Toán 8 Đại số [123pdf] bài tập nâng cao toan 8 day du

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.38 MB, 58 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

B. BÀI TẬP 
Bài 1:

1. Tính :

a./ (- 4xy)(2xy2 – 3x2y) b./ (- 5x)(3x3 + 7x2 –
x)

2. Rút gọn:

A = x2(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1)
B = x2(11x – 2) + x2(x – 1) – 3x(4x2 - x – 2) 
3. Tìm hệ số của x3 và x2 trong đa thức sau:



3 2

  

2 2



3 2 1 2 3 1

Q x  x  x x x x  x

Bài 2:

1) Tính : 1 3 2 3 4 4 3
2a b 4ab 3a b

   

  

  

2) Rút gọn và tính giá trị biểu thức:









3 4 5 , 4, 5

Q x x y  y y x cho x y 

3) Tìm x, biết : 2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = 0
4) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

và y:

M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x2 – y2) – 1.
5) Cho S = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5.Cm : xS – S = x6

- 1

Bài 3:

1. Tính (3a3 – 4ab + 5c2)(- 5bc). 
2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

A = 4a2( 5a – 3b) – 5a2(4a + b),với a = -2,b = -3.
3. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

B = x(x2 + x + 1) – x2( x + 1) – x +5. 
4. Tìm x,biết : x(x – 1) – x2 + 2x = 5

5. Tìm m,biết: ( x2 – x + 1)x – ( x + 1)x2 + m = - 2x2
+ x + 5.

Bài 4:

1. Rút gọn: 9y3 – y(1 – y + y2) – y2 + y
2. Tìm hệ số của x2 trong đa thức: 
3.

2 2 2 2

5 ( ) 3( ) 2 2 4( 2 )

Q x a x a    a x  ax   ax a ax 

4. Tìm m, biết: 2 – x2(x2 + x + 1) = - x4 – x3 – x2 + m.
5. Chứng minh : khi a = 10, b = -5 giá trị biểu thức :

A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) bằng 5.

6. Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) =
25.

Bài 5:

1. Tính : ( -a4x5)(- a6x + 2a3x2 – 11ax5).

2. Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y3(x + y) tại x = 
-1,y = 1

3. Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = 2.
4. Tìm hệ số của x2 trong đa thức :

Q = 5x( 3x2 – x + 2) – 2x2( x – 2) + 15(x – 1).

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

B. BÀI TẬP 
Bài 1:

1. Tính : ( 2a – b)(4a2 + 2ab + b2).
2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:



4 (



2) ( 1)( 3), 13

Q x x  x x cho x

3. Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4
4. Tìm hệ số của x4 trong đa thức: P = ( x3 - 2x2 +x – 1)(

5x3 – x).

Bài 2:

1. Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức



3 9



 



(9 1)

A a a  a a bằng – 29.

2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc

vào x:



3 5 2



 

2 3 3





Q x x  x x

3. Biết (x – 3)(2x2 + ax + b) = 2x3 – 8x2 + 9x – 9 
.Tìm a,b.

Bài 3:

1. Tính :

a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x2) b./ ( x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x 
+ y)

2. Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x2 - 8) = 0

3. Tìm m sao cho: 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – 
7x + 15).

Bài 4:

1. Rút gọn :

A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4)
B = (3a – 2b)( 9a2 + 6ab + 4b2).
2. Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2)
luôn chia hết cho 7,với mọi số nguyên n.

3. Biết : x4 – 3x +2 = ( x – 1)(x3 + bx2 + ax – 2).

Bài 5:

1. Tìm m,biết : x4 – x3 + 6x – x + m = (x2 – x + 5)(x2
+ 1).

2. Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x).
A(B + C) = AB + AC

BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

3. Chứng minh: ( x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = 
x5 – y5.

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

B. BÀI TẬP 
Bài 1:

1. Chứng minh : ( a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
2. Rút gọn: ( a +2)2 – ( a + 2)(a – 2)

3. Tìm x,biết : ( 2x + 3)2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49 
4. Tìm giá trị biểu thức:



 



3 3 ( 3) 2( 2)( 4),

Q x  x x  x x cho x

Bài 2:

1. Rút gọn biểu thức :A(4x2y2)(2xy)(2xy)
2. Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1) 
3. Tìm x,biết : 16x2 - (4x – 5)2 = 15

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 2x +
3

Bài 3:

1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc
vào m:

2 2

(2 5) (2 5) 40

A m  m 

2. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp
là một số lẻ

3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2 – 10x – (x – 4)(x 
+4).

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x2 – 4x +5.

Bài 4:

1. Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = - 4xy

2. Chứng minh: (7n – 2)2 – (2n – 7)2 luôn luôn chia
hết cho 9,

với mọi n là giá trị nguyên

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x2 + 6x 
+1.

4. Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax +
by)2

thì ay – bx = 0

Bài 5:

1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b2 + c2 + 2bc – a2 =

4p(p – a).

2. CMR nếu a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca thì a = b = c.
3. Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0.

Bài 6:

1. Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3
2. Tính x3 + y3,biết x + y = 3 và xy = 2

3. Cho a + b = 1.Chứng minh : a3 + b3 = 1 – 3ab.

Bài 7:

1. Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3
2. Rút gọn: (x – 3)3 – (x + 3)3.

3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = 1 + 3ab.

Bài 8 :

1. Rút gọn :

3 3

1 1

2a b 2a b

     

   

    .

2. Tìm x,biết : x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0.

3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc
vào x:



 





2



4x1  4x3 16x 3

Bài 9 :

1. Rút gọn biểu thức : (x + 5)3 – x3 – 125.

2. Tìm x, biết : (x – 2)3 + 6(x + 1)2 - x3 + 12 = 0
3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc

vào x:





3 3 2

1 3 3 1

x  x x  x

Bài 10:

1. Tìm x,biết : x3 + 6x2 + 12x +8 = 0

2. Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc.
3. Chứng minh rằng: (a + 2)3 – (a +6)(a2 +12) + 64 =

0,với mọi a.

Bài 11 :

1.Rút gọn biểu thức :

A = (m – n)(m2 + mn + n2) - (m + n)(m2 - mn +
n2)

2.Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a2)(4 + 2a + a2) = 
a6 – 9a3 + 8

3. Tìm x, biết : (x +2 )(x2 – 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) =
26.

Bài 12 :

1. Tính giá trị biểu thức:

BÀI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ







































2 2 2

2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2

3 3

A B A AB B
A B A AB B
A B A B A B

A B A A B AB B
A B A A B AB B
A B A B A AB B
A B A B A AB B

•    

•    

•     

•     

•     

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x2 + 3x +9),với 
1

x 

2. Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x2 – 4x +1) – 16x(4x2 – 5) 
= 17.

3. Rút gọn : Q = (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 +a +1).

Bài 13:

1. Tính giá trị biểu thức :

Q = (2x – 1)(4x2 + 2x +1) – 4x(2x2 – 3),với x = 1
2
2. Tìm x, biết : (x – 3)(x2 + 3x +9) – (3x – 17) = x3 –

12.

3. Cho x + y = 1 và xy = -1.Tính x3 + y3.

Bài 14 :

1. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x.

















1 1 1 1

A x x    x x x  x

2. Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x2)(x + 2) + x(x – 1)(x +
1) = 0.

3. Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x3 + y3) – 
3(x2 + y2).

Bài 15 :

1. Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) 
2. Tìm x, biết: (4x2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x2 – 3) =

23.

3. Cho a – b = 1 và ab = 6.Tính a3 – b3.

Bài 16: Rút gọn:

a) 2m



5m2

 

 2m3



3m1







 



1
4
3
8
4

2x x  x

2  

 a a

2 6y



2y2









 



20
9
3

3 x x x

x    



 











1
6
1
3
9
1
3
2
3
.

3y  y  y y  y   y

Bài 18: Tìm x:



2x5



2x7

 

 4x3



2 16



8 2 3



8 2 3

 

 8 2 1



2 22

x
x

x

c) 49x2  x14 10



x1



3 x.



x2

 

2  x2



0

Bài 19:Chứng minh biểu thức luôn dương:

a) A= 16x2 x8 3

b) B y2 5y8
c) C2x22x2

d) D9x26x25y210y4

Bài 20: Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:

a) M  x26x1

b) N10y5y2 3

Bài 21:Thu goïn:



21





5
3
5
3

5   . . . .





2
3
5
3
5
128
128
64

64  

phân tích đa thức thành nhân tử.

(Thực hiện trong 6 tiết)
A. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?

Phõn tớch đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó
thành một tích của những đơn thức và đa thc khỏc.

Bài toán 1.

Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là

phân tích đa thức thành nhân tử ?Tại sao những cách biến
đổi còn lại khơng phải là phân tích đa thức thành nhân tử ?

2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1)

2x2

+ 5x – 3 = x(2x + 5

-x

) (2)

2x2

+ 5x – 3 = 2(x2

+
2
5

x -
2
3

) (3)
2x2

+ 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4)
2x2

+ 5x – 3 = 2(x -
2
1

)(x + 3) (5)

B. Những ph-ơng pháp nào th-ờng dùng để phân tích đa
thức thành nhân tử?

- Ph-ơng pháp đặt nhân tử chung.
- Ph-ơng pháp dùng hằng đẳng thức.
- Ph-ơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
Một số ph-ơng pháp khác nh- :

- Ph-¬ng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng
tử.

- Ph-ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ(đổi biến).
- Ph-ơng pháp hệ số bất định.
- Ph-ơng pháp xét giá tr riờng.

- Ph-ơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
Ph-ơng pháp 1: Đặt nhân tử chung

ã Ni dung cơ bản của ph-ơng pháp đặt nhân tử

chung là gì ? Ph-ơng pháp này dựa trên tính chất
nào của các phép toán về đa thức? Có thể nêu ra
một công thức đơn giản cho ph-ơng pháp này
khơng ?

• Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử
chung thì đa thức đó biểu diễn đ-ợc thành một tích
của nhân tử chung đó với một đa thức khác.

• Ph-ơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của
phép nhân đối với phép cộng các đa thức.

C«ng thøc : AB + AC + … + AF = A(B + C + + 
F)

ã Ph-ơng pháp: Tìm nhân tử chung.
- Lấy ƯCLN của các hệ số.

- Lấy các biến chung có mật trong tất cả các hạng tử.
- Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức
 AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F)

• Chó ý:

- Ph-ơng pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức
có nhân tử chung.

- Nhiu khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các
số hạng bằng cách đ-a số hạng vào trong ngoặc hoặc
đ-a vào trong ngoặc đằng tr-ớc có dấu cộng hoặc trừ.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 3x2 + 12xy.

b) 5x(y + 1) - 2(y + 1).
c) 14x2

(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y).
Gi¶i

a) 3x2

+ 12xy = 3x(x + 4y).

b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2).
c) 14x2

(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y)
= 14x2

(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2)
= (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y).

Ph-ơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức

• Nội dung cơ bản của ph-ơng pháp dùng hằng đẳng
thức là gì ?

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào
đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức

này thành một tích các đa thức.

• Ph-ơng pháp dùng hằng đẳng thức:
- Nhận dạng các hằng đẳng thức.

- Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức khơng.
• Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng đ-ợc

hng ng thc.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x2 4x + 4. b) 8x3 + 27y3. c)

9x2 - (x - y)2.

Gi¶i
a) x2

– 4x + 4 = (x - 2)2

b) 8x3

+ 27y3

= (2x + 3y)(4x2

– 6xy + 9y2

)

c) 9x2

– (x - y)2

= [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x
–x +y)(3x + x - y)

= (2x +
y)(4x - y).

VÝ dô 2

a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3

HD: nhãm 2 hạng tử đầu a3

+ b3

= 3(x – z)(x- y)(z – y)
b, (x2 +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3

= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z)

c, a3 + b3 + c3 – 3abc

= (a + b)3

+ c3

– 3ab(a +b + c)

= (a + b + c) (a2

+ b2

+ c2

– ab – ac – bc)
d, x3

+ y3

– z3

+ 3xyz
= (x + y)3

– z3

– 3xy( x + y z) = ...
Ph-ơng pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử

ã Nội dung cơ bản của ph-ơng pháp nhóm nhiều
hạng tử là gì ?

Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để
có thể đặt đ-ợc nhân tử chung hoặc dùng đ-ợc hằng đẳng
thức đáng nh.

ã Chú ý:

- Một đa thức cã thĨ cã nhiỊu c¸ch nhãm

- Sau khi nhóm ta có thể áp dụng ph-ơng pháp đặt
nhân tử chung, ph-ơng pháp dùng hằng đẳng thức để xuất
hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới.

VÝ dơ 1. Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử.
a) x2

- 2xy + 5x - 10y. b) x(2x -3y) - 6y2

+ 4xy. c)
8x3

+ 4x2

- y3

- y2

Gi¶i
a) x2

– 2xy + 5x – 10y = ( x2

– 2xy) + ( 5x – 10y)
= x(x – 2 y) + 5 (x – 2y) = (x
– 2 y)(x + 5)

b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2

= x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y)
= (2x – 3y)(x + 2y)

c) 8x3

+ 4x2

– y3

– y2

= (8x3

- y3

) + (4x2

– y2

)
= (2x -y)( x2

+ xy + y2

) + (2x – y)(
2x +y)

= (2x -y)( x2

+ xy + y2

+ 2x +y).
Ph-ơng pháp 4: Phối hợp nhiều ph-ơng ph¸p

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Có thể dùng phối hợp các ph-ơng pháp đã biết.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) a3 - a2b - ab2 + b3 b) ab2c3 + 64ab2

c) 27x3y - a3b3y.

Gi¶i
a) a3

– a2

b – ab2

+ b3

= a2

(a – b) – b2

(a - b) =
(a - b)(a2

- b2

) = (a - b) 2

(a + b).
b) ab2

+ 64ab2

= ab2

(c3

+64) = ab2

(c3

+ 43

) = ab2

(c
+ 4)(c2

– 4c + 16).
c) 27x3

y – a3

y = y(27x3

– a3

) = y(3 - ab) (9x2

– 3ab + a2

KiÕn thøc Nâng cao.
Ph-ơng pháp 5: Ph-ơng pháp tách

ã Khi phân tích đa thức : ax2 + bx + c thành nhân tử

Cách 1: Tách ax2

+ bx + c = a x2

+ b1x + b2x + c

Víi b = b1+ b2 và b1.b2 = a.c

Cách 2: T¸ch ax2

+ bx + c = X2

- B2

VÝ dô 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2x2

- 3x + 1.
b) 6x2

+ x - 2
c) x2

- 2x - 3

Gi¶i

a) 2x2 – 3x + 1 = 2x2 – 2x – x + 1 = 2x(x – 1) – (x

– 1)

= (x – 1)(2x – 1).
b) 6x2

+ x – 2 = 6x2

+ 4x – 3x – 2 = 2x(3x + 2) – (3x
+ 2)

= (3x + 2) (2x – 1)

c) x2

– 2x - 3 = x2

+ x – 3x – 3 = ....
VÝ dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x2

– 2x – 3
b) x2

- 10x + 16

Gi¶i

a)x2 – 2x – 3 = x2 – 2x + 1 – 4 = (x- 1)2 – 22 = (x

– 3)(x+1)

b)x2 – 10x + 16 = x2 – 10x + 25 – 9 = (x – 5)2

= (x 8)(x 2)

Ph-ơng pháp 6: Ph-ơng pháp thêm bớt 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) y4

+ 64.
b) x(y2

- z2

) + y(z2

- x2

) + z(x2

- y2

)
c) a2

(b -a) + b2

(c - b) - a2

( c - a)
Gi¶i
a) y4

+ 64 = y4

+16y2

+ 64 - 16y2

= (y2

+ 8) 2

- (4y) 2

= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 +

4y).

b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2

– z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

= x( y2

– x2

) + x(x2

–
z2

) - y(x2

-z2

) - z( y2

– x2

)

= (y2

- x2

) ( x – z) + (x2

– z2

)(x – y)

= (y – x)( x – z) (y +x
– x – z)

c) a2

(b – a) + b2

(c – b) – a2

( c – a)

= a2b2(b- c + c – a) +

b2c2(c – b) – a2c2( c – a)

=...

= (b – c) (a – c)(b- a)
(ab + bc + ca)

Ph-ơng pháp 7: Đặt biến phụ

• Trong đa thức có biểu thức xuất hiện nhiều lần ta
đặt biểu thức đó làm biến phụ đ-a về đa thức đơn
giản. Sau khi phân tích đa thức này ra nhân tử rồi
lại thay biến cũ vào và tiếp tục phân tích

VÝ dơ 1:

A , (x2

+ 4x + 8)2

+ 3x( x2

+ 4x + 8) + 2x2

B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 3) -5

C , ( x2 - 2x + 2)4 - 20x2(x2 - 2x + 2)2 + 64 x4

D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15
E , (x2

+ x)2

+ 4x2

+ 4x - 12
F , (x2

+ x)(x2

+ x + 1) - 2.
Giải
A.Đặt y = x2

+ 4x + 8 rồi dùng ph-ơng pháp tách phân
tích

Kết quả: A = (x2

+ 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4)
B. đặt y = x2

+ 3x +1

B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4)
C.Đặt y = x2 2x + 2

C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x +

D = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15

= (x2

+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
F. (x2

+ x)(x2

+ x + 1) – 2. (*)
Đặt(x2

+ x) = y Thì (*)
trë thµnh: y(y + 1) – 2 = y2

+ y - 1 – 1 = (y2

- 1) + (y –
1)

= (y+ 1)(y – 1) + (y – 1)
= (y – 1)(y+ 2). (**)
Thay trở lại vào (**) ta cã : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2).

VËy(x2 + x)(x2 + x + 1) – 2 = (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2).

