Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
*********************

NGUYỄN THÀNH LONG

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM
GIỚI HẠN
TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN
Mã số :
60.14.10

Người hướng dẫn : TS.

Năm 2004

LÊ VĂN TIẾN


ĐẶT VẤN ĐỀ
1. NHỮNG GHI NHẬN BAN ĐẦU VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT
Giới hạn là một khái niệm cơ sở của Giải tích – nội dung chiếm vai trò quan trọng trong dạy học
toán ở trường phổ thông cũng như ở bậc đại học.

Theo nghiên cứu của Lê Văn Tiến (2000), dù đã trải qua nhiều cuộc cải cách, nhưng giải
tích cần giảng dạy ở trường THPT Việt Nam vẫn là một giải tích “Đại số hóa tăng cường”,

nghóa là một Giải tích đặt cơ sở chủ yếu trên những kó thuật bản chất đại số. Người ta tránh đến
mức tối đa những quy trình, những kó thuật đặc trưng của giải tích như : chặn trên, chặn dưới,
xấp xỉ. Dấu ấn nổi bật của tư tưởng xấp xỉ dường như chỉ xuất hiện trong một số định nghóa khái
niệm giới hạn theo ngôn ngữ , N hay , .
Thế nhưng, đến lượt mình, dấu ấn này cũng bị loại bỏ khỏi chương trình chỉnh lý hợp nhất
năm 2000 hiện hành. Bản đề cương chỉnh lí hợp nhất ba bộ sách giáo khoa Toán THPT (trang 7)
yêu cầu một cách rõ ràng rằng : không dùng ngôn ngữ (, ) để định nghóa khái niệm giới hạn
của dãy số cũng như giới hạn của hàm số, định nghóa giới hạn hàm số thông qua giới hạn của
dãy số.
Quan điểm này một lần nữa được nhấn mạnh trong chương trình đang thí điểm hiện nay
(2004).
Như vậy, vấn đề xấp xỉ gần như hoàn toàn bị loại bỏ trong dạy học Giải tích.
Tuy nhiên, như M.Legrand (1991) và M.Artigue (1993) đã làm rõ : Đi vào Giải tích, đó là
hiểu rằng xấp xỉ là trung tâm của những vấn đề lớn của giải tích, đồng thời là trung tâm của
phương pháp và kỹ thuật của phạm trù này.
Những nhận xét trên dẫn chúng tôi tới những câu hỏi khởi đầu sau đây :
 Làm thế nào hình thành ở học sinh tư tưởng xấp xỉ qua việc dạy học khái niệm giới hạn
của một Giải tích đại số hóa, mà không cần đưa vào một cách tường minh các định nghóa theo
ngôn ngữ ,  ?
 Vấn đề toán học nào có thể làm căn cứ cho việc xây dựng những tình huống cho phép nảy
sinh một số yếu tố cấu thành nên nghóa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ ?
 Những tình huống cụ thể nào cần thiết lập ?
 Các yếu tố xấp xỉ trên nảy sinh như thế nào ở học sinh khi đối diện với các tình huống này


2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra ở trên là mục đích nhắm tới của luận văn này. Cụ
thể hơn, nhiệm vụ của chúng tôi là :
 Tìm kiếm một số kiểu bài toán làm điểm tựa cho việc xây dựng các tình huống đã nêu ở
trên.

 Tiến hành xây dựng một số tình huống cụ thể cho phép làm nảy sinh một số yếu tố cấu
thành nên nghóa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ.
 Thiết lập và triển khai các công đoạn học tập đặt cơ sở trên các tình huống đã xây dựng.
 Quan sát, thu thập và phân tích số liệu thực nghiệm để làm rõ xem các yếu tố xấp xỉ nảy
sinh như thế nào ở học sinh trong các tình huống đó.

3. PHẠM VI LÝ THUYẾT THAM CHIẾU, PHƯƠNG PHÁP VÀ GIẢ THUYẾT
NGHIÊN CỨU
Nhiều nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học chứng tỏ rằng đối với một khái niệm toán
học nào đó, những nghiên cứu này cho phép làm rõ không chỉ một số kiểu bài toán, kiểu tình
huống trong đó khái niệm xuất hiện và tác động một cách ngầm ẩn hay tường minh, mà còn cả
những đối tượng, những khái niệm khác có mối quan hệ qua lại mật thiết với khái niệm này và
góp phần vào sự nảy sinh và phát triển của nó. Tổng quát hơn, nó cho phép làm rõ những đặc
trưng khoa học luận của khái niệm.
Việc xây dựng các tình huống và công đọan học tập thông qua các tình huống này không
những bị ràng buộc bởi các đặc trưng khoa học luận của đối tượng toán học liên quan, mà còn bị
chi phối bởi những ràng buộc của hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông.
Do vậy, làm rõ các yếu tố khoa học luận và ràng buộc sư phạm trên khái niệm giới hạn là
cần thiết trong nghiên cứu này.
Để làm được điều đó, chúng tôi thấy cần thiết đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của
Didactic Toán. Cụ thể, điểm tựa lý thuyết sẽ là những khái niệm cơ bản của lý thuyết trường
quan niệm, lý thuyết nhân chủng học và lý thuyết tình huống như là các khái niệm : Trường
quan niệm của một khái niệm toán học, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức, tổ chức
toán học, hợp đồng didactic, biến didactic,tình huống, …
Từ đó, có thể trình bày lại những câu hỏi đã đặt ra ở trên như sau :


 Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm giới hạn có thể được phân tích, tổng
hợp và làm rõ qua các công trình nghiên cứu đã có ? Những kiểu bài toán, kiểu tình huống nào
cho phép khái niệm giới hạn xuất hiện và tác động ? Những đối tượng toán học nào khác góp

phần vào việc nảy sinh và tiến triển của khái niệm này ? Vấn đề toán học nào là điểm tựa cho
việc xây dựng những tình huống cho phép nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghóa của khái
niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ ?
 Mối quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn đã được hình thành và tiến triển ra sao ?
nó ràng buộc như thế nào trên đối tượng giới hạn ?
 Dưới những ràng buộc khoa học luận và ràng buộc sư phạm đã được làm rõ ở trên, làm thế
nào xây dựng và triển khai các tình huống ? Với sự lựa chọn các biến tình huống nào ?
 Các yếu tố xấp xỉ nảy sinh như thế nào ở học sinh khi đối diện với các tình huống đã thiết
lập ?
Từ phân tích trên, phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi đã chọn là :
 Tổng hợp một số nghiên cứu về khoa học luận lịch sử của khái niệm giới hạn để làm rõ
các đặc trưng khoa học luận của khái niệm này, đặc biệt là các bài toán, các tình huống trong đó
khái niệm giới hạn đã nảy sinh và tác động một cách ngầm ẩn hay tường minh, các đối tượng
đặt điều kiện cho sự nảy sinh của khái niệm giới hạn.
 Phân tích chương trình và sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 hiện hành, để làm rõ mối
quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn, và qua đó những ràng buộc sư phạm trên đối tượng này.
Các kết quả đạt được từ hai nghiên cứu trên cho phép chúng tôi đề ra giả thuyết công việc
sau đây :
Về mặt toán học, vấn đề tính diện tích hình phẳng là cơ sở của việc thiết lập những tình huống
cho phép làm nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghóa của khái niệm giới hạn từ quan điểm
xấp xỉ.
Giả thiết này là tiền đề cho công việc tiếp theo sau đây của luận văn.
 Thiết lập các tình huống và công đọan didactic cho phép nảy sinh một số yếu tố cấu
thành nên nghóa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ .
Các tình huống và công đoạn trên dựa trên tình huống cơ sở sau :
“Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] với a  0. Tính diện tích hình


phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số đã cho, trục hoành Ox và hai đường thẳng x =a và x = b.”
 Thực nghiệm : Triển khai trong một lớp 11 các công đoạn học tập dựa trên các tình huống

