Tải Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán trường THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ năm 2015 - 2016 (Chuyên Tin học) - Đề thi vào lớp 10 môn Toán có đáp án

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b>
<b>PHÚ THỌ</b>

<b>KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 </b>

<b>TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUN HÙNG VƯƠNG</b>
<b>NĂM HỌC 2015-2016</b>

<b>Mơn: Tốn</b>

(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề

<i>Đề thi có 01 trang</i>

<b>Câu 1 (2,0 điểm) </b>
a)

2 ₃ _{2 0.}

  

<i>x</i> <i>x</i> _{Giải phương trình:}

b)

1
3.
5
  




  


   


<i>x y z</i>
<i>y z x</i>

<i>z x y</i> <i>_{Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn:}</i>
<b>Câu 2 (2,0 điểm)</b>

a)

1 1
,
 
<i>aTb</i>

<i>a b</i> <i>_{Phép toán T được định nghĩa như sau: với a và b là các số thực khác 0}</i>
1 1 1

2 3

2 3 6
  

<i>T</i> <i>_P</i>_

_

_{5 6}<i>_{T T}</i>

_{ }

_{7 8 .}<i>_T</i>

_

tùy ý. Thí dụ: . Tính giá trị biểu thức:
<i>b) Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện: </i>

2

6<i>a</i> 20<i>a</i>15 0; 15<i>b</i>220<i>b</i> 6 0; <i>ab</i>1.





3

3
2

6
.
2015

9 1 

 

<i>b</i>

<i>ab</i> <i>ab</i> _{Chứng minh rằng:}

<b>Câu 3 (2,0 điểm) </b>

<i>a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính</i>
phương.

b) Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo
thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:

12345678910111213141516...9989991000.

Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2.
Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?

<b>Câu 4 (3,0 điểm) </b>
,


<i>AM</i> <i>AE</i> <i>_BM</i> _<i>_BF</i>_.<i>_{Cho hình vng ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB.}</i>
<i>Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho trên cạnh BC lấy điểm F sao cho </i>

a) <i>MOE </i> , <i>MOF</i>.<i>Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc đường</i>
<i>thẳng OB là phân giác trong của góc Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng.</i>

<i>b) Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Chứng minh bốn điểm</i>
<i>A, B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.</i>

<i>c) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua</i>
một điểm cố định.

<b>Câu 5 (1,0 điểm)</b>

<i>Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:</i>

 

  1 2  2 3  3 4  4 .

<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<b>--- Hết </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN</b>
<b>(Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang)</b>

<b>I. Một số chú ý khi chấm bài</b>

 Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám
khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến
0,25 điểm.

 Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho
điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.

 Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.

<b>II. Hướng dẫn chấm và biểu điểm</b>

<b>Câu 1 (2,0 điểm) </b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM</b> <b>ĐIỂM</b>

<b>a) (1,00 điểm) </b>

2

3 2 0

  

<i>x</i> <i>x</i> _{Phương trình đã cho tương đương với phương trình} 0,25đ



1

 

2



0

 <i>x</i>  <i>x</i>   0,25đ

1
2
 
 




<i>x</i>

<i>x</i> 0,25đ



2; 1;1;2 .



  

<i>x</i> _{Phương trình có nghiệm} _0,25đ

<b>b) (1,00 điểm) </b>

9.
  

<i>x y z</i> _{Cộng vế với vế các phương trình đã cho ta được} 0,25đ





2<i>x</i> <i>x y z</i>   1 <i>x</i>4._{Phương trình đầu có dạng} _0,25đ





2<i>y</i> <i>x y z</i>   3 <i>y</i>3._{Phương trình thứ hai có dạng} _0,25đ





2<i>z</i>  <i>x y z</i>   5 <i>z</i> 2._{Phương trình thứ ba có dạng}
4, 3, 2.

