Một số suy luận trong dạy học chứng minh hình học không gian ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Đặng Thị Hồng Vân

MỘT SỐ SUY LUẬN TRONG DẠY HỌC
CHỨNG MINH HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Đặng Thị Hồng Vân

MỘT SỐ SUY LUẬN TRONG DẠY HỌC
CHỨNG MINH HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
Chun ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu
trong luận văn đều chính xác và trung thực.


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên
Trung, người đã ln động viên, tận tình hướng dẫn tơi về mặt nghiên cứu khoa học và
góp phần quan trọng vào việc hồn thành luận văn này.
Tơi cũng trân trọng kính lời cảm ơn đến:
 PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công
Khanh, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Vũ Như Thư Hương. Mỗi thầy cơ đã tận tình
giảng dạy, truyền thụ những tri thức q báu cho chúng tơi về didactic Tốn
thật sinh động, cụ thể và đầy ý nghĩa.
 Đặc biệt, TS. Vũ Như Thư Hương, sau chuyên đề Hợp đồng Didactic, cô còn
dành một buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp tơi các kỹ năng cần thiết về tin
học khi trình bày một luận văn.
 GS. Annie Bessot, GS. Claude Comiti về những góp ý q báu cho luận văn.
Và tơi cũng chân thành biết ơn:
 Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã tạo
điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây.
 Các bạn trong lớp cao học khóa 24 đã chia sẻ, động viên nhau để hồn thành
luận văn.
 Sở GD&ĐT tỉnh Long An, Ban Giám Hiệu, thầy cô trường THPT Chuyên Long
An – tỉnh Long An đã tạo điều kiện giúp tơi được hồn thành khóa học.
 Thầy cô và học sinh trường THPT Chuyên Long An – tỉnh Long An đã tạo điều
kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Cuối cùng, tôi xin dành những lời cảm ơn chân thành nhất đến gia đình tôi đã

luôn là chỗ dựa tin thần lớn nhất cho tôi và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hồn thành
khóa học.
Đặng Thị Hồng Vân


MỤC LỤC
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục

Danh mục các từ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
Chương 1. SUY LUẬN TÌM TỊI CHỨNG MINH TRONG DẠY HỌC
CHỨNG MINH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 .............................................. 6
1.1. Những kết quả lý luận đã có ................................................................................. 6
1.1.1. Suy luận là gì? ................................................................................................ 6
1.1.2. Tại sao phải tìm tịi lời giải cho bài tốn chứng minh?.................................. 8
1.1.3. Nhìn từ lịch sử ................................................................................................ 9
1.1.4. Những kiểu suy luận tìm tịi chứng minh .................................................... 11
1.2. Suy luận và chứng minh trong các nghiên cứu trước về thể chế dạy học .......... 12
1.2.1. Kết luận về phân tích chương trình, SGK Hình học 7, NXB GD của tác
giả Lê Văn Tiến ...................................................................................................... 12
1.2.2. Kết luận về phân tích chương trình, SGK Hình học 7, Nhà xuất bản
Giáo dục 1999 của Trần Thị Thanh Hương: .......................................................... 14
1.2.3. Kết luận về phân tích chương trình, SGK Hình học 7 thí điểm, Nhà xuất
bản Giáo dục 2001 của Trần Thị Tuyết Dung: ...................................................... 14
1.2.4. Kết luận về phân tích chương trình SGK Tiểu học và THCS của tác giả
Trần Thị Ngọc Diệp, suy luận và chứng minh có các đặc trưng sau: .................... 15
1.2.5. Kết luận về phân tích chương trình SGK THCS của tác giả Nguyễn Thị

Thu Huyền mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận và chứng minh được
thiết lập qua hai giai đoạn: ..................................................................................... 16
1.2.6. Vấn đề mới cần nghiên cứu.......................................................................... 18
1.3. Phương pháp tìm tịi chứng minh trong thể chế hình học 11 ............................. 19
1.3.1. Khó khăn trong dạy học hình học không gian 11 theo Noospheres ............ 19
1.3.2. Cấp độ chương trình ..................................................................................... 19


1.3.3. Tìm tịi chứng minh trong bộ sách giáo khoa Cơ bản hình học 11 .............. 21
1.3.4. Tìm tịi chứng minh trong bộ sách giáo khoa Nâng cao 11 ......................... 27
1.4. Kết luận và câu hỏi đặt ra ................................................................................... 28
Chương 2. THỰC NGHIỆM ...................................................................................... 29
2.1. Thực nghiệm đối với giáo viên ........................................................................... 29
2.1.1. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................... 29
2.1.2. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................... 32
2.2. Thực nghiệm đối với học sinh ............................................................................ 36
2.2.1. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................... 36
2.2.2. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................... 40
2.3. Kết luận ............................................................................................................... 45
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 47
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

CB

: Cơ bản

NC

: Nâng cao

SBT

: Sách bài tập

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

THCS

: Trung học Cơ Sở

THPT

: Trung học Phổ Thông

Tr

: trang


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1: Thống kê các câu trả lời của giáo viên .........................................................32
Bảng 2.2: Thống kê các câu trả lời của học sinh trong phiếu số 2 ................................41
Bảng 2.3: Thống kê các câu trả lời của học sinh trong phiếu số 2 ................................42
Bảng 2.4: Thống kê các câu trả lời của học sinh trong phiếu số 3 ................................44
Bảng 2.5: Thống kê các câu trả lời của học sinh trong phiếu số 3 ................................44


