Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
—————————————–

Nguyễn Thị Huyền My

TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016


BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
—————————————–

Nguyễn Thị Huyền My

TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016


Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả của luận văn
là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì cơng trình nào khác. Mọi sự giúp
đỡ cho việc thực hiên luận văn này đã được cám ơn và các thơng tin trích dẫn trong luận
văn đều được ghi rõ nguồn gốc.
Tác giả
Nguyễn Thị Huyền My


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS Trần Tuấn
Nam. Nhân dịp này, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS. TSKH Nguyễn Tự Cường ở Viện Toán học Việt
Nam, GS. TS Bùi Xuân Hải, PGS. TS Mỵ Vinh Quang, PGS. TS Bùi Tường Trí, TS.
Trần Huyên, TS. Phạm Thị Thu Thủy, cùng toàn thể các thầy cơ khoa Tốn - Tin học và
Phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng
dạy và trang bị cho tôi các kiến thức về Đại số, đặc biệt là Đại số giao hốn.
Tơi cũng chân thành cảm ơn cán bộ, giáo viên trường Trung học phổ thông chuyên
Hùng Vương, tỉnh Bình Dương nơi tơi đang cơng tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất
để tơi hồn thành chương trình học tập của mình.
Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bố mẹ và các bạn học trong lớp Đại số và lí thuyết
số khóa 25 đã ln giúp đỡ và động viên tơi trong q trình làm luận văn.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 31 tháng 8 năm 2016
Nguyễn Thị Huyền My


Mục lục

Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các kí hiệu

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Một số kết quả về đại số giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Bao nội xạ và chiều của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Đối đồng điều địa phương theo một iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan. . . . .

8

1.5. Tính cofinite của mơđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan . . . . . 10
1.6. Phạm trù con Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 2. TÍNH MINIMAX CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
THEO MỘT CẶP IĐÊAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Tính minimax của mơđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. . 19
2.3. Tính cofinite của mơđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. . . 28
2.4. Môđun (S, I, J)-cominimax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


Danh mục các kí hiệu
Mp :

địa phương hóa của mơđun M theo iđêan nguyên tố p.

Ann(x)

linh hóa tử của phần tử x ∈ M .

HomR (M, N ): tập các đồng cấu R-môđun từ M vào N .
ExtiR (M, N ):

tích mở rộng i-chiều trên vành R của các mơđun M và N .

E(M ):

bao nội xạ của môđun M .

µi (p, M ):

số Bass thứ i của mơđun M đối với iđêan p.

GdimM :

chiều Goldie của môđun M .

GdimI M :

chiều Goldie của môđun M đối với iđêan I .

IdM :

chiều nội xạ của môđun M .

ΓI (M ):

môđun con I -xoắn của môđun M .

ΓI (−):

hàm tử I -xoắn.

HIi (−):

hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I .

HIi (M ):

môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I .

TorR
i (M, N ):

tích xoắn i-chiều trên vành R của các môđun M và N .

ΓI,J (M ):

môđun con (I, J)-xoắn của môđun M .

ΓI,J (−):

hàm tử (I, J)-xoắn.

i (−):
HI,J

hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J).

i (M ):
HI,J

môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J).

Spec(R):

tập các iđêan nguyên tố của vành R.

Supp(M ):

giá của môđun M .

Ass(M ):

tập các iđêan nguyên tố liên kết của M .

Min(M ):

tập các iđêan tối tiểu của Supp(M ) theo quan hệ bao hàm.

Max(R):

tập các iđêan nguyên tối đại của vành R.

V (I):

tập các iđêan nguyên tố chứa I .


1

MỞ ĐẦU
Trong suốt luận văn, chúng ta luôn giả thiết R là vành Noether, giao hốn, có đơn vị
và I, J là iđêan của vành R.
Vào những năm 1960, A. Grothendieck đã giới thiệu lý thuyết đối đồng điều địa
phương dựa trên cơng trình của J. P. Serre năm 1955 về các bó đại số. Ngay sau đó, lý
thuyết này nhanh chóng phát triển và được nhiều nhà tốn học trên thế giới quan tâm.
Đến nay, lý thuyết đối đồng điều địa phương đã trở thành công cụ không thể thiếu trong

nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại số giao hốn, Hình học đại số, Tổ hợp,..
Đã có nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu mơđun đối đồng điều địa phương
đối với iđêan I về một số tính chất như tính hữu hạn sinh, triệt tiêu, Artin, đặc biệt là
tính cofinite và minimax.
Vào năm 1986, H. Zoschinger đã đưa ra một khái niệm hoàn toàn mới, đó là mơđun
minimax trong bài báo Minimax - Moduln (xem [18]). Cũng từ đó, ba nhà tốn học J.
Azami, R. Naghipour và B. Vakili đã mở rộng khái niệm minimax thành môđun I minimax và môđun I -cominimax trong bài báo Finiteness properies of local cohomology
module for a-minimax modules vào năm 2009 (xem [3]). Từ khái niệm môđun I -cofinite
được đưa ra bởi Hartshorne vào năm 1970, Donatella Defino và Thomas Marley đã
nghiên cứu lại và mở rộng trong bài báo Cofinite modules and local cohomology (xem
[10]). Không dừng lại ở đó, cũng vào năm 2009, ba nhà Tốn học người Nhật Bản gồm
Ryo Takahashi, Yuji Yoshino và Takeshi Yoshizawa đã xây dựng khái niệm môđun đối
đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J) - một mở rộng tự nhiên của môđun đối
đồng điều địa phương đối với iđêan I , nhờ vào việc định nghĩa tập W (I, J) = {p ∈
Spec(R)|∃n ∈ N∗ : I n ⊆ p + J}, trong bài báo Local cohomology based on a nonclosed
support defined by a pair of ideals năm 2009 (xem [16]).
Từ đó, ta hồn tồn có thể mở rộng các khái niệm môđun I -xoắn, I -minimax, I cominimax và I -cofinite lên thành môđun (I, J)-xoắn, (I, J)-minimax, (I, J)-cominimax
và (I, J)-cofinite thông qua hai bài báo Minimaxness of local cohomology modules defined by a pair of ideals của A.Abbasi và H. Roshan Shekalgourabi vào năm 2012 (xem