VÝ dô 2:

a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24
b. 4(x2

+ 15x + 50)(x2

+ 18x + 72) - 3x2

c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y)

(x+z)+ y2z2

= 4 (x2 +xy+xz)(x2 +xy

+xz +yz)+ y2z2

(Đặt t = x2

+xy+xz)

= 4t (t + yz) + y2

= (2t + yz)2

VÝ dô 3: Giải ph-ơng trình
a. (2x2

+ x)2

- 4(2x2

+ x) + 3 = 0
b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = 0

HD: Ph©n tÝch vÕ trái thành nhân tử, đ-a Pt vỊ d¹ng PT
tÝch

a.  (t - 1)(t- 3) = 0
*. t = 1  2x2

+ x = 1  (x +1)(2x-1)= 0
*. t = 3  2x2

+ x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0
Ph-ơng pháp 8: Ph-ơng pháp xét giá trị riêng

ã Kiến thức:

1. x = a là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0

2. x = a là nghiệm của đa thøc f(x) =>

f (x) (x a)
• L-ợc đồ Hoor ne
. Sơ đồ Hoúc - ne

Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3, ®a thø

chia là x - a ta đ-ợc th-ơng là b0x2 + b1 x + b2. Theo sơ đồ

Hoãc - ne ta cã:

a0 a1 a2 a3

a b0 = a0 b1 = ab0 +

b2 = ab1 +

r = ab2 +

• Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đ-ợc
thành nhân tử.

§èi víi tam thøc bËc hai d¹ng ax2

+ bx + c, muốn xét
xem đa thức này có phân tích đ-ợc thành nhân tử hay
không th-ờng dùng ph-ơng ph¸p sau:

- TÝnh  = b2

– 4ac.

- Nếu 0 thì phân tích đ-ợc.
- Nếu < 0 thì không phân tích đ-ợc.

Ví dụ 1: f(x) = x3 -x2 - 4

Lần l-ợt kiĨm tra víi -íc cđa – 4 lµ 1, - 1, 2, -
2, - 4, 4.

f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 4 = - 4 => x= -1 không phải

là nghiệm.

f(1) = (1)3

- (1)2

- 4 = - 4 => x = 1 không phải là
nghiÖm.

f(2) = 23

- 22

- 4 = 0.

f(-2) = -16 => x = - 2 không phải là nghiệm.
f(4) = 44 => x = 4 không phải là nghiệm.
f(- 4) = - 48 => x = - 4 không phải là nghiệm.
Đa thức có nghiệm x = 2 do đó đa thức chứa thừa số (x
– 2).

Sử dụng l-ợc đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x – 2)(x2

– x +
2).

VÝ dô 2:

Ph©n tÝch f(x) = x3

- 2x - 4
Gi¶i

Ta cã f(2) = 0 => x = 2 là nghiệm của đa thức f(x)
=> f (x) (x2)

=> f(x) = (x - 2)(x2

+ 2x + 2)

VÝ dô 3: g(x) = 4x3

- 7x2

-x - 2
= (x - 2)(4x2

+ x +1)

VÝ dô 4 : H(x) = x3 - x2 - 14x + 24

= (x-2)(x - 3)(x + 4)

VÝ dô 5

P = x2

(y - z) + y2

( z - x) + z2

(x - y).
P = x2

(y - z) + y2

( z - x) + z2

(x - y).

Ta thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì đa

thức P khơng thay đổi.

Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x).
(k là hằng số).

=> P = x2

(y - z) + y2

( z - x) + z2

(x - y) = k(x - y)(y - z)( z -
x). §óng víi mäi x, y, z, nên ta cho các biến x, y, z giá trị
riêng,

chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 (giá trị riêng của các biÕn x,
y, z tuú chän sao cho (x - y)(y - z)( z -
x) 0). Ta đ-ợc: k = -1

VËy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x -

y)(y - z)( z - x)

= (y - x)(y -
z)( z - x).

VÝ dô 6

A = x(y2

- z2

) + y(z2

- x2

) + z(x2

- y2

)
Gi¶i

+.NÕu x = y => A = 0 => A (x - y)
+.Vì vai trò của x,y,z nh- nhau

=>A (y-z); (z-x)
=>A (x - y)(y-z)(z-x)

+.Vì có bậc cao nhất là 3 còn bËc cđa (x - y)(y-z)(z-x)
lµ 3

=> A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với mọi
x, y, z

Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vµo => k = 1
VËy A = (x - y)(y-z)(z-x)

VÝ dô 7

P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a)

HD: làm t-ơng tù nh- VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm
đ-ợc k = -1

nhân

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ph-ơng pháp 9: Ph-ơng pháp hệ số bất định

VÝ dơ 1: Ph©n tÝch : x3 – 15x 18 thành đa thức bậc nhất

và bậc hai

Gi¶i

Giả sử đa thức trên đ-ợc phân tÝch th×
x3

– 15x – 18 = (x+ a)(x2

+ bx + c)
 x3

– 15x – 18 = x3

+ (a+b)x2

+ (ab+ c)x + ac
Đồng nhất 2 đa thøc ë 2 vÕ ta ®-ỵc:

a b 0(1)
ab c 15(2)
ac 18(3)
 

   

  


Tõ (3)chän a = 3; th× c = -6; b = -3 tho¶ m·n (2)
VËy: x3

– 15x – 18 = (x + 3) (x2

– 3x – 6)

VÝ dô 2

Phân tích : x3 19x - 30 thành ®a thøc bËc nhÊt

vµ bËc hai

Gi¶i

Giả sử đa thức trên đ-ợc phân tích thì
x3

– 19x - 30 = (x + a) (x2

+ bx + c)
 x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac

Đồng nhất 2 đa thức ta cã

a b 0(1)
ab c 19 (2)
ac 30(3)
 

   

  


Tõ (3) chän a = 2 th× c =- 15; b = -2 tho¶ m·n (2)
VËy x3

– 19x - 30 = (x +2)(x2

– 2x - 15)

VÝ dô 3

– 6x3

+ 12x2

– 14x + 3. 
Gi¶i

Ta thÊy x  1; 3 không là nghiệm của đa thức

đa thức không có nghiệm
nguyên, không có nghiệm
hữu tỉ,

nên ®a thøc cã d¹ng

Để phân tích đa thức này thành thừa số thì phải có
dạng:

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b

+d)x2 +(ad + bc)x + bd.

Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta đ-ợc hệ điều
kiện:

















3
14
12
6
bd
bc
ad
d
b
ac
c
a

14
3
8
6













c
a
ac
c
a














1
4
3
2
d
c

b
a

VËy ®a thøc x4

– 6x3

+ 12x2

– 14x + 3 = (x2

- 4x
+ 1)(x2

- 2x + 3).
C¸ch 2

– 6x3

+ 12x2

– 14x + 3

= x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x +

= x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x +

= (x2

- 4x + 1)(x2

- 2x + 3).

VÝ dô 4

a. x3

+ 4x2

+ 5x +2
b. 2x4

- 3x3

-7x2

+ 6x + 8

Gi¶i
a.ta cã x = - 1; x = -2 là nghiệm của đa thøc
=> x3 + 4x2 + 5x +2 (x+1);(x+2)

=> x3 + 4x2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b)

... b = 1

b.Ta cã x = 2; x = -1 là nghiệ của đa thức
=> 2x4

– 3x3

– 7x2

+ 6x + 8 (x+1);(x-2)
=> 2x4

– 3x3

– 7x2

+ 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2

+ a x+
b)

§ång nhÊt 2 ®a thøc ta cã a = -1; b =- 4

Ph-ơng pháp 10: Ph-ơng pháp hạ bậc

Ví dô 1:

a) a5 + a +1.

Gi¶i

a) a5

+ a +1= a5

+ a4

– a4

+ a3

– a3

+ a2

– a2

+ a + 1
= (a5

+ a4

+ a3

) – ( a4

+a3

+ a2

) + ( a2

+ a + 1)
= a3

( a2

+ a + 1) – a2

( a2

+ a + 1) + ( a2

+ a +
1)

= ( a2

+ a + 1) (a3

– a2

+ 1).

C. øng dông

Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích
cho việc giải các bài toán về tìm nghiệm của đa thức, chia
đa thức, rút gọn đa thức.

I. Tìm x 
Ví dụ 1. Giải các ph-ơng trình sau:

a) 2(x + 3) - x(x + 3) = 0 b) x3 + 27 +

(x + 3)(x - 9) = 0
c) x2

+ 5x = 6.

Gi¶i

a) 2(x + 3) – x(x + 3) = 0  (x + 3)(2 – x) = 0




0
2
0
3




x
x




2
3




x
x

S ={-3; 2}.

b) x3

+ 27 + (x + 3)(x – 9) = 0  (x + 3)(x2

- 3x + 9) +
(x + 3)(x – 9) = 0

 (x + 3)(x2

- 3x + 9) + (x
+ 3)(x – 9) = 0

 (x + 3)(x2

- 3x + 9 + x
– 9) = 0

 (x + 3)(x2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>


0
2
0
3
0









x
x
x

2
3
0







x
x
x

S ={-3; 0; 2}.

c) x2

+ 5x = 6  x2

+ 5x – 6 = 0
 x2 - x + 6x – 6 = 0

 (x2 - x) + (6x – 6) = 0

 x (x - 1) + 6(x – 1) = 0
 (x + 6)( x – 1) = 0 



0
1
0
6




x
x




1
6



x
x

S =

{-6; 1}.

Ví dụ 2. Giải các ph-ơng trình sau
a. (x2

+ 2x)2

- x2

- 2x - 2 = 0
b. x4

- x3

- x2

- x - 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x2

+1)= 0]
c. x3

- 2x2

- 9x +18 = 0 [(x-3)(x+3)(x-2) = 0 ]
Ví dụ 3. Tìm các cặp số (x; y) tho¶ m·n

a. x2

+ y2

= 0
b. (x-1)2

+ (y+2)2

= 0
c. 4x2

+ y2

- 2(2x+y - 1) = 0
d. x2 + 2y2 + 2y(1-x) = -1

e. 2x2 (1 - y) + y(y + xy -2x) = 0

HD:

Đ-a về dạng A2

+ B2

= 0 A 0

B 0




  



e.(x -y)2 + x2(y +1)2 = 0

x y 0

x 0

 


  

 hc

x y 0

y 1 0



Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng tr×nh
a.x+ xy + y + 2 = 0

b. x + y = xy
c. x2

+ 21 = y2

HD: Biến đổi về dạng X.Y = a (const)
=> X, Y  Ư(a)

Ví dụ 5. Tìm nghiệm nguyên d-ơng của ph-ơng trình
a. x2

+ 21 = y2

b.(x + 1)y - 2x = 8

HD: a.  (y- x)(y+ x) = 21 > 0

 y +x > y – x > 0

 y x 7

y x 3

 

  

 hc

y x 21

y x 1

II.Tính giá trị biểu thức
Ph-ơng ph¸p : Thu gän biĨu thøc

Tìm giá trị của biến thay vào
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức

A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) víi x =

-1/2

+. Rót gän A = 4x2

+ 20
+.Thay A = 21

VÝ dô 2. Tính giá trị biểu thức.
a) A = 9x2

+42x + 49 víi x = 1

b) B =

5x - 2xy +

1 y

25

víi x=

1

5 

: y = - 5

c) C =

3 2 2 3

x

x y

xy

y

+

8

4

6

27

víi x = - 8; y = 6
d) D =

x + 15x + 75x + 125

3 2 víi x = - 10
e) E =

x - 9x + 27x - 27

3 2 víi x = 13

g) G =









 





3



x -1 - 4x x -1 x +1 + 3 x -1 x + x +1

v
íi x = - 2

h) H =



x -1 x - 2 x + x +1 4 + 2x + x











víi x =
1

VÝ dô 3 : Cho x - y = 7 . TÝnh

A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37
B = x2

(x + 1) - y2

(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1) - 95
( = (x-y)3

+ (x -y)2

- 95 = 297 )
VÝ dô 4:

a) Cho x + y = 7, tính giá trị của biểu thøc.

M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2

M = (x + y)3

+ 2(x + y)2

= 441.

b) Cho x - y = - 5, tính giá trị của biểu thøc.
N = (x - y)3 - x2 + 2xy - y2

N = (x - y)3

- (x - y)2

= - 150
VÝ dơ 5

Chøng minh gi¸ trị của các biểu thức sau không phụ thuộc
vào giá trị của biến.

a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12)

P = 0

b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1)

Q = - 8
c) A = y(x2

- y2

)(x2

+ y2

) - y(x4

- y4

)
A = 0

d) B = (x - 1)3

- (x - 1)(x2

+x + 1) - 3(1 - x)x
B = 2

e) M =

1 + 2x

4x -

2 x

1 8x

1

3

9

27 





 









 









M =

2

27

D. Bài tập áp dụng

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (3x - 1)2 - (5x +

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

b) (2x + y -
4z)2 - (x + y - z)2

c) ( x2 +

xy)2 - (x2 - xy - 2y2)2

d) x4

- x2

-2x-1

Bµi 2. Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 2x2

+ 4x + xy +
2y. víi x=88 vµ y=-76

b) B = x2

+ xy -7 x - 7y.
víi x=

4
3
7 vµ y=

5
2
2
Bµi 3.

Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x2

- (a + b)xy + aby2

b) ab(x2

+ y2

) + xy(a2

+ b2

)
c) (xy + ab)2

+ (ay - bx)2

d) a2

(b - c) + b2

(c - a) + c2

(a - b)
Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) - 6x2

- 5y + 3xy + 10x b) x2

+ y2

- 2xy - x + y
c) (x - z)2

- y2

+ 2y - 1 d) x3

+ y3

+ 3y2

+
3y + 1

Bµi 5. Tính giá trị biểu thức sau:
A = x2 - 5x - 2xy + 5x + y2 + 4, biÕt x - y = 1

B = x2

(x + 1) - y2

(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1), biÕt
x - y = 7.

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (1 + x2

- 4x(1 - x + x2

) b) x2

- y2

- 2yz - z 2

c) 3a2

- 6ab + 3b 2

- 12c2

d) x2

- 2xy + y2

-
m2

+ 2mn - n2

Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tö.
a) a 2

- 10a + 25 - y2

- 4yz - 4z2

b) x4

- 2x3

+ 2x
- 1 ROI

c) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 d) x3 + 4x2 +

5x + 2

Bài 8. Tính giá trÞ biĨu thøc sau:
a) A = x2

- 5x - 2xy + 5y + y2

+ 4, biÕt x - y=1 ROI
b) B = x2

(x +1) - y2

(y - 1) + xy - 3xy(x - y +1), biÕt
x - y=7

Bµi 9. Cho x = y = z = 0. Chøng minh r»ng x3

+ x2

y - y2

x -
xyz + y3

= 0

Bµi 10. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba cạnh của một
tam giác thì.

2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > 0.

Bµi 11. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2x4

- 3x3

- 7x2

+ 6x + 8
b) 5x4

+ 9x3

- 2x2

- 4x - 8

Bài 12. Tìm các hệ sè a,b,c,d sao cho ®a thøc:
f(x) = x4

+ ax3

+ bx2

- 8x + 4 là bình ph-ơng đúng
của

®a thøc g(x) = x2

+ cx + d

Bài 13. Phân tích đa thức thành nh©n tư. a) (x2

- 8)2

+ 36.
b) 81x4

+ 4.
c) x5 + x + 1

Bµi 14. Phân tích đa thức thành nhân tử.

A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20

B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y - 35

C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
D = (x2

+ 4x + 8)2

+ 3x( x2

+ 4x + 8) + 2x2

Bài 15. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x2

+ x +1)(x2

+ x + 2) - 12
b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24
Bài 16. Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0.

a)
2
7
3
2
5
3
2
2




x
x
x

x
b)
2
4
2
2
)
3
(
)
4
(
)
12
7
(





x
x
x
x

Bµi 17. Cho biĨu thøc:

A= 





















2
4
.
4
3
2
4
2
2
.
4

4 2
3
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biu

thc -c xỏc nh.

b) Tính giá trị của A biÕt 2x13

Bài 18 a) Tìm x để 0

4
12
10
2
3
2





x
x
x
x
.
b) Tìm các số nguyờn x

16
16
8
4
16
2
3
4
4

x
x
x
x
x

có giá trị nguyên.

Bài 19. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x2 + 25 +10x

- y2 - 2y – 1

b) x2 + 4y2 -

4xy - z2

+ 6z - 9

Bài 20. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không
phụ thuộc vào giá trị cđa c¸c biÕn: (x + y – z -
t)2

- (z + t – x - y)2

Chuyên đề: một số ph-ơng pháp phân tích đa thức

một biến thành nhân tử.

Các ph-ơng pháp:

- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.

- Thêm, bớt cùng một hạng tử.

- Đổi biÕn sè.

- Hệ số bất định.

- Xét giá trị riêng (Đối với một số đa thức nhiỊu
biÕn).

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

VÝ dơ 1: Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = 2x2 - 3x + 1.

Giải:

Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: -3x = -2x - x.
Ta cã f(x) = (2x2

- 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1)
= (x - 1)(2x - 1).

C¸ch 2:
Ta cã f(x) = (x2

- 2x + 1) + (x2

- x) = (x - 1)2

+ x(x
- 1) = (x - 1)[(x - 1) + x]

= (x - 1)(2x - 1).

Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx

+ c ra nh©n tử, ta tách hạng tử bx thµnh b1x + b2x sao

cho b1b2 = ac

Bµi tập 1: Phân tích các đa thức sau ra nhân tö:
a) 4x2

- 4x - 3;
b) 2x2

- 5x - 3;

c) 3x2

- 5x - 2;
d) 2x2

+ 5x + 2.
VÝ dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

f(x) = x3

- x2

- 4.
Giải:

Ta lần l-ỵt kiĨm tra víi x = 1; 2; 4 ta thÊy f(2)

= 0.

Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, do đó khi phân tích
ra nhân tử, f(x) chứa nhân tử x - 2.

Từ đó: f(x) = x3 - x2 - 4 = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) +

(2x - 4)

= x2(x - 2) + x (x - 2) + 2

(x - 2)

= (x - 2)(x2

+ x + 2).
Tæng quát: Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x +

a0 có nghiệm nguyên là

x = x0 th× x0 lµ mét -íc cđa hƯ sè tù do a0, khi phân

tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có

chứa nhân tử x - x0. Vì vậy đối với những đa thức một

biÕn bËc cao, ta nên tìm lấy

một nghiệm của nó để định h-ớng việc phân tích ra
nhõn t.

