Tính chuẩn tắc và tính khai triển của không gian tôpô tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
-----  -----

BÙI QUANG THỊNH

TÍNH CHUẨN TÁC
VÀ TÍNH KHAI TRIỂN
CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
-----  -----

BÙI QUANG THỊNH

TÍNH CHUẨN TÁC
VÀ TÍNH KHAI TRIỂN
CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH

CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
MÃ SỐ: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh; người thầy
dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học. Sự tận tình hướng dẫn cùng những lời
động viên, chỉ bảo của Thầy đã giúp tơi hồn thành luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn:
1. Ban lãnh đạo và các chuyên viên của phòng Sau đại học; ban chủ nhiệm khoa và
các giảng viên khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh; các giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Hình học và Tơpơ khóa 20
đã tạo điều kiện học tập thuận lợi cho tơi trong suốt khóa học.
2. Ban giám hiệu, lãnh đạo khoa Sư phạm, tập thể Tổ Tự nhiên và các thầy cô đồng
nghiệp trường Đại học Tiền Giang đã luôn sẵn sàng giúp đỡ, tạo mọi điều kiện có
thể tơi học tập và hồn thành tốt nhiệm vụ của mình trong thời gian học Cao học.
3. Bạn Liễu Mỹ Chương (Singapore, email: ) đã hỗ trợ tơi
hết mình trong việc tìm kiếm các tài liệu tham khảo.
4. Cô Trương Thị Hồng Nhung (trường Trung học phổ thông Chuyên Tiền Giang)
và thầy Hồ Công Xuân Vũ Ý (trường Đại học Tiền Giang) đã nhiệt tình giúp đỡ
tôi trong việc soạn thảo luận văn bằng

.

5. Các bạn lớp Cao học Hình học và Tơpơ khóa 20 đã cùng tơi chia sẻ những khó
khăn trong q trình học tập.
Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn những người thân u trong gia đình đã ln bên
cạnh, động viên, hổ trợ về mọi mặt để tơi có thể hồn thành thành tốt khóa học.

MỤC LỤC
Trang phụ bìa ............................................................................................................... ii
Lời cảm ơn ................................................................................................................... iii
Mục lục......................................................................................................................... iv
Mở đầu .......................................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ .................................................................................. 4
1.1. Bội Hilbert ............................................................................................................. 4
1.2. Phản continuum Cantor ......................................................................................... 4
1.3. Tôpô thứ tự ............................................................................................................ 5
1.4. Các tiên đề tách ..................................................................................................... 5
1.5. Phủ ......................................................................................................................... 9
1.6. Không gian Baire ................................................................................................. 13
1.7. Không gian compact, không gian paracompact .................................................. 14
1.8. P -không gian ..................................................................................................... 16
1.9. Khơng gian metric hóa ........................................................................................ 18
1.10. Σ -khơng gian ...................................................................................................... 19
Chương 2. TÍNH CHUẨN TẮC CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH ....................... 22
2.1. L là lớp các khơng gian Hausdorff compact ..................................................... 23
2.2. L là lớp các không gian metric compact ........................................................... 25
2.3. L là lớp các không gian metric hóa ................................................................... 28
Chương 3. TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH ....................... 37
3.1. Tính chất khai triển .............................................................................................. 37
3.2. Tính chất σ -khai triển ........................................................................................ 38


3.3. Tính chất θ -khai triển ......................................................................................... 46
3.4. Tính chất khai triển con ....................................................................................... 53
Kết luận và kiến nghị ................................................................................................. 58
Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 60

1

MỞ ĐẦU
Theo Tơpơ đại cương, tơpơ trên tích Decartes của hai không gian tôpô được xây dựng từ
tôpô trên các không gian thành phần thông qua khái niệm cơ sở. Vì vậy, các tính chất trên
khơng gian tơpơ tích có thể kế thừa từ các không gian thành phần. Một ví dụ dễ thấy chính
là tích của hai khơng gian Hausdorff là một không gian Hausdorff. Một vấn đề được đặt ra:
‘‘Có phải mọi tính chất trên khơng gian tơpơ tích đều được kế thừa từ các khơng gian tơpơ
thành phần hay không?’’. Câu trả lời là không trong trường hợp tổng quát.
Một minh chứng khá nổi tiếng chính là tích tơpơ của hai khơng gian chuẩn tắc nhìn
chung khơng chuẩn tắc. Bài toán này đã được các nhà Toán học trên thế giới nghiên cứu từ
những thập niên 30 của thế kỷ trước. Cụ thể, J. Dieudonné [10] năm 1939 đã xét tích tơpơ
giữa một khơng gian chuẩn tắc với một không gian compact; R. H. Sorgenfrey [30] năm
1947 đã xét tích giữa hai khơng gian Linderlưf. Hơn nữa, năm 1971 M. E. Rudin [29] đã
chứng minh được rằng tồn tại một khơng gian chuẩn tắc sao cho tích tơpơ của nó với
khoảng đơn vị đóng [ 0,1] khơng là khơng gian chuẩn tắc. Từ các ví dụ cụ thể trên cùng với
các cơng trình nghiên cứu gần đây, tính chuẩn tắc của khơng gian tơpơ tích là một bài toán
thu hút được sự quan tâm của các nhà Tốn học trên thế giới. Họ mong muốn khơng gian
tơpơ tích có thể kế thừa tính chuẩn tắc từ các khơng gian thành phần. Do đó, một vấn đề
được mở ra: ‘‘Để khơng gian tơpơ tích kế thừa tính chuẩn tắc từ các không gian thành phần,
cần phải bổ sung những điều kiện gì?’’. Trong số các nghiên cứu về vấn đề này, chúng ta có
thể kể đến cơng trình của C. H. Dowker và H. Tamano. Nghiên cứu của C. H. Dowker [11]
năm 1951 đã mơ tả được tính paracompact đếm được của khơng gian tơpơ X thơng qua
tính chuẩn tắc của X × [ 0,1] . Tương tự, năm 1960 H. Tamano [34] cũng đã mơ tả tính
paracompact của khơng gian hồn tồn chính quy X thơng qua tính chuẩn tắc của khơng
gian tơpơ tích của X với compact hóa Čech-Stone của nó. Chính các kết quả này đã tạo
động lực thúc đẩy nghiên cứu và góp phần to lớn cho sự phát triển của Tôpô đại cương.
Nhiều kết quả đẹp và quan trọng trên không gian tôpô tích đã ra đời từ hướng nghiên cứu

của C. H. Dowker và H. Tamano. Một trong số các nhà Tôpô học xuất sắc có nhiều cống
hiến theo hướng này khơng thể không nhắc tới K. Morita. Các vấn đề thú vị khác nhau liên