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Theo tác giả Lê Văn Tiến (2004), “suy luận diễn dịch nói chung và chứng minh
nói riêng là một nội dung cơ bản của chương trình tốn ở trường phổ thơng”. Khả
năng suy luận là điều quan trọng đối với học sinh trong việc giải toán. Từ các suy luận,
phán đoán đưa đến các chứng minh để chấp nhận hay bác bỏ một mệnh đề nào đó.
Chúng tơi đặc biệt quan tâm đến suy luận chứng minh hình học khơng gian ở
chương trình THPT – một phần được xem là khó và khá trừu tượng đối với học sinh
như SGV Hình học 11 NC, tr. 42 đã nhận định: “Ở lớp 10 và đầu lớp 11, học sinh chỉ
học hình học phẳng nay học hình học khơng gian sẽ gặp rất nhiều khó khăn.”
Như vậy thì quá trình suy luận trong dạy học chứng minh hình học khơng gian
được diễn ra như thế nào trong thể chế hiện nay ở trường THPT?
Xét bài toán sau: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối của tứ
diện này vng góc với nhau từng đơi một. (SBT Hình Học CB 11, trang 32).
A

I

D

B

C

Bài giải
Giả sử ta cần chứng minh AB ⊥ CD
Gọi I là trung điểm AB. Ta có:

CI ⊥ AB 
 ⇒ AB ⊥ ( ICD )
DI ⊥ AB 

Do đó, AB ⊥ CD vì CD nằm trong mp (CID).
Tương tự, ta chứng minh được BC ⊥ AD và AC ⊥ BD .


2

Để tìm ra lời giải cho bài tốn trên học sinh phải dùng các suy luận dựa trên các
mối quan hệ và tính chất trong hình học khơng gian, cụ thể như sau:

AB ⊥ CD
CD ⊥ mp ( Q ) ⊃ AB

AB ⊥ mp ( P ) ⊃ CD

Mp(P) là
mp(BCD)

Mp(P) là

mp(ACD)

Sai vì
 = 600
AB ⊥ AC BAC

(

)

Sai
AB ⊥ BC

Mp(P) là
mp(ICD)

Tìm mp(P) ???
- Mp(P) có sẵn trên
hình
- Mp(P) chưa có
ẵ

Mp (P) là mp (ICD)

Có thể giải thích sơ đồ trên như sau:
+ Muốn chứng minh AB ⊥ CD ta cần tìm một mp(P) chứa CD và vng góc với
AB hoặc ngược lại, tìm một mp(Q) chứa AB và vng góc với CD.
+Giả sử, cần tìm mp(P). Mp(P) khơng phải là (ACD) và (BCD) (khơng có sẵn
trên hình vẽ). Cần tìm mặt phẳng khác.
+Gọi mp ( P ) ⊥ AB tại I, suy ra AB ⊥ CI , AB ⊥ DI . Mà ABC và ABD là các tam

giác đều nên I là trung điểm AB.
+Vậy mp ( P ) là mp ( ICD ) .
Quan sát sơ đồ trên, chúng tôi nhận thấy để giải bài tốn này cần có sự kết hợp
của các phép suy luận như: phép suy luận lùi (muốn chứng minh AB vng góc CD
cần chứng minh....), suy luận bác bỏ (mp(P) không phải là… ) và cần nắm được các


3

tính chất hình học tứ diện đều, tam giác đều, … Tuy nhiên SGK chỉ cung cấp lời giải
khơng có phần hướng dẫn tìm ra cách chứng minh cho bài tốn này.
Từ đó các câu hỏi có thể đặt ra như sau: Trong dạy học chứng minh ở trường
THPT, giới hạn phần quan hệ song song và quan hệ vuông góc, q trình suy luận đã
diễn ra như thế nào? Chương trình, SGK, SGV, SBT có hướng dẫn học sinh không hay
cũng chỉ cung cấp lời giải.
Với những ghi nhận ban đầu đã nêu ở trên, chúng tôi chọn đề tài: “MỘT SỐ
SUY LUẬN TRONG DẠY HỌC CHỨNG MINH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG” để thực hiện nghiên cứu cho luận văn thạc
sĩ của mình. Những vấn đề mà chúng tôi quan tâm được đặt ra bằng các câu hỏi sau đây:
1. Suy luận là gì? Dạy học chứng minh là gì? Những kiểu suy luận nào có thể
giúp học sinh tìm tịi chứng minh?
2. Giới hạn quan hệ song song và quan hệ vng góc thì kiểu suy luận tìm tịi lời
giải nào xuất hiện trong chương trình và sách giáo khoa Hình học lớp 11?
3. Trong dạy học suy luận chứng minh hình học không gian, giáo viên và học
sinh sử dụng kiểu suy luận nào?
Chúng tôi giới hạn đề tài nghiên cứu theo ba kiểu suy luận để tìm tịi chứng
minh: suy luận lùi (hay phân tích đi lên), suy luận bác bỏ và suy luận tiến (hay phương
pháp phân tích đi xuống).
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Khung lý thuyết tham chiếu được chúng tôi lựa chọn là lý thuyết nhân chủng học

và lý thuyết tình huống.
Gọi I là thể chế dạy học hình học ở lớp 11 hiện nay và O là đối tượng suy luận và
chứng minh. Lý thuyết nhân chủng học cho phép phân tích làm rõ mối quan hệ thể chế
R(I,O), từ đó xác định ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế này lên việc hình thành mối
quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh (X).
Lý thuyết tình huống được vận dụng để xây dựng và triển khai tình huống dạy
học phép suy luận trong bài tốn chứng minh hình học khơng gian lớp 11 nhằm hợp
thức hóa một kết quả và lĩnh hội được các quy tắc tranh luận và kiểm chứng trong
Toán học.


