Tải Bất đẳng thức Cô si - Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (115.15 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bất đẳng thức Cô si

Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I. Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

1. Phát biểu

+ Bất đẳng thức Cô si của n số thực không âm được phát biểu như sau: Trung bình
cộng của n số thực khơng âm ln lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

+ Nghĩa là:

- Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm:

2 a b

ab





Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a b



- Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm:

1 2

...

n n

n

x

x x x

n





Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x



x

 

...

x

n

2. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Cô si) với 2 số thực a và b không âm
+ Với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức ln ln đúng. Với a, b > 0, ta chứng minh:

2 a b

ab









2

0 a b

ab

a

ab b

a

b



 





 







</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

+ Hệ quả 1: nếu tổng hai số dương khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số
đó bằng nhau

+ Hệ quả 2: nếu tích hai số dương khơng đổi thì tổng của của hai số này nhỏ nhất khi
hai số đó bằng nhau

II. Bài tập về bất đẳng thức Cô si lớp 9

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

7 A x

x

 

với x > 0
Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và

7

0 x



ta có:

7

2 .

2 7

x







Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

7 x

 



(do x > 0)

Vậy minA2 7  x 7

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện

1

2 x



y



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức A x  y
Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

1 1 1

2 .

x



y



x y

1

2

4

2 xy









Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

2 2 4 4

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

4

1

2 x y

x

y









 











Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

3

2 a

b

c

b c c a



a b





Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bằng khi và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng
phương pháp làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c khơng âm có:

3 3

1

3 .

3

4

2

4

2

8

2 a

b c

a

b c

a

b c

a









Tương tự ta có

1

3

4

2 b

c a

b







và

1

3

4

2 c

a b

c







Cộng vế với vế ta có:

1

3

9

3.

4

2

4

2

4

2 a

b c

b

c a

c

a b

b c

a c a

b

a b

c













2

9

4

2 a b c

a

b

c

ab bc ca

b c c a

a b

abc

 











9

2 a

b

c

a b c

b c c a

a b

 









9

3

2 a

b

c

b c c a

a b





 





Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
III. Bài tập về bất đẳng thức Cô si

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>



x

4  

x

9 

B

x





với x > 0

(gợi ý: biến đổi



4

 

9



13

36

13 x

B

x





 



rồi áp dụng bất đẳng
thức Cô si)



x

10 

C

x





với x > 0

3

2 x

D

x

 



với x > 2

(gợi ý: biến đổi

3 2 2

3

2

3

2

3

2

3

2 x

D

x







 





 





rồi áp dụng bất

đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1

4 P x

y

x y

 





với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi

4

1 P x y

y

x y

y

 





)

Bài 3: Với a, b, c là các số thực không âm, chứng minh:



a b c



1 1 1

9 a b c





 













(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Tải Bất đẳng thức Cô si - Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

<b>Bất đẳng thức Cô si</b>

2

<i>a b</i>

<i>ab</i>





<i>a b</i>



...

...

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x x x</i>

<i>n</i>









<i>x</i>



<i>x</i>

 

...

<i>x</i>

2

<i>a b</i>

<i>ab</i>









2

2

0

0

<i>a b</i>

<i>ab</i>

<i>a</i>

<i>ab b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>



 





 







7

<i>A x</i>

<i>x</i>

 

7

0

<i>x</i>



7

7

2

.

2 7

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







7

7

7

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

 

 