2

quan trực tiếp hay gián tiếp đến các cơng trình của ông đã được nghiên cứu và phát triển
hơn cả mong đợi.
Trong luận văn này, chúng tôi kế thừa các nghiên cứu của C. H. Dowker, H. Tamano và
K. Morita nhằm giải quyết một bài tốn hẹp về tính chuẩn tắc của khơng gian tơpơ tích:
Bài tốn 1. Gọi L là lớp các không gian chuẩn tắc thỏa mãn một số tính chất nào đó. Tìm
điều kiện cần và đủ đối với khơng gian chuẩn tắc X để tích của X với mọi không gian Y
thuộc vào L là một không gian chuẩn tắc.
Theo một hướng nghiên cứu khác, năm 1971 L. L. Krajewski [16] đã định nghĩa tính
chất khai triển của một không gian tôpô và nghiên cứu cùng J. C. Smith [31] đưa ra một số
đặc trưng của tính chất khai triển. Sau đó, Y. Katuta [15] năm 1975 đã định nghĩa một số
thuật ngữ mới về tính khai triển: σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ -khai triển, θ -khai
triển rời rạc, khai triển con rời rạc và khai triển con …
Kế thừa ý tưởng của Bài toán 1 và kết hợp với các kết quả đã nghiên cứu về tính khai
triển của P -khơng gian, một thuật ngữ được đưa ra bởi K. Morita [22], chúng tơi cũng
nghiên cứu giải quyết thêm
Bài tốn 2. Tìm điều kiện cho khơng gian tơpơ Y để tích tôpô của một P -không gian chuẩn
tắc X với Y kế thừa được tính khai triển từ P -khơng gian chuẩn tắc X .
Xuất phát từ những mục tiêu trên, nội dung của luận văn này sẽ gồm phần mở đầu, ba
chương chính và phần kết luận. Cụ thể như sau:
1. Phần mở đầu: Đặt vấn đề và trình bày sơ lược lịch sử của vấn đề.
2. Phần nội dung:
a. Chương 1 – KIẾN THỨC BỔ TRỢ. Chương này trình bày các khái niệm cần
thiết và đưa ra cơ sở lý thuyết cho các kết quả được nghiên cứu ở Chương 2 và
Chương 3.

b. Chương 2 – TÍNH CHUẨN TẮC CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH. Chương
này trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với đầy đủ chứng minh nhằm giải
quyết Bài toán 1 trong ba trường hợp của L :
• L là lớp các khơng gian Hausdorff compact,
• L là lớp các khơng gian metric compact,
• L là lớp các khơng gian metric hóa.


3

c. Chương 3 – TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH. Chương
này trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với đầy đủ chứng minh nhằm giải
quyết Bài tốn 2 trong bốn trường hợp của tính khai triển:
• tính chất khai triển,
• tính chất σ -khai triển,
• tính chất θ -khai triển,
• tính chất khai triển con.
3. Phần kết luận: Tổng kết lại các kết quả nghiên cứu và đưa ra những nhận xét cũng
như các vấn đề mở cho hướng nghiên cứu sắp tới.


4

Chương 1
KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Nội dung chương này chủ yếu đưa ra cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở
những chương sau. Nhiều định lý trong chương chỉ được nêu ra và lược bỏ chứng minh.
Độc giả quan tâm chứng minh chi tiết có thể tham khảo R. Engelking [12] và J. Nagata [28].
Trong suốt luận văn, nếu khơng có gì nhầm lẫn thì thuật ngữ khơng gian được hiểu là
không gian tôpô, thuật ngữ không gian tơpơ tích là tích tơpơ của hai khơng gian tơpơ.

1.1. Bội Hilbert


∞





i =1



H ( x1 , x2 , …) xi ∈ =
, i 1, 2, …, ∑ xi 2 < +∞  cùng với metric ρ
Định nghĩa 1.1. Tập hợp =

xác định bởi:
1

 ∞
2 2
, y )  ∑ ( xi − yi ) 
=
∀x ( x1 , x2 , …=
) , y ( y1 , y2 ,…) ∈ H : ρ ( x=
 i =1


tạo thành một không gian metric. Vì thế, ( H , ρ ) cũng là một không gian tôpô và được gọi là
không gian Hilbert.



1
i




Không gian con I ω = ( x1 , x2 ,…) xi ∈ , 0 ≤ xi ≤ , i = 1, 2, … của không gian Hilbert được
gọi là bội Hilbert.
Từ định nghĩa trên, chúng ta thấy rằng I ω đồng phơi với tích tơpơ của đếm được các
 1

khoảng đóng 0,  . Do đó, I ω đồng phơi với tích tơpơ của đếm được bản sao khoảng đơn
 i
 1

vị đóng [ 0,1] vì 0,  và [ 0,1] đồng phôi với nhau.
 i

1.2. Phản continuum Cantor
Đặt
I 0 = [ 0,1] ,


5

 1 2 
1 2
I1 = 0,  ∪  ,1 = [ 0,1] \  ,  ,
 3  3 
3 3
 1  2 3 6 7  8 
 3k + 1 3k + 2 
I 2 = 0,  ∪  ,  ∪  ,  ∪  ,1 = [ 0,1] \

 m , m ,
3 
 9 9 9 9 9  9 
1m 2;0k < m  3
…

I n = [ 0,1] \

 3k + 1 3k + 2 
 m , m 
3 
1mn ,0k < m  3



Tổng quát, I n được xây dựng bằng cách chia mỗi khoảng đóng cấu tạo nên I n −1 thành ba
phần đều nhau và bỏ đi khoảng giữa trong ba phần ấy.
∞

Định nghĩa 1.2. C =  I i được gọi là phản continuum Cantor.
i =0

1.3. Tôpô thứ tự
Giả sử ωξ là số thứ tự bé nhất tương ứng với bản số ℵξ và đặt W=
ξ

{α | 0 ≤ α < ω } .
ξ

Chúng ta định nghĩa một họ  các tập con của Wξ như sau:

{

U ⊂ Wξ vớ
i mọi α ∈ U thỏ
a α > 0,
=


tồ
n tại β < α sao cho ( β ,α=

{γ | β < γ ≤ α } ⊂ U} ∪ {0} .

Khơng khó kiểm tra  là một tôpô trên Wξ .
Định nghĩa 1.3. Tôpô  xác định trên Wα được gọi là tôpô thứ tự.