4

3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
3.1. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là nhằm tìm hiểu:
- Phép suy luận tìm tịi chứng minh nào được chương trình Hình học 11 quan tâm?
- Giáo viên truyền đạt cho học sinh kiểu suy luận nào? Học sinh tiếp thu như thế
nào?
3.2. Câu hỏi nghiên cứu
Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, câu hỏi nghiên cứu của chúng
tơi là:
CH1: Suy luận là gì? Dạy học chứng minh là gì? Những kiểu suy luận nào có thể
giúp học sinh tìm tịi chứng minh?
CH2: Giới hạn quan hệ song song và quan hệ vng góc thì kiểu suy luận tìm tịi
lời giải nào xuất hiện trong chương trình và sách giáo khoa Hình học lớp 11?
CH3: Trong dạy học chứng minh hình học khơng gian, giáo viên sử dụng kiểu
suy luận nào để giúp học sinh tìm tịi chứng minh trong một bài tốn địi hỏi phải dựng
thêm hình? Học sinh lĩnh hội được kiều suy luận nào?
4. Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục tiêu nghiên cứu hay cụ thể là tìm được câu trả lời cho các câu
hỏi CH 1 , CH 2 và CH 3 chúng tôi thực hiện nghiên cứu như sau:
- Tham khảo các nghiên cứu có liên quan đến đối tượng suy luận và chứng minh
trong các nghiên cứu trước.
+ Lê Văn Tiến, Đoàn Hữu Hải (2004), Chứng minh ở trường phổ thông: Nghiên
cứu lịch sử, khoa học luận, didactic và điều tra về thực trạng dạy học về chứng minh ở
trường phổ thông Việt Nam hiện nay, Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học cấp
Bộ.
+ Trần Thị Ngọc Diệp (2009), Dạy học mở đầu về chứng minh trong hình học ở
trường trung học cơ sở - một tiểu đồ án diactic về đào tạo giáo viên, Luận văn Thạc sĩ
ĐH SP TP.HCM.
+ Nguyễn Thị Thu Huyền (2012), Bước chuyển từ hình học ghi nhận sang hình
học suy diễn ở đầu cấp trung học cơ sở, Luận văn Thạc sĩ ĐH SP TP.HCM.


5

+ Trần Thị Thanh Hương (2002), Nghiên cứu mối liên hệ giữa kiến thức về
chứng minh trong hình học được giảng dạy cho sinh viên cao đẳng sư phạm và cho
học sinh Trung học cơ sở, Luận văn thạc sĩ didactic Tốn, Người hướng dẫn: Lê Văn
Tiến.
- Phân tích chương trình SGK, SGV, SBT Hình học 11 CB và NC để làm rõ quan
hệ thể chế với đối tượng O.
- Xây dựng bộ câu hỏi điều tra, tiến hành thực nghiệm phỏng vấn đối với giáo
viên và phát phiếu câu hỏi đối với học sinh nhằm tìm hiểu phép suy luận được sử dụng
như thế nào trong bài toán chứng minh hình học khơng gian lớp 11.
5. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung chính và kết luận
Trong phần mở đầu, chúng tơi trình bày: Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất
phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu, phương pháp

nghiên cứu và cuối cùng là cấu trúc của luận văn.
Phần nội dung chính của chúng tơi gồm 2 chương:
Chương 1. SUY LUẬN TÌM TỊI CHỨNG MINH TRONG DẠY HỌC
CHỨNG MINH HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11
Trong chương này chúng tôi tham khảo các nghiên cứu có liên quan đến đối tượng
suy luận và chứng minh. Phân tích chương trình SGK, SGV, SBT Hình học 11 CB và
NC để tìm hiểu quan hệ thể chế với các phép suy luận để tìm tịi lời giải cho bài toán
chứng minh.
Chương 2. THỰC NGHIỆM
Xây dựng bộ câu hỏi điều tra, tiến hành thực nghiệm phỏng vấn đối với giáo viên
và phát phiếu câu hỏi đối với học sinh nhằm tìm hiểu phép suy luận được sử dụng như
thế nào trong bài tốn chứng minh hình học khơng gian lớp 11.
KẾT LUẬN Trong phần kết luận chung, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được
ở chương 1 và chương 2.


6

Chương 1. SUY LUẬN TÌM TỊI CHỨNG MINH TRONG DẠY
HỌC CHỨNG MINH HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11
Chương này có mục đích làm rõ một phần nào đó hai câu trả lời cho hai nhóm
câu hỏi sau:
1. Suy luận là gì? Dạy học chứng minh là gì? Những kiểu suy luận nào có thể
giúp học sinh tìm tịi chứng minh?
2. Kiểu suy luận tìm tịi lời giải nào xuất hiện trong chương trình và sách giáo
khoa lớp 11?
1.1. Những kết quả lý luận đã có
1.1.1. Suy luận là gì?
Tổng hợp các tác phẩm về logic, nhất là Kenneth H. Rosen (2010) chúng tơi phát
biểu về suy luận như sau: đó là một quá trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ

một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước.
Như vậy, suy luận là một quá trình tư duy được học sinh vận dụng liên tục để tìm
tịi chứng mình trình bày chứng minh nhất là trong bài tốn hình học.
Các trình độ tư duy của học sinh trong dạy học hình học
Hồng Chúng (1998) cho rằng q trình tư duy của học sinh phải trải qua năm
cấp bậc và ông cũng nhấn mạnh rằng tư duy về mặt hình học khơng gian tiến triển
dưới ảnh hưởng của việc dạy học chứ không phải tự phát theo sự phát triển sinh lý của
học sinh. Các cấp bậc này như sau:
Bậc 0: Hình dung
Đặc trưng của cấp bậc này là học sinh tri giác các hình như một tổng thể, khơng
nhìn thấy các tính chất hay bộ phận của nó và sự phân biệt hình này với sự phân biệt
hình kia bằng dạng của chúng.
Ở trình độ này, nếu ta cho học sinh tiếp xúc với một số hình như hình vng,
hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, hình tam giác, hình trịn, … và nói rõ tên gọi
tương ứng của các hình đó, thì sau một số lần lặp lại, học sinh có thể nhận biết hình
bằng “trực giác”, phân biệt được hình này với hình kia cũng nhờ vào “trực giác”
nhưng chưa có thể thấy được mối quan hệ giữa các hình đó.


