Đề thi HSG Toán lớp 9 cấp huyện - Mã đề 318 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CÂU 3 SOHOCHSG9HP318 HB NQ LC</b>

<b>1HB.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x</b>3_{y + xy}3_{- 3x - 3y = 17}
<b>2HB. Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 2(x + y) + xy = x</b>2_{+ y}2

<b>3HB. </b>Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn ab = cd. Chứng minh rằng số

k k k k

A a b c d _{là hợp số với mọi số nguyên dương k.}

<i><b>4HB. Tìm tất cả các số nguyên tố n để </b></i>

n n

2 3

11


là một số chính phương.

<b>5HB.</b> Tìm nghiệm ngun của phương trình: x4 y4 z4 t4 2020.xyzt

<b>6HB. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: </b>x y xy x   2 y2

<b>7HB.</b> Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 0 ln tồn tại số tự nhiên A có n chữ số mà
các chữ số của A là 2 hoặc 5 sao cho A chia hết cho 2 .n

<b>8HB.</b>

Gọi S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n.

Hãy tìm số tự nhiên n biết S(n) = n

2

_{– 2017n + 10 và 0 < S(n)}

_<i>_n</i>

<b>9HB.</b> Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên dương bất kỳ thì khi viết 124<i>n</i>

dưới dạng
thập phân thì ta ln có chữ số hàng chục là một số lẻ.

<b>10HB.</b> Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn ab = cd. Chứng minh rằng số

k k k k

A a b c d _{là hợp số với mọi số nguyên dương k.}

<b>11HB.</b> Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn 2

k 4_vàk216_{là các số}
nguyên tố thì k chia hết cho 5.

<b>12HB.</b><i> Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:</i>



2

<i>x</i>

1 2

 

<i>x</i>

2 2

 

<i>x</i>

3 2

 

<i>x</i>

4



5

<i>y</i>

11879













.

<b>13HB.</b>

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y ; z) thỏa mãn: xyz = x

2

_{- 2z + 2}

<b>14HB.</b> Chứng minh rằng 22p_{+ 2}2q_{khơng thể là số chính phương, với mọi p, q là các số nguyên}

không âm

<b>15HB.</b> Giả sử các số hữu tỉ x, y thỏa mãn phương trình x5_{+ y}5_{= 2x}2_y2_{. Chứng minh 1 – xy là}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>16NQ1.</b> Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3_{là một số nguyên dương và biết}

. Chứng minh rằng: là hợp số.

<b>17NQ2. a.CMR:Víi sè tù nhiªn n > 1 th× sè A = n </b>6_{- n} 4_{+ 2n} 3 _{+ 2n}2_{không là số chính phơng.}

b. Các số a và b đều là tổng của hai số chính phơng thì tích a.b

cũng là tổng của hai số chính phơng.

<b>18NQ3. Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho </b><i> A= </i>( .4<i>n</i> <i>n</i>3 ) 7<i>n</i> 

<i><b>19NQ4. Tìmtấtcảcácsốnguyêntốp, qsaochotồntạisốtựnhiênmthỏamãn :</b></i>

2 ₁

.
1

<i>pq</i> <i>m</i>

<i>p q</i> <i>m</i>




 

<b>20NQ5.</b>

Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n

2

_{. Chứng minh}

rằng n

2

_{+ m khơng là số chính phương.}

<b>21NQ6. . Cho các số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a</b>2_{+ a = 3b}2_{+ b. Chứng minh rằng a – b và 2a + 2b + 1}
đều là số chính phương.

<i><b>22NQ7. Cho a = 11…1 ; b = 100…05</b></i>

<i> 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0. Chứng minh </i>

√

<i>ab+1</i>

<i> là số tự nhiên.</i>

<b> 23NQ8. Tìm số tự nhiên n sao cho </b><i>A n</i> 2 <i>n</i> 6_{là số chính phương.}

<b>24NQ9. Cho B = </b>  1
11...122...25

<i>n</i> <i>n</i> ; B là một số gồm n chữ số 1, n + 1 chữ số 2 và một chữ số 5.

Chứng minh B là số chính phương.

<i><b>25NQ11. a. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính</b></i>
phương.

b. Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự
tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:

12345678910111213141516...9989991000.

Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2.

Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?

<b>26NQ12. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b</b>2_{) chia hết cho (a}2_{b – 1).}

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>27NQ13. Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 11 đều là số chính phương.</b>

<i><b>28NQ14. Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n</b>2_{. Chứng minh rằng n}2</i>

<i>+ m khụng l s chớnh phng.</i>

<b>29NQ15. Cho số nguyên dơng n và các số A = </b> 2
444....4

<i>n</i>

(A gåm 2n ch÷ sè 4); B =

888...8

<i>n</i>

  
(B
gåm n ch÷ sè 8). Chøng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phơng.