1.4. Các tiên đề tách
Tiên đề T0 . Với mọi cặp điểm phân biệt x , y của không gian X ; tồn tại một lân cận U
của x không chứa y hoặc tồn tại một lân cận V của y không chứa x .
Tiên đề T1 . Với mọi cặp điểm phân biệt x , y của không gian X ; tồn tại một lân cận U

của x không chứa y và một lân cận V của y không chứa x .
Tiên đề T2 . Với mọi cặp điểm phân biệt x , y của không gian X ; tồn tại một lân cận U
∅.
của x và một lân cận V của y sao cho U ∩ V =


6

Tiên đề T3 . Với mọi điểm x và mọi tập con đóng F khơng chứa x của khơng gian X ,
∅.
tồn tại một lân cận U của x và một lân cận V của F sao cho U ∩ V =

Tiên đề T4 . Với mọi cặp tập con đóng rời nhau F , G của khơng gian X ; tồn tại một lân
∅.
cận U của F và một lân cận V của G sao cho U ∩ V =

Định nghĩa 1.4. Không gian X thỏa mãn tiên đề Ti ( i = 0,1, 2,3, 4 ) được gọi là Ti -không
gian.
T0 -không gian được giới thiệu bởi Kolmogoroff nên cịn được gọi là khơng gian

Kolmogoroff. Các khái niệm T1 -không gian và T2 -không gian lần lượt được đưa ra bởi Riesz
năm 1907 và Hausdorff năm 1914. Người ta cịn gọi T1 -khơng gian là khơng gian Fréchet và
T2 -không gian là không gian Hausdorff.

Định nghĩa 1.5. Không gian X được gọi là T 1 -không gian hay khơng gian hồn tồn
2

2

Hausdorff nếu với mọi cặp điểm phân biệt x , y của X ; tồn tại một lân cận U của x và

một lân cận V của y sao cho U ∩ V =
∅.
Năm 1921, trong công trình nghiên cứu của mình Vietoris đưa ra khái niệm khơng gian
chính quy và tính chuẩn tắc của một khơng gian.
Định nghĩa 1.6. Một không gian thỏa mãn đồng thời tiên đề T1 và tiên đề T3 được gọi là
không gian chính quy.
Định nghĩa 1.7. Một khơng gian thỏa mãn đồng thời tiên đề T1 và tiên đề T4 được gọi là
khơng gian chuẩn tắc.
Sau đó, Tietze năm 1923 và Alexandroff - Urysohn năm 1924 đã phát triển khái niệm
này đồng thời phân lớp một số không gian chuẩn tắc. Năm 1925 Urysohn định nghĩa thêm
tính chất T 1 và sau này được nghiên cứu, phát triển bởi Tychonoff.
3

2

Định nghĩa 1.8. Không gian X được gọi là T 1 -không gian nếu mọi điểm x và mọi tập con
3

2

đóng F không chứa x của X , tồn tại một hàm liên tục f : X → [ 0,1] sao cho f ( x ) = 0 và
f (F ) =1.


7

Định nghĩa 1.9. Một không gian được gọi là không gian hồn tồn chính quy hay khơng
gian Tychonoff nếu khơng gian đó đồng thời là T1 -khơng gian và T 1 -không gian.
3

2

T4 -không gian được đặc trưng lần lượt bởi các định lý sau:

Định lý 1.1. Không gian X là một T4 -không gian khi và chỉ khi với mọi tập con đóng F và
mọi tập con mở G của X thỏa F ⊂ G , tồn tại một một tập con mở U của X thỏa
F ⊂U ⊂U ⊂ G .

Định lý 1.2 (Bổ đề Urysohn). Không gian X là một T4 -không gian khi và chỉ khi với mọi
cặp tập con đóng rời nhau F , G của X ; tồn tại một hàm liên tục f : X → [ 0,1] sao cho
f ( F ) = 0 và f ( G ) = 1 .

Chúng ta cũng có đặc trưng của khơng gian chính quy thỏa mãn tiên đề đếm được thứ
hai:
Định lý 1.3 (Định lý nhúng Urysohn). Khơng gian chính quy X thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ hai khi và chỉ khi X đồng phôi với một tập con của bội Hilbert I ω .
Hệ quả 1.1. Với m là bản số vô hạn, khơng gian X là một khơng gian Tychonoff có trọng
số ≤ m khi và chỉ khi X đồng phôi với một không gian con của I m , trong đó I m là tích
tơpơ của m bản sao khoảng đơn vị đóng [ 0,1] .
Các tiên đề tách có tính di truyền cũng như được bảo tồn thơng qua một phép đồng
phôi.
Định lý 1.4. Giả sử ( X ,  ) là một khơng gian tơpơ. Khi đó,
(a) Nếu A là một tập con của Ti -khơng gian thì A sẽ là một Ti -không gian với tôpô cảm
1
2

1
2

sinh  A =

{V ∩ A | V ∈  } , trong đó i = 0,1, 2, 2 ,3,3 .
(b) Nếu A là một tập con đóng của T4 -khơng gian X thì A sẽ là một T4 -khơng gian với
tôpô cảm sinh  A =
{V ∩ A | V ∈  } .
Định lý 1.5. Giả sử f : X → Y là một đồng phôi từ không gian X vào khơng gian Y . Khi
1
2

1
2

đó, X là một Ti -không gian khi và chỉ khi Y là một Ti -không gian với i = 0,1, 2, 2 ,3,3 , 4 .


8

Từ các định lý trên, chúng ta chứng minh được rằng:
1
2

1
2

Định lý 1.6. Với i = 0,1, 2, 2 ,3,3 ; khơng gian tơpơ tích thỏa mãn tiên đề tách Ti khi và chỉ
khi mỗi không gian thành phần thỏa mãn tiên đề tách Ti .
Chứng minh. Giả sử X × Y là tích tơpơ của hai khơng gian X và Y .
Gọi p X : X × Y → X là phép chiếu lên không gian thành phần X . Chiều nghịch của định
lý được chứng minh trong từng trường hợp cụ thể của i .
1. Trường hợp 1 ( i = 0 ). Lấy bất kỳ cặp điểm phân biệt x = ( x1 , x2 ) , y = ( y1 , y2 ) của
không gian X × Y . Không mất tổng quát giả sử x1 ≠ y1 . Do X là T0 -không gian nên

