Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dạy học toán ở phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hồng Tú

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
TRONG DẠY HỌC TỐN
Ở PHỔ THƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hồng Tú

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
TRONG DẠY HỌC TỐN
Ở PHỔ THƠNG
Chun ngành : Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Vũ Như Thư Hương,
người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Sau, tôi xin gửi lời cảm ơn đến: Phó Giáo sư – Tiến sĩ Lê Văn Tiến, Phó
Giáo sư – Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh, Tiến
sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung vì những bài giảng về didactic Tốn sinh động,
cụ thể và đầy ý nghĩa.
Tơi xin chân thành cảm ơn Phó Giáo sư – Tiến sĩ Annie Bessot, Tiến sĩ
Alain Birebent và Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh về những lời góp ý lẫn ý
tưởng cho những buổi đầu của luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt
nhất cho chúng tôi.
Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến:
Ban Giám hiệu, các thầy cô và các em học sinh trường THPT Ngơ Gia Tự
– tỉnh Khánh Hịa, trường THPT Phan Bội Châu – tỉnh Bình Thuận, trường
THCS, THPT Thuận Mỹ – tỉnh Long An, trường THPT Nguyễn Hữu Huân –
Tp.HCM đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Các bạn và các anh chị cùng khóa học cao học 21 như Đại số, Giải tích,
Hình học, Lý luận và Phương pháp dạy học Tốn, Vật lí nguyên tử – hạt
nhân và năng lượng cao vì những sẻ chia trong học tập.
Gia đình tơi vì những lời động viên và những điều kiện cho tơi hồn thành
tốt khóa học.
Nguyễn Hồng Tú

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu ..................................................1
2. Khung lý thuyết tham chiếu .............................................................................4
3. Mục đích nghiên cứu .........................................................................................5
4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn .......................................5
Chương 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG THỂ
CHẾ DẠY HỌC TỐN PHỔ THƠNG ..................................................................7
1.1 Số lớn nhất, số bé nhất trong nội dung học tập các tập số ..........................8
1.1.1 Phân tích chương trình ................................................................................8
1.1.2 Phân tích các sách giáo khoa ....................................................................11
1.2 GTLN, GTNN của biểu thức và của hàm số ...............................................20
1.2.1 GTLN, GTNN của biểu thức ở lớp 7 ........................................................20
1.2.1.1 GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối ..........................20
1.2.1.2 GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn thức bậc hai .........................21
1.2.2 GTLN, GTNN của biểu thức và của hàm số ở lớp 9 ................................23
1.2.3 GTLN, GTNN trong các SGK Đại số, Giải tích lớp 10, 11, 12 ...............28
1.2.3.1 Chương trình nâng cao .......................................................................28
1.2.3.1.1 GTLN, GTNN trong sách Đại số 10 nâng cao ............................28
1.2.3.1.2 GTLN, GTNN trong SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao .......44
1.2.3.1.3 GTLN, GTNN trong sách Giải tích 12 nâng cao ........................50
1.2.3.2 Chương trình chuẩn............................................................................62
1.3 Bàn về các thuật ngữ giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số ...............63
1.4 Kết luận ..........................................................................................................70
Chương 2 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG SƯ PHẠM CỦA ĐỐI TƯỢNG BẤT
ĐẲNG THỨC KHÔNG NGHIÊM NGẶT ...........................................................73

2.1 Bất đẳng thức khơng nghiêm ngặt trong các SGK Tốn phổ thơng ........74
2.1.1 Sách Tốn 6 ..............................................................................................74
2.1.2 Sách Tốn 7 ..............................................................................................74
2.1.3 Sách Toán 8 ..............................................................................................76
2.1.4 Sách Toán 9 ..............................................................................................77
2.1.5 Các sách Đại số lớp 10 .............................................................................79


2.1.6 Các sách Đại số, Giải tích lớp 11 và 12 ....................................................82
2.2 Kết luận ..........................................................................................................84
Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM.......................................................86
3.1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm ...........................................................86
3.2 Giới thiệu nội dung thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm ......................87
3.2.1 Bài tập 1 ....................................................................................................87
3.2.2 Bài tập 2 ....................................................................................................90
3.2.3 Bài tập 3 ....................................................................................................94
3.2.4 Bài tập 4 ....................................................................................................98
3.3 Phân tích hậu nghiệm..................................................................................102
3.3.1 Bài tập 1 ..................................................................................................102
3.3.2 Bài tập 2 ..................................................................................................106
3.3.3 Bài tập 3 ..................................................................................................107
3.3.4 Bài tập 4 ..................................................................................................108
KẾT LUẬN ............................................................................................................110
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC
Phụ lục 1: Phiếu điều tra dành cho HS các lớp 10, 11, 12
Phụ lục 2. GTLN, GTNN ở bậc đại học
Phụ lục 3. GTLN, GTNN trong bộ SGK trung học phổ thơng chuẩn
Phụ lục 4. Bảng tóm tắt sự tiến triển của các đối tượng GTLN, GTNN trong
thể chế dạy học Tốn phổ thơng

Phụ lục 5. Vai trị của các dấu ≤, ≥ trong các SGK Toán phổ thông
Phụ lục 6. Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng khối A năm 2011


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GTLN

:

giá trị lớn nhất

GTNN

:

giá trị nhỏ nhất

GV

:

giáo viên

HS

:

học sinh

KNV

:

kiểu nhiệm vụ

NXB

:

nhà xuất bản

SBT

:

sách bài tập

SGK

:

sách giáo khoa

SGV

:

sách giáo viên

Tp.HCM

:

Thành phố Hồ Chí Minh

tr.