Bài tập 2: Phân tích các đa thøc sau ra nh©n tư:
a) x3 + 2x - 3;

b) x3 - 7x + 6;

c) x3 - 7x - 6; (NhiỊu

c¸ch)
d) x3

+ 5x2

+ 8x + 4;

e) x3 - 9x2 + 6x + 16;

f) x3 - x2 - x - 2;

g) x3 + x2 - x + 2;

h) x3

- 6x2

- x + 30.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

f(x) = 3x3

- 7x2

+ 17x - 5.
Gi¶i:

Theo vÝ dơ 2, ta thÊy các số 1; 5 không là
nghiệm của đa thức. Nh- vậy đa thức không có
nghiệm nguyên, tuy vậy đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ
khác.

Ta chứng minh đ-ợc điều sau đây:

Tổng quát: NÕu ®a thøc f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 có nghiệm hữu tỉ là

x =

q
p

(dạng tối giản) thì p là một -ớc của hệ số tự do a0 còn q là -ớc d-ơng cđa

hƯ sè cao nhÊt an. Khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tử thì f(x) có chứa nhân tử qx - p.

Trë vỊ vÝ dơ 3: XÐt c¸c sè

3
5
;
3
1 

 , ta thÊy
3
1

là
nghiệm của đa thức, do đó khi phân tích ra nhân tử,
đa thức chứa nhân tử 3x - 1.

Từ đó: f(x) = 3x3

- 7x2

+ 17x - 5 = (3x3

- x2

) - (6x2

- 2x) + (15x - 5)

= x2(3x - 1) -

2x(3x - 1) + 5(3x - 1)

= (3x - 1)(x2

-
2x + 5).

Bài tập 3: Phân tích các ®a thøc sau ra nh©n tư:
a) 6x2

- x - 1;
b) 6x2

- 6x - 3;
c) 15x2

- 2x - 1;
d) 2x3

- x2

+ 5x + 3;

e) 2x3

- 5x2

+ 5x - 3
f) 2x3

+ 3x2

+ 3x + 1;
g) 3x3

- 2x2

+ 5x + 2;
h) 27x3

- 27x2

+ 18x -
4;

Đáp số:
a) (2x - 1)(3x + 1);

b) (2x + 3)(3x - 1);
c) (3x + 1)(5x - 1);
d) (2x + 1)(x2

- x + 3);

e) (2x - 3)(x2 - x + 1);

f) (2x + 1)(x2 + x +

1);

g) (3x + 1)(x2

- x +2);
h) (3x - 1)(9x2

- 6x +
4);

II) Ph-ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử:

Mc ớch: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm
với các hạng tử đã có trong đa thức nhằm xuất hiện nhân
tử chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức, đặc biệt là
xuất hiện hiệu của hai bình ph-ơng.

III) Ph-ơng pháp đổi biến:

Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đ-a
về đa thức có bậc thấp hơn để thuận tiện cho việc phân
tích ra nhân tử, sau khi phân tich ra nhân tử đối với đa
thức mới, thay trở lại biến cũ để đ-ợc đa thức với
biến cũ.

VÝ dơ 4: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử:

f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) +
128.

Gi¶i:
Ta cã: f(x) = (x2

+ 10x)(x2

+ 10x + 24) + 128.
Đặt x2

+ 10x + 12 = y, ®a thøc trë thµnh:

f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2

- 16 = (y
- 4)(y + 4)

= (x2

+ 10x + 8)( x2

+ 10x + 16) = (x +
2)(x + 8)( x2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tö:
f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.

Gi¶i:

C¸ch 1: f(x) = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) =

+ 2x2

(3x - 1) + (3x - 1)2

= (x2

+ 3x - 1)2

Cách 2: Giả sử x ≠ 0; Ta cã:
f(x) = x2

(x2

+ 6x + 7 - 6 12

x
x ) = x

[(x2

+ 12

x ) +

6(x -

x

) + 7].
Đặt x -

x

= y, suy ra: x2

+ 12

x = y
2

+ 2. Do đó đa
thức trở thành:

f(x; y) = x2

(y2

+ 2 + 6y + 7) = x2

(y + 3)2

= (xy +
3x)2

=
[x(x -

x

) + 3x]2

= (x2

+ 3x - 1) 2

Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau ra nh©n tư:
a) (x2

+ x)2

-
2(x2

+ x) -
15;
b) (x2

+ x + 1)(
x2

+ x + 2) -
12;

c) (x + 2)(x +

3)(x + 4)(x +
5) - 24;

d) x2

+ 2xy + y2

- x - y - 12;
e) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x +

4a) + a4

;
f) (x2

+y2
+z2
)(x+y+z)2
+
(xy+yz+zx)2
;

g) A = 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 +

z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.

Đáp số:
a) Đặt x2

+ x = y. Ta phân tích đ-ợc thành: (x2

+ x -
5)(x2

+ x + 3).
b) Đặt x2

+ x + 1 = y. Đáp số: (x2

+ x +
5)(x+2)(x-1).

c) Biến đổi thành: (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24;

Đặt x2 + 7x + 11 = y. Đáp số: (x2 + 7x + 16)(x +

1)(x + 6).

d) Đặt x + y = z. Đáp số: (x + y + 3)(x + y -4)
e) Đặt x2

+ 5ax + 5a2

= y. Đáp số: (x2

+ 5ax +5a2

f) Đặt x2

+y2

+z2

= a; xy + yz + zx = b. Ta đ-ợc: a(a
+ 2b) + b2

= (a + b)2

= …
g) Đặt các biểu thức đối xứng: x4

+ y4

+ z4

= a; x2

+
y2

+ z2

= b; x + y + z = c.
Ta cã: A = 2a - b2

-2bc2

+ c4

= (2a - 2b2

) + (b2

-
2bc2

+ c4

) = 2(a - b2

) + (b - c2

Thay a - b2 = -2(x2y2 + x2z2 + y2z2); b - c2 = -2(xy

+ xz + yz).

Ta đ-ợc M = -4(x2y2 + x2z2 + y2z2) + 4(xy + xz +

yz)2

= 8x2yz + 8xy2z + 8xyz2 = 8xyz(x + y

+ z).

IV) Ph-ơng pháp hệ số bất định:

VÝ dơ 5: Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = x4

- 6x3

+ 12x2

- 14x + 3.
Gi¶i:

NhËn xét: Các số 1; 3 không phải là nghiệm của
đa thức f(x) nên đa thức không có nghiệm nguyên,
cũng không có nghiệm hữu tỉ. Nh- vậy nếu f(x) phân tích
đ-ợc thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 +

cx + d), víi a, b, c, d  Z.

Khai triển dạng này ra ta đ-ợc đa thức: x4 +

(a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd. Đồng nhất đa

thức này với f(x) ta đ-ợc hệ điều kiện:

.

3

14

12

6 bd

bc

ad

d

b

ac

c

a

Xét bd = 3, với b, d  Z, b  {1; 3}. Víi b = 3
thì d = 1, hệ điều kiện trở thµnh:

























.

14

3

8

6 c

a

ac

c

a

Từ đó tìm đ-ợc: a = -2; c = -4. Vậy f(x) = (x2 - 2x

+ 3)( x2

- 4x + 1).

Ta trình bày lời giải nh- sau:

f(x) = x4

- 6x3

+ 12x2

- 14x + 3 = (x4

- 4x3

+ x2

) -
(2x3

+ 8x2

- 2x) + (3x2

-12x +3)

= x2

(x2

- 4x + 1) -
2x(x2

- 4x + 1) + 3(x2

- 4x + 1)

= (x2

- 4x + 1)(x2

- 2x +3).

Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử, dùng
ph-ơng pháp hệ số bất định:

a) 4x4

+ 4x3

+ 5x2

+
2x + 1;

b) x4

- 7x3

+ 14x2

- 7x
+ 1;

c) x4

- 8x + 63;
d) (x+1)4

+ (x2

+ x
+1)2

Đáp sè:
a) (2x2

+ x + 1)2

. Cã thÓ dùng ph-ơng pháp tách: 5x2

=
4x2

+ x2

b) (x2 - 3x + 1)(x2 - 4x + 1).

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

d) (x2 + 2x + 2)(2x2 + 2x +1).

C¸ch kh¸c: (x+1)4 + (x2 + x +1)2 = (x+1)4 + x2(x +1)2

+ 2x(x + 1) + 1

= (x + 1)2[(x + 1)2

+ x2

] + (2x2

+ 2x + 1)

= (x2

+ 2x + 1)(2x2

+ 2x + 1) + (2x2

+ 2x + 1)

= (2x2

+ 2x + 1)(x2

+ 2x +2).

V) Ph-ơng pháp xét giá trị riêng:

(Đối với một số đa thức nhiều biến, có thể hoán vị
vòng quanh)

Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).

Gi¶i:

NhËn xÐt: NÕu thay x bëi y th× P = 0, nªn P chia
hÕt cho x - y

Hơn nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P
khơng thay đổi (Ta nói đa thức P có thể hốn vị vịng
quanh). Do đó: P chia hết cho x - y thì P cũng chia hết cho

y - z vµ z - x.

Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong đó a là hằng
số, khơng chứa biến vì P có bậc 3 đối với tập hợp các
biến, cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với
tập hợp các biến.

Ta cã: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x -

y)(y - z)(z - x) (*) đúng với mọi x, y, z  R nên ta chọn
các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong.

Chú ý: Các giá trị của x, y, z ta có thể chọn tuỳ ý,
chỉ cần chúng đôi một khác nhau để tránh P = 0 là đ-ợc.

Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng
thức (*), ta tìm đ-ợc a = - 1

VËy: P = x2

(y - z) + y2

(z - x) + z2

(x - y) = -(x - y)(y
- z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z).

Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau ra nh©n tư:

Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a

+ b - c)( b + c - a)( c + a - b).
Gi¶i:

Nhận xét: với a = 0 thì Q = 0, cho nên a là một
nhân tử của Q. Do vai trị bình đẳng của a, b, c nên b và c
cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các
biến nên Q = k.abc.

Chọn a = b = c = 1 đ-ợc k = 4. VËy Q = 4abc.
Bµi tËp tù lun:

Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau ra nh©n tư (173):
a) 4x4 - 32x2 + 1;

b) x6

+ 27;

c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2

+ x + 1)2

;
d) (2x2

- 4)2

+ 9;
Bài tập 2: Phân tích các ®a thøc sau ra nh©n tư (174):

a) 4x4 + 1; b) 4x4 + y4; c) x4

+ 324.

Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau ra nh©n tư (175):
a) x5 + x4 + 1;

b) x5

+ x + 1;
c) x8

+ x7

+ 1;

d) x5 - x4 - 1;

e) x7

+ x5

+ 1;
ROI

f) x8

+ x4

+ 1;
Bài tập 4: Phân tích các đa thøc sau ra nh©n tư (176):

a) a6

+ a4

+ a2

+ b4

- b6

; b) * x3

+ 3xy
+ y3

- 1.

Bµi tËp 5: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (172):
A = (a + b + c)3 - 4(a3 + b3+ c3) - 12abc b»ng c¸ch

đổi biến: đặt a + b = m, a - b = n.

Bµi tập 6**: Phân tích các đa thức sau ra nhân tö (178):
a) x8 + 14x4 + 1; b) x8 + 98x4

+ 1.

Bµi tËp 7: Chøng minh r»ng tÝch cđa 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp
céng thêm 1 là một số chính ph-ơng. (180)

Bµi tËp 8*: Chøng minh r»ng: sè A = (n + 1)4

+ n4

+ 1 chia
hÕt cho một số chính ph-ơng

khác 1 với mọi số n nguyên d-ơng. (181)

Bài tập 9: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho khi phân tích
đa thøc (x + a)(x - 4) - 7 ra nhân tử ta đ-ợc (x + b)(x +
c). <182>

Bài tập 10: Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho khi phân tích
đa thức x3 + ax2 + bx2 + c thành nhân tử ta đ-ợc (x +

a)(x + b)(x + c). <183>

Bài tập 11:(184)Số tự nhiên n có thể nhận bao nhiêu giá
trị, biết rằng khi phân tích đa thøc

+ x - n ra nh©n tư ta đ-ợc (x - a)(x + b) với a, b
là các số tự nhiên và 1 < n < 100 ?

Bµi tËp 12: (185)Cho A = a2

+ b2

+ c2

, trong đó a và b là
hai số tự nhiên liên tiếp và c = ab.

CMR: A là một số tự nhiên lẻ.

Ch 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên
A. Kin thc c bn

- Nắm đ-ợc tính chất chia hết trong tập hợp số
nguyên

- Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập
B. Ph-ơng pháp chung

I. Chøng minh tÝnh chia hết trong tập hợp số nguyên
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n N
hoặc n  Z)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n)
chia hết cho tất cả các số đó

NhËn xÐt: Trong k sè nguyên liên tiếp bao giờ
cũng tồn tại một bội cđa k

VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng:
A = n3

(n2

- 7)2

- 36n chÝ hÕt cho 5040 víi mọi số tự nhiên
n

Giải:

Phân tích ra thừa sè: 5040 = 24.32.5.7

Ta cã:
A = n[n2

(n2

- 7)2

- 36]
= n[(n3

- 7n)2

- 62

]
= n(n3

- 7n - 6)(n3

- 7n + 6)
Ta l¹i cã:

- 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3)
n3 - 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3)

Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3)
Đây chính là tích của bảy số nguyên liên tiếp. Trong
bảy số ngun liên tiếp

- Tån t¹i mét béi cđa 5 nªn A chia hÕt cho 5

- Tån tại một bội của 7 nên A chia hết cho 7
- Tồn tại hai bội của 3 nên A chia hÕt cho 9

- Tồn tại ba bội của 2, trong đó có một bội của 4 nên
A chia hết cho 16

A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố
cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040

¸p dơng:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì
a) a2

- a chia hÕt cho 2
b) a3 - a chia hÕt cho 3

c) a5 - a chia hÕt cho 5

d) a7

- a chia hÕt cho 7

Gợi ý: Phân tích thành tích của các số ngun liên
tiếp, khi đó tồn tại các số là bội của 2, 3, 5, 7

VÝ dơ 2: Sè chÝnh ph-¬ng

a) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph-¬ng chia cho 3
chØ cã thĨ cã sè d- b»ng 0 hc 1

b) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph-¬ng chia cho 4
chØ cã thĨ cã sè d- b»ng 0 hc 1

Giải:

Gọi A là số chính ph-ơng A = n2

(n N)
a) Xét các tr-ờng hợp:

n = 3k (k N)  A = 9k2

chia hÕt cho 3
n = 3k  1 (k N)  A = 9k2

 6k +1 chia
cho 3 d- 1

VËy sè chÝnh ph-¬ng chi cho 3 chØ cã thĨ có số d-
bằng 0 hoặc 1

b) Xét các tr-êng hỵp

n = 2k (k N) )  A = 4k2 chia hÕt cho 4

n = 2k + 1 (k N)  A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia

cho 4 d- 1

VËy sè chÝnh ph-¬ng chi cho 4 chØ cã thể có số d- bằng 0
hoặc 1

áp dụng:

Trong các số sau có số nào là số chính ph-ơng không?
M = 19922

+ 19932

+ 19942

N = 19922

+ 19932

+ 19942

+ 19952

P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100

L-u ý: Các hằng đẳng thức hay dùng để chứng minh tính
chia hết của một luỹ thừa.

- bn

= (a - b)(an-1

+ an-2

.b + an-3

.b2

+....+ a.bn-2

+ bn-1

) víi
n  N*

+ bn

= (a + b)(an-1

- an-2

.b + an-3

.b2

- .... - a.bn-2

+ bn-1

) với
mọi n lẻ Công thức Niu-tơn

(a + b)n

= an

+ c1an-1b + c2an-2b2 + ... + cn-1abn-1 + bn

Các hệ số ci đ-ợc xác định bởi tam giỏc Pa-xcan

áp dụng vào tính chất chia hết ta cã:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a2n+1

+ b2n+1

Chia hÕt cho a + b (a  - b)
(a + b)n

= BS a + bn

(BS a lµ béi sè cđa a)
VÝ dơ:

Bài tập áp dụng:
1/ Cho A = 11100

-1

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 10, chia hÕt cho 1000
2/ Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, biĨu thøc 16n

-
1 chia hÕt cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn

3/ Chøng minh r»ng víi n  N:
a) 11n+1

+ 122n+1

chia hÕt cho 133
b) 34n+2 + 2.43n+1 chia hÕt cho 17

c) 3.52n+1 + 23n+1 chia hÕt cho 17

II. T×m sè d-

VÝ dơ: T×m sè d- khi chia 2100

a) Cho 9
b) Cho 25
c) Cho 125
Gi¶i:

a) L thõa cđa 2 s¸t víi béi cđa 9 lµ 23 = 8 = 9 - 1

Ta cã: 2100 = 2.(23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.(BS 9 - 1) = BS 9 - 2

= BS 9 + 7

Sè d- khi chia 2100

cho 9 lµ 7

b) L thõa cđa 2 s¸t víi mét béi sè cđa 25 lµ 210

=
1024 = BS 25 - 1

Ta cã: 2100

= (210

)10

= (BS 25 - 1)10

= BS 25 + 1
VËy sè d- khi chia 2100 cho 25 lµ 1

c) Dùng công thức Niu-tơn:

2100

= (5 - 1)50

= 550

- 50.549

+ ... +
50.49

2 .52

- 50.5 + 1
Ta thấy 48 số hạng đầu tiên chứa l thõa cđa 5 víi sè mị
lín h¬n 3 nên chia hết cho 125. hai số hạng tiếp theo cũng
chia hết cho 125, số hạng cuối cùng là 1

VËy sè d- khi chia 2100 cho 125 lµ 1

Bài tập áp dụng:

a) Tìm số d- của phÐp chia Sn = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4

b) Chøng minh r»ng:

52n + 5n + 1 chia hÕt cho 31 víi mäi n kh«ng chia hết cho

III. Tìm chữ số cuối cùng trong biểu diễn thập
phân của một số

Ph-ơng pháp:

Xét số tự nhiên A = nk

với n, k N
Cách 1:

Muốn tìm chữ số cuối cïng cđa A ta chØ cÇn biĨu
diƠn A d-íi dạng:

A = 10a + b = ab

Thì b là ch÷ sè ci cïng cđa A
Ta viÕt A = nk

= (10q + r)k

= 10t + rk

Thì chữ số cuối cùng của A cũng chính là chữ số cña cïng
cña rk

- NÕu A = 100b + ab = abc thì bc là hai chữ số
cuối cïng cđa A

- ...
C¸ch 2:

Khi lÊy k lần l-ợt những giá trị tự nhiên khác nhau
thì trong biểu diễn thập phân của số A = nk

chữ số cuối
cùng hoặc một chữ số cuối cùng xuất hiện tuần hồn. Ta
chỉ cần tìm chu kì của hiện t-ợng này và A ở tr-ờng hợp

nào với giá trị k đã cho

C¸ch 3: Dïng phép chia có d-

Ví dụ: Tìm 3 chữ số tËn cïng cđa 2100 khi viÕt trong hƯ

thËp ph©n
Giải:

Ba chữ số tập cùng của 2100

là số d- cđa phÐp chia 2100

cho
1000

Theo vÝ dơ trên ta có 2100

= BS 125 + 1, mà 2100

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Mà 2100 chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó cũng

phải chia hÕt cho 8. Trong bèn sè trªn chØ cã 376 thoả
mÃn điều kiện

Vậy ba chữ số tận cùng của 2100

là 376
Bài tập:

1) Tìm 4 ch÷ sè tËn cïng cđa 51994

khi viÕt
trong hƯ thËp ph©n.

2) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 171983 +

111983 - 71983

3) T×m ba ch÷ sè ci cïng cđa sè A = m100

trong đó m là một số tự nhiên khác 0
IV. Tìm điều kiện chia hết

Ví dụ: Tìm số ngun n để giá trị của biểu thức A chia hết
cho giá trị của biểu thức B

A = n3

+ 2n2

- 3n + 2
B = n2 - n

Biến đổi

+ 2n2

- 3n + 2 = (n2

- n)(n + 3) + 2
Muèn A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2

-
n hay n(n - 1) do đó 2 phải chia hết cho n

n 1 -1 2 -2

n-1 0 -2 1 -3

n(n - 1) 0 2 2 6

Lo¹i Lo¹i

VËy n = -1 ; n = 2
Bµi tËp:

1) Tìm số nguyên d-ơng n để n5

+ 1 chia hÕt cho n3

+
1

2) Tìm số tự nhiên n sao cho
a) 2n - 1 chia hÕt cho 7

b) 2n

- 1 chia hÕt cho 7
c) n2

- 3n + 6 chia hÕt cho 5
d) n3

- n + 1 Chia hÕt cho 7
e) 2.3n

+ 3 chia hÕt cho 11
f) 10n

- 1 chia hÕt cho 81

g) 10n - 1 chia hÕt cho 11

h) 10n -1 chia hÕt cho 121

V. Tính chia hết đối với đa thức

1. T×m số d- của phép chia mà không thực hiện phép
chia

Ph-ơng pháp:

* Đa thức chia có dạng x - a víi a lµ h»ng sè
Sè d- cđa phÐp chia ®a thøc f(x) cho x - a b»ng giá
trị của đa thức f(x) tại x = a

* Đa thức có bậc từ bậc hai trở lên

Cách 1: Tách đa thức bị chia thành những đa thức
chia hết cho đa thức chia

Cách 2: Xét các giá trị riêng
Chú ý:

- bn

Chia hÕt cho a - b (a  b)
a2n+1

+ b2n+1

Chia hÕt cho a + b (a  - b)
VÝ dơ 1:

Chøng minh r»ng nÕu ®a thức f(x) có tổng các hệ
số bằng 0 thì ®a thøc Êy chia hÕt cho x - 1

Gi¶i:

Gäi f(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an

Theo gi¶ thiÕt: a0 + a1 + .... + an-1 + an = 0

Sè d- cña phÐp chia f(x) cho x - 1 lµ

r = f(1) = a0 + a1 + .... + an-1 + an = 0

VËy f(x) chia hÕt cho x - 1
VÝ dơ 2:

Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) có tổng các hệ số
luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số luỹ thừa bậc lẻ thì
f(x) chia hết cho x + 1

2. Tìm th-ơng và số d- của phép chia các đa thức
Ph-ơng ph¸p:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

1 2

0 1 2

...

n n n

a x



a x





a x



a

x x

Đa thức chia là x - a th-ơng là

1 2

0 1

...

2 1

n n

b x





b x



 

b



x b





sè d- r
Víi

b0 = a0

b1 = a.b0 + a1

b2 = a.b1 + a2

...
bn-1 = a.bn-2 + an-1

r = abn-1 + an

3. Chøng minh mét ®a thức chia hết cho một đa thức
Ph-ơng pháp:

* Phân tích đa thức bị chi thành nhân tử, trong đó
có một nhân tử là đa thức chia

VÝ dô 1:

Chøng minh r»ng x8n

+ x4n

+ 1 chia hÕt cho x2n

+ xn

+ 1 víi mäi một số tự nhiên n.
Giải:

x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n

= (x4n + 1)2 - (x2n)2

= (x4n

+ x2n

+1) (x4n

- x2n

+1)
x4n

+ x2n

+1 = x4n

+ 2x2n

+1- x2n

= (x2n

+ 1)2

- (xn

= (x2n

+ xn

+1) (x2n

- xn

+1)
VËy x8n

+ x4n

+ 1 chia hÕt cho x2n

+ xn

+ 1

* Biến đổi các đa thức chia thành một tổng các đa
thức chia hết cho đa thức chia

VÝ dô 2:

Chøng minh r»ng x3m+1

+ x3n+2

+ 1 chia hÕt cho ®a thøc x2

+ x + 1 víi mäi sè tù nhiªn m, n
Gi¶i:

x3m+1

+ x3n+2

+ 1 = x3m+1

- x + x3n+2

+ 1 - x2

+ x2

+ x
+ 1

= x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + x2

+ x + 1

Ta thÊy x3m - 1 vµ x3n - 1 chia hÕt cho x3 - 1

Do đó x3m

- 1 vµ x3n

- 1 chia hÕt cho x2

+ x + 1
VËy x3m+1

+ x3n+2

+ 1 chia hÕt cho ®a thøc x2

+ x + 1
* Sử dụng các biến đổi t-ơng đ-ơng, chẳng hạn để
chứng minh f(x) chia hết cho g(x), có thể chứng minh f(x)
+ g(x) chia hết cho g(x) hoặc

f(x) - g(x) chia hÕt cho g(x)
VÝ dô 3:

Chøng minh r»ng f(x) chia hÕt cho g(x)
f(x) = x99

+ x88

+ x77

+ ... + x11

+ 1
g(x) = x9

+ x8

+ x7

+ .... + x + 1
Gi¶i:

f(x) - g(x) = x99

- x9

+ x88

- x8

+... + x11

- x
= x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + ... +

x(x10 - 1)

Các biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho x10

- 1,

mµ x10

- 1 chia hÕt cho g(x)
VËy f(x) chia hÕt cho g(x)

* Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều
là nghiệm của đa thức bị chia

VÝ dô:

Cho f(x) = (x2 + x - 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 chøng

ming r»ng f(x) chia hÕt cho x2 - x

Giải:

Đa thức x2

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Chủ đề 2: Giải ph-ơng trình
A. Kiến thức cơ bn

- Nắm đ-ợc khái niệm ph-ơng trình bậc nhất một
ẩn, ph-ơng trình tích, ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu.

- Có kỹ năng giải ph-ơng trình một cách thành
thạo

B. Nội dung

I. Ph-ơng trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 1:

Giải ph-ơng trình a2x + b = a(x + b)

Gi¶i:

x + b = a(x + b)
 a2

x + b = ax + ab
 a2

x - ax = ab - b
 ax(a - 1) = b(a - 1) (1)

Nếu a 0, a 1thì ph-ơng trình cã nghiƯm duy nhÊt

b

x

a



Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, ph-ơng trình nghiệm
đúng với mọi x

Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, ph-ơng trình nghiệm
đúng với mọi x nếu b = 0, vô nghiệm nếu b  0

KÕt luËn:

NÕu a  0, a  1th× ph-ơng trình có nghiệm duy nhất

b

x

a

Nu a = 1 hoặc a = 0 và b = 0, ph-ơng trình nghiệm đúng
với mọi x

NÕu a = 0 và b 0, ph-ơng trình vô nghiệm
Bài tập áp dụng:

Giải ph-ơng trình:

a+x

3 )

a-1

1 x-a

)

3 b+c

x-a

3 )

b+c

a+b-x

a+c-x

b+c-x

4 )

1 c

b

a

x

a

x b

x c

b

c a

a

b

x b

x c

x

c

c a

a

b

a

b c

x

d

a

b c























 



 

 

II. Ph-¬ng trình tích

Định nghĩa:

Ph-ơng trình tích một ẩn là ph-ơng trình có dạng:
A(x).B(x)... = 0 (1)

Trong đó A(x), B(x), ... là các đa thức
Cách gii:

Giải từng ph-ơng trình A(x) = 0, B(x) = 0, .... rồi
lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Chó ý:

Việc phân tích đa thức thành nhân tử có vai trị
quan trọng trong việc đ-a ph-ơng trình về dạng ph-ơng
trình tích. Ngồi ra ta cịn dùng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1:

Gi¶i ph-ơng trình:

(x + 3)3 - (x + 1)3 = 56

Gi¶i:

(x + 3)3

- (x + 1)3

= 56
 x3

+ 9x2

+ 27x + 27 - x3

- 3x2

- 3x- 1 = 56
 6x2

+ 24x -30 = 0
 6(x2

+ 4x - 5) = 0
 x2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Có thể dùng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ x + 2 = y (x
+ 2 là trung bình cộng của x + 3 v x + 1)

Ví dụ 2: Giải ph-ơng tr×nh:
(x - 6)4

+ (x - 8)4

= 16
Giải:

Đặt x - 7 = y, ph-ơng trình trở thµnh:
(y + 1)4

+ (y - 1)4

= 16
Rút gọn ta đ-ợc:

y4 + 6y2 - 7 = 0

Đặt y2 = z (z 0), ta có z2 + 6z - 7 = 0  (z - 1)(z

+ 7) = 0

Ph-ơng trình này cho z1 = 1, z2 = -7 (lo¹i)

Với z = 1, nên y =  1
Từ đó x1 = 8 ; x2 = 6

Chú ý:

Khi giải ph-ơng trình bậc bốn dạng (x + a)4

+ (x +

b)4

= c ta th-ờng đặt ẩn phụ

2 a

b

y

x

áp dụng: Giải ph-ơng trình:

a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2

b) (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82

c) (x - 2)4

+ (x - 3)4

= 1
d) (x - 2,5)4

+ (x -1,5)4

= 1

* Ph-ơng trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng)
Trong ph-ơng trình đối xứng nếu a là nghiệm thì 1

a cịng
lµ nghiƯm

+ Ph-ơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có
một trong các nghiệm là x = -1

+ Ph-ơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đ-a đ-ợc về

ph-ơng trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ

1 y

x



Ví dụ 3:

Giải ph-ơng trình:
a) 2x3

+ 7x2

+ 7x + 2 = 0

b) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0

Gi¶i:

a) Biến đổi ph-ơng trình thành:
(x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0

Ph-ơng trình cã ba nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = -2 ;
3

1

2 x

b) Cách 1:

Đ-a ph-ơng trình về dạng: (x + 1)2

(x2

- x + 1) = 0
Ph-ơng trình có một nghiệm x = -1

Cách 2:

Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho x2

(vì x = 0
không là nghiệm của ph-ơng trình) ta đ-ợc:

2
2

1

3

4

0 x













 













Đặt

1 y

x

thì

2 2

1

2 x

y

x

, ta đ-ợc:
y2

- 3y + 2 = 0 nªn y1 = 1; y2 = 2

Víi y1 = 1, ta cã x2 - x + 1 = 0, v« nghiƯm

Víi y = 2, ta cã x2 - 2x + 1 = 0 nên x = 1

Bài tập áp dụng:

Giải ph-ơng trình
a) x4

+ 3x3

+ 4x2

+ 3x + 1 = 0
b) x5

- x4

+ 3x3

+ 3x2

- x + 1 = 0
c) x4

- 3x3

+ 4x2

- 3x + 1 = 0
d) 6x4

+ 5x3

- 38x2

+ 5 + 6 = 0
3. Ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu 
Các b-ớc gi¶i:

- Tìm điều kiện xác định của ph-ơng trình

- Quy đồng mẫu thức ở hai vế của ph-ơng trình rồi
khử mẫu thức

- Gi¶i ph-ơng trình vừa nhận đ-ợc

- Nghim ca ph-ng trình là các giá trị tìm đ-ợc
của ẩn thoả mãn điều kiện xác định.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1

3

2 (1)

2

4 (

2)(4

)

x











Gi¶i:

ĐKXĐ của ph-ơng trình là x  2, x  4
Biến đổi ph-ơng trình (1) ta đ-ợc:

(x - 1)(x - 4) + (x + 3)(x - 2) = -2
Thu gọn ph-ơng trình ta đ-ợc: 2x(x - 2) = 0 (2)
NgiƯm cđa (2) x1 = 0 ; x2 = 2

x1 = 0 thoả mÃn ĐKXĐ; x2 = 2 không thoả mÃn ĐKXĐ

Vậy S = {0}
Bài tập:

Giải ph-ơng trình với các tham sè a, b

1 )

x+a

3 )

2 x+3

a

b

x

a

b x

x

b

x a

4) Giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình:
a) Các b-ớc giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình:
B-ớc 1:

- Chn n và đặt điều kiện cho ẩn.

- Biểu diễn các đại l-ợng ch-a biết theo ẩn và các
đại l-ợng đã biết.

- Lập ph-ơng trình biểu thị sự t-ơng quan giữa các
đại l-ợng.

B-íc 2: Gi¶i ph-ơng trình.

B-ớc 3: Chọn kết quả thích hợp và tr¶ lêi
VÝ dơ 1:

Vào thế kỉ thứ III tr-ớc công nguyên, vua xứ
Xi-ra-cút giao cho Ac-si-met kiểm tra xem chiếc mũ bằng
vàng của mình có pha thêm bạc hay khơng. Chiếc mũ có
trọng l-ợng 5 niutơn (theo đơn vị hiện nay), khi nhúng
ngập trong n-ớc thì trọng l-ợng giảm đi 0,3 niutơn

BiÕt rằng khi cân trong n-ớc, vàng giảm
1

20 trọng

l-ợng, bạc giảm
1

10 trọng l-ợng. Hỏi chiếc mũ chứa bao
nhiêu gam bạc (vật có khối l-ợng 100 gam trì trọng l-ợng
bằng 1 niutơn)

Giải:

Gọi trọng l-ợng bạc trong mũ là x (niutơn) (0 < x

< 5). Trọng l-ợng vàng trong mũ là 5 - x (niutơn)

Khi nhúng ngập trong n-ớc, trọng l-ợng bạc giảm

10
x

(niutơn), trọng l-ợng vàng giảm
5

20
x

(niutơn)

Ta có ph-ơng trình:
5

0,3

10 20

x x 

Giải ph-ơng trình ta đ-ợc x = 1
Vậy trọng l-ợng bạc trong mũ là 1 niutơn.
Chiếc mũ chứa 100 gam b¹c.

Chó ý:

Khi giải bài tốn bằng cách lập ph-ơng trình,
ngồi ẩn đã chọn đơi khi ng-ời ta còn biểu thị những đại
l-ợng ch-a biết khác bằng chữ. Điều lý thú là các chữ đó
tuy tham gia vào q trình giải tốn nh-ng chúng lại
khơng có mặt trong đáp số của bài tốn.

VÝ dơ 2:

Một ng-ời đi nửa qng đ-ờng AB với vận tốc 20
km/h, và đi phần cịn lại với vận tốc 30 km/h. Tính vận tốc
trung bình của ng-ời đó trên cả qng đ-ờng.

Gi¶i:

Gọi vận tốc trung bình phải tìm là x (km/h). Ta
biểu thị một nửa quÃng đ-ờng AB là a km (a > 0).

Thời gian ng-ời đó đi nửa đầu quãng đ-ờng là 20
a

giờ, thời gian ng-ời đó đi nửa sau quãng đ-ờng là 30
a

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Ta có ph-ơng trình:

2
20 30

a a a

Giải ph-ơng trình ta đ-ợc x = 24

Vy vn tc trung bình của ng-ời đó trên cả qng
đ-ờng là 24km/h.

Bµi tËp:

1) Một khách du lịch đi từ A đến B nhận thấy cứ
15 phút lại gặp một xe buýt đi cùng chiều v-ợt qua, cứ 10
phút lại gặp một xe buýt chạy ng-ợc lại. Biết rằng các xe
buýt đều chạy với cùng một vận tốc, khởi hành sau những
khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên đ-ờng
(trên chiều từ A đến B cũng nh- chiều ng-ợc lại). Hỏi cứ
sau bao nhiêu phát thì các xe buýt lại lần l-ợt rời bến?

2) Trên quãng đ-ờng AB của một thành phố, cứ 6
phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng
cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ng-ợc lại. Các
xe này chuyển động đều với cùng vận tốc nh- nhau.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức
A. Mục tiêu

Học sinh nắm đ-ợc các tính chất của bất đẳng
thức, nắm đ-ợc các hằng bất đẳng thức, các ph-ơng pháp

chứng minh bất đẳng thức

Biết chứng minh bất đẳng thức mt cỏch thnh
tho.