trong X tồn tại một lân cận U của x1 không chứa y1 hoặc một lân cận V của y1
không chứa x1 . Suy ra p X−1 (U ) , p X−1 (V ) lần lượt là lân cận của x không chứa y và
lân cận của y không chứa x hay X × Y là T0 -khơng gian.
2. Trường hợp 2 ( i = 1 ). Lấy bất kỳ cặp điểm phân biệt x = ( x1 , x2 ) , y = ( y1 , y2 ) của
không gian X × Y . Khơng mất tổng qt giả sử x1 ≠ y1 . Do X là T1 -không gian nên
trong X tồn tại một lân cận U của x1 không chứa y1 và một lân cận V của y1 không
chứa x1 . Suy ra p X−1 (U ) , p X−1 (V ) lần lượt là lân cận của x không chứa y và lân cận
của y không chứa x . Do đó X × Y là T1 -khơng gian.
3. Trường hợp 3 ( i = 2 ). Lấy bất kỳ cặp điểm phân biệt x = ( x1 , x2 ) , y = ( y1 , y2 ) của
khơng gian X × Y . Khơng mất tổng quát giả sử x1 ≠ y1 . Do X là T2 -không gian nên
trong X tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận V của y1 sao cho U ∩ V =
∅.
Suy ra p X−1 (U ) , p X−1 (V ) lần lượt là lân cận của x và lân cận của y thỏa mãn
p X−1 (U ) ∩ p X−1 (V ) =
∅ hay X × Y là T2 -khơng gian.

1
2

4. Trường hợp 4 ( i = 2 ).Lấy bất kỳ cặp điểm phân biệt x = ( x1 , x2 ) , y = ( y1 , y2 ) của
khơng gian X × Y . Không mất tổng quát giả sử x1 ≠ y1 . Do X là T 1 -không gian nên
2

2

trong X tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận V của y1 sao cho U ∩ V =
∅.
Suy ra p X−1 (U ) , p X−1 (V ) lần lượt là lân cận của x và lân cận của y thỏa mãn

9

p X−1 (U ) ∩ p X−1 (V ) =
∅ (do p X−1 (U ) = p X−1 (U ) và p X−1 (V ) = p X−1 (V ) ) hay X × Y là T 1 2

2

khơng gian.
5. Trường hợp 5 ( i = 3 ). Lấy bất kỳ điểm x = ( x1 , x2 ) và bất kỳ tập con đóng F khơng
chứa x của khơng gian X × Y . Do X là T3 -khơng gian nên trong X tồn tại một lân
cận U của x1 , một lân cận V của p X ( F ) sao cho U ∩ V =
∅ . Suy ra p X−1 (U ) , p X−1 (V )
lần lượt là lân cận của x và lân cận của F thỏa mãn p X−1 (U ) ∩ p X−1 (V ) =
∅ hay X × Y
là T3 -khơng gian.
1
2

6. Trường hợp 6 ( i = 3 ). Lấy bất kỳ điểm x = ( x1 , x2 ) và bất kỳ tập con đóng F khơng
chứa x của khơng gian X × Y . Do X là T 1 -không gian nên tồn tại một hàm liên tục
3

f : X → [ 0,1] sao cho

=
g f  p X : X × Y → [ 0,1]

f ( x1 ) = 0 và

2

(

)

f p X ( F ) = 1 . Khơng khó để thấy rằng,

là hàm liên tục thỏa mãn
=
g ( x ) f=
 pX ( x ) 0

và

=
g ( F ) f=
 pX ( F ) f =
( pX ( F ) ) 1 . Vậy X × Y là T 1 -không gian.
3

2

1
2

1
2

Ngược lại, giả sử X × Y là một Ti -không gian với i = 0,1, 2, 2 ,3,3 . Khi đó, X × { y}
cũng là một Ti -không gian với tôpô cảm sinh theo Định lý 1.4. Mặt khác, nếu gọi

iX ×{ y} : X × { y} → X × Y

là phép nhúng từ

X × { y} vào

X ×Y

thì ánh xạ hạn chế

=
p X | M p X  iX ×{ y} : X × { y} → X của phép chiếu p X lên X × { y} là phép đồng phôi. Theo

Định lý 1.5, X là một Ti -không gian. Chứng minh tương tự, chúng ta cũng có Y là một Ti không gian.



Các hệ quả sau được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.6:
Hệ quả 1.2. Không gian tơpơ tích là khơng gian chính quy khi và chỉ khi mỗi khơng gian
thành phần là khơng gian chính quy.
Hệ quả 1.3. Khơng gian tơpơ tích là khơng gian hồn tồn chính quy khi và chỉ khi mỗi
khơng gian thành phần là khơng gian hồn tồn chính quy.

1.5. Phủ


10

Giả sử  ,  là hai họ các tập con của không gian X .
Định nghĩa 1.10.  được gọi là một phủ của X nếu các phần tử của  phủ X , tức là

X.
{U | U ∈  } =

Một phủ  của X được gọi là phủ con của  nếu  ⊂  .
Định nghĩa 1.11.  được gọi là hữu hạn (đếm được, vô hạn) nếu  chứa hữu hạn (đếm
được, vô hạn) phần tử.
 được gọi là mở (đóng) nếu  chỉ chứa các tập con mở (đóng) của X .
 được gọi là rời rạc (hữu hạn địa phương, đếm được địa phương) nếu với mọi điểm p

thuộc X , tồn tại một lân cận U của p trong X có giao khác rỗng với không quá một
(không quá hữu hạn, không quá đếm được) phần tử của  .
 được gọi là

σ -rời rạc ( σ -hữu hạn địa phương, σ -đếm được địa phương) nếu

∞

 =  i , trong đó i là một họ rời rạc (hữu hạn địa phương, đếm được địa phương) các
i =1

tập con của X với mọi=i 1, 2,…
 được gọi là hữu hạn điểm (đếm được điểm) nếu mọi điểm p của X bị chứa trong

không quá hữu hạn (không quá đếm được) phần tử của  .
 được gọi là rời nếu hai phần tử bất kỳ của  ln rời nhau.

Các tính chất sau dễ dàng suy ra từ định nghĩa:
=
 {U ξ | ξ ∈ Ξ} là một họ hữu hạn địa phương (rời rạc) các tập con của
Định lý 1.7. Nếu

khơng gian X thì
=
 {U ξ | ξ ∈ Ξ} cũng là một họ hữu hạn địa phương (rời rạc) các tập con
của không gian X .
=
 {U ξ | ξ ∈ Ξ} là một họ hữu hạn địa phương các tập con của khơng gian
Định lý 1.8. Nếu
X thì

 Uξ = ξ Uξ .

ξ ∈Ξ

∈Ξ

Định nghĩa 1.12. Họ

{f

ξ

: X → [ 0,1] | ξ ∈ Ξ} các hàm liên tục được gọi là một phân hoạch

đơn vị trên không gian X nếu

∑ fξ ( x ) = 1 với mọi

ξ ∈Ξ

x∈ X .