  

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> _{Thử lại thỏa mãn. Vậy} 0,25đ

<b>Câu 2 (2,0 điểm)</b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM</b> <b>ĐIỂM</b>

<b>a) (1,00 điểm) </b>

<i>Theo định nghĩa phép tốn T, ta có:</i>

1 1 1
5 6

5 6 30
  

<i>T</i> 0,25đ

1 1 1
7 8

7 8 56
  

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>



5 6

 

7 8



1 1
30 56
   

 _ _{ } _

   

<i>P</i> <i>T T</i> <i>T</i> <i>T</i>

Suy ra 0,25đ

1 1

30 56 26.
30 56

   

_ _{ } _  
   

<i>P</i> <i>T</i>

Vậy 0,25đ

<b>b) (1,00 điểm) </b>

Ta ký hiệu các điều kiện như sau
2

15<i>b</i> 20<i>b</i> 6 0 (2); <i>ab</i>1 (3).6<i>a</i>2 20<i>a</i>15 0 (1);
Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt.

<i>Do (3) nên b khác 0. Chia hai vế của (2) cho b</i>2_{ta được}

2

1 1

6_ _ 20_ _15 0 (4)
<i>b</i> <i>b</i>

0,25đ

<i>a</i>
1

<i>b</i> _{Từ (1), (3) và (4) suy ra và là hai nghiệm khác nhau của phương trình}
2

6<i>x</i> 20<i>x</i>15 0 (5)

1 10 5

; .

3 2

  <i>a</i> 
<i>a</i>

<i>b</i> <i>b</i> _{Theo định lí Vi-ét:}

0,25đ

Từ đó





3 3 3

2
3

9 1 ₉ 1 5 ₉ 10 2015

2 3 6

  _ _ _ _

  _  _   _ _ 

   

<i>ab</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>_a</i>

<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>

0,25đ





3
3
2
6
,
2015

9 1 

 

<i>b</i>

<i>ab</i> <i>ab</i> _{Suy ra điều phải chứng minh.} 0,25đ

<b>Câu 3 (2,0 điểm) </b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM</b> <b>ĐIỂM</b>

<b>a) (1,00 điểm) </b>

2 2

2015 ; 2199 .

   

<i>n</i> <i>a n</i> <i>b</i> <i>_{Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho}</i>



<i>b a b a</i>

 





184._{Suy ra}

0,25đ



<i>b a b a</i>

 





2 .233 _Hay


<i>b a b a b a b a</i>  _{Vì và là các số có cùng tính chẵn lẻ và nên chỉ xảy ra hai}
trường hợp

 

 

2 4
và
92 46
   
 
 
   
 

<i>b a</i> <i>b a</i>

<i>I</i> <i>II</i>

<i>b a</i> <i>b a</i>

0,25đ

Trường hợp thứ nhất

 

45 10.

47


_  


<i>a</i>
<i>I</i> <i>n</i>

<i>b</i> _{Thỏa mãn.}

0,25đ

Trường hợp thứ hai

 

21 1574 0.

25



 _   


<i>a</i>
<i>II</i> <i>n</i>

<i>b</i> _{Không thỏa mãn.}
10.



<i>n</i> _Vậy

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>b) (1,00 điểm)</b>

Trong dãy số nói trên, 9 số đầu tiên: 1,2,3,...,9 là các số có 01 chữ số.
90 số tiếp theo: 10,11,12,...,99 là các số có 02 chữ số.

0,25đ

900 số tiếp theo: 100,101,102,...,999 là các số có 03 chữ số.
Như vậy, bằng cách viết nói trên ta thu được một số có:

9 2 90 3 900 4 2893      _{chữ số.}

0,25đ

9 2 90 2016 2893    _{Vì nên chữ số thứ 2016 của dãy số là một chữ số của số có}

03 chữ số. 0,25đ

2016 9 2 90 3 609,     _{609 100 1 708}_ _ _ _{Ta có số có 03 chữ số đầu tiên là}

100, số có 03 chữ số thứ 609 là do đó chữ số thứ 2016 trong dãy đã cho là chữ số 8. 0,25đ

<b>Câu 4 (3,0 điểm) </b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM</b> <b>ĐIỂM</b>

<b>a) (1,00đ) </b>

<i>Do ABCD là hình vng nên hai đường chéo vng góc, hai đường chéo tạo với các</i>
cạnh của hình vng góc 45o_.