2

[2]) và Cofiniteness of local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair
of ideals của A.Tehranian và A.Pour Eshmanan Talemi vào năm 2010 (xem [17]).
Năm 2012, bằng việc sử dụng khái niệm phạm trù con Serre của phạm trù các
R-môđun, Kh. Ahmadi-Amoli và M. Y. Sadeghi đưa ra định nghĩa môđun (S,I, J)-

cominimax và được đăng trong tạp chí Journal of Mathematical Extension vào năm
2013 với bài báo On the local cohomology modules defined by a pair of ideals and serre
subcategory (xem [5]). Chú ý rằng, lớp gồm các môđun J -minimax và môđun hữu hạn

sinh trên vành Noether đều tạo thành phạm trù con Serre. Vì vậy, bài báo này chính là sự
khái quát của hai bài báo [2] và [17].
Luận văn chủ yếu trình bày lại các kết quả trong tài liệu [2], [5], [16] và [17].
Chương 1. Hệ thống lại một số kiến thức cần nắm để hiểu được nội dung chính của
luận văn. Cụ thể, các kết quả về đại số giao hốn, mơđun đối đồng điều địa phương theo
một iđêan, tính Artin, minimax, cofinite theo một iđêan và phạm trù con Serre dựa vào
tài liệu [3], [4], [8], [9], [11], [12], [13], [15] ,..
Chương 2. Được chia làm 4 phần. Cụ thể, trong 2.1, tơi trình bày lại các kết
quả về mơđun đối đồng đều địa phương theo một cặp iđêan dựa vào bài báo [16].
Kết quả quan trọng được đưa ra trong phần này là Bổ đề 2.1.15. " Với mọi M là Ri
i−1
∼
∼ i
mơđun thì Exti−1
R (R/I, L) = ExtR (R/I, M ) và HI,J (L) = HI,J (M ) với mọi i > 0", với

M = M/ΓI,J (M ), E là bao nội xạ của M và L = E/M . Đây là cơng cụ hữu ích trong các

chứng minh quy nạp ở phần sau. Trong 2.2, trình bày khái niệm mơđun (I, J)-cominimax
j
và nghiên cứu tính J -minimax của môđun ExtiR (R/I, HI,J
(M )), với i = 0, 1, 2 dựa vào

tài liệu [2]. Trong 2.3, đưa vào khái niệm mơđun (I, J)-cofinite và nghiên cứu tính hữu
j
hạn sinh của môđun ExtiR (R/I, HI,J
(M )), với i = 0, 1, 2 dựa vào tài liệu [17]. Cuối cùng,

trong 2.4, định nghĩa môđun (S, I, J)-cominimax, với S là phạm trù con Serre. Từ đó,
i (M ) để Exti (R/I, H n (M )) thuộc phạm trù con S

nghiên cứu các điều kiện của HI,J
R
I,J

trong các trường hợp i = 0, 1, 2. dựa vào [5].
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình làm luận văn, nhưng do kiến thức hạn
chế và thời gian hạn hẹp nên không tránh khỏi sai sót. Rất mong sự nhận xét và góp ý từ
các thầy cơ và các bạn, để luận văn được hoàn thiện hơn.


3

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số kết quả về đại số giao hoán
Định nghĩa 1.1.1. Cho M là R-môđun. Ta định nghĩa một số tập sau:
Spec(R) = {p R|p là iđêan nguyên tố}.
Supp(M ) = {p ∈ Spec(R)|Mp = 0} được gọi là giá của M .
Ass(M ) = {p ∈ Spec(R)|∃x ∈ M \ {0} : p = Ann(x)} được gọi là tập các iđêan
nguyên tố liên kết của M .
Min(M ) = {p ∈ Supp(M )|p là iđêan tối tiểu theo quan hệ bao hàm}.
Max(R) = {p R|p là iđêan tối đại}.
V (I) = {p ∈ Spec(R)|I ⊆ p}.

Mệnh đề 1.1.2. Cho dãy khớp ngắn các R-mơđun
0

/

L

f

/M

g

/

N

/

0

Khi đó,
(i) Supp(M ) = Supp(L) ∪ Supp(N ).
(ii) Ass(L) ⊆ Ass(M ) ⊆ Ass(L) ∪ Ass(N ).
Mệnh đề 1.1.3. Một số kết quả về giá của môđun M
(i) V (I) = Supp(R/I).
(ii) Nếu M là hữu hạn sinh thì Supp(HomR (M, N )) ⊆ Supp(M ) ∩ Supp(N ), với mọi N
là R-môđun.
(iii) Supp(M/IM ) ⊆ Supp(M ) ∩ Supp(R/I). Dấu bằng xảy ra khi M hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.1.4. Cho M là R-mơđun. Khi đó,
(i) Min(M ) ⊆ Ass(M ) ⊆ Supp(M ).
(ii) Ass(M ) = ∅ khi và chỉ khi M = 0.


4

(iii) Supp(M ) = ∅ khi và chỉ khi M = 0.

Mệnh đề 1.1.5. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó,
(i) Ass(M ) là tập hữu hạn.
(ii) Ass(HomR (M, N )) = Supp(M ) ∩ Ass(N ), với mọi N là R-môđun. Hơn nữa, tập
Ass(HomR (M, N )) cũng là hữu hạn.

Bổ đề 1.1.6. (Bổ đề Artin - Ress) Cho R là vành Noether, I là iđêan của R, M là hữu hạn
sinh và N là môđun con của M . Khi đó, tồn tại số tự nhiên k sao cho I n+1 M ∩ N =
I(I n M ∩ N ) với mọi n ≥ k .