11

Phân hoạch đơn vị { fξ | ξ ∈ Ξ} trên không gian X được gọi là hữu hạn địa phương nếu
phủ { fξ −1 ( ( 0,1]) | ξ ∈ Ξ} của X hữu hạn địa phương.
Phân hoạch đơn vị { fξ | ξ ∈ Ξ} trên không gian X được gọi là phụ thuộc vào phủ  của
X nếu phủ

{ f ( ( 0,1]) | ξ ∈ Ξ} của
ξ

−1

X là một mịn của phủ  .

Gọi x và A lần lượt là điểm và tập con bất kỳ của không gian X . Chúng ta quy ước
một số ký hiệu sau:
S ( x=
,)

( A,  )  {U | U ∈  ,U ∩ A ≠ ∅} ,
{U | x ∈U ∈  } , S=

(

)

, n 2,3, 4,… ,

S 1 ( x,  ) = S ( x,  ) , S n ( x,  ) = S S n −1 ( x,  ) , =

(

)

, n 2,3, 4,… ,
S 1 ( A,  ) = S ( A,  ) , S n ( A,  ) = S S n −1 ( A,  ) , =
=
∆
=
*

{ S ( x,  ) | x ∈ X } ,

 ∆∆ = (  ∆ ) , …,

{S (U ,  ) | U ∈  } ,

 ** = (  * ) , …

∆

*

Định nghĩa 1.13. S ( x,  ) ( S ( A,  ) ) được gọi là tập sao của x (của A ) tương ứng với  .
Định nghĩa 1.14.  được gọi là một mịn của  và được ký hiệu là    nếu với mọi
U ∈  , tồn tại một V ∈  thỏa mãn U ⊂ V .
 được gọi là một mịn delta (mịn sao) của  nếu  ∆   (  *   ).

Định lý 1.9. Giả sử ωα là số thứ tự bé nhất tương ứng với bản số ℵα . Ký hiệu Wα là không
gian tôpô gồm tất cả các số thứ tự ≤ ωα với tơpơ thứ tự. Nếu X × Wα là một khơng gian
chuẩn tắc với mọi khơng gian X thì mỗi phủ mở  thỏa  ≤ ℵα của X luôn có một mịn
đóng F thỏa F ≤ ℵα .
Năm 1941, J. W. Tukey đưa ra một số khái niệm về phủ chuẩn tắc.
Định nghĩa 1.15. Dãy phủ mở { i =
| i 1, 2, …} của X được gọi là chuẩn tắc nếu i+1 là một
mịn sao của i với mọi=i 1, 2,… (tức là, …  2  2*  1  1* ).


12

Phủ mở  của X được gọi là chuẩn tắc nếu tồn tại một dãy phủ mở { i =
| i 1, 2, …} của
*
*
X thỏa …  2  2  1  1   . Hay nói cách khác, phủ mở  của X chuẩn tắc nếu tồn

tại một dãy phủ mở chuẩn tắc { i =
| i 1, 2, …} sao cho 1 là mịn sao của  .
Chúng ta quan tâm đến các tính chất sau của phủ mở chuẩn tắc:
Định lý 1.10 (Định lý 1.2 trong K.Morita [21]). Giả sử  là một phủ mở của khơng gian
X . Khi đó, các mệnh đề sau tương đương nhau:

(a)  là một phủ mở chuẩn tắc.
(b) Tồn tại một ánh xạ liên tục f từ X vào không gian metric Y sao cho  bị làm mịn
bởi ảnh ngược của một phủ mở nào đó của Y .
=
 {Vξ | ξ ∈ Ξ} là phủ mở hữu hạn địa phương sao cho với mỗi ξ ∈ Ξ
(c)  có một mịn

=
Vξ
phần tử Vξ ∈  có thể biểu diễn dưới dạng

{ x | f ( x ) > 0} ,
ξ

trong đó

fξ : X → I =
[0,1] là một hàm liên tục nào đó.

(d)  có một mịn là phủ mở chuẩn tắc hữu hạn địa phương.
(e) Tồn tại một phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương phụ thuộc  .
(f) Tồn tại một phân hoạch đơn vị phụ thuộc  .
=
 {Vξ | ξ ∈ Ξ} của X sao cho với mỗi ξ ∈ Ξ , hạn chế
(g) Tồn tại một phủ mở chuẩn tắc

{V

ξ

∩ U | U ∈  } của  lên Vξ là một phủ mở chuẩn tắc của Vξ .

Hệ quả 1.4. Giả sử  là một phủ mở của không gian chuẩn tắc X . Nếu tồn tại một phủ mở
=
 {Vξ | ξ ∈ Ξ} của X sao cho với mỗi ξ ∈ Ξ , Vξ bị phủ bởi hữu hạn phần tử của
chuẩn tắc
 thì  là một phủ mở chuẩn tắc của X .

Chứng minh. Gọi W là một phủ mở chuẩn tắc của X sao cho W   . Khi đó, với mỗi
W ∈ W , W là một không gian chuẩn tắc bị phủ bởi hữu hạn phần tử của  . Do đó, hạn chế

của  lên W là một phủ mở chuẩn tắc của W . Theo Định lý 1.10,  là một phủ mở chuẩn


tắc của X .
∞

Hệ quả 1.5. Giả sử  =  i là một phủ mở σ -hữu hạn địa phương của không gian X ,
i =1

trong đó
=
i {Giα | α ∈ Ωi } là họ hữu hạn địa phương các tập con của X . Nếu với mỗi Giα ,


13

tồn tại một hàm liên tục ϕiα : X → [ 0,1] sao =
cho Giα

{ x | ϕ α ( x ) > 0}
i

thì  là một phủ mở

chuẩn tắc.
Chứng minh. Vì i hữu hạn địa phương nên ϕ xác định bởi

ϕi ( x ) =

∑ ϕ α ( x)

α ∈Ωi

i

với mọi x ∈ X là một hàm liên tục trên X .
∞

Nếu với mọi x ∈ X , đặt ϕ ( x ) = ∑
i =1

ϕi ( x )
thì ϕ cũng là một hàm liên tục trên X .
2 (1 + ϕi ( x ) )
i

Vì  là một phủ mở của X nên ϕ ( x ) > 0 với mọi x ∈ X .
Với mọi x ∈ X , đặt ψ iα ( x ) =
và Giα
=

∞
ϕiα ( x )
.
Khi
đó,
∑ ∑ ψ iα ( x ) = 1 với mọi x ∈ X

2i ϕ ( x ) (1 + ϕi ( x ) )
=i 1 α ∈Ωi

,i
{ x |ψ α ( x ) > 0} . Do đó, {ψ iα ( x ) : X → [0,1] | α ∈ Ωi=
i

1, 2, …} là một phân hoạch đơn

vị trên X phụ thuộc  . Theo Định lý 1.10,  là phủ mở chuẩn tắc.



