Bước chuyển từ số học sang đại số trong dạy học toán ở trung học cơ sở trường hợp phân thức đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hồng Thị Hồng Hà

BƯỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ
TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ:
TRƯỜNG HỢP PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hồng Thị Hồng Hà

BƯỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ
TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ:
TRƯỜNG HỢP PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Chuyên ngành : Lí luận phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HỒI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu,
người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tiếp đến, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo
Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh Dũng.
Các thầy cô là những người trực tiếp giảng dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức cần
thiết và quan trọng của bộ mơn didactic Tốn. Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các
thầy cô ở Pháp đã góp ý, tư vấn để chúng tơi có hướng đi tốt trong nghiên cứu của
mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau Đại Học đã tạo điều kiện thuận lợi để
tơi hồn thành luận văn.
- Tập thể lớp didactic Toán K24 và K25 đã luôn giúp đỡ, chia sẻ trong suốt thời
gian tôi học tập ở trường.
- Ban giám hiệu cùng quý thầy, cơ trong tổ Tốn trường trung học cơ sở Phan
Chu Trinh, thành phố Buôn Ma Thuột, tỉnh Đaklak đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi
tiến hành thực nghiệm.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn từ đáy lòng đến những người thân trong gia
đình đã ln quan tâm, giúp đỡ tơi trong những lúc khó khăn và tạo điều kiện để tơi có
thể hồn thành luận văn này.
Hồng Thị Hồng Hà


MỤC LỤC

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ
MỞ ĐẦU......................................................................................................................... 1
Chương 1. ĐẶC TRƯNG CỦA SỐ HỌC, ĐẠI SỐ VÀ BƯỚC CHUYỂN
GIỮA HAI PHÂN MÔN ........................................................................... 6
1.1. Khái quát đặc trưng của số học và đại số........................................................... 7
1.2. Một số trạng thái hoạt động của các biểu tượng ................................................ 9
1.2.1. Trạng thái hoạt động của dấu bằng (kí hiệu “=”) .......................................... 9
1.2.2. Trạng thái hoạt động của chữ cái .................................................................. 9
1.2.3. Trạng thái hoạt động của các dấu phép tính .................................................. 9
1.2.4. Trạng thái hoạt động của biểu thức đại số................................................... 10
1.3. Đặc trưng của bước chuyển từ số học sang đại số ........................................... 10
1.4. Kết luận ............................................................................................................ 13
Chương 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ BƯỚC CHUYỂN TỪ SỐ
HỌC SANG ĐẠI SỐ: TRƯỜNG HỢP PTĐS ..................................... 15
2.1. Các yếu tố đại số trong chương trình mơn tốn ở tiểu học .............................. 16
2.1.1. Những nội dung số học thuộc chương trình mơn tốn ở tiểu học ............... 16
2.1.2. Các yếu tố đại số trong chương trình mơn tốn ở tiểu học ......................... 17
2.2. Các yếu tố đại số trong chương trình mơn tốn ở trung học cơ sở .................. 21
2.2.1. Các yếu tố đại số trong số học 6 .................................................................. 21
2.2.2. Các yếu tố đại số trong chương trình đại số 7 ............................................. 23
2.2.3. Các yếu tố đại số trong chương trình đại số 8 ............................................. 24
2.2.4. Các yếu tố đại số trong chương trình đại số 9 ............................................. 27
2.3. PTĐS trong SGK đại số 8 ................................................................................ 28
2.3.1. Về khái niệm PTĐS ..................................................................................... 29

2.3.2. Về cách tiếp cận khái niệm hai phân thức bằng nhau ................................. 30
2.3.3. Tính chất cơ bản của phân thức ................................................................... 32
2.3.4. Các phép toán với PTĐS ............................................................................. 33
2.3.5. Các tổ chức toán học liên quan đến PTĐS trong SGK đại số 8 .................. 35
2.3.6. Cơ chế hoạt động của chữ và các kí hiệu .................................................... 43
2.4. Kết luận ............................................................................................................ 46
Chương 3. THỰC NGHIỆM ...................................................................................... 49
3.1. Mục đích thực nghiệm ..................................................................................... 49
3.2. Giới thiệu thực nghiệm .................................................................................... 49
3.2.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm........................................................... 49
3.2.2. Các bài tốn thực nghiệm ............................................................................ 49
3.3. Phân tích tiên nghiệm....................................................................................... 50
3.3.1. Bài 1............................................................................................................. 50
3.3.2. Bài 2 và bài 3 ............................................................................................... 54
3.4. Phân tích hậu nghiệm ....................................................................................... 59
3.5. Kết luận ............................................................................................................ 67
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 69
PHỤ LỤC ...................................................................................................................... 1


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
ĐKXĐ

: Điều kiện xác định

KNV

: Kiểu nhiệm vụ

NXB

: Nhà xuất bản

PTĐS

: Phân thức đại số

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

SGK SH 6 T2 : Sách giáo khoa số học 6 tập 2 chương trình hiện hành
SGK ĐS 8 T1 : Sách giáo khoa đại số 8 tập 1 chương trình hiện hành
SGK ĐS 8 T2 : Sách giáo khoa đại số 8 tập 2 chương trình hiện hành
SGV SH 6 T2 : Sách giáo viên số học 6 tập 2 chương trình hiện hành
SGV ĐS 8 T1 : Sách giáo viên đại số 8 tập 1 chương trình hiện hành
SGV ĐS 8 T2 : Sách giáo viên đại số 8 tập 2 chương trình hiện hành
Tr

: Trang


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Tổng hợp đặc trưng của số học và đại số ......................................................13
Bảng 2.1. Thống kê các quy tắc thực hiện phép toán với phân số và PTĐS.................34

Bảng 2.2. Thống kê các KNV về PTĐS trong SGK đại số 8 ........................................35
Bảng 2.3. Thống kê số lượng các ví dụ, hoạt động, bài tập trong SGK theo các KNV
......................................................................................................................43
Bảng 3.1. Thống kê những lời giải có thể của bài 1 ......................................................51
Bảng 3.2. Thống kê những lời giải có thể của bài 2 và bài 3 ........................................55
Bảng 3.3. Thống kê câu trả lời của học sinh với bài 1, câu a ........................................59
Bảng 3.4. Thống kê câu trả lời của học sinh với bài 1, câu b........................................60
Bảng 3.5. Thống kê câu trả lời của học sinh với bài 2 và bài 3 ....................................62


