Hệ thống hóa bài tập spin và hệ hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Đề tài:

SVTH : Đỗ Thùy Linh
GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa
Khóa:
2004 – 2008

Thành phố Hồ Chí Minh tháng 5 năm 2008


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt 4 năm học dưới mái trường Đại học Sư Phạm Thành Phố
Hồ Chí Minh, được sự quan tâm dạy dỗ của các thầy cô trong nhà trường, đã
giúp em mở rộng kiến thức, nâng cao sự hiểu biết. Công lao to lớn của quý
thầy cô em không thể nào quên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban
giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và ban chủ
nhiệm khoa Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho em khi làm luận văn.
Em xin cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hoa đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo,
giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn. Em xin gửi lời cảm ơn đến các
thầy cô trong trường đã truyền đạt kiến thức cho em trong khóa học 2004 –
2008 và em cảm ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh đã tận tình giúp đỡ .
Đặc biệt em cảm ơn thầy trưởng khoa, TS Thái Khắc Định, đã tạo
điều kiện thuận lợi để em thực hiện tốt luận văn này.
Sau cùng em xin kính chúc quý thầy cô luôn mạnh khỏe và thành
công trong sự nghiệp giáo dục.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài – giới hạn đề tài
Chúng ta đã quan niệm rằng trạng thái của một vi hạt được xác định
nếu biết ba tọa độ của nó hay ba hình chiếu của xung lượng. Nhưng một loạt
các sự kiện thực nghiệm đã chứng tỏ rằng các vi hạt như electron, proton,
nơtron… cịn có một bậc tự do nội tại đặc thù. Bậc tự do này gắn liền với
một mômen quay riêng của hạt, không liên quan đến chuyển động quay của
nó. Mơmen riêng này được gọi là spin ký hiệu là S. Sự tồn tại của spin ở
electron được xác nhận trước khi cơ học lượng tử ra đời. Người ta đã tìm
cách minh họa spin như một đại lượng đặc trưng cho chuyển động tự quay
của hạt quanh trục riêng của nó. Nhưng giải thích như thế mâu thuẫn với
những luận điểm cơ bản của thuyết tương đối. Như sẽ thấy sau này, bậc tự
do nội tại và spin liên quan đến nó có một đặc tính lượng tử đặc thù. Khi
chuyển sang cơ học cổ điển   0 spin sẽ bằng không. Do đó spin khơng có
sự tương tự cổ điển.
Các bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất là khó, đòi hỏi việc phân
loại phải đầy đủ, rõ ràng. Em chọn đề tài này nhằm giúp sinh viên ngành vật
lý Đại học Sư Phạm có một hệ thống bài tập rõ ràng hơn, qua đó nắm được
bản chất của phần spin và hệ hạt đồng nhất.
Hệ thống bài tập áp dụng cho chương trình đại học và cao học.
2. Mục tiêu đề tài
Nhằm xây dựng và phân loại bài tập cho phần spin và hệ hạt đồng
nhất trong chương trình học phần cơ học lượng tử.
3. Phương pháp nghiên cứu
Có 3 phương pháp chính được sử dụng khi nghiên cứu đề tài này :
 Phương pháp thực hành giải bài tập.


 Phương pháp phân tích nội dung chương trình cơ học lượng tử.
 Phương pháp phân loại bài tập.

4. Cấu trúc luận văn
 Mở đầu.
 Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
 Chương 2: Hệ thống bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất.
 Kết luận.


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Spin [1]
Spin là momen xung lượng riêng của hạt, độ lớn của spin được đặc
trưng bởi số lượng tử spin S có thể nhận giá trị nguyên dương hay bán
nguyên. Cũng giống như các mômen cơ khác, sự định hướng của mômen cơ
spin bị lượng tử hóa, nghĩa là hình chiếu spin lên một trục tùy ý nào đó trong

2

khơng gian có thể có hai giá trị  .
Các trạng thái của spin là các ket véctơ   S z   ( trạng thái spin
lên) và   S z   (trạng thái spin xuống). Hai trạng thái này lập thành một
hệ trực chuẩn:
     1
     0

Và tính đủ của khơng gian:



        1.