B. Kiến thức cơ bản

I. Các tính chất của bất đẳng thức
- Tính bắc cầu: a > b ; b > c  a > c

- Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số
a > b  a + c  b + c

- Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:
a > b ; c > 0  ac > bc

a > b ; c < 0  ac < bc

- Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều,
a > b ; c > d  a + c > b + d

- Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ng-ợc chiều, đ-ợc
bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ:

a > b ; c < d  a - c > b – d

- Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế
không âm

a > b  0 ; c > d  0  ac > bd

- Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên d-ơng hai vế của bất
đẳng thức:

a > b > 0  an

> bn

a > b  an

> bn

víi n lỴ

a



b

 an

> bn

với n chẵn

- So sánh hai luỹ thừa cùng c¬ sè víi sè mị d-¬ng:
NÕu m > n > 0 th×: a > 1  am > an

a = 1  am

= an

0 < a < 1  am

< an

- Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu
hai vế cùng dấu

a > b , ab > 0 

1 a



b

II. Các hằng bất đẳng thức:
1. Ngoài các hằng bất đẳng thức a2

 0 ; -a2

 0,
cần nhớ các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt
đối:

a



Xẩy ra đẳng thức khi a = 0

a



a

Xẩy ra đẳng thức khi a  0

a

 

b

a



b

Xẩy ra đẳng thức khi ab  0

a b

 

a



b

Xẩy ra đẳng thức khi ab > 0 và
a  b

2. Một số hằng bất đẳng thức khác có thể sử dụng
nh- một bổ đề để giải toán.

+ b2

 2ab;

a b



  

 

  Hay (a + b)2

 4ab (bất đẳng thức
Cô-si);

1 1 4

a  b a víi a, b > 0 b
2

a b

b a víi a, b > 0 
(a2

+ b2

)(x2

+ y2

)  (ax + by)2

(Bất đẳng thức
Bu-nhi-a-cốp-xki)

III. Các ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức:
1. Dùng định nghĩa

§Ĩ chøng minh A > B, ta xÐt hiÖu A - B vµ chøng
minh A - B > 0

VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 -

5x + 6) + 1

Đặt x2 - 5x + 5 = y ta đ-ợc

(y - 1)(y + 1) + 1 = y2

 0

Vậy (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)  -1
2. Dùng phép biến đổi t-ơng đ-ơng 
Ví dụ 2:

Cho c¸c sè d-ơng a và b thoả mÃn điều kiện a + b = 1

Chøng minh r»ng:

1

9 a

b

























(1)

Ta cã:

1 a+1

1

9 .

9 a

b

a

b













 















 ab + a + b + 1  9ab (v× ab > 0)
 a + b + 1  8ab (v× a + b = 1)
 2  8ab

 1  4ab
 (a + b)2

 4ab (v× a + b = 1)
 (a - b)2

 0 luôn đúng

Vậy bất đẳng thức (1) đ-ợc chứng minh
Xẩy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b
3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức 
Ví dụ 3:

Cho a + b > 1. Chøng minh r»ng: 4 4

1

8 a



b



Gi¶i: Ta cã

a + b + 1 > 0 (1)
B×nh ph-¬ng hai vÕ:

(a + b)2

> 1 a2

+ 2ab + b2

> 1
(2)

Mặt khác

(a - b)2

 0  a2

- 2ab + b2

 0
(3)

Céng tõng vÕ (2) vµ (3)
2(a2

+ b2

) > 1  a2

+ b2

> 1
2 (4)
Bình ph-ơng hai vế của (4)

a4 + 2a2b2 + b4 > 1

4 (5)

Mặt khác

(a2

- b2

 0  a4

- 2a2

+ b4

 0 (6)
Céng tõng vÕ (5) vµ (6)

2(a4 + b4) > 1

4  a

4 + b4 > 1

8
4. Dùng ph-ơng pháp phản chứng 
Ví dụ 4:

Cho a2 + b2  2. Chøng minh r»ng: a + b 

2
Gi¶i:

Gi¶ sư a + b > 2, bình ph-ơng hai vế ta đ-ợc:

+ 2ab + b2

> 4 (1)
Mặt khác ta có:

(a - b)2

0  2ab  a2

+ b2

 a2

+ 2ab +
b2

 2(a2

+ b2

)
Mµ 2(a2

+ b2

)  4 (giả thiết), do đó
a2

+ 2ab + b2

 4 M©u thn víi (1)
VËy a + b 2

C. Bài tập áp dông:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2

a

b

c

b

a

b



c



a

  

b

a

c

2) Chứng minh các bất đẳng thức với a, b , c là các số
d-ơng:





1

9 a

b c

a

b

c





 



 





</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

1,5

a

b

c

b c



c a



a b





3) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng
minh rằng:

1 a b c

 



b c a

 



c a b

 

  

a

b

c

Gỵi ý:

áp dụng bất đẳng thức 1 1 4

x y x y víi x, y > 0
b)

3 a

b

c

b c a

 



a c b

 



a b c

 



2 a

b

c

b c



c a



a b





4) Cho a + b + c = 1. Chøng minh r»ng

2 2 2

a b c

b c

c a

a b

 





</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Chủ đề 4: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
A. Mục tiêu

- Häc sinh n¾m đ-ợc thế nào là giá trị lớn nhất, giá
trị nhá nhÊt cđa mét biĨu thøc

- Biết cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
ca mt biu thc

B. Các khái niệm cơ b¶n
1. Cho biĨu thøc f(x,y,...)

Ta nãi M là GTLN của biểu thức f(x,y,...) nếu thoả
mÃn hai ®iỊu kiƯn sau:

- Với mọi x, y,... để f(x,y,...) xác định thì
f(x,y,...)  M (M là hằng số) (1)
- Tồn tại x0 , y0 .... sao cho

f(x0, y0, ....) = M (2)

2. Cho biÓu thøc f(x,y,...)

Ta nãi M là GTNN của biểu thức f(x,y,...) nếu thoả
mÃn hai ®iỊu kiƯn sau:

Với mọi x, y,... để f(x,y,...) xác định thì
(1’)

f(x,y,...)  m (m lµ h»ng sè)
- Tån t¹i x0 , y0 .... sao cho

f(x0, y0, ....) = m

(2’)

Chó ý: NÕu chỉ có điều kiện (1) và (1) thì chưa thể
nói gì về cực trị của một biểu thức

Chẳng h¹n ta xÐt biĨu thøc
A = (x - 1)2 + (x - 3)2

Mặc dù A  0 nh-ng ch-a thể kết luận GTNN của
A = 0 vì khơng tồ tại giá trị nào của x để A = 0

C. Nội dung

I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu
thức chứa mét biÕn

1. Tam thøc bËc hai 
VÝ dô 1:

a) T×m GTNN cđa A = 2x2 - 8x + 1

b) T×m GTLN cđa B = -5x2 - 4x + 1

Gi¶i:

a) A = 2x2 - 8x + 1 = 2(x2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)2 - 7

 -7

Min A = -7 khi vµ chØ khi x = 2
b) B = -5x2

- 4x + 1 =

4

9

2

9

5

25

5 x

















  







 









Max B = 9

5 khi và chỉ khi x =
2
5

áp dông:

Cho tam thøc bËc hai P = ax2

+ bx + c
a) T×m GTNN cđa P nÕu a > 0
b) T×m GTLN cđa P nÕu a < 0
2. §a thøc bËc cao hơn hai

Ví dụ 2:

Tìm GTNN của A = x(x - 3)(x - 4)(x
- 7)

Gi¶i:

Ta cã: A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2

- 7x)(x2

- 7x
+ 12)

Đặt x2 - 7x + 6 = y thì

A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36  -36

VËy Min A = -36  x2 - 7x + 6 = 0  x

1 = 1; x2 = 6

3. Phân thức có tử là h»ng sè mÉu lµ tam thøc bËc hai 
VÝ dơ 3:

T×m GTNN cđa

2

2

6 5 9

A

x



 

Gi¶i:





2
2

2

9

6

5 3

1

4

A

x

x













Ta thÊy (3x - 1)2

 0 nªn (3x - 1)2



4. Ph©n thức có mẫu là bình ph-ơng của một nhị thức 
VÝ du 4:

T×m GTNN cđa

3

8

6

2

1 x

A

x











Gi¶i:

Ta cã:



 















2 2

2

4

2

4 2

3

8

6

2

1 1

x

x

x

A

x

x



 













 









Min A = 2 khi vµ chØ khi x = 2

II. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu
thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến
VÝ dơ 1:

T×m GTNN cđa A = x3

+ y3

+ xy biÕt r»ng
x + y = 1

Gi¶i:

Sử dụng kiều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A:

A = (x + y)(x2

- xy + y2

) + xy
= x2

- xy + y2

+ xy
= x2

+ y2

§Õn đay có nhiều cách giải:
Cách 1:

Biu th y theo x rồi đ-a về tam thức bậc hai đối
với x:

Thay y = x - 1vµo biĨu thức A ta đ-ợc

2 2

1

2 1 = 2

x-2

2 A x





x





x

 

x









 





Min A =

1

2

khi vµ chØ khi x =

1

2

, y =

1

2

C¸ch 2:

Sử dụng các điều kiện đã cho làm xuất hiện một
biểu thức mới có chứa A:

Bµi tËp:

1) Cho x + y + z = 3

a) T×m GTNN cđa A = x2

+ y2

+ z2

b) T×m GTLN cña B = xz + yz + zx
c) T×m GTNN cđa A + B

2) T×m GTNN cđa c¸c biĨu thøc
A = (x + 8)4 + (x + 5)4

B = (x - 1)(x - 3)(x2

- 4x + 5)

3

7 C

   

x

2 2

1

2 D



x

  

x

 

x

3) T×m GTNN, GTLN cđa

2
2

27 12

9

3

2

3

1 x

A

x

B

x















4) T×m GTNN cđa





1 A

a

b

a

b



















víi a, b > 0





1 B

a

b c

a

b

c







 



 



</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>





1 B

a

b c d

a

b

c

d







  



  







</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Chủ đề 5: Ph-ơng pháp diện tích trong chứng minh hình
học

A. Mơc tiªu

- Sử dụng các cơng thức tính diện tích để thiết lập
quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng để chứng
minh hình học

- Có kỹ năng sử dụng các cơng thức tính diện tích
để chứng minh hình học

B. Sử dụng các cơng thức tính diện tích để
chứng minh hình học.

VÝ dô 1:

Cho tam giác đều ABC.

a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc miền trong
của tam giác ABC thì tổng các khoảng cách từ M
đến ba cạnh của tam giác bằng chiều cao tam giác.
b) Quan hệ trên thay đổi nh- thế nào nếu điểm M

thc miỊn ngoµi tam giác
Giải:

Gi a v h l cnh v chiều cao của tam giác ABC,
MA’, MB’, MC’ là các khoảng cách từ M đến BC, AC,

a) NÕu M thc miỊn trong ABC th×

A'
A

B C

SMBC + SMAC + SMAB = SABC









1 .

'

.

'

.

'

.

2 a

'

2 '

BC MA

AC MB

AB MC

BC AH

a

MA MB

MC

h

MA MB

MC

h













</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Dương Thị Thuỷ 28

b) NÕu M thc miỊn ngoµi ABC vµ thc miỊn trong gãc A
(miỊn 2) th×:

7
6

B'
C'

A'
A

B C

SMAC + SMAB - SMBC = SABC









1 .

'

.

'

.

'

.

2 a

'

2 '

AC MB

AB MC

BC MA

BC AH

a

MB

MC

MA

h

MB

MC

MA

h





</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

K
H

A E

Gợi ý: Để chứng tỏ D thuộc tia phân giác của góc AIC , ta vẽ DH  AF, DK  IC, rồi chứng minh DH = DK.
Hai đoạn thẳng này là các đ-ờng cao của AFD và CED có cạnh đáy t-ơng ứng là AF và CE, do đo chỉ cần
chứng minh SAFD = SCED (các diện tích này đều bằng nửa SABCD)

2) Cho ABC có A900, D là điểm nằm giữa A và C. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ A và
từ C đến BD lớn hơn đ-ờng cao kẻ từ A và nhỏ hơn đ-ờng cao kẻ từ C của ABC

H
E

B C

Gợi ý: Gọi AH, CK là các đ-ờng cao của ABC. Kẻ AE và CF vuông góc với BD. Ta cÇn chøng tá AH < AE +
CF < CK

Cần biểu diễn các đoạn thằng AE, CF, AH, CK theo diện tích ABC
Đề c-ơng ôn tập học kì I

A) Đại số

Bài 1 : Tìm x biÕt:

a) 2x (x-5) - x(3+2x) = 26 b) 5x (x-1) = x- 1 c) 2(x+5) - x2- 5x = 0 d) 
(2x-3)2- (x+5)2= 0

e) ( 3x – 1 )( 2x + 7 ) – ( x + 1 )( 6x – 5 ) = 16 f) ( x + 4 )2 – ( x + 1 ) ( x – 1) = 16

g) ( 2x – 1 )2 – 4 ( x + 7 ) ( x – 7 ) = 0 h ) 5( x + 3 ) - 2x ( 3 + x ) = 0

i) ( x – 4 )2 – 36 = 0 j) x( x – 5 ) – 4x + 20 = 0

k) ( 2x + 5 ) ( 2x – 5 ) + ( 4 x5 – 2 x4 ) : (-x3) = 15

Bµi 2: Chøng minh r»ng biĨu thøc:

A = x(x - 6) + 10 lu«n lu«n d-¬ng víi mäi x. B= 4x2- 4x +3 > 0 víi mäi x R

Bµi 3 : Với giá trị nào của a để đa thức ( 3x3 + 10x2 + a – 5) chia hết cho đa thức ( 3x + 1 )
Bài 4 : Thực hin các phép tính sau:

a) x + 1
2x + 6 + 2

2x + 3

x + 3x b)
3

2x + 6 2
x - 6

-2x + 6x c)
x
x - 2y +

x

x + 2y + 2 2
4xy
4y - x

d) 1

3x - 2 2

1 3x - 6

-3x + 2 4 - 9x e)

3 2

2

x - 8 x + 4x

5x + 20 x + 2x + 4 f)

2
2

x + x 3x + 3
:
5x - 10x + 5 5x - 5

Bµi 5) Cho biểu thức : A =  

 2 

x - 3 3x - 1 1

-2x + 1 x - 9 3 - x

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Dương Thị Thuỷ 30

b) Tìm x để A = 9 va` Tính giá trị của biểu thức A với x = 1
2

Bai 6) Cho biểu thức B = 2

1

 
  
 
2

2 2 2

x + 2 x - 2 x

+ :

x - x x + x x

a/ Tìm điều kiện xác định của B & Rút gọn B
b/ Tính giá trị của biểu thức B với x = 2008

Bai`7) Cho phân thức P =

1
1
:

3
1
1
1
2
3 












x
x
x
x
x
x
x

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định.
b) Rút gọn biểu thức P. Tính giá trị của P tại x = 6.

c) Tìm x để phân thức có giá trị là số nguyên.

Bai`8) Cho phân thức:

x
x
x
x



3
2
1
2

.a) Tìm x để phân thức được xác định.
.b) Tìm x để phân thức có giá trị bằng 0.
c) Rút gọn phân thức.

1
1
:
3
1
1
1
2
3 













x
x
x
x
x
x
x

d) Chứng minh đẳng thức.

1
1
1
)
1
(
1





 n n

n

n e) Tính. 1

1
1
2




a
a
a
a

Bai 9) a) Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số? Dạng tổng quát.

b) Rút gọn.

2
2
2
2
b
a

bc
b
ac
a





Chứng minh hằng đẳng thức.

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
4
4

2 3 2 2

2     




1) a) Phát biểu quy tắc đổi dấu? & Áp dụng. Rút gọn:

a
b
y
x
x
x
x





;
1
2
2

2) Tìm giá trị của x để phân thức: 2 1 0

2




x
x
x

Bai`10. Tìm a để đa thức 6x3 + x2 - 29x + a chia hết cho đa thức 2x - 3

Bµi 11 . Cho biÓu thøc

3
9

6
3
3

2  





x
x
x
x
x
A

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A cã nghÜa. b) Rót gän A.c) T×m x sao cho A =
2
1

. d) Tìm
giá trị nguyên của x để A nhận giá trị d-ơng.

SGK –tr62 Bµi tËp 58 -> 64 SBT : bµi 54 ,55 ,56 ,59 ,61 64 ,65, 66, 67

B) H×nh Häc :

Bai`1) Cho đường cao AH. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC.

a) Chứng minh tứ giác BMNP là hình bình hành.
b) Tứ giác MHPN là hình gì? vì sao?

Bai` 2 ) Cho tam giac ABC đường cao AH. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC.

a) Chứng minh tứ giác BMNP là hình bình hành.
b) Tứ giác MHPN là hình gì? vì sao?

c) ABC th/m d/kien gì thì AMPN là hình chữ nhật , thoi , vu«ng?

Bai` 3) -Cho hcn ABCD. QuaA vẽ Ax// BD, Ax cắt đường thẳng CB tại E.

a) Chứng minh ABDE làhbh , Chứng minh ACE cân

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Bài 4) Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác AM. Gọi I là trung điểm AC, K là điểm đối

xứng của M qua I.

a) Tứ giác AMCK là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh AKMB là hình bình hành.

c) Tam giác ABC với điều kiện gì để tứ giác AKCM là hình vng ?
d) Cho AM = 4,5cm; MB = 2cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Bµi 5 . Cho tam giác ABC ,I nằm giữa B và C

Qua I vẽ đ-ờng thẳng // AB cắt AC ở H ,đ-ờng thẳng // AC cắt AB ở K
Tứ giác AHIK là hình gì ? I ở đâu thuộc BC thì AHIK là hình thoi ?
Tam giác ABC có điều kiện gì thì AHIK là hình chữ nhật ?

Bài 6 . Cho tam giác ABC M, N lần l-ợt là trung điểm của AC và AB .P và Q lần l-ợt thuộc BM vµ CN sao

cho BP = 1/3 BM ; CQ = 1/3 CN
a) MNPQ là hình gì ? vì sao?

b) Tam giác ABC phải thỏa mÃn đ/k gì thì thì MNPQ là hình chữ nhËt?

c) Tam gi¸c ABC, BM , CN thỏa mÃn đk gì thì MNPQ là hình thoi , hình vuông

Bài 7. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD),E là trung điểm của AB.

a) C/m EDC cân

b) Gọi I,K,M theo thứ tự là trung điểm của BC,CD,DA. Tg EIKM là hình gì? Vì sao?
c) Tinh S ABCD,SEIKM biet EK = 4, IM = 6.