Định lý 1.11. Mọi phủ mở σ -hữu hạn địa phương của một không gian chuẩn tắc
paracompact đếm được 1 là phủ mở chuẩn tắc.
∞

Chứng minh. Gọi  =  i là phủ mở σ -hữu hạn địa phương của không gian chuẩn tắc
i =1

paracompact đếm được X , trong đó i là họ hữu hạn địa phương các tập con của X với
mọi=i 1, 2,…
Nếu=
đặt Gi

|i
{G | G ∈  } thì {G =
i

i

1, 2, …} là phủ mở đếm được của X . Do đó, tồn tại

một phủ mở đếm được hữu hạn địa phương { H i =
| i 1, 2, …} của X sao cho H i ⊂ Gi với mọi
=
i 1, 2, … Khi đó, { H i ∩ G | G ∈ i , i =1, 2, …} là một phủ mở hữu hạn địa phương, vì vậy cũng

là một phủ mở chuẩn tắc của X . Vì { H i ∩ G | G ∈ i , i =1, 2,…} là mịn của  nên  là phủ
mở chuẩn tắc của X .



1.6. Không gian Baire

Không gian X được gọi là paracompact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X ln có một mịn
mở hữu hạn địa phương.

1


14

Gọi Ω là một tập khác rỗng. Với bất kỳ hai dãy
=
α {α1 , α 2 ,…=
} , β {β1 , β 2 ,…} các phần
tử của Ω , chúng ta định nghĩa
1
,nế

u α i = βi vớ
i i < k vaøα k ≠ β k ,

ρ (α , β ) =  k

=
=
βi vớ
uα
i i 1,2,…
i
0 ,nế

Định nghĩa 1.16. Tập hợp N ( Ω ) tất cả dãy các phần tử của Ω với ρ định nghĩa như trên
sẽ lập thành một không gian metric và được gọi là không gian Baire.
Nếu

{V (α , α
1

2

đặt

V ( α1 , α 2 , … , α i ) =

{( β ) | β
j

1

}

= α1 , β 2 = α 2 , … , β i = α i , ( β j ) ∈ N ( Ω )

thì

họ

, …, α i ) | α1 , α 2 , …, α i ∈ Ω=
, i 1, 2, …} là một cơ sở mở của N ( Ω ) và hiển nhiên trọng

số của N ( Ω ) thỏa
 Ω , neá
u 0 ≤ Ω ≤ ℵ0 ,
w N (Ω) =

u Ω ℵ0 ,
ℵ0 , nế

(

)

trong đó ℵ0 là bản số của tập hợp các số tự nhiên.

1.7. Không gian compact, không gian paracompact
Định nghĩa 1.17. Không gian X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X
ln có một phủ con hữu hạn.
Không gian X được gọi là không gian compact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được

của X ln có một phủ con hữu hạn.
Khơng gian X được gọi là khơng gian Linderlưf nếu mọi phủ mở của X ln có một
phủ con đếm được.
Với m là bản số vô hạn bất kỳ, không gian X được gọi là khơng gian m -paracompact
nếu mọi phủ mở có lực lượng ≤ m của X ln có một mịn mở hữu hạn địa phương.
Không gian X được gọi là không gian paracompact nếu mọi phủ mở của X luôn có một
mịn mở hữu hạn địa phương.
Khơng gian X được gọi là không gian paracompact đếm được nếu mọi phủ mở đếm
được của X ln có một mịn mở hữu hạn địa phương.


15

Không gian X được gọi là không gian paracompact con nếu mọi phủ mở của X ln có
một mịn đóng σ -rời rạc.
Không gian X được gọi là không gian paracompact con đếm được nếu mọi phủ mở đếm
được của X ln có một mịn đóng σ -rời rạc.
Một số kết quả quan trọng của không gian compact và không gian paracompact:
Định lý 1.12 (Định lý tích Tychonoff). Nếu { X ξ | ξ ∈ Ξ} là một họ các không gian compact

∏ { X ξ | ξ ∈ Ξ} cũng là một khơng gian compact.

=
thì X

Hệ quả 1.6. Khơng gian X là một không gian Hausdorff compact khi và chỉ khi X đồng
phơi với một tập con đóng của tích tơpơ của các bản sao khoảng đơn vị đóng [ 0,1] .
Định lý 1.13. Giả sử A , B là một cặp tập con đóng của khơng gian Hausdorff
paracompact X . Nếu với mọi x ∈ B , tồn tại một lân cận U x của A và một lân cận Vx của x
sao cho U x ∩ Vx =

∅ thì cũng tồn tại một lân cận U của A và một lân cận V của B sao cho
U ∩V =
∅.

Chứng minh. Vì họ {Vx | x ∈ B} ∪ ( X \ B ) là một phủ mở của khơng gian X paracompact nên
nó có một mịn mở {Wξ | ξ ∈ Ξ} hữu hạn địa phương.
Đặt Ξ=
0

{ξ ∈ Ξ |W

ξ

∩ B ≠ ∅} . Khi đó, B ⊂

dụng Định lý 1.8, U = X \

 Wξ

 Wξ

ξ ∈Ξ0

và A ∩ Wξ ≠ ∅ với mọi ξ ∈ Ξ 0 . Áp

là một tập mở. Khơng khó để kiểm tra U = X \

V=

 Wξ

thỏa mãn các tính chất cần chứng minh.

 Wξ

và

ξ ∈Ξ0

ξ ∈Ξ0



ξ ∈Ξ0

Từ Định lý 1.13, dễ dàng suy ra rằng
Hệ quả 1.7. Mọi không gian Hausdorff paracompact là khơng gian chuẩn tắc.
Vì mọi khơng gian compact là không gian paracompact nên từ Hệ quả 1.7 suy ra
Hệ quả 1.8. Mọi không gian Hausdorff compact là khơng gian chuẩn tắc.
Bên cạnh đó,
Định lý 1.14 (Định lý 1.1 trong K.Morita [21]). Giả sử X là một khơng gian tơpơ. Khi đó,
các mệnh đề sau tương đương nhau:


16

(a) X là một không gian chuẩn tắc m -paracompact.
(b) Mọi phủ mở có lực lượng ≤ m của X là một phủ chuẩn tắc.
(c) Mọi phủ mở có lực lượng ≤ m của X ln có một mịn là phủ đóng hữu hạn địa
phương.