đã xây dựng. Quan sát, thu thập và phân tích các số liệu.
Thực nghiệm này có mục đích đưa vào kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết nghiên cứu
sau :
“Các tình huống tính diện tích hình phẳng đã chọn cho phép làm nảy sinh ở học sinh một vài
yếu tố cấu thành nên nghóa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ, trong sự vắng mặt của
định nghóa hình thức theo ngôn ngữ ,  ”

4. TỔ CHỨC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn này bao gồm 5 phần :
 Đặt vấn đề
 Chương 1 :

Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

 Chương 2 :

Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học

Toán ở trường trung học phổ thông.
 Chương 3 :

Thực nghiệm

 Kết luận chung


CHƯƠNG I

ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN
CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN

I.- MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH
Chương này không có mục đích thực hiện một nghiên cứu gốc về khoa học luận lịch sử
hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn. Chúng tôi chỉ tổng hợp và phân tích các kết
quả có được từ một số công trình nghiên cứu về khoa học luận, nhằm làm rõ các đặc trưng cơ
bản của khái niệm này, cụ thể để tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau :
 Khái niệm giới hạn đã xuất hiện và tác động trong những kiểu bài toán, những kiểu
tình huống nào ? Nó có những đặc trưng cơ bản nào ?
 Những đối tượng, những khái niệm toán học nào có liên quan và góp phần làm nảy sinh
và phát triển khái niệm giới hạn ?
 Phạm vi toán học nào mà từ đó có thể xuất hiện các tình huống tạo nên nghóa của khái
niệm giới hạn ? đặc biệt nghóa gắn liền với quan điểm xấp xỉ ?
 Có những quan niệm khác nhau nào về khái niệm giới hạn ?

Các công trình nghiên cứu về khoa học luận mà chúng tôi tiến hành phân tích là :
CORNU B. (1982) , CORNU B. (1983) , ROBINET J. (1983) , TROUCHE L. (1996) ,
FICHTENGOÂN G.M. (1977)

II.- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN
Có thể nói, lịch sử hình thành khái niệm giới hạn bắt đầu từ sự xuất hiện của khái niệm
vô hạn (thế kỷ VI trước công nguyên) cho đến chương trình số học hóa giải tích của Weierstrass
(thế kỷ XIX)ø. Lịch sử này có thể chia thành ba giai đoạn chủ yếu mà chúng tôi sẽ đề cập dưới
đây.


1 . Giai đoạn 1 : Từ thời Hi Lạp cổ đại đến đầu thế kỷ XVII
Tiến trình của khái niệm vô hạn

Ngay từ thế kỷ VI TCN, thời trường phái Pythagore, sự kiện khám phá ra số vô tỉ đã phá
vỡ sự tương ứng giữa số hữu tỉ và độ dài, đồng thời dẫn đến phát hiện ra các đoạn thẳng vô ước .

Đó là lần đầu tiên toán học gặp phải khái niệm vô hạn : khi dùng thuật toán Euclide để tìm ước
chung d của a và b là độ dài các đoạn thẳng vô ước với nhau thì thuật toán trên sẽ trở nên vô
hạn. Để giải quyết vấn đề này, các nhà Pythagoriste đã giả thiết rằng các đoạn thẳng vô ước có
một ước chung rất bé, đó là những phần tử đơn giản nhất, xem là những điểm (đoạn thẳng là tập
hợp vô hạn những yếu tố “không chia nhỏ được”).

Đây là một thể hiện của quan niệm

nguyên tử (atomiste) cho rằng một số, không gian, thời gian và vật chất có những yếu tố ban
đầu không thể chia nhỏ được.
Tuy nhiên, cũng có quan niệm ngược lại  quan niệm liên tục (continuiste), cho rằng các
đối tượng này có thể chia được vô hạn.
Zénon (495 – 430 TCN) đã đưa ra các nghịch lý vạch ra những mâu thuẫn trong cả hai
quan niệm trên. Ở đây chỉ đơn cử 2 nghịch lý :
+ Nghịch lý “Mũi tên đang bay nhưng đứng yên tại mỗi thời điểm” :
Nếu thời gian được tạo bởi các khoảng nguyên tử không thể chia được thì một mũi tên
chuyển động luôn luôn bị đứng yên vì ở bất kỳ khoảng thời gian nào mũi tên cũng ở một vị trí
cố định. Vì điều này đúng đối với mỗi khoảng thời gian nên suy ra mũi tên đứng yên (dù đang
bay).
+ Nghịch lý “Chia đôi” : Nếu một đoạn thẳng chia nhỏ vô hạn được thì không thể có
chuyển động được. Vì để đi hết được đoạn thẳng đó, trước hết cần phải đi đến được trung điểm,
và để làm được việc này thì trước hết phải đi đếán điểm một phần tư, và để làm được việc này
thì lại phải đi đếán điểm một phần tám trước, và cứ tiếp tục đến vô hạn. Suy ra chuyển động đó
không bao giờ có thể có được kể cả ngay từ lúc bắt đầu.
Những nghịch lý này hoàn toàn không có ý định giải quyết những mâu thuẫn đó, nhưng
dẫn đến hậu quả là các nhà toán học thời đó đã loại bỏ tính vô hạn và các nguyên tử (vô cùng
bé) khỏi các chứng minh trong hình học.


Vấn đề tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn đã rất được chú ý. Vào khoảng năm

430 TCN, Antiphon cho rằng bằng cách cứ liên tiếp nhân đôi số cạnh của một đa giác đều nội
tiếp trong một đường tròn thì hiệu số giữa diện tích hình tròn với diện tích đa giác cuối cùng sẽ
không còn nữa. Cùng thời gian đó, với ý tưởng tương tự, Hippocrate de Chios đã ngầm ẩn “cho
qua giới hạn” để chứng minh rằng tỉ số diện tích S1/S2 của hai đường tròn bằng bình phương tỉ số
hai đường kính d1/d2 của chúng : S1/S2 = d12/d22. (*)
Eudoxe (408 – 355 TCN) đề xuất một phương pháp (sau này được gọi là phương pháp vét
cạn) để tính diện tích và thể tích (như chứng minh hệ thức (*) nêu trên, chẳng hạn). Phương
pháp này thừa nhận tính chia hết vô hạn của các đại lượng theo nguyên tắc (sau này được đặt
tên là tiên đề Archimède) : “Nếu từ bất kỳ một đại lượng nào đó mà bỏ đi một phần không nhỏ
hơn một nửa của nó, rồi từ chỗ còn lại bỏ đi một phần nữa không nhỏ hơn một nửa của nó, v.v....
thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lượng nhỏ hơn bất kỳ đại lượng nào cho trước cùng loại”.
Archimède (287 – 212 TCN) đã áp dụng rất xuất sắc phương pháp vét cạn để giải các
bài toán về độ dài, diện tích, thể tích mà một thí dụ điển hình là tính diện tích S của hình viên
phân parabol (segment parabolique) như sau :

