Đề thi Học kì 1 Toán 12 - Đề số 5

Đề số 5
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2009 – 2010
Môn TOÁN Lớp 12
Thời gian làm bài 90 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1: (2,5đ)
Cho hàm số:
y x x
3 2
3 1= − +
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình
y" 0=
.
Câu 2: (1đ)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
y x x x
3 2
1
2 3 1
3
= − + +
trên đoạn [–1;2]
Câu 3: (1đ)
Giải phương trình:
x x
1 1
2 2
4 4 3

+ −
− =
Câu 4: (2,5đ)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên hợp với đáy một góc
α
.
a) (1,25đ) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
b) (1,25đ) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần: Theo chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a:
1) (1đ) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
x
y
x x
2
1
(1 )
+
=
−
2) (1đ) Giải bất phương trình:
x
x x
2 4
2
log 8 log log 3
2
+ − <

3) (1đ) Cắt mặt xung quanh của một hình trụ theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt
phẳng, ta được một hình vuông có diện tích 100cm
2
. Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình
trụ đó.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b:
1) (1đ) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
y x x
2
1= + −
2) (1đ) Giải bất phương trình:
x
x x
2
3 9
3
5
log 18 log log
3 2
+ − >
3) (1đ) Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt
phẳng, ta đựơc một nửa hình tròn có đường kính bằng 10cm. Tính thể tích của khối nón giới hạn
bởi hình nón đó.
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1

Đề số 5
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2009 – 2010

Môn TOÁN Lớp 12
Thời gian làm bài 90 phút
Câu Ý Nội dung Điểm
1
(2,5đ)
1
(1,75đ)
TXĐ: D = R
y x x
x y
y
x y
2
' 3 6
0 1
' 0
2 3
= −

= ⇒ =
= ⇔

= ⇒ = −

x x
x x x x
3 2 3 2
lim ( 3 1) , lim ( 3 1)
→+∞ →−∞
− + = +∞ − + = −∞

+
00
2
-
∞
+
∞
-3
1
0
y
y'
+
∞
-
∞
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng (
;0)−∞
và
(2; )+∞
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0; y
CĐ
=1, đạt cực tiểu tại điểm x = 2; y
CT
= –3
Đồ thị:
x
y

2
3
1
-3
-1
1
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
2
(0,75đ)
y x x y" 6 6 0 1 1= − = ⇔ = ⇒ = −
y '(1) 3= −
Phương trình tiếp tuyến là:
y x y x3( 1) 1 3 2= − − − ⇔ = − +
0,25
0,25
0,25
2
(1đ)
y’ = x
2
– 4x +3
y’ = 0
x
x
1

3 1;2

=
⇔

 
= ∉ −
 

y(–1) =
13
3
−
, y(2) =
5
3
, y(1) =
7
3
y y
1;2 1;2
7 13
max min
3 3
   
− −
   
= = −
0,25
0,25

0,25
0,25
2
3
(1đ)
x x
x
x
1 1
2 2
1
4 4 3 2.4 2. 3
4
+ −
− = ⇔ − =
Đặt t =
x
4
, t>o
⇒

t
t
2
2 3− =

⇔
2t
2
–3t –2 = 0

⇔
t loaïi
t
1
( )
2
2

= −


=

t = 2
⇒
x
4
= 2
⇔
x
1
2
=
Vậy nghiệm của phương trình là
x
1
2
=
0,25
0,25

0,25
0,25
4
(2,5đ)
1
(1,25đ)
Gọi O là tâm của đáy thì SO
⊥
(ABCD)
·
SAO AC a OA a SO a, 2 2 2 2 tan
α α
= = ⇒ = ⇒ =
Thê tích của khối chóp S.ABCD là:
ABCD
a
V S SO
3
1 4 2 tan
.
3 3
α
= =
0,25
0,5
0,5
2
(1,25đ)
Gọi H là trung điểm SA, trong mặt phẳng (SAC) dựng đường trung trực của
SA cắt SO tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Hai tam giác vuông SHI và SOA đồng dạng , nên ta có:
SI SH SA SH
SI
SA SO SO
.
= ⇒ =
a a a
SA SH SO a SI
cos cos
2 2 2
, , 2 tan
2 sin 2
α
α α α
= = = ⇒ =
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
a
r
2
sin 2
α
=
0,25
0,25
0,5
0,25
5B
(3đ) 1
(1đ)
Tập xác định D= R\{0;1}

