Số phức và ý nghĩa hình học trong chương trình phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Huyền

SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC TRONG
CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG

Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số: 601410
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc ñến TS. Nguyễn Ái Quốc, người đã
tận tình hướng dẫn và động viên tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn đến q thầy cơ: PGS. TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê
Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh về
những bài giảng didactic thú vị.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot và TS.
Alain Birebent về những lời góp ý cho luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, q thầy cơ và các em học sinh trường
THPT Gia Định; Khoa Tốn trường Đại học Nơng Lâm và các sinh viên ngành
quản lý mơi trường khóa 2010 đã ln hỗ trợ và giúp đỡ tơi để tơi hồn thành tốt
khóa học và hồn thành luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Khoa Học Cơng Nghệ và Sau Đại Học, khoa

Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện học
tập tốt nhất cho chúng tôi.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn ñến các bạn và các anh chị cùng lớp didactic tốn
khóa 18 đặc biệt là anh Đinh Quốc Khánh về những sẻ chia và giúp ñỡ trong thời
gian học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì những sự
quan tâm và động viên giúp tơi hồn thành khóa học.
Lê Thị Huyền.


DANH MỤC VIẾT TẮT
SGK

: Sách giáo khoa.

SGV

: Sách giáo viên.

KNV

: Kiểu nhiệm vụ.

T1

: Giáo trình “A first Course in Complex Analysis” của Matthias
Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton.

T2

: Giáo trình “Introduction to complex analysis” của W W L Chen.

T3

: giáo trình “Số phức” của TS Nguyễn Văn Đơng, giáo trình dành
cho sinh viên sư phạm.

[P]

: Mathématiques 12ème, Ministère de l’Éducation et de la formation,
Hanoi 2002.

M1

: TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo
dục.

M2

: ĐỒN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản
giáo dục.


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc

BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN
Tôi tên: Lê Thị Huyền
Ngày sinh: 12/04/1985

Nơi sinh: Quảng Ngãi

Là học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học Tốn khóa: 18
Tơi đã bảo vệ luận văn thạc sĩ với đề tài: “Số phức và ý nghĩa hình học trong chương
trình phổ thơng”
tại hội đồng chấm luận văn ngày 20 tháng 01 năm 2010
Tôi đã sửa chữa và hồn chỉnh luận văn đúng với các góp ý, yêu cầu của Hội đồng và
ủy viên nhận xét, gồm các ý chính như sau:
+ Phát biểu lại giả thuyết H3 thành: “Việc thiếu vắng định nghĩa hai số phức bằng nhau
dưới dạng lượng giác gây khó khăn cho học sinh trong việc giải phương trình trong tập số
phức bằng dạng lượng giác.”
+ Phát biểu lại Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường
mắc phải khi học số phức? Những hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học
sinh khi dạy học số phức”
+ Thêm một chiến lược trong phần phân tích thực nghiệm bài thực nghiệm số 3.
+ Sửa một số lỗi chính tả, một số phần diễn đạt ý….
Nay tơi xin báo cáo đã hồn thành sữa chữa luận văn như trên và đề nghị Hội đồng
chấm luận văn, cán bộ hướng dẫn xác nhận.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 3

năm 2011

Học viên
Lê Thị Huyền
Xác nhận của cán bộ hướng dẫn

Xác nhận của chủ tịch Hội đồng

Nguyễn Chí Thành

1

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban ñầu và câu hỏi xuất phát:
Khái niệm số phức được đưa vào cuối chương trình Tốn giải tích lớp 12, sau
khi hồn thành chương Ngun hàm, Tích phân và ứng dụng.
Như ta đã biết, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực Ax 2 + Bx + C = 0 mà
biệt thức ∆ < 0 đều khơng có nghiệm thực, sự phát triển của khoa học nói chung
và tốn học nói riêng địi hỏi phải mở rộng tập hợp các số thực thành một tập hợp
số mới gọi là tập hợp các số phức, trong đó các phép tính cộng và nhân các số
phức với các tính chất tương tự phép tốn cộng và nhân các số thực sao cho các
phương tình nói trên đều có nghiệm.
Ở chương trình phổ thơng, số phức đã xuất hiện từ rất lâu trong chương trình
tốn ở nhiều nước trên thế giới. Tuy nhiên ở Việt Nam, ñối tượng số phức được
đưa vào giảng dạy trong chương trình SGK trước cải cách giáo dục và phân ban
thí điểm năm 1998. Sau đó đến năm học 2008-2009 mới đưa vào. Như vậy có một
sự ngắt quãng. Tại sao có sự khác biệt và ngắt quãng này? Vị trí và vai trị của
khái niệm số phức trong chương trình phổ thông Việt Nam giống và khác nhau
như thế nào so với các nước khác? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñưa ra như thế
nào?
Những ghi nhận ban ñầu nói trên đưa chúng tơi đến việc đặt ra các câu hỏi sau:
Q1’: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức đã được hình thành và phát
triển như thế nào?
Q2’: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào ở bậc đại học?
Q3’: Số phức được đưa vào chương trình tốn THPT với mục tiêu gì? Nó được
tiếp cận ra sao? Ý nghĩa hình học của nó được đề cập như thế nào và các ứng dụng
của nó ra sao? Có sự tương đồng hay khác biệt nào giữa lịch sử và hệ thống dạy
học?

2

Q4:’ Những ràng buộc của hệ thống dạy học ảnh hưởng như thế nào trên giáo
viên và học sinh về khái niệm số phức?
Q5’: Học sinh hiểu như thế nào về khái niệm số phức; những khó khăn học
sinh thường gặp phải khi học tập những kiến thức về số phức; có những hợp đồng
nào hình thành trong giáo viên và học sinh khơng; có những quan niệm sai lầm
nào của học sinh trong khi học số phức?
2. Khung lý thuyết tham chiếu:
Chúng tơi đặt mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Tốn. Cụ thể chúng
tơi sử dụng thuyết nhân chủng học, hợp ñồng dạy học với các khái niệm sau:
2.1.