GG

Ông chứng minh rằng diện tích s của tam giác ABC bằng ½ diện tích hình bình hành
bBCc nên lớn hơn ½ diện tích S. Ông tiếp tục dựng tam giác HAC có HK//AM. Khi đó diện tích
tam giác AHC bằng 1/8 diện tích s nên tổng diện tích hai tam giác AHC và BGA bằng ¼ diện
tích s. Sau đó cứ tiếp tục như thế ... .
Như vậy diện tích của đa giác nội tiếp trong hình viên phân parabol là tổng các diện tích
tam giác đã dựng, nghóa là : s + ¼ s + 1/42 s + ... + 1/4n-1 s + ...
Nhưng ông chỉ tính tổng của n số hạng đầu : U = s + ¼ s+ 1/42 s + ... +1/4n-1 s rồi thêm vào
phần dư 1/3. 1/4n-1 s và sử dụng tính chất :


s + ¼ s + 1/42 s + ... + 1/4n-1 s + 1/3. 1/4n-1 s = 4/3 s
Nếu số cạnh của đa giác nội tiếp tăng lên thì phần dư 1/3. 1/4n-1 s sẽ bé như mong muốn
và diện tích S = 4/3 s. Ông chứng minh công thức này bằng phản chứng:

 Nếu S > 4/3 s :
mâu thuẫn với

Có n tam giác để cho

Điều này

U = 4/3 s  1/3. 1/4n-1 s < 4/3 s.

 Neáu S < 4/3 s :

nghóa là 4/3 s  S > 0.

Có tam giác thứ m có diện tích
Mà

U > 4/3 s .

sm = 1/4m-1 s < 4/3 s  S.

sm > 1/3 sm = 4/3 s  U.

Dẫn đến S < U.
Điều này mâu thuẫn, vì U là diện tích đa giác nội tiếp trong hình viên phân parabol có
diện tích S.
Thế nhưng phương pháp vét cạn chỉ có thể dùng để chứng minh một kết quả
đã được biết trước. Vậy làm thế nào mà Archimède đã biết được các kết quả đó (công thức tính
diện tích hình viên phân parabol chẳng hạn) để rồi chứn g minh bằng phương pháp vét cạn ? Đó
là một bí ẩn mà mãi đến đầu thế kỷ XX mới được khám phá. Ông đã dùng một phương pháp
tính mà ý tưởng chính là : Để tìm một diện tích (hoặc một thể tích) thì cắt nó ra thành một số rất

lớn các dải phẳng mỏng song song (hoặc các lớp mỏng song song). Như vậy một độ lớn được
xem như là hợp bởi một số rất lớn các bộ phận nguyên tử mà trước đây tư tưởng đó đã được hình
thành bởi Démocrite (460-380 TCN) dù chưa chặt chẽ. (So với phương pháp hiện đại về giới
hạn thì phương pháp này có thể được chặt chẽ hóa và về cơ bản cũng giống như phép tính tích
phân hiện nay).
Nhưng các cách biểu diễn và phương pháp như vậy cũng bị người đương thời phê phán
gay gắt. Ngay cả Archimède cũng cho rằng các kết quả thu được bằng phương pháp này của
mình vẫn chưa đủ sức thuyết phục, nhất thiết phải được chứng minh lại bằng phương pháp vét
cạn.
Cách chứng minh, theo phương pháp vét cạn, bao hàm ý tưởng của lý thuyết giới hạn về
sau này. Nó còn chứa đựng yếu tố rất quan trọng của khái niệm giới hạn là : có thể tìm được giá
trị gần đúng của một đại lượng với độ chính xác bao nhiêu cũng được.


Nhưng trong phương pháp vét cạn chỉ đề cập đến đại lượng hình học chứ không nêu bật
được ý tưởng về đại lượng biến thiên bất kỳ, cũng không có ý tưởng cho qua giới hạn (do lẫn
tránh sự vô hạn).
Quả thực, phương pháp vét cạn cho phép họ tránh sử dụng vô hạn trong chứng minh
(bằng lập luận phản chứng). Ngay cả đến cuối thế kỷ XVIII, mà Lagrange vẫn còn cho rằng
giới hạn không làm tác động sự vô hạn (“La limite ne met pas en jeu l’infini”, theo CORNU B.
(1983), trang 52). Đó là điều khác với lý thuyết giới hạn được xây dựng vào thế kỷ XIX.
Sau Archimède, lịch sử xảy ra dồn dập những biến cố tưởng chừng như đã vùi lấp các tư
tưởng của các nhà toán học cổ Hi Lạp. Mãi đến thế kỷ XVI các tư tưởng đó mới được nhà toán
học châu u biết đến, kế thừa và phát triển. Từ đây bắt đầu thời kỳ mà đề cập đến khái niệm
vô hạn không còn bị coi là cấm kỵ như trước đây.
Képler (1571 – 1630) đồng nhất đường tròn với một đa giác đều có số cạnh vô hạn và
tính diện tích hình tròn bằng cách lấy tổng vô hạn các diện tích tam giác
vô cùng bé (có cạnh đáy là cạnh của đa giác đều và đỉnh là tâm hình tròn) .
S(hình tròn) =  S(tam giác) = ½ ( cạnh đa giác đều). R = ½ . 2R . R = R2
Cavaliéri (1598-1647) đề xuất phương pháp những cái không thể chia được (indivisibles)

vào năm 1635, có nguồn gốc từ ý tưởng của Démocrite, để tính diện tích và thể tích. Do ông
không xác định rõ nên ta chỉ có thể tạm hiểu rằng : Cái không thể chia được của một mẫu phẳng
cho trước là một dây của mẫu đó và cái không thể chia được của một hình khối cho trước là một
thiết diện phẳng của khối đó. Một mẫu phẳng được coi là được tạo bởi một tập hợp vô hạn các
dây song song và một hình khối được tạo bởi một tập hợp vô hạn các thiết diện phẳng song
song. So sánh những cái không thể chia được tạo nên các hình, mà việc xác định tỉ số kích
thước của chúng là cơ sở của phương pháp những cái không thể chia được.
Roberval (1602 – 1675) để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một cung cycloit đã đề
ra phương pháp những cái không thể chia được (độc lập với Cavaliéri) bằng cách xem xét các
cấp số cộng vô hạn. Khác với các tiền bối là tăng số cạnh của đa giác nội tiếp hay ngoại tiếp
cho đến khi sự chênh lệch giữa nó và hình cần xét (về mặt diện tích) là nhỏ hơn một lượng cho
trước, Roberval cho rằng một số vô hạn các đa giác sẽ phủ kín toàn thể hình phẳng đang xét.
Có nguồn gốc từ phương pháp vét cạn, việc tính tổng vô hạn (tổng của chuỗi số), đã có từ
thời Archimède (tính tổng của chuỗi 1/4n), được kế tục bởi Oresme (1323 – 1382) khi ông tính