7

Bằng quan sát, đo đạc, gấp, cắt giấy,… học sinh có thể nhận biết một số tính chất
đơn giản của các hình.
Việc dạy hình học ở cấp bậc này có thể áp dụng cho học sinh tiểu học.
Bậc 1: Phân tích
Học sinh đã biết phân tích những mối quan hệ giữa hình dạng các hình hoặc giữa
các yếu tố của từng hình, qua đó có thể nhận biết tính chất của các hình bằng quan sát,
đo đạc, gấp, cắt giấy,… bằng con đường quy nạp nhờ thực nghiệm.
Việc dạy hình học ở trình độ này có thể áp dụng cho học sinh lớp đầu cấp THCS
(lớp 6, lớp 7).

Bậc 2: Suy diễn khơng hình thức
Đặc trưng của cấp bậc này là học sinh biết thiết lập các quan hệ về các tính chất
trong một hình và giữa các hình với nhau, rút ra các tính chất của hình bằng con đường
lơgic. Các em đã có thể hiểu sự phân loại và định nghĩa; có thể lặp lại và đưa ra các lí
lẻ khơng hình thức, có thể từ tính chất này tìm ra tính chất khác cả hình bằng con
đường suy diễn lơgic.
Việc dạy học ở trình độ này bắt đầu từ lớp 7 đến lớp 9 THCS.
Bậc 3: Suy diễn
Ở bậc này, học sinh có thể nhận biết được cấu tạo lơgic của hình học theo
phương pháp tiên đề, bằng trừu tượng hóa các hình ảnh của một loại thực tế khách
quan nhất định. Học sinh có thể hiểu bản chất của khái niệm cơ bản, tiên đề, định lí,
các quy tắc và các phương pháp suy luận để xây dựng hình học. Học sinh có thể sử
dụng lập luận lôgic và suy diễn với một hệ tiên đề, trên một mơ hình cụ thể.
Trình độ này ứng với học sinh THPT.
Bậc 4: Chặt chẽ
Đặc trưng của cấp độ này là học sinh có thể so sánh các hệ hình học khác nhau,
có thể làm việc trong một hệ hình học mà khơng cần các mơ hình cụ thể. Việc xây
dựng hình học, với các đối tượng và tương quan cơ bản hoàn toàn trừu tượng, kết quả
của sự khái quát hóa nhiều loại thực tiễn khác nhau: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng,
bây giờ tuy vẫn mang tên gọi như trước, nhưng mang nhiều nội dung thực tế khác
nhau. Chẳng hạn: Điểm có thể là điểm như ta hiểu ở trình độ thứ tư, nhưng cũng có thể


8

là số, là màu sắc, là âm thanh, là một trạng thái nào đấy,… Chỉ ở những năm cuối của
chương trình đại học mới có thể thực hiện được trình độ tư duy hồn tồn trừu tượng
này về hình dạng khơng gian.
Điều này cho thấy, dạy học hình học khơng gian là hoạt động quan trọng để phát
triển các suy luận có lý (tham khảo Polia) cho học sinh. Ở đây, chúng tôi giới hạn chỉ

quan tâm vào hoạt động tìm tịi lời giải cho bài tốn chứng minh hình học khơng gian
ở lớp 11. Để có thể thực hiện nghiên cứu trong thời gian giới hạn, chúng tôi giới hạn
xem xét việc dạy học chứng minh liên quan đến hai quan hệ song song và vng góc
của hình học khơng gian lớp 11.
1.1.2. Tại sao phải tìm tịi lời giải cho bài toán chứng minh?
Trong cuộc sống hằng ngày, khi nói đến vấn đề chứng minh, chúng ta thường
thấy có một dạng đơn giản là kiểm tra tính chất đúng đắn của một khẳng định nào đó.
Trong hoạt động giải tốn ở bậc phổ thơng, vấn đề tìm ra chứng minh phải đi
trước vấn đề trình bày chứng minh.
Xét bài toán sau: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối của tứ
diện này vng góc với nhau từng đơi một. (SBT Hình Học CB, trang 32).
Bài giải
• Giả sử ta cần chứng minh

AB ⊥ CD

− Gọi I là trung điểm AB. Ta có:

A

CI ⊥ AB 
 ⇒ AB ⊥ ( CID )
DI ⊥ AB 

− Do đó,

AB ⊥ CD

I

vì CD nằm trong mp

D

B

(CID).
Tương tự, ta chứng minh được

BC ⊥ AD

và

AC ⊥ BD .

C

Phân tích kĩ phép chứng minh, ta thấy thực chất của phép chứng minh là chỉ ra
một dãy các mệnh đề đúng.


9

Đối với Balacheff, chứng minh trước hết là công cụ hợp thức hóa trong cộng
đồng các nhà tốn học. Nghiên cứu thực nghiệm những cuộc tranh luận giữa các nhóm
học sinh đã dẫn ông tới phân biệt các khái niệm giải thích, kiểm chứng và chứng minh:
Giải thích thuộc cấp độ người phát ngơn (người nói) và nhằm làm cho người
khác hiểu được chân lý của một mệnh đề mà người nói đã nắm được.
Khi lời giải thích được cộng đồng xem là có tính thuyết phục, nó sẽ có cơ chế
kiểm chứng đối với cộng đồng đó (khía cạnh xã hội của kiểm chứng).