Định nghĩa 1.1.7. Cho M là R-mơđun. M gọi là có độ dài hữu hạn nếu tồn tại dãy tăng
các môđun con của M : 0 = M0 ⊆ M1 ⊆ ... ⊆ Mn = M sao cho Mi /Mi−1 là môđun
đơn với mọi i > 0.
Mệnh đề 1.1.8. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Các điều kiện sau là tương đương
(i) M có độ dài hữu hạn.
(ii) Supp(M ) ⊆ M ax(R).
(iii) Ass(M ) ⊆ M ax(R).
(iv) Supp(M ) = Ass(M ).
Mệnh đề 1.1.9. Cho M là R-môđun. Khi đó, M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M là
hữu hạn sinh và Artin.
Mệnh đề 1.1.10. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
0

/

N

f

/

M

g

/

L

/

0

(i) Nếu M là hữu hạn sinh thì L là hữu hạn sinh.
(ii) Nếu N và L là hữu hạn sinh thì M là hữu hạn sinh.
(iii) Nếu R là vành Noether và M là hữu hạn sinh thì N là hữu hạn sinh.


5

(iv) Cho R là vành Noether và dãy sau khớp tại M
...

/

N

f

/

M

g

/

L

/

...

Khi đó, nếu N và L là hữu hạn sinh thì M là hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.1.11. Cho M là R-mơđun. Khi đó, M là R-mơđun nội xạ khi và chỉ khi
ExtiR (N, M ) = 0 với mọi N là R-mơđun và i > 0.
Định lí Gruson. Cho M là R-mơđun hữu hạn sinh. Khi đó, với mọi R-môđun N đều tồn
tại một lọc các môđun con của N : 0 = N0 ⊆ N1 ⊆ ... ⊆ Nt = N thỏa Ni /Ni−1 là
ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp hữu hạn các bản sao của M , với i = 1, 2, ..., t.
Mệnh đề 1.1.12. Cho R là vành Noether và M, N là các R-mơđun hữu hạn sinh. Khi
đó, ExtnR (M, N ) là hữu hạn sinh với mọi n ≥ 0.

1.2. Bao nội xạ và chiều của môđun
Định nghĩa 1.2.1. Cho M là R-môđun con của L.
(i) L được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu N ∩ M = 0, với mọi N là môđun con khác
không của L.
(ii) L được gọi là bao nội xạ của M nếu L là môđun nội xạ và mở rộng cốt yếu của M .
Nhắc lại 1.2.2.
(i) M là môđun nội xạ khi và chỉ khi M chỉ có một mở rộng cốt yếu là M .
(ii) Cho M là R-môđun. Khi đó, tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu) một bao nội
xạ của M . Ta gọi E là một bao nội xạ của M . Kí hiệu E = E(M ).

Định nghĩa 1.2.3. Cho M là R-môđun. Khi đó, M được gọi là mơđun khơng phân tích
được nếu M không thể viết thành tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự.
Nhắc lại 1.2.4.


6

(i) Với mọi p ∈ Spec(R), môđun nội xạ E(R/p) là khơng phân tích được. Hơn nữa, nếu
M là mơđun nội xạ khơng phân tích được thì M = E(R/p) với p ∈ Spec(R).

(ii) Cho M là R-môđun và E là bao nội xạ của M . Khi đó, Ass(M ) = Ass(E). Đặc biệt,
Ass(E(R/p)) = {p} với mọi p ∈ Spec(R).
Định nghĩa 1.2.5. Cho M là R-môđun. Phép giải nội xạ tối tiểu của M là dãy các môđun
nội xạ
I• : 0

/ I0

d0 /

I1

d2 /

...

/ Ii

di /

/

I i+1

...

sao cho I n là mở rộng cốt yếu của Kerdn với mọi n ≥ 0.
Cho M là R-môđun. Gọi E(M ) là bao nội xạ của M . Theo 11.1.2. và 11.1.3 trong
[16], tồn tại duy nhất (theo nghĩa đẳng cấu) một phép giải nội xạ tối tiểu I • . Khi
đó, ta kí hiệu E i (M ) là thành phần thứ i của phép giải nội xạ tối tiểu I • . Theo
11.1.2. E 0 (M ) ∼
= E(M ). Theo 11.1.4. E i (M ) ∼
=

µi (p, M )E(R/p). Trong
p∈Spec(R)

đó, µi (p, M ) được gọi là số Bass thứ i của môđun M đối với p. Theo Định lí 11.1.8.
µi (p, M ) = dimk(p) ExtiRp (k(p, Mp )), với k(p) = Rp /pRp là trường thặng dư của vành

địa phương Rp . Từ 10.1.10. và 10.1.15. suy ra µ0 (p, M ) > 0 khi và chỉ khi p ∈
AssM . Khi đó, E(M ) ∼
= E 0 (M ) ∼
=

µ0 (p, M )E(R/p), trong đó µ0 (p, M ) =
p∈Ass(M )

dimk(p) HomRp (k(p, Mp )). Từ đó, ta định nghĩa chiều Goldie.

Định nghĩa 1.2.6. Cho M là R-mơđun và I là iđêan của R.
µ0 (p, M ).

(i) Chiều Goldie của môđun M được xác định GdimM :=
p∈Ass(M )

µ0 (p, M ).

(ii) Chiều Goldie đối với iđêan I của M được xác định GdimI M :=
p∈V (I)

Định nghĩa 1.2.7. Cho M là R-môđun. Chiều nội xạ của M (Injective dimension) kí
hiệu là idM và được xác định như sau
idM = inf{n ∈ N| tồn tại phép giải nội xạ của M có độ dài ≤ n}.
Mệnh đề 1.2.8. Cho số nguyên n ≥ −1 và M là R-mơđun. Khi đó, các điều kiện sau là


7

tương đương:
(i) Tồn tại phép giải nội xạ của M có độ dài ≤ n.
(ii) ExtiR (N, M ) = 0 với mọi N là R-môđun và i > n.

1.3. Đối đồng điều địa phương theo một iđêan
Định nghĩa 1.3.1. Cho M là R-môđun. Ta định nghĩa tập
ΓI (M ) := {x ∈ M |∃n ∈ N∗ : I n x = 0} = ∪(0 :M I n )

Khi đó, ΓI (M ) là R-môđun con của M và gọi là R-môđun con I -xoắn của M .
M được gọi là R-môđun I -xoắn nếu ΓI (M ) = M .
M được gọi là R-môđun I -không xoắn nếu ΓI (M ) = 0.