tổng ½ + 2/4 + 3/8 + ... và chuỗi 3n/4n . Đặc biệt Stevin (1586) dùng phương pháp của
Archimède để xác định trọng tâm của hình phẳng và lập chuỗi 1 + ¼ + 1/16 + ... . Nhưng trong
khi Archimède dừng lại ở số hạng thứ n rồi thêm vào một lượng dư thì Stevin bổ sung các số
hạng tiếp theo của chuỗi cho đến khi sự khác biệt giữa hình phẳng và đa giác xấp xỉ với nó đủ
bé.
Việc tính tổng vô hạn là một mầm mống cho sự nảy sinh khái niệm giới hạn, được phát
triển rất mạnh vào thế kỷ 17.
Grégoire de Saint Vincent (1584-1667) là người đầu tiên phát biểu rằng một chuỗi vô
hạn xác định một đại lượng, mà ông đặt tên là “terminus” (mút cuối cùng, không vượt qua được)
và áp dụng chuỗi để giải quyết nghịch lý “Achille không đuổi kịp rùa” của Zénon.
Gregory (1638-1675) bắt đầu khai triển hàm số thành chuỗi : ông đưa vào từ “hội tụ”
(vay mượn từ quang học).
***
Tóm lại, trong giai đoạn này, giới hạn chủ yếu vẫn liên quan đến các đại lượng hình học

khi tính diện tích, thể tích, .... Nhận thức về vô hạn đi từ thái độ phủ định sang khẳng định : việc
tính tổng của chuỗi được phát triển và bắt đầu khai triển hàm số thành chuỗi. Khái niệm giới
hạn bắt đầu xuất hiện ngầm ẩn qua các thuật ngữ “terminus” , “hội tụ”. Mầm mống của tư
tưởng vô cùng bé (“cái không thể chia được”) cũng đã xuất hiện. Nhưng các nhà toán học quan
tâm nhiều đến việc tính tổng của các chuỗi hơn là suy nghó về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi.
Những đối tượng dù không được định nghóa nhưng vẫn có sức thuyết phục do dựa vào hiệu quả
của chúng. Nói cách khác, khái niệm giới hạn chỉ mới là công cụ (ngầm ẩn) để giải toán, chưa
phải là đối tượng để nghiên cứu.

2 . Giai đoạn 2 : Từ thế kỷ XVII đến nửa đầu thế kỷ XVIII

Sự ra đời của Giải tích các vô cùng bé

Vào năm 1637, René Descartes (1596  1650) cho ra đời tác phẫm Discours de la
méthode trong đó ông trình bày một phương pháp mới để nghiên cứu hình học: phương pháp kết
hợp giữa hình học và đại số. Phương pháp này là một khâu quan trọng trong việc chuyển đối
tượng toán học từ các đaiï lượng không đổi trước đây sang đại lượng biến thiên . Tác phẫm này


đã đặt nền móng cho Hình học giải tích và tạo ra một bước ngoặt trong Toán học. Những bài
toán mới đã tạo nên những phương pháp nghiên cứu mới (phương pháp chia nhỏ vô hạn), liên
quan đến việc khảo sát các lượng vô cùng bé.
Ban đầu khái niệm vô cùng bé thường được hiểu là một đại lượng tónh, tức là không thay
đổi, không bằng 0 và đồng thời có giá trị tuyệt đối bé hơn mọi lượng hữu hạn. Khái niệm vô
cùng bé như vậy là vô cùng bé “thực tại”. Về sau này , Newton mới có quan niệm về vô cùng
bé “tiềm năng”, đó là đại lượng biến thiên mà chỉ trong quá trình biến thiên mới trở nên (về giá
trị tuyệt đối) bé hơn lượng hữu hạn bất kỳ. (Theo FICHTENGÔN G. M. (1977), Cơ sở giải tích
toán học, tập I)
Fermat (1601 – 1665) xây dựng một phương thức tổng quát để tính diện tích các parabol
và hyperbol nhờ cấp số nhân. Ông cũng giải bài toán tìm cực đại hoặc cực tiểu , xác định tiếp

ảnh của một điểm thuộc đường cong. Được xây dựng trên quan điểm Hình học giải tích mà ông
là người sáng lập cùng với Descartes, phương thức của ông cho phép phát huy khía cạnh thuật
toán của Giải tích các vô cùng bé.

Thí dụ như, để tính diện tích dưới parabol y2 = x giữa 0 và x (xem hình vẽ)

y

O

x
.....

3

ex

2

ex

ex

x

Ông chọn trên trục Ox các điểm x, ex, e2x, e3x, ... với e < 1, rồi dựng các hình chữ nhật tương
ứng. Diện tích các hình chữ nhật lần lượt là :
x x  ex x = x x (1  e)
ex ex  e2x ex = ex ex (1  e)
......

lập nên một cấp số nhân vô hạn có số hạng đầu tiên là x x (1e), công bội là e e < 1 . Do đó
tổng diện tích các hình chữ nhật này cũng là tổng
S=

x x (1  e)
1- e e

=

x x (1  e )(1  e )
(1 - e )(1  e  e )

=

x x (1  e )
1 e  e

Để tính diện tích hình phẳng dưới parabol, phải nội tiếp trong hình phẳng đó một số vô
hạn các hình chữ nhật có diện tích vô cùng bé. Ông cho e = 1, khi đó tổng các diện tích các hình
chữ nhật S = 2/3 x x , bằng với diện tích hình phẳng cần tìm.
Pascal (1623 – 1662) đánh giá cao tầm quan trọng của phương thức giải tích và thay thế
những cảm nhận trực giác của Cavaliéri bằng các lý luận số học về chuỗi.

Khi

tính

diện

tích của parabol y = x2, (xem hình vẽ)

0.1
0.1

Ông chọn các điểm trên trục Ox có hoành độ lập thành cấp số cộng (có công sai d) : d, 2d, 3d ,
... , nd rồi dựng các hình chữ nhật có diện tích là d.(d), d.(2d)2 , d.(3d)2 , ... , d.(nd)2 . Tổng diện
tích các hình chữ nhật này là
S = d3 + 4d3 + 9d3 + ... + n2d3 = d3(12 + 22 + 32 + ... + n2)
= d3[n/6 (n + 1)(2n + 1)]

= d3(n3/3 + n2/2 + n/6)

Nếu số hình chữ nhật (là n) tăng vô hạn, Pascal cho phép bỏ qua các số hạng n2/2 và n/6
khi so sánh tương quan với số hạng đầu tiên n3/3 (có thể hiểu là khi n rất lớn thì n2/2 và n/6 trở
nên không đáng kể khi so sánh với n3/3). Khi đó tổng diện tích các hình chữ nhật sẽ tương đương
với S = d3n3/3 = (nd)3/3 = x3/3 .