:

trang


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1: Nội dung học tập các tập số ở phổ thông ...................................................8
Bảng 1.2: Bảng thống kê các KNV T SLN và T SBN ở các SGK Toán tiểu học .............19
Bảng 1.3: Bảng thống kê các KNV liên quan đến GTLN, GTNN trong bài Bất đẳng
thức và chứng minh bất đẳng thức ............................................................................38
Bảng 1.5: Bảng thống kê các kỹ thuật giải quyết các KNV liên quan đến GTLN,
GTNN ở SGK, SBT Đại số 10 nâng cao....................................................................43
Bảng 1.6: Bảng thống kê các KNV liên quan đến GTLN, GTNN ở SGK, SBT Đại số
và Giải tích 11 nâng cao ...........................................................................................49
Bảng 1.7: Bảng thống kê các kỹ thuật giải quyết các KNV liên quan đến GTLN,
GTNN của hàm số trong SGK, SBT Giải tích 12 nâng cao ......................................57

Bảng 3.1: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 1........................103
Bảng 3.2: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS dùng chiến lược CL2.7 ..........106
Bảng 3.3: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 3........................107
Bảng 3.4: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 4........................108

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu
Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) là những đối tượng xuất
hiện trong chương trình phổ thơng mơn Tốn hiện hành ở Việt Nam trải dài từ bậc
tiểu học đến bậc trung học phổ thơng. Có nhiều bài tốn khác nhau liên quan đến
những đối tượng này. Chẳng hạn:
Ở lớp 4, có bài tốn tìm số tự nhiên lớn nhất hay số tự nhiên bé nhất trong các số
tự nhiên đã cho:
a) Số lớn nhất có ba chữ số là số nào?
b) Số bé nhất có ba chữ số là số nào?
(Tốn 4, tr.13)

Ở lớp 6, xuất hiện các bài toán về ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của
các số tự nhiên cho trước như:
Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 420 ⋮ 𝑎 và 700 ⋮ 𝑎.
(Toán 6 tập một, tr.56)

Ở lớp 9, xuất hiện bài toán yêu cầu tìm GTLN hoặc GTNN của một biểu thức
như:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑥 2 + 𝑥√3 + 1. Giá trị đó đạt được khi x bằng
bao nhiêu?

(Bài tập Tốn 9 tập một, tr.16)

Hay ở lớp 12, có bài tốn như sau:
Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40cm, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích
lớn nhất.
(Giải tích 12 nâng cao, tr.24)

GTLN và GTNN cũng là những đối tượng phổ biến trong những môn học khác
ở phổ thơng. Chẳng hạn trong mơn Vật lí của lớp 10 có yêu cầu như sau:
Một vật đặt trên mặt phẳng nghiêng (góc nghiêng 𝛼 = 30o ), được truyền một vận
tốc ban đầu v o = 2m/s (hình vẽ). Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là
0,3.

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


2

a) Tính gia tốc của vật.
b) Tính độ cao lớn nhất (H) mà vật đạt tới.
c) Sau khi đạt tới độ cao H, vật sẽ chuyển động như thế nào ?

(Vật lí 10 nâng cao, tr.106)

Mặt khác, các bài tốn về GTLN, GTNN có mặt trong nhiều kì thi từ cấp độ
bình thường như các bài tốn kiểm tra ở trường, lớp đến các bài tốn trong các kì thi
tốt nghiệp phổ thơng, kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng và cả các kì thi học sinh
giỏi lẫn thi quốc tế. Chẳng hạn sau đây là một câu trong đề thi tuyển sinh Đại học –
Cao đẳng gần đây:
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và 𝑥 ≥ 𝑦, 𝑥 ≥ 𝑧. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑃 =

𝑥

2𝑥+3𝑦

𝑦

𝑧

+ 𝑦+𝑧 + 𝑧+𝑥.

(trích Đề thi Đại học – Cao đẳng khối A năm 2011)

Các bài toán về GTLN và GTNN còn gắn liền với thực tế rất sinh động. Xin đưa
ra đây một bài tốn ở phổ thơng:
Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn
vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng
𝑃(𝑛) = 480 − 20𝑛 (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của
mặt hồ để sau một vụ thu hoạch nhiều cá nhất?
(Giải tích 12 nâng cao, tr.22)

Những điều trên cho thấy GTLN và GTNN là những đối tượng xuất hiện ở
chương trình phổ thơng với vị trí khá quan trọng. Chúng tồn tại ở nhiều dạng thuật
ngữ khác nhau như “số lớn nhất”, “cao nhất”, “to nhất”, “nhiều nhất”, ... ứng với
GTLN và “số bé nhất”, “nhỏ nhất”, “thấp nhất”, “ít nhất”, ... ứng với GTNN.
Chúng tơi quan sát được lưu ý từ sách giáo viên (SGV) Giải tích 12 nâng cao
liên quan đến các đối tượng này như sau:
Sau khi định nghĩa, đã nhắc lại điều sau đây:

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…

3

Muốn chứng tỏ số M (hoặc m) là GTLN (hoặc GTNN) của hàm số f trên tập hợp D,
cần chứng tỏ
a) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 (hoặc 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷;

b) Tồn tại ít nhất một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑀 (hoặc 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑚).

Điều kiện b) là quan trọng, không được bỏ qua. Một số học sinh đã không chú ý
đến nó, do đó đã mắc sai lầm.

Ta hãy xét bài tập 16: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 𝑓(𝑥) = sin4 𝑥 + cos4 𝑥.
Có học sinh lập luận như sau:

Vì 𝑓(𝑥) ≥ 0 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên min𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = 0.

Vì sin4 𝑥 ≤ 1 và cos4 𝑥 ≤ 1 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên 𝑓(𝑥) ≤ 1 + 1 = 2 với mọi 𝑥 ∈ ℝ.
Do đó max𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = 2.

