Bộ đề thi HSG toán 9 + đáp án

Phòng giáo dục và đào tạo

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
Năm học : 2009 - 2010
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: (4 điểm)
Cho biểu thức
( )
1
122
1
2


+
+

++

=
x
x
x
xx
xx
xx
P
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P;
c) Tìm x để biểu thức
P

x
Q
2
=
nhận giá trị là số nguyên.
Bài 2: (3 điểm)
Cho x, y là những số dơng thoả mãn:
1
+
yx
Tìm giá trị nhỏ nhất của
xy
xyM
1
+=
Bài 3: (3 điểm)
Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất (x, y) mà x, y

Z:



=+
=+
2
1
myx
ymx
Bài 4: (3 điểm)
Tìm x; y là những số nguyên dơng thoả mãn

+
+
xy
yx


13
13
Bài 5: (7 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng
nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đờng tròn (O).
Từ C kẻ CH vuông góc với AB
( )
ABH

. Gọi M, N lần lợt là hình chiếu của H
lên AC và CB.
a) Chứng minh rằng: OC vuông góc với MN;
b) Qua A kẻ đờng thẳng d vuông góc với AB. Tiếp tuyến với (O) tại điểm C
cắt đờng thẳng d ở K. Chứng minh rằng: BK; CH; MN đồng quy.


(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

đáp án chấm môn toán lớp 9
Kỳ thi chọn học sinh giỏi thcs
Năm học 2009 - 2010

Bài 1 (4 điểm) ĐK:
0;1
>
xx
a)
(
)
( ) ( )( )
1
11212
1
1
3

+
+
+

++

=
x
xx
x
xx
xx
xx
P

( )( )

( ) ( )
1212
1
11
+++
++
++
=
xx
xx
xxxx
P

( )
22121
++=
xxxxP

12212
+=++=
xxxxxxP
b)
4
1
"";
4
3
4
3
2

1
1
2
==+






=+=
xxxxP
Vậy
4
3
min
=
P
c)
1
22
+
==
xx
x
P
x
Q
với
0

>
x
và
1

x
Cho nên
112
1
1
=>+
x
x
Cho nên
20
<<
Q
Mà

Q
Vậy ta có:
013121
1
2
=++==
+
xxxxx
xx
x
Đặt

0
>=
ax
ta có:
0
4
5
2
3
013
2
2
=






=+
aaa

0
2
5
2
3
2
2
=

a

0
2
5
2
3
2
5
2
3
=

+









aa

2
53
;
2
53
21

=
+
=
aa
Vậy

=









=
+
=
+
=

+
=
2
537
2
53
2
537
4
5614
2
53
2
2
2
1
x
x
KL:






+

2
537

;
2
537
x
thì Q

Q
Bài 2: (3 điểm)
Vì
0;;1
>+
yxyx
Mà
( )
( )
4
411
4
2
2

+
+
yx
xyxy
xyyx
Xét:
xy
xyM
1

+=
Đặt
4
1
=
a
xy
Thì
a
aM
1
+=
với
4

a
4
17
4
15
4
2
16
4.15
1
16
2
16
151
16

=+=+++=
a
aa
a
a
M
2
1
4"";
4
17
====
yxaM
Vậy
2
1
4
17
min
===
yxM
Bài 3: (3 điểm)
Bài 4: (3 điểm)
Tìm x, y là những số nguyên dơng thoả



+
+
xy

yx


13
13
x, y bình đẳng không mất tính TQ ta giả sử
yx

Nếu x = y ta có
113
=+
xxx
Vậy



=
=
1
1
y
x
thoả mãn
Xét x > y

=+
=+

+
+
Nnm
nyy
myx
xy
yx
,(
13
13
13
13


)
Vì
( )
nxyyxyx
=+>+>
13133
303
<<>
nnxx
Do vậy
{ }
2;1

n
Với
1
=
n



=+
=+
)2(13
)1(13
xy
myx
Thế (2) vào (1)
yymyy 4949
+=+

yy4
Ư
(4)

{ }
4;2;1

y
Vậy

=
=
=
=
=
=
13
4
;
7
2
;
4
1
x
y
x
y
x
y
Với

2
=
n
ta có:
( )
















=+
++

=+
+

=+
+

=+
=+
xy
yy
xy
yx
xy
yx
xy
myx
213
2133
213
26
213
13
213
13
{ }
5;1559
+
yyyy
Vậy






=

=
=
=
8
5
;
2
1
x
y
x
y
Sau khi thử ta đợc:






=
=



=
=
=
=

=
=



=
=



=
=
13
4
;
7
2
;
7
2
;
1
4
;
4
1
;
1
1

x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y








=
=

=
=
=
=
=
=
=
=
5
8
;
8
5
;
1
2
;
2
1
;
13
4
x
y
x
y
x

y
x
y
y
x
thoả mãn
Bài 5: (7 điểm)
a) ACB = 90
o
(vì OA = OC = OB)
b) CMH = 90
o
(gt)
CNH = 90
o
(gt)
=> CMHN là hình chữ nhật => C
1
= M
1
Mà CAO = ACO (OA = OC nên tam giác ACO cân)
CAO + C
1
= 90
o
Cho nên ACO + M
1
= 90
o
Gọi E là giao của OC và MN ta có CEM = 90

o
Hay OC vuông góc MN (đpcm)
b) Ta có KA = KC (tính chất tiếp tuyến)
K o dài BC cắt d tại W
Ta có WCA = 90
o
Mà: KAC + AWC = 90
o
KCA + WCK = 90
o
KCA = KAC (lý do KC = KA)
=> KWC = WCK => KC = KW
Vậy WK = KA = KC
Hay K là trung điểm AW
I là giao CH và MN vì CMHN là hình nhữ nhật
I là trung điểm của CH
Mặt khác WA // CH (cùng vuông góc với AB); giả sử BI cắt WA tại K'
áp dụng talet:
KKKWK
AK
WK
IH
CI
==
'''Ư
'
'Ư
Vậy BI đi qua trung điểm K của AW
Hay KB; CH; MN đồng quy