Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông- Hình học 9-Chương I- Nguyễn Quốc Tuấn – Xuctu.com

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông </b>

<b>Chủ đề 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông </b>

<b>Phương pháp: </b>

+Trong một tam giác vng, bình phương mỗi cạnh

góc vng bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu

của cạnh góc vng đó lên cạnh huyền.

2 2

' , '

<i>b</i> ₌<i>ab</i> <i>c</i> ₌<i>ac</i>

+ Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng

tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền

Công thức: 2

'. '

<i>h</i> ₌<i>b c</i>

+ Trong một tam giác vng, tích hai cạnh góc vng bằng tích của cạnh huyền

với đường cao tương ứng

Công thức: <i>ah</i>₌<i>bc</i>

+ Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng các

nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng

Cơng thức: 2 2 2

1 1 1

<i>h</i> =<i>b</i> +<i>c</i>

<b> </b>

<b>Hướng dẫn giải </b>

<b>Bài tập mẫu 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH. </b>
Biết: <i>BH</i> = 9<i>cm CH</i>, = 16<i>cm</i>_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a. Ta có <i>BC</i>₌<i>BH</i>₊<i>HC</i>_{= +}9 16₌25

(

<i>cm</i>

)



Tam giác ABC vuông ở A, <i>AH</i> _⊥<i>BC</i>_{(theo giả thiết). Sử dụng hệ thức về góc}

vng và hình chiếu của nó lên cạnh huyền ta có :

2

. 9.25 225

<i>AB</i> ₌<i>BH BC</i>₌ ₌ ⇒ <i>AB</i>₌ 225₌15

(

<i>cm</i>

)

_.

2

. 16.25 400

<i>AC</i> ₌<i>CH CB</i>₌ ₌ 

Từ đây suy ra <i>AC</i>₌ 400₌20

( )

<i>cm</i>

Chú ý: Sau khi tính được AB (hoặc AC) ta có thể sử dụng định lý Pitago để tính

cạnh cịn lại.

b. Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao thuộc cạnh huyền và hai hình chiếu của

hai góc vng trên cạnh huyền

Ta có: 2

(

)

. 9.16 144 144 12

<i>AH</i> ₌<i>BH HC</i>₌ ₌ _⇒<i>AH</i> ₌ ₌ <i>cm</i>

Cách khác: Trong tam giác vng ABH, theo Pitago

Ta có : 2 2 2 2 2

15 9 225 81 144

<i>AH</i> ₌<i>AB</i> ₋<i>BH</i> ₌ ₋ ₌ ₋ ₌ ⇒ <i>AH</i>₌ 144₌12

( )

<i>cm</i>

<b>Hướng dẫn giải </b>

a. Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác vng AHB vng tại H

Ta có: 2 2 2 2 2

6 4, 5 56, 25

<i>AB</i> =<i>AH</i> +<i>BH</i> = + =

<b>Bài tập mẫu 2</b>: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH .

a. Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm, Tính AB, AC, BC,HC

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Suy ra: <i>AB</i>= 56, 25 =7, 5

( )

<i>cm</i>

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

vuông ABC vuông tại A, AH là chiều

cao ta được: 2 2 2

1 1 1

<i>AH</i> = <i>AB</i> + <i>AC</i>

Suy ra :

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 7, 5 6 20, 25 1

. 7, 5 .6 2025 100

<i>AB</i> <i>AH</i>
<i>AC</i> <i>AH</i> <i>AB</i> <i>AB AH</i>

− −

= − = = = =

Vậy: 2
100

<i>AC</i> = _{hay nói cách khác:}<i>AC</i>= 100=10

( )

<i>cm</i>

Theo định lý Pi-Ta-Go ta có: 2 2 2 2 2

7, 5 10 156, 25

<i>BC</i> =<i>AB</i> +<i>AC</i> = + =

Suy ra : <i>BC</i>= 156, 25=12, 5

( )

<i>cm</i>

Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có: 2
.