1

Các kết luận đó là sai. Tại sao? Thật ra, ta có min𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = 2 và max𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) =
1.

Học sinh đó mắc sai lầm vì đã khơng để ý đến điều kiện b).
(SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.39)

Từ đó cho thấy, có những học sinh (HS) lớp 12 bị mắc các sai lầm theo kiểu
(chúng tôi gọi các sai lầm này là SL):

o Nếu 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì có ngay max𝑥∈𝐷 𝑓 (𝑥) = 𝑀 mà không quan tâm đến
việc tồn tại 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑀.

o Nếu 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì có ngay min𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑚 mà không quan tâm đến
việc tồn tại 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑚.

Vậy các sai lầm này bắt nguồn từ đâu? Chúng có phổ biến ở HS lớp 12 và ở học
sinh các lớp dưới khơng? Chúng có phải bắt nguồn từ một số bài tốn nào đó liên
quan đến GTLN và GTNN ở các lớp dưới khơng? Hoặc chúng có phải do cách trình
bày của các sách giáo khoa (SGK) khơng? Ngồi các sai lầm trên, còn sai lầm khác
của HS khi giải quyết những bài toán về GTLN và GTNN hay khơng?
Có thể có nhiều ngun nhân giải thích cho các sai lầm trên nhưng có thể nhận
xét rằng các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt dường như cũng đóng vai
trị tạo nên khó khăn và sai lầm ở HS trong việc giải quyết các bài toán về GTLN và
GTNN. Đặc biệt, khi đề cập đến các đối tượng GTLN và GTNN ở phổ thông, một

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


4

số SGK sử dụng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt để mô tả chúng. Chẳng hạn
định nghĩa GTLN và GTNN của hàm số ở SGK Giải tích 12 nâng cao như sau:
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (𝐷 ⊂ ℝ).

a) Nếu tồn tại một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥𝑜 ) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷 thì số M =

f(x o ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là

𝑀 = max𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥).

b) Nếu tồn tại một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥𝑜 ) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷 thì số m =
f(x o ) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là min𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥).
(Giải tích 12 nâng cao, tr.18)

Những ghi nhận trên khiến chúng tôi chọn đề tài Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trong dạy học Toán ở phổ thơng làm chủ đề cho luận văn của mình. Cụ thể,
luận văn sẽ trả lời cho những câu hỏi ban đầu sau:
- Các đối tượng GTLN và GTNN được đưa vào chương trình phổ thơng như thế
nào? Nhằm mục đích gì? Có những bài tốn nào liên quan đến các đối tượng đó?
Chúng tiến triển ra sao qua các khối lớp?
- Các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt có vai trị gì đối với các đối
tượng GTLN và GTNN? Chúng có phải là yếu tố gắn liền với những sai lầm trên
của học sinh không?
- Kết quả lựa chọn của hệ thống dạy học ảnh hưởng gì đến việc học của HS về
các đối tượng GTLN, GTNN và đến việc giải quyết các dạng toán liên quan đến các
đối tượng này?
2. Khung lý thuyết tham chiếu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc vận
dụng các lý thuyết sau đây:
- Lý thuyết nhân chủng học. Cụ thể, chúng tôi sử dụng các khái niệm "quan hệ
thể chế", "quan hệ cá nhân", "tổ chức tốn học".
- Lý thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm (a priori) và phân tích hậu nghiệm
(a posteriori).
- Ngồi ra, chúng tơi cịn sử dụng khái niệm hợp đồng dạy học để phục vụ cho
việc nghiên cứu.

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


5

3. Mục đích nghiên cứu
Chúng tơi xác định các khái niệm:
- Mối quan hệ thể chế R(I,O), với I là thể chế dạy học phổ thơng mơn Tốn hiện
hành ở Việt Nam, O 1 là đối tượng GTLN, O 2 là GTNN, O được gọi chung cho cả
O 1 và O 2 . Trong luận văn này, đôi khi chúng tôi gọi thay cụm từ “thể chế dạy học
phổ thông mơn Tốn hiện hành ở Việt Nam” là “thể chế” hay “thể chế dạy học”.
- Mối quan hệ cá nhân R(X,O), với X là người học (HS) hoặc người dạy (GV).
Dựa theo khung lý thuyết tham chiếu đã chọn và những câu hỏi xuất phát ban
đầu, chúng tôi đề ra những câu hỏi nghiên cứu sau mà việc tìm kiếm một số yếu tố
cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:
CH1. Các đối tượng GTLN và GTNN được xây dựng và tiến triển ra sao trong
thể chế dạy học Tốn ở phổ thơng? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền
với các đối tượng này là gì? Các tổ chức tốn học đó tiến triển ra sao qua các khối
lớp?
CH2. Các đối tượng bất đẳng thức khơng nghiêm ngặt có những đặc trưng nào
trong thể chế dạy học Toán ở phổ thông? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh
phạm phải liên quan đến các đối tượng này?
CH3. Những quy tắc hành động nào, những quan niệm nào được HS vận dụng
góp phần tạo ra các sai lầm SL? Cịn có những sai lầm khác gắn liền với việc giải
quyết các bài tốn về GTLN và GTNN khơng?
4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
Nhằm đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra, chúng tơi xác định phương pháp
nghiên cứu như sau:
Để trả lời cho câu hỏi CH1, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với các
đối tượng GTLN và GTNN qua việc phân tích chương trình và các SGK phổ thơng

mơn Tốn hiện hành ở Việt Nam. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng các
đối tượng trên, cũng như chỉ ra được các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của
chúng qua các khối lớp. Những kết quả thu được sẽ cho phép trả lời cho các câu hỏi