Với mỗi đồng cấu R-môđun f : M −→ N , ta có f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ) và do đó f cảm
sinh đồng cấu ΓI (f ) : ΓI (M ) −→ ΓI (N ) là thu hẹp của f trên ΓI (M ). Từ đó ta xây
dựng được hàm tử ΓI (−) là hàm tử hiệp biến tuyến tính từ phạm trù các R-mơđun
vào chính nó và gọi là hàm tử I -xoắn.
Định nghĩa 1.3.2. Với mỗi i ∈ N, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI (−) được kí hiệu
là HIi (−) và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I . Với
mỗi M là R-môđun, HIi (M ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo
iđêan I .
Mệnh đề 1.3.3. R-môđun M là I -xoắn khi và chỉ khi Supp(M ) ⊆ V (I).
Định nghĩa 1.3.4. Cho I là iđêan của vành R và N là môđun con của M . Khi đó, tập
(N :M I) = {x ∈ M |Ix ⊆ N } là môđun con của M . Trong trường hợp N = 0, ta có

mơđun con (0 :M I) = {x ∈ M |Ix ⊆ N }.
Mệnh đề 1.3.5. Cho I là iđêan của R và M là R-mơđun. Khi đó, HomR (R/I, M ) ∼
=
(0 :M I).

Mệnh đề 1.3.6. Nếu M là R-môđun I -xoắn thỏa (0 :M I) là Artin thì M là Artin.


8

1.4. Tính minimax của mơđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan
Định nghĩa 1.4.1. Cho M là R-môđun. M được gọi là minimax nếu tồn tại N là môđun
con của M thỏa M/N là môđun Artin.
Đặc biệt, trong trường hợp R là vành Noether thì M là minimax khi và chỉ khi
GdimR M/N < ∞, với mọi N là môđun con của M .

Định nghĩa 1.4.2. Cho R là vành Noether và I là iđêan của R. M được gọi là I -minimax

(hoặc M là minimax đối với iđêan I ) nếu GdimI M/N < ∞, với mọi N là môđun
con của M .
Nhận xét 1.4.3. Mối quan hệ giữa môđun I -minimax và môđun minimax.
(i) Nếu I = 0 thì M là I -minimax khi và chỉ khi M là minimax.
(ii) Nếu M là minimax thì M là I -minimax [3, 3.1]. Chiều ngược lại đúng khi M là
môđun I -xoắn.
(iii) Nếu M là môđun Noether hoặc Artin thì M là I -minimax.
(iv) Nếu J ⊆ I và M là mơđun I -minimax thì M là mơđun J -minimax.
Mệnh đề 1.4.4. Cho dãy khớp ngắn các R-mơđun
0

/

L

f

/

M

g

/

N

/

0.

Khi đó, M là I -minimax khi và chỉ khi L và N là I -minimax.
Hệ quả 1.4.5.
(i) Lớp các môđun I -minimax đóng với phép lấy mơđun con và mơđun thương.
(ii) Cho dãy khớp dài các R-môđun
...

/

L

f

/M

g

/

N

/

...


9

Khi đó, nếu L và N là mơđun I -minimax thì M cũng là I -minimax.
Thật vậy, do dãy trên khớp tại M nên ta có dãy khớp ngắn sau

/

0

Imf

/

i

g

M

/

/0

Img

trong đó, Imf và Img là I -minimax (do hệ quả (i)). Từ đó, theo Mệnh đề 1.4.4. ta
có M là I -minimax.
(iii) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và N là R-mơđun I -minimax thì ExtiR (M, N ) và
TorR
i (M, N ) là R-môđun I -minimax với mọi i ≥ 0.
(iv) Hơn nữa, ExtiR (R/I, N ) và TorR
i (R/I, N ) là R-môđun I -minimax với mọi N là I minimax i ≥ 0.
Định nghĩa 1.4.6. Cho M là R- môđun. M được gọi là I -cominimax nếu thỏa các điều
kiện sau:
i. Supp(M ) ⊆ V (I).

ii. ExtiR (R/I, M ) là I -minimax với mọi i ≥ 0.
Mệnh đề 1.4.7. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
0

/

L

f

/

M

g

/

N

/

0.

Nếu hai trong ba môđun L, M, N là I -cominimax thì mơđun cịn lại cũng là I cominimax.
Hệ quả 1.4.8. Cho M, N là I -cominimax và f : M −→ N là đồng cấu R-môđun. Nếu
một trong ba môđun Kerf, Imf và Cokerf là I -cominimax thì cả ba môđun đều là
I -cominimax.

Mệnh đề 1.4.9. Nếu M là R-môđun thỏa Supp(M ) ⊆ V (I) và Gdim(0 :M I) < ∞ thì

GdimM < ∞.

Mệnh đề 1.4.10. Nếu M là R-mơđun I -cominimax thì GdimM < ∞. Hơn nữa, tập
Ass(M ) là hữu hạn.


10

1.5. Tính cofinite của mơđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan
Định nghĩa 1.5.1. Cho M là R-môđun. M được gọi là I -cofinite nếu thỏa các điều kiện
sau:
i. Supp(M ) ⊆ V (I).
ii. ExtiR (R/I, M ) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0.
Mệnh đề 1.5.2. Cho M là R-môđun thỏa Supp(M ) ⊆ V (I). Khi đó, M là mơđun Artin
I -cofinite nếu và chỉ nếu (0 :M I) có độ dài hữu hạn. Hơn nữa, nếu tồn tại a ∈ I sao

cho (0 :M a) là Artin và I -cofinite thì M là Artin và I -cofinite.
Mệnh đề 1.5.3. Cho M là môđun minimax thỏa Supp(M ) ⊆ V (I). Khi đó, M là I cofinite khi và chỉ khi (0 :M I) là hữu hạn sinh. Hơn nữa, nếu tồn tại x ∈ I sao cho
(0 :M x) là I -cofinite thì M là I -cofinite.

1.6. Phạm trù con Serre
Định nghĩa 1.6.1. Cho S là tập không rỗng các R-môđun. Ta gọi S là phạm trù con
Serre nếu với mọi dãy khớp ngắn các R-mơđun
0

/

L

f

/M

g

/

N

/

0

thì M ∈ S khi và chỉ khi N, L ∈ S .
Ví dụ 1.6.2. Từ Mệnh đề 1.4.4. ta có lớp các R-mơđun I -minimax là một phạm trù con
Serre.
Bổ đề 1.6.3. Cho S là phạm trù con Serre. Khi đó, S đóng kín với phép lấy môđun con,
thương và ExtiR (N, M ) ∈ S với mọi i, N hữu hạn sinh và M ∈ S .