Chuyển đổi Didactic:

Trong nhà trường phổ thơng, đối với một môn học, người ta không thể dạy cho
học sinh tồn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại ñã tích lũy ñược trong lịch sử.
Hơn nữa, ñể tri thức bộ mơn trở nên có thể dạy được, cần phải lựa chọn, sắp xếp
và tái cấu trúc lại nó theo một kết cấu logic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác
định. Chuyển đổi didactic, nói khác hơn là q trình biến đổi một tri thức bác học
thành một ñối tượng tri thức dạy học. Việc qui ñịnh các đối tượng cần dạy được
thể hiện thơng qua chương trình, SGK, đề thi, tài liệu ơn thi của Bộ giáo dục, các
tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK.
Khái niệm này ñược vận dụng nhằm xác ñịnh khoảng cách giữa tri thức khoa
học và tri thức cần dạy đối với khái niệm số phức. Nó cũng giúp nghiên cứu tính
hợp pháp của tri thức cần dạy và giải thích được một số ràng buộc của thể chế dạy
học ở trường phổ thơng đối với các kiến thức nêu trên.
2.2.

Quan hệ thể chế

Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà
thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu,
có vai trị gì và tồn tại ra sao … trong I.


3

2.3.

Quan hệ cá nhân

Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại
mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào
về O, có thể thao tác O ra sao?
Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần đặt nó trong R(I, O).
2.4.

Tổ chức toán học:

Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần

[T ,τ ,θ , Θ] , trong đó T là kiểu nhiệm vụ, τ

là kỹ thuật cho phép giải T, θ là cơng

nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , còn Θ là lý thuyết giải thích cho cơng nghệ θ .
Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất tốn học được gọi là một
tổ chức tốn học (TCTH).

Việc phân tích các TCTH liên quan ñến ñối tượng tri thức O cho phép ta làm
rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà
các nhân X duy trì với tri thức O.
2.5.

Hợp đồng Didactic:

Hợp đồng didactic là sự mơ hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ tiềm ẩn của
học sinh và giáo viên về các đối tượng tri thức tốn học. Thơng thường, nó là tập
hợp các quy tắc phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên – học sinh
và giáo viên – về một tri thức toán học ñược giảng dạy. Hợp ñồng didactic là qui
tắc giải mã các hoạt động của q trình học tập. Chỉ có thể hiểu thấu ý nghĩa của
những gì định hướng cách ứng xử của giáo viên và học sinh khi giải thích một
cách rõ ràng và chính xác những sự kiện đã quan sát bằng những khn khổ của
hợp đồng.
3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu
Trong khn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu ñã lựa chọn, câu hỏi xuất phát
đã được chúng tơi cụ thể hóa như sau:


4

Q1: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức được hình thành và phát triển
như thế nào? Các mơ hình hình học của nó được xây dựng ra sao?
Q2: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào trên bậc đại học?
Q3: Số phức được đưa vào chương trình trung học phổ thơng với mục tiêu gì?
Nó được tiếp cận ra sao? Sự ràng buộc của thể chế có ảnh hưởng như thế nào ñến
việc dạy và học của giáo viên và học sinh về khái niệm số phức?
Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường mắc
phải khi học số phức? Những hợp ñồng nào ñược hình thành giữa giáo viên và học

sinh khi dạy học số phức”
4. Mục đích và phương pháp nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của chúng tơi là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi đã
đặt ra ở mục 2. Để đạt được mục đích đề ra, chúng tơi xác định phương pháp
nghiên cứu như sau:
-

Tìm hiểu quá trình hình thành và phát triển của số phức trong lịch sử tốn

học, trong đó làm rõ mối liên hệ giữa hình học và số phức. Số phức được xây
dựng như thế nào, các mơ hình hình học của số phức được các nhà tốn học xây
dựng như thế nào?
-

Tìm hiểu việc xây dựng số phức trong các giáo trình đại học. Cụ thể là giáo

trình của Mỹ, Anh và Việt Nam. Từ đó làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể
chế trong chương sau.
-

Phân tích chương trình và sách giáo khoa Song ngữ Pháp Việt về vấn ñề số

phức ñể thấy ñược mong muốn của thể chế ñưa ra ở đây là gì? Từ đó so sánh với
thể chế dạy học toán ở Việt Nam về khái niệm số phức.
-

Xây dựng và tiến hành thực nghiệm ñối với học sinh để cho phép tìm câu

trả lời cho các giả thuyết nghiên cứu ñã ñặt ra.

5

5. Tổ chức của luận văn.
Luận văn gồm 6 phần: Phần mở ñầu, 4 chương và phần kết luận chung.
Trong phần mở đầu, chúng tơi trình bày những ghi nhận ban đầu, khung lý
thuyết tham chiếu; mục đích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn.
Chương 1, dành cho việc nghiên cứu khoa học luận; Vài nét về lịch sử xuất
hiện số phức; các mơ hình học của số phức trong lịch sử.
Chương 2, chúng tôi giới thiệu một số quan ñiểm về xây dựng số phức trong
lịch sử và trong một số giáo trình của Mỹ, Anh và Việt Nam.
Chương 3, chúng tơi phân tích chương trình và sách giáo khoa của hai thể chế
Pháp (chương trình song ngữ) và Việt Nam về khái niệm số phức. Từ đó so sánh
và đưa ra một số hợp đồng didactic, sai lầm của học sinh và các giả thuyết nghiên
cứu.
Chương 4, nghiên cứu thực nghiệm ñối với học sinh nhằm kiểm chứng các
hợp ñồng didactic và giả thuyết của luận văn.
Trong phần kết luận chung, chúng tối tóm tắt các kết quả ñã ñạt ñược ở
chương 1,2, 3 và 4 và nêu ra một số hướng mở ra từ luận văn.


6

Chương 1
NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NĨ TRONG
LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN.
Mở đầu
Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục đích trả lời câu hỏi Q1: “Trong
lịch sử toán học, khái niệm số phức được hình thành và phát triển như thế nào?
Các mơ hình hình học của nó được xây dựng ra sao?”.