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


6

CH1 và được trình bày trong chương 1: “GTLN và GTNN trong thể chế dạy học
Tốn phổ thơng”.
Sau đó, chúng tôi sẽ dựa vào các SGK hiện hành ở Việt Nam để rút ra một số
đặc trưng sư phạm của các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt. Điều này
được trình bày trong chương 2: “Một số đặc trưng sư phạm của đối tượng bất
đẳng thức không nghiêm ngặt” và sẽ giúp chúng tôi trả lời cho các câu hỏi CH2.
Từ những kết quả phân tích trên, chúng tơi sẽ hình thành nên những giả thuyết
nghiên cứu hoặc những nhận định cần kiểm tra sự tồn tại. Chúng tôi sẽ kiểm chứng
những giả thuyết và kiểm tra những nhận định bằng cách xây dựng và tiến hành
thực nghiệm: thực nghiệm đối với HS qua các phiếu câu hỏi, thực nghiệm đối với
GV qua các phiếu thăm dò ý kiến. Các kết quả nhận được cũng cho phép chúng tôi
đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi CH3 và được trình bày trong chương 3: “Nghiên
cứu thực nghiệm”.
Những nghiên cứu trên được sơ đồ hóa như sau:
NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY
Thể chế dạy học tốn phổ thơng ở Việt Nam

Giả thuyết,
nhận định

NGHIÊN CỨU ĐẶC TRƯNG SƯ PHẠM

THỰC NGHIỆM

các bất đẳng thức không ngặt

Kiểm chứng giả thuyết

SGK Việt Nam

Kiểm tra nhận định

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


7

Chương 1
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TỐN PHỔ THƠNG
Mục tiêu của chương này là tìm các câu trả lời cho các câu hỏi CH1 sau: Các
đối tượng GTLN và GTNN được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học
Tốn ở phổ thơng? Đặc trưng của những tổ chức tốn học gắn liền với các đối
tượng này là gì? Các tổ chức tốn học đó tiến triển ra sao qua các khối lớp?
Để đạt được mục tiêu trên, chúng tơi tiến hành phân tích chương trình phổ thơng
mơn Tốn hiện hành và các bộ SGK hiện hành ở Việt Nam.
Trước hết, chúng tôi nhận thấy trong thể chế dạy học mơn Tốn ở phổ thơng các

khái niệm số lớn nhất và số bé nhất. Các khái niệm này được HS làm quen đầu tiên
trong số những khái niệm liên quan đến các đối tượng GTLN và GTNN. Các đối
tượng số lớn nhất và số bé nhất xuất hiện đầu tiên ở lớp 1 và chúng gắn liền với
việc học tập các tập hợp số ở phổ thơng. Do đó, đầu tiên, chúng tôi sẽ xem xét cách
thức mà chương trình và các SGK đưa các khái niệm số lớn nhất và số bé nhất vào
trong dạy học với việc tìm kiếm phần trả lời cho câu hỏi: Việc đưa vào này gây cho
HS quan niệm gì về các khái niệm GTLN và GTNN của biểu thức hay của hàm số
trước khi họ biết về chúng?
Sau đó, chúng tơi sẽ xem xét sự xuất hiện của các đối tượng GTLN và GTNN
của biểu thức hay của hàm số trong chương trình và các SGK ở các khối lớp. Đây là
các giai đoạn tiếp theo mà thể chế đề cập đến các đối tượng liên quan đến GTLN và
GTNN.
Chúng tôi lưu ý thể chế dạy học mơn Tốn ở phổ thơng chỉ đề cập đến khái niệm
hàm số một biến và không đề cập đến khái niệm hàm số nhiều biến. Khi đó, thể chế
chỉ đề cập đến thuật ngữ hàm số nhằm chỉ hàm số một biến. Trong luận văn này,
chúng tôi sử dụng thuật ngữ hàm số để gọi tắt cho thuật ngữ hàm số một biến và khi
cần thiết, chúng tơi sẽ gọi tên đầy đủ. Ngồi ra, trong luận văn này, chúng tôi dùng

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


8

thuật ngữ “so sánh hơn” để nói đến việc so sánh hai số thực khác nhau và thuật ngữ
“so sánh nhất” để nói đến việc tìm số lớn nhất hay số bé nhất trong một tập con nào
đó của tập các số thực.
1.1 Số lớn nhất, số bé nhất trong nội dung học tập các tập số
1.1.1 Phân tích chương trình

Tài liệu Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (2006) (tài liệu [2]) thể
hiện mạch nội dung học tập các tập hợp số ở phổ thông như sau:
Mạch nội dung
Số học

Lớp
Chủ đề
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Số tự nhiên
* * * * * *
Số nguyên
*
Số hữu tỉ
- Phân số
+ + * * *
- Số thập phân
* * *
- Số hữu tỉ
*
Số thực
*
*
Số phức
*

Bảng 1.1: Nội dung học tập các tập số ở phổ thông
Ghi chú.

+ : Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị.
* : Học chính thức.

([2], tr.8)

Trong [2], tr.6, nêu rõ rằng một trong những mục tiêu dạy học mơn Tốn về tư
duy là tư duy so sánh. Như vậy, “so sánh hơn” và “so sánh nhất” được lưu ý quan
tâm trong chương trình. Nội dung dạy học so sánh các số trong các tập hợp số được
quy định trong [2] như sau:
Lớp Nội dung dạy học so
Mức độ cần đạt ở học sinh
sánh trong các tập
số
So
sánh
các số tự
- Biết so sánh các số trong phạm vi 100 (tr.27):
1
nhiên đến 10 (tr.12); + Sử dụng các từ lớn hơn, bé hơn, bằng nhau và các
- So sánh các số tự

dấu >, <, = khi so sánh hai số;

nhiên đến 100

+ Xác định số lớn nhất, số bé nhất trong một nhóm các

(tr.12).

số cho trước (sử dụng các từ "bé nhất", "lớn nhất").
+ Sắp xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc từ lớn

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


9

đến bé (nhiều nhất là 4 số).
- Bước đầu nhận biết thứ tự các số trên tia số (tr.28).
2

- So sánh các số tự

- Biết xác định số liền trước, số liền sau của một số

nhiên đến 1000

cho trước (tr.35);

(tr.13).