 

; 45 .

   <i>O</i>

<i>AM</i> <i>AE EAO MAO</i> <i>_{Tam giác AME vuông cân đỉnh A suy ra}</i>

0,25đ



. .



  .

<i>AMO</i><i>AEO c g c</i>  <i>MOA EOA</i> _{Suy ra}

 _.

<i>MOE</i> <i>_{Vậy OA là phân giác trong của góc}</i> 0,25đ

 _.

<i>MOF</i> <i>_{Chứng minh tương tự, ta có OB là phân giác trong của góc}</i> 0,25đ

 _ _ _₉₀<i>o</i> _  _ _₂ _₁₈₀<i>o</i>

<i>MOA MOB AOB</i> <i>MOE MOF</i> <i>AOB</i> <i>_{Mặt khác, hay E, O,}</i>

<i>F thẳng hàng. Điều phải chứng minh.</i> 0,25đ

<b>b) (1,00đ) </b> 0,25đ

H
M

F
B

C
A

D

O
E

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

 _ __{45 .}<i>o</i>

<i>MHA MEA</i> <i>_{Tứ giác AEHM nội tiếp đường trịn đường kính ME nên}</i>

 _ __{45 .}<i>o</i>

<i>MHB MFB</i> <i>_{Tứ giác BFHM nội tiếp đường tròn đường kính MF nên}</i> 0,25đ

 _ _ __{90 .}<i>o</i>

<i>AHB AHM</i> <i>MHB</i> _{Suy ra} 0,25đ

<i>Ta thấy O và H cùng nhìn AB dưới một góc vng nên bốn điểm A, B, H,O cùng</i>

<i>nằm trên đường trịn đường kính AB.</i> 0,25đ

<b>c) (1,00đ) </b>

<i>Đường thẳng MH cắt đường trịn đường kính AB tại điểm thứ hai I (I khác H).</i>

 _ _₄₅<i>o</i>

<i>AHI</i> <i>BHI</i> <i>_{Ta có nên I là điểm chính giữa cung AB (khơng chứa O) của}</i>

<i>đường trịn đường kính AB. </i>

0,50đ

<i>Do A, B, O là các điểm cố định nên I là điểm cố định (I đối xứng với O qua đường</i>
<i>thẳng AB).</i>

<i>Vậy, khi M di động trên cạnh AB, đường thẳng MH luôn đi qua điểm cố định I (I đối</i>

<i>xứng với O qua đường thẳng AB).</i>

0,50đ

<b>Câu 5 (1,0 điểm)</b>

<i>Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:</i>

 

  1 2  2 3  3 4  4 .

<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM</b> <b>ĐIỂM</b>

 

.


<i>y</i> <i>f x</i> _{Xét đồ thị của hàm số}

1; 1 2; 2 3; 3 4; 4

       

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>f x</i>

 

_{Trên mỗi miền (gồm 05}
miền), là các hàm số bậc nhất.

0,25đ

 



<i>y</i> <i>f x</i> <i>f x</i>

_{ }

0,  <i>x</i> <i>f x</i>

 

__{Đồ thị hàm số là đường gấp khúc gồm 02 tia}
và 03 đoạn thẳng liên tiếp nhau. Mặt khác nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của trên và
giá trị nhỏ nhất này sẽ đạt được tại đầu mút nào đó của các tia hoặc các đoạn thẳng.

0,50đ

Nói cách khác:

 



 

 

 

 



 

min <i>f x</i> min <i>f</i> 1 , <i>f</i> 2 , <i>f</i> 3 , <i>f</i> 4 <i>f</i> 3 8.

 



<i>y</i> <i>f x</i> <i>_x</i>__3._{Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 8, đạt được khi}

0,25đ

<i><b>Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng phương pháp chia khoảng.</b></i>

</div>

<!--links-->