  , 

Trạng thái S z   gọi là trạng thái phân cực vì spin có hướng đặc
biệt. Trạng thái ban đầu khơng phân cực được mơ tả bởi tổ hợp tuyến tính :
 a  b 

Trong đó :  

2



2

2

 a là xác suất để hạt có spin hướng lên.
b

2

là xác suất để hạt có spin hướng xuống.
2

2

Từ điều kiện chuẩn hóa ta có    1  a  b  1 .
Hình chiếu spin lên trục z có giá trị 


nên ta biểu diễn thông qua hai

2

trạng thái của spin như sau:

Sˆz  = 
2


và Sˆz  =- 

2


Ma trận của toán tử Sˆz được viết như sau:

2

0




0 


 
2

Các tốn tử hình chiếu spin của hạt lên các trục tọa độ tuân theo hệ
thức giao hoán:

Sˆx Sˆ y  Sˆ y Sˆx  iSˆz
Sˆ y Sˆz  Sˆz Sˆ y  iSˆx
Sˆz Sˆx  Sˆx Sˆz  iSˆ y

1
2

Đặt Sˆx  ˆ x

1
Sˆ y  ˆ y
2

1
Sˆz  ˆ z
2

Trong đó ˆ x , ˆ y , ˆ z gọi là các ma trận Pauli. Ma trận Pauli là ma trận vng
cấp hai và ˆ z có dạng:
1

ˆ z  
0

0

1

Các hệ thức giao hoán đối với ma trận Pauli được viết lại:
ˆ xˆ y  ˆ yˆ x  2iˆ z

ˆ yˆ z  ˆ zˆ y  2iˆ x
ˆ zˆ x  ˆ xˆ z  2iˆ y

Các ma trận Pauli tuân theo hệ thức phản giao hoán:
ˆ xˆ y  ˆ yˆ x  ˆ yˆ z  ˆ zˆ y  ˆ zˆ x  ˆ xˆ z  0 .

Vì trị riêng của các toán tử Pauli ˆ x , ˆ y , ˆ z tương ứng bằng 1 , suy ra
1

ˆ x2  ˆ y2  ˆ z2  I  
0

0

1

Trong S z biểu diễn các ma trận Pauli có dạng :
1

ˆ z  
0

0
0
 , ˆ x  
1
1

1
,

0

0

ˆ y  
i

i 

0


Và ˆ 2  ˆ x2  ˆ y2  ˆ z2  3I
Vậy tốn tử bình phương momen spin:
 2ˆ 2 3 2
3 2  1
Sˆ 2  Sˆx2  Sˆ y2  Sˆz2 
I


4
4
4 0

0

1

Trị riêng của toán tử Sˆ 2 là :
2

3
Sˆ 2 
 s ( s  1) 2
4

1
với s = (số lượng tử spin).
2

 Trị riêng và vectơ riêng của toán tử Sˆx , Sˆ y , Sˆz .
Xét trong cơ sở   S z   ,   S z   , biểu diễn ma trận của cơ sở
S z   là :

1 

    ,
0

0

   
1 
1 

vaø    1 0  ,     0

1

0

     1 0    =1 vaø       0 1    1
0
1 
1   0 

Vậy   ,   là các spinơ riêng của Sˆz ứng với các trị riêng  .
2
 0  1 
a
Phương trình trị riêng của Sˆx với ma trận trị riêng có dạng   . Thay
b
 

vào phương trình trị riêng của tốn tử Sˆx , giải phương trình ta thu được hai
vector riêng


1 1
1  1
  và
  ứng với hai trị riêng  .
2
2 1
2  1

1 1
1  1
Vậy hai spinnơ riêng của toán tử Sˆx là
  và

 .
2 1
2  1
c 
Trị riêng của toán tử Sˆ y với ma trận trị riêng có dạng   . Thay vào
d
 

phương trình trị riêng của tốn tử Sˆ y , giải phương trình ta thu được hai
vector riêng


1  1
1  1
  và
  ứng với hai trị riêng  .
2
2 i 
2  i 


1  1
1  1
Vậy hai spinnơ riêng của toán tử Sˆ y là
  và
 .
2 i 
2  i 

Ta đang xét trong Sˆz biểu diễn, để chuyển từ Sˆz biểu diễn sang Sˆx hay

Sˆ y biểu diễn ta tìm một ma trận biến đổi. Trong Sˆz biểu diễn các spinnơ của

1 1
1  1
ˆ
ˆ
Sˆx có dạng
  và
  , trong S x biểu biễn các spinnơ của S x phải có
1

1
2 
2 
1 

0

dạng   và   tương ứng với spin hướng lên hay hướng xuống dưới theo
0
1 
phương trục x. Mối liên hệ giữa các spinnơ riêng của toán tử Sˆx trong các
biểu diễn khác nhau được xác định bởi một ma trận biến đổi U thỏa mãn:


U




1 
 1 

 2  0
2  1 
 
   và U 
1   0
 1  1 



2
2


Ma trận U có dạng


U 




1 
2 
1 


2

1
2
1
2

Các toán tử của ma trận chuyển biểu diễn từ cơ sở này sang cơ sở
khác không làm thay đổi chuẩn của các véctơ trạng thái và bảo toàn xác suất
lượng tử.
1.2. Lý thuyết hệ hạt đồng nhất

