Đề Tài Toán NCKHSPUD

KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SƯ PHẠM ỨNG DỤNG
1.Tìm hiểu hiện trạng, tìm và chọn nguyên nhân
2.Đưa ra giải pháp thay thế- dự kiến tên đề tài
Tên đề tài :
“rÌn luyÖn vµ n©ng cao kü n¨ng ph©n tÝch
Kỹ năng
PTĐT thành
nhân tử của
học sinh còn
yếu
PPDH chưa phát
huy tính tích cực
của học sinh
Một số biện
pháp rèn
luyện và
nâng cao kỹ
năng PTĐT
thành nhân
tử
Việc kèm cặp, hướng
dẫn từng học sinh
còn hạn chế
Thời gian ôn tập
và rèn luyện
còn ít
Học sinh lười học,
lười ghi chép
Khả năng vận
dụng lý thuyết vào
làm bài tập còn

hạn chế
Tổ chức các
hoạt động hướng
dẫn học sinh giải
bài tập toán
Thực hành
luyện tập
Đa dạng hoá các
thể loại bài tập
Giải thích
minh họa
Hiện Trạng
Chọn nguyên nhân
đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động h-
ớng dẫn học sinh giải bài tập toán
Mục lục
Nội dung Trang
I. Tóm tắt đề tài 2
II. Giới thiệu 3
1. Giải pháp tác động 4
2. Vấn đề nghiên cứu 4
3. Giả thuyết nghiên cứu 4
III. Phơng pháp nghiên cứu 4
1. Khách thể nghiên cứu 4
2. Thiết kế nghiên cứu 4
3. Quy trình nghiên cứu 5
4. Đo lờng và thu thập dữ liệu 6
IV. Phân tích dữ liệu và bàn luận kết quả 6
1. Phân tích dữ liệu 7
2. Bàn luận kết quả 8

V. Kết luận và khuyến nghị 9
1. Kết luận 9
2. Khuyến nghị 9
VI. Tài liệu tham khảo 10
VII. Phụ lục 10
1. Nội dung dạy thực nghiệm 10
2. Đề kiểm tra và đáp án 26
3. Bảng điểm và số liệu 30
I. Tóm tắt đề tài
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là
một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh
những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chơng trình, nội
dung của SGK, nắm vững các phơng pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp
dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng
dạy bộ môn Toán thờng xuyên phải làm.
Trong chơng trình đại số ở THCS đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử là
một trong những nội dung kiến thức cơ bản và quan trọng, nó là cơ sở để xây dựng
nhiều nội dung kiến thức đồng thời đợc vận dụng để giải quyết nhiều dạng bài toán
khác nhau nh: Quy đồng và rút gọn phân thức, giải phơng trình, giải bất phơng trình,
chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị, biến đổi đồng
nhất các biểu thức hữu tỷ, vô tỷ ...
Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một kỹ năng rất
cơ bản và hết sức quan trọng. Nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh
mới có khả năng giải quyết đợc nhiều vấn đề trong chơng trình đại số lớp 8 và lớp 9
cũng nh nhiều vấn đề toán học khác có liên quan, tìm đợc lời giải và lời giải tối u cho
một bài toán. Nhng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khó khăn
đối với học sinh đó là trong trờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn,
phức tạp ...do đó nếu chỉ áp dụng các phơng pháp phân tích thông thờng đã đợc học
trong SGK thì học sinh rất lúng túng thậm chí không thể phân tích đợc...
Để cung cấp cho học sinh một cách hệ thống các phơng pháp phân tích đa