- Biết sử dụng cấu tạo thập phân của số và giá trị theo
vị trí của các chữ số trong một số để so sánh các số có
đến ba chữ số (tr.36);
- Biết xác định số bé nhất (hoặc lớn nhất) trong một
nhóm các số cho trước (tr.36);
- Biết sắp xếp các số có đến ba chữ số theo thứ tự từ
bé đến lớn hoặc ngược lại (nhiều nhất là 4 số) (tr.36).

3

- So sánh các số tự

- Biết sử dụng cấu tạo thập phân của số và giá trị theo

nhiên đến 10000 và

vị trí của các chữ số để so sánh các số có tới năm chữ

đến 100000 (tr.14).

số (tr.45);
-Biết xác định số lớn nhất, số bé nhất trong một nhóm
có khơng q 4 số cho trước (tr.46);
- Biết sắp xếp các số có đến bốn hoặc năm chữ số theo
thứ tự từ bé đến lớn hoặc ngược lại (nhiều nhất là 4
số) (tr.46).

4

- So sánh các số tự

- Biết so sánh các số có đến sáu chữ số; biết sắp xếp

nhiên đến lớp triệu

bốn số tự nhiên có khơng quá sáu chữ số theo thứ tự từ

và hệ thống hóa về

bé đến lớn hoặc từ lớn đến bé (tr.59);

số tự nhiên và hệ

- Bước đầu nhận biết một số đặc điểm của dãy số tự

thập phân (tr.15);

nhiên như: số 0 là số tự nhiên bé nhất, khơng có số tự

- So sánh hai phân

nhiên lớn nhất (dãy số tự nhiên kéo dài mãi) (tr.59);

số (tr.16).

- Nhận ra hai phân số bằng nhau (tr.62);
- Biết so sánh hai phân số cùng mẫu số; Biết so sánh
hai phân số khác mẫu số (tr.62);
- Biết viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


10

từ lớn đến bé (tr.63).
5

- So sánh các số

- Biết cách so sánh hai số thập phân (thuộc quy tắc và

thập phân (tr.17).

biết vận dụng để so sánh các số thập phân); Biết sắp
xếp một nhóm các số thập phân theo thứ tự từ bé đến
lớn hoặc ngược lại (tr.74).

6

- Ôn tập và bổ túc

- Sắp xếp được các số tự nhiên theo thứ tự tăng hoặc

về số tự nhiên

giảm; Sử dụng đúng các kí hiệu =, ≠, >, <, ≥, ≤

(tr.18);
- Biểu diễn số

(tr.89);

- Biết các khái niệm bội chung nhỏ nhất, ước chung

nguyên trên trục số;

lớn nhất và tìm được bội chung nhỏ nhất, ước chung

thứ tự trong ℤ

lớn nhất của hai số trong những trường hợp đơn giản

(tr.18).

(tr.91);
- Biết biểu diễn số nguyên trên trục số (tr.91); Sắp xếp
đúng một dãy các số nguyên theo thứ tự tăng hoặc
giảm (tr.92);

7

- Biểu diễn số hữu tỉ - Biết so sánh hai số hữu tỉ (tr.97);
trên trục số; so sánh

- Nhận biết thứ tự của các số thực trên trục số (tr.98).

các số hữu tỉ (tr.19);
- Biểu diễn số thực
trên trục số và so
sánh các số thực
(tr.19).
Qua đó, chúng tơi nhận thấy có hai kiểu nhiệm vụ (KNV) liên quan đến “so sánh
nhất” trong dạy học các tập số là T SLN : Xác định số lớn nhất trong một nhóm các
số cho trước và T SBN : Xác định số bé nhất trong một nhóm các số cho trước.
Sự tiến triển của chúng như sau:
+ Lớp 1: Hai kiểu nhiệm vụ này được giới hạn trong một nhóm các số tự nhiên

đến 10 (nhóm các số tự nhiên có một chữ số), sau đó đến 100 (chủ yếu là nhóm các
số tự nhiên có hai chữ số).

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


11

+ Lớp 2: Nhóm các số tự nhiên đến 1000 (chủ yếu là nhóm các số tự nhiên có ba
chữ số).
+ Lớp 3: Nhóm các số tự nhiên đến 10000 và đến 100000 (chủ yếu là nhóm các
số tự nhiên có bốn hoặc năm chữ số).
+ Lớp 4: Hồn thành những kiến thức cơ bản về số tự nhiên. Trong [2] ghi là
“Biết so sánh các số có đến sáu chữ số” và không ghi rõ đến việc “so sánh nhất”.
Chúng tôi cho rằng, từ ngữ “so sánh các số” ở đây bao hàm cả “so sánh hơn” và “so
sánh nhất” vì khi nói đến “so sánh hơn” (so sánh hai số với nhau) thì trong [2] ghi là
“so sánh hai số”. Trong khi đó, HS bắt đầu học về một “loại số” khác là phân số và
trong [2] không hề có yêu cầu về việc “so sánh nhất”, ngay cả yêu cầu “biết so sánh
các phân số” cũng không có.
+ Lớp 5: HS làm quen thêm một “loại số” khác là số thập phân và cũng tương tự
như yêu cầu về mức độ cần đạt của HS khi học về phân số ở lớp 4, [2] cũng không
yêu cầu về việc “so sánh nhất” các số thập phân mặc dù trong nội dung dạy học các
tập số có nêu phần dạy học số học ở lớp 5 là “So sánh các số thập phân”.
+ Lớp 6: HS được ôn tập và bổ túc thêm kiến thức về tập số tự nhiên và phân số
cũng như học về số nguyên. Tuy nhiên, ở thời điểm này, hai KNV T SLN và T SBN
không xuất hiện trong yêu cầu về mức độ cần đạt của chương trình.
+ Từ lớp 7 trở đi, chúng tơi khơng thấy chương trình u cầu HS thực hiện hai
KNV T SLN và T SBN trong việc học tập các tập số tiếp theo.