[2]

1.2.a. Nguyên lý bất khả phân biệt hệ hạt đồng nhất
Các hạt có cùng các đặc trưng vật lý như: khối lượng, điện tích, spin,
mơmen từ… khơng có thêm một đặc điểm nào để phân biệt các hạt, hệ hạt
như vậy gọi là hệ hạt đồng nhất. Theo vật lý cổ điển ta có thể phân biệt các
hạt đồng nhất bằng cách phân biệt theo trạng thái của chúng. Trong cơ học


lượng tử, ta chỉ biết mật độ xác suất để ở một vị trí đã cho có bao nhiêu hạt
thuộc hệ hạt đồng nhất. Ta không thể phân biệt được các hạt dù có đánh dấu
chúng trong một hệ hạt đồng nhất. Việc không phân biệt được các hạt đồng
nhất có liên quan đến ngun lí bất định. Ngun lí khơng phân biệt được
các hạt đồng nhất địi hỏi chỉ tồn tại các trạng thái mà chúng không thay đổi
khi hốn vị hai hạt bất kì.
1.2.b. Các trạng thái đối xứng và phản xứng
Xét hệ hai hạt đồng nhất, trạng thái của hệ được biểu diễn:
a, b  a 1  b

Trong đó a 1 , b

2

2

là trạng thái của hai hạt 1 và 2.

Toán tử Pˆ12 được coi là toán tử hoán vị, khi tác dụng lên trạng thái của
hệ hai hạt a, b cho một trạng thái mới trong đó tọa độ hai hạt hốn vị cho
nhau.
Pˆ12 a, b  b, a

Theo ngun lí khơng phân biệt được các hạt đồng nhất, khi hoán vị hai hạt
bất kỳ ta được :
Pˆ12     .

Khi hoán vị lần nữa :
Pˆ122    2   

 2  1   = 1 .

Trong cơ sở a, b , b, a trực chuẩn ta có dạng ma trận của toán tử Pˆ12 như
sau:
 a, b

 b, a


Pˆ12 a, b

Pˆ12 a, b

a, b Pˆ12 b, a   0

b, a Pˆ12 b, a   1

Phương trình trị riêng của toán tử Pˆ12 .

1

0


0

1

1   1 
 1 
0
       
0   2 
1
 2 

1   1   
   
0   2   0

0   1 

 
   2 

Để phương trình có nghiệm khơng tầm thường thì định thức các hệ số
bằng khơng:

1

1


 0   2  1   = 1

Ta có các trạng thái riêng ứng với các trị riêng trên :
1
 a , b  b, a
2
1

 a, b  b, a
2

s 



 =1

a



 =-1

Trạng thái  s đối xứng với phép hoán vị hai hạt và trạng thái  a phản đối
xứng với phép hoán vị hai hạt.
Pˆ12  s   s
Pˆ12  a    a

Tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng của các trạng thái phụ thuộc
vào các loại hạt. Các hạt có spin nguyên S  ms , ms  0,1, 2... gọi là các hạt
bozon, tuân theo thống kê Bose-Einstein. Các hạt có spin bán nguyên
1 3
ms  , ,... gọi là các hạt fermion, tuân theo thống kê Fermi- Dirac.
2 2

1.2.c. Nguyên lý loại trừ Pauli
Xét hệ hai hạt đồng nhất kí hiệu 1, 2 có phương trình Schrodinger:
Hˆ  (1, 2)  E (1, 2)

Trong trường hợp  (1, 2) chứ có tính đối xứng ta phải đối xứng hóa
hàm sóng. Đối với một trạng thái bất kỳ ta có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp
tuyến tính của hai trạng thái  (1, 2),  (2,1) .
  C1 (1, 2)  C2 (2,1)


Khi C1  C2  C ta có hàm sóng  s  C  (1, 2)  (2,1) .
Khi C1  C2  C ' ta có hàm sóng  a  C '  (1, 2)  (2,1) .
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa ta tìm được C 

1
1
, C'
.
2
2

Tổng quát cho trường hợp hệ có nhiều hơn hai hạt N  2 .
 s (1, 2,...., N )  C

N



i 1, j  i

 a (1, 2,...., N )  C '

Pˆij (1, 2,..., N ) đối với hệ hạt boson.

N



i 1, j  i

(1)i  j Pˆij (1, 2,..., N ) đối với hệ hạt fermion.