Khi kiểm chứng liên quan đến một phát biểu tốn học và cộng đồng nói trên là
cộng đồng các nhà tốn học thì trong trường hợp này và chỉ trong trường hợp này,
kiểm chứng trở thành một chứng minh.
Chứng minh là một dạng văn bản (discours) rất đặc biệt: “Đó là một dãy các phát
biểu được tổ chức theo những qui tắc xác định: một phát biểu hoặc được biết là đúng,
hoặc được suy diễn từ những phát biểu trước đó bằng một qui tắc suy diễn rút ra từ
tập hợp những qui tắc đã xác định… Đặc trưng cho chứng minh như là một kiểu văn
bản chính là hình thức được quy tắc hóa một cách chặt chẽ của nó.” (Balacheff,
1988).
Như vậy, chứng minh có tính chất lý thuyết và là bước cuối cùng để thuyết phục
người khác. Muốn có bước cuối cùng này, vấn đề là: những kiểu suy luận nào có thể
giúp tìm tịi chứng minh?
1.1.3. Nhìn từ lịch sử
Theo tác giả Lê Văn Tiến, chứng minh được chấp nhận nảy sinh vào thời Hy Lạp
cổ vì “trong thời kì này, người ta sử dụng một cách hệ thống các chứng minh”. Chứng
minh lấy nghĩa là “thuyết phục” và hầu như không tách rời các sơ đồ, hình vẽ, “một
sơ đồ có thể giữ vai trò một chứng minh”.
Arsac (1992) còn giả thuyết rằng sự ra đời của chứng minh cịn có thể xuất phát
từ mong muốn giải quyết một số vấn đề toán học chuyên biệt.
“Trong toán học, tất cả đều bắt nguồn từ việc giải tốn. Chính vì để giải các bài
toán mà các khái niệm và các phương pháp được sáng tạo ra, và chuỗi những bài toán
liên tiếp giải thích cho sự tiến triển của tốn học”. Ơng đưa ra lí do cho các giả thuyết
của mình như sau:


10

+ Có sự trùng hợp về mặt lịch sử (trong khoảng thời gian gần một thế kỉ) giữa sự
ra đời của hình học và sự ra đời của triết học và nền dân chủ.
+ Có sự trùng hợp về mặt lịch sử giữa sự xuất hiện phép chứng minh với việc

giải các bài tốn về tính vơ tỉ: một mặt, số hai khơng có căn bậc hai hữu tỉ, mặt khác,
đường chéo của hình vng vơ ước với cạnh của nó.
Theo ơng, các kiểm chứng liên quan tới tính vơ tỉ trong phạm vi số học kéo theo
việc sử dụng một cách tự nhiên suy luận bằng phản chứng. Theo Lê Văn Tiến (2004),
ông viết: “Kiểu kiểm chứng này chỉ sử dụng suy luận bằng phản chứng và những tính
chất chẵn lẻ mà khơng cần đến một tiến trình tiên đề hóa và tiến trình chứng minh” ;
“suy luận phản chứng xuất hiện trước tất cả những chứng minh”.
Như vậy, ta thấy suy luận phản chứng xuất hiện như một nhu cầu của việc đi tìm
một chứng minh thích hợp.
Theo Lê Văn Tiến (2004) thì từ thế kỉ thứ 17, chứng minh cịn có mục đích soi
sáng và làm rõ. Barbin viện dẫn lời của Descartes từ tác phẩm “Suy ngẫm siêu hình
học”:
“Có hai cách chứng minh: một là, chứng minh bằng phân tích hay giải; hai là,
chứng minh bằng tổng hợp hay cấu thành.
Phép phân tích chỉ ra con đường đúng, theo đó về mặt phương pháp, một sự việc
được tạo ra như thế nào …, đến mức nếu độc giả nào muốn theo cách đó mà đi thì
khơng những hiểu được cặn kẽ điều cần chứng minh còn biến nó thành của mình, y
như tự mình sáng tạo ra nó vậy.
Phép tổng hợp vận dụng đến một loạt những định nghĩa, tiên đề, định lí và cả
những yêu cầu khác …, nó nhằm chiếm được sự đồng tình của độc giả cho dù họ có
ngoan cố đến đâu chăng nữa; nhưng nó khơng làm thỏa mãn hồn tồn tâm trí của
những người ham học hỏi, bởi lẽ nó không chỉ ra bằng cách nào mà sự việc được hình
thành.”
Như vậy, cách phân tích để tìm ra lời giải chứng minh đã trở thành một phần của
chứng minh nó có mục đích soi sáng và làm rõ cho việc phát hiện ra những chân lý
mới của toán học.


11

1.1.4. Những kiểu suy luận tìm tịi chứng minh
Theo mơ tả của Descartes, hoạt động chứng minh nếu chỉ dựa vào “phép tổng
hợp”, chúng ta sẽ không biết cách nào hình thành ra chứng minh ấy.
Chúng ta sẽ gọi “phép tổng hợp” này là trình bày một chứng minh.
Phân tích giáo trình của Lê Văn Tiến (2004), chúng tơi tổng hợp lại suy luận tìm
tịi chứng minh, những suy luận này ứng với “phép phân tích” của Descartes.
a) Suy luận lùi (phương pháp phân tích đi lên theo Lê Văn Tiến):
Giả sử cần phải chứng minh mệnh đề X đúng. Ta xuất phát ngay từ X và xem X
là hệ quả logic của mệnh đề Y nào đó.
Tiếp tục quá trình đó để cuối cùng biết được các mệnh đề trung gian là hệ quả
logic của một mệnh đề đúng đã biết A nào đó. Từ đó ta suy ra X được chứng minh. Sơ
đồ cấu trúc logic: X ⇐ Y ⇐ ...... ⇐ C ⇐ B ⇐ A .
Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của tứ diện này
vng góc với nhau từng đơi một.
A