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 3.1. Bài làm câu a, bài 1 của học sinh 1 theo chiến lược S 1a2 ..............................59
Hình 3.2. Bài làm câu a, bài 1 của học sinh 2 theo chiến lược S 1a3 ..............................59
Hình 3.3. Bài làm câu a, bài 1 của học sinh 3 theo chiến lược S 1a3 ..............................60
Hình 3.4. Bài làm câu b, bài 1 của học sinh 4 theo chiến lược S 1b1 ..............................60
Hình 3.5. Bài làm câu b, bài 1 của học sinh 5 theo chiến lược S 1b1 ..............................61
Hình 3.6. Bài làm câu b, bài 1 của học sinh 6 theo chiến lược S 1b1 ..............................61
Hình 3.7. Bài làm câu b, bài 1 của học sinh 7 theo chiến lược S 1b2 ..............................61
Hình 3.8. Bài làm câu b, bài 1 của học sinh 8 theo chiến lược S 1b2 ..............................62
Hình 3.9. Bài làm bài 2 của học sinh 9 theo chiến lược S 2a ..........................................63
Hình 3.10. Bài làm bài 2 của học sinh 10 theo chiến lược S 2b ......................................64
Hình 3.11. Bài làm bài 2 của học sinh 11 theo chiến lược S 2c ......................................64
Hình 3.12. Bài làm bài 3 của học sinh 12 theo chiến lược S 2a ......................................65
Hình 3.13. Bài làm bài 3 của học sinh 13 theo chiến lược S 2b ......................................66
Hình 3.14. Bài làm bài 3 của học sinh 14 theo chiến lược S 2c ......................................67


1

MỞ ĐẦU

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Ở bài viết Bước chuyển biến từ số học sang đại số trong giảng dạy mơn Tốn ở
cấp trung học cơ sở 1, để minh họa cô đọng về ý nghĩa của đại số, Yves Chevallard đã
trích bài tốn sau đây, lấy từ một cuốn sách nhỏ - Đại số ở trường tiểu học xuất bản tại
Marseille năm 1924.
“Người ta có hai miếng vải trải giường, miếng thứ hai dài hơn miếng thứ nhất 4m. Cả hai
miếng dài 40m. Hỏi mỗi miếng dài bao nhiêu?” (Yves Chevallard, 1984, Tr.54)

Trong phạm vi số học, người ta giải như sau:
“Miếng vải thứ nhất
Miếng vải thứ hai

4m


 40 m


Từ sơ đồ, ta thấy hai lần chiều dài miếng vải thứ nhất là

40 − 4 =
36 ( m )
Chiều dài miếng vải thứ nhất là

36 : 2 = 18 ( m )
Chiều dài miếng vải thứ hai là

18 + 4 =
22 ( m ) ” (Yves Chevallard, 1984, Tr.54)

Lời giải này của số học có được nhờ vận dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng,
trong đó đại lượng chưa biết được biểu thị bởi một đoạn thẳng, mối quan hệ giữa các
đại lượng của bài toán được minh họa một cách trực quan. Nếu sử dụng phương pháp
của đại số lời giải sẽ là:
“Gọi độ dài miếng vải thứ nhất là x ( m ) với x > 0
Khi đó, độ dài miếng vải thứ hai là x + 4 ( m )
Theo giả thiết bài tốn, ta có:

x + ( x + 4) =
40
2x + 4 =
40
2 x = 36
x = 18

1

Le passage de l’arithmetique a l’algebrique dans l’enseignement des mathematiques au college,

Petit x, N°5.


2

Vậy miếng vải thứ nhất dài 18 (m), miếng vải thứ hai dài 22 (m).” (Yves Chevallard,
1984, Tr.54)

Cách giải này của đại số được gọi là giải toán bằng cách lập phương trình. Tư
tưởng tổng qt của nó là biểu thị đại lượng chưa biết bằng một chữ - gọi là ẩn (có
điều kiện thích hợp cho ẩn) và biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng của bài tốn

bằng một (hay một hệ) phương trình.
Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng chỉ thuận lợi cho những bài tốn có một biến số
và quan hệ giữa các đại lượng trong bài tốn tương ứng với một phương trình bậc nhất
(nói theo ngôn ngữ đại số).Trong những trường hợp khác sẽ khó khăn hơn. Lịch sử đã
chỉ ra rằng lúc đó người ta phải phát triển phương pháp đoạn thẳng với “ngun lý
thuần nhất”, theo đó thì một số đặt tương ứng với một độ dài, tích hai số tương ứng với
một diện tích, tích ba số tương ứng với một thể tích. Ngun lý này cho phép giải
nhiều bài tốn của đại số (lúc đó chưa có một hệ thống ký hiệu phù hợp) bằng cơng cụ
hình học. Tuy nhiên, nó chỉ áp dụng được cho các số dương và lời giải cũng khơng
mang tính khái qt như lời giải đại số sau này (tham khảo Lê Thị Hoài Châu, 2008,
Tr. 29-42).
Sự ra đời của đại số cho phép giải quyết các bài toán số học theo cách đơn giản
hơn nhờ sử dụng ngơn ngữ kí hiệu. Đặc biệt, việc dùng kí hiệu chữ thay thế cho một số
bất kì, đã giúp diễn đạt tính chất của các phép tốn số theo một cách ngắn gọn, tạo sự
thuận tiện trong tính tốn cho các trường hợp tổng qt. Chính điều đó đã khiến Đại số
chuyển sang giai đoạn phát triển một cách độc lập, nhanh chóng, thậm chí cịn có ảnh
hưởng tích cực đến sự tiến bộ của tốn học. Theo tài liệu “Commission de réflexion sur
l’enseignement des mathématiques” công bố ở Pháp thì:
“Bước chuyển từ tính tốn số sang tính tốn đại số thực sự là một cuộc cách mạng. Việc xác
định một đại lượng chưa biết, thay đổi, chưa xác định bởi một chữ và đưa các chữ này
vào các tính tốn tương tự như các đại lượng đã biết làm tăng khả năng của tính tốn.”