<b>31NQ17. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p</b>4_{là một số chính}

phương.

<b>32NQ18. Cho A = 111…….111 ( 2m chữ số 1); B = 111…….111 (m + 1 chữ số 1); </b>

C = 666…….666 (m chữ số 6) . Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương
<b>33NQ19. Tìm ba số ngun tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.</b>

<b>34LCDHK01. Tìm các số có 4 chữ số </b>

<i>abcd</i>

thỏa mãn:

<i>abcd=252</i>
<i>cd=3 cd −10</i>

¿

{_{¿ ¿ ¿}

¿

<i><b>35LCDHK02. Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn </b></i>

2

<i>a</i>

2

 

<i>a</i>

3

<i>b b</i>

2



. Chứng minh rằng

2

<i>a</i>



2

<i>b</i>



1

_{là số chính phương.}

<b>36LCHD. Tìm các số nguyên x để: </b> 199 <i>x</i>2 2<i>x</i>2_{là một số chính phương chẵn.}

<b>37LCTH1. </b>Cho m = 11...11(2k chữ số 1), n = 44...44 (k chữ số 4). Chứng minh m+n+1 là số chính phương.
<b>38LCTH2. Tìm các số ngun dương a,b,c. Biết a</b>3_-b3_-c3_{=3abc và a}2_=2(b+c)

<b>39LCTH3. Chứng minh (12</b>2n+1₊₁₁n+2_{) chia hết cho 133 với mọi số tự nhiên n}
<i><b>40LCTP1. Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn </b></i>

2

<i>a</i>

2

 

<i>a</i>

3

<i>b</i>

2



<i>b</i>

.

Chứng minh rằng

2

<i>a</i>



2

<i>b</i>



1

_{là số chính phương.}

<b>41LCTP2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:</b>3<i>x</i> 2<i>y</i> 1

<b>42LCTP3. Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn: </b>



x y y z z x

 



 





  x y z

. Chứng minh x + y + z chia hết cho 27

<b>43LCVN. Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)</b>

Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương

<b>44LCVN.</b> Tìm số ngun tố biết rằng nó vừa là tổng, vừa là hiệu của hai số nguyên tố

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>46HA02. Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a; b) sao cho </b></i>
2 ₂
2


<i>a</i>

<i>ab</i> _{là số nguyên}

<b>47HA03. Tìm x, y nguyên biết: x</b>2_{+ y}2_{= 2x + y + 5}

<i><b>48HA04. Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n</b>2</i>_.

<i>Chứng minh rằng n2_{+ m không là số chính phương.}</i>

<b>49HA05. Cho x,y, z là các số nguyên thỏa mãn </b>



<i>x y</i>

 

<i>y z</i>

 

<i>z x</i>



 <i>x</i> <i>y</i>  <i>z</i>
.Chứng minh x + y + z chia hết cho 27

<b>50HA06. a) Cho A = k</b>4_{+ 2k}3

_

_16k2

_

_{2k + 15;k  Z. Tìmđiềukiệncủa k để A chia hếtcho 16.}

b) Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có ba chữ số, cịn mẫu số là tổng các
chữ số của tử số.

<b> 51HA07. Tìm các số nguyên n sao cho B = n</b>2_{– n + 13 là số chính phương.}

<b>52HA08. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc thỏa mãn </b>

2
2
1
(n 2)
<i>abc n</i>
<i>cba</i>
  


 


 _{với n  N và n > 2}

<b>54HA10. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì số A = n</b>6_{- n}4_+2n3_{+ 2n}2_{khơng thể là}

<b>số chính phương </b>

<b>55HA11. Chứng minh rằng nếu ba số a, a + k và a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì</b>
k chia hết cho 6

<b>57HA13. Giả sử x, y là các số dương thoả mãn đẳng thức: </b>

Tìm giá trị của x và y để biểu thức: đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.

<i><b>58HA14. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho </b></i>

√

<i>1+ p+ p</i>

2

+

<i>p</i>

3

+

<i>p</i>

4 là số hữu tỷ.

<b>59HA15. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 4x</b> 2 - 8y 3 + 2z 2 + 4x – 4 = 0
<i><b> 60HA16. Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:</b></i>

2014
2014
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>



là số hữu tỉ và

<i>x</i>

2



<i>y</i>

2



<i>z</i>

2 là số nguyên tố.

<b>61HA17. Giả sử a, b, c, d, là bốn số nguyên bất kì. Chứng minh rằng: </b>

(b – a)(c – a)(d – a)(d – b)(d – c)(c – b) chia hết cho 12.
10

<i>y</i>

<i>x</i>
)
1
)(
1

( 4 4




 <i>x</i> <i>y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>62HA18.</b>

Tìm số tự nhiên

<i>n</i>

để

<i>n </i>18

và

<i>n </i> 41

là hai số chính phương.

</div>

<!--links-->