1.1.2 Phân tích các sách giáo khoa
Như đã trình bày, trong chương trình Tốn phổ thông, các đối tượng số lớn nhất
và số bé nhất gắn liền với việc dạy học các tập số (chủ yếu là tập số tự nhiên).
Chúng xuất hiện ngay từ những bài học đầu tiên ở lớp 1. Để tiện theo dõi sự phân
tích, chúng tơi trình bày mạch nội dung phần 1 (với tiêu đề Các số đến 10. Hình
vng, hình trịn, hình tam giác) của SGK Tốn 1 như sau:
• Nhiều hơn, ít hơn
• Hình vng, hình trịn
• Hình tam giác

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


12

• Các số 1, 2, 3
• Các số 1, 2, 3, 4, 5
• Bé hơn. Dấu <
• Lớn hơn. Dấu >
• Bằng nhau. Dấu =
• Số 6
• Số 7
• Số 8
• Số 9
• Số 0
• Số 10
Trong đó, thuật ngữ số lớn nhất xuất hiện đầu tiên trong bài Số 10, với yêu cầu:
5. Khoanh vào số lớn nhất (theo mẫu):

a) 4,
2,
b) 8,
10,
9
c) 6,
3,
5.
(Toán 1 , tr.37)

SGV Toán 1 hướng dẫn điều này như sau:
Nếu HS gặp khó khăn, GV có thể hướng dẫn HS quan sát lại dãy số từ 0 đến 10, từ
đó HS dựa vào thứ tự của các số mà xác định được số lớn nhất trong các số đã
cho.
(SGV Toán 1, tr.54).

Từ hướng dẫn này, chúng tơi nhận thấy có thể có một kỹ thuật để giải quyết
KNV T SLN là 𝜏𝑆𝐿𝑁.1 : xác định vị trí. Trong đó, u cầu của chương trình ở giai đoạn

đầu của lớp một này là “so sánh các số tự nhiên đến 10” và kỹ thuật 𝜏𝑆𝐿𝑁.1 nhắm
đến dãy số được quan sát là từ 0 đến 10. Kỹ thuật này có thể có các bước sau:
𝜏𝑆𝐿𝑁.1 : xác định vị trí.

• Bước 1: Viết một dãy các số tự nhiên liên tiếp chứa các số cho trước;

• Bước 2: Xác định vị trí của các số ở đề bài trong dãy số vừa viết;
• Bước 3: Số nào ở đề bài nằm ở bên phải so với các số khác ở đề bài thì
kết luận số đó là số lớn nhất.

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


13

Điều chúng tôi quan tâm là sự xuất hiện của đối tượng số lớn nhất trong một yêu
cầu mà HS chưa được làm quen với thuật ngữ này trước đó liệu có gây trở ngại gì
khơng ở HS khi thực hiện KNV T SLN . Khi quan sát SGV, chúng tơi nhận thấy điều
này được chuẩn bị trong q trình HS học về các số ở những bài đầu tiên. Cụ thể,
khi HS học đến bài Số 6, họ sẽ gặp yêu cầu sau đây:
Bài 3. Viết số thích hợp vào ơ trống:

(Tốn 1, tr.27)

SGV hướng dẫn GV khi dạy đến phần này:
Bài 3: Viết số thích hợp.
- Hướng dẫn HS đếm các ô vuông trong từng cột rồi viết số thích hợp vào ơ trống.
GV giúp HS nhận biết: “Cột có số 6 cho biết có 6 ơ vng”; “Vị trí số 6 cho biết 6
đứng liền sau 5 trong dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6”.
- Hướng dẫn HS điền số thích hợp vào các ơ trống rồi đọc theo thứ tự từ 1 đến 6 và
từ 6 đến 1.
- Giúp HS so sánh từng cặp hai số tiếp liền trong các số từ 1 đến 6 để biết 1 < 2; 2
< 3; 3 < 4; 4 < 5; 5 < 6. Nên cho HS nhận xét để biết 6 lớn hơn tất cả các số 1, 2, 3,
4, 5 và 6 là số lớn nhất trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chẳng hạn: Cho HS quan sát để
thấy tương ứng với số 6 là cột cao nhất có 6 ơ vng.
(SGV Tốn 1, tr.44)

Như vậy, từ hướng dẫn trong SGV Toán 1, chúng tơi nhận thấy các tác giả viết
SGK Tốn 1 mong muốn hình thành khái niệm số lớn nhất cho HS thông qua một

số nét đặc trưng của khái niệm này. Đặc biệt, từ việc nắm bắt được khái niệm số lớn
hơn, HS có thể hình thành nên biểu tượng về khái niệm số lớn nhất thông qua đặc
trưng: số lớn hơn tất cả các số cịn lại trong nhóm các số là số lớn nhất trong nhóm
các số đó. Từ đây, xuất hiện một kỹ thuật có thể có khi giải quyết KNV T SLN là:

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


14

𝜏𝑆𝐿𝑁.2 : “so sánh hơn”.

