DE THI + DA HSG TOAN 8

đề kiểm tra chọn hsg toán 8
Môn toán khối 8 (thời gian 90 phút)
Năm học 2009 - 2010
Câu 1. Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a) x
2
+ 2xy + y
2
- 2
b) x
2
+ y
2
- x
2
y
2
+xy - x - y
Câu 2. Chứng minh:
a) a
3
- a
M
3, với mọi a thuộc Z
b) (n
2
+ n - 1) - 1
M
24, với mọi n là số tự nhiên.
Câu 3. Cho hình thang ABCD ( AB//CD) . Gọi E là trung điểm của BC,
biết AE

ED.
a) Chứng minh DE là phân giác của góc ADC.
b) Khi AB + CD = 15cm, và góc ADC bằng 60
0
, hãy tính S
ABCD
.
H
đáp án
Môn toán khối 8
Năm học 2009 - 2010
Câu 1. (3 đ), ý a) 2 đ, ý b) 1 đ
a) x
2
+ 2xy + y
2
- 2 = (x + y)
2
- (
2
)
2
= (x+y -
2
)(x+y+
2
)
b) x
2

+ y
2
- x
2
y
2
+xy - x - y = (x
2
- x
2
y
2
)+(xy - x)+ (y
2
- y)
= x
2
(1 - y
2
) + x(y - 1) + y(y - 1)
= (y - 1)(x + y - x
2
- x
2
y)
= (1 - x)(y - 1)(x + y)
Câu 2. (3 đ), ý a) 2 đ, ý b) 1 đ
a) Ta có a
3
- a = a(a-1)(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp, trong đó có một

số chia hết cho 3, nên tích chia hết cho 3. hay
là a
3
- a
M
3, với mọi số nguyên a.
b) Ta có (n
2
+ n - 1) - 1 = n(n-1)(n+1)(n-2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp,
trong đó có hai số chẵn liên tiếp nên đều chia hết cho hai trong đó có một số
chia hết cho 4. Do đó tích trên chia hết cho 2.4 = 8. lại có tích trên chứa 3 số
nguyên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 3. Vì (3,8) =1 nên tích trên
chia hết cho 3.8 = 24. Nói tóm lại với mọi n là số tự nhiên thì (n
2
+ n - 1) - 1
M

24.
Câu 3. (4 đ), vẽ hình ghi GT-KL:1 đ, giải đợc mỗi ý: 1,5 đ
Gọi F là giao của AE và CD, AH là đờng cao của hình
thang ABCD.
a) Ta có
ABE FCE =
(g-c-g).
Suy ra AE = EF. Xét
ADF
có DE vừa là đờng cao vừa
là đờng trung tuyến nên cân tại D suy ra DE đồng thời
là phân giác của goc ADC.
b) Do

ABE FCE∆ = ∆
nªn AB = CF suy ra AB + CD = DF = 15cm. Khi gãc
ADC b»ng 60
0
th×
ADF∆
®Òu nªn DF =AD vµ
ADH∆
lµ nöa tam gi¸c ®Òu.
Theo ®Þnh lÝ Pitago ta cã AH = DA.
3
/2 = 15.
3
/2 (cm).
VËy S
ABCD
=(AB + CD).AH:2 = 15.15.
3
/2 = 225
3
/2 (cm
2
)