11

Chương 2. TÍNH MINIMAX CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG
ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN
Trong chương này, ta luôn giả sử R là vành Noether, giao hốn và có đơn vị 1 = 0. I, J
là các iđêan của vành R và M là một R-môđun. Đặt M = M/ΓI,J (M ). Gọi E là bao nội
xạ của M và L = E/M .

2.1. Môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan
Định nghĩa 2.1.1. Ta định nghĩa ΓI,J (M ) = {x ∈ M |∃n ∈ N∗ : I n x ⊆ Jx}. Khi đó,

ΓI,J (M ) là một môđun con của M và gọi là môđun con (I, J)-xoắn.
M được gọi là R-môđun (I, J)-xoắn nếu M = ΓI,J (M ).
M được gọi là R-môđun (I, J)-không xoắn nếu ΓI,J (M ) = 0.

Từ định nghĩa của ΓI,J (M ), ta có nhận xét sau:
Nhận xét 2.1.2 . Cho M là R-môđun.
i. Dễ thấy ΓI (M ) ⊆ ΓI,J (M ). Từ đó suy ra, nếu M là R-mơđun (I, J)-khơng xoắn thì M
cũng là R-mơđun I -khơng xoắn.
ii. Phần tử x ∈ ΓI,J (M ) khi và chỉ khi ∃n ∈ N∗ sao cho I n ⊆ Ann(x) + J .
Thật vậy, với x ∈ ΓI,J (M ) tồn tại n ∈ N∗ sao cho I n x ⊆ Jx. Khi đó, với mọi a ∈ I n ,
ta có ax ∈ Jx. Suy ra, tồn tại b ∈ J : ax = bx hay (a − b)x = 0, suy ra a − b ∈
Ann(x). Từ đó a = (a − b) + b ∈ Ann(x) + J . Ngược lại, nếu x ∈ M và I n ⊆
Ann(x) + J ,với n ∈ N∗ . Ta có I n x ⊆ Ann(x)x + Jx = Jx. Suy ra x ∈ ΓI,J (M ).
iii. Cho f : M −→ N là đồng cấu R-mơđun. Khi đó f (ΓI,J (M )) ⊆ ΓI,J (N ).
Thật vậy, với f (x) ∈ f (ΓI,J (M )), x ∈ ΓI,J (M ) thì theo ii. tồn tại n ∈ N∗ : I n ⊆
Ann(x) + J . Mà Ann(x) ⊆ Ann(f (x)) nên I n ⊆ Ann(f (x)) + J . Từ đó f (x) ∈
ΓI,J (N ).

Khi đó, ta ánh xạ ΓI,J (f ) : ΓI,J (M ) −→ ΓI,J (N ), x −→ f (x) cũng là đồng cấu
R-môđun trên ΓI,J (M ). Từ nhận xét iii. ta định nghĩa hàm tử sau:


12

Định nghĩa 2.1.3. Gọi M là họ tất cả R-môđun. Xét ΓI,J (−) : M −→ M. Vật M −→
ΓI,J (M ). Cấu xạ f −→ ΓI,J (f ), với f : M −→ N là đồng cấu R-môđun. Khi đó
ΓI,J (−) là một hàm tử hiệp biến thỏa ΓI,J (f + g) = ΓI,J (f ) + ΓI,J (g) với mọi f, g là

đồng cấu R-môđun và ΓI,J (r.f ) = rΓI,J (f ) với mọi r ∈ R, f là đồng cấu R-mơđun.
Vì vậy, ΓI,J (−) là hàm tử hiệp biến và tuyến tính từ phạm trù các R-mơđun vào

chính nó. Ta gọi ΓI,J (−) là hàm tử (I, J)-xoắn. Trong trường hợp J = 0 thì hàm tử
ΓI,J (−) trùng với hàm tử ΓI (−).

Bổ đề 2.1.4. Hàm tử ΓI,J (−) bảo tồn tính khớp trái.
Chứng minh. Xét dãy khớp ngắn các R-môđun
/

0

L

f

/

M

g

/

/

N

0.

Ta chứng minh dãy sau khớp
0

/Γ

I,J (L)

ΓI,J (f )

/

ΓI,J (M )

ΓI,J (g)

/

ΓI,J (N ).

Thật vậy, do f là đơn cấu nên ΓI,J (f ) là đơn cấu. Ta có ΓI,J (g)◦ΓI,J (f ) = ΓI,J (gf ) =
ΓI,J (0) = 0, suy ra Im(ΓI,J (f )) ⊆ Ker(ΓI,J (g)). Lấy x ∈ Ker(ΓI,J (g)). Khi đó 0 =
ΓI,J (g)(x) = g(x), suy ra x ∈ Kerg = Imf, suy ra tồn tại y ∈ L sao cho x = f (y). Ta

chứng minh y ∈ ΓI,J (L). Thật vậy, do x ∈ ΓI,J (M ) nên tồn tại n ∈ N∗ : I n x ⊆ Jx.
Với mọi a ∈ I n suy ra ax ∈ Jx. Từ đó tồn tại b ∈ J : ax = bx. Suy ra f (ay − by) =
af (y) − bf (y) = ax − bx = 0. Mặt khác, f là đơn cấu nên ay = by ∈ Jy , suy ra
I n y ⊆ Jy . Vậy x = f (y) ∈ Im(ΓI,J (f )). Từ đó Ker(ΓI,J (g)) ⊆ Im(ΓI,J (f )).

Định nghĩa 2.1.5.

W (I, J) = {p ∈ Spec(R)|∃n ∈ N∗ : I n ⊆ J + p}.

Khi đó, dễ dàng chứng minh được V (I) ⊆ W (I, J). Hơn nữa, trong trường hợp

J = 0 thì W (I, J) ≡ V (I).

Mệnh đề 2.1.6. Cho M là R-môđun. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) M là R-môđun (I, J)-xoắn.