Xét hệ lượng tử gồm N hạt đồng nhất với khối lượng m và spin bằng 0
(hệ hạt boson) hoặc

1

(hệ hạt fermion) chuyển động trong trường thế V (r ) .
2

Bỏ qua tương tác giữa các hạt ta có Hamiltonian của hệ bằng tổng các
Hamiltonian của từng hạt riêng rẽ.
N
N
 
 
Hˆ 0   Hˆ i     i  V (r )  .

i 1
i 1  2m

Phương trình Schrodinger của một hạt viết dưới dạng:
Hˆ i ni (i )   ni ni (i ) .

i là biến số xác định vị trí và spin của hạt thứ i.

 ni (i) là hệ các hàm riêng trực chuẩn của Hamiltonian.
Hàm sóng của hệ đang xét phụ thuộc vào tọa độ của N hạt được ký
hiệu là  (1, 2,...., N ) , hàm sóng này là tổ hợp tuyến tính của các tích các hàm
sóng một hạt :
 (1, 2,...., N )  n1 (1)n 2 (2)...............nN ( N ) .

Năng lượng của hệ là:
N

E    ni .
i 1


Hàm sóng đối xứng:
s  C

N



k 1, k  j

Pˆkj n1 (1) n 2 (2)...........nN ( N ) ,

và hàm sóng phản xứng:
a  C'

N

  1

k j

k 1, k  j

Pˆkj  n1 (1) n 2 (2)........... nN ( N )  .

Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có C 

1
1
, C'
N!
N!

Đối với hệ hạt boson có thể có ki hạt cùng ở trạng thái ứng với mức
năng lượng  ni . Gỉa sử có k1 hạt ở trạng thái n1 , k2 hạt ở trạng thái n2 …với
k1  k2  ....  N . Hàm sóng của hệ viết lại như sau:

 s  C  Pˆ n1 (1)n1 (2)....n1 (k1 )n 2 (k1  1)n 2 (k1  2)....n 2 (k2 ).........nN ( N ) 

Trong đó hệ số chuẩn hóa C 



kj !

j

N!

Đối với hệ hạt fermion hàm sóng có thể viết dưới dạng định thức Slater

 a (1,......, N ) 

n1 (1)
n 2 (1)

n1 (2)
 n 2 (2)





nN (1)

 nN (2)






n1 ( N )
n 2 ( N )


 nN ( N )

Nếu ta hốn vị hai hạt bất kỳ thì tương ứng với việc đổi chỗ hai cột
trong định thức Slater.
Trong định thức Slater, các bộ số lượng tử phải khác nhau, ni  n j nếu
i  j . Nếu có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng 0 hay  a  0 .

Nguyên lí Pauli được phát biểu như sau: trong hệ nhiều fermion đồng
nhất khơng thể có nhiều hơn một hạt trên một trạng thái.

Hệ các boson khơng bị chi phối bởi ngun lí loại trừ Pauli, trạng thái
cơ bản có thể chứa rất nhiều hạt gọi là sự ngưng tụ Bose.
1.2.d. Tương tác trao đổi


Xét hệ hạt đồng nhất, hạt thứ nhất xác định bởi tọa độ r1 và spin  1 ,


hạt thứ hai được xác định bởi tọa độ r2 , spin  2 …..Hamiltonian của các hạt
tương tác điện ( khơng có từ trường) khơng chứa các tốn tử spin, do đó khi
tác động lên hàm sóng nó khơng tác động lên biến spin. Hàm sóng của hệ có
thể viết dưới dạng tích của hàm tọa độ và hàm spin:
 

 (1, 2,..., N )   (r1 , r2 ,..., rN )  ( 1 ,  2 ,....,  N )

Với  là hàm spin của hệ, phụ thuộc biến spin của hạt.
Xét hệ hạt boson có spin bằng 0, khi đó hàm sóng chỉ cịn là hàm tọa
 

độ  (r1 , r2 ) , hàm này phải là hàm đối xứng. Như vậy không phải tất cả các
mức năng lượng thu được từ việc giải phương trình Schrodinger đều chấp
 

nhận, chỉ có những mức năng lượng ứng với hàm sóng  (r1 , r2 ) đối xứng được
chấp nhận.
Việc hoán vị hai hạt đồng nhất tương đương với phép nghịch đảo hệ
 

tọa độ. Do phép nghịch đảo hàm sóng  (r1 , r2 ) phải nhân với  1 trong đó l
l

là mơmen quỹ đạo của chuyển động tương đối của hai hạt. Vì hàm sóng của
hệ là đối xứng nên:
 s (1)l   's   s .

Vậy hệ hai hạt đồng nhất có spin bằng khơng có mơmen quỹ đạo chẵn.
Xét hệ hạt fermion (electron) có spin

1
khi đó hàm sóng tồn phần
2

của hệ là phản đối xứng đối với sự hoán vị hai hạt. Như vậy nếu hàm tọa độ
là đối xứng thì hàm spin là phản đối xứng và ngược lại. Ta viết hàm spinnơ
dưới dạng spinnơ hạng hai  ( ) , mỗi chỉ số ứng với spin của một hạt.