(trích theo Trịnh Duy Trọng, 2009, Tr.3)

Tài liệu “Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques” cũng
cho rằng bước chuyển này không phải là đơn giản đối với những học sinh bắt đầu làm
quen với Đại số:
“Phương pháp đại số buộc học sinh phải xem lại một cách sâu sắc những chiến lược tính

3

tốn của chúng. Trong số học, nó phát triển từ cái đã biết đến cái chưa biết bằng cách tạo
ra dần dần những kết quả trung gian. Trong đại số, phải thiết lập mối liên hệ giữa cái đã
biết và cái chưa biết, sau đó tính tốn trên những mối liên hệ này đến khi nhận được kết
quả cần tìm. Chính sự đảo ngược về tư tưởng này khiến việc giảng dạy thường gặp phải
khó khăn.
Bên cạnh đó, cách thức điều khiển tính tốn cũng thay đổi. Nếu như các tính tốn số
nhắm đến việc tìm ra giá trị số của một biểu thức số, thì tính tốn đại số lại nhắm đến một
kết quả tổng quát cho tất cả những biểu thức đạt được bằng cách gán giá trị cụ thể cho các
chữ có mặt trong biểu thức. ” (trích theo Trịnh Duy Trọng, 2009, Tr.3)

Cùng quan điểm với các nhà nghiên cứu Pháp, H.Wu (2009), trong bài viết Từ số
học đến đại số 2 đã chỉ ra rằng cần có một bước chuyển hợp lí từ số học sang đại số để
học sinh đạt được sự thay đổi trong tư duy, từ cụ thể đến trừu tượng. Điều này được
thể hiện trong ví dụ sau:
“Trong số học, học sinh chỉ được yêu cầu chứng tỏ

(1 − 3) (1 + 3 + 32 + 33 + 34 ) =1 − 35
Hay
2
3
4
 1  1  1   1  
1
1 −  1 + +   +    =1 −  
 2  2  2   2  
2

Hay

2
3
4
5
6
 2  2  2   2   2   2  
2
1−  
1 −  1 + +   +   +   +    =
 3   3  3   3   3   3  
3

Nhưng trong đại số, với mọi x, mọi số nguyên dương n ta có cơng thức tổng qt

(1 − x ) (1 + x + x 2 + ... + x n ) =1 − x n +1 ” (H.Wu, 2009, Tr.8)
Rõ ràng, để chứng minh cơng thức tổng qt thì kĩ năng tính tốn trên các số
khơng cịn đủ nữa, vì học sinh khơng chỉ tính tốn đơn thuần với những con số cụ thể
mà phải thao tác trên chữ - đại diện cho một số bất kì.
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi quan tâm đến bước chuyển từ số học sang đại
số. Từ kinh nghiệm của bản thân, chúng tơi dự đốn là học sinh có thể phạm sai lầm
khi biến đổi những biểu thức có chứa các phép tốn khơng xác định với mọi giá trị của
chữ, như phép chia, phép khai căn, phép lấy logarit, v.v... Trong các biểu thức đại số
2

From arithmetic to algebra


4

được giảng dạy ở trung học cơ sở, phân thức đại số là đối tượng đầu tiên mà chữ xuất

hiện ở mẫu được xét đến trong tính tốn. Chính vì vậy, chúng tôi chọn nghiên cứu đề
tài: “Bước chuyển từ số học sang đại số trong dạy học toán ở trung học cơ sở: trường
hợp phân thức đại số” với những câu hỏi ban đầu sau:
- Đặc trưng của số học, đại số là gì?
- Trong dạy học tốn ở đầu trung học cơ sở, bước chuyển từ số học sang đại số
được thực hiện như thế nào với đối tượng PTĐS?
- Học sinh gặp khó khăn gì trong bước chuyển này?
2. Khung lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi vận dụng các cơng cụ lý thuyết của Didactic Tốn để làm cơ sở cho
nghiên cứu của mình. Cụ thể là quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, khái niệm tổ chức
toán học của “lý thuyết nhân chủng học”, khái niệm “hợp đồng dạy học”. Những khái
niệm này được trình bày đầy đủ trong giáo trình song ngữ Việt – Pháp Những yếu tố
cơ bản của Didactic toán bởi Bosset.A và các tác giả.
3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
Với phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, mục tiêu của luận văn là tìm câu trả
lời cho các câu hỏi nghiên cứu sau:
CH1: Số học và đại số được phân biệt với nhau ở đâu? Bước chuyển giữa hai
phân mơn này có những đặc trưng nào?
CH2: Các yếu tố đại số được trình bày ra sao ở giai đoạn tiểu học và lớp 6 –
trước khi học sinh nghiên cứu đại số một cách có hệ thống. Bước chuyển giữa số học
và đại số được thực hiện như thế nào? Sự kế thừa và ngắt quãng giữa hai phân mơn
được tính đến như thế nào trong chương trình và SGK?
CH3: Trong thể chế dạy học Toán 8: khái niệm PTĐS được trình bày như thế
nào? có sự kế thừa và tương đồng với đối tượng nào trong số học? những KNV nào
được xem xét? kỹ thuật giải quyết chúng được đề cập ra sao? liệu kỹ thuật được đưa
vào đã làm cho học sinh thấy sự khác biệt giữa biến đổi biểu thức số với biểu thức
chứa chữ chưa?
CH4: Với sự lựa chọn ấy của thể chế, học sinh có thể gặp phải sai lầm nào trong
giải tốn?

5

4. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích đã đề ra, chúng tôi tiến hành nghiên cứu theo các bước
sau:
- Bước 1: Tìm hiểu đặc trưng khoa học luận của số học, đại số và bước chuyển
giữa hai phân mơn này.
- Bước 2: Phân tích chương trình tốn bậc tiểu học và trung học cơ sở để thấy
được bối cảnh diễn ra bước chuyển từ số học sang đại số trong thể chế dạy học Toán ở
trung học cơ sở, cũng như quá trình xuất hiện và tiến triển của các kí hiệu đại số trong
bước chuyển này.
- Bước 3: Phân tích chương trình và SGK đại số 8 để làm rõ mối quan hệ thể chế
dạy học Toán 8 với đối tượng PTĐS.
- Bước 4: Dựa trên cơ sở đặc trưng khoa học luận và những phân tích trên để
đưa ra giả thuyết nghiên cứu và tiến hành xây dựng thực nghiệm kiểm chứng giả
thuyết đưa ra.
5. Cấu trúc luận văn
Kết quả nghiên cứu ở bốn bước nêu trên được chúng tơi trình bày trong 3
chương:
Chương 1: Đặc trưng của số học, đại số và bước chuyển giữa hai phân môn.
Chương 2: Một nghiên cứu thể chế về bước chuyển từ số học sang đại số: trường
hợp PTĐS.
Chương 3: Thực nghiệm
Chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đưa ra ở chương 2.