Ba`i 8 . Cho tam giác ABC đường trung tuyến AE. Gọi M là trung điểm của AB và D là điểm đối xứng của E

qua M.

a. Tứ giác AEBD là hình gì ? Vì sao ?

b. Chứng minh : AC // DE ; ADEC la` hinh` binh` hanh`

c. Tam giỏc ABC cú thờm điều kiện gỡ thỡ AEBD là hỡnh thoi . Là hình vuụng? từ đó tớnh diện tớch tứ giỏc
AEBD biết AE = 5cm và BC = 6cm.N là trung điêmAC D’ đối xứng E qua N cm :D ,A ,D’ thẳng hàng

Bai` 9 . Cho ABC cân tại A , đường cao AH . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB , AC ; I là điểm

đối xứng của H qua E . Chứng minh rằng :

a) Tứ giác EFCB là hình thang cân b) AIBH là hình chữ nhật
c) Tứ giác IACH là hình gì ? d) AFHE l hỡnh thoi.

Bài 10 .Cho hình bình hành ABCD cãi AB= 2 AD .E, F thø tù lµ trung điểm AB , CD.

a)Các tứ giác AEFD , AECF là hình gì? tại sao?

b) M là giao ®iĨm cđa AF vµ DE , Giao ®iĨm cđa BF ,CE là N. C/m EMFN là hình chữ nhật
c)ABCD có thêm d/k gì thì EMFN là hình vuông?

Bi 11 . Tam giác ABC có góc a = 900 ,AM trung tuyến. D là trung điểm AB ,E đối xứng M qua D 
a) c/m E đối xứng M qua AB

b) AEMC , AEBM là hình g×?v× sao?
c) Cho BC = 4 cm tÝnh chu vi t- gi¸c AEBM

d) Tam gi¸c ABC có đ/k gì thì AEBM là hình vuông?

e) AB =3cm AC =4cm Tính diện tích t- giác AEBM và độ dài đoạn thẳng AM

H×nh SGK + SBT : ôn tập ch-ơng II

CNG HC K II 
MƠN TỐN LỚP 8 
NĂM HỌC 2009- 2010 
I. LÝ THUYẾT :

A. Một số câu hỏi lý thuyết và áp dụng lý thuyết

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Dương Thị Thuỷ 32

Câu 2 Nêu 2 quy tắc biến đổi tương đương để giải một phương trình ? Áp dụng giải phương trình

4 - 3x = x - 6 ?

Câu 3 Định nghĩa hai phương trình tương đương ? Hai phương trình cho dưới đây có tương đương hay khơng

? Vì sao ? 3x - 6 = 0 và x2 - 4 = 0

Câu 4 Điều kiện xác định của một phương trình là gì ? Áp dụng tìm ĐKXĐ của phương trình

1
2
1






x
x
x ?

Câu 5 : Nêu các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ? Áp dụng giải phương trình

)
3
)(
1
(

2
2

2
6

2     x x

x
x

x

?

Câu 6 Nêu các bước để giải một bài toán bằng cách lập phương trình ? 
Câu 7: Nêu định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ? Cho ví dụ.

Câu 8 Định nghĩa hai bất phương trình tương đương ? Áp dụng hãy chứng tỏ hai bất phương trình cho dưới

đây là 2 bất phương trình tương đương : - 3x + 2 > 5 và 2x + 2 < 0

Câu 9 Phát biểu hai quy tắc biến đổi để giải bất phương trình ? Áp dụng giải bất phương trình ax + b  0 (

với a  0 và ẩn là x ) ?

Câu 10: Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số a?

Áp dụng: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức: A = -2x + 5 + 4x trong hai trường hợp

0, 0

x x

II. Hình học: 
Câu 1 Phát biểu ,vẽ hình , ghi GT, KL, định lý Ta-lét thuận ? Áp dụng cho tam giác ABC có M AB và N

AC. Biết MN // BC và AM = 4cm, AN = 5cm, NC = 3cm. Tính độ dài AB

Câu 2 Phát biểu,vẽ hình , ghi GT , KL, định lý Ta-lét đảo ? Áp dụng cho tam giác ABC có M AB và N

BC sao cho AM = 2, BM = 4, BN = 6 và CN = 3. Chứng tỏ MN // AC ?

Câu 3 Phát biểu ,vẽ hình , ghi GT , KL hệ quả của đ/l ta lét.

Câu 4 Phát biểu tính chất đường phân giác trong tam giác ? Áp dụng cho tam giác ABC, đường phân giác BD.

Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB ở I. Biết DI = 9cm, BC = 15cm. Tính độ dài AB ?

Câu 5 Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng ?Áp dụng cho ABC có AB:AC:BC = 4 :5:6 MNK đồng

dạng vớiABC và có chu vi bằng 90cm.Tính độ dài mỗi cạnh của MNK

Câu 6 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( c-c -c ) của hai tam giác ? Áp dụng cho ABC và MNK có độ dài

các cạnh lần lượt là : AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 6cm và MN = 10cm, NK = 6cm, MK = 12cm. Hỏi tam giác
ABC đồng dạng với tam giác nào ?

Câu 7 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( g-g) của hai tam giác ? Áp dụng cho hai tam giác cân ABC và DEF

có góc A bằng góc E. Hỏi ABC đồng dạng với tam giác nào ?

Câu 8 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( c-g-c ) của hai tam giác ? 
Câu 9 Phát biểu các trường hơp đồng dạng của hai tam giác vuông ?

Câu 10 Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó có quan hệ như thế

nào ?

Áp dụng cho ABC đồng dạng với RPQ với tỉ số đồng dạng bằng 2,5. Biết diện tích của RPQ bằng 50cm2.

Hãy tính diện tích của ABC ?

Câu 11: Các vị trí của hai đường thẳng trong không gian? Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt

phẳng? Cách chứng minh hai mặt phẳng song song? Cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng?
Cách chứng minh hai mặt phẳng vng góc?

Câu 12 Cho hình hộp chữ nhật ABCDMNPQ có đáy ABCD tương ứng với đáy MNPQ. Hãy viết :

a) Các đường thẳng song song với đường thẳng MN ? b) Các đường thẳng  BC ?
c) Các mặt phẳng // mp(ABNM) d) Các mặt phẳng  mp(ADQM)

Câu 13 - Hình lập phương có mấy mặt, mấy cạnh, mấy đỉnh? Các mặt là những hình gì ?

- Hình hộp chữ nhật có mấy mặt, mấy cạnh , mấy đỉnh ?

- Hình lăng trụ đứng tam giác có mấy cạnh, mấy đỉnh, mấy mặt ?

B/ Một số bài tập luyện tập

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

1. Giải các phương trình sau:

a) 6x – 3 = -2x + 6 b) 2(x – 1) + 3( 2x + 3) = 4(2 – 3x) - 2
c) 3 – 2x(25 -2x ) = 4x2 + x – 40 ; d) 7 1 2 16

6 5

x x

x

 

  ; e)2(1 2 ) 2 3 2 2(3 1)

4 6 2

x x x

  

  

f) 3 2 2 1 2 3

3 2 3

x x

x

    

;

g) 1 2 4

2x3x(2x3) x h)

1 1 2( 2)

2 2 4

x x x

  

 

   ; i) (x-2)(2x-3) = ( 4-2x)(x-2) k) x 7 2 ;
l) 5 2 x  1 x m) 5x = 3x + 4

2. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) 12 – 3x < 7 ; b) 3(x -1) – 4(2 – 4x) > 3(x+ 2) ; c) 3 2 1

2 5

x x

 

 ;

d) 4 3 2

x 

 ; e) 4 5 7

3 5

x  x

; f) 2 1 1 3

3 2

x x  ; g) (x - 3)(x + 3) < (x + 2)2

+ 3

3) Giải các bài tốn tìm x đưa về BPT :

1/ Tìm x để phân thức :

x

2
5

 khơng âm

2/ Tìm x biết 1
1
2




x

3/ Cho A =
8
x

5
x




.Tìm giá trị của x để A dưong.

4/ Tìm x sao cho giá trị biểu thức 2-5x nhỏ hơn giá trị biểu thức 3(2-x)
5/ Tìm x sao cho giá trị biểu thức -3x nhỏ hơn giá trị biểu thức -7x + 5

6/ Tìm x sao cho: a) Giá trị của biểu thức 4 – 7x không lớn hơn giá trị của biểu thức 4x – 2
b ) Giá trị của biểu thức - 4x + 3 không vượt quá giá trị của biểu thức 5x – 7
GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

1) Một người đi xe đap từ A đến B với vận tốc 12km/h.Khi từ B trở về A người ấy đi với vận tốc 9km/h. Vì thế

thời gian về mất nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ. Tính quãng đường từ A đến B.

2). Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng là 30 . Tỉ số của hai số là 2

3). Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 80 và hiệu của chúng là 30.

4). Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 5. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 5 đơn vị thì dược

phân số mới bằng phân số 2

3. Tìm phân số ban đầu.

5). Một đội máy cày dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha. Vì vậy đội khơng

những đã cày xong trước thời hạn 2 ngày mà cịn cày thêm được 4 ha nữa. Tính dtích ruộng mà đội phải cày
theo kế hoạch .

6). Số lượng dầu trong thùng thứ nhất gấp đôi số lượng dầu trong thùng thứ hai. Nếu bớt ở thùng thứ nhất 75 lít

và thêm vào thùng thứ hai 35 lít thì số lượng dầu trong hai thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu lúc đầu ở mỗi
thùng.

7). Một người đi ôtô từ A đến B với vân tốc trung bình là 50km/h. Lúc về ôtô đi với vận tốc nhanh hơn lúc đi

là 10km /h. Nên thời gian về ít hơn hơn thời gian đi là 1giờ.Tính quãng đường AB.

8). Một ngưịi đi ơtơ từ A đến B với vtốc dự định là 48 km/h. Nhưng sau khi đi được 1 giờ với vận tốc ấy,

người đó nghỉ 10 phút và tiếp tục đi tiếp. Để đến B kịp thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm
6km/h. Tính qđường AB.

9). Một canơ xi dịng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính

khoảng cách giữa bến A và bến B. Biết vận tốc dòng nước là 2km/h.

10) Một người đi xe máy từ A đến B với quãng đường dài 270km. Cùng lúc đó 1 người thứ hai đi ô tô từ B về

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Dương Thị Thuỷ 34

11/ Khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82m .Chiều dài hơn chiều rộng 11m .Tính diện tích khu vườn.
12/ Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, và ngược dòng từ bến B đến bến A mất 5h. Tính
khoảng cách giữa hai bến , biết vận tốc dòng nước là 2km/h.

BÀI TẬP HÌNH HỌC :

Bài 1: Cho  ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vng góc với AB tại B và đường vng góc

với AC tại C cắt nhau ở K. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:

a)  ADB  AEC b) HE.HC = HD.HB c) H, M, K thẳng hàng.
d)  ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác HBCK là hình thoi ? Là hình chữ nhật.

Bài 2: Cho  ABC ( Â=900 ), AB = 12cm, AC = 16cm, tia phân giác của Â cắt BC tại D.
a) Tính tỉ số diện tích của 2 tam giác ABD và ACD. Tính độ dài cạnh BC
b) Tính độ dài BD, CD. c)Tính chiều cao AH của  ABC

Bài 3 : Cho hình hộp chữ nhật ABCDMNPQ có đáy ABCD tương ứng với đáy MNPQ. Hãy viết :

a) Các đường thẳng song song với đường thẳng MN ? b) Các đường thẳng  BC ?
c) Các mặt phẳng // mp(ABNM) d) Các mặt phẳng  mp(ADQM)

Bài 4 : Cho tam giác ABC vng tại A, có AB = 3cm, AC = 5cm , đường phân giác AD. Đường vuông góc với

DC cắt AC ở E .

a) Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEC đồng dạng .
b) Tính độ dài các đoạn thẳng BC , BD

c) Tính độ dài AD

d) Tính diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác ABDE

Bài 5 : Cho ABC vng tại A có đường cao AH .Cho biết AB=15cm, AH=12cm

a) Chứng minh AHB , CHAđồng dạng

b) Tính độ dài đoạn thẳng HB;HC;AC .

c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE=5cm ;trên cạnh BC lấy điểm F sao cho
CF=4cm.Chứng minh CE F vuông.

d) Chứng minh :CE.CA=CF

c) Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH.

Bài 7 : Cho ABC vng ở A có AB = 8cm, AC = 15cm, đuờng cao AH.

a/. Tính BC, AH;

b/. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H nên AB, AC. Tứ giác AMNH là hình gì? Tính độ dài MN.
c/. Chứng minh rằng A M.AB = AN.AC.

Bài 8 : Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến BD. Phân giác của góc ADB và góc BDC lần lượt cắt AB,

BC ở M và N. Biết AB = 8cm, AD = 6cm.
a/. Tính độ dài các đoạn BD, BM;

b/. Chứng minh MN // AC;

c/. Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích của tứ giác đó.

Bài 9 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm,AD = 24cm,E là trung điểm của AB.Tia DE cắt AC ở F cắt

CB ở G.

a/. Tính độ dài các đoạn DE, DG, DF;
b/. Chứng minh rằng: FD2 = FE.FG.

Bài 10 : Cho ABC vuông ở A ; AB = 48 cm ; AC = 64cm . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD

= 27 cm ; trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 36 cm .
a/ Chứng minh ABC đồng dạng ADE

b/ Tính độ dài các đoạn BC ; DE .
c/ Chứng minh DE // BC.

d/ Chứng minh EB



BC .

Bài 6 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Bài 11 : Cho ABC ( AB < AC ), Phân giác AD . Trên nưả mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ
tia Cx sao cho BCxBAD . Gọi I là trung điểm của Cx và AD .

Chứng minh : a/ ADB đồng dạng với ACI ; ADB đồng dạng với CDI .
b/ AD2 = AB.AC – DB.DC .

Bài12:Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnhAB = 8cm,cạnh bên SA = 5cm

a/. Tính trung đoạn SH của hình chóp;
b/. Tính đường cao SO của hình chóp;

c/. Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình chóp

Bài 13 : Cho một lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vng cân vớt độ dài cạnh góc vng là

AB = AC = 6cm và chiều cao của lăng trụ là AA’ = 12cm. Tính:
Diện tích xung quanh; diện tích tồn phần; Thể tích của lăng trụ.

MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ SỐ 1

A. LÝ THUYẾT ( 2 điểm)( Chọn một trong 2 câu sau)

Câu1: Phát biểu định nghĩa phương trình bật nhất mơt ẩn .Cho ví dụ
Câu2: Phát biểu tính chất đường phân giác của một góc trong tam giác.
Vẽ hình ghi giả thuyết , kết luận.

Phần 2 : TỰ LUẬN ( 8 điểm )

Bài 1 : 2 điểm: Giải các phương trình sau: 
a) 2x +1 = 15-5x

b)

2
2
2







x
x
x

x
Bài 2 : 1điểm

Giải bất phương trinh và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số

2
7

3
6

2 



 x

x

Bài3: 1.5điểm: Giải bài toán băng cách lập phương trình.

Hai thùng dầu A và B có tất cả 100 lít .Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B 18 lít thì số
lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu ở mỗi thùng lúc đầu.

Bài4: 3.5điểm

Cho ABC vuông tại A,vẽ đường cao AH của ABC.

a) Chứng minh ABH đồng dạng với CBA

b) Tính độ dài BC,AH,BH. Biết AB=15cm,AC=20cm

c) Gọi E,Flà hai điểm đối xứng của H qua AB và AC. Tính diện tích tứ giác EFCB

ĐỀ SỐ 2 
Bài 1 : Giải các phương trình sau :

a/ 3x – 2 = 2x + 5
b/ ( x – 2 ) (

3
2

x – 6 ) = 0

c / 2 2

2
3







x
x
x

x

Bài 2 : a/Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số

3x – (7x + 2) > 5x + 4

b/Chứng minh rằng : 2x2 +4x +3 > 0 với mọi x

Bài 3 : Giải bài tốn bằng cách lập phương trình :

Tổng của hai chồng sách là 90 quyển . Nếu chuyển từ chồng thứ hai sang chồng thứ nhất 10 quyển thì số sách
ở chồng thứ nhất sẽ gấp đơi chồng thứ hai . Tìm số sách ở mỗi chồng lúc ban đàu .

Bài 4: Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm . Tính thể tích hình

hộp chữ nhật đó .

Bài 5 : Cho  ABC có AB=12cm , AC= 15cm , BC = 16cm . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM =3cm . Từ

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Dương Thị Thuỷ 36

b/ Chứng minh K là trung điểm của MN

c/ Trên tia MN lấy điểm P sao cho MP= 8cm . Nối PI cắt AC tại Q
chứng minh QIC đồng dạng với AMN

ĐỀ SỐ 3

A/Lý thuyết: (2 điểm) 
Câu 1: (1 điểm)

Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn. Cho ví dụ.

Câu 2: (1 điểm)

Viết cơng thức tính thể tích hình lập phương cạnh a.

Áp dụng: Tính thể tích hình lập phương với a = 15 cm

B/ Bài toán: (8 điểm) 
Bài 1: (1.75đ)

Giải các phương trình sau:
a/ x – 3 = 18

b/ x(2x – 1) = 0

c/ 2

1
x

2
x
x

x 






Bài 2: (1.5đ)

a/ Giải bất phương trình sau: – 4 + 2x < 0.
Hãy biểu diễn tập nghiệm trên trục số
b/ Cho A =

8
x

5
x




.Tìm giá trị của x để A dưong.

Bài 3: (1.25đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một đồn tàu đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Lúc về đồn tàu đó đi với vận tốc 35 km/h, nên thời gian về
nhiều hơn thời gian đi là 12 phút. Tính quãng đưòng AB.

Bài 4: (3.5đ)

Cho tam giác ABC, có Â = 900, BD là trung tuyến. DM là phân giác của góc 
ADB, DN là phân giác của góc BDC (MAB, NBC).

a/ Tính MA biết AD = 6, BD = 10, MB = 5.
b/ Chứng minh MN // AC

c/ Tinh tỉ số diện tích của tam giác ABC và diện tích tứ giác AMNC.

ĐỀ SỐ 4

Bài 1 Giải phương trình:

)
3
)(
1
(

2
2

2
)
3
(

2     x x

x
x

x

Bài 2 Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình 12km/h. Lúc trở về, người đó đi bằng xe máy

với vận tốc trung bình là 40km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 3 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.