Chúng tơi tiến hành nghiên cứu, phân tích và tổng hợp một số tài liệu về sự
hình thành và phát triển của tốn học nói chung cũng như số phức nói riêng.
Các tài liệu chúng tơi chọn làm tư liệu trong chương này gồm có:
1. LÊ THỊ HỒI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trị của phân tích
khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học mơn
Tốn, Báo cáo tổng kết ñề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, tp Hồ Chí Minh.
2. HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch
sử toán học, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, công ty sách thiết bị trường học
thành phố HCM.
3. NGUYỄN CẢNH TỒN (1997), Tập cho học sinh giỏi tốn làm quen
dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục.
4. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản
ñại học quốc gia thành phố HCM.
5. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ.
6. WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math
through the Ages, a gentle history for teachers and others.
7. Remark on the history of Complex Numbers
8. FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company,
London 1909.


7

1. Vài nét về lịch sử xuất hiện số phức
Trong cuốn “The Great Art” xuất bản năm 1545, Cardano ñưa ra vấn đề về
việc tìm hai số sao cho tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng là 40. Theo
những kiến thức lúc bấy giờ thì khơng tồn tại hai số đó nhưng Cardano chỉ ra rằng
nếu bỏ qua sự vơ lý của các kí hiệu thì hai số có dạng 5 + −15 và 5 − −15 quả
thực có tổng là 10 và tích là 40. Nhưng ơng chỉ ñưa ra một cách qua loa những
dạng này như là một “trị chơi vơ nghĩa” của những “kẻ rỗi việc”. Trong một cuốn

sách khác, ơng nói rằng

9 cũng là 3 hay -3 và

−9 cũng là +3 hay -3 nhưng

chúng là “số 3 khơng có gì cả”.
Trong một ví dụ ñầu thế kỉ 17, Descartes lưu ý rằng khi tìm giao điểm của một
đường trịn và một đường thẳng ta phải giải một phương trình bậc hai. Cơng thức
nghiệm của phương trình bậc hai dẫn đến căn bậc hai của số âm khi đường thẳng
trong thực tế khơng cắt đường trịn. Vì vậy trong hầu hết các phần, sự cảm nhận có
sự xuất hiện của nghiệm “khơng thể” hay “nghiệm ảo” thì đơn giản là câu trả lời
cho phương trình khơng có bất kì nghiệm nào.
Thành tựu lớn nhất của Cardano là tìm cơng thức giải cho phương trình bậc ba.
Cho một phương trình dạng x3 + px + q = 0 , cơng thức nghiệm của Cardano được
q2 p3 3 q
q 2 p3
+
+ − −
+
. Công
4 27
2
4 27

q
2

viết lại bằng ngơn ngữ hiện đại là: x = 3 − +

thức này dùng cho mọi phương trình bậc 3 (phương trình dạng x3 + ax 2 + bx + c = 0
1
3

có thể đưa về dạng trên bằng cách đặt x = z − a2 . Khi đó phương trình trên trở
1
3

1
3

thành z 3 + Bz + C = 0 với B = c − a 2 , C = c − ab +

1
2a 2 ). Tuy nhiên, một vài
27

trường hợp gặp phải rắc rối.
Giả sử cho phương trình x3 = 15 x + 4 ta viết lại thành x3 − 15 x − 4 = 0 , và áp
dụng cơng thức trên, ta được x = 3 2 + −121 + 3 2 − −121 .


8

Dựa vào những điều đã biết khi giải phương trình bậc hai, dường như kết luận
ñúng nhất trong trường hợp này là phương trình vơ nghiệm. Nhưng rõ ràng x = 4
là nghiệm của phương trình trên. Vậy kết luận trên là sai lầm.
Cardano ñã ñưa ra vấn ñề này nhưng hầu như khơng ai biết đến nó. Ơng đã ñề
cập hai lần trong những cuốn sách của mình
Vào năm 1560, Bombelli đã đưa cách thốt khỏi những bối rối đó. Ơng tranh

luận rằng, ta có thể khai triển với loại “căn số mới” này. Để nói về căn bậc hai của
số âm, ông phát minh ra một ngôn ngữ mới lạ. Thay cho việc nói 2 + −121 là 2
cộng căn trừ 121, thì ơng nói rằng 2 cộng của trừ căn của 121. Do đó, “cộng của
trừ” trở thành mật mã cho việc cộng căn bậc hai của số âm. Tất nhiên, trừ căn bậc
hai như thế trở thành “trừ của trừ”. Vì 2 + −121 = 2 + 11 −1 nên ơng đề cập đến
nó như “hai cộng của trừ 11” và giải thích qui luật của phép toán như sau:
“Cộng của trừ nhân cộng của trừ thành trừ
Trừ của trừ nhân trừ của trừ là trừ.
Cộng của trừ nhân trừ của trừ là cộng”
Theo ngôn ngữ hiện đại, có nghĩa: i × i = −1; − i × −i = −1 ; i × −i = 1
Nhưng Bombelli không thực sự nghĩ về “căn số mới” này như là một số. Đúng
hơn, ơng dường như đưa ra những qui tắc mà cho phép ông chuyển những công
thức phức tạp như

(

3

)

2 + −121 − 3 2 + −121 về những biểu thức đơn giản hơn.