Do đó các mức năng lượng tương ứng với các nghiệm đối xứng
 

 (r1 , r2 ) của phương trình Schrodinger thực tế có thể được thực hiện khi spin

tồn phần của hệ bằng khơng, nghĩa là khi spin của hai electron “ đối song” ,
khi đó S z  0 .
 

Các mức năng lượng tương ứng với hàm sóng phản đối xứng  (r1 , r2 )
địi hỏi spin toàn phần của hệ phải bằng đơn vị , nghĩa là các spin của hai

electron phải song song vì các spin cộng lại được theo quy tắc cộng véctơ,
khi đó S z  0, 1 .
Như vậy giá trị năng lượng khả dĩ của hệ electron phụ thuộc vào spin
tồn phần của hệ. Ta tìm dạng tổng qt của hàm spinnơ  ( s1z , s2 z ) toàn phần
cho các trạng thái với các S và S z đã cho. Các hàm này thỏa mãn phương
trình:
 Sˆ 2   S ( S  1) 2 

 Sˆz   ms 

Trong đó Sˆ  Sˆ1  Sˆ2 là tốn tử spin tồn phần của hệ. Ta biểu diễn hàm
 dưới dạng tích các hàm riêng  1 (1),  1 (1),  1 (2),  1 (2) . Trường hợp
2



2



2

2

tổng quát hàm  có thể viết như sau:
 (1, 2)  C1  1 (1)  1 (2)  C2  1 (1)  1 (2)  C3  1 (1)  1 (2)  C4  1 (1)  1 (2) .
2



2

2



2

2



2



2

2

Trong đó C1 , C2 , C3 , C4 là các hệ số được xác định bằng điều kiện chuẩn hóa.
Ta có :
11   1 (1)  1 (2)
2

 01 


1 
  1 (1)   1 (2)    1 (1)  1 (2) 

2 2

2
2
2

 11   1 (1)  1 (2)


2

S=1, Sz  1

2



2

S=1, Sz  0

S=1, Sz  1


 00 

1
2




  1 (1)   1 (2)    1 (1)  1 (2) 
2
2
2
 2


S=0, Sz  0

Trong đó chỉ số trên ký hiệu spin tồn phần của hai hạt, chỉ số dưới ký
hiệu hình chiếu của spin toàn phần lên trục z. Ba hàm đầu là hàm đối xứng
với phép hoán vị hai hạt, hàm còn lại là hàm phản đối xứng.
Xác định các trị riêng của tích vơ hướng ( S1.S2 ) .



Sˆ 2  ( Sˆ1  Sˆ2 ) 2  Sˆ12  Sˆ22  2( Sˆ1Sˆ2 )



1
Ta coù: ( Sˆ1Sˆ2 ) s  Sˆ 2  Sˆ12  Sˆ22
2



1
 ( Sˆ1Sˆ2 )  Sˆ 2  Sˆ12  Sˆ22
2

2
 
3
 s   S ( S  1)    s
2 
2



Đối với hàm spin đối xứng có S = 1:
2
( Sˆ1Sˆ2 ) 1   1 .
4

Đối với hàm spin phản đối xứng có S = 0:
2

3 0

( Sˆ1Sˆ2 ) 0  
4

Hàm tọa độ:
1
n (r1 )m (r2 )  m (r1 )n (r2 )
2
1
 s (r1 , r2 ) 
n (r1 )m (r2 )  m (r1 )n (r2 )
2

a (r1 , r2 ) 

Vậy hàm sóng tồn phần của hệ hai electron:
1
n (r1 )m (r2 )  m (r1 )n (r2 )  1 (1)  1 (2)
2
2
2


1
 a (r1 , r2 )   a (r1 , r2 )  01   n (r1 ) m (r2 )  m (r1 ) n (r2 )    1 (1)  1 (2)   1 (1)  1 (2) 


2
2
2
2
 2

 a (r1 , r2 )   a (r1 , r2 ) 11 

 a (r1 , r2 )   a (r1 , r2 )  11 
 a (r1 , r2 )   s (r1 , r2 )  00 

1
n (r1 )m (r2 )  m (r1 )n (r2 )   1 (1)   1 (2)
2
2

2


1
n (r1 )m (r2 )  m (r1 )n (r2 )   1 (1)   1 (2)    1 (1)  1 (2) 
2
2
2
2
 2



Tính khơng phân biệt được của hệ hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của
tương tác trao đổi giữa các hạt. Ta xét hệ gồm hai hạt có spin

1
, giữa chúng
2

có một tương tác khơng liên quan đến spin của các hạt. Giả sử tương tác này
đủ nhỏ để có thể xem là nhiễu loạn đối với hệ hạt khơng tương tác. Ký hiệu
nhiễu loạn đó là tốn tử Vˆ (r12 ) trong đó r12 là khoảng cách giữa các hạt.
Vˆ (r12 ) không tác dụng lên spin của hệ.