6

Chương 1. ĐẶC TRƯNG CỦA SỐ HỌC, ĐẠI SỐ

VÀ BƯỚC CHUYỂN GIỮA HAI PHÂN MƠN
Cùng với hình học, số học là phân mơn tốn học phát triển sớm nhất của toán
học. Đại số xuất hiện sau số học nhưng sự ra đời của nó đánh dấu bước chuyển vượt
bậc trong nhận thức của con người và thể hiện sự tiến bộ của xã hội. Để tóm gọn sự
khác biệt cơ bản giữa đại số cổ điển và số học, chúng tơi xin được trích dẫn một đoạn
trong cuốn Từ điển bách khoa phổ thơng tốn học 1:
“Sự phát triển ban đầu. Số học đi trước đại số. Số học giống như hệ thống những quy
tắc thực tiễn giải quyết các vấn đề trong đời sống hằng ngày. Những quy tắc đó của số
học quy lại chỉ có các phép cộng, trừ, nhân và chia các số, lúc đầu chỉ có số nguyên, và
sau này rất lâu mới đến phân số. Đại số khác số học ở chỗ, trong đại số người ta đưa vào
đại lượng chưa biết; các phép toán trên các đại lượng đó do điều kiện của bài tốn quy
định, dẫn đến phương trình, rồi từ đó tìm ra chính đại lượng chưa biết.” (Từ điển bách
khoa phổ thơng tốn học 1, 2004, Tr.243)

Trong chương này, chúng tơi sẽ làm rõ những đặc trưng cơ bản của số học và đại
số, cũng như đặc trưng bước chuyển từ phân môn thứ nhất sang phân môn thứ hai,
bằng cách phân tích và tổng hợp các kết quả đã có từ một vài cơng trình nghiên cứu
khoa học trong, ngồi nước. Kết quả của nghiên cứu này cũng sẽ là lời giải đáp cho
câu hỏi CH1 mà chúng tôi đã nêu ở trên. Những tài liệu chính mà chúng tơi tham khảo
là:
- Yves Chevallard (1984), Le passage de l’arithmetique a l’algebrique dans
l’enseignement des mathematiques au college, Petit x, N°5, pp. 51- 94.
- Yves Chevallard (1989), Le passage de l’arithmetique a l’algebrique dans
l’enseignement des mathematiques au college, Petit x, N°19, pp. 43 - 72.
-

Groupement

National

d’Équipes

de Recherche

en

Didactique des

Mathématiques, Algèbre et fonctions, Ministere de l’education nationale, de la
recherche et de la technologie.
- Lê Thị Hồi Châu (2008), Phương pháp dạy – học hình học ở trường trung học
phổ thông, NXB Đại học quốc gia TP.HCM.
- S.M.Nikolski (2004), Từ điển bách khoa phổ thơng tốn học 1, NXB giáo dục.


7

1.1. Khái quát đặc trưng của số học và đại số
Số học nảy sinh từ thời cổ đại xa xưa, do nhu cầu tự nhiên của con người trong
tính tốn và đo đạc. Nó nghiên cứu tính chất của số, nguồn gốc và sự phát triển của
khái niệm “số”, tính chất của các phép tính cùng hệ thức trong các tập hợp số và cấu
trúc tiên đề của các tập hợp số ấy.
Số học nghiên cứu các vấn đề liên quan đến tập số thực, sử dụng một bộ công cụ
ký hiệu (dấu phép tính, dấu ngoặc đơn,…) với vai trị mã hóa các tính tốn số. Các
phép tính được mã hóa và thực hiện trên giấy, khi tính tốn xong thì chúng được coi
như một bước trung gian để cho ra kết quả. Y. Chevallard (1989) đã nhấn mạnh:
"Công cụ chủ yếu của số học là ngôn ngữ thông thường, cộng với việc tính tốn trên số.
[...]. Nó thực chất là một tri thức bằng lời chỉ được viết ra giấy khi thực hiện các phép
toán về số." 3 (Groupement National d’Équipes de Recherche en Didactique des
Mathématiques, Tr.8)

Đại số cũng là lĩnh vực mà người ta sử dụng bộ cơng cụ ký hiệu để mã hóa các
tính tốn trong trường hợp tổng quát của các số, nhưng nó cung cấp một phương tiện
ưu việt hơn, liên quan đến việc sử dụng các chữ để chỉ các biến số. Với vai trò chỉ biến
số, chữ gắn liền với sự xuất hiện của các đối tượng của đại số như biểu thức đại số,
phương trình, bất phương trình... Đồng thời, nó góp phần làm cho ngơn ngữ đại số trở
nên đặc biệt – như một bộ nhớ, có khả năng lưu trữ thông tin thông qua các biểu thức;
chẳng hạn, ( 2 x + 1) và 4 x 2 + 4 x + 1 có cùng giá trị nhưng biểu thức ( 2 x + 1) cho ta
2

2

nhận thấy ngay nó không âm.
Đại số không chỉ làm việc trên các đại lượng đã biết như số học, bằng cách đi từ
cái đã biết để tìm cái chưa biết, mà cịn diễn đạt mối liên hệ của chúng bằng một
phương trình hay hệ phương trình. Chẳng hạn, xét bài tốn:
“Tơi có 23 quả bóng, trong đó có 7 quả bóng màu xanh, những quả bóng cịn lại màu đen.
4

Hỏi tơi có bao nhiêu quả bóng màu đen? ” (Yves Chevallard, 1984, Tr.63).

3

" l‘outil essentiel de l‘arithmétique est le langage ordinaire augmenté du calcul sur les nombres.

[…]. Elle demeure essentiellement un savoir oral qui ne confie au papier que l‘effectuation des
opérations sur les nombres."
4

J'ai 23 billes, dont 7 billes bleues. Les autres billes sont noires. Combien ai-je de billes noires ?