13

(ii) M in(M ) ⊆ W (I, J).
(iii) Ass(M ) ⊆ W (I, J).
(iv) Supp(M ) ⊆ W (I, J).
Chứng minh. Do Min(M ) ⊆ Ass(M ) ⊆ Supp(M ) nên (iv) ⇒ (iii) ⇒ (ii).
(ii) ⇒ (iv). Lấy p ∈ Supp(R). Khi đó theo định nghĩa của tập Min(M ), tồn tại

q ∈ Min(M ) : q ⊆ p. Do q ∈ W (I, J) nên tồn tại n ∈ N∗ : I n ⊆ J + q ⊆ J + p. Từ
đó suy ra p ∈ W (I, J).
(i) ⇒ (iii). Lấy p ∈ Ass(M ). Khi đó, tồn tại x ∈ M \ {0} : p = Ann(x). Do M

là (I, J)-xoắn nên x ∈ ΓI,J (M ), suy ra tồn tại n ∈ N∗ : I n ⊆ Ann(x) + J . Suy ra,
I n ⊆ J + p. Từ đó p ∈ W (I, J).
(iv) ⇒ (i). Lấy x ∈ M . Ta chứng minh tồn tại k ∈ N∗ : I k ⊆ Ann(x) + J . Thật vậy,

đặt Min(Rx) = {p1 , p2 , ..., ps }. Do Min(Rx) ⊆ Supp(M ) ⊆ W (I, J) nên tồn tại n
nguyên dương sao cho I n ⊆ J + pi với mọi i = 1, 2, ..., s. Suy ra I ns ⊆ J + p1 .p2 ...ps .
Mặt khác,

Ann(x) = p1 ∩ p2 ∩ ... ∩ ps ⊇ p1 .p2 ...ps nên (p1 p2 ...ps )m ⊆ Ann(x), m

nguyên dương. Từ đó ta có I nsm ⊆ J + Ann(x), suy ra x ∈ ΓI,J (M ). Hay M là
(I, J)-xoắn.

Hệ quả 2.1.7.
i. Phần tử x ∈ ΓI,J (M ) khi và chỉ khi Supp(Rx) ⊆ W (I, J).
ii. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0. Khi đó, M là
R-mơđun (I, J)-xoắn khi và chỉ khi L, N là (I, J)-xoắn.

iii. Nếu M là R-môđun (I, J)-xoắn thì M/JM là R-mơđun I -xoắn. Chiều ngược lại đúng
nếu M là hữu hạn sinh.
Chứng minh.
i. Chiều thuận. Lấy x ∈ ΓI,J (M ). Khi đó ΓI,J (Rx) = Rx. Thật vậy, với mọi rx ∈
Rx, r ∈ R thì Ann(x) ⊆ Ann(rx). Do x ∈ ΓI,J (M ) nên tồn tại n ∈ N∗ : I n ⊆

Ann(x) + J ⊆ Ann(rx) + J , suy ra rx ∈ ΓI,J (Rx) hay Rx là (I, J)-xoắn. Theo


14

mệnh đề 2.1.6. ta có Supp(Rx) ⊆ W (I, J). Chiều đảo. Với mọi x ∈ M sao cho
Supp(Rx) ⊆ W (I, J), theo mệnh đề 2.1.6. ta có Rx là (I, J)-xoắn. Từ đó suy ra
x ∈ Rx = ΓI,J (Rx) ⊆ ΓI,J (M ).

ii. Do dãy khớp nên theo Mệnh đề 1.1.2. ta có Supp(M ) = Supp(L) ∪ Supp(N ). Kết
hợp với Mệnh đề 2.1.6. ta suy ra điều phải chứng minh.
iii. Do M là R-môđun (I, J)-xoắn nên theo Mệnh đề 2.1.6. ta có Supp(M ) ⊆ W (I, J).
Từ đó, theo Mệnh đề 1.1.3. suy ra Supp(M/JM ) ⊆ Supp(M ) ∩ Supp(R/J) =
Supp(M ) ∩ V (J) ⊆ W (I, J) ∩ V (J) ⊆ V (I). Vì vậy M/JM là I -xoắn (theo Mệnh
đề 1.3.3.). Ngược lại,giả sử M là hữu hạn sinh và M/JM là I -xoắn. Ta chứng minh
M là (I, J)-xoắn. Với x ∈ M . Ta chứng minh x ∈ ΓI,J (M ). Theo bổ đề Artin-

Rees, tồn tại n nguyên không âm sao cho J n M ∩ Rx ⊆ Jx. Từ M/JM là I -xoắn

M là hữu hạn sinh và Mệnh đề 1.1.3. ta có Supp(M/J n M ) = Supp(M ) ∩ V (J n ) =

Supp(M ) ∩ V (J) = Supp(M/JM ) ⊆ V (I). Vì vậy M/J n M cũng là I -xoắn. Khi đó,
tồn tại m ∈ N∗ thỏa I m x ⊆ J n M . Từ đó suy ra I m x ⊆ J n M ∩ Rx ⊆ Jx. Vì vậy
x ∈ ΓI,J (M ). Hay M là (I, J)-xoắn.

Mệnh đề 2.1.8. Cho M là R-mơđun. Khi đó, Ass(ΓI,J (M )) = Ass(M ) ∩ W (I, J). Từ đó,
ΓI,J (M ) = 0 khi và chỉ khi Ass(M ) ∩ W (I, J) = ∅. Trong trường hợp J = 0 thì
Ass(ΓI (M )) = AssM ∩ V (I).