Năng lượng trung bình trong phép gần đúng bậc một được tính:
En(1)  Vnn   n(0)*Vˆ n(0) dV .

Đối với hệ hai hạt có spin thì cơng thức trên được viết lại:
E (1)    (0)*Vˆ (0) dV1dV2 .

Hàm  (0) mô tả trạng thái không nhiễu loạn, nghĩa là trạng thái các
hạt khơng tương tác. Hàm sóng của hệ gồm hai thành phần nhưng toán tử
Vˆ (r12 ) khơng tác động lên hàm spinnơ, do đó ta đưa hàm spin ra khỏi dấu

tích phân.
Ta viết lại dạng ma trận của hàm spin, khi S = 0 hàm spinnơ bằng 1,
khi S = 1 thì hàm spinnơ có dạng:
1 


 ( )    0  ,
 
 1 

 : số lượng tử của hình chiếu spin toàn phần với



2

1.

i

i

Vậy:
E (1)   1*  0*

1 


 *1    0   (1, 2)*Vˆ (1, 2)dV1dV2    i
i
 
 1 

   (1, 2)*Vˆ (1, 2)dV1dV2

Với  (1, 2) là hàm tọa độ .

2

  (1, 2) Vˆ (1, 2)dV dV
*

1

2


1
m (1)n (2)  n (1)m (2)
2
1
 s (1, 2) 
m (1)n (2)  n (1)m (2)
2

a (1, 2) 

*
1
m (1)n (2)  n (1)m (2) Vˆ m (1)n (2)  n (1)m (2) dV1dV2

2
*
   m (1)n* (2)Vˆm (1)n (2)dV1dV2    m* (1)n* (2)Vˆm (2) n (1)dV1dV2  Q  A.

 E (1) 

Vậy hiệu chính năng lượng của hai hạt có spin

1
gồm hai phần. Phần
2

thứ nhất khơng liên quan đến sự có mặt của spin ở các hạt và có sự tương tự
cổ điển. Dấu  phụ thuộc vào spin toàn phần của hệ mặc dù tương tác giữa
các spin khơng được tốn tử Vˆ (r12 ) xét đến. Phần năng lượng A gọi là tương
tác trao đổi. Gọi như vậy là do trong các hàm đứng trước tốn tử Vˆ dưới dấu
tích phân và trong các hàm đứng sau toán tử Vˆ các hạt trao đổi chỗ cho
nhau, như vậy mỗi hạt như thể ở trong cả hai trạng thái. Năng lượng trao đổi
thu được cả trong trường hợp tốn tử Vˆ có xét đến tương tác giữa các
mơmen từ spin, tức là tốn tử Vˆ có tác động lên các phần spinnơ của hàm
sóng.
1.3. Kết luận
Trên đây là một số lí thuyết cơ bản về phần spin và hệ hạt đồng nhất.
Để hiểu và vận dụng được lí thuyết trên ta cần có một hệ thống bài tập với

nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó.
Chúng ta xây dựng hệ thống bài tập nhằm đáp ứng yêu cầu trên.


Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP SPIN VÀ HỆ HẠT ĐỒNG
NHẤT
Bài 1.
Tính bình phương của hình chiếu spin của electron trên một phương
bất kỳ.
Lời giải
Vì spin là đại lượng véctơ nên ta có




S = Sx i  Sy j  Sz k .
Hình chiếu spin lên một trục bất kỳ

S.n = Sx n x  Sy n y  Sz n z




S.n

 

2

= Sx n x  Sy n y  Sz n z  Sx n x  Sy n y  Sz n z 



  Sx n x   S y n y
2

  S n 
2

z

2

z

 Sx n x Sy n y  Sx n x Sz n z  Sy n y Sx n x  Sy n y Sz n z  Sz n z Sx n x  Sz n z Sy n y 



  Sx n x   S y n y
2



  S n 
2

z

2

z



Vì Sx ,Sy  Sx Sy  Sy Sx  0 .
Ta có:
2

2



Sˆ 2x  ˆ x2  I

Sˆ 2y
Sˆ 2z



S.n

 

2

4
4
2
 2 2

 ˆ y  I
4
4
2
 2 2
 ˆ z  I.
4
4



  S n 

n 
4

  Sx n x   Sy n y
2

2 2

n x  n y2
4



2
z

2

z

2

z

2


Nhận xét

Kết quả bài tốn cho thấy bình phương hình chiếu spin lên một
phương bất kỳ đều bằng nhau. Tức là hình chiếu spin lên một phương có thể

có hai giá trị là  . Do vậy mà ta rất khó xác định được trạng thái của spin
2
ˆ
S . Nếu xét hệ nhiều hạt thì việc xác định spin tồn phần của hệ rất khó
khăn.
Bài 2.