8

16
Đây là bài toán cổ điển của số học, một cách giải quen thuộc là: có 23 − 7 =
quả bóng đen. Sử dụng phương pháp đại số, ta giải bài tốn trên bằng cách lập phương

23 , từ đó giải để tìm x (với x là số quả bóng màu đen). Việc giải phương
trình x + 7 =
x 23 − 7 , khác với cách giải của số học. Lời
trình để tìm được số quả bóng đen là =
giải này mang tính khái qt hơn cho trường hợp có a quả bóng xanh, ∀a ∈ [ 0;23] .
Hơn thế, nếu đặt vào một bài toán với nhiều mối liên hệ, biểu thức x + a =
23 sẽ thuận
lợi hơn để biểu thị các mối quan hệ đó. Có thể nói, sức mạnh của đại số thể hiện ở việc
dùng chữ thay cho ẩn số. Lúc này, vấn đề thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng (dù
là ẩn số hay đại lượng đã biết) khơng cịn là trở ngại. Với số học, điều này khơng thực
hiện được, vì việc diễn giải lí luận bằng lời và thực hiện các phép tốn trong những
trường hợp phức tạp đơi khi trở nên quá dài dòng.
Trước thế kỉ 20, đại số được biết đến với tư cách là công cụ giải các bài tốn số
học nhờ sử dụng kí hiệu chữ đại diện cho số. Giai đoạn này còn được gọi là thời kì của
đại số cổ điển, nhiệm vụ của nó là nghiên cứu các tính chất tổng qt của các hệ thống
số và những phương pháp tổng quát giải các bài tốn bằng phương trình.
Từ thế kỉ 20 trở đi, đại số được hiểu theo nghĩa rộng hơn (gọi là đại số hiện đại),
là:
“Khoa học về các hệ đối tượng có bản chất nào đó (chẳng hạn, hệ vectơ, hệ ma trận),
trong đó có thiết lập những phép tốn có tính chất ít nhiều giống phép cộng và phép nhân
các số.
Những phép toán như vậy gọi là phép toán đại số. Đại số phân loại các hệ trong đó có

những phép tốn cho trước tùy theo tính chất của hệ, và nghiên cứu những vấn đề xuất
hiện trong các hệ đó, kể cả vấn đề giải và biện luận phương trình; mà vấn đề này, trong
những hệ đối tượng mới lại có ý nghĩa mới (nghiệm của phương trình có thể là vectơ, ma
trận...). ” (Từ điển bách khoa phổ thơng tốn học 1, 2004, Tr.242 - 243)

Như vậy, sự khác biệt giữa số học và đại số thể hiện ở hai vấn đề cơ bản sau:
- Vấn đề đầu tiên là cách thức giải các bài toán: phương pháp số học dựa trên
trực giác kết hợp với diễn giải bằng lời và thực hiện các phép toán với những số cụ
thể; phương pháp đại số lập và giải phương trình biểu thị mối tương quan giữa các đại
lượng.


9

- Vấn đề thứ hai là các cơng cụ tốn học sử dụng ở hai phân môn này. Đại số sử
dụng các cơng cụ như phương trình, ẩn, hàm số.
1.2. Một số trạng thái hoạt động của các biểu tượng
Số học và đại số sử dụng chung một bộ công cụ kí hiệu (dấu các phép tốn, dấu
bằng, dấu bất đẳng thức, chữ) để mã hóa tính tốn, nhưng nghĩa của chúng thay đổi
theo ngữ cảnh xuất hiện. Sau đây là tổng hợp các trạng thái hoạt động của chúng trong
từng phân môn.
1.2.1. Trạng thái hoạt động của dấu bằng (kí hiệu “=”)
Trong số học, dấu bằng dùng để chỉ kết quả, ví dụ 11 + 2 + 5 = 13 + 5 = 18 , và để
nối hai số hoặc hai biểu thức số có giá trị bằng nhau. Trong đại số, nó chỉ một mối liên
hệ giữa các đại lượng. Kí hiệu này cịn được sử dụng để gán giá trị cho chữ, chẳng hạn
f ( x) = 2 .

1.2.2. Trạng thái hoạt động của chữ cái
Trong số học, chữ cái được sử dụng để chỉ đơn vị đo lường hay các đối tượng, ví
dụ 8m có thể hiểu là tám mét hoặc tám chiếc xe máy (trường hợp này chữ m đóng vai

trị như một nhãn, nó khơng được xét đến trong tính tốn). Trong đại số, chữ cái dùng
để biểu thị các số, lúc này 8m được hiểu là tích của 8 và m.
“Kuchemann (1981) phân loại các trạng thái hoạt động của chữ như sau:
- Chữ được gán giá trị: chữ thay thế cho một giá trị số.
- Chữ không được xét: chữ bị bỏ qua trong tính tốn.
- Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn.
- Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số cần tìm.
- Chữ chỉ một số tổng quát : chữ có thể mang nhiều giá trị.
- Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số.” (Groupement National
d’Équipes de Recherche en Didactique des Mathématiques, Tr.8)

1.2.3. Trạng thái hoạt động của các dấu phép tính
Với số học, khi các dấu phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) xuất hiện thì có nghĩa là
một phép tốn cần thực hiện. Ngược lại, trong đại số, dấu các phép tính vẫn có thể
xuất hiện ở kết quả, ví dụ: nếu biểu thức 2 x + 5 có trong kết quả thì u cầu thực hiện
một phép tốn cộng không được đặt ra.


10

1.2.4. Trạng thái hoạt động của biểu thức đại số
Biểu thức đại số được xây dựng bởi các yếu tố số và dấu các phép tính vốn đã có
trong số học. Nó chủ yếu hoạt động ở hai trạng thái :
- Thứ nhất, nó đại diện cho một đối tượng. Ví dụ, 2 x + 1 có thể xem là kết quả
của q trình tính tốn đại số.
- Thứ hai, nó đại diện cho một chữ hoặc một số. Ví dụ, 2 x + 1 đồng dư với 2 theo
modulo 1, hay 2n có thể xem là số chẵn.
Việc xử lí các biểu thức đại số được đánh giá ở ba mức độ tương ứng với ba kỹ
năng tính tốn đại số.
“- Mức độ 1: thay các giá trị cụ thể của biến trong một biểu thức đại số.