(d) Mọi phủ mở có lực lượng m của X ln có một mịn là phủ mở σ -hữu hạn địa
phương và X là không gian chuẩn tắc paracompact đếm được.
Định lý 1.15. Giả sử A là tập con của không gian X chuẩn tắc m -paracompact. Nếu với
bất kỳ tập mở G chứa A , tồn tại một họ {H ξ | ξ ∈ Ξ} các Fσ -tập mở của X sao cho
A ⊂  H ξ ⊂ G và { H ξ | ξ ∈ Ξ} là một họ σ -hữu hạn địa phương của A thì A là một khơng
ξ ∈Ξ

gian chuẩn tắc m -paracompact.

1.8.

P -không gian

Gọi m là một bản số ≥ 1 .
Định nghĩa 1.18. Không gian X được gọi là một P ( m ) -không gian nếu với mọi tập Ω có
lực lượng m và bất kỳ họ {G (α1 , α 2 ,…, α i ) | α1 , α 2 ,…, α i ∈ Ω=
, i 1, 2, …} các tập con mở của

X thỏa mãn
G (α1 , α 2 , …, α i ) ⊂ G (α1 , α 2 , …, α i , α i +1 )

(1.1)

với mọi α1 , α 2 ,…, α i , α i +1 ∈ Ω=
, i 1, 2, … , tồn tại một họ

{ F (α , α
1

2

, …, α i ) | α1 , α 2 , …, α i ∈ Ω=
, i 1, 2, …}

các tập con đóng của X thỏa mãn hai điều kiện:
(i)

i 1, 2, … ;
F (α1 , α 2 , …, α i ) ⊂ G (α1 , α 2 , …, α i ) với α1 , α 2 , …, α i ∈ Ω ,=

=
X
(ii)

∞

 F (α1 , α 2 ,…, α i ) với mọi dãy {α=
i } thỏa X
i =1

∞

 G (α , α , … , α ) .
1

2

i

i =1

Không gian X được gọi là một P -không gian nếu X là P ( m ) -không gian với bất kỳ
bản số m .
Các định lý sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa:
Định lý 1.16. Mọi P ( m ) -không gian là P ( n ) -không gian với m > n là các bản số.


17

Định lý 1.17. Không gian chuẩn tắc X là một P (1) -không gian khi và chỉ khi X là một
không gian paracompact đếm được.
Kết hợp hai định lý vừa nêu,
Định lý 1.18. Mọi P ( m ) -không gian chuẩn tắc là khơng gian paracompact đếm được.
Ngồi ra,
Định lý 1.19. Nếu {G (α1 , α 2 ,…, α i ) | α1 , α 2 ,…, α i ∈ Ω=
, i 1, 2, …} là họ các tập con mở của
không gian chuẩn tắc X thỏa điều kiện (1.1) thì các mệnh đề sau tương đương nhau:
(a) Tồn tại một họ {G (α1 , α 2 ,…, α i ) | α1 , α 2 ,…, α i ∈ Ω=
, i 1, 2, …} các tập con đóng của X
thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 1.18.
(b) Tồn tại một họ {G (α1 , α 2 ,…, α i ) | α1 , α 2 ,…, α i ∈ Ω=
, i 1, 2, …} các Fσ -tập mở của X
thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 1.18.
(c) Tồn tại một họ {G (α1 , α 2 ,…, α i ) | α1 , α 2 ,…, α i ∈ Ω=
, i 1, 2, …} các Fσ -tập của X thỏa
mãn các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 1.18.
Chứng minh. Định lý được chứng minh theo sơ đồ sau: ( a ) ⇒ ( b ) ⇒ ( c ) ⇒ ( a ) .
1. ( a ) ⇒ ( b ) : Giả sử rằng có mệnh đề ( a ) . Với mỗi dãy hữu hạn (α1 , α 2 ,…, α i ) do X là
không gian chuẩn tắc nên tồn tại một Fσ -tập con mở H (α1 , α 2 ,…, α i ) thỏa mãn
F ( α1 , α 2 , … , α i ) ⊂ H ( α1 , α 2 , … , α i ) ⊂ G ( α 1 , α 2 , … , α i ) .

2. ( b ) ⇒ ( c ) : Hiển nhiên.
3. ( c ) ⇒ ( a ) : Giả sử rằng có mệnh đề ( c ) . Khi đó, tồn tại các tập con đóng
=
,αi )
C (α1 , α 2 , …, α i ; k ) của X thỏa mãn F (α1 , α 2 , …
K (α1 , α 2=
, …, α i )

{C (α , α
1

2

}

∞

 C (α , α , … , α ; k ) .
1

2

i

Nếu đặt

k =1

, …, α j ; k ) | j ≤ i, k ≤ i thì K (α1 , α 2 , …, α i ) là một tập con

đóng của X và K (α1 , α 2 ,…, α i ) ⊂ G (α1 , α 2 ,…, α i ) .


18

Nếu

=
X
sử

giả

∞

 G ( α1 , α 2 , … , α i )

=
X
thì

i =1

C ( α1 , α 2 , … , α i ; k ) ⊂ K ( α1 , α 2 , … , α i )

=
X

với

∞

 F (α , α , … , α ) .
1

2

i

mọi

i

thỏa

i≥ j,

i≥k

∞

 K (α , α , … , α ) .
1

2

Vì

i =1

nên


i

i =1

Nếu ký hiệu lại

{(α , α

n
Ω=

1

ω Ω

Ω<ω =

2

n

, …, α n ) | α i ∈ Ω=
, i 1, 2, …, n} với mỗi n ∈ ω ;

;

n∈

{(α ,α ,…,α ,…) | α ∈ Ω vớimọi i ∈ ω} ;

=
Ωω

1

σ ∨=
α
=
σn

2

n

i

=
σ (α1 , α 2 ,…, α n ) ∈ Ω n và α ∈ Ω ;
(α1 , α 2 ,…, α n , α ) với mọi
=
σ (α1 , α 2 ,…, α n ,…) ∈ Ωω .
(α1 , α 2 ,…, α n ) ∈ Ωn với mọi

Định nghĩa P -khơng gian có thể được viết lại đơn giản theo cách ký hiệu mới.
Định nghĩa 1.19. Không gian X được gọi là một P -không gian nếu với mọi tập Ω và bất
kỳ họ {G (σ ) | σ ∈ Ω<ω } các tập con mở của X thỏa G (σ ) ⊂ G (σ ∨ α ) với mọi σ ∈ Ω n ,