D

B

C

Ta cần chứng minh AB ⊥CD. Câu hỏi đặt ra: để suy ra AB ⊥ CD ta cần có điều
gì?
Trả lời: nếu ta có AB ⊥ (α) mà (α) chứa CD.
b) Suy luận bác bỏ (hay suy luận phản chứng):
Kiểu suy luận này ta đã tìm thấy trong chứng minh căn 2 không phải là số vô tỷ
(tác phẩm cơ bản của Euclide). Trong hình học khơng gian, ta có thể lấy ví dụ như sau:
(Tiếp tục bài tốn trên…)

12

Giả sử AB vng góc với (ACD) suy ra AB vng góc với AC. Vậy tam giác ABC
vng. Điều này trái với giả thiết tam giác ABC đều. Vậy AB sẽ vng góc với 1 mp(α)
chứa CD và (α) ≠ (ACD).
Lập luận tương tự (α) ≠ (BCD).
c) Suy luận tiến (hay phương pháp phân tích đi xuống):
Ta có thể tìm thấy kiểu suy luận này trong các bài toán dựng hình trong các
chương trình trước. Tiếp tục bài tốn trên ta có thể suy luận như sau:
Giả sử AB ⊥ CD

⇒ AB sẽ vng góc với một mặt phẳng (α) chứa CD
Gọi I là giao điểm giữa AB và (α)

⇒ AB ⊥ CI vì CI ⊂ (α)
Mà tam giác ABC đều nên đường cao CI cũng là đường trung tuyến.
Vậy I là trung điểm AB.
1.2. Suy luận và chứng minh trong các nghiên cứu trước về thể chế dạy học
1.2.1. Kết luận về phân tích chương trình, SGK Hình học 7, NXB GD của tác giả
Lê Văn Tiến như sau:
Chứng minh trong chương trình và SGK Hình học 7 giai đoạn 1990 – 2000
Đối tượng suy luận và chứng minh chiếm một vị trí quan trọng trong chương
trình Hình học lớp 7. Những kiến thức liên quan tới đối tượng này được thiết lập qua
hai giai đoạn nối tiếp nhau:
- Giai đoạn ngầm ẩn (trước khi đưa vào các khái niệm Định lí và Chứng minh):
Các thuật ngữ Suy luận, Lập luận và Chứng minh không được đưa vào, nhưng những
suy luận diễn dịch phức tạp (từ 6 bước suy luận trở lên) đã hiện diện trong lời giải của
tất cả các bài tốn trong phần lí thuyết, u cầu suy luận thể hiện chủ yếu qua biểu
tượng “giải thích vì sao?”.

- Giai đoạn tường minh (từ khi đưa vào các khái niệm Định lí và Chứng minh):
Các khái niệm Định lí, Chứng minh, Lập luận và Suy luận được trình bày rõ ràng. Yêu
cầu suy luận và chứng minh xuất hiện chủ yếu qua biểu tượng “Chứng minh rằng …”.
Dạng bài tập “Chứng minh rằng…” chiếm vị trí quan trọng nhất trong SGK.


13

Có một sự khác biệt giữa chương trình, SGK và SGV:
Chương trình địi hỏi “có ý thức dẫn dắt học sinh từng bước đi vào suy luận hình
học từ đơn giản đến phức tạp, mặc dù ở giai đoạn đầu lớp 7, vẫn dành cho trực giác
một vị trí cần thiết trong nhận thức hình học”.
Và SGV yêu cầu rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh theo lược đồ:
• Giải thích vì sao: → Chứng minh rằng …
• Một bước suy luận → Một dãy vài ba suy luận
• Tập lập luận theo mẫu → Ý thức về lập luận
Thì trong SGK, nhiều suy luận khá phức tạp (chứa từ 6 bước suy luận trở lên) đã
xuất hiện ngay từ những bài học đầu tiên.
Suy luận và chứng minh trong chương trình và sách giáo khoa thí điểm Hình học
7 (2001 – 2002)
- Suy luận và chứng minh bị thu hẹp ở cấp độ lớp 7, chủ yếu bị đẩy lên lớp 8 và
lớp 9.
- Đã xuất hiện các hoạt động góp phần thực hiện bước chuyển từ Hình học quan
sát sang Hình học suy diễn và cho phép tiếp cận suy luận.
- Xuất hiện pha “Dự đoán” tạo thuận lợi cho học sinh ý thức được rằng: kết quả
đạt được bằng ghi nhận thực nghiệm chỉ có cơ chế phỏng đốn, nghĩa là có thể đúng
hoặc sai, và như vậy gợi ra nhu cầu phải suy luận, chứng minh để hợp thức hóa kết
quả dự đốn.
- Hầu hết các hoạt động cho phép tiếp cận suy luận, chứng minh không được mô
tả một cách rõ ràng, nhất là hoạt động ngơn ngữ trên các mệnh đề tốn học.

- Tiếp cận một chứng minh được thực hiện qua các giai đoạn: tập suy luận; đưa
vào khái niệm chứng minh; học trình bày một chứng minh qua các bài tập dạng: “Điền
vào chỗ trống”, sắp xếp các mệnh đề theo một trật tự hợp lí, phát hiện các khẳng định
và những căn cứ của khẳng định trong một chứng minh.
Từ những kết quả đạt được về đối tượng suy luận và chứng minh (các) tác giả đã
đặt ra câu hỏi: phải chăng học sinh đã ý thức được rằng: từ nay một kết quả đạt được
từ ghi nhận thực nghiệm chỉ có cơ chế của một phỏng đốn? Và chỉ có thể khẳng định
được tính đúng đắn của kết quả này nhờ vào suy luận, chứng minh?


