Đề thi Học kì 1 Toán 12 - Đề số 7

Đề số 7
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 12 – Cơ bản
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: (4 điểm)
Cho hàm số
y f x x mx m m x
3 2 2
1
( ) ( 1) 1
3
= = − + − + +
có đồ thị là (C
m
)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình
y
//
= 0.
c) Xác định m để hàm số f đạt cực đại tại x = 1.
Bài 2: (3 điểm)
a) Giải phương trình:
x x
16 17.4 16 0− + =
.
b) Giải bất phương trình:
x x x
2
2 2

log ( 1) log ( )
+ ≤ +
.
Bài 3: (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA
⊥
(ABCD) và SA = a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh rằng: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Tính bán kính mặt cầu đó.
c) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1

Đề số 7
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 12
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: 4 điểm
a. Khảo sát hàm số khi m = 2 2.đ
TXĐ: R 0.25đ
x
y x x
x
/ 2
1
4 3 0
3


=
= − + = ⇔

=

0.50đ
BBT:
0.75đ
Đồ thị:

0.50đ
b. Viết pttt của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y
//
=0 1đ
Ta có: y
//
= 2x – 4 = 0 ↔ x = 2, y
/
(2) = – 1 0.50đ
Tiếp điểm A(2; 4) 0.25đ
PTTT:
y x y x
5 11
( 2)
3 3
= − − + ⇔ = − +
0.25đ
c. Tìm m để hàm f đạt cực đại tại x = 1. 1đ
y x mx m m
/ 2 2

2 1= − + − +
0.25đ
Hàm f đạt cực đại tại x = 1 nên y
/
(1) = 0 ↔ m
2
– m + 1 = 0 ↔ m = 1 v m = 2 0.25đ
• m = 1: y
/
= ( x – 1 )
2
≥ 0, ∀x
• m = 2: theo câu a hàm f đạt cực đại tại x = 1
0.50đ
Bài 2: 3 điểm
a. Giải phương trình:
x x
16 17.4 16 0− + =
.
1.5 đ
Đặt:
x
t 4=
(t > 0)
Phương trình trở thành:
t t
2
17. 16 0− + =
t
t

1
16

=
⇔

=

0.75đ
2
x
y
/
y
– ∞
1
3
+ ∞
0 0–
+
+
– ∞
+ ∞
3
7
1
x
y
3
7/3

O
1
1
x
x
t x
t x
2
1 4 1 0
16 2
4 4

 
= = =
⇔ ⇒ ⇒

 
= =
 
=

0.75đ
b. Giải bất phương trình:
x x x
2
2 2
log ( 1) log ( )+ ≤ +
. 1.5đ
x
pt

x x x
2
1 0
1

+ >
⇔

+ ≤ +

0.75đ
x
x
x
x x
x
2
1
1
1
1 1
1 0

> −

> −
⇔ ⇔ ⇔ ≥
 
≤ − ∨ ≥
− ≥



0.75đ
Bài 3: 3 điểm
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 1 đ
Vì SA (ABCD) nên: 
S ABCD ABCD
V S SA
.
1
.
3
=
Mà:
ABCD
S a
2
=
, SA = a
Suy ra:
S ABCD
a
V
3
.
3
=
0.5
0.25
0.25

b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD. Tính bán kính mặt cầu đó.
1.50 đ
Vì SA⊥(ABCD) nên ∆SAC vuông. Do đó: IS = IC = IA.
Chứng minh ∆SBC vuông ⇒IS = IC = IB
Chứng minh ∆SDC vuông ⇒IS = IC = ID
Vậy I cách đều 5 đỉnh của hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
* Bán kính: R = IS = SC/2
SC SA AC SA AB BC a SC a
2 2 2 2 2 2 2
3 3= + = + + = ⇒ =
Vậy:
a
R
3
2
=
0.25
0.25
0.25
0.25
0.50
c. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 0.5 đ
a
S r a
2 2 2
3
4 4 ( ) 3
2
π π π

= = =
0.50
3
A
D
B C
S
I