α ∈ Ω ; tồn tại một họ { F (σ ) | σ ∈ Ω<ω } các tập con đóng của X thỏa mãn hai điều kiện:

(i)
(ii)

F (σ ) ⊂ G (σ ) với mọi σ ∈ Ω<ω ,

X =  F (σ  n ) với mọi σ ∈ Ωω thỏa X =  G (σ  n ) .
n∈ω

n∈ω

1.9. Khơng gian metric hóa
Định nghĩa 1.20. Khơng gian X được gọi là khơng gian metric hóa nếu X đồng phơi với
một khơng gian metric.
Đối với khơng gian metric hóa, chúng ta quan tâm đến tính chất sau:
Định lý 1.20 (Bổ đề 6 trong M. Katĕtov [13]). Nếu không gian X là một khơng gian
metric hóa thì với mỗi n ∈ ω , tồn tại những phủ mở hữu hạn địa phương n và n của X
thỏa mãn các điều kiện:
=
n
(i)

{V (σ ) | σ ∈ Ω=
} ,  { B (σ ) | σ ∈ Ω } ,
n

n

n

19

(ii)
(iii)

B (σ ) ⊂ V (σ ) ,
=
V (σ )

B (σ )  B (σ ∨ α ) với mỗi σ ∈ Ω
 V (σ ∨ α ) ,=
α
α
∈Ω

(iv)

n

,

∈Ω

với mỗi x ∈ X , tồn tại một σ ∈ Ω w sao cho {V (σ  n ) | n ∈ w} và {B (σ  n ) | n ∈ w}
là các cơ sở địa phương của x trong X .

Định lý 1.21 (Định lý 2.1 trong K. Morita [22]). Giả sử m là bản số vô hạn và Ω là tập
hợp có lực lượng m . Để khơng gian X là một khơng gian metric hóa có trọng số ≤ m ,

điều kiện cần và đủ là tồn tại một không gian con S của N ( Ω ) và một tồn ánh liên tục
đóng g : S → X sao cho g −1 ( x ) là compact với mọi điểm x ∈ X .
Trong trường hợp m = ℵ0 , Định lý 1.21 có thể được phát biểu lại như sau:
Định lý 1.22. Để không gian X là một khơng gian metric hóa khả ly, điều kiện cần và đủ là
tồn tại một không gian con S của phản continuum Cantor Dℵ và một toàn ánh liên tục
0

đóng g : S → X sao cho g −1 ( x ) compact với mọi điểm x ∈ X .
Năm 1969, K. Nagami [27] đưa ra các nghiên cứu của mình về Σ -khơng gian.

1.10. Σ -khơng gian
Gọi  là một phủ của không gian X và x ∈ X . Chúng ta đặt
C ( x=
, )

{F : x ∈ F ∈  }

Định nghĩa 1.21. Σ -lưới của không gian X là một dãy  = { Fi }i∈ω các phủ đóng hữu hạn
địa phương của X thỏa mãn điều kiện:
Nếu K1 ⊃ K 2 ⊃ … là một dãy các tập con đóng khác rỗng của X sao cho tồn tại một
x ∈ X để K i ⊂ C ( x, i ) với mọi i ∈ ω thì

ω K

i

≠∅.

i∈

Nhận xét rằng, nếu đặt C ( x ) =  C ( x, Fi ) thì hiển nhiên C ( x ) đóng và compact đếm
i∈ω

được.
Định nghĩa 1.22. Σ -lưới  của không gian X thỏa mãn C ( x ) compact với mọi x ∈ X
được gọi là Σ -lưới mạnh của X . Không gian X có một Σ -lưới ( Σ -lưới mạnh) được gọi là
Σ -không gian ( Σ -không gian mạnh).


20

Chúng ta có thể suy ra từ định nghĩa trên các tính chất sau:
Định lý 1.23. Mọi Σ -khơng gian paracompact là Σ -không gian mạnh.
Định lý 1.24. Giả sử  = { Fi }i∈ω là một Σ -lưới của khơng gian X . Nếu i vừa là một phủ
đóng hữu hạn địa phương của X vừa là mịn của i với mọi i ∈ ω thì  = { H i }i∈ω là một Σ lưới của X .
Định lý 1.25. Nếu X là một Σ -khơng gian thì X có một Σ -lưới  = { Fi }i∈ω thỏa mãn các
tính chất:
i là phủ đóng hữu hạn địa phương của X ,

(i)

=
n
(ii)

F (σ )  F (σ ∨ α ) với mọi σ ∈ Ω
{F (σ ) | σ ∈ Ω } ,=
n

n

,

α ∈Ω

với mỗi x ∈ X , tồn tại một σ ∈ Ωω sao cho {F (σ  n ) | n ∈ ω} là một K -lưới của

(iii)

C ( x ) =  F (σ  n ) (tức là, nếu U là một tập con mở của X thỏa mãn C ( x ) ⊂ U
n∈ω

thì tồn tại một n ∈ ω sao cho F (σ  n ) ⊂ U ).
Chứng minh. Vì X là một Σ -khơng gian nên X có một Σ -lưới  = { H i }i∈ω . Gọi i′ là họ
tất cả các giao hữu hạn của các phần tử thuộc i . Khi đó, hiển nhiên i′ là một phủ đóng
và đặt i′
hữu hạn địa phương của x =

{ H (α ) | a ∈ A } .
i

i

i

i

Đặt Ω là tập hợp chứa tất cả các Ai sao cho lực lượng của nó Ω là sup của tất cả các lực
lượng Ai . Nếu đặt H i (α i ) = ∅ với mọi α i ∈ Ω \ Ai thì chúng ta có thể ký hiệu lại i′ thành
=

H ′i

{H (α ) | a ∈ Ω} .
i

Gọi F (α1 , α 2 ,…, α i ) =
 H j (α j ) và
j ≤i

=
i

, α ∈ Ω} { F (σ ) | σ ∈ Ω } .
{F (α , α ,…, α ) | a ,α ,…=
n

1

2

i

1

2

i

Vì i  
i nên { Fi } là một Σ -lưới thỏa mãn các điều kiện (i), (ii) theo Định lý 1.24.

Lấy bất kỳ x ∈ X . Do i′ là phủ đóng hữu hạn địa phương của X nên tồn tại α i ∈ Ω sao
cho C ( x, i′) = H i (α i ) . Suy ra tồn tại một
=
σ (α1 , α 2 ,…, α n ,…) ∈ Ωω thỏa mãn (iii).