thức thành nhân tử, đồng thời có kỹ năng thành thạo trong việc phân tích các đa thức
thành nhân tử. Giải pháp tôi đa ra là: Thông qua hoạt động hớng dẫn học sinh giải
bài tập toán nhằm rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử,
qua đó nâng cao chất lợng học tập bộ môn Toán.
Nghiên cứu đợc tiến hành trên hai nhóm tơng đơng: Nhóm 8B
1
và nhóm 8B
2
Trờng THCS Nam Bình,nhóm 8B
1
là nhóm thực nghiệm(O
1
), nhóm 8B
2
là nhóm đối
chứng ( O
2
). Nhóm thực nghiệm đợc thực hiện giải pháp tác động khi dạy các bài học
về phân tích đa thức thành nhân tử. Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hởng rõ rệt
đến kết quả học tập của học sinh: Nhóm thực nghiệm đã đạt đợc kết quả học tập cao
hơn so với nhóm đối chứng. Điểm bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm
có giá trị trung bình là: 7,61. Điểm bài kiểm tra sau tác động của nhóm đối chứng có
giá trị trung bình là: 6,34.
Kết quả kiểm chứng T- test cho thấy P = 0,000049 < 0,05 có nghĩa là đã có sự
khác biệt lớn giữa điểm trung bình của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng. Điều
đó chứng tỏ rằng thông qua việc hớng dẫn học sinh giải bài tập toán đã giúp các em
rèn luyện và nâng cao đợc kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử từ đó nâng cao đ-
ợc chất lợng học tập môn Toán.
II. Giới thiệu
Trong chơng trình Đại số 8 SGK ở trung học cơ sở các bài học về phân tích đa

thức thành nhân tử mới chỉ dừng lại ở việc giới thiệu một số phơng pháp phân tích cơ
bản nh:
- Phơng pháp đặt nhân tử chung
- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
- Phơng pháp nhóm các hạng tử
- Phơng pháp tách hạng tử
- Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử
- Phối hợp nhiều phơng pháp.
Hơn nữa thời gian dành cho việc rèn luyện các kỹ năng trên còn rất hạn hẹp
nên hầu hết học sinh còn lúng túng trong việc phân tích đa thức thành nhân tử thậm
chí nhiều học sinh còn không biết cách phân tích. Đáng chú ý hơn nữa là trong các
phần và các chơng sau, đặc biệt trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi và ôn luyện thi
vào lớp 10-THPT cần vận dụng rất nhiều các kiến thức về phân tích đa thức thành
nhân tử. Để thay đổi hiện trạng trên đề tài nghiên cứu này nh một nguồn dẫn đến và
bổ sung kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử qua đó nhằm rèn luyện và nâng
cao các kỹ năng phân tích cho học sinh
1/ Giải pháp tác động:
- Thông qua hoạt động hớng dẫn học sinh giải bài tập toán nhằm rèn luyện và
nâng cao các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó nâng cao chất lợng học
tập bộ môn Toán.
2/ Vấn đề nghiên cứu
- Thông qua hoạt động hớng dẫn học sinh giải bài tập toán có rèn luyện và
nâng cao đợc các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử hay không ?
3/ Giả thuyết nghiên cứu
- Có, thông qua hoạt động hớng dẫn học sinh giải bài tập toán rèn luyện và
nâng cao đợc các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử .
III. Ph ơng pháp nghiên cứu
1/ Khách thể nghiên cứu
Tôi lựa chọn hai nhóm: Nhóm 8B
1

và nhóm 8B
2
là học sinh của Trờng THCS
Nam Bình trong đó nhóm 8B
1
là nhóm thực nghiệm (O
1
), nhóm 8B
2
là nhóm đối
chứng ( O
2
).
2/ Thiết kế nghiên cứu
Tôi dùng bài kiểm tra khảo sát chất lợng đầu năm làm bài kiểm tra trớc tác
động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự khác nhau do
đó tôi dùng phép kiểm chứng T- test độc lập để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm
số trung bình của hai nhóm trớc khi tác động
* Kết quả:
Bảng 1: Kiểm chứng để xác định các nhóm tơng đơng
Nhóm đối chứng Nhóm thực nghiệm
TBC 6,31 6,56
P 0,28

P = 0,28 > 0,05. Từ đó kết luận sự chênh lệch về điểm số trung bình của hai
nhóm thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa vì vậy hai nhóm đợc coi là tơng
đơng.
* Sử dụng thiết kế 2: Thiết kế kiểm tra trớc tác động và sau tác động đối với
các nhóm tơng đơng.
Bảng 2: Thiết kế nghiên cứu

Nhóm
Kiểm tra
trớc tác động
Tác động
Kiểm tra
sau tác động
Thực nghiệm O
1
Có thông qua hoạt
động hớng dẫn học
sinh giải bài tập toán
O
3
Đối chứng O
2
_ O
4