- Mức độ 2: biến đổi một biểu thức thành biểu thức tương đương (khai triển, phân tích
thành nhân tử).
- Mức độ 3: biến đổi các biểu thức đại số về dạng phù hợp với yêu cầu bài toán.”
(Groupement National d’Équipes de Recherche en Didactique des Mathématiques,
Tr.11)

Học sinh được đánh giá là thực hiện một phép toán đại số đúng nghĩa khi họ đạt
được ở mức độ 3.
1.3. Đặc trưng của bước chuyển từ số học sang đại số
Quá trình hình thành hệ thống kí hiệu trong lịch sử tốn học xảy ra rất chậm và
quanh co. Các kí hiệu đầu tiên xuất hiện từ thời xa xưa cổ đại, trong quá trình đo đạc
và tính tốn, nhu cầu đếm mở rộng buộc con người phải sử dụng các chuẩn đếm khác
nhau, họ nảy ra ý nghĩ ghi nhớ một số xác định nào đó bằng một kí hiệu, chẳng hạn
như các vạch khía trên một thanh gỗ.
2000 trước Cơng Ngun, số học Babylon phát triển thành môn đại số với tên gọi
đại số hùng biện (hay đại số ca tụng). Họ đã dùng một số kí hiệu chỉ phép trừ để biểu
thị các số nhỏ hơn 60, đương nhiên không phải cách ghi như ngày nay.
Người Ai Cập, năm 1600 trước Công Nguyên, cũng sử dụng các dấu đại số để
viết phân số, ở đó, kí hiệu phép cộng đã xuất hiện,
“Phân số

sau:

2
1 1
có thể được viết như là + . Dĩ nhiên là người Ai Cập sử dụng kí hiệu
3 15
5

11

Bàn chân hướng về phía của văn bản có nghĩa là “cộng” và ngược lại, nó có nghĩa là
“trừ”. Trong tốn học Ai Cập, khơng có phép tính nhân và chia, chỉ có phép tính cộng và
trừ. Phép nhân thực hiện bằng cách tăng gấp đôi và cộng lại.” (Dương Hữu Tịng, 2014,
Tr.40)

Trong khi đó, các nhà bác học phương Đơng thời Trung cổ trình bày tất cả các
phép tốn bằng lời.
Như vậy, một số hình thức kí hiệu đại số đã ra đời từ rất sớm nhưng cũng nhanh
chóng bị mai một vì chúng chưa cho thấy được ưu việt so với trước đó. Đây cũng là
một trong những lí do khiến đại số phải cầu viện đến hình học để giải quyết các vấn đề
nội tại của mình, nổi bật là ở hai nội dung chứng minh các đồng nhất thức và giải
phương trình. Ví dụ:
“Đồng nhất thức ( a + b ) =a 2 + 2ab + b 2 được Euclide phát biểu qua mệnh đề 4 nói về
2

bình phương của tổng hai độ dài trình bày trong quyển II của bộ cơ bản như sau:
Nếu một đường thẳng được chia thành hai phần thì hình vng có cạnh là tồn bộ đường
thẳng sẽ bằng tổng của hai hình vng có cạnh bằng mỗi phần cùng với hai hình chữ nhật
có các cạnh là hai phần ấy.” (Lê Thị Hồi Châu, 2008, Tr.30-31)
“Ví dụ 3: Người Hi Lạp dùng hai phương pháp chính để giải các phương trình đơn giản.
Đó là phương pháp tỉ lệ và phương pháp áp dụng diện tích.” (Lê Thị Hồi Châu, 2008,
Tr.31)

Sự cầu viện này kéo dài cho đến cuối thế kỉ 16, khi hệ thống kí hiệu do Viète
(1540 – 1603) đề xuất làm cho tính tốn đại số trở nên đơn giản hơn, cho phép thay thế
các lời giải viện dẫn đến hình học trước đây. Cách ghi bằng kí hiệu chữ và các phép
tốn trên chữ chính là sức mạnh của đại số kí hiệu, giúp đại số trở thành một nghành
toán học độc lập. Hơn thế, nhận ra sức mạnh của đại số, các nhà toán học nảy sinh tư

tưởng đại số hóa hình học (tham khảo Lê Thị Hồi Châu, 2008, Tr.29-42).
Cơng trình nổi tiếng nhất của Viète phải kể đến là cuốn sách có tựa đề In artem.
Trong cuốn sách này, ông dùng các nguyên âm hoa (ví dụ A, E, I,...) để chỉ đại lượng
chưa biết và các đại lượng đã biết bằng các phụ âm (ví dụ B, C, D,...). Ơng cũng ưu
tiên sử dụng các chữ cái hoặc kí hiệu khác nhau cho các lũy thừa của một đại lượng.
Thói quen dùng chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z để chỉ ẩn số và những chữ cái đầu để
chỉ hằng số mà chúng ta sử dụng ngày nay là do Descartes đưa ra vào năm 1673. Viète


12

đã sử dụng các dấu “+” và “–” như cách dùng hiện nay nhưng khơng có kí hiệu cho
đẳng thức. Chẳng hạn,
“ 5 BA2 − 2CA + A3 =
D
Thì ơng viết là
B2 in A quad – C plano 2 in A + A cub aequatur D solido. ” (Howard eves, 1993, Tr.264)

Hai kí hiệu này đã được Johann Widman sử dụng trong một cuốn sách số học,
công bố ở Leipzig năm 1489, nhưng chúng dùng để chỉ phần dư và phần khuyết.
Ý tưởng thay thế các từ “cộng” và “trừ” bằng các kí hiệu (cụ thể là dùng chữ cái
p và m với một vạch nhỏ) để rút ngắn quá trình tính tốn là của các nhà bác học Ý đưa
ra vào thế kỉ 12. Nhưng theo thời gian chúng đã bị mai một. Lịch sử ghi nhận việc sử
dụng kí hiệu “+” và “–” trong các phép tốn đại số lần đầu tiên được đề xuất bởi nhà
toán học Hà Lan, Vander Hoecke, vào năm 1514 nhưng nhiều ý kiến cho rằng dường
như chúng đã được dùng như vậy sớm hơn.
Theo tác giả Howard Eves (1993), cũng trong tác phẩm In artem, Viète đã dùng
kí hiệu “=” đặt giữa hai đại lượng nhưng không phải để chỉ sự bằng nhau của hai đại
lượng đó mà để chỉ sự khác nhau giữa chúng. Kí hiệu đẳng thức như ngày nay được
trình bày lần đầu tiên trong cuốn đại số học - Whetstone of Witte (tạm dịch là “cái kích

thích trí thơng minh”) của Recorde, cơng bố năm 1557. Ơng giải thích việc dùng hai
đoạn thẳng song song bằng nhau làm kí hiệu cho một đẳng thức là “vì khơng có hai vật
nào có thể bằng nhau hơn thế”. Trước đó, Diophante dùng chữ i (chữ cái đứng đầu từ
Hi Lạp izos có nghĩa là “bằng nhau”) để chỉ sự bằng nhau nhưng nó khơng được phổ
biến rỗng rãi.
Trên nền tảng hệ kí hiệu đã có, các kí hiệu cịn lại của đại số lần lượt được hình
thành. Cụ thể, năm 1525, dấu căn (