Sự bỏ qua các số hạng này do ông đối chiếu các quan điểm hình học với quan điểm số
học, so sánh “cái không thể chia được” trong hình học với số 0 trong số học. Sự đối chiếu này sẽ
mang tính hệ thống trong các phương pháp vô cùng bé ở nửa sau tk 17.
Newton (1642-1727) coi một đường không phải do những điểm kề nhau mà do một điểm
chuyển động liên tục mà thành. Nếu tại mỗi thời điểm của chuyển động, ta có khái niệm vận
tốc tức thời thì tương ứng tại mỗi điểm của đường ta có khái niệm mà sau này gọi là đạo hàm.
Quan điểm này của động học (cinématique) đã nêu bật bản chất của chuyển động (so với
nghịch lý “mũi tên” của Zénon ta thấy quan niệm về chuyển động ở đó còn sơ sài nên đã dẫn
đến có mâu thuẫn).
Theo Newton thì hoành độ và tung độ của điểm chuyển động là những đại lượng biến

thiên theo thời gian (Ở đây thời gian được hiểu không phải theo nghóa đen của nó, mà có thể
được hiểu là lượng bất kỳ t chẳng hạn, tăng dần đều theo thời gian thực sự). Mỗi đại lượng biến
thiên x,y như thế gọi là một đại lượng chảy (fluenta) và vận tốc của nó , ký hiệu là x , y , gọi là
sự chảy của đại lượng chảy (fluxi). Newton đưa ra khái niệm moment của lượng fluenta. Đó là
một đại lượng vô cùng bé mà một đại lượng chảy như x chẳng hạn sẽ tăng được trong một
khoảng thời gian vô cùng bé là o (không phải 0, mà là số gia vô cùng bé “thực tại” của thời
gian). Những moment này tỉ lệ với vận tốc (fluxi) : moment của đại lượng chảy x được cho bởi
tích xo .
Trong công trình lớn nhất của mình là Principia (xuất bản năm 1686-1687), Newton công
bố quan điểm về vô cùng bé mà về nguyên tắc gần với quan điểm hiện đại : các vô cùng bé
“tiềm năng” (và các giới hạn của các tổng và các tỉ số của chúng) được đưa vào khảo sát thay
cho các vô cùng bé “thực tại”. Ông dành cho lý thuyết giới hạn độc đáo dưới đề mục “Phương
pháp các tỉ số đầu và tỉ số cuối”. Những tỉ số này của hai đại lượng là tỉ số giới hạn (tỉ số biến
thiên) của chúng. “Tỉ số đầu” biểu thị giới hạn tỉ số của hai đại lượng “phát sinh” (các vô cùng
bé) nghóa là dạng vô định

0
. “Tỉ số cuối” biểu thị tỉ số của cả các đại lượng “biến mất” (có thể
0

là vô cùng bé, đại lượng hữu hạn hay vô cùng lớn) nghóa là kết quả của việc khử dạng vô định
0
. Newton cũng nói tới “tổng đầu của các đại lượng phát sinh” hay “tổng cuối của các đại
0
lượng biến mất”. Các khái niệm này đều không được định nghóa và nội dung của chúng chỉ được
làm sáng tỏ do phương pháp áp dụng chuùng.


Giả sử S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) không âm, các
trục tọa độ và đường thẳng x = xo (xo > 0). Newton xét moment diện tích oS khi xo tăng thêm

một lượng vô cùng bé o rồi tính tỉ số biến thiên của diện tích oS/o tại điểm có hoành độ xo và
nhận thấy rằng tỉ số này bằng f(xo).

y

f(xo)
S
oS

O

xo xo+o

x

Kết quả này được phát biểu theo thuật ngữ hiện đại là S’(xo) = f(xo). Ông tính diện tích S
bằng cách đảo ngược các thao tác tính đạo hàm, tức là tính tích phân bất định.
Leibniz (1646-1716) đã hoàn thiện những thành quả của các nhà toán học tiền bối thành
phép tính lấy tổng (tích phân : tổng vô hạn các vi phân) và phép tính vi phân (vi phân : hiệu vô
cùng bé).
Leibniz xuất phát từ tiếp tuyến và tam giác đặc trưng (do Pascal đặt ra) để định nghóa vi
phân. Đối với “các hiệu” (hiệu của hai giá trị gần nhau của đại lượng, ký hiệu bằng chữ d
(differentia)) ; “các vi phân” (quantitas differentialis) của các lượng biến thiên x, y được ông ký
hiệu là dx, dy . Vi phân dy tỉ lệ với dx theo định nghóa

dy/dx = y/tiếp ảnh trong đó dx là

lượng biến thiên bất kỳ của x.
Đối với Leibniz, phép tính tích phân là phép tính tổng các diện tích hình chữ nhật vô cùng
bé “thực tại” ydx . (Quan niệm này của ông sẽ được kế tục bởi Cauchy, người đầu tiên đưa ra

một định nghóa chính xác của tích phân vào năm 1823).

y


y=f(x)

O

x x+dx

x

Khác với Newton đã sử dụng tích phân bất định và tính diện tích, thể tích từ tỉ số biến
thiên, Leibniz đưa vào sử dụng tích phân xác định và tính diện tích, thể tích như tổng các vô
cùng bé (các vi phân). So với các công trình trước đây của Fermat hay Pascal về tính diện tích,
có thể nói phương pháp của ông tỏ ra rõ ràng và tổng quát hơn nhiều.
Trong giai đoạn này, giới hạn đã được chính thức đặt tên (limit) bởi Newton. Các nhà giải
tích đã có ý tưởng trực giác về khái niệm giới hạn và họ đã sử dụng điều đó một cách ngầm ẩn
rất chính xác. Tuy nhiên vẫn chưa có một định nghóa giới hạn nào chấp nhận được từ quan điểm
của các nhà toán học đương thời. Giới hạn là giới hạn của đại lượng biến thiên. Đặc biệt lý
thuyết về giới hạn của Newton đã mở rộng phạm vi của giới hạn. Nó liên quan đến cả vô cùng
lớn và tỉ số hai vô cùng bé mà đột phá là khái niệm “fluxi” (đạo hàm). Giới hạn bắt đầu chuyển
từ hình học, cơ học sang lónh vực số qua các công trình của Leibniz về vi phân và tích phân .
Ông đã thiết lập được một hệ ký hiệu tổng quát và một hệ thống các qui tắc giải tích hình thức
giúp ích rất nhiều cho sự phát triển giải tích từ nay về sau.
Bài toán tính đạo hàm là khởi đầu cho sự phát triển của khái niệm giới hạn. Chính trong
phép tính vi phân, sự xuất hiện của khái niệm giới hạn như là không thể thiếu được. Không thể
nghiên cứu khái niệm giới hạn của một “tỉ số giới hạn” mà lại không tìm cách định nghóa một
cách chính xác giới hạn của một đại lượng biến thiên. (Theo CORNU B. (1982), trang 640).

3. Giai đoạn 3 : Từ nửa sau thế kỷ XVIII đến thế kỷ XIX
Xây dựng lý thuyết giới hạn

Trong nửa sau tk 18, dù thái độ của các nhà toán học có khác nhau đối với giới hạn, vô
cùng bé nhưng đều có cùng mục đích làm phát triển Giải tích.
Đối tượng nghiên cứu của Euler (1707-1783) không phải là các đại lượng, cũng không
phải những đặc tính hình học mà là những hàm số (biểu thức giải tích của hàm số). Ông là người


