De HSG(De xuat)- De 7

Câu 1(4đ): Chứng minh rằng: M = a
4
+ 6a
3
+ 11a
2
+ 30a
Chia hết cho 24 với mọi số nguyên a
Câu 2(4đ): a) Giải phương trình
( )
2
2 1 2x x x+ = +
.
b) Giả sử hệ phương trình
1
4 3 12
1
3 10 5
x y z
x y z

− − =




+ + =


có nghiệm
( )

; ;x y z
.
Chứng tỏ
x y z
+ +
không đổi.
Câu 3(4đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số
y x=
có đồ thị là (G). Trên
đồ thị (G) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lượt là
1−
và
3
.
a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B.
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d).
Câu 4(6đ): a) Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn. Từ
trung điểm B của đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D). Các đường thẳng PC và PD
lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F. Chứng minh DCE = DPE + CAF và tam
giác PBC đồng dạng với tam giác DBP.
b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB. Trong tam giác ABC lấy điểm O
tùy ý. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm O trên các đường thẳng BC, CA,
AB. Chứng minh rằng:
OI + OJ + OK < BC
Câu 5(2đ): Giải hệ phương trình:
2
x + y + z = 1
2x + 2y - 2xy + z = 1




.
Hết
Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh...........................
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Câu Nội dung Điểm
Câu 1 Ta có: M = a
4
+ 6a
3
+ 11a
2
+ 30a = a
4
+ 6a
3
+ 11a
2
+ 6a + 24a
= a(a
3
+ 6a
2
+ 11a + 6) + 24a = a(a + 1)(a

2
+ 5a + 6) + 24a
= a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 24a.
Vì: a là số nguyên => a; (a + 1); (a + 2); (a + 3) là 4 số nguyên liên tiếp
=> a(a + 1)(a + 2)(a + 3) chia hết cho 4! = 24 và 24a chia hết cho 24 với mọi số
nguyên a nên M chia hết cho 24 với mọi số nguyên a.
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
Câu 2 a) Điều kiện
0x
≥
. 0,25đ
PT
( ) ( )
2 2 0x x x x⇔ − − − =
.
0,5đ

( ) ( )
1 2 0x x x⇔ − − =
.
0,5đ
Suy ra:
2 0, 1 0 1; 4x x x x x− = − = ⇔ = =
.
0,5đ
KL: Nghiệm PT là

1; 4.x x= =
0,25đ
b)
3 4 12 (1)
10 3 6 30(2)
x y z
HPT
x y z
− − =

⇔

+ + =

.
0,5đ
Trừ (2) cho (1) ta được:
( )
7 18x y z+ + =
1,0đ
KL :
18
7
x y z+ + =
không đổi.
0,5đ
Câu 3
a) HS vẽ đúng đồ thị
y x=
. 0,5đ

Ta có:
( ) ( )
1;1 , 3;3A B−
. 0, 5đ
PT đường thẳng AB:
1 3
2 2
y x= +
. 1,0đ
b) Nhận xét tam giác OAB vuông tại O. 0,5đ
Hạ OH vuông góc với AB
2 2 2
1 1 1
OH OA OB
⇒ = +
. 0,5đ
KL: Khoảng cách cần tìm là
3 5
5
. 1,0đ
Câu 4
a)
F
E
C
B
O
A
P
D

0,5đ
sđ DCE =
1
2
sđ DE, sđ DPE =
1
2
sđ(DE - CF), sđ CAF =
1
2
sđ CF
0,5đ
Do đó sđ(DPE + CAF) =
1
2
sđ(DE - CF + CF) =
1
2
sđ DE
0,5đ
Vậy: DCE = DPE + CAF
0,25đ
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Ta có: BA
2
= BC . BD

⇒

BC BA
BA BD
=
nhưng BA = BP
0,5đ
Do đó:
;
BC BP
BP BD
=
PBC = PBD
0,5đ
Vậy: tam giác PBC và DBP đồng dạng 0,25đ
b)
L
M
Y
X
D
E
F
K
I
J
B
A
C
O

L
Y
M
X
F
E
D
J
I
K
A
CB
0,5đ
Vẽ các tia AO, BO, CO lần l;ượt cắt BC, CA, AB tại D, E, F ta có:
(1) OI ≤ OD ; OJ ≤ OE ; OK ≤ OF
0,5đ
Qua O vẽ các đường thẳng song song với AB và AC lần lượt cắt BC tại các
điểm X và Y. Qua X vẽ đường thẳng song song với CF cắt AB tại M; qua Y vẽ
đường thẳng song song với BE cắt AC tại L. Ta có các kết quả sau:
0,5đ
(2) OE = YL ( OELY là hình bình hành); OF = XM 0,25đ
(3) ∆OXY ≈ ∆ ABC ⇒ OX < OY < XY mà 2OD < OX+OY ⇒ OD < XY
0,25đ
(4) ∆MBX ≈ ∆ FBC ⇒ MX < BX (vì ∆FBC cũng có cạnh BC lớn nhất)
0,25đ
(5) ∆LYC ≈ ∆ EBC ⇒ YL < YC (vì ∆EBC cũng có cạnh BC lớn nhất)
0,25đ
Từ 5 kết quả suy luận trên ta được:
OI + OJ + OK ≤ OD + OE + OF < XY + YC + XM = BC

0,5đ
Câu 5 Ta có hệ phương trình :

2 2
x+y+z=1 x+y = 1-z
2x+2y-2xy+z =1 2xy = z +2(x+y)-1
 
⇔
 
 

2 2
x + y = 1 - z
2xy = z - 2z + 1 = (1- z)

⇔



2
2xy = (x + y)⇔

⇔
2 2
x + y = 0 x = y = 0 z = 1⇔ ⇒
.
Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1).
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
MA TRẬN ĐỀ
Nội dung – Chủ đề
Mức độ
Tổng
Thông hiểu Vận dụng
thấp
Vận dụng cao
KQ TL KQ TL KQ TL
Số học
C1
4
1
4
Đại số
C2a,C3a
4
C3b
2
C2b,C5
4
5
10
Hình học
C4a
3
C4b
3
2
6

Tổng
2
4
3
9
3
7
8
20
Người ra đề: Nguyễn Thái Hòa.
Đơn vị: Trường THCS Phúc Thịnh.