14

Về phía giáo viên, (các) tác giả đặt câu hỏi: Giáo viên có ý thức được bước
chuyển từ Hình học quan sát - thực nghiệm sang Hình học suy diễn khơng? Nếu có, họ
thực hiện bước chuyển này như thế nào? Họ đã làm thế nào để học sinh ý thức được
rằng: từ nay một kết quả đạt được từ ghi nhận thực nghiệm chỉ có cơ chế của một
phỏng đốn? Và rằng, chỉ có thể khẳng định được tính đúng đắn của kết quả này nhờ
vào suy luận, chứng minh?
1.2.2. Kết luận về phân tích chương trình, SGK Hình học 7, Nhà xuất bản Giáo
dục 1999 của Trần Thị Thanh Hương:
- Đối tượng suy luận và chứng minh chiếm một vị trí quan trọng trong chương
trình Hình học 7. Nó xuất hiện ngay từ bài học đầu tiên của SGK mặc dù lúc đó các
thuật ngữ “suy luận, lập luận, chứng minh và vì sao” đều chưa được đưa vào.
- Trong giai đoạn trước khi đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý,
nhiều chứng minh với nhiều bước suy luận đã được trình bày. Yêu cầu suy luận được
thể hiện chủ yếu thông qua biểu tượng “vì sao”; các thuật ngữ “suy luận, lập luận và
chứng minh” đều chưa xuất hiện. Để rèn luyện kỹ năng suy luận, SGK đã đưa vào các
dạng bài tập sau: bài tập làm bộc lộ cấu trúc logic của khái niệm, bài tập khẳng định
một đối tượng nào đó có những thuộc tính của khái niệm đã biết, bài tập nêu những
tính chất của một đối tượng nào đó mà ta đã biết nó có những thuộc tính của khái niệm

đã biết.
- Trong giai đoạn tường minh (từ khi đưa vào các khái niệm định lý và chứng
minh định lý), các khái niệm định lý, chứng minh định lý, lập luận và suy luận được
trình bày rõ ràng với một vài mơ tả và một mơ hình chứng minh mẫu. Yêu cầu suy
luận và chứng minh xuất hiện chủ yếu qua biểu tượng “chứng minh rằng”.
1.2.3. Kết luận về phân tích chương trình, SGK Hình học 7 thí điểm, Nhà xuất
bản Giáo dục 2001 của Trần Thị Tuyết Dung:
- Trong chương trình và SGK thí điểm, hình học khơng cịn được xây dựng dựa
trên quan điểm tiên đề, phần lý thuyết được cắt giảm, phần thực hành, quy nạp thực
nghiệm được tăng cường. Tầm quan trọng của suy luận và chứng minh đã bị thu hẹp.
- Quan điểm thực nghiệm được vận dụng. Các hoạt động góp phần thực hiện
bước chuyển từ hình học quan sát – thực nghiệm sang hình học suy diễn và cho phép


15

tiếp cận chứng minh gồm có: Hoạt động thực nghiệm và sự nối khớp thực nghiệm – lý
thuyết, hoạt động “tập suy luận”, hoạt động ngôn ngữ trên các mệnh đề, hoạt động liên
quan trực tiếp đến định lý và chứng minh định lý.
Tuy nhiên việc vận dụng quan điểm thực nghiệm còn nửa vời và chưa triệt để.
Hoạt động thực nghiệm được trình bày trong một vài bài học, hoạt động nối khớp thực
nghiệm – lý thuyết có vị trí rất mờ nhạt trong SGK. Hoạt động tập suy luận chủ yếu là
giải thích, chứng minh một tính chất hay một định lý mà tính đúng đắn đã được khẳng
định trước – khơng có đặc trưng của một phỏng đốn. Các hoạt động cịn lại khơng
được mơ tả rõ ràng, nhất là hoạt động ngôn ngữ trên các mệnh đề tốn học.
1.2.4. Kết luận về phân tích chương trình SGK Tiểu học và THCS của tác giả
Trần Thị Ngọc Diệp, suy luận và chứng minh có các đặc trưng sau:
Đặc trưng của suy luận và chứng minh bậc tiểu học
Trong suốt bậc Tiểu học, suy luận xuất hiện không nhiều (xuất hiện ba lần trong
phần bài học và 12 lần trong phần bài tập) nhưng phát triển khả năng tập suy luận là

một trong những mục tiêu của chương trình Tốn 5.
Tất cả những suy luận này đều rất đơn giản, chỉ gồm một bước ( A ⇒ B ), có thể
xem đó là một chứng minh gồm một bước suy luận. Tuy nhiên, thuật ngữ “chứng
minh” không được xuất hiện nên khái niệm “chứng minh” chưa xuất hiện một cách
chính thức mà chỉ ngầm ẩn qua hình thức suy luận “một bước” để khẳng định một
mệnh đề.
Khái niệm “suy luận” chưa từng hiện diện trong SGK và xuất hiện trong SGV
một cách tự nhiên khơng giải thích, nhưng kỹ thuật suy luận đã xuất hiện thông qua
việc hợp thức hóa một tính chất hoặc giải quyết các nhiệm vụ.
Đặc trưng của suy luận và chứng minh ở bậc THCS
Hình học suy diễn xuất hiện ở bậc THCS.
Ở lớp 6, các tính chất khơng được khẳng định bằng suy luận, thậm chí cịn khơng
đề cập đến vấn đề hợp thức hóa. Thế nhưng, phần bài tập đã bắt đầu xuất hiện yêu cầu
suy luận qua các kiểu nhiệm vụ: chứng minh điểm nằm giữa hai điểm, tia nằm giữa hai
tia, tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, so sánh hai đoạn thẳng, so sánh hai góc, …