• Bước 1: Chọn một số trong nhóm các số cho trước rồi so sánh với các số
cịn lại;
• Bước 2: Nếu số đó lớn hơn tất cả các số cịn lại thì kết luận số đó là số
lớn nhất trong nhóm các số đó. Nếu không, quay lại bước 1 và thực hiện
lại với số khác.

Còn thuật ngữ số bé nhất xuất hiện đầu tiên trong bài luyện tập ngay sau bài Số
10, với yêu cầu:
4c) Trong các số từ 0 đến 10: Số bé nhất là ..., số lớn nhất là ...
(Toán 1, tr.39)

Trong đó, SGV gợi ý là:
Có thể hướng dẫn HS dựa vào việc quan sát dãy số từ 0 đến 10 để tìm ra các số bé
hơn 10; số bé nhất, số lớn nhất (trong các số từ 0 đến 10).
(SGV Tốn 1, tr.55)

Điều này cho thấy có thể có một kỹ thuật để giải quyết KNV T SBN là:
𝜏𝑆𝐵𝑁.1 : xác định vị trí.

• Bước 1: Viết một dãy các số tự nhiên liên tiếp chứa các số cho trước;

• Bước 2: Xác định vị trí của các số ở đề bài trong dãy số vừa viết;
• Bước 3: Số nào ở đề bài nằm ở bên trái so với các số khác ở đề bài thì kết
luận số đó là số bé nhất.
Cũng như đối tượng số lớn nhất, đối tượng số bé nhất cũng được chuẩn bị để HS
làm quen trước khi HS thực hiện yêu cầu này. SGV hướng dẫn GV giới thiệu số 0
trong bài Số 0 như sau:
Bước 1. Hình thành số 0.
[...]
Bước 2: Giới thiệu chữ số 0 in và chữ số 0 viết.
[...]
Bước 3: Nhận biết vị trí của số 0 trong dãy từ 0 đến 9.
- Cho HS xem hình vẽ trong SGK, GV chỉ vào từng ô vuông (chữ nhật) và hỏi: "Có
mấy chấm trịn?" (khơng, một, hai, ba, ..., chín).

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


15

- GV hướng dẫn HS đọc các số theo thứ tự từ 0 đến 9 rồi theo thứ tự ngược lại từ 9
đến 0.
- GV gợi ý để HS thấy được số 0 là số bé nhất trong tất cả các số đã học, chẳng
hạn, GV hỏi: "0 chấm tròn so với 1 chấm trịn thì nhiều hơn hay ít hơn?" (ít hơn).

GV ghi 0 < 1, rồi chỉ vào 0 < 1 cho HS đọc: "0 bé hơn 1".
(SGV Toán 1, tr.51)

Hướng dẫn này cũng cho thấy các tác giả viết SGK Toán 1 mong muốn HS hiểu
được khái niệm số bé nhất thông qua một số đặc trưng của nó, đặc biệt là đặc trưng
“số bé hơn tất cả các số cịn lại trong nhóm các số là số bé nhất trong nhóm các số
đó”. Mặt khác, cũng từ hướng dẫn này, chúng tơi nhận thấy có thể có thêm một kỹ
thuật để giải quyết KNV T SBN là:
𝜏𝑆𝐵𝑁.2 : “so sánh hơn”.

• Bước 1: Chọn một số trong nhóm các số cho trước rồi so sánh với các số
cịn lại;

• Bước 2: Nếu số đó bé hơn tất cả các số cịn lại thì kết luận số đó là số bé
nhất trong nhóm các số đó. Nếu không, quay lại bước 1 và thực hiện lại
với số khác.
Mặt khác, những hướng dẫn của SGV về việc tìm số lớn nhất và số bé nhất
(KNV T SLN và T SBN ) với những từ ngữ như “GV có thể hướng dẫn HS...”, “chẳng
hạn...”, “nên cho HS...” cho thấy việc sử dụng kỹ thuật nào để giải quyết và hướng
dẫn cho HS là tùy thuộc vào GV.
Hai KNV T SLN và T SBN còn hiện diện ở các SGK Tốn 2, Tốn 3 và Tốn 4 như
trong chương trình đã quy định. Trong các SGK này và Toán 1, “so sánh hơn” và
“so sánh nhất” được dạy học trong cùng một bài, được gọi chung là “so sánh các
số”. Chẳng hạn, Tốn 1 có bài So sánh các số có hai chữ số; Tốn 2 có bài So sánh
các số có ba chữ số; Tốn 3 có bài So sánh các số trong phạm vi 10 000 (tr.100), So
sánh các số trong phạm vi 100 000; Tốn 4 có bài So sánh các số có nhiều chữ số.
Đặc biệt, trong phần lý thuyết của các bài này, các tác giả của các SGK đều chỉ nêu
phần dạy học “so sánh hơn” trong khi phần bài tập vẫn có những bài tập liên quan

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


16

đến “so sánh nhất”. Chúng tôi minh họa một trường hợp ở bài So sánh các số trong
phạm vi 10 000. Phần lý thuyết của bài này:
1) Trong hai số:

● Số nào có ít chữ số hơn thì bé hơn. Ví dụ: 999 < 1000.
● Số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn. Ví dụ: 10 000 > 9999.
2) Nếu hai số có cùng số chữ số thì so sánh từng cặp chữ số ở cùng một hàng, kể từ
trái sang phải.
Ví dụ 1: 9000 > 8999 vì ở hàng nghìn có 9 > 8.
Ví dụ 2: 6579 < 6580 vì các chữ số hàng nghìn đều là 6, các chữ số hàng trăm đều
là 5, nhưng ở hàng chục có 7 < 8.
3) Nếu hai số có cùng số chữ số và từng cặp chữ số ở cùng một hàng đều giống
nhau thì hai số đó bằng nhau.
(Toán 3, tr.100)

Phần bài tập của bài này:

(Toán 3, tr.100)

Hướng dẫn phần bài tập này trong SGV:
Bài 1: Cho HS tự làm rồi chữa bài. Nên khuyến khích HS nêu cách so sánh từng
cặp số. Chẳng hạn, 6742 và 6722 đều có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn của chúng
đều là 6, chữ số hàng trăm của chúng đều là 7, nên so sánh tiếp cặp chữ số hàng
chục, ta có 4 > 2. Vậy 6742 > 6722.