<i>AC</i> =<i>HC BC</i> ⇒

( )

2 2

10
8
12, 5

<i>AC</i>

<i>HC</i> <i>cm</i>

<i>BC</i>

= = =

b. Trong tam giác vuông ABH vuông tại H.

Ta có: 2 2 2

<i>AB</i> = <i>AH</i> +<i>BH</i> 

2 2 2 2 2

6 3 27

<i>AH</i> <i>AB</i> <i>BH</i>

⇔ = − = − =

Vậy: <i>AH</i> = 27≈5, 2

( )

<i>cm</i>

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao ta có: 2 2 2

1 1 1

<i>AH</i> = <i>AB</i> + <i>AC</i>

Suy ra

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 36 27 1

. 27.37 108

<i>AB</i> <i>AH</i>

<i>AC</i> <i>AH</i> <i>AB</i> <i>AB</i> <i>AH</i>

− −

= − = = =

Do đó: 2

( )

108 108 10, 39

<i>AC</i> = ⇒<i>AC</i> = = <i>cm</i>

Mặt khác: 2 2 2

36 108 144

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

( )

2

2 108

. 9

12

<i>AC</i>

<i>AC</i> <i>BC CH</i> <i>CH</i> <i>cm</i>

<i>BC</i>

= ⇔ = = =

<b>Hướng dẫn giải </b>

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác

AHB vuông tại H

Ta có: 2 2 2 2 2

9 12 225

<i>AB</i> = <i>AH</i> +<i>BH</i> = + =

Vậy: <i>AB</i>= 225=15

( )

<i>cm</i>

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao ta có: 2 2 2

1 1 1

<i>AH</i> = <i>AB</i> + <i>AC</i>

Suy ra

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 225 144 1

. 225.144 400

<i>AB</i> <i>AH</i>

<i>AC</i> <i>AH</i> <i>AB</i> <i>AB</i> <i>AH</i>

− −

= − = = =

Do đó: 2

( )

400 400 20

<i>AC</i> = ⇒ <i>AC</i>= = <i>cm</i>

Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, AB và AC là hai cạnh góc vng của tam

giác nên: 1 1

( )

2

. 15.20 150

2 2

<i>S</i>= <i>AB AC</i>= = <i>cm</i>

<b>Hướng dẫn giải </b>

<b>Bài tập mẫu 4</b>: Cho tam giác ABC, biết BC = 7,5 cm, CA= 4,5cm, AB= 6cm

a. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính đường cao AH của tam giác ABC ;

b. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH

<b>Bài tập mẫu 3</b>: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH, tính

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

a. Tam giác ABC là tam giác vuông.

Thật vậy : 2 2 2

7, 5 =4, 5 +6 ⇔5625=5625

Thỏa mãn hệ thức 2 2 2

<i>BC</i> =<i>AB</i> +<i>AC</i>

Do đó ∆ABC là tam giác vuông tại A

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 6 4, 5 56, 25 1

. 6 .4, 5 729 12, 96

<i>AB</i> <i>AC</i>
<i>AH</i> <i>AB</i> <i>AC</i> <i>AB</i> <i>AC</i>

+ +

= + = = = =

Vậy 2

12, 96

<i>AH</i> = ⇒<i>AH</i> = 12, 96=3, 6

( )

<i>cm</i> _.

b. Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AHB vuông tại H ta được:

2 2 2 2 2 2 2 2

6 3, 6 23, 04

<i>AB</i> = <i>AH</i> +<i>BH</i> ⇒<i>BH</i> = <i>AB</i> −<i>AH</i> = − =

Do đó: <i>BH</i> = 23, 04=4,8

( )

<i>cm</i>

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆AHC vuông tại H ta được:<i>_AC</i>2 = <i>_AH</i>2+<i>_HC</i>2

2 2 2 2 2

4, 5 3, 6 7, 29

<i>HC</i> <i>AC</i> <i>AH</i>

⇒ ₌ ₋ ₌ ₋ ₌ ⇒<i>HC</i>= 7, 29=2, 7

( )

<i>cm</i>

<b>Hướng dẫn giải </b>

Khơng mất tính tổng qt gọi các cạnh của tam giác vng có độ dài lần lượt như

hình vẽ.

Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ABC vuông tại B, AH là đường cao
<b>Bài tập mẫu 5</b>: Cho tam giác vng với các cạnh góc vng lần lượt là 7 và

24. Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta được:

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1

.

<i>AB</i> <i>AC</i>

<i>AH</i> <i>AB</i> <i>AC</i> <i>AB</i> <i>AC</i>

+

= + =

2 2

2 2

7 24 625 1

7 .24 28224 45,1584

+

= = = ⇒ 2

45,1584

<i>AH</i> =

Do đó: <i>AH</i> = 45,1584 =6, 72

Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành các đoạn HB, HC.

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vng AHC vng tại H, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

24 6, 72 530,8416

<i>AC</i> =<i>AH</i> +<i>HC</i> ⇔<i>HC</i> = <i>AC</i> −<i>AH</i> = − = ⇒ <i>HC</i>= 530,8416=23, 04_.

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vng AHB vng tại H, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

7 6, 72 3, 8416

<i>AB</i> = <i>AH</i> +<i>BH</i> ⇔<i>BH</i> = <i>AB</i> −<i>AH</i> = − = ⇒<i>BH</i> = 3, 8416 =1, 96

( )

<i>cm</i>

<b>Hướng dẫn giải </b>

Khơng mất tính tổng qt gọi các cạnh của tam giác vng có độ dài lần lượt như

hình vẽ.

Gọi độ dài của <i>AB</i>=<i>x cm</i>

( )

_{, khi đó độ dài của} 5

( )

12

<i>AC</i>= <i>x cm</i>

Do tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên áp dụng định lý Pi-Ta-Go ta được:

2

2 2 2 2 2 5 2 25 2 2 25

26 676 1 676

12 144 144

<i>BC</i> = <i>AB</i> +<i>AC</i> ⇔ =<i>x</i> +_ <i>x</i>_ ⇔ = <i>x</i> + <i>x</i> ⇔<i>x</i> _ + _=

   

<b>Bài tập mẫu 6:</b> Cho một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vng là 5
12,

cạnh huyền là 26cm. Tính độ dài các cạnh góc vng và hình chiếu của cạnh

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

2 169 2

. 676 576

144

<i>x</i> <i>x</i>

⇔ = ⇔ = ⇔ <i>x</i>= 576=24

( )

<i>cm</i>

Vậy AB= 24(cm) và AC = 5 .24 10

( )

12

<i>cm</i>

= .

Ta lại có

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1

.

<i>AB</i> <i>AC</i>

<i>AH</i> <i>AB</i> <i>AC</i> <i>AB</i> <i>AC</i>

+

= + =

2 2

2 2

24 10 676 169

24 .10 57600 14400

+

= = =

Nên: 14400 120

( )

169 13

<i>AH</i> = = <i>cm</i>

Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành các đoạn HB, HC.

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHC vuông tại H ta có:

2

2 2 2 2 2 2 2 120 2500

10

13 169

<i>AC</i> =<i>AH</i> +<i>HC</i> ⇔<i>HC</i> =<i>AC</i> −<i>AH</i> = −_ _ =

 

Do đó: 2500 50 3,85

( )

169 13

<i>HC</i>= = ≈ <i>cm</i> _.

