +ν 2 ) = (m,L,ν 1 ) + (m , L,ν 2 )
Chứng minh :
Vì ∆ L : L → L⊕L là bđdc nên theo qui tắc trượt ta có :
(m 1 +m 2 ,L,ν)=(∇ G (m 1 ⊕m 2 )∇ L ,L,ν)=(∇ G (m 1 ⊕m 2 ),L⊕L,ν∇ L *)=
=(∇ G (m 1 ⊕m 2 ),L⊕L∇ C (ν⊕ν))=(m 1 ,L,ν)+(m 2 ,L,ν)

19


Chứng minh tương tự cho đẳng thức còn lại.
1.2. Một số trường hợp đặc biệt
1.2.1.Định lý:
Nếu P xạ ảnh thì Tor n (P,C) = 0, ∀C, ∀ n> 0
Để chứng minh định lý này ta cần mệnh đề sau :
Bổ đề 1 : Nếu f : X → Y là đồng cấu từ môđun hữu hạn sinh X đến môđun tự do Y, thế
thì tồn tại một mơđun tự do hữu hạn sinh Y’ của Y chứa f (X), và một toàn cấu từ Y → Y’
Chứng minh bổ đề 1: Giả sử hệ sinh hữu hạn của X là {e i } i= 1,n ,cơ sở tự do của Y
là{ε i } i∈I . Xét tập {f(e i )} i= 1,n vì f(e i )εY nên f(e i ) =

∑r ε
j∈I

ij

j

.

Tổng này tuy viết theo chỉ số j∈I nhưng là một tổng hữu hạn, ta xét cả các phần tử
ε j ∈{ε j } j∈i có tham gia trong các tổng f(f i ) với

i= 1,n

thì đó là tập hữu hạn, giả sử là

T={ε 1 ,ε 2 ,...,ε m }. Gọi Y’ là môđun tự do sinh bởi T, thì Y’ là mơđun con của Y và Y’ chứa
f(X).
Với y∈ Y : y = ∑ riε i , ta đặt π: Y → Y’. với π(y) =
j∈I

m

∑ rε
i =1

i i

(nghĩa là giữ nguyên tất cả các

thành phần tọa độ đối với cơ sở T của Y’ các thành phần cịn lại biến thành 0) thế thì π là một
tồn cấu, hơn nữa π |Y’ = l Y’ : Y’ → Y’.
Chứng minh định lý :
a/ Nếu P là môđun tự do:
Với (m,L,ν)∈Tor n (P,C) thế thì m : L 0 → L là đồng cấu từ môđun hữu hạn sinh L 0 đến
môđun tự do P nên theo bổ đề 1 sẽ tồn tại môđun tự do hữu hạn sinh P 0 ⊂P và P 0 ⊃m(L 0 ). Khi

đó đồng cấu m : L 0 → P thực chất là m : L 0 → P 0 cho ta biểu đồ giao hoán sau đây với i là
nhúng :

20


0
∂
Đặt L’ : P0 ←
 L0 ← ... ←
 Ln −1

Thì L’ là phức xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n, vì tồn tại bđdc từ L → L’ nên thu qui tắc
trượt ta có (m,L,ν) = (im,L,ν) = (i,L’,ν∂*)=(i,L’,0)=0.
b/ Nếu P xạ ảnh thì P là hạng tử trực tiếp của môđun tự do F với i : P → F là nhúng, π :
F→ P là chiếu cho ta πi = l p . Thế thì với (m,L,ν)∈Tor n (P,C) ta có :
(m,L,ν) = (πim,L,ν) = π * (im,L,ν)
Nhưng im: L → F nên (im,L,ν)∈Tor n (P,C) ⇒ (im,L,ν) = 0 ⇒(m,L,ν) = 0.
Khi n= 0 thì Tor 0 có thể đồng nhất với tenxơ.
1.2.2. Định lý:
Tồn tại đẳng cấu : Tor 0 (G,C) ≅ G⊗C.
Chứng minh :
a/. Xây dựng đồng cấu từ G⊗C → Tor 0 (G,C) :
Giả sử g⊗c là phần tử sinh của G⊗C, thế thì g∈G, c∈C.
Ta đặt m g : R → G.
1  m g (1)=g
ν C : R*≅ R→ C
1  ν c (1)=c
là các đồng câu. Do R là phức tự do hữu hạn sinh độ dài 0 nên (m g , R, ν C )∈Tor 0 (G, C).
Hơn nữa ta dễ dàng chứng minh được m g cộng tính theo g, ν c cộng tính theo c, tức m (g+g’) =