3

Ơng đưa ra 2 ± −1 = 2 ± −121 .
Vì vậy,

3

(

) (

)

2 + −121 + 3 2 − −121 = 2 + −1 + 2 − −1 = 4 . Đây là nghiệm của

phương trình bậc ba, và bắt đầu theo hướng này, ơng tìm được nghiệm của phương
trình bậc 3. Những cơng trình của Bombelli cũng chỉ ra rằng thỉnh thoảng việc tìm
căn bậc hai của số âm cũng cần thiết cho việc tìm nghiệm thực của phương trình.
Nói cách khác, ông chỉ ra rằng sự xuất hiện của những biểu thức như thế khơng
ln là những tín hiệu cho những phương trình khơng thể giải được. Đây là dấu


9

hiệu đầu tiên nói rằng số phức là cơng cụ tốn học thực sự hữu ích. Nhưng
những điều đó đều vấp phải sự phản ñối của những ñịnh kiến cũ.
Nữa thế kỷ sau đó, cả hai ơng Girard và Descartes biết rằng phương trình bậc n
sẽ có n nghiệm. Nó cho phép căn bậc hai ñúng (căn bậc hai của số dương) và căn
bậc hai sai (căn bậc hai của số âm) và nghiệm phức. Nó giúp tạo ra những cơng
thức nghiệm tổng qt và đơn giản hơn. Nhưng những nghiệm phức vẫn thường
được mơ tả như là “”ngụy biện”, “khơng thể”, “ảo” hay là “vơ nghĩa, vơ lý”.
Vào

đầu

(cos x + i sin x )n

thế

kỉ

18,

Moivre

đưa

ra

cơng

thức

nối

tiếng

sau

= cos nx + i sin nx (Cơng thức này ngầm ẩn trong các cơng trình của

Moivre, mặc dù nó khơng được phát biểu dưới dạng này).
Một năm sau đó, Leonhard Euler đã đưa ra ký hiệu i thay cho

− 1 và ñi ñến

sự liên kết tất cả với nhau khi ông phát minh ra công thức e ix = cos x + i sin x . Khi
x = π , ta ñược e iπ = −1 hay e iπ + 1 = 0 , công thức này là một cơng thức quan trọng

vì nó liên kết một số khái niệm quan trọng nhất trong toán học.
Giữa thế kỷ 18, người ta biết ñến số phức như là một bước cần thiết ñể giải
quyết các vấn đề về số thực. Nó đóng vai trị quan trọng trong những thuyết về
phương trình, và có mối liên hệ sâu sắc giữa số phức, hàm lượng giác và dạng
mũ.
Nhưng cũng cịn rất nhiều vấn đề. Ví dụ, Euler làm rối tung những căn thức
giống

− 2 . Căn của một số thực được định nghĩa:

2 có nghĩa là căn bậc hai

dương của 2. Vì số phức khơng dương, khơng âm nên khơng có sự lựa chọn căn
bậc

hai

nào

tốt

nhất.

Do

đó,

Euler

nói

rằng:

− 2 . − 2 = −2; − 3 − 2 = − 3. − 2 = 6 nhưng ông không chú ý rằng nếu ông áp

dụng công thức thứ 2 vào công thức thứ nhất thì kết quả khơng đúng.
Mặc dù Euler sử dụng số phức rất nhiều, nhưng ông không giải quyết lại những
điều mà chúng ta đã nói ở trên. Trong cuốn Đại số sơ cấp, ông viết:


10

“ Vì mọi số đều có thể so sánh với 0, nhỏ hơn hay lớn hơn hay bằng 0. Do đó,
ta khơng thể đưa căn bậc hai của một số âm vào đội ngũ “những số có thể”. Trong
cách này, những số đó được gọi là những đại lượng ảo vì nó tồn tại trong sự tưởng
tượng. Mọi ký hiệu

− 1; − 2 , − 3... là những số không thể, số ảo. Và chúng ta

thừa nhận những số này khơng là gì cả, khơng lớn hơn hay nhỏ hơn bất cứ thứ gì.
Điều đó có nghĩa chúng là ảo hay khơng tồn tại.
Nhưng dù sao đi nữa, những số này vẫn ở trong ñầu chúng ta, chúng tồn tại
trong sự tưởng tượng của chúng ta và chúng ta vẫn có những ý tưởng về chúng”.
Quan điểm của hầu hết các nhà toán học thế kỷ 18 là “Số phức là những số
tưởng tượng có ích”.
Gauss là người thực sự có ý tưởng đầu tiên về số phức vào năm 1831 và dùng
kí hiệu a+bi để chỉ số phức, trong ñó a, b là các số thực, i là ñơn vị ảo. Khi a = 0
thì a+bi = bi là số ảo; khi b = 0 thì a+bi = a là một số thực.
Thế kỷ 19, bắt ñầu xuất hiện những nhu cầu về số phức. Argand, một người

bán sách ở Paris là người ñầu tiên ñưa ra ñề nghị trong một xuất bản 1806. Nó làm
rõ một số giả thuyết về những số tưởng tượng hay những số ảo kỳ quái bằng cách
biểu diễn chúng bằng hình học. Các ñiểm với toạ ñộ của chúng có sự tương
ñồng, (x, y ) ֏ x + iy . Giả thuyết của Argand bị bác bỏ cho ñến khi Gauss ñề xuất
nhiều ý tưởng tương tự vào 1931và chỉ ra rằng nó có thể là một thành phần tốn
học có ích.Và Gauss cũng ñề xuất các ñiều kiện cho số phức. Hai năm sau đó,
Hamilton chỉ ra rằng, ta có thể bắt ñầu từ mặt phẳng ñể ñịnh nghĩa những cặp sắp
thứ tự trong một cách thuận lợi và kết thúc là sự đồng nhất với số phức.
Hamilton nó rằng số “hư cấu” i chỉ là một điểm (0, 1).
Các nhà tốn học ln tìm kiếm đề tài cho số phức bởi vì sau đó, chúng q
hữu ích đến nỗi mà chúng ta khó tránh tiếp xúc với nó. Euler và Gauss dã chỉ ra
rằng ta có thể sử dụng chúng để giải quyết những vấn ñề về ñại số và lý thuyết số.