Chứng minh. Do ΓI,J (M ) là (I, J)-xoắn nên Ass(ΓI,J (M )) ⊆ W (I, J) (Mệnh đề
2.1.6.), suy ra Ass(ΓI,J (M )) ⊆ Ass(M ) ∩ W (I, J). Ngược lại, lấy p ∈ Ass(M ) ∩
W (I, J). Khi đó, ∃x ∈ M \ {0} : p = Ann(x) ∈ W (I, J). Suy ra, tồn tại n > 0

thỏa I n ⊆ J + Ann(x) suy ra x ∈ ΓI,J (M ). Từ đó p = Ann(x) ∈ Ass(ΓI,J (M )).
Theo Mệnh đề 1.1.4. ΓI,J (M ) = 0 khi và chỉ khi Ass(ΓI,J (M )) = ∅ khi và chỉ khi
Ass(M ) ∩ W (I, J) = ∅.
Hệ quả 2.1.9. HomR (R/I, M ) = 0; HomR (R/I, ΓI,J (M )) ∼
= HomR (R/I, M ).
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.1.5. Ass(HomR (R/I, M )) = Ass(M ) ∩ Supp(R/I) =
Ass(M )∩V (I) ⊆ Ass(M )∩W (I, J). Mặt khác, M là (I, J)-không xoắn nên ΓI,J (M ) =


15

0. Theo Mệnh đề 2.1.8. ta có Ass(M ) ∩ W (I, J) = ∅. Từ đó Ass(HomR (R/I, M )) =

∅ hay HomR (R/I, M ) = 0. Xét dãy khớp ngắn
/

0

/

ΓI,J (M )

/M

M

/

0

Tác động hàm tử HomR (R/I, −), ta được dãy khớp
0

/ Hom

R (R/I, ΓI,J (M ))

/

/

HomR (R/I, M )

HomR (R/I, M )

Từ HomR (R/I, M ) = 0 suy ra HomR (R/I, ΓI,J (M )) ∼

= HomR (R/I, M ).
Hệ quả 2.1.10. Cho p ∈ Spec(R).
(i) Nếu p ∈ W (I, J) thì E(R/p) là R-mơđun (I, J)-xoắn.
(ii) Nếu p ∈
/ W (I, J) thì E(R/p) là R-môđun (I, J)-không xoắn.
Chứng minh. Với p ∈ Spec(R) , ta có Ass(E(R/p)) = {p} (theo 1.2.4.).
(i) Nếu p ∈ W (I, J) thì Ass(E(R/p)) ⊆ W (I, J). Theo Mệnh đề 2.1.6. suy ra
E(R/p) là R-môđun (I, J)-xoắn.

(ii) Nếu p ∈
/ W (I, J) thì Ass(E(R/p)) ∩ W (I, J) = ∅. Theo Mệnh đề 2.1.8. suy ra
ΓI,J (E(R/p)) = 0. Vì vậy E(R/p) là R-mơđun (I, J)-khơng xoắn.

Mệnh đề 2.1.11. Nếu M là R-mơđun (I, J)-xoắn thì tồn tại một phép giải nội xạ của
M mà mỗi thành phần là R-môđun (I, J)-xoắn.

Chứng minh. Gọi E 0 là bao nội xạ của M . Do M là (I, J)-xoắn nên theo Mệnh đề
2.1.6. Ass(E 0 ) = Ass(M ) ⊆ W (I, J), suy ra E 0 là (I, J)-xoắn. Khi đó, ta có thể
nhúng M vào E 0 là R-môđun nội xạ (I, J)-xoắn. Giả sử ta xây dựng được dãy khớp
các R-môđun
0

/

M

/

E0

/

...

/

E n−1 d

n−1

/

En


16

trong đó, E i là R-mơđun nội xạ (I, J)-xoắn. Đặt C = Coker(dn−1 ). Do E n là (I, J)xoắn nên theo Hệ quả 2.1.7 ta có C là (I, J)-xoắn. Tương tự như mơđun M , ta có
thể nhúng C vào R-môđun (I, J)-xoắn nội xạ E n+1 . Bằng quy nạp ta suy ra điều
phải chứng minh.
Định nghĩa 2.1.12. Cho hàm tử ΓI,J (−).
i
i. Với mỗi số tự nhiên i ta kí hiệu hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử ΓI,J (−) là HI,J

và gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J).
i (M ) là môđun đối đồng điều thứ i theo cặp iđêan (I, J).
ii. Với M là R-môđun, ta gọi HI,J
i ≡ H i . Điều này cho thấy hàm tử đối đồng điều địa phương theo
Nếu J = 0 thì HI,J
I

cặp iđêan là mở rộng tư nhiên của hàm tử đối đồng điều địa phương quen thuộc.
Nhận xét 2.1.13.
i. Các đối đồng điều địa phương được xây dựng như sau:
Đầu tiên, ta chọn (E • , d• ) là một phép giải nội xạ của M (mọi mơđun đều có một
phép giải nội xạ)
/

0

/ E0

M

/ ...

/

E i−1

di−1 /

/

Ei

...

trong đó, Imdi−1 = Kerdi , với mọi i > 0 và E i là R-môđun nội xạ.
Sau đó tác dụng hàm tử ΓI,J (−) vào phức

0

/

/

E0

/

...

E i−1

di−1 /

/

Ei

...

ta được đối phức ΓI,J (E • ), ΓI,J (d• ) là dãy nửa khớp
0

/Γ

0
I,J (E )

/

...

/

ΓI,J (di−1 )

ΓI,J (E i−1 )

/

ΓI,J (E i )

/

...

i (M ) = Ker Γ
i
i−1 ) . Từ đó, hàm tử H i (−) cũng là
Khi đó, HI,J
I,J (d ) /Im ΓI,J (d
I,J

hàm tử hiệp biến tuyến tính. Hơn nữa, hàm tử ΓI,J (−) bảo tồn tính khớp trái nên
0 (−) cũng bảo tồn tính khớp trái.
hàm tử HI,J

17

ii. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
/

0

/M

L

/

/

N

0

i (N ) −→ H i+1 (L) sao cho dãy sau là
Khi đó, với mỗi i, tồn tại đồng cấu nối HI,J
I,J

khớp
0

/

/

0 (L)
HI,J

/

0 (M )
HI,J

/

...

/

i (N )
HI,J

/

i+1
HI,J
(L)

...