- ở thiết kế này tôi dùng phép kiểm chứng T-test độc lập.
3/ Quy trình nghiên cứu
a, Chuẩn bị của giáo viên
- Xây dựng hệ thống các bài tập về phân tích đa thức thành
nhân tử nhằm rèn luyện và nâng cao kỹ năng cho học sinh.
- Ra đề kiểm tra và xây dựng đáp án cho các đề kiểm tra.
b, Tiến hành dạy thực nghiệm
- Thời gian tiến hành dạy thực nghiệm trong 5 tuần, mỗi tuần 02 buổi, mỗi
buổi 03 tiết và cuối mỗi buổi kiểm tra 30 phút( kết hợp với việc cho bài tập về nhà để
học sinh tự luyện).
Bảng 3: Thời gian dạy thực nghiệm cụ thể nh sau
Tuần Buổi

Số
tiết
Tên bài dạy thực nghiệm
1
1 3 Phơng pháp đặt nhân tử chung
2 3 Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
2
3 3 Phơng pháp nhóm các hạng tử
4 3 Phối hợp nhiều phơng pháp
3
5 3 Phơng pháp tách hạng tử
6 3 Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử
4
7 3 Phơng pháp sử dụng phép chia
8 3 Phơng pháp đặt ẩn phụ
5
9 3 Phơng pháp hệ số bất định
10 3 Phơng pháp xét giá trị riêng
4/ Đo lờng và thu thập dữ liệu
- Bài kiểm tra trớc tác động là bài kiểm tra khảo sát chất lợng
đầu năm do Trờng THCS Nam Bình ra
- Bài kiểm tra sau tác động là các bài kiểm tra sau khi đã học xong
từng phơng pháp ở trên.
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:
- Sau khi thực hiện dạy xong từng phơng pháp tôi tiến hành kiểm tra và chấm
bài theo đáp án đã xây dựng.
IV. Phân tích dữ liệu và bàn luận kết quả
1/ Phân tích dữ liệu
Bảng 4: So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Nhóm đối chứng Nhóm thực nghiệm

Điểm trung bình 6,34 7,61
Độ lệch chuẩn 1,30 0,72
Giá trị p của T-test 0,000049
Chênh lệch giá trị TB 0,98
chuẩn(SMD)
Nh trên đã chứng minh rằng kết quả trớc tác động của hai nhóm là tơng đơng.
Sau tác động kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng T-test cho kết quả p =
0,000049 < 0,05 cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình nhóm thực nghiệm và
nhóm đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình nhóm thực
nghiệm cao hơn điểm trung bình nhóm đối chứng là không phải do ngẫu nhiên mà là
do kết quả của sự tác động.
Chênh lệch giá trị TB chuẩn SMD =
7,61 6,34
0,98
1,30

=
Theo bảng tiêu chí Cohen, chênh lệch giá trị trung bình chuẩn
SMD = 0,98 cho thấy mức độ ảnh hởng của việc rèn luyện kỹ năng phân tích đa
thức thành nhân tử thông qua hoạt động hớng dẫn học sinh giải bài tập toán nhằm
nâng cao chất lợng học tập bộ môn của nhóm thực nghiệm là lớn.
Điều đó cho thấy giả thuyết của đề tài: " Thông qua hoạt động hớng dẫn học
sinh giải bài tập toán rèn luyện và nâng cao đợc kỹ năng phân tích đa thức thành
nhân tử " từ đó nâng cao đợc chất lợng học tập bộ môn đã đợc kiểm chứng.
Biểu đồ so sánh điểm trung bình trớc tác động và sau tác động
của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
2. Bàn luận kết quả
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm có điểm trung
bình = 7,61. Kết quả bài kiểm tra tơng ứng của nhóm đối chứng có điểm trung bình
= 6,34. Độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm

là 1,27. Điều đó cho thấy điểm trung bình của hai nhóm đối chứng và thực nghiệm
đã có sự khác biệt rõ rệt, nhóm đợc tác động có điểm trung bình cao hơn nhóm đối
chứng.
Chênh lệch giá trị TB chuẩn SMD = 0,98. Điều này có nghĩa là mức độ ảnh
hởng của tác động là lớn.
Phép kiểm chứng T- test điểm trung bình các bài kiểm tra sau tác động của hai
nhóm là p = 0,000049 < 0,05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung
bình của hai nhóm không phải do ngẫu nhiên mà là do kết quả của sự tác động(tác
động nghiêng về nhóm thực nghiệm).
V. Kết luận và khuyến nghị
1/ Kết luận
-Thông qua hoạt động hớng dẫn học sinh giải bài tập toán rèn luyện và nâng
cao đợc kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó nâng cao đợc chất lợng học
tập bộ môn nhất là trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi và ôn luyện học sinh thi vào
lớp 10- THPT.
2/ Khuyến nghị
+ Đối với BGH:
- Cần chỉ đạo tăng thêm thời gian ôn luyện, bồi dỡng cho học sinh khối 8 và
khối 9 nhất là học sinh khối 9 vì thời gian một tuần một buổi không đủ để thực hiện
đợc công tác bồi dỡng trong khi môn Toán 9 lại tổ chức thi sớm(vào khoảng tháng 12
nh hiện nay).
- Chỉ đạo tăng cờng hơn nữa công tác dạy thể nghiệm nội dung của đề tài để
đề tài đợc triển khai một cách sâu rộng trong nhà trờng đồng thời cũng nhằm bổ sung
và khắc phục những tồn tại, nâng cao hơn nữa chất lợng đại trà, công tác đào tạo bồi
dỡng học sinh giỏi và ôn luyện thi vào THPT.
+ Đối với giáo viên
-Không ngừng tự học, tự bồi dỡng để nâng cao hơn nữa trình độ chuyên môn
nghiệp vụ, xây dựng đợc cho mình một hệ thống kiến thức các bài, dạng bài, các
chuyên đề và thờng xuyên sử dụng các phơng pháp dạy học tích cực.
- Cần chia lớp, phân loại hai đầu học sinh khá giỏi và yếu kém riêng biệt để

việc triển khai áp dụng đề tài đạt hiệu quả cao hơn.
* Với kết quả của đề tài này (chắc hẳn không thể tránh khỏi những tồn tại và
hạn chế) nhng tôi mong rằng các bạn đồng nghiệp cần quan tâm, chia sẻ nhất là
những giáo viên tham gia công tác bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8 và giảng
dạy môn Toán lớp 9 ôn luyện học sinh thi vào lớp 10-THPT.
VI. Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Toán 8, Toán 9.
2. Chuyên đề bồi dỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)
3. Cuốn 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp của
Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng
nghiệp (NKTH).
4. Toán bồi dỡng và nâng cao đại số 8
5. Một số vấn đề phát triển Đại số 8
6. 400 bài toán chọn lọc 8
7. Toán học tuổi trẻ số ra hàng tháng
8. Toán học tuổi thơ II số ra hàng tháng
9. Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS
10. Tài liệu về NCKHSPƯD.
VII. Phụ lục
A. Nội dung Dạy thực nghiệm
I/ Lý thuyết
1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định nghĩa 1
+ Nếu một đa thức đợc viết dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói
rằng đa thức đã cho đợc phân tích thành nhân tử.
+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một
nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:
a
n
x

n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
0
= c(
c
a
n
x
n
+
c
a
n 1
x
n 1
+ ..+
c
a
0
) ( với c

0, c

1 ).
b) Định nghĩa 2
Giả sử P(x)

P
[ ]
x
là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên
trờng P nếu nó không thể phân tích đợc thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ
hơn bậc của P(x). Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy hoặc phân tích đợc
trên P.

2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định lý 1:
Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành tích các đa thức
bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử
bậc 0.
b) Định lý 2:
Trên trờng số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất
hoặc bậc hai với biệt thức

< 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân
tích đợc thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với

< 0 .
c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Aidenxtainơ )
Giả sử f(x) = a
0
+ a
1
x + ... + a
n
x

n
, n > 1, a
n


0, là một đa thức hệ số nguyên .
Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của a
n
nhng p là ớc của
các hệ số còn lại và p
2
không phải là ớc của các số hạng tự do a
0
. Thế thì đa thức f(x)
là bất khả quy trên Q.
II/ Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích đợc thành
tích các đa thức trên trờng số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành
thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những kĩ thuật , những thói quen và kĩ năng
sơ cấp. Dới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phơng pháp thờng dùng để phân
tích một đa thức thành nhân tử.
1. Phơng pháp đặt nhân tử chung:
a) Phơng pháp:
- Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng (theo chiều ngợc).
+ Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc( kể cả dấu của chúng).
b) Bài tập:

Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax - by)
Giải: Ta có A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax by)
= 2x
2
(ax + 2by + ax by)
= 2x
2
(2ax + by)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (2a
2
3ax)(5y + 2b) (6a
2
4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có P = (2a
2
3ax)(5y +2b) (6a

2
4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a
2
3ax) (6a
2
4ax))
= (5y + 2b)(- 4a
2
+ ax)
= (5y + 2b)(x 4a)a
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 3x
2
(y 2z ) 15x(y 2z)
2
Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y 2z
Do đó : B = 3x
2
(y 2z) 15x(y 2z)
2
= 3x(y 2z)((x 5(y 2z))
= 3x(y 2z)(x 5y + 10z)
Bài 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = (2a
2
3ax)(5c + 2d) (6a
2
4ax)(5c +2d)
Giải: Ta có C = (2a

2
3ax)(5c + 2d) (6a
2
4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a
2
3ax 6a
2
+ 4ax)
= (5c + 2d)(ax 4a
2
)
= a(5c + 2d)(x 4a)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x
3
y 6x
2
y 3xy
3
6xy
2
z xyz
2
+ 3xy
Giải: Ta có Q = 3x
3
y 6x
2
y 3xy

3
6xy
2
z xyz
2
+ 3xy
= 3xy(x
2
2x y
2
2yz z
2
+ 1)
= 3xy((x
2
2x + 1) (y
2
+ 2yz + z
2
))
= 3xy((x 1)
2
(y + z)
2
)
= 3xy((x 1) (y + z))((x 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y z 1)(x + y + z 1)
2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ:
a) Phơng pháp:
- Phơng pháp này dùng hằng đẳng thức để đa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ

thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
* Các hằng đẳng thức thờng dùng là :
A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
A
2
- 2AB + B
2
= (A - B)
2
A
2
- B
2
= (A + B) (A - B)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3

(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A
3
- B
3
= (A - B)( A
2
+ AB + B
2
)
A
3
+ B
3
= (A + B)( A
2
- AB + B
2
)

b) Bài tập:

Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

Giải: Ta có A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

= (x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
) - x
2
y

2
= (x
2
+ y
2
)
2
- x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
+ xy)(x
2
+ y
2
xy)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = a
6
b
6
+ a
4
+ a
2
b

2
+ b
4

Giải:
Ta có B = a
6
b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

= (a
6
b
6
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

)
= (a
3
+ b
3
) (a
3
- b
3
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
)
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) + (a
4
+2a
2

b
2
+ b
4
) a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ b
2
)
2
a
2
b
2
= (a+b)( a
2
- ab + b
2

)(a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
)
= (a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
) ((a b)(a + b) + 1))
= (a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2

)(a
2
b
2
+ 1)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
x + 1)
2
Giải: Ta có : M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
x + 1)
2
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) x
2
+ (x
2

x + 1)
2
= (x
2
+ 1)
2
x
2
+ (x
2
x + 1)
2
= (x
2
x + 1) (x
2
+ x + 1) + (x
2
x + 1)
2
= (x
2
x + 1) (x
2
+ x + 1 + x
2
x + 1)
= 2(x
2
x + 1)(x

2
+ 1)
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
Giải: Ta có A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y

2
2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
= (x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
2x
2
z
2
+ 2y
2
z
2
) 4y
2
z

2
= (x
2
y
2
z
2
)
2
4y
2
z
2
= (x
2
y
2
z
2
2yz) (x
2
y
2
z
2
+ 2yz)
= (x
2
(y + z)
2

)( x
2
(y - z)
2
)
= (x y z) (x + y + z) (x y + z)(x + y z)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + y)
3
+(x - y)
3

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác
giải nh sau :
Cách 1: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))
3
3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x
3
3.2x(x
2
y
2
)
= 2x(4x

2
3(x
2
y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Cách 2: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)
2
(x + y)(x y) + (x y)
2

= 2x(2(x
2
+ y
2
) - (x
2
y
2
))

= 2x(x
2
+ 3y
2
)