m g +m g’ , ν (c+c’) = ν c + ν c .
Vì thế nếu ta đặt ξ : G⊗C → Tor 0 (G,C)
21


g⊗c → (m g ,R,ν c )
thế thì ξ, bảo toàn các đồng nhất thức của ⊗:
ξ[(g+g’)⊗c] = (m (g+g’) , R,ν c ) = (m g +m g’ , R,ν c )
=(m g ,R,ν c ) + (m g’ ,R,ν c ) = ξ(g⊗c) + ξ(g’⊗c)
Tương tự ta có ξ(g⊗(c+c’) = ξ(g⊗c)+ξ(g⊗c’), nghĩa là ξ bảo toàn các đồng nhất thức
song cộng tính, ξ cũng bảo tồn đồng nhất thức kết hợp trong, thật vậy : ∀r∈R thì m g (r) =
mg(l)r = gr.
Ta đặt: γ r : R → R.
1  r.
là đồng cấu cho ta m g γ r :

R→G
1 → m g γ r (1)=m g (r)=gr=m gr (1)⇒m g γ r =m gr .

⇒ξ(gr⊗c)=(m gr ,R,ν c )=(m g γ r ,R,ν c )
Nhưng ta cũng có : γ* r : R*≅R → R≅R*.
1 r
ν c : R*≅R → C
1 c
nên ν c γ*r : R* → C
1  ν c γ*r (1)=ν c (r)=rν c (1)=rc=ν rc (1)
⇒ν c γ* r =ν rc
⇒ξ(g⊗rc)=(m g ,R,ν rc )=(m g ,R,ν c γ*r )
Nhưng do γ r : R → R là bđdc nên theo qui tắc trượt ta có :
(m g r,R,ν c ) = (m g γ r ,R,ν c ) = (m g ,R,ν c γ*r ) = (m g ,R,ν rc )

⇒ξ(gr⊗c) = ξ(g⊗rc).

Vậy ξ là đồng cấu.

22


b/.Bây giờ ta mô tả ảnh của một phần tử thuộc G⊗C
m

∑g

Giả sử x∈G⊕C thì xía tổng hữu hạn
=
x

i =1

i

⊗ ci , với g i ∈G, C i ∈C.

Vì g i ∈G nên ta có đồng cấu : m gi : R → G
1  m gi (l) = g i
m

Gọi F là môđun tự do sinh bởi các phần tử g 1 , ...,g m thì F ≅ ⊕ R do tính chất phổ dụng
i =1

của họ các nhúng:

m

{ J t : R → ⊕ R ≅ F }đối với họ đồng cấu {m gi :R→G}nên tồn tại duy nhất đồng cấu
i =1

m : F→ G để m gi =mj i ⇒g i =m gi (1) m[J i (1)]. Đặt J i (l) = e i , thế thì {ei }i=1,m là một cơ sở của F
và m(e i ) = g i .
Trên mơ đun đối ngẫu vì R* ≅ R ⇒ F* ≅ F nên {ei }i=1,m cũng là một cơ sở của F và do tính
chất phổ dụng của họ các nhúng
{J t : R* → F*} đối với họ đồng cấu