Giả sử  ,  là các véctơ trực giao và chuẩn hóa trong khơng gian
hai chiều. Định nghĩa các toán tử:







Sˆ x =
    
2
i
    
Sˆ y =
2

    
Sˆ z =
2









Hãy chứng minh :
Sˆ i ,Sˆ j   i  ijk Sˆ k ;







2


Sˆ i ,Sˆ j   ij .
2

Lời giải

Chứng minh Sˆ i ,Sˆ j   i  ijk Sˆ k
Vì  ,  là các véctơ trực giao và chuẩn hóa nên ta có:
       1

       0.

Để chứng minh các hệ thức trên ta tính các hệ thức giao hốn
Sx ,Sˆ y   Sˆ x Sˆ y  Sˆ y Sˆ x




i 2
i 2
          
    
4
4

 i 
     .
2












 

   





Sˆ x ,Sˆ y   iSˆ z   Sˆ y ,Sˆ x 





Vậy

Sˆ z ,Sˆ y   iSˆ x   Sˆ y ,Sˆ z 





Sˆ x ,Sˆ z   iSˆ y   Sˆ z ,Sˆ x  .





Ta có: Sˆ x ,Sˆ x   Sˆ y ,Sˆ y   Sˆ z ,Sˆ z   0 .
Từ các kết quả trên ta viết lại dưới dạng tổng quát sau:
Si ,Sˆ j   i ijk Sˆ k .



Trong đó  ijk là tenxơ phản đối xứng, gọi p là số hoán vị đưa (i, j, k)
về tập hợp (1, 2, 3). Khi ấy  ijk được định nghĩa như sau:
1

 1
0


Với  ijk



neáu i  j  k và p là số chẵn
nếu i  j  k và p là số lẻ
nếu có từ hai chỉ số trở lên trùng nhau
2




Chứng minh: Sˆ i ,Sˆ j   ij
2

Sˆ ,Sˆ   Sˆ Sˆ

Ta có

x

x

x

2
 2
    
4



x



 Sˆ x Sˆ x  2Sˆ x Sˆ x
2

2
     
     
2
2



n

Vì theo hệ thức đóng:  ei  ei  1 nên
i 1

2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Tương tự: Sy ,Sy  Sz ,Sz 
2



 







     =1.




S ,Sˆ   Sˆ Sˆ
x

y

x y

 Sˆ y Sˆ x

i 2
i 2
          
    
4
4
i 2
i2

     
    
4
4



















 

   







 Sˆ x ,Sˆ y  0 .



 



Tương tự: Sˆ y ,Sˆ z  Sˆ z ,Sˆ x  0 .
Từ các kết quả trên ta viết lại dưới dạng tổng quát như sau:





2


Sˆ i ,Sˆ j   ij
2
1

neáu i  j

0

neáu i  j.

Với  ij  
Nhận xét

Bài toán yêu cầu chứng minh các hệ thức giao hoán và phản giao hoán
của các toán tử Sˆ x ,Sˆ y ,Sˆ z , ta có thể sử dụng kết quả trên để áp dụng cho

những bài tập khác. Đây là bài tập cơ bản giúp sinh viên vận dụng những
kiến thức đã học về lí thuyết spin.
Bài 3:

ˆ 
Hãy biểu diễn véctơ S .n;  như là một tổ hợp tuyến tính của các
ˆ 
véctơ  và  , biết rằng S .n; 

thoả mãn phương trình:

1 ˆ 
 ˆ   ˆ 
S
.
n
S
.
n
;
S .n; 




2


Ở đây,

là véctơ đơn vị được xác định hướng như hình vẽ:



n

z

β
y
α
x
Lời giải

ˆ 
Ta phân tích véctơ S .n;  thành dạng tổ hợp tuyến tính của hai véctơ

ˆ 

 và  như sau : S.n,+ = a  + b  . Thay vào phương trình trị riêng và

sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng để xác định hai hằng số a và b.
ˆ 
Đặt: S.n,+ = a  + b  .