Bài 2: Khi chữa bài HS phải giải thích cách làm. Chẳng hạn, 1km > 985m vì

Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


17

1km = 1000m mà 1000m > 985m ...
Bài 3: Cho HS làm bài rồi chữa bài. Khuyến khích HS giải thích cách làm (nếu có
điều kiện). Nếu khơng đủ thời gian thì có thể cho HS làm bài 3 khi tự học rồi chữa
bài vào tiết học sau.
(SGV Toán 3, tr.172)

Trong q trình xem xét, chúng tơi nhận thấy việc dạy học “so sánh nhất” không
được “quan tâm” nhiều bằng “so sánh hơn”. Chúng tôi đã thống kê sự hướng dẫn
của các SGV cho các bài toán thuộc các KNV T SLN và T SBN ở các Toán 1, 2, 3 và 4
trong phần dạy học các số tự nhiên và nhận thấy rằng, trong 57 bài tốn, có đến 38
bài toán được SGV hướng dẫn kiểu như “GV cho HS tự làm bài, sau đó chữa bài”,
hồn tồn khơng hướng dẫn thêm điều gì cho GV giúp HS nhận ra số lớn nhất hay
số bé nhất. Trong khi đó, các bài toán liên quan đến các KNV về “so sánh hơn” đều
được các SGV hướng dẫn chi tiết.
Cũng qua việc xem xét này, chúng tơi nhận thấy có thêm kỹ thuật để giải quyết
hai KNV T SLN và T SBN là:
Đối với KNV T SLN :
Kỹ thuật 𝜏𝑆𝐿𝑁.3 : So sánh số chữ số và chữ số.

• Bước 1: Tìm số (hay các số) có nhiều chữ số nhất trong nhóm các số tự
nhiên cho trước;

• Bước 2:
- Nếu chỉ có một số thỏa mãn điều kiện ở bước 1 thì số đó là số lớn nhất
trong nhóm các số đã cho;
- Nếu có từ hai số trở lên thỏa mãn điều kiện ở bước 1 thì so sánh các số
này với việc so sánh các chữ số ở cùng hàng kể từ trái qua phải: nếu các
chữ số ở hàng đầu tiên giống nhau thì tiếp tục so sánh các chữ số ở hàng
tiếp theo cho đến khi tìm được chữ số lớn nhất ở cùng hàng thì dừng lại.
Số có chữ số lớn nhất như thế sẽ là số lớn nhất trong nhóm các số đã cho.

Đối với KNV T SBN :
Kỹ thuật 𝜏𝑆𝐵𝑁.3 : So sánh số chữ số và chữ số.
Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…


18

• Bước 1: Tìm số (hay các số) có ít chữ số nhất trong nhóm các số tự nhiên
cho trước;
• Bước 2:
- Nếu chỉ có một số thỏa mãn điều kiện ở bước 1 thì số đó là số bé nhất
trong nhóm các số đã cho;
- Nếu có từ hai số trở lên thỏa mãn điều kiện ở bước 1 thì so sánh các số
này với việc so sánh các chữ số ở cùng hàng kể từ trái qua phải: nếu các
chữ số ở hàng đầu tiên giống nhau thì tiếp tục so sánh các chữ số ở hàng
tiếp theo cho đến khi tìm được chữ số bé nhất ở cùng hàng thì dừng lại.
Số có chữ số bé nhất như thế sẽ là số bé nhất trong nhóm các số đã cho.
Một số dẫn chứng của các kỹ thuật này:
4. Tìm số lớn nhất, số bé nhất trong các số sau: 375; 421; 573; 241; 735; 142.

2. Tìm số lớn nhất trong các số sau:
a) 41 590; 41 800; 42 360; 41 785;
(Toán 3, tr.3, 170)

Hướng dẫn của SGV:
4. Yêu cầu HS chỉ ra được số lớn nhất là 735 hoặc có thể khoanh vào số lớn nhất,
chẳng hạn: 375; 421; 573; 241;

; 142.

(Có thể giải thích vì chữ số hàng trăm ở số đó lớn nhất trong các chữ số hàng trăm
của các số đã cho).
Yêu cầu HS chỉ ra được số bé nhất là 142 hoặc khoanh vào số bé nhất, chẳng hạn:
375; 421; 573; 241; 735;

.

(Có thể giải thích vì chữ số hàng trăm ở số đó bé nhất trong các chữ số hàng trăm
của các số đã cho).
2. GV cho HS tự làm bài rồi chữa bài. Khi chữa bài nên khuyến khích HS nêu cách
chọn ra số lớn nhất. Chẳng hạn, ở phần a): bốn số này đều có các chữ số hàng chục
nghìn là 4; chữ số hàng nghìn của 42 360 là 2, của ba số còn lại đều là 1, mà 2 > 1;
vậy 42 360 là số lớn nhất trong bốn số ở phần a).
(SGV Toán 3, tr.29, 269)

Bảng thống kê số lượng bài toán của các KNV T SLN , T SBN cùng với các kỹ thuật
được các SGV Toán 1, 2, 3, 4 hướng dẫn như sau:
Nguyễn Hồng Tú

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…