11

Hamilton ñã ñúc kết những ứng dụng của số phức trong vật lý. Cauchy và
Gauss cũng chỉ ra rằng có thể phát minh ra 1 phương pháp tính ứng dụng cho số
phức. “Phép tính phức” này đóng vai trị to lớn, một phần bởi vì nó chứng minh dễ
dàng hơn phép tính chỉ đơn thuần dựa vào số thực.
Trong sổ tay của Riemann,Weierstrass và những người khác, số phức trở
thành một cơng cụ hết sức mạnh mẽ, đóng vai trị trung tâm trong toán học
thuần túy và toán học ứng dụng. Thậm chí, Hadamard nói rằng “nếu chúng ta chỉ
quan tâm về số thực và những câu trả lời về số thực, cách dễ nhất thường chứa
đựng số phức”. Vì vậy, lý do mà chúng ta phải tin vào số phức là: “tại vì số phức
rất hữu dụng”
Nhận xét: Khái niệm số phức nảy sinh từ chính nhu cầu giải quyết các bài
toán của khoa học toán học. Tuy nhiên, đó khơng phải là bài tốn bậc hai như
chúng ta thường thấy trong chương trình tốn ở trường phổ thơng hay thậm chí
trên bậc đại học mà là những bài tốn gắn liền với việc tìm nghiệm thực của

phương trình bậc ba.
Tóm lại, chính trong q trình đi tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba
mới là động cơ nảy sinh ra số phức.
2. Vấn đề biểu diễn hình học của số phức trong lịch sử.
Từ thế kỷ 16, mầm mống của số phức ñã xuất hiện. Việc mở rộng hệ thống
tính tốn đại số đã địi hỏi phải đưa vào căn bậc hai của số âm với tư cách là trung
gian của tính tốn.
Tuy nhiên, đến tận thế kỷ 19, vấn ñề hợp thức căn bậc hai của số âm vẫn ln
là một trong những nổi bận lịng của các nhà toán học về phương diện triết học.
Người ta gọi đây là những đại lượng ảo, xem nó là sản phẩm của trí tuệ thuần túy,
là một ký hiệu hình thức, là đối tượng được lấy làm trung tâm cho các tính tốn
đại số. Người ta ln quan tâm ñến câu hỏi: nó biểu diễn cho ñối tượng nào của
thực tế toán học?


12

Việc tìm thấy nghĩa của đại lượng ảo được thực hiện trong phạm vi hình học
thơng qua các cơng trình của nhiều nhà tốn học.
2.1.

Mơ hình của Wallis:

Năm 1673, Wallis ñề nghị một hình ảnh phát họa cho các ñại lượng ảo. Trong
cuốn “Algebra” xuất bản năm 1685, ơng chính thức đưa ra một giải thích các đại
lượng ảo:
“Nếu ta giả sử rằng mặt rộng này là -1600 perches, nghĩa là 1600 perches mất,
và nó có dạng hình vng, thì liệu có hay khơng cạnh của hình vng này? Nếu có
thì bằng bao nhiêu? Chắc chắn, cạnh này khơng thể là +40 hay -40, vì hình vng
tương ứng cho 1600perches chứ khơng phải là -1600 perches. Đó phải là

−1600

(căn giả ñịnh của một số âm), hay 10 −16 , 20 −4 , 40 −1 ”
Như vậy, Wallis tưởng tượng 40 −1 như là cạnh của một hình vng diện tích
là

-1600 perches, nhưng trong hình ảnh hình học sơ khai này các ñại lượng ảo

vẫn tồn tại trong sự tưởng tượng.
Tuy nhiên mơ hình của ơng thất bại vì ơng khơng ñem lại một sự giải thích
thỏa ñáng cho phép nhân. Phương pháp của ơng là khái qt hóa vào mặt phẳng
mơ hình cộng của những cái được và mất đã ñược sử dụng ñể giải thích cho các
ñai lượng âm.
Theo ngơn ngữ hiện đại thì ta có thể nói rằng, việc mở rộng từ R vào C của
Wallis có cùng bản chất với việc mở rộng từ N vào Z. Thực ra, phép tương tự ở
ñây chỉ là sự tương tự bề ngồi, nó khơng tính đến cấu trúc nhân. Trong thực tế,
mơ hình của những cái được và mất đã được dùng cho các đại lượng âm khơng chỉ
vì nó mang lại nghĩa cho số âm mà trước hết nó tính đến cấu trúc cộng của Z. Thế
nhưng ở ñây cái liên quan ñến tập hợp các số ảo không phải là cấu trúc cộng mà là
cấu trúc nhân của nó. Mơ hình được và mất khơng cịn thích hợp ở ñây nữa.


13

2.2.

Mơ hình của Wessel:

Khám phá đầu tiên về việc biểu diễn hình học các số phức dường như là cơng

trình nghiên cứu của Wessel được cơng bố năm 1797.
Wessel khơng trực tiếp tìm cách giải thích sự tồn tại của các số phức, mà theo
cách nói của ơng là tìm cách biểu diễn các phương bằng giải tích. Ơng nhận thấy
rằng, với kỹ thuật của đại số cổ điển thì một hướng chỉ có thể được biến đổi thành
hướng đối của nó, đến nổi mà khi đã cố định một phương thì người ta chỉ có thể
xét cùng lúc các ñường có hai hướng ñối nhau. Để khắc phục các thiếu sót này,
Wessel tìm cách mở rộng các tính tốn ñại số trên mọi ñường của không gian sao
cho không làm thay đổi các qui tắc tính tốn quen thuộc.
Để xây dựng một hệ thống tính tốn như vậy, đầu tiên ơng định nghĩa phép
cộng hai đường. Trong định nghĩa của ơng về tổng hai đường, ta tìm thấy quan
niệm (ngầm ẩn) về đại diện của vectơ. Ơng cũng lưu ý rằng thứ tự các đường
trong phép cộng khơng quan trọng. Sau đó, ơng đưa vào phép nhân hai đường
đồng phẳng. Tích hai đường đồng phẳng là một đường đồng phẳng có chiều dài
bằng tích các chiều dài và độ nghiêng bằng tổng các ñộ nghiêng của hai ñường ban
ñầu.
Theo qui ước của Wessel, một ñường ñơn vị ñược ñược cố định và kí hiệu là
+1. Một đường đơn vị khác vng góc với nó và có cùng điểm gốc được kí hiệu là
+δ . Ơng ký hiệu -1 là ñơn vị ñối của +1 và chỉ ra rằng với phép tốn đã được định

nghĩa như trên thì

−1 = δ và ( +δ )( +δ ) = −1

Như vậy, Wessel đã đưa ra được một cách giải thích hình học cho

−1 . Ơng

cũng chứng minh được rằng các bán kính của đường trịn đơn vị được viết ở dạng
cos v + δ sin v hay a + δ b và người ta có thể nhân, chia, nâng lên lũy thừa hửu tỷ

những biểu thức như vậy.