Vì Sˆ vừa có ý nghĩa spin vừa có ý nghĩa véctơ nên ta tính tích vơ



hướng S .n sau đó thay vào phương trình trị riêng









n = n x i + n y j + n z k và S = Sx i +Sy j +Sz k
n x = nsinβcosα

Với n y = nsinβsinα

n z = ncosβ


 S.n = Sx .nsin cos + S y .nsin sin + Sz .ncos
ˆ  ˆ 
  S.n  S.n;+ = (Sx .nsin cos + Sy .nsin sin + Sz .ncos )(a + + b  )




Sx sin  cos  (a   b  ) 


       sin  cos  (a   b  )
2


 sin  cos   a   b 
2

Sy sin  sin  (a   b  ) 



i
sin  sin   a   b 
2

Sz cos  (a   b  ) 

 cos   a   b 
2



i
        sin  sin  (a   b  )
2




       cos  (a   b  )
2



Thay kết quả trên vào vế trái của phương trình trị riêng ta được:
 ˆ   ˆ 
 S .n  S .n; 






i
 sin  cos   a   b    sin  sin   a   b    cos   a   b   .
2
2
2
Theo đề bài:
1 ˆ ˆ
1
 ˆ   ˆ
ˆ


.
.
;
S
n
S
n
S .n;    a   b  



2
2




i
 sin  cos   a   b    sin  sin   a   b    cos   a   b  
2
2
2
1
  a   b  .
2

Đồng nhất thức hai vế ta được:
b sin  ei  a 1   cos  
b  sin  cos   i sin  sin     a cos    a
 

a  sin  cos   i sin  sin     b cos    b
a sin  ei  b 1   cos  
 1   cos  
b2
 2  e2i 

a
 1   cos  

Mặt khác từ điều kiện chuẩn hóa : a 2  b2  1
Nên ta thu được hệ gồm hai phương trình :

 b2
2 i  1   cos  
 2 e 

a
 1   cos  
 2
2
a  b  1


Giải hệ thu được :

a

b

1
1   cos 

1   cos 
1   cos   (1   cos  )e2i
1  e2i
1   cos 
(1   cos  )e2i
1   cos 


2 i
1   cos   (1   cos  )e
(1   cos  )e2i  1   cos 

Vậy:
ˆ 
S .n;   

1   cos 

1   cos   (1   cos  )e2i



1   cos 
.
(1   cos  )e2i  1   cos 

Nhận xét

Đây là bài toán cơ bản của cơ học lượng tử. Khi spin bị lượng tử hóa
hình chiếu spin có hai giá trị :
Sz 

 


  , Sz      .
2 2

2
2

Như vậy một trạng thái bất kỳ có thể được biểu diễn thông qua hai véctơ
trực chuẩn S z     ,

Sz     .

  a  b 

Chỉ cần sử dụng phương trình trị riêng và điều kiện chuẩn hóa ta có thể xác
định được hai hằng số a,b.
Bài tập này giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng biểu diễn một trạng thái bất kỳ
qua hai trạng thái trực chuẩn.
Kiến thức

Đối với bài tốn này ta cần nhớ phương trình trị riêng và điều kiện
ˆ
chuẩn hóa hàm sóng  Cn  1 . Và cũng chú ý rằng spin S vừa có ý nghĩa
n 1

tốn tử vừa có ý nghĩa véctơ.
Phương pháp giải


Ta cần biểu diễn trạng thái ban đầu của hệ thông qua các véctơ cơ sở
ˆ 

như sau: S .n;   a   b  . Tính tích vơ hướng hai véctơ S .n sau đó thay
vào phương trình trị riêng :

1 ˆ 
1
 ˆ   ˆ 
 ˆ  
S
n
S
n


S
n


S .n   a   b     a   b 
.
.
;
.
;



2
2







Đồng nhất hai vế ta thu được hệ phương trình hai ẩn a và b, giải hệ tìm a, b
ˆ 
sau đó thay vào phương trình S .n;   a   b  .
Bài 4.

Giả sử hệ nằm tại trạng thái mơ tả bởi véctơ riêng của tốn tử S.n ứng
với trị riêng

1

, trong đó n được xác định bởi các giá trị   0 ,   0 .
2

1
a. Giả sử đo đại lượng Sˆx . Xác suất nhận được giá trị là bao nhiêu?
2
b. Hãy tính ( Sˆx  Sˆx ) 2 .
Lời giải

Do S x có hai giá trị là

1
1
và  với xác suất tương ứng là P1 và P 1 ,

2
2
2

2

mà P1  P 1  1 . Ta có giá trị trung bình của S x được tính :
2



2

1
1
Sˆx  P1  P 1 .
2 2 2 2

Ta cũng tính được giá trị trung bình của Sˆx theo cơng thức
Sˆx   Sˆx  . Từ hai phương trình trên ta tính được P1 và P 1 .
2



2

ˆ 
Trạng thái của hệ được mô tả bởi véctơ riêng S .n;   a   b  ,