Bài 3 Cho tứ giác ABCD có AC  BD, gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng

minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

ĐỀ SỐ 5

Bài 1 Cho biểu thức A= 1 1 : 2 4

1 1 1

x

x x x với x≠1, x≠-1, x≠4

a. Rút gọn biểu thức A
b. Tính A khi x=6

Câu 2 Hai nhóm cơng nhân đóng gạch xây dựng, mỗi giờ nhóm thứ I đóng được nhiều hơn nhóm thứ II là 10

viên gạch. Sau 3 giờ làm việc tổng số gạch hai nhóm đóng được là 930 viên. Hỏi mỗi nhóm trong một giờ đóng
được bao nhiêu viên gạch?

Câu 3 Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD và BC, đáy lớn CD gấp đơi dáy nhỏ AB.

a) Tính các góc của hình thang.

b) Đáy lớn DC = 20 cm. Tính chu vi hình thang.

c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh OC = 2OA

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Câu 1: Giải Bất phương trình:

2

1

3

2 x



x





Câu 2: Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B mất 6 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 7 giờ. Tính

khoảng cách giữa hai bến A và B . Biết vận tốc dòng chảy của nước là 2 km/h.

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH.

Chứng minh: a) ∆AHC ~ ∆BAC
b) ∆AHC ~ ∆BHA

ĐỀ SỐ 7

Câu 1: Giải phương trình:

6 3

x

x
x

  

Câu 2: Tìm số học sinh của lớp 8A biết rằng học kì I số học sinh giỏi bằng 1/10 số học sinh cả lớp. Sang học kì

II có thêm 2 ban phấn đấu trở thành học sinh giỏi nửa, do đó số học sinh giỏi bằng 15% số học sinh cả lớp.

Bài 3. :(4 điểm).

Trên 1 cạnh của 1 góc có đỉnh A đặt đoạn thẳng AE = 3cm, AC = 8cm. Trên cạnh thứ 2 của góc đó đặt
các đoạn thẳng AD = 4cm, AF = 6cm.

a. Chứng minh rằng AEF ADC.

b.Gọi I là giao điểm của CD và EF. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác IDF và IEC

Câu 4; Tính thể tích hình chóp đều bên,

biết đường cao AO = 12cm, BC = 10cm

H
B

C

D

O
A

ĐỀ SỐ 8

Câu 1: Giải phương trình 0
2
3
4
2

5 




 x

x

Câu 2: Một đội công nhân dự định mỗi ngày đắp 45 m đường. Khi thực hiện mỗi ngày đội đắp được 55 m vì

vậy đội không những đã đắp xong đoạn đường đã định trước thời hạn 1 ngày mà còn đắp thêm được 25 m nữa.
Hỏi đoạn đường mà đội dự định đắp dài bao nhiêu mét?

Câu 3: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có AB =

CD. Cho AB = 6 cm; BC = 5 cm.
a)Tính chu vi hình thang

b)Tính đường cao AH và diện tích hình thang.

c)Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua O và song song với đáy hình thang cắt BC tại M.
Tính BM.

d)Chứng minh 3

OD
BD
OC

AC

Ngày soạn 
Ngày giảng:

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Dng Thị Thuỷ 38

định lý ta lét trong tam giác

I- Môc tiªu

- Củng cố và khắc sâu định lí đảo và hệ quả của định lý Talét

- Rèn kĩ năng tính tốn cho HS

- RÌn tÝnh cẩn thận, chính xác cho HS
II- Chuẩn bị

GV: B¶ng phơ, th-íc

HS: Th-ớc; Ơn lại định lí đảo của định lí Talét, hệ quả.
III- Tiến trỡnh dy hc

Nội dung Ph-ơng pháp

Bi 1:

Cho đoạn thẳng MN lấy P sao cho

MP 2

Np . Tính 5
MP
MN và

NP
MN
Bài 2:

Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy D. Hạ
BH, DK vu«ng gãc víi AC. VÏ DD’//BC.

Chøng minh DK DD '

BH  BC

K
H

D D'

C
B

Bµi 3:

Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia Ba
lấy M sao cho AB 4

BM  . VÏMN//BC (N 3
thuéc AC).

a. BiÕt MN=2,7. TÝnh BC
b. BiÕt BC=1,7. TÝnh MN

3
4

N
M

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Bµi 4:

Cho tam giác ABC có AB=9cm,AC=12cm.
Trên AB lấy R sao cho AR=3cm. Trªn AC
lÊy N sao cho NC=8cm.

a. Chứng minh: NR//BC

b. Gọi I là trung điểm của ; AI cắt NR
tại J. Tính RJ

I
A

B C

3 8

R N

Bµi 5:

Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB.
Trên DC lấy E sao cho ED 1

CD Gọi M là 2
giao điểm của AE và BD ; N là giao
điểm của BE và AC.

a. Chøng minh: ME.ABMA.EC
vµ ME.NBNE.MA

b. Chøng minh: MN//DC

N

M

E

D

C

B

A

Cñng cè

? Định lý ta lét đ-ợc dùng để giải dạng bài tập nào ?

? Hệ qủ củađịnh lý ta lét đ-ợc dùng để giải dạng bài tập nào ?
? Định lý đảo của định lý ta lét đ-ợc dùng để giải dạng bài tập nào ?

H-ớng dẫn học ở nhà
Xem lại cỏc bi tp ó cha

Làm các bài tập trong sách bài tập

Ngày soạn: 
 Ngày giảng:

Buổi 2

tính chất đ-ờng phân giác

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Dng Thị Thuỷ 40

- Củng cố cho HS về định lý Talét, hệ quả của định lý Talét, định lý đ-ờng phân giác trong tam
giác.

- áp dụng tính chất đ-ờng phân giác để làm bài tập tính toán.

- Rèn cho HS kỹ năng vận dụng định lý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng
minh hai đ-ờng thẳng song song.

II- Chuẩn bị

GV:Bảng phụ, th-ớc, com pa
HS: Th-ớc, com pa

III- Tiến trình dạy học

Nội dung Ph-ơng pháp

Bài 1:

Cho tam gác ABC có trung tuyến AM.

Vẽ phân giác ME của góc AMC đ-ờng
thẳng vuông góc với ME tại M cắt AB
tại D .

Chøng minh DE//BC

D E

M C

Bµi 2:

Cho tam giác ABC có BE, CF là các
đ-ờng phân giác

Chứng minh rằg:

AB.EC.FA = AC.FB.EA

C
B

Bài 3:

Cho tam giác ABC. Đ-ờng phân giác
ngoài góc B cắt cạnh Ac tại M. Chứng
minh: MA BA

MC BC

X C

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

c¹nh AC lÊy M sao cho AM BH
AC  BC
a) Chøng minh : HM//AB
b) BiÕt HM=4 vµ BH 1
BC  3

c) Chøng minh trung tun CD cđa tam
gi¸c ABC cịng là trung tuyến của tam
giác CMH

HD :

m
a

h
d

c
b

Bài 5 : Cho hình thang ABCD có đ-ờng trung
bình MN ( M thuộc AD) , hai cạnh bên DA và
CB kéo dài cắt nhau tại I. Biết AB<CD.
Chøng minh

a) IM.NC = IN.AM
b) 2MN 1 IB

DC  IC

HD :

a) MA

NC
im 
im.n c = in .ma

in hay
MA

NB

im

in . Dựa vào định lý Ta lét với tam
giác IMN

b) 2MN 1 IB
DC  IC

Gi¶i :

Theo hệ quả của định lý ta lét ta có :

IB AB CD AB AB CD

IC CD IC IB IB IC



   



Hay CD 2MN 2MN IB IC 1 IB

IC IB IC CD IC IC



    



b) HD :

2MN IB AB CD IC IB
1

DC IC DC IC

 

   

AB CD IC IB AB CD CD

DC IC IC IB IC

     



H-íng dÉn häc ë nhµ

Xem lại các bài tập đã chữa

Làm các bài tp trong sỏch bi tp

Ngày soạn: 
Ngày giảng:.

Buæi 3

Tam giác đồng dạng

n
m

c
b

d
a

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Dương Thị Thuỷ 42

I- Mơc tiªu

- Củng cố cho HS về đinghj nghĩa , tính chất, về tam giác đồng dạng
- áp dụng các tr-ờng hợp đồng dạng của 2 tam giác để làm bài tập tính tốn.

- Rèn cho HS kỹ năng vận dụng kiến thức ý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng
minh hai đường thẳng song song..

II- Chuẩn bị

GV:Bảng phụ, th-ớc, com pa
HS: Th-ớc, com pa

III- Tiến trình dạy học

Nội dung Ph-ơng pháp

Bài 1 :

Cho tam giỏc ABC đồng dạng với tam
giác A’B’C’ theo tỷ số k. Biết chu vi tam
giác ABC bằng 12cm.

a. Chøng

minh: AB AC BC k

A ' B ' A ' C ' B ' C '

  

 

b. TÝnh chu vi tam gi¸c A’B’C’ víi
2

k
3


c
b

a

c '
b'

a '

Bµi 2:

Cho tam giác ABC đồng dạng với tam
giác A’B’C’ theo tỷ số k . Biết diện tích
tam giác ABC bằng 24 cm2.

a. Chøng minh: ABC 2
A ' B ' C '

S 

b. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c A’B’C’
víi k 2

c

b

a

c '

b'

a '

Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông tại Acó đ-ờng
cao AH. Chứng minh:

a. ABCđồng dạng với CAB

b. AB BC

AH AC

h

c
b

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Bài 4: Cho hình thang ABCD vng tại
A, đáy nhỏ AD , đ-ờng chéo BD vuông
góc với cạnh bên BC. Chứng minh:

a. ABDBCD

b. Tam giác ABD đồng dạng tam
giác BCD

c. BD2 = AB.DC

d

c

b

a

Bài 5: Cho tam giác ABC cã trung tuyÕn
AM. Gäi I là trung điểm của AM ; BI
cắt AC tại E. Gọi F là trung điểm cña
BE.

a) Chøng minh:

+ Tam giác BFM đồng dạng với tam
giác BEC;

+ Tam giác IFM đồng dạng với tam
giác IEA

b) TÝnh tû sè AE
AC

Cho h×nh bình hành ABCD có B>900.

VÏ CE vu«ng gãc víi AB, VÏ CF vu«ng
gãc víi AD, VÏ BI vu«ng gãc víi AC.

a) Chøng minh:

+ Tam giác ABI đồng dạng với tam
giác ACE;

+ Tam giácEAFC đồng dạng với tam
giác CIB

a i



d c

a e

a c

;



a f

a c

c i

a d

Cho tam giác ABC có

B 2c



. Trên tia
đối của tia BA lấy K sao cho BK = BC.
Chứng minh :

a) Tam giác ABc đồng dạng với tam
giác AKC

AC



AB.AK

k

c

b

a

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Dương Thị Thuỷ 44

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Ngày soạn: 
Ngày giảng:.

Buổi 4

Tam giỏc đồng dạng

I- Mơc tiªu

- Củng cố cho HS về đinghj nghĩa , tính chất, về tam giác đồng dạng
- áp dụng các tr-ờng hợp đồng dạng của 2 tam giác để làm bài tập tính tốn.

- Rèn cho HS kỹ năng vận dụng kiến thức ý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng
minh hai đường thẳng song song…..

II- Chuẩn bị

GV:Bảng phụ, th-ớc, com pa
HS: Th-ớc, com pa

III- Tiến trình dạy học

Nội dung Ph-ơng pháp

Bài 1 :

Cho hình bình hành ABCD. Từ A vẽ
đ-ờng thẳng cắt đ-ờng chéo BD tại I,
cắt cạnh BG tại J, cắt phần kéo dài
cạnh DC t¹i K. Chøng minh

a) BI.AI = DI.IJ ; DI.AB = DK.BI

AB

KC

AJ



KJ

Bµi 2:

Cho hình thang ABCD có 2 cạnh bên AD
và Bc cắt nhau tại M. Đ-ờng thẳng qua
M cắt cạnh đáy Dc và AB tại E và F.
Chứng minh:

DC

DE

EC

AB



AF



FB

Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông tại Acã ®-êng
cao AH. Chøng minh:

a. AHBđồng dạng với CHA

b. AB HB

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Dương Thị Thuỷ 46

Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H,
trọng tâm G. Gọi M là trung điểm của
BC, N là trung điểm của AC, O là giao
điểm các đ-ờng trung trực của tam giác.
Chøng minh:

a. Tam giác AHB đồng dạng với tam
giác OMN và tính tỷ sốOM

AH
b. Chøng minh: GM MN

GA  AB

c. Tam giác AHG đồng dạng vi tam
giỏc MOG

Bài 5: Cho hình thang ABCD có đ-ờng
chéo BD vuông góc với cạnh bên BC,
Biết BD2= AB.DC. Chứng Minh ABCD
là hình thang vuông

HD: BD2= AB.DC

BD DC

AB  BD

L¹i cã: ABDBDC
=> ABD BDC(g.g)

=> 0

ADBC(90 )

a b

H-ớng dẫn học ở nhà
Xem lại cỏc bi tp ó cha

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Ngày soạn: 
Ngày giảng:.

Buổi 5

Tam giỏc ng dng

I- Mơc tiªu

- Củng cố cho HS về đinghj nghĩa , tính chất, về tam giác đồng dạng
- áp dụng các tr-ờng hợp đồng dạng của 2 tam giác để làm bài tập tính tốn.

- Rèn cho HS kỹ năng vận dụng kiến thức ý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng
minh hai ng thng song song..

II- Chuẩn bị

GV:Bảng phơ, th-íc, com pa
HS: Th-íc, com pa

III- TiÕn trình dạy học

Nội dung Ph-ơng pháp

Bài 1 :

Cho hình bình hành ABCD. Từ A vẽ
đ-ờng thẳng cắt đ-ờng chéo BD tại I,
cắt cạnh BC tại J, cắt phần kéo dài
cạnh DC tại K. Chøng minh

a)AI2 = KI.KJ
b) BJ.DK=BA.DA
HD : AI2 = KI.KJ
Bµi 2:

Cho hình thang ABCD có 2 cạnh bên AD
và Bc cắt nhau tại M. Đ-ờng thẳng qua
M cắt cạnh đáy Dc và AB tại E và F.
Chứng minh:

DC

DE

EC

AB



AF



FB

Bµi 3:

Cho tam giác ABC vuông tại Acó đ-ờng
cao AH. Chøng minh:

c. AHBđồng dạng với CHA

d. AB HB

AC HC

a) Tam giác AHB đồng dạng với tam
giác OMN và tính tỷ sốOM

AH
b) Chøng minh: GM MN

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Dương Thị Thuỷ 48

c) Tam giác AHG đồng dạng với tam
giác MOG

Bài 5: Cho tam giác ABC. Trên tia đối
của tia BA lấy K sao cho BK=BC. Biết
AC2= AB.AK. Chứng minh

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam
giác ACK

b) B2C

c
b

H-ớng dẫn học ở nhà
Xem lại các bài tập đã chữa

Làm các bài tập trong sách bài tập
TOÁN 8

I/ ĐẠI SỐ:
A/ Lý thuyết:

1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn? Cho ví dụ.
2. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn? Cho ví dụ.
3. Hai quy tắc biến đổi phương trình.

4. Một phương trình bậc nhất một ẩn có mấy nghiệm.

5. Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta phải chú ý điều gì? Nêu các bước giải phương trình chứa ẩn
ở mẫu?

6. Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình?
7. Nêu quy tắc cộng, quy tắc nhân đối với bất đẳng thức.

8. Thế nào là hai phương trình tương đương? Hai bất phương trình tương đương? Cho ví dụ

9. Phát biểu quy tắc chuyển vế để biến đổi bất phương trình. Quy tắc này dựa trên tính chất nào của thứ
tự trên tập số?

10. Phát biểu quy tắc nhân để biến đổi bất phương trình. Quy tắc này dựa trên tính chất nào của thứ tự
trên tập số.

B/ Bài tập :

1. Giải các phương trình sau:

a) 7x + 21 = 0 l) (2x - 1) 2 – (2x + 1)2 = 4(x - 3)
b) -2x + 14 = 0 m) (2x - 1)(x - 2) = 0

c) 6534 = − x n) (3,5x – 0,7)(x – 0,5) = 0
d) 3x + 1 = 7x – 11 o) 3x(2x + 5) – 5(2x + 5) = 0
e) 15 – 8x = 9 – 5x p) (x - 3)(2x - 5)(3x + 9) =0
f) 1,2 – (x – 0,8) = -2 (0,9 + x) q) )

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

i). 2,5(x 3) 3(x 4) 9 (5x 15,3) − + −

2. Giải các bài toán sau đây bằng cách lập phương trình:

Web side xem điểm: Trang1Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm
– Mơn Tốn 8

Bài 1: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc trung bình là 15km/h. Lúc về người đó chỉ đi với
vận tốc trung bình là

12 km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB.

Bài 2: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h và sau đó quay trở về từ B về A với vận tốc 40 km/h. Cả
đi và

về mất 5h 24’. Tính chiều dài quãng đường AB.

Bài 3: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi
cịn 60

km nữa thì được một nửa quãng đường AB, ô tô tăng thêm vận tốc 10 km/h trên qng đường cịn lại, do đó
đến B

sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. ( Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km) (x > 120))
Bài 4 : Lúc 7 giờ sáng một chiếc cano xi dịng từ bến A đến bến B, cách nhau 36 km, rồi ngay lập
tức quay trở

về đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của cano khi xi dịng, biết rằng vận tốc nước chảy là
6km/h.

Bài 5: Một đội thợ mỏ theo kế hoạch mỗi ngày phải khai thác 50m3
than. Do cải tiến kỹ thuật, mỗi ngày đội đã

khai thác được 57m3

than, vì thế đội đã hồn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức dự định 13m3
. Tính số m3 than đội phải khai thác theo kế hoạch.

Bài 6: Thùng thứ nhất chứa 60 gói kẹo, thùng thứ hai chứa 80 gói kẹo. Người ta lấy ra từ thùng thứ hai số
gói kẹo

nhiều gấp 3 lần số gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất. Hỏi có bao nhiêu gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất, biết
rằng

số gói kẹo cịn lại trong thùng thứ nhất nhiều gấp 2 lần số gói kẹo cịn lại trong thùng thứ hai.