) – một ký hiệu quen thuộc của đại số hiện đại,

được Christoff Rudolff đưa ra trong cuốn sách Die Coss, ơng giải thích cho việc dùng
kí hiệu này là vì nó giống chữ r nhỏ của từ radix có nghĩa là cơ số.
Năm 1631, mười năm sau khi Thomas Harriot (1560 – 1621) qua đời, một cơng
trình lớn về đại số học của ơng mới được cơng bố, có tên gọi là Artis analyticae praxis.
Ta gặp lại ở đây nhiều vấn đề đã được trình bày trong các ấn phẩm của Viète, nhưng
luận văn này đầy đủ và hệ thống hóa tốt hơn. Harriot cũng dùng nguyên âm cho những


13

cái chưa biết và dùng phụ âm cho các hằng số, nhưng ông dùng các chữ cái nhỏ. Đồng
thời ông cũng cải tiến cách kí hiệu lũy thừa (ví dụ, dùng a4 thay vì aaaa), ơng là người
đầu tiên dùng các dấu “>” và “<” cho “lớn hơn” và “nhỏ hơn”, nhưng những kí hiệu
này chưa được các nhà tốn học thời bấy giờ chấp nhận ngay. Cũng trong năm này,
cuốn Clavis mathematicae phổ thông của William Oughtred (1574 – 1660) lần đầu tiên
được xuất bản. Trong các bản viết của mình, ơng đưa ra 150 kiểu ký hiệu tốn học
nhưng hiện nay chỉ cịn dùng ba ký hiệu, đó là dấu gạch chéo “ × ” để chỉ phép nhân,
dấu bốn chấm (: :) dùng trong một tỷ lệ thức và dấu thường dùng cho sự khác nhau
(  ). Tuy nhiên dấu gạch chéo với tư cách một ký hiệu phép nhân không phải dễ dàng
được chấp nhận, vì Leibniz cho rằng nó q giống chữ x. Harriot đã dùng dấu chấm (.)

chỉ phép nhân, kí hiệu này không được sử dụng nhiều cho đến khi Leibniz chấp nhận
nó. Ngồi ra, Leibniz cũng dùng dấu (  ) cho phép nhân, ngày nay chúng ta sử dụng kí
hiệu này chỉ phép nhân trong lý thuyết tập hợp.
Ký hiệu “ ÷ ” chỉ phép chia có nguồn gốc từ thế kỷ 17, nó lần đầu tiên xuất hiện
trong bản in năm 1659 về đại số học của người Thụy Sĩ, Johann Heinrich Rahn (1622
– 1676). Ký hiệu này từ lâu đã được dùng ở châu Âu làm dấu chỉ phép trừ.
Đến giữa thế kỷ 17, các kí hiệu của đại số hiện đại đã hình thành đầy đủ.
1.4. Kết luận
Chúng tôi tổng hợp đặc trưng của số học và đại số trong bảng sau:
Bảng 1.1. Tổng hợp đặc trưng của số học và đại số
Lĩnh vực

Số học

Đặc trưng

Đại số
Các tập hợp số, hệ đối tượng

Phạm vi tác động

Các tập hợp số.

có bản chất nào đó (chẳng
hạn, hệ vectơ, hệ ma trận,…).

Cơ chế hoạt động của Các phép tính cơ bản trên

Phép tính cơ bản, thuật tốn,

phép tốn, thuật tốn

tập số.

suy luận logic.

Định lượng: tính tốn trên

Định tính: thao tác bằng các

các số có sẵn để đạt kết

thuật tốn trên đại lượng chưa

Mục đích của hoạt
động tốn học


14

quả.

biết để phát hiện các quan hệ
ngầm ẩn hoặc giá trị của các
đại lượng thỏa yêu cầu.

Số học và đại số sử dụng chung một bộ công cụ ký hiệu để mã hóa tính tốn
nhưng cách sử dụng chúng trong mỗi phân mơn là khác nhau. Q trình hình thành của
chúng xảy ra rất chậm và quanh co, bước ngoặt để tạo nên hệ ký hiệu thống nhất như
ngày nay là xu hướng ký hiệu hóa các đối tượng của Viète vào cuối thế kỷ 16. Cũng từ

đây, đại số chính thức trở thành một ngành tốn học độc lập, tách khỏi hình học. Sự
phát triển mạnh mẽ của hệ thống kí hiệu là một trong những động lực thúc đẩy ngành
giải tích ra đời.
Từ những kết quả đạt được ở chương 1, chúng tơi đặt cho mình những câu hỏi
như sau: Ở bậc trung học cơ sở, quá trình xuất hiện của hệ thống kí hiệu đại số xảy ra
như thế nào? Những trạng thái hoạt động nào của chúng được đề cập? Vai trò của chữ
và các phép tốn trên chữ được trình bày ra sao?


15

Chương 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ
BƯỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ:
TRƯỜNG HỢP PTĐS
Theo tác giả Đỗ Đình Hoan (1989),
“Cho đến đầu thế kỉ 20, khi viết các giáo trình đại số dạy trong trường phổ thơng, một số
tác giả vẫn chỉ quan tâm đến tính khoa học của giáo trình, rất ít chú ý đến tính sư phạm,
đến khả năng tiếp thu của học sinh. Trong các giáo trình này các tác giả sử dụng kí hiệu
chữ, trình bày các kiến thức trừu tượng của đại số mà khơng cần có sự chuẩn bị và giải
thích nào. Cách dạy như vậy làm cho học sinh bị đột ngột khi chuyển từ số học sang đại
số.” (Đỗ Đình Hoan, 1988, Tr.17)

Mãi đến những năm 50 của thế kỉ 20, các nhà sư phạm mới nhận ra “có một bức
tường ngăn cách” giữa dạy số học cấp I và đại số ở cấp II. Do đó, việc đưa vào giảng
dạy một số yếu tố đại số ngay từ cấp I đã được nhiều nước thực hiện nhằm tạo ra một
“bước chuyển tự nhiên” từ dạy số học sang đại số. Nước ta cũng nhanh chóng nghiên
cứu và triển khai đổi mới sách giáo khoa theo xu hướng này vào những năm 80 (tham
khảo Đỗ Đình Hoan,1989, Tr.15-25).
Từ những ghi nhận trên, chúng tơi cho rằng để có thể tìm câu trả lời cho những
câu hỏi ở chương I và tiến hành nghiên cứu mối quan hệ thể chế về đối tượng PTĐS

trong giai đoạn chuyển tiếp từ số học sang đại số, cần phải có sự xem xét tổng thể
chương trình tốn từ tiểu học lên trung học cơ sở. Chúng tơi mong muốn tìm được các
yếu tố trả lời cho các câu hỏi sau:
- Chương trình đã chuẩn bị gì cho học sinh trước khi bước vào học đại số, đặc
biệt là học PTĐS?
- PTĐS được đưa vào chương trình và SGK ở đầu cấp trung học cơ sở như thế
nào? Những KNV nào về PTĐS được trang bị cho học sinh?
- Sự trình bày của SGK có ảnh hưởng như thế nào đến kỹ thuật giải quyết các
KNV liên quan đến PTĐS ở học sinh?
Để tìm hiểu chương trình mơn tốn tiểu học và trung học cơ sở, bên cạnh tham khảo
các SGV tương ứng của số học 6, đại số 7, 8, 9, chúng tôi tìm đọc các tài liệu sau:


16

- Luận án tiến sĩ của Đỗ Đình Hoan (1988), Hoàn thiện nội dung và phương
pháp dạy học các yếu tố đại số trong dạy học mơn tốn cấp I ở Việt Nam.
- Cuốn sách Thực hành phương pháp dạy học toán ở tiểu học của Đào Tam,
NXB Đà Nẵng 2011.
- Cuốn sách Toán cao cấp và phương pháp dạy học mơn tốn ở tiểu học của
Nguyễn Gia Định, NXB Đại học Huế 2013.
Bên cạnh đó, chúng tơi phân tích SGK toán số học 6 tập 2 và đại số 8 tập 1, tập 2
để tìm hiểu về PTĐS, sự tương đồng giữu phân số và PTĐS, cũng như mối liên hệ
giữa phân số và các đối tượng khác của đại số.
2.1. Các yếu tố đại số trong chương trình mơn tốn ở tiểu học
“Mơn Tốn ở tiểu học là một môn học thống nhất, không chia thành các phân mơn. Hạt
nhân của mơn Tốn ở tiểu học là số học, các chủ đề kiến thức liên quan chặt chẽ với hạt
nhân số học, gắn bó hỗ trợ lẫn nhau tạo nên sự thống nhất của toàn bộ nội dung mơn
Tốn ở tiểu học” (Nguyễn Gia Định, 2013, Tr.98)

Theo tác giả Đào Tam, cấu trúc chương trình mơn tốn ở tiểu học thống nhất 4
mạch nội dung: số học, đại lượng và đo đại lượng, hình học, giải tốn có lời văn. Các
yếu tố đại số được tích hợp trong mạch số học. Các kiến thức số học được sắp xếp theo
kiểu đồng tâm, chia thành các vòng số cứ mở rộng dần qua từng lớp. Bốn mạch kiến
thức này được trình bày xen kẽ vào nhau. Trong phần dưới, chúng tôi chỉ xem xét
mạch số học với việc lồng vào các yếu tố của đại số.
2.1.1. Những nội dung số học thuộc chương trình mơn tốn ở tiểu học
Lớp 1: Chương trình bắt đầu từ các số tự nhiên từ 0 đến 10, sau đó mở rộng đến
100. Ở trình độ này, học sinh chỉ mới được học các phép tính cộng và trừ (khơng nhớ).
Hiển nhiên, các phép toán chỉ liên quan đến các số cụ thể.
Lớp 2: Trong vòng số đến 100, người ta đưa vào thêm phép cộng và phép trừ có
nhớ, rồi mở rộng ra vòng số đến 1000.
Lớp 3: Đưa thêm phép nhân và chia trong phạm vi 1000, rồi sau đó mở rộng
sang vịng số đến 100000.
Lớp 4: Chương trình lớp 4 trước hết dành cho việc hoàn thiện tập số tự nhiên. Ở
đây người ta đưa vào thuật ngữ số tự nhiên và hệ thống hóa lại bốn phép tính trên các


17

số tự nhiên. Dấu hiệu chi hết cho 2, 5, 9, 3 cũng được xem xét. Đặc biệt, một loại số
mới – phân số, và kèm với nó là khái niệm tỷ số được đưa vào chương trình.
Lớp 5: Cùng với việc củng cố những nội dung đã học về phân số, chương trình
tốn lớp 5 đưa thêm vào số thập phân và các phép tính trên số thập phân.
Mục tiêu của chương trình tiểu học là giúp học sinh:
“- Có những kiến thức cơ bản ban đầu về số học các số tự nhiên, phân số, số thập phân;
các đại lượng thơng dụng; một số yếu tố hình học và thống kê đơn giản.
- Hình thành các kỹ năng thực hành tính, đo lường giải tốn có nhiều ứng dụng thiết thực
trong đời sống.
- Góp phần bước đầu phát triển năng lực tư duy, khả năng suy luận hợp lí và diễn đạt

đúng (nói và viết) cách phát hiện và cách giải quyết các vấn đề đơn giản, gần gũi trong
cuộc sống; kích thích trí tưởng tượng; chăm học và hứng thú học tập tốn; hình thành
bước đầu phương pháp tự học và làm việc có kế hạch khoa học, chủ động, linh hoạt, sáng
tạo.” (Nguyễn Gia Định, 2013, Tr.95-96)

Trọng tâm phần số học xoay quanh các vấn đề về số tự nhiên, phân số (số hữu tỉ
không âm) và số thập phân, cụ thể là các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, và tính chất
của chúng trong các tập hợp số này.
2.1.2. Các yếu tố đại số trong chương trình mơn tốn ở tiểu học
Từ việc nghiên cứu chương trình, chúng tơi tóm tắt lại dưới đây nội dung các yếu
tố đại số sắp xếp ở mỗi lớp tương ứng với các vòng số. Lưu ý rằng những yếu tố đại số
mà chúng tơi phân tích dưới đây đã có ngay từ khi học sinh bắt đầu nghiên cứu số học.
Tuy nhiên, do chúng tiếp tục được sử dụng trong đại số nên chúng tôi muốn làm rõ sự
tồn tại của chúng trong các nội dung số học được đưa vào chương trình tốn tiểu học.
Lớp 1: Các số đến 10. Các số đến 100.
Phép tương ứng 1 – 1 được vận dụng trong việc hình thành khái niệm số tự
nhiên. Nó giúp học sinh thấy được cái chung của các tập hợp tương đương, đó là
chúng có cùng số phần tử. Ví dụ: khi học sinh quan sát các tập hợp có ba bơng hoa, ba
que tính, ba cây bút chì, các phần tử của tập hợp khác nhau về chất liệu, màu sắc, kích
thước,… nhưng chúng có tính chất chung là số phần tử bằng 3.