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vng AHB vng tại H ta có:

2

2 2 2 2 2 2 2 120 82944

24

13 169

<i>AB</i> = <i>AH</i> +<i>BH</i> ⇔<i>BH</i> = <i>AB</i> −<i>AH</i> = −_ _ =

 

Do đó: 82944 288 22,15

( )

169 13

<i>BH</i> = = ≈ <i>cm</i>

<b>Bài tập mẫu 7</b>: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết 5

7

<i>AB</i>

<i>AC</i>= , đường cao

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Hướng dẫn giải </b>

Ta có: 5 5

7 7

<i>AB</i>

<i>AB</i> <i>AC</i>

<i>AC</i> = ⇔ = .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

ta có : 2 2 2

1 1 1

<i>AH</i> = <i>AB</i> + <i>AC</i>

2 2
2 2
.
<i>AB</i> <i>AC</i>
<i>AB</i> <i>AC</i>
+
=
2
2 2
2
2 2
4
2
5 25
1

1 7 49 74

25 25

5

. ₄₉

7

<i>AC</i> <i>AC</i> <i>AC</i>

<i>AH</i> <i>AC</i>
<i>AC</i>
<i>AC</i> <i>AC</i>
   
+ +
   
   
⇒ ₌ ₌ ₌
 
 
 
Do đó:
2
2

2 2 2 2

1 74 1 74 15 .74

666

25 15 25 25

<i>AC</i>

<i>AH</i> = <i>AC</i> ⇔ = <i>AC</i> ⇔ = = ⇔ 666 25,81

( )

<i>AC</i> = ≈ <i>cm</i>

Suy ra: 5 5.25,81 18, 44

(

)

7 7

<i>AB</i>₌ <i>AC</i>₌ ₌ <i>cm</i>

Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành các đoạn HB, HC.

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vng AHC vng tại H

Ta có: 2 2 2 2 2 2

666 225 441

<i>AC</i> =<i>AH</i> +<i>HC</i> ⇔<i>HC</i> = <i>AC</i> −<i>AH</i> = − = ⇒ <i>HC</i>= 441=21

( )

<i>cm</i> _.

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vng AHB vng tại H

Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2

18, 44 15 115, 0336

<i>AB</i> =<i>AH</i> +<i>BH</i> ⇔<i>BH</i> = <i>AB</i> −<i>AH</i> = − =

Do đó: <i>BH</i> = 115, 0336≈10, 73

( )

<i>cm</i>

<b>Bài tập mẫu 8</b>: Cho hình thang cân ABCD (AB// CD), biết AB=26cm, AD

=10cm và đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC. Tính diện tích của

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Hướng dẫn giải </b>

Gọi các đỉnh của hình thang cân như hình vẽ.

Hạ chiều cao CH của hình thang cân ABCD.

Do ABCD là hình thang cân nên:<i>AD</i>=<i>CB</i>=10

( )

<i>cm</i>

Mặt khác: tam giác ACB là tam giác vuông tại C(theo giả thiết )

Do đó: Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác ACB ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

26 10 576

<i>AB</i> = <i>AC</i> +<i>BC</i> ⇔ <i>AC</i> =<i>AB</i> −<i>BC</i> = − = ⇔ <i>AC</i>= 576=24

( )

<i>cm</i>

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB, với CH là đường cao ta được:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 24 10 676

. 24 .10 57600

<i>AC</i> <i>CB</i>

<i>CH</i> <i>CB</i> <i>AC</i> <i>AC CB</i>

+ +

= + = = = ⇒ 57600 9, 23

( )

676

<i>CH</i> = ≈ <i>cm</i>

Lại có:

( )

2 2

2 10

. 3,85

26

<i>CB</i>

<i>CB</i> <i>HB AB</i> <i>HB</i> <i>cm</i>

<i>AB</i>

= ⇒ ₌ ₌ ₌

Mặt khác: <i>DC</i>= <i>AB</i>−2<i>HB</i>=26−2.2,85=20, 3

( )

<i>cm</i>

Nên diện tích hình thang cân ABCD là: 20,3 26

( )

2

. 9, 23. 213, 67

2 2

<i>DC</i> <i>AB</i>

<i>S</i>=<i>CH</i> + ≈ + ≈ <i>cm</i>

<b>Hướng dẫn giải </b>

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có :

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 12 16 400

12 .16 36864

<i>AH</i> <i>AB</i> <i>AC</i>

+

= + = =

<b>Bài tập mẫu 9:</b> Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 12cm, AC =16cm, phân