14

2.3.

Mơ hình của Argand

Năm 1806 Jean Robert Argand (1768-1822) cơng bố Tiểu luận về một cách
biểu diễn ñại lượng ảo trong phép dựng hình học, trong đó ơng đưa ra cách biểu
diễn hình học của phép cộng và phép nhân các số phức.
Điểm xuất phát ñầu tiên của Argand là ñại số.
Argand tìm cách biểu diễn trung bình nhân của hai đơn vị có hướng đối nhau,
đó là đại lượng x thỏa mãn tỉ lệ thức:

+1 x
=
. Hiển nhiên ta có x. − x = −1 . Vì đại
x −1

lượng x không thể âm, cũng không thể dương nên cần một hướng thứ 3 chứa x.
Với tư tưởng này, ông biểu diễn các số thực trên cùng một trục, sau đó xét trục
vng góc với trục thứ nhất tại điểm gốc của nó. Trên trục thứ hai, hai đại lượng
đơn vị theo thứ tự ñược biểu diễn bởi + −1 và − −1 . Như vậy, nguyên lý biểu
diễn hình học đã được đặt ra.
Ơng cũng đưa vào khái niệm ñường ñịnh hướng:
“Đường ñịnh hướng ñược phân biệt với ñường tuyệt đối- đường mà người ta
chỉ có thể xem xét chiều dài, khơng quan tâm gì về hướng”
Để liên kết các đường định hướng với nhau, ơng chỉ ra rằng những ñường song

song với trục thực ñược viết là ± a , những đường vng góc với nó được viết là
±b −1 và cuối cùng thì mọi đường của mặt phẳng ñược biểu diễn bởi ± a ± b −1 .

Sau đó ơng thiết lập sự tương ứng giữa các số ảo với các phép dựng hình học
được thực hiện trên các đường định hướng.
Nhận xét
Trong q trình tìm nghiệm của phương trình bậc ba thì mầm mống của số
phức ñã bắt ñầu xuất hiện. Tuy nhiên, nó chỉ là cách viết trung gian để tìm nghiệm
của phương trình bậc 3. Chính bài tốn tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba


15

mới dặt ra vấn đề là: mọi phương trình bậc ba có nghiệm thực khơng? Nếu có thì
làm sao xác ñịnh ñược chúng.
Người Hy Lạp cổ ñặc biệt Euclide (330-275 trước cơng ngun) đã tìm ra cách
giải nhưng khơng thành cơng các bài tốn dẫn đến phương trình bậc ba. Như bài
tốn “chia ba góc 600 ” dẫn tới phương trình x3 = 3x + 1 . Việc giải phương trình
này được thực hiện nhờ vào phép dựng hình học.
Phép dựng hình học nghiệm thực của phương trình bậc ba đã thành cơng ở
nhiều nhà tốn học, chẳng hạn Al – Haytham (965-1093) khi giải bài toán của
Archimede. Bài toán này dẫn tới phương trình bậc ba dạng ax 3 + a 2b = cx 2 và
nghiệm ñược xác ñịnh từ giao của parabol x 2 = ay và hyperbol y ( c − x ) = ab .
Nhưng biểu thức ñại số của các nghiệm này vẫn chưa xuất hiện trong lời giải.
Cũng chính trong q trình tìm cách biểu diễn hình học của số phức mà hệ
thống tính tốn vectơ đã được tạo ra.
Kết luận
Trong phân tích trên chúng ta thấy rõ nếu chỉ có các số thực thì ta sẽ gặp bế
tắc trong việc giải các phương trình bậc ba và việc giải quyết bế tắc này ñã ñưa
ñến việc phát minh ra số phức. Và cũng từ số phức người ta chứng minh được mọi

phương trình bậc n đều có n nghiệm. Đây là định lý mà ngày nay người ta gọi là
“ Định lý cơ bản của Đại Số Học”. Hơn nữa việc phát minh ra số phức cịn thúc
đẩy các lĩnh vực khác tiến thêm một bước nữa và có những ngành Tốn học mới
ra ñời như: lý thuyết hàm số biến số phức… . Có thể nói số phức là cầu nối giữa
Đại Số và Giải Tích.


16

Chương 2
SỐ PHỨC DƯỚI GÓC ĐỘ MỘT TRI THỨC KHOA HỌC
Mở ñầu
Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục ñích trả lời cho câu hỏi Q2:
“Trường số phức ñược xây dựng như thế nào trên bậc ñại học?” .
Trong chương này, chúng tơi giới thiệu một số quan điểm về xây dựng số phức
trong lịch sử và các cách xây dựng trường số phức trên bậc ñại học. Cụ thể, chúng
tơi nghiên cứu ba giáo trình đại học khác nhau của ba nước Mỹ, Anh và Việt Nam.
Để thực hiện chương này, chúng tơi đã sử dụng một số tài liệu tham khảo sau:
1. NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen
dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục.
2. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà tốn học Triết học, Nhà xuất bản
đại học quốc gia thành phố HCM.
3. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử tốn học, Nhà xuất bản trẻ.
4. ĐỒN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Sách giáo viên, Nhà
xuất bản giáo dục.
5. MATTHIAS BECK, GERALD MARCHESI, and DENNIS PIXTON, A
First Course in Complex Analysis, Department of Mathematics San Francisco
State University, San Francisco CA 94132.
6. W W L CHEN, Introduction to complex analysis, University of London.
7. NGUYỄN VĂN ĐÔNG, Số phức, Giáo trình dành cho sinh viên sư phạm,

Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.
1. Các quan điểm về xây dựng khái niệm số phức trong lịch sử.
Năm 1799, Gauss ñưa ra một cách chứng minh ñịnh lý cơ bản của Đại số học.
Nhưng Gauss có thói quen khơng hay vội vã cơng bố cơng trình của mình. Mãi


17

đến năm 1831 những ý tưởng của ơng về số phức mới ra công khai dưới dạng
a + bi ; a và b ñược ñời sau gọi là số nguyên Gauss. Tuy công bố chậm nhưng trên

thực tế, bạn bè cùng học trị của Gauss đều biết rằng những phát minh đó hình
thành đã lâu trong đầu óc ơng và ñã nằm khá lâu trên bàn viết của ông rồi. Gauss
đã ý tưởng về số phức dưới góc độ số học và sau đó biểu diễn số phức dưới dạng
hình học
Hamilton (1805 – 1865) là người Anh, ơng đã nghiên cứu số phức. Ơng xem số
phức như được cấu thành từ một cặp số thực (a,b) và trên cở sở ñó Hamilton xây
dựng phép cộng phép nhân :
Phép cộng: ( a, b ) + ( a', b ' ) = ( a + a', b + b ' )
Phép nhân: ( a, b )( a', b' ) = ( aa'− bb',ab'+ ba' )
Các số thực ñược ñồng nhất với cặp số (a,0) và người ta có :
(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0).(1,0) + (b,0).(0,1)
Cặp (1,0) gọi là ñơn vị sơ cấp; cặp (0,1) gọi là ñơn vị thứ cấp và từ đó người
ta có thể đồng nhất số phức (a,b) với a + b −1
2

Đối với phương trình hai biến ( x, y ) = ( −1, 0 ) có nghiệm là cặp (0,1), Hamilton
viết “trong lý thuyết về các số đơn giản (simple number) thì ký hiệu
nhưng trong lý thuyết các cặp số thì ký hiệu

−1 là vơ lý,

−1 có một ý nghĩa, nó chỉ ra một

khai căn có ý nghĩa hay một cặp thực. Trong lý thuyết này ta có thể dùng ký hiệu
mà trước đây ta cho là vơ lý”.
Tuy đã đạt đến đỉnh khá cao của lý thuyết số phức nhưng Cauchy vẫn luôn ám
ảnh bởi tính chất kỳ diệu của nó. Ơng khơng hài lịng về những cái gì ơng đã đạt
được về số phức và lúc nào cũng tìm cách nghĩ ra một cái gì đó mới cho nó. Một
trong lý thuyết mới ñó là sự tương ñương ñại số. Cauchy viết: “Lý thuyết số phức
ngày nay ñã quá rõ ràng, trong sáng, dễ hiểu và sẽ thích hợp với mọi tầm cỡ hiểu


18

biết nếu chúng ta bớt được biểu thức ảo, khơng cịn chữ i nữa, và thay vào đó là
một lượng thực”
Cauchy phát biểu: hai ña thức là tương ñương nghĩa là cùng biểu diễn một số
phức nếu hiệu của chúng chia hết cho x 2 + 1 .
Lý thuyết trường ra ñời vào giữa thế kỷ thứ 19, sau khi việc cơng bố các cơng
trình của các nhà bác học Pháp E.Galois và J. Larange về lý thuyết nhóm và của
nhà bác học Đức K. Gauss về lý thuyết số ñã cho thấy rõ sự cần thiết khảo sát bản
chất của chính hệ thống số. Nhà bác học Đức R. Dedekind ñã ñưa ra khái niệm
tổng quát ñầu tiên về trường, mà ông gọi là “miền hữu tỷ”. Thuật ngữ tương ứng
với “trường” xuất hiện lần ñầu năm 1871 trong cơng trình “lý thuyết số” của nhà
Bác học Đức P. Dirichlet
2. Các cách xây dựng số phức theo quan niệm lý thuyết trường.
Trường là một khái niệm ñược sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành của toán
học. Trường số phức có thể được xây dựng bởi các cách sau:
Coi tập ℂ là tập ℝ 2 các cặp số thực (tức mỗi số phức là cặp số thực (a;b) và

hiển nhiên coi hai số phức (a,b), (a’,b’) bằng nhau nếu a = a’, b = b’)
Định nghĩa phép toán cộng và nhân số phức bởi :

( a, b ) + ( a ', b ') = ( a + a ', b + b ')
( a, b ) . ( a ', b ') = ( aa '− bb ', ab '+ ba ')
Chứng minh ñược rằng ℂ với hai phép tốn đó làm thành một trường.
Đơn cấu trường:
ℝ→ℂ
a ֏ ( a, 0 )

cho phép ñồng nhất ℝ với ảnh của nó trong ℂ
Đặt i = ( 0,1) thì viết được ( a, b ) = ( a, 0 ) + ( b, 0 ) . ( 0,1) = a + bi
Ở vế phải là phép cộng, nhân trên các số phức.


19

 a −b 
 (a, b là số thực) với
b a 

Coi ℂ là tập hợp các ma trận cấp hai dạng 
phép toán cộng nhân các ma trận cấp hai.

Dễ thấy đó là một vành giao hốn, có đơn vị và mọi ma trận khác 0 thuộc tập
hợp ℂ ñều có ma trận nghịch ñảo trong ℂ , tức ℂ là một trường.
a 0
 trong ℂ và coi i là ma trận
0 a

Đồng nhất số thực a ∈ ℝ với ma trận 
 0 −1 

 thì viết được
1 0 

 a − b   a 0   b 0  0 −1 

=
+

 = a + bi
 b a   0 a   0 b  1 0 
 a −b 
 khác không, coi nó là ma trận của một biến đổi tuyến tính
b a 

Chú ý: Khi 

của ℝ 2 thì đó là ma trận của một phép ñồng dạng bảo tồn hướng, giữ bất ñộng gốc
O của ℝ 2 (hợp thành của một phép quay gốc O (góc quay là một acgumen của số
phức ñang xét) với phép vị tự tâm O, hệ số vị tự

a2 + b2 (mơđun của số phức đó))

Nhìn theo quan điểm trường, có thể coi C là vành thương R [ x ] X 2 + 1 của
vành ña thức một ẩn X(trên trường số thực) chia cho iñêan sinh bởi ña thức
X 2 + 1 . Do ña thức X 2 + 1 bất khả qui nên nó là một trường.