x
x
x x
x x x x
2 2
0
0
1 1
lim , lim
(1 ) (1 )
−
→ +
→
+ +
= −∞ = +∞
− −
; đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng
x
x
x x
x x x x
2 2
1
1
1 1
lim , lim
(1 ) (1 )
−
→ +
→

+ +
= +∞ = −∞
− −
; đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng
x
x
x x
2
1
lim 1
(1 )
→±∞
+
= −
−
; đường thẳng y = –1 là tiệm cận ngang
0,25
0,25
0,25
0,25
3
2
(1đ)
x
x x
2 4
2
log 8 log log 3
2
− + <

(1)
Điều kiện x > 0
x x x
x x x
2 2 2 4 4
2 2 2
(1) log 8 log 2 log log log 2 3
1 1
3 log 2 log log 3
2 2
⇔ + − + − <
⇔ + − + − <
x
x x
2
2
1 1
log
2 2
1
log 1
2
⇔ − <
⇔ > − ⇔ >
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(1đ)

Gọi h là chiều cao và r là bán kính đáy của hình trụ, từ giả thết ta có:
h = 10 và 2
π
r = 10
r
5
π
⇒ =
Vậy thể tích của khối trụ là V =
r h
2
2
5 250
. .10
π π
π π
 
= =
 ÷
 
0,5
0,5
5b
(3đ)
1
(1đ)
Tập xác định R
Đồ thị không có tiệm cận đứng
x x
x x

x x
2
2
1
lim 1 lim 0
1
→+∞ →+∞
 
+ − = =
 ÷
 
+ +
Suy ra đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang khi x
→ +∞
x
x x
2
lim 1
→−∞
 
+ − = +∞
 ÷
 
; đồ thị không có tiệm cận ngang khi
x → −∞
Gọi tiệm cận xiên là y = ax + b
x x
x
x
x x

a
x x
2
2
1
1 1
1
lim lim 2
→−∞ →−∞
 
− + +
 ÷
 ÷
+ −
 
= = = −
( )
x x
b x x
x x
2
2
1
lim 1 lim 0
1
→−∞ →−∞
= + + = =
+ −
Vậy đường thẳng y = –2x là tiệm cận xiên khi
x → −∞

0,25
0,25
0,25
0,25
2
(1đ)
x
x x
2
3 9
3
5
log 18 log log
3 2
+ − >
(1)
Điều kiện: x > 0
x x x
3 3 3 3
1 5
(1) log 18 log 2 log log
2 2
⇔ + + − + >
x
3 3
log 18 2 log 2⇔ + >
0,25
0,25
4
x

2
3
log 18 2⇔ >
x
2
18 9⇔ >
( )
x x vì x
2
1 1
0
2
2
⇔ > ⇔ > >
0,25
0,25
3
(1đ)
B
O
A
Gọi l, r là đường sinh và bán kính đáy của hình nón.
Từ giả thiết, ta suy ra l =
10
2
= 5
Diện tích xung quanh của hình nón là:
rl r5
π π
=

Diện tích của nửa hình tròn là:
2
1 25
5
2 2
π π
=
Theo giả thiết ta có:
r r
25 5
5
2 2
π π
= ⇒ =
Gọi h là đường cao của hình nón thì:
h l r
2 2
25 5
25 3
4 2
= − = − =
Vậy thể tích của khối trụ là V =
r h
2
2
1 1 5 5 125 3
. . 3
3 3 2 2 24
π
π π

 
= =
 ÷
 
0,25
0,25
0,25
0,25
=============================
5