{ν

ci

: R* → C

}

1  ci
nên tồn tại đồng cấu ν : F* → C sao cho ν c = ν ji và ν(e i ) = c i .
i

Như vậy tồn tại phức tự do hữu hạn sinh F độ dài 0 và các bđdc
m : F → G , ν : F* → C do đó (m,F,ν)∈Tor 0 (G,C), và ξ(Σg i ⊗c i ) = (m,F,ν)
c/. Để chứng minh ξ, là đẳng cấu ta xây dựng ánh xạ ngược θ như sau:
Với (m,F,ν)∈Tor 0 (G,C) và F là môđun tự do hữu hạn sinh với cơ sở
{e 1 ,...,e m }⇒{e1,...,em) là cơ sở tự do của F*, ở đây :
e i (e j )=

1, nếu i = j
0, nếu I ≠ j

Đặt θ : Tor 0 (G,C) → G⊗C
23


(m,F,ν)  Σm(e i )⊗ν(ei)
Rõ ràng 6 xác định hợp lý .
Ta sẽ chứng minh θ bảo toàn đồng nhất thức trượt trên Tor.
Thật vậy , giả sử (m’ρ,F,ν) = (m’,F’,νρ*) với ρ: F → F’ là biến đổi dây chuyền, F’ tự do
với cơ sở {e' j} j=1,n
Khi đó ρ được xác định bởi hệ ρ(e i ) =

n

∑ e' r ,i=1,m
j ji

j=1

Do tính chất của khơng gian liên hợp nên ta có
ρ*(e’j) =

m

∑ r ,e ,j=1,n
i

ji

i=1

 n
i
 ∑ m '(e ' j rji ) ⊗n e 
∑
=i 1 =
j1


Suy ra: θ(m’ρ,F,ν)=

m

Từ đó nếu F’ = F thì {e' j}1,n là một cơ sở khác của F ,do đó θ không phụ thuộc vào việc
chọn cơ sở trên F. Do tính chất cộng tính của (m,L,ν) theo m & ν, và tính chất song tuyến tính
của tích Tenxơ nên θ là đồng cấu.
d/ Cuối cùng ta chứng minh : θξ = 1, ξθ = 1.
Thật vậy , với g⊗c là phần tử sinh của G⊗C , thế thì:

24


ξ(g⊗c)=(m g ,R,ν C ) với m g : R → G
1 g

; ν C: R → C
;

1 c

⇒θξ(g⊗c)=θ(m g ,R,ν C )=m(1)⊗ν C (1)=g⊗c⇒θξ=1
Ngược lại : với (m,F,ν)∈Tor 0 (G,C), F = < {e j}1,n >
Thế thì





n

i
ξθ ( µn
, F=
, ) ξ  ∑ µnµn
(ei ) ⊗ (e=
)  ( , F , ) ⇒=
ξθ 1

 i =1



Vậy G⊗C = Tor 0 (G,C) .
Trong trường hợp G là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh thì Tor 0 (G,C) cịn có thể tính tốn qua
hàm tử Hom theo mệnh đề sau :
1.2.3. Định lý:
Cho L là môđun xạ ảnh hưu hạn sinh thì có đẳng cấu tự nhiên
Hom(L*,C) = Tor 0 (L,C).

Chứng minh : Đặt ξ : Hom(L*,C) → Tor 0 (L,C)
ν  (1 L ,L,ν)
Rõ ràng ξ, xác định hợp lý và cộng tính nên là đồng cấu.
Bây giờ ta xác định ánh xạ ngược η : Tor 0 (L,C) → Hom(L*,C)
với (m,L 0 ,ν)∈Tor 0 (L,C) .Do : m : L 0 → L là bđdc nên
ta có (m,L 0 ,ν) = (1 L m, L 0 ,ν) = (1 L , L 0 ,νm*)
Đặt: η(m,L 0 ,ν) = νm*.
Rõ ràng η xác định hợp lý và bảo tồn đồng nhất thức trượt, vì nếu :
(m,L 0 ,ν) = (m’ρ,L 0 ,ν) = (m,L’ 0 ,νρ*), với ρ : L 0 → L 0 ’ là bđdc. Thế thì:
m(m,L 0 ,ν)=νm*;η(m’,L 0 ,νρ*)=(νρ*)m’*=ν(ρ*m’*)
⇒η(m’ρ,L 0 ,ν)=η(m’,L 0 ’,νρ*)

25