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Vậy: 2 36864 36864

( )

9, 6

400 400

<i>AH</i> = ⇒<i>AH</i> = = <i>cm</i>

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong ∆ABC , ta được:

2 2 2 2 2

12 16 400

<i>BC</i> = <i>AB</i> +<i>AC</i> = + = ⇒ <i>BC</i>=20

( )

<i>cm</i>

Ta lại có:

( )

2 2

2 12 144

. 7, 2

20 20

<i>AB</i>

<i>AB</i> <i>BH BC</i> <i>BH</i> <i>cm</i>

<i>BC</i>

= ⇒ ₌ ₌ ₌ ₌

Ngoài ra:

( )

2 2

2 16

. 12,8

20

<i>AC</i>

<i>AC</i> <i>HC BC</i> <i>HC</i> <i>cm</i>

<i>BC</i>

= ⇒ ₌ ₌ ₌

Theo tính chất của đường phân giác ta được: <i>DB</i> <i>DC</i>

( )

1

<i>AB</i> = <i>AC</i>

Mà <i>DC</i> =<i>BC</i>−<i>BD</i>₍₂₎

Thay (2) vào (1) ta được hệ thức: 20

12 16

<i>DB</i> <i>BC</i> <i>BD</i> <i>DB</i> <i>BD</i>

<i>AB</i> <i>AC</i>

− −

= ⇔ =

(

)

( )

16<i>BD</i> 20 <i>BD</i> 12 16<i>BD</i> 240 12<i>BD</i> 28<i>BD</i> 240 <i>BD</i> 8, 57 <i>cm</i>

⇔ = − ⇔ = − ⇔ = ⇔ ≈

Nhìn vào hình vẽ ta được: <i>HD</i>=<i>BD</i>−<i>BH</i> ≈8, 57−7, 2≈1, 37

( )

<i>cm</i>

<b>Hướng dẫn giải </b>

Ta có: <i>BC</i>=<i>BD</i>+<i>DC</i>= +15 20=35

( )

<i>cm</i>

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có tỉ lệ thức:

( )

15 20 3 4 3

1
4

<i>DB</i> <i>DC</i>

<i>AB</i> <i>AC</i>

<i>AB</i> = <i>AC</i> ⇔ <i>AB</i> = <i>AC</i> ⇔ <i>AB</i> = <i>AC</i> ⇔ =

<b>Bài tập mẫu 10:</b> Cho tam giác ABC vuông ở A, phân giác AD đường cao AH.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ABC vuông tại A ta được: 2 2 2

( )

2

<i>BC</i> = <i>AB</i> +<i>AC</i>

Thay (1) vào (2) ta được:

2

2 3 2 9 2 2 2

4 16

<i>BC</i> =_ <i>AC</i>_ +<i>AC</i> ⇔ <i>AC</i> +<i>AC</i> =<i>BC</i>

 

2

2 2 2 2 2

9 25 35 .16

1 35 35 784

16 16 25

<i>AC</i> <i>AC</i> <i>AC</i>

 

⇔ +  = ⇔ = ⇔ = =

  ⇔ <i>AC</i> = 784 =28

( )

<i>cm</i>

Từ đây suy ra: 3. 3.28 21

( )

4 4

<i>AB</i>= <i>AC</i>= = <i>cm</i>

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH

Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 21 28 1225 25

. 21 .28 3345744 7056

<i>AB</i> <i>AC</i>

<i>AH</i> <i>AB</i> <i>AC</i> <i>AB</i> <i>AC</i>

+ +

= + = = = =

Từ đây suy ra: 7056 84 16,8

( )

25 5

<i>AH</i> = = = <i>cm</i>

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHC vuông tại H ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

28 16,8 501, 76

<i>AC</i> =<i>AH</i> +<i>HC</i> ⇔<i>HC</i> =<i>AC</i> −<i>AH</i> = − = ⇒ <i>HC</i>= 501, 76=22, 4

( )

<i>cm</i> _.