Bài 7: Một lớp học có 53 học sinh. Nếu thêm vào 3 học sinh nam và bớt đi 4 học sinh nữ thì số học sinh nữ
bằng

số học sinh nam. Tính số học sinh nam và nữ của lớp. (ĐS: 23 nam và 30 nữ)

Bài 8: Tìm hai số biết tổng của chúng là 100 và nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm vào số thứ hai
5 đơn

vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai.

Bài 9: Một số có hai chữ số trong đó chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ
số cho

nhau thì được một số nhỏ hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đó.

Bài 10: Một khu vườn HCN có chu vi là 82m, chiều dài hơn chiều rộng là 11m. Tính diện tích khu vườn đó.
Bài 11:

a) Khi mới nhận lớp 8A, cô chủ nhiệm dự định chia lớp thành 3 tổ có số học sinh như nhau. Nhưng sau đó
lớp nhận thêm 4 học sinh nữa. Do đó cơ chủ nhiệm đã chia đều số học sinh của lớp thành 4 tổ. Hỏi lớp 8A
hiện có bao nhiêu học sinh . Biết rằng so với phương án dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ hiện nay có

ít hơn 2 học sinh.

b) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đó làm việc trong một giờ rồi
quay về A với vận tốc 24km/h . Biết thời gian tổng cộng hết 5h30phút . Tính quãng đường AB ?

c) Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó 3 đơn vị . Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị
thì được 1 phân số mới bằng

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Dương Thị Thuỷ 50

. Tìm phân số ban đầu ?

d) Hiện nay tuổi của ba gấp 3 lần tuổi con . Sau mười năm nữa thì tuổi cha chỉ cịn gấp 2 lần tuổi con .
Tính tuổi con hiện nay ?

e) Đầu năm , giá xe máy tăng 5% nhưng cuối năm lại giảm 5 % . Vì vậy giá một xe máy vào cuối nămlại rẻ hơn
trước lúc tăng giá là 50000đồng. Hỏi giá một xe máy trước lúc tăng giá là bao nhiêu?

Web side xem điểm: Trang2Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ơn tập cuối năm
– Mơn Tốn 8

3. Giải các bất phương trình sau đây và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
Bài 1: a) 2x – 7 ≥0 d) 2 ≤ 3 3 2 + x

b) -3x – 9 > 0
f) 2(3x – 1) < 2x + 4

4/. Với những giá trị nào của x để:

i/. Giá trị của biểu thức 8 5x − là số dương, là số âm.

ii/. Gía trị của biểu thức 2(x 1)(x 1) 3 + − − nhỏ hơn giá trị tương ứng của
biểu thức 5x (2x 1)(3 x).

iii/. Giá trị của biểu thức 22(2x 1) 6 lớn hơn giá trị tương ứng của biểu thức 8(x 3)(x 3).
iv/. Hiệu hai biểu thức

3x 2 − x vaø x - 4x 3 − bằng tích của chúng.

5/. Tìm giá trị nguyên của x thỏa mãn đồng thời hai bất phương trình:
5x 2 + 4x 35 và 8x 2 + 2x 5

6/. Chứng minh rằng: a) 24x 12x 11 0 + + > ... x ... Q
b) 2 2x 1 3x 2x 3x 1 ≤... x... Q

7/ Tìm x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức 1 – 2x không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3
b) Giá trị của biểu thức 2 – 5x nhỏ hơn giá trị của biểu thức 3(2 - x)
8/ Giải phương trình:

a) 2 3 5 − = + x x b) 6 3 + = − x x
c). 3,5x 1,5x 10; = + d). 5 x 4x; − =
II/ HÌNH HỌC:

A/ Lý thuyết:

1. Phát biểu và viết tỉ lệ thức biểu thị hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’.

2. Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận của định lí Talét trong tam giác.

3. Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận của định lí Talét đảo

4. Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận về hệ quả của định lí Talét .

5. Phát biểu định lí về tính chất của đường phân giác trong tam giác (vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận)
6. Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng.

7. Phát biểu định lí về đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh (hoặc kéo dài
hai cạnh) cịn lại.

8. Phát biểu các định lí về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác.

9. Phát biểu định lí về trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông (trường hợp cạnh huyền
và một cạnh góc vng)

Web side xem điểm: Trang3Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối
năm – Môn Toán 8

A . TRẮC NGHIỆM:

Hãy chọn câu trả lời đúng nhất trong các câu sau:

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

của x, y là:

A. x = 22,5mm ; y = 10,8mm
B. x = 20mm ; y = 10mm
C. x = 20,5mm ; y = 10,5mm
D. x = 19,5mm ; y=10,25mm

Câu 2: Cho ∆ABC, ∆A’B’C’ với tỉ số đồng dạng là , 2 ; 3 và ∆A’B’C ’, ∆A"B"C" với tỉ số đồng dạng
là : 3 ; 5. Vậy ∆ A"B"C" , ∆ABC theo tỉ số là bao nhiêu?

A. 2 ; 5
B. 10 ; 9
C. 9 ; 10

D. Một tỉ số khác.

Câu 3: Xem hình vẽ, cho biết AB = 25mm, AC = 40mm, BD = 15mm và AD là phân giác của góc BAD.
Vaäy x =?

A. x = 18mm B. x = 24mm
C. x = 28mm D. x = 32mm

Câu 5: Hai tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng là 3, tổng độ dài hai
cạnh tương ứng là 24cm. Vậy độ dài hai cạnh đó là:

A. 18cm; 6cm B. 14cm; 10cm C.16cm; 8cm D.Một kết quả khác.

Câu 6: Bóng của một cây trên mặt đất có độ dài 8m, cùng thời điểm đó một cọc sắt 2m vng góc với mặt
đất có bóng dài 0,4m. Vậy chiều cao của cây là bao nhiêu?

A. 30m ; B. 36m ; C. 32m ; D. 40m

Câu 7: Hai tam giác vng cân, tam giác thứ nhất có độ dài cạnh góc vng là 8cm, tỉ số chu vi của tam
giác thứ nhất và tam giác thứ hai là 1 ; 3 . Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác thứ hai là:

A. 24 2 cm B.12 2 cm

C. 8 ; 2 ; 3 ; cm D.14,2 cm

Câu 8: Hai tam giác vuông cân, độ dài cạnh huyền của tam giác thứ nhất gấp 3 lần độ dài cạnh huyền của
tam

giác thứ hai. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác tam giác thứ nhất và tam giác thứ hai, câu nào sau
đây đúng?

A. S1 = 3S2 B. S2 = 3S1 C. S1 = 9S2 D. S2= 9S1

Câu 9: Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 12cm và tam giác đều A’B’C’. Gọi S1, S2 là diện tích ∆ABC
và

∆ A’B’C’. Cho biết S1 = 9S2. Vậy độ dài cạnh tam giác A’B’C’ là:
A. 12 ; 9 B. 4cm ; C.36cm ; D.108cm

Câu 10: Tỉ số hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là 1 ; 2 . Chu vi tam giác thứ nhất là 16cm, thì
chu vi tam giác thứ hai là:A.8cm ; B.16cm ; C.32cm ; D. Đáp số khác

Câu 11: Tỉ số hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là 1 ; 3 .Diện tích tam giác thứ nhất là 20cm2
, thì diện tích tam giác thứ hai là:

A. 40cm2 ; B. 60cm2 ; C. 90cm2 ; D. Đáp số khác

Câu 12: Cơng thức Sxq = 2p.h, trong đó p là nửa chu vi đáy, h là chiều cao là công thức tính dtích xung
quanh của:Web side xem điểm: Trang4Trường THCS Nguyễn Đề cương ơn tập cuối năm
– Mơn Tốn 8

A. Hình lăng trụ đứng ; B. Hình hộp chữ nhật
C. Hình lập phương; D. Cả 3 câu đều đúng.

Câu 13: Một hình lập phương có cạnh là 3cm. Vậy thể tích của hình lập phương là:
A. 9cm2

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Dương Thị Thuỷ 52

C. 27cm2

D. Một kết quả khác.

Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm,BC
=10cm,AA’= 4cm.Diện tích tồn phần của hình lăng trụ đứng là:

A. 96cm2
B. 120cm2
C. 144cm2
D. 192cm2

Câu 15: Một hình lập phương có diện tích tồn phần là 600mm2 . Thể tích hình lập phương là bao nhiêu?
A. 100mm3

B. 1000cm3
C. 1200m3
D. 3600cm3
B/ Bài tập:

Bài 1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác
AHC.

Bài 2/ Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N. Biết AM = 3cm, MB =

2cm, AN = 7,5cm, NC = 5cm.

a) Chứng minh MN // BC.

b) Gọi I là trung điểm của BC, K là giao điểm của AI và MN.Chứng minh K là trung điểm của MN.
Bài 3/ Hình thang ABCD (AB // CD) có AB =2,5 cm, AD = 3,5 cm, BD = 5 cm, DAB = DBC
a) Chứng minh ∆ADB ∆ BCD

b) Tính độ dài các cạnh BC, CD

Bài 4/ Cho tam giác vuông ABC (Â = 900), AB = 12 cm, AC = 16 cm. Tia phân giác của góc A cắt BC
tại D, AH là đường cao của tam giác ABC.

a) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.
b) Tính BC, BD, CD, AH.

Bài 5/ Trên một cạnh của một góc có đỉnh là A đặt đoạn thẳng AE = 3 cm, AC = 8 cm. Trên cạnh kia đặt các đoạn
thẳng AD = 4 cm, AF = 6 cm

a) Hỏi tam giác ACD và tam giác AEF có đồng dạng khơng? Vì sao?

b) Gọi I là giao điểm của CD và EF. Tính tỉ số chu vi của hai tam giác IDF và IEC

Bài 6/ Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 4 cm, BC = 6 cm. Kẻ tia Cx BC ( tia Cx và điểm A khác phía so
với đường thẳng BC), lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9 cm.

a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác CDB.
b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Tính IB, IC.

Bài 7/ Cho hình chữ nhật ABCD có hai AB = 8 cm, BC = 6 cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB.

a) Chứng minh Tam giác AHB và tam giác ADB đồng dạng

b) Chứng minh AD2 = DH . DB
c) Tính DH và AH

Bài 8: Cho ∆ABC cân ở A, có AB = AC = 100cm, BC = 120cm, hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H.
a/. Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH;

b/. Tính độ dài các đoạn HD, AH, BH, HE.

Bài 9: Cho ∆ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm, đường cao AH, đường phân giác BD.
a/. Tính độ dài các đoạn AD, DC;

b/. Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh AB.BI = BD.HB;
c/. Chúng minh tam giác AID là tam giác cân.

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

a/. Tính đường chéo AC và BD của hình thang;
b/. Tính diện tích của hình thang;

c/. Tính chu vi của hình thang.

Bài 11: Cho ∆ABC vng ở A có AB = 8cm, AC = 15cm, đuờng cao AH.
a/. Tính BC, AH;

b/. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H nên AB, AC. Tứ giác AMNH là hình gì? Tính độ dài MN.
c/. Chứng minh rằng A M.AB = AN.AC.

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến BD. Phân giác của góc ADB và góc BDC lần lượt cắt AB, BC ở
M

và N. Biết AB = 8cm, AD = 6cm.
a/. Tính độ dài các đoạn BD, BM;
b/. Chứng minh MN // AC;

Web side xem điểm: Trang5Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối
năm – Môn Tốn 8

c/. Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích của tứ giác đó.

Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm,AD = 24cm,E là trung điểm của AB.Tia DE cắt AC ở F cắt CB
ở G.

a/. Tính độ dài các đoạn DE, DG, DF;
b/. Chứng minh rằng: FD2

= FE.FG.

Bài 14: Cho VABC vuông ở A ; AB = 48 cm ; AC = 64cm . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD
= 27

cm ; trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 36 cm .
a/ Chứng minh VABC đồng dạng VADE

b/ Tính độ dài các đoạn BC ; DE .
c/ Chứng minh DE // BC.

d/ Chứng minh EB ⊥ BC .

Bài 15: Cho VABC ( AB < AC ), Phân giác AD . Trên nưả mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tia
Cx sao cho · · BCx BAD = . Gọi I là trung điểm của Cx và AD .

Chứng minh : a/ VADB đồng dạng với VACI ; VADB đồng dạng với VCDI .
b/ AD2

= AB.AC – DB.DC .
Baøi 16:

Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có các cạnh bằng 5cm. Gọi O và O’ lần lượt là giao điểm
các

đường chéo AC vớt BC và A’B’ với C’D’.

a/. Tính diện tích tồn phần và thể tích của hình lập phương;
b/. Tính thể tích của hình chóp O’.ABCD;

c/. Tính thể tích của hính chóp B’.ABC.

Baøi 18:

Baøi 19: Web side xem điểm: Trang6

Cho một lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vng cân vớt độ dài
cạnh góc vng là AB = AC = 6cm và chiều cao của lăng trụ là AA’ = 12cm. Tính:
Diện tích xung quanh; diện tích tồn phần; Thể tích của lăng trụ.

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Dương Thị Thuỷ 54

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh AB = 8cm, cạnh bên SA = 5cm.
a/. Tính trung đoạn SH của hình chóp;

b/. Tính đường cao SO của hình chóp;

c/. Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình chóp.

DẠNG I: Giải các phương trình sau 
Bài 1

a) 2x +1 = 15-5x b/ 3x – 2 = 2x + 5 c) 7(x - 2) = 5(3x + 1) 
d/ 2x + 5 = 20 – 3x e/- 4x + 8 = 0 f/ x – 3 = 18 - 5x
g/ x(2x – 1) = 0 h/ 3x – 1 = x + 3 i/

7
1
16
2

5x  x

j/ 2(x +1) = 5x - 7 k) 2x + 6 = 0 l) x  x   xx

3
2
3
4
2
6
1

m) 2x - 3 = 0 n) 4x + 20 = 0 o/ 1 +
6

5
2 x

=
4
3x

p) 15 - 7x = 9 - 3x q) 2 1

x 

+ x = 4
2

x 

r) 1 2

2 3

x x



Bài 2

a) y(y2-1) = y2 - 5y + 6 = 0 b) y( y -
2
1

)( 2y + 5 ) = 0 c) 4y2 +1= 4y
d) y2 – 2y = 80 g) (2y – 1)2 – (y + 3)2 = 0 h) 2y2 11y = 0

i) (2y - 3)(y +1)+ y(y - 2) = 3(y +2)2 j) (y2

- 2y + 1) – 9 = 0

Bµi 3

a) x 3   1 b) x 3 2x 3 c) x3 x1 d)
1

4 3 1 5( 2)

2x   x x

e) 5x5 0 f) x 2 3 g) x5 = 3x - 2 h) x 3 2x 3 2x 5
i) x3  x1

Bài 4

a) 2 2

2
3





x
x
x
x

b/ ( x – 2 ) (
3
2

x – 6 ) = 0 c / 2 2
2
3





x
x
x
x

d)
1
3
2
1
3
2

1 2 






 x
x
x
x
x
x
f/ 2
1
x
2
x
x
1
x 






g) 1 2
1
x x
x x

 

h)
x
x
x
x 2
1
3 




= 2 i) 5

1
3
1
2




 x

x j)



2 1



2 1



4
1
1
2
1
2
2







 x x x

x
x

x

k) 1

3
5

2
1
1
3 





x
x
x
x
l)
)
2
)(
1
(
11
3
2
1
1
2








 x x

x
x

x m)

n)
)
2
(
2
1
2
2





x
x
x
x
x

o) 



2
2
x
x
4
11
2
3
2
2



 x
x

x p)

x 4 x 2x

x 1  x 1 x 1
p)
3
5

2
3
2
4
1
2
2 





 x
x
x
x
x
x

q) 2

2
2
2
9
3
7
3
3 x
x

x
x
x
x
x
x








</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

2
7
3
6

2x  x

b)3x – (7x + 2) > 5x + 4 c) 2 1
5

x 

- 2 2
3

x 

< 1
d)

4
2
3
10

3
5

2 




 x

x

e) 2x + 5  7 f)2x – 3 ≥ 0

g) 20

5 

 x h)

2
1
3
3

2x  x

i) – 4 + 2x < 0.

j) 3( 1) 1 2

4 3

x x

  k) 2x + 3( x – 2 ) < 5x – ( 2x – 4 )

l) 1 3 x 1





x 2

10  5

 

 m) 2(2x - 3 )( x + 4 ) < ( x - 2 )2 + 1

n) 1

1
2




x o) x(x - 2) – (x + 1)(x + 2) <12. p) 5x - (10x - 3 ) > 9 - 2x

q) 3x + 4 > 2x +3 . r) 3x- x  x 5x

2
)
2
(
3
3

s) 4x - 8  3(3x - 1 ) - 2x + 1
t)

4
2

3
10

3
5

2x   x

u) 3x – (7x + 2) > 5x + 4 v)

5
2
3
3

2 x  x




Bài 2

a) Tìm x sao cho giá trị biểu thức 2-5x nhỏ hơn giá trị biểu thức 3(2-x)
b) Cho A =

8
x

5
x




.Tìm giá trị của x để A dưong 
c) Tìm x để phân thức :

x

2
5

 không âm

d) Chứng minh rằng : 2x2 + 4x +3 > 0 với mọi x

DẠNG III: Giải bài toán bằng cách lập phương trình 
Bài 1 Hiệu của hai số bằng 50.Số này gấp ba lần số kia. Tìm hai số đó ?

Bài 2 Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, và ngược dòng từ bến B đến bến A mất 5h. Tính

khoảng cách giữa hai bến , biết vận tốc dịng nước là 2km/h.

Bài 3 Khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82m .Chiều dài hơn chiều rộng 11m .Tính diện tích khu vườn. 
Bài 4 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đó làm việc trong một giờ rồi quay

về A với vận tốc 24 km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 5 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB

Bài 5 Một người đi xe đạp từ A đén B với vận tốc trung bình 12km/h . Khi đi về từ B đến A . Người đó đi với

vận tốc trung bình là 10 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 15 phút . Tính độ dài quảng đường AB
?

Bài 6 Lúc 7giờ. Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách nhau 36km rồi ngay lập tức quay về bên A lúc 11giờ 30

phút. Tính vận tốc của ca nơ khi xi dịng. Biết rằng vận tốc nước chảy là 6km/h ( 2đ)