đầu tiên xây dựng phép tính các vô cùng bé thành một lý thuyết nhất quán một lớp rộng rãi các
hàm số và bắt đầu trình bày nó như là một bộ môn giải tích thực thụ mà không phụ thuộc gì ở
cơ học và hình học (về mặt logic).
Lagrange (1736-1813), từ năm 1797, đã nổ lực làm cho Giải tích được chặt chẽ hơn trong
quyển sách nhan đề “Lý thuyết các hàm giải tích”. Đối với ông, khái niệm giới hạn không có
tính thuyết phục và những phép toán trên số không bắt buộc phải sử dụng giới hạn. ng cố gắng
xây dựng toàn bộ phép tính vi phân mà không dùng đến các vô cùng bé, có tính chất thuần đại
số, bằng cách biểu diễn hàm dưới dạng khai triển ra chuỗi lũy thừa và xác định đạo hàm như là
hệ số ở số hạng thứ hai của khai triển ấy : Với mọi hàm số f(x) với biến số x bất kỳ, ông thay x
bởi x + i , với i là lượng không xác định bất kỳ, khai triển thành chuỗi
f(x + i) = f(x) + pi + qi2 + ri3 + ...
các hệ số p,q,r, ... sẽ là những hàm số mới theo x, được phát sinh từ nguyên hàm f(x) và độc lập
với i . Ông lập luận được : p = f’(x) , q = f”(x)/2! , r = f”’(x)/3! , ...
Đạo hàm của hàm số trở thành “một phép toán đại số mới”.
Trong giai đoạn này, cùng với quá trình đại số hóa giải tích, khái niệm giới hạn đã được
chuyển hẳn sang lónh vực số. Nhưng vẫn chưa có sự nhất trí đối với khái niệm giới hạn và vô
cùng bé. Trong khi Euler hết sức phát triển phép tính vô cùng bé thì Lagrange lại “tẩy chay”
khái niệm giới hạn trong các công trình của mình. Đặc biệt D’Alembert đã nhìn thấy được bản
chất vấn đề cơ sở của giải tích khi kêu gọi phải xây dựng lý thuyết hoàn chỉnh về giới hạn.
D’Alembert (1717-1783) là một thành viên soạn bộ Bách khoa toàn thư. Ông tỏ ra rất

quan tâm tới cơ sở của Giải tích và năm 1754 ông đã có một gợi ý quan trọng rằng lý thuyết
vững vàng về giới hạn là cái cần để xây dựng một cơ sở vững chắc cho Giải tích. ng tin tưởng
rằng “Lý thuyết giới hạn là siêu hình học chân chính của phép tính vi phân ” (“la notion de
limite est la vraie meùtaphysique du calcul diffeùrentiel”, dans l’article Limite, Encyclopédie).
Nhưng những người cùng thời với ông lại ít chú ý tới gợi ý đó của ông.
Cauchy (1789-1857) đã thực hiện thành công gợi ý của D’Alembert bằng cách phát triển
một lý thuyết giới hạn, diễn đạt qua “ngôn ngữ ,” mà ngày nay vẫn thường được dùng. Trước
tiên, ông định nghóa khái niệm hàm số. Sau đó ông định nghóa sự hội tụ, vô cùng bé, tính liên
tục, tính khả vi và tích phân xác định theo quan điểm về giới hạn.


Nhưng lý thuyết giới hạn này được xây dựng trên khái niệm trực giác đơn giản về hệ
thống số thực. Muốn trình bày thật chặt chẽ lý thuyết giới hạn thì phải
có một sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết số thực.
Từ đó, Weierstrass (1815-1897) đã vận động thực hiện một chương trình “số học hóa
giải tích”, trong đó trước hết bản thân hệ thống số thực phải được làm cho chặt chẽ rồi từ đó mới
rút ra tất cả các khái niệm cơ bản của giải tích. Ông đã định nghóa giới hạn hàm số bằng khái
niệm lân cận (năm 1880).
Như vậy, giai đoạn này đã hoàn thành nghiên cứu cơ sở của giải tích. Các khái niệm cơ
bản như hàm số, giới hạn, liên tục, số thực, ... đã được định nghóa tường minh. Lý thuyết giới
hạn chính thức trở thành nền tảng cho giải tích.

III. MỘT VÀI YẾU TỐ KẾT LUẬN

Việc tổng hợp, phân tích các kết quả nghiên cứu về lịch sử hình thành và phát triển
của khái niệm giới hạn cho phép chúng tôi rút ra một số đặc trưng khoa học luận chủ yếu
sau đây của đối tượng này.
1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển
Như nhiều khái niệm toán học khác, khái niệm giới hạn đã trải qua ba giai đoạn
phát triển chủ yếu, tương ứng với ba cơ chế khác nhau của nó.

– Trong giai đoạn đầu tiên (Từ cổ Hy Lạp đến đầu thế kỷ XVII) nó lấy cơ chế của một khái
niệm protomathématique (không tên, không định nghóa) và xuất hiện như một công cụ ngầm
ẩn cho phép giải quyết một số bài toán (chủ yếu thuộc phạm vi hình học).
– Giai đoạn thứ 2 (Từ thế kỷ XVII đến nửa đầu thế kỷ XVIII) : Thuật ngữ giới hạn (limit) xuất
hiện lần đầu ở Newton, nhưng vẫn chưa có một định nghóa chính thức nào. Giới hạn vẫn lấy
cơ chế công cụ mà chưa phải là đối tượng nghiên cứu. Nói cách khác, nó xuất hiện dưới hình
thức paramathématique.
– Giai đoạn thứ 3 (từ nửa sau thế kỷ 18 đến thế kỷ 19) : Giới hạn chính thức có cớ chế của một
khái niệm toán. Nó đã được định nghóa và là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học và
là công cụ tường minh cho phép giải quyết nhiều bài toán của Giải tích.


2. Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn và các bài toán chủ yếu có liên quan
Khái niệm giới hạn đã ngầm ẩn xuất hiện đầu tiên trong phạm vi hình học từ phương
pháp vét cạn của thời cổ Hi Lạp cho đến phương pháp những cái không thể chia được ở thế kỷ
16 để giải các bài toán về độ dài, diện tích, thể tích. Từ các bài toán hình học này làm xuất hiện
việc tính tổng vô hạn, khái niệm giới hạn có thêm phạm vi tác động là đại số, nhưng chỉ ở mức
độ kỹ thuật (tính chuỗi hội tụ). Sau đó khái niệm giới hạn thoát khỏi phạm vi hình học để đi vào
phạm vi cơ học nhờ vào những nghiên cứu của Newton với lý thuyết các fluxi và tỉ số biến
thiên.
Theo một hướng khác, khởi đầu từ Leibniz với “đại số các vô cùng bé”, Euler và
Lagrange đã có nhiều công trình nhằm đại số hóa giải tích vào thế kỷ XVIII tuy vẫn còn nhiều
hạn chế. Đến thế kỷ XIX, với các công trình của Cauchy và Weierstrass khái niệm giới hạn
xuất hiện trong phạm vi số thực và được định nghóa một cách chính xác.
 Như vậy, có thể tóm tắt là phạm vi tác động của khái niệm giới hạn gồm :

Hình học



(cổ Hi lạp)

Cơ học
(tk 17)



Đại số
(tk 18)

 Số
(tk 19)

Tuy nhiên bước chuyển Hình học  Đại số không phải là dễ dàng, như CORNU B.
(1983) đã làm rõ :
‘’Khái niệm giới hạn, có nguồn gốc từ hình học, đã rất khó khăn để chuyển vào phạm vi
Giải tích…’’.
 Các bài toán trong đó khái niệm giới hạn có cơ hội tác động là :
 Tính độ dài, diện tích hay thể tích (gắn liền chủ yếu với phương pháp vét cạn và với suy nghó
về bản chất của các đại lượng hình học - ngầm hiểu là tìm giới hạn của các yếu tố hình học như
đa giác nội tiếp trong đường tròn,…). Ta có thể kể ra như :
Xấp xỉ hình viên phân parabol bằng các tam giác, hợp thành đa giác nội tiếp trong hình
viên phân (Archimède).
Xấp xỉ tam giác cong parabol bằng các hình chữ nhật, hợp thành hình bậc thang ngoại
tiếp tam giác cong đó (Fermat).