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHB vuông tại H ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

21 16,8 158, 76

<i>AB</i> = <i>AH</i> +<i>BH</i> ⇔<i>BH</i> = <i>AB</i> −<i>AH</i> = − = ⇒<i>BH</i> = 158, 76=12, 6

( )

<i>cm</i>

<b>Hướng dẫn giải </b>

Ta có: 1 4

4

<i>HB</i>

<i>HC</i> <i>HB</i>

<i>HC</i> = ⇔ =

<b>Bài tập mẫu 11</b>: Cho tam giác ABC vng ở A, đường cao AH, tính chu vi

của tam giác ABC. Biết AH = 14 cm, 1
4

<i>HB</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABC, ta có :

2
.

<i>AH</i> =<i>HB HC</i>

2

2 2 14

14 .4 49

4

<i>HB</i> <i>HB</i> <i>HB</i>

⇔ = ⇔ = =

Vậy <i>HB</i>=7

( )

<i>cm</i> _và<i>HC</i>=28

( )

<i>cm</i> _.

Từ đó suy ra: <i>BC</i>=28+ =7 35

( )

<i>cm</i>

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác AHB vng tại H, ta có:

2 2 2 2 2

14 7 245

<i>AB</i> = <i>AH</i> +<i>HB</i> = + = ⇒<i>AB</i>≈15, 65

( )

<i>cm</i>

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác AHC vng tại H, ta có:

2 2 2 2 2

14 28 980

<i>AC</i> =<i>AH</i> +<i>HC</i> = + = ⇒<i>AC</i>=31, 3

( )

<i>cm</i>

Do đó: Chu vi tam giác ABC là: <i>C</i>=<i>AB</i>+<i>BC</i>+<i>AC</i>=31, 3 15, 65+ +35=81, 95

( )

<i>cm</i>

<b>Hướng dẫn giải </b>

a. Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆DAB vng tại A

Ta có: 2 2 2 2 2

15 20 625

<i>BD</i> = <i>AB</i> +<i>AD</i> = + =

Vậy <i>BD</i>= 625 =25

( )

<i>cm</i>

Trong tam giác DAB vuông tại A, AO là đường cao của đường thẳng.
<b>Bài tập mẫu 12</b>: Cho hình thang vng ABCD, 0

90

<i>A</i>₌<i>D</i>₌ _{, AB = 15cm, AD =}

20cm. Các đường chéo AC và BD vng góc với nhau ở O

a. Tính độ dài các đoạn thẳng OB, OD b. Tính độ dài đường chéo AC

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Nên ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 15 20 625

. 15 .20 90000

<i>AB</i> <i>AD</i>

<i>OA</i> <i>AB</i> <i>AD</i> <i>AB AD</i>

+ +

= + = = =

Từ đây suy ra: 90000 300 12

( )

625 25

<i>OA</i>= = = <i>cm</i>

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AOD vuông tại O, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

20 12 256

<i>AD</i> = <i>AO</i> +<i>OD</i> ⇒<i>OD</i> = <i>AD</i> −<i>AO</i> = − = ⇒<i>OD</i>= 256=16

( )

<i>cm</i>

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AOB vng tại O, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

15 12 81

<i>AB</i> = <i>AO</i> +<i>OB</i> ⇒<i>OB</i> = <i>AB</i> −<i>AO</i> = − = ⇒<i>OB</i>= 81=9

( )

<i>cm</i>

b. Ta có: <i>AC</i>= <i>AO</i>+<i>OC</i>

Do ABCD là hình thang nên: ∆<i>OBA</i>_∽∆<i>ODC</i>

Từ đó ta có tỉ lệ thức: . 12.16 21, 33

( )

9

<i>OB</i> <i>OD</i> <i>OA OD</i>

<i>OC</i> <i>cm</i>

<i>OA</i>=<i>OC</i> ⇔ = <i>OB</i> = =

Vậy: <i>AC</i>=<i>OA</i>+<i>OC</i>≈ +12 21, 33=33, 33

( )