0 (L) ∼ Γ
0 (M ) ∼ Γ
0 (N ) ∼ Γ
trong đó HI,J
= I,J (L), HI,J

= I,J (M ), HI,J
= I,J (N ). Hơn nữa,
i (M ) = 0 với mọi i > 0.
nếu M là R-môđun nội xạ thì HI,J

Hệ quả 2.1.14. Cho M là R-mơđun.
i (M ) = 0 với mọi i > 0.
(i) Nếu M là (I, J)-xoắn thì HI,J
i (Γ
(ii) HI,J
I,J (M )) = 0 với mọi i > 0

(iii) M/ΓI,J (M ) là R-môđun (I, J)-không xoắn.
i (M ) ∼ H i (M/Γ
(iv) HI,J
= I,J
I,J (M )) với mọi i > 0.
i (M ) là (I, J)-xoắn với mọi i ≥ 0.
(v) HI,J

Chứng minh. (i)Do M là R-môđun (I, J)-xoắn nên theo Mệnh đề 2.1.11. tồn tại
phép giải nội xạ của M mà mỗi thành phần là (I, J)-xoắn nội xạ
/

0

M

/ E0

/ ...

/

E i−1

di−1 /

Ei

/

...

Khi đó, đối phức ΓI,J (E • ), ΓI,J (d• ) là dãy nữa khớp
0

/Γ

I,J (E

0)

/

...

/

ΓI,J (di−1 )

ΓI,J (E i−1 )

/

ΓI,J (E i )

/

...

i (M ) =
Hơn nữa, E i là (I, J)-xoắn nên ΓI,J (E i ) = E i . Từ nhận xét 2.1.13 suy ra HI,J

0 với mọi i > 0. (ii) suy ra từ (i). Chứng minh (iii), (iv). Đặt M = M/ΓI,J (M ). Xét


18

dãy khớp ngắn sau
/

0

/

ΓI,J (M )

/M

M

/

0

Khi đó, theo nhận xét 2.1.13. ta có dãy khớp dài sau
/

i (Γ
..HI,J
I,J (M ))

/

i (M )
HI,J

/ H i+1 (Γ

i (M )
HI,J

I,J

I,J (M ))...

i (Γ
i
∼ i

Từ (ii), HI,J
I,J (M )) = 0 với mọi i > 0, suy ra HI,J (M ) = HI,J (M ) với mọi i > 0.
1 (M ) = 0 nên ta có dãy khớp ngắn sau
Do HI,J

0

/Γ

I,J (ΓI,J (M ))

/

/

ΓI,J (M )

ΓI,J (M )

/

0

Từ đó ΓI,J (M ) ∼
= ΓI,J (M )/ΓI,J (ΓI,J (M )) ∼
= ΓI,J (M )/ΓI,J (M ) = 0. Suy ra (iii).
i (M ) = Ker Γ
i
i−1 )
Chứng minh (v). Từ nhận xét 2.1.13. HI,J

I,J (d ) /Im ΓI,J (d

với mọi i > 0, trong đó Ker ΓI,J (di ) là mơđun con của ΓI,J (E i ) là môđun (I, J)i (M ) là môđun (I, J)-xoắn, với mọi i > 0. Với i = 0, ta
xoắn. Theo Hệ quả 2.1.7 HI,J
0 (M ) = Γ
có HI,J
I,J (M ) là (I, J)-xoắn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bổ đề 2.1.15 Cho M là R-môđun. Đặt M = M/ΓI,J (M ). Gọi E là bao nội xạ của M và
i
i−1
∼
∼ i
L = E/M . Khi đó, Exti−1
R (R/I, L) = ExtR (R/I, M ) và HI,J (L) = HI,J (M ) với mọi

i > 0.

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.1.5. và 1.2.4. ta có, Ass(HomR (R/I, E)) = V (I) ∩
Ass(E) ⊆ W (I, J) ∩ Ass(M ). Do M là (I, J)-không xoắn nên theo Mệnh đề 2.1.8.
W (I, J) ∩ Ass(M ) = ∅. Từ đó suy ra HomR (R/I, E) = 0 và ΓI,J (E) = 0. Mặt khác,
i (E) = 0 với mọi i > 0 (theo 1.1.11. và 2.1.13.) nên
vì ExtiR (R/I, E) = 0 và HI,J
i (E) = 0 với mọi i ≥ 0 (∗). Xét dãy khớp
ExtiR (R/I, E) = 0 và HI,J

0

/M

/

E

/

L

/0


19

i (−) ta được dãy khớp dài sau
Tác động lần lượt hàm tử HomR (R/I, −) và HI,J

...

/

/

Exti−1
R (R/I, E)
...

/ H i−1 (E)

/ H i−1 (L)

I,J

/

i−1
ExtR
(R/I, L)

/

I,J

ExtiR (R/I, M )

i (M )
HI,J

/

/ ..

..

i
i−1
∼ i
∼
Kết hợp với (∗)Exti−1
R (R/I, L) = ExtR (R/I, M ) và HI,J (L) = HI,J (M ) với mọi

i > 0. Hơn nữa, từ Hệ quả 2.1.14. ta có điều phải chứng minh.

2.2. Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan
Định nghĩa 2.2.1. Cho M là R-môđun. M được gọi là (I, J)-cominimax nếu thỏa các
điều kiện sau:
i. Supp(M ) ⊆ W (I, J).
ii. ExtiR (R/I, M ) là R-môđun J -minimax với mọi i ≥ 0.
Dễ thấy, nếu J = 0 thì M là (I, J)-cominimax khi và chỉ khi M là I -cominimax.
Điều này chứng tỏ, khái niệm R-môđun (I, J)-cominimax là mở rộng tự nhiên của
khái niệm R-môđun I -cominimax.
Ví dụ 2.2.2. Mọi R-mơđun J -minimax thỏa Supp(M ) ⊆ W (I, J) đều là môđun (I, J)cominimax. Thật vậy, theo Hệ quả 1.4.5. ta có ExtiR (R/I, M ) là J -minimax với mọi
i ≥ 0. Từ đó suy ra M là (I, J)-cominimax. Hơn nữa, theo Nhận xét 1.4.3. nếu M là

môđun minimax thỏa Supp(M ) ⊆ W (I, J) thì M là mơđun (I, J)-cominimax.
Mệnh đề 2.2.3. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
0

/

N

f

/

M

g

/

L

/

0

Nếu hai trong ba mơđun L, M, N là (I, J)-cominimax thì mơđun còn lại cũng là
(I, J)-cominimax.

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.1.2. Supp(M ) = Supp(N ) ∪ Supp(L). Từ đó suy ra,
nếu hai trong ba mơđun N, M, L có giá nằm trong W (I, J) thì mơđun cịn lại cũng