Xấp xỉ tam giác cong parabol bằng các hình chữ nhật có cùng chiều rộng, hợp thành hình
bậc thang ngoại tiếp tam giác cong đó (Pascal).
Dùng tỉ số biến thiên để chứng minh diện tích hình thang cong có đạo hàm là giá trị hàm

số đó (Newton)
Diện tích hình thang cong là ý nghóa hình học của khái niệm tích phân xác định (giới hạn
của một tổng tích phân) (Cauchy).
Có thể nói, hình học là động lực đầu tiên thúc đẩy sự nảy sinh và phát triển của khái
niệm giới hạn. Nhưng đồng thời cũng chính hình học gây nên sự gò bó cho khái niệm này, vì
khó khăn dứt bỏ quan điểm hình học để chuyển sang lónh vực số, dẫu rằng đó là quá trình hết
sức cần thiết.
– Tính tổng của chuỗi số. Dạng toán này xuất xứ từ hình học nhưng đã nhanh chóng trở thành
dạng toán độc lập, giúp củng cố các kỹ thuật tính toán, chuyển sang lónh vực số.
– Tính đạo hàm (giới hạn của cát tuyến, vận tốc tức thời,…). Nếu như điều thường thấy trong
dạy học toán ở nhiều nước là : khái niệm đạo hàm thường xuất hiện như một áp dụng của
khái niệm giới hạn, thì ở đây chính ý muốn tính đạo hàm, chính xác hơn là ý muốn biết kết
quả của tỉ số của hai đại lượng biến thiên (vô cùng bé) đã là nhân tố cốt yếu cho khái niệm
giới hạn phát triển. Công trình của Newton là một minh họa rõ ràng cho điều này. Liên quan
đến dạng toán này, cũng cần kể đến các bài toán tìm cực đại và cực tiểu (thường có xuất xứ
từ hình học).
3. Các đối tượng có liên quan
Sự nảy sinh và phát triển khái niệm giới hạn gắn liền với các khái niệm khác phát triển
đồng thời với nó.
Vị trí đầu tiên dành cho khái niệm vô hạn. Lịch sử của giới hạn gắn bó với lịch sử của
khái niệm này. Ngay cả khi ngờ vực và chối bỏ thuật ngữ ‘’vô hạn’’ thì trong bản thân phương
pháp vét cạn của các nhà toán học cổ Hy Lạp cũng ngầm chứa sự tác động của khái niệm vô
hạn.
Vô hạn có vai trò như vừa như một chướng ngại vừa như một động cơ. Không thể hiểu được khái
niệm giới hạn nếu không có quan niệm thỏa đáng về vô hạn. Nhưng vô hạn cũng là một nhân tố
tiến bộ, thí dụ như chính vì “nỗi sợ” sự vô hạn, sự do dự khi sử dụng vô hạn trong toán học đã


khiến người Hi Lạp tìm đến phương pháp vét cạn và thúc đẩy D’Alembert tìm cách định nghóa
minh bạch khái niệm giới hạn.

Những khái niệm khác có vai trò quyết định trong lịch sử của giới hạn như : diện tích, thể
tích, cấu trúc của các đại lượng này, khái niệm thời gian (nhiều nhà toán học đã chuyên tâm
nghiên cứu vai trò của thời gian trong khái niệm toán học, và đặc biệt là sự kiện “giới hạn có
đạt được hay không ?”).
Những khái niệm có tính kỹ thuật như dãy số, chuỗi số (vào thời D’Alembert, các thuật
ngữ dãy số và chuỗi số là đồng nghóa với nhau), vô cùng bé hay những khái niệm cực đại, cực
tiểu, tiếp tuyến cũng đi cùng với lịch sử của giới hạn.
Chắc chắn là khái niệm hàm số có vai trò quan trọng. Để làm cho giới hạn thành một
công cụ hoạt động trong lónh vực số, phải làm rõ khái niệm hàm số. Euler và Lagrange đã có
những đóng góp chính trong việc này. Khái niệm hàm số được phụ thêm vào bởi khái niệm đạo
hàm. Sau đó là các bài toán về liên tục, về tích phân cho phép xác định rõ hơn nữa khái niệm
giới hạn. Đặc biệt là mối liên hệ sâu xa giữa khái niệm giới hạn với số thực mà Weierstrass đã
chứng tỏ : có làm chặt chẽ hệ thống số thực mới định nghóa chặt chẽ được khái niệm giới hạn.
Chúng ta còn có thể kể ra những khái niệm của động học : chuyển động của chất điểm và
đặc biệt nhất là vận tốc tức thời.
Khi quan tâm đến mặt số lượng của khái niệm giới hạn, người ta đã phát triển các khái
niệm tốc độ hội tụ, chặn trên, chặn dưới.
Cuối cùng, về sau này, các khái niệm như cận trên, cận dưới, điểm tụ dần dần được xác
định rõ, phân biệt với khái niệm giới hạn.

4. Các quan điểm về khái niệm giới hạn
Theo TROUCHE L. (1996) có thể nhóm lại 3 quan điểm chủ yếu sau đây về
khái niệm giới hạn.
a) Quan điểm xấp xỉ (approximation)
Quan điểm này thể hiện trong nhiều phạm vi tác động của khái niệm giới hạn :
 Xấp xỉ hình học, chẳng hạn qua phương pháp vét cạn của Eudoxe, qua phép phân
hoạch của Fermat và Pascal để tính diện tích parabol.
 Xấp xỉ đại số (khi tính tổng của chuỗi số,…)

 Xấp xỉ số (khi xấp xỉ một số vô tỉ bởi dãy các số thập phân,...)
Quan điểm xấp xỉ thể hiện rõ nét nhất trong định nghóa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ
 - , như BKOUCHE R. (1996) đã phân tích :
‘’Định nghóa theo (,) không gì khác hơn là sự hệ thống hóa quan điểm xấp xỉ này.’’

b) Quan điểm động học (cinématique)
Quan điểm này thể hiện rõ nét qua lý thuyết các fluxi của Newton. Ngoài ra nó cũng
hiện diện ở các nhà toán học ở thế kỷ 19 khi tìm cách định nghóa giới hạn bằng vô cùng bé, định
nghóa giới hạn hàm số bằng giới hạn dãy số.
Theo phân tích của BKOUCHE R. (1996) :
‘’Đúng như tên gọi của nó, quan điểm này gắn liền với chuyển động. Nếu một đại lượng
biến x dần về một giá trị a của đại lượng này ( theo nghóa là nó lấy những giá trị càng
ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y phụ thuộc đại lượng x (nghóa là một hàm số
của x) dần về một giá trị b nếu đại lượng x càng gần tới giá trị a thì đại lượng y cũng gần
tới b ’’
BKOUCHE R. (1996) cũng làm rõ sự khác biệt giữa quan điểm xấp xỉ và quan điểm động học :
‘’Nếu trong khái niệm động học chính biến kéo theo hàm số, thì trong khái niệm xấp xỉ,
chính độ xấp xỉ mà người ta muốn sẽ xác định xấp xỉ của biến.’’

c) Quan điểm đại số hóa (opératoire)
Manh nha từ khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa của Newton, quan điểm này đã xuất
hiện ở Leibniz khi đề ra những thuật toán, ngôn ngữ hình thức trong phép tính vi phân. Đến thế
kỷ 18 nó được Euler và Lagrange phát triển rất mạnh trong cố gắng đại số hóa giải tích.
Trong quan điểm này, vấn đề là tìm cách xác định các quy tắc, các phép toán cho phép
thao tác trên các đối tượng mà không cần quan tâm tới bản chất của những đối tượng naøy.


CHƯƠNG II

MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ

VỚI KHÁI NIỆM GIỚI HẠN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

I. MỤC ĐÍCH
Mục đích chủ yếu của chương này là làm rõ mối quan hệ của thể chế dạy học Toán ở
trường trung học phổ thông với khái niệm giới hạn. Cụ thể, chúng tôi sẽ đi tìm câu trả lời cho
những câu hỏi sau đây :
Khái niệm giới hạn đã được đưa vào trong chương trình và sách giáo khoa toán trung học
phổ thông như thế nào ? Nó xuất hiện trong những kiểu tình huống và dạng bài tập nào ? Đặc
trưng của những tình huống và dạng bài tập đó ? Đối tượng này lấy nghóa như thế nào qua những
tình huống trên ?
Việc phân tích để có được câu trả lời cho những câu hỏi này sẽ dựa trên những đặc trưng
khoa học luận của khái niệm giới hạn mà chúng tôi đã làm rõ trong chương trước.

Các tài liệu dùng cho phân tích trong chương này là :
1. Chương trình và sách giáo khoa môn Toán THPT giai đoạn 1990  1999.
2. Chương trình và sách giáo khoa môn toán THPT hiện hành (2000  2004).
3. Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11. Bộ giáo dục và đào tạo, NXBGD 2000.

II.- PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH
1. Chương trình những năm 1990
Việc dạy học khái niệm giới hạn được tổ chức trong 2 cấp lớp :
– Lớp 11 : Dãy số ; Giới hạn của dãy số ; Giới hạn của hàm số (20 tiết).
Mức độ yêu cầu cần đạt về khái niệm giới hạn là :
”Bước đầu hiểu được khái niệm giới hạn hàm số, sử dụng được các định lý về giới hạn, tìm giới
hạn một dãy số khi n   ; giới hạn các hàm số thường gặp khi x  a, x  ”.
– Lớp 12 : Hàm số và giới hạn của hàm số (15 tiết).


Ứng với chương trình này có ba bộ sách giáo khoa được lưu hành song song.

2. Chương trình năm 2000 (chương trình chỉnh lý hợp nhất)
Theo Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11 (TLHDGD), trang 3, quan điểm cơ bản của
Bộ Giáo dục và Đào tạo về xây dựng chương trình hợp nhất là :


Không thay đổi chương trình năm 1991



Giảm tải, nghóa là giảm nhẹ mức độ yêu cầu, đồng thời giản lược những nội
dung quá phức tạp xét thấy không cần thiết.

Theo đó khái niệm giới hạn được giới thiệu chủ yếu trong năm học lớp 11, cụ thể trong
chương II : Giới hạn của dãy số và của hàm số. Chương này được giảng dạy trong 14 tiết.
Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng chương trình năm 2000 vẫn giữ nguyên cấu trúc của tiến
trình đưa vào khái niệm giới hạn như chương trình năm 1991 :
Giới hạn dãy số  Giới hạn hàm số  Hàm số liên tục.
Trình tự này có tính truyền thống : Giới hạn dãy số luôn là xuất phát điểm của khái niệm
giới hạn. Những trình tự như :
Giới hạn hàm số  Giới hạn dãy số

 Hàm số liên tục

hay : Hàm số liên tục  Giới hạn hàm số

 Giới hạn dãy số

hoàn toàn vắng bóng trong chương trình Toán THPT ở Việt nam.
Ngoài ra trong chương trình năm 2000 này, “Giới hạn dãy số” còn được khẳng định là

công cụ để định nghóa “giới hạn hàm số” mà chúng tôi sẽ trình bày tiếp theo đây.

Đặc biệt, chương trình năm 2000 nêu rõ hơn những yêu cầu về tri thức cần giảng dạy so
với chương trình năm 1991 :
- Không dùng ngôn ngữ ,  khi định nghóa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số.
- Định nghóa giới hạn hàm số thông qua giới hạn dãy số.
- Thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới hạn.
Do đâu mà định nghóa của Cauchy (dùng ngôn ngữ -) đã không được chọn để định
nghóa giới hạn hàm số ? Trong TLHDGD , trang 62, có giải thích rõ :
“Kinh nghiệm lịch sử của Toán học gần 200 năm nay chứng tỏ rằng định nghóa đó đáp ứng đầy đủ
các yêu cầu của Giải tích. Song về mặt sư phạm, thì học sinh lớp 11 rất bỡ ngỡ và cảm thấy khó hiểu, khó
nắm được nội dung quá phức tạp của định nghóa trên .”

Vì lý do đó, bản đề cương chỉnh lý hợp nhất Đại số và Giải tích 11 qui định : “Định nghóa


giới hạn của hàm số thông qua giới hạn của dãy số , không dùng ngôn ngữ - . Cách trình bày lý
thuyết giới hạn theo ngôn ngữ “dãy số” dễ hiểu hơn và do đó dễ tiếp thu hơn. Chắc chắn đây là
biện pháp giảm tải quan trọng nhất, có hiệu quả nhất”.
Nhận định này không phải đến lúc này mới có. Trước đây, trong sách “Phương pháp dạy
học môn Toán, phần hai” (1994), trang 160, tác giả Đinh Nho Chương đã từng viết :”Hiện nay
trên phạm vi quốc tế cũng đã có những ý kiến cho
rằng không được dùng ngôn ngữ ,  đối với học sinh phổ thông”. ”Về mặt trừu tượng, định
nghóa 1 cũng “không kém” trừu tượng hơn so với định nghóa 2. Tuy nhiên vì nó dựa trên khái
niệm giới hạn của dãy số đã trình bày trước đó, nên học sinh dễ chấp nhận hơn mà thôi”1.
Như vậy, điểm tựa sư phạm là tránh quan điểm xấp xỉ và nhấn mạnh trên quan điểm đại
số hóa. Về mặt lý thuyết, giới hạn hàm số trở nên gần như là hệ quả của giới hạn dãy số và mất
đi sự độc lập vốn có của nó như trong trong lịch sử.

III. PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA HIỆN HÀNH

Phân tích này dựa trên sách giáo khoa : Đại số và Giải tích 11 - Trần văn Hạo và Ngô
Thúc Lanh (chủ biên), NXBGD 2000. Đây là cuốn sách giáo khoa duy nhất được dùng trong
trường THPT ở Việt Nam.

Khái niệm giới hạn được trình bày trong chương IV, nhan đề ‘’Giới hạn’’, bao gồm ba
phần :
§1. Giới hạn của dãy số.
§2. Giới hạn của hàm số.
§3. Hàm số liên tục.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ phân tích §1 và §2
1. Phần lý thuyết

1

Định nghóa 1 : “Số b được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến a nếu với mọi dãy số (xn) hội tụ về a (xn  a) thì
dãy số tương ứng (f(xn)) luôn luôn hội tụ về b”.
Định nghóa 2 : “Số b được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến a nếu với số  > 0 tùy ý tồn tại số  > 0 ( phụ
f(x)  b <  “
thuộc vào  ) sao cho với mọi x  a thỏa điều kiện x  a<  thì
(Đại số và Giải tích 11 – Sách giáo viên , Trần văn Hạo (chủ biên), 1991)