3. Số phức trong một giáo trình của Mỹ.

Tài liệu mà chúng tơi chon nghiên cứu ở ñây là “A first Course in Complex
Analysis” của Matthias Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton.
3.1.

Về xây dựng số phức

Số phức có thể được định nghĩa như một cặp số thực, C = {( x, y ) : x, y ∈ R} với
phép cộng ( x, y ) + ( a, b ) = ( x + a, y + b ) và phép nhân ( x, y )( a, b ) = ( xa − yb, xb + ya ) .


20

Định nghĩa hai phép toán trên là “tốt” và C là mở rộng của R. Trong cách ñịnh
nghĩa này, số phức có dạng

( x, 0 ) có tính chất giống số thực, có nghĩa

( x, 0 ) + ( y, 0 ) = ( x + y, 0 ) và ( x, 0 )( y,0 ) = ( x. y, 0 ) . Vì vậy chúng ta có thể nghĩ rằng
số thực là tập con của số phức, khi những phần tử phức có thành phần thứ 2 bằng
0.
T1 cũng ñưa ra ñịnh lý “ ( C , +,.) là một trường với 11 tính chất
1. ∀ ( x, y ) , ( a, b ) ∈ C : ( x, y ) + ( a, b ) ∈ C
2. ∀ ( x, y ) , ( a, b ) , ( c, d ) ∈ C : ( ( x, y ) + ( a, b ) ) + ( c, d ) = ( x, y ) + ( ( a, b ) + ( c, d ) )
3. ∀ ( x, y ) , ( a, b ) ∈ C : ( x, y ) + ( a, b ) = ( a, b ) + ( x, y )
4. ∀ ( x, y ) ∈ C : ( x, y ) + ( 0, 0 ) = ( x, y )

5. ∀ ( x, y ) ∈ C : ( x, y ) + ( − x, − y ) = ( 0, 0 )
6. ∀ ( x, y ) , ( a, b ) , ( c, d ) ∈ C : ( x, y ) ( ( c, d ) + ( a, b ) ) = ( x, y ) . ( a, b ) + ( x, y )( c, d )
7. ∀ ( x, y ) , ( a, b ) ∈ C : ( x, y ) . ( a, b ) ∈ C
8. ∀ ( x, y ) , ( a, b ) , ( c, d ) ∈ C : ( ( x, y ) . ( a, b ) ) . ( c, d ) = ( x, y ) . ( ( a, b ) . ( c, d ) )

9. ∀ ( x, y ) , ( a, b ) ∈ C : ( x, y ) . ( a, b ) = ( a, b ) . ( x, y )
10. ∀ ( x, y ) ∈ C : ( x, y )(1, 0 ) = ( x, y )
 x
−y 
11.∀ ( x, y ) ∈ C \ {( 0, 0 )} : ( x, y )  2
, 2
=0
2
2 
x +y x +y 

Với cách xây dựng nêu trên, (C, +) là một nhóm Aben với phần tử đơn vị là (0,
0) và ( C \ {0, 0} ,.) là một nhóm Aben với phần tử ñơn vị là (1, 0).
Với cách xây dựng trên thì ( 0,1)( 0,1) = ( −1, 0 ) và ( a, 0 )( x, y ) = ( ax, ay ) .
Từ đó suy ra ( x, y ) = ( x, 0 ) + ( 0, y ) = ( x, 0 ) . (1, 0 ) + ( y, 0 ) . ( 0,1) .
Nếu coi ( x, 0 ) , ( y,0 ) là những số thực thì mọi số phức ( x, y ) đều được viết
dưới dạng tuyến tính của (1, 0) và (0, 1) với những hệ số thực x và y. (1, 0) ñược
xem là số 1. Và nếu ñặt cho (0, 1) là i thì số phức (x, y) có thể được viết là
x.1 + y.i , gọn hơn là x + iy .


21

x ñược gọi là phần thực của số phức x+iy, ký hiệu là Re(x+iy).
y ñược gọi là phần ảo của số phức x+yi, ký hiệu là Im(x+yi).
Và theo cách xây dựng trên thì i 2 = −1
Nhận xét:
-

T1 xây dựng trường số phức theo quan ñiểm C là một cặp số thực.

-

Cách xây dựng số phức trong T1 không theo trật tự của lịch sử.

-

Số phức được đưa ra khơng phải là bước trung gian để giải phương trình

bậc 3, mà ñược xây dựng là một trường mở rộng của trường số thực.
-

Đơn vị ảo i ñược ñưa ra như là một ký hiệu ngắn gọn cho số (0, 1).

3.2.

Về biểu diễn hình học

Nếu xem ký hiệu (x, y) như một cặp số thực 2 chiều. Khi biểu diễn những
vectơ này trong mặt phẳng R 2 , ta gọi trục x là trục thực, trục y là trục ảo. Phép
cộng mà ta định nghĩa cho số phức hồn tồn tương tự như phép cộng tọa ñộ trong
vectơ. Nhưng phép nhân thì khơng có tương tự, nhân hai số phức là một số phức,
nhưng nhân vơ hướng hai vectơ thì là một số thực.
Mơ đun của số phức x+yi được định nghĩa r = x + yi = x 2 + y 2 và argument
của nó là số ϕ sao cho x = r cos ϕ và y = r sin ϕ .
Như vậy, mọi số phức đều có vơ số argument và chúng hơn kém nhau bội của
2π .

T1 cũng ñưa ra ý nghĩa hình học của phép trừ và phép nhân hai số phức.

Mơđun của hiệu hai số phức chính là khoảng cách của hai điểm ảnh của hai số
phức đó trên mặt phẳng tọa độ.
Ý nghĩa hình học của phép nhân được đưa ra dựa vào mơ đun và argument của
số phức.