16

Tuy nhiên các suy luận ở lớp 6 là những suy luận đơn giản (chủ yếu từ 1 đến 3 bước)
và gắn liền với số đo.
Ở lớp 7, học sinh bắt đầu tập dượt chứng minh và trình bày các chứng minh.
Suy luận xuất hiện một cách phô bày thông qua đề mục “Tập suy luận”.
Hầu hết các tính chất, định lý đều được khẳng định bằng suy luận. Đối với bài
tập, “yêu cầu về suy luận, chứng minh tăng dần qua các chương”.
Khái niệm “suy luận” không xuất hiện tường minh mà thông qua đề mục “Tập
suy luận”. Suy luận phức tạp dần lên theo cấp lớp và giải quyết các yêu cầu khác nhau.
“Hãy suy luận bằng cách …”, “Giải thích vì sao …?”, “Tại sao … ?”.
Chứng minh được hiểu thông qua khái niệm “chứng minh định lý”. Tiếp cận một
chứng minh được thực hiện qua các giai đoạn: “Tập suy luận, đưa vào khái niệm

chứng minh, học trình bày một chứng minh qua các bài tập dạng “điền vào chỗ trống”,
sắp xếp các mệnh đề theo một trật tự hợp lí, phát hiện các khẳng định và những căn cứ
của khẳng định trong một chứng minh”. Ngoài ra, học sinh được tập dượt các chứng
minh bằng cách trả lời hệ thống câu hỏi dẫn dắt và học cách trình bày thơng qua các
chứng minh có sẵn.
⇒ Ở giai đoạn 1 (lớp 6), tính chất gắn liền với quan sát, thực nghiệm thì được

phát biểu dưới thuật ngữ “nhận xét”. Đến giai đoạn 2 (từ lớp 7), tính chất gắn liền với
suy luận thì lúc này thuật ngữ “tính chất” xuất hiện. Cuối cùng ở giai đoạn 3, tính chất
gắn liền với chứng minh (từ bài “Định lý” ở lớp 7), thì được phát biểu thành “định lý”.
1.2.5. Kết luận về phân tích chương trình SGK THCS của tác giả Nguyễn Thị
Thu Huyền mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận và chứng minh được thiết
lập qua hai giai đoạn:
 Giai đoạn 1: trước khi đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý.
Những yếu tố đầu tiên của suy luận xuất hiện trong hình học lớp 6, ngầm ẩn
trong các bài tập liên quan đến việc tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc và trong các
câu hỏi vì sao. Trong khi chương trình hình học lớp 6 vẫn được xây dựng theo phương
pháp ghi nhận, theo chúng tôi, học sinh được ngầm ẩn yêu cầu dùng suy luận để giải
quyết các câu hỏi vì sao và trong các bài tập u cầu tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc
- khơng được dùng dụng cụ để đo, phải lí giải được vì sao có được kết quả đó.


17

Các phân tích cũng chỉ ra rằng dường như có một sự nhập nhằng trong SGK,
khiến HS khó xác định tiêu chuẩn để một lời giải được xem là hợp thức. Chúng tôi sẽ
tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng cho điều này.
Phần đầu của chương trình hình học lớp 7 (trước khi đưa vào khái niệm định lý
và chứng minh định lý) chưa đặt ra yêu cầu chứng minh, chủ yếu học sinh được rèn
luyện cách quan sát, dự đốn và tập suy luận có căn cứ. Có thể nói đây là một sự lựa

chọn tốt cho việc thực hiện bước chuyển từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn,
giúp không tạo ra một sự thay đổi đột ngột trong cách tiếp cận hình học của học sinh
vì họ vẫn được sử dụng trực giác như đã làm trước đây để “dự đốn” các tính chất hình
học, đồng thời cũng thể hiện các yếu tố phương pháp luận trong nghiên cứu hình học.
Tuy nhiên, cũng cịn một vài điểm chưa triệt để:
+ Hai trong tổng số sáu bài học có các pha: quan sát, dự đốn và suy luận.
Tuy nhiên suy luận được thực hiện không nảy sinh từ chính nhu cầu của học sinh
 =O
 hay không?”.
mà từ yêu cầu của SGK. Ở bài 1: “không đo, có thể suy ra được O
1
3

Ở bài 6: “Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song hãy suy ra a // b”;
“Vì sao”.
+ Các bài học cịn lại hầu hết được tổ chức theo tiến trình: quan sát, gấp giấy, đo
vẽ trên một đối tượng cụ thể - nêu tính chất. Nhiều bài tập cũng yêu cầu học sinh quan
sát hình vẽ hoặc gấp giấy, từ đó nêu lên các kết luận hình học.
+ Khơng có tình huống nào cho thấy từ việc quan sát hình vẽ hay đo đạc có thể
dẫn đến dự đốn sai
Theo chúng tôi, những điều này gây ra một số ảnh hưởng đến việc học của học
sinh ở đầu lớp 7:
+ Học sinh thực hiện các suy luận hình học theo u cầu của SGK mà khơng hiểu
được vì sao phải suy luận.
+ Họ cho rằng mọi quan sát trực quan hay đo đạc trên hình vẽ đều có thể phát
biểu thành các tính chất hình học.
 Giai đoạn 2: tính từ thời điểm đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định
lý đến hết chương trình hình học lớp 7