<i>cm</i>

c. Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ODC vng tại O ta có:

2 2 2 2 2

16 21, 33 277, 33

<i>DC</i> =<i>OD</i> +<i>OC</i> = + = ⇒<i>DC</i> = 277, 33≈16, 65

( )

<i>cm</i>

Do đó: 1

(

)

1

(

)

( )

2

. 20. 15 16, 65 316, 5

2 2

<i>ABCD</i>

<i>S</i> = <i>AD</i> <i>AB</i>+<i>DC</i> ≈ + = <i>cm</i>

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Bài tập mẫu 13:</b> Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác trong của góc B

cắt đường chéo AC thành hai đoạn lần lượt có độ dài là 42

7m và
5
5

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Trong ∆ABC gọi BE là đường phân giác của <i>B</i>_.

Theo tính chất của đường phân giác

Ta có: <i>AE</i> <i>CE</i> <i>AE</i> <i>AB</i>

( )

1

<i>AB</i> =<i>CB</i> ⇔ <i>CE</i> = <i>CB</i> .

Thay vào ta được: <i>AE</i> <i>AB</i>

<i>CE</i> = <i>CB</i>

2
4

3
7

5 ₄

5
7

<i>AB</i> <i>AB</i>

<i>CB</i> <i>CB</i>

⇔ = ⇔ = ⇔ 2₂ 9

16

<i>AB</i>

<i>CB</i> =

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ABC vuông tại B ta có: <i>_AC</i>2 = <i>_AB</i>2+<i>_BC</i>2

Xét tỉ số:

2 2 2 2

2 2 2

9 16 5

16 4

<i>AC</i> <i>AB</i> <i>BC</i>

<i>CB</i> <i>CB</i>

+ +

= = = ⇒ 5

4

<i>AC</i>

<i>CB</i> =

Mặt khác: 42 55 10

7 7

<i>AC</i>=<i>AE</i>+<i>EC</i>= + = _{. Thay vào ta được:}<i>BC</i>=8

⇒ 3 3.8 6

4 4

<i>BC</i>

<i>AB</i>= = = _{. Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 6m và 8m.}

<b>Hướng dẫn giải </b>

Gọi <i>P P P</i>1; 2; 3 lần lượt là chu vi của tam giác AHB, CHA và CAB.

Dễ thấy: ∆<i>AHB</i>_∽∆<i>CHA</i>_.

Nên ta có: 1

2

<i>P</i> <i>AB</i>

<i>P</i> = <i>CA</i>

⇒

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3

4 3 4 3 4 3 4 5

<i>AB</i> <i>AB</i> <i>AC</i> <i>AB</i> <i>AC</i> <i>AB</i> <i>AC</i> <i>BC</i>

<i>CA</i>

+

= ⇒ ₌ ⇒ ₌ ₌ ₌

+

Từ đây ta có các tỉ lệ tương ứng :

3 4 5

<i>AB</i> <i>AC</i> <i>BC</i>

= =

<b>Bài tập mẫu 14:</b> Cho ∆ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi ∆ABH là

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Mặt khác : ∆<i>AHB</i>_∽∆<i>CHA</i>∽ ∆<i>CAB</i>_{. Ta cũng có được:}

1: 2: 3 : : 3 : 4 : 5

<i>P</i> <i>P</i> <i>P</i> =<i>AB AC BC</i>=

Do đó : Khi Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là

40cm thì chu vi tam giác ABC là 50cm.

<b>Hướng dẫn giải </b>

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ABC vuông tại A ta được:

( )

2 2 2 2 2

6 8 100 10

<i>BC</i> = <i>AB</i> +<i>AC</i> = + = ⇒<i>BC</i>= <i>cm</i>

Theo tính chất của đường phân giác ta có hệ thức: <i>AM</i> <i>CM</i> <i>AM</i> <i>AB</i>

<i>AB</i> = <i>CB</i> ⇔<i>CM</i> = <i>CB</i>

Từ đây suy ra: 6 3

8 16

<i>AM</i> <i>AB</i> <i>AM</i>

<i>AM</i>

<i>AM</i> +<i>CM</i> = <i>AB</i>+<i>CB</i> ⇔ = ⇔ =

Trong tam giác BMN do BM, BN lần lượt là đường phân giác trong và phân giác

ngồi của góc <i>B</i>_{cua tam giác ABC}

Do đó <i>BM</i> ⊥<i>BN</i> ⇒_{Tam giác BMN là tam giác vng tại B.}

Trong đó AB là đường cao ứng với cạnh huyền MN

Ta có: 2

( )

. 12

<i>BA</i> = <i>AM AN</i> ⇒<i>AN</i> = <i>cm</i> ⇒

( )

( )

3

2

<i>AM</i> <i>cm</i>

<i>AN</i> <i>cm</i>

 ₌




=

 .

<b> </b>
<b>Bài tập mẫu 16:</b> Cho tam giác ABC. Từ một điêm M bất kì trong tam giác kẻ

MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các ạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

<i>BD</i> +<i>CE</i> +<i>AF</i> =<i>DC</i> +<i>EA</i> +<i>FB</i>

<b>Bài tập mẫu 15: </b>Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB=6cm và

AC=8cm. Các đường phân giác trong và ngồi của góc B cắt đường thẳng

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Hướng dẫn giải </b>

Ta có biến đổi: 2 2 2

<i>VT</i> =<i>BD</i> +<i>CE</i> +<i>AF</i> =

(

<i>BM</i>2−<i>DM</i>2

) (

+ <i>CM</i>2−<i>ME</i>2

) (

+ <i>AM</i>2−<i>MF</i>2

)

(Do các tam giác BMD, CME, AMF là các tam giácvuông tại D, E, F)

⇒_VT 2 2 2 2 2 2

<i>BM</i> <i>DM</i> <i>CM</i> <i>ME</i> <i>AM</i> <i>MF</i>

= − + − + −

2 2 2 2 2 2

<i>CM</i> <i>DM</i> <i>AM</i> <i>ME</i> <i>BM</i> <i>MF</i>

= − + − + −

(

2 2

) (

2 2

) (

2 2

)

2 2 2

<i>CM</i> <i>DM</i> <i>AM</i> <i>ME</i> <i>BM</i> <i>MF</i>

<i>DC</i> <i>EA</i> <i>FB</i> <i>VP</i>

= − + − + −

= + + =

(Do các tam giác CMD, AME, BMF là các tam giác vuông tại D, E, F) (đpcm)

<b> </b>

<b>Hướng dẫn giải</b>

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác

vuông ABC vuông tại A ta được:

2 2 2 2 2

4 7, 5 72, 25

<i>BC</i> = <i>AB</i> +<i>AC</i> = + = _.

Do đó: <i>BC</i> = 72, 25=8, 5

( )

<i>cm</i>

Mặt khác: ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC có: 2
.

<i>AB</i> =<i>BC BH</i>

Suy ra:

( )

2 2

4 16

1,88
8, 5 8, 5

<i>AB</i>

<i>BH</i> <i>cm</i>

<i>BC</i>

= = = ≈

Tương tự ta cũng có:

( )

2 2

2 7,5 56, 25

. 6, 62

8,5 8,5

<i>AC</i>

<i>AC</i> <i>BC HC</i> <i>HC</i> <i>cm</i>

<i>BC</i>

= ⇒ ₌ ₌ ₌ ₌

<b>TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 9 MỚI NHẤT-2019 </b>

<b>Bài tập mẫu 17</b>: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB =

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Bộ phận bán hàng: </b>

<b>0918.972.605</b>

<b>Đặt mua tại: </b>

<b> />

<b>FB: </b>

<b>facebook.com/xuctu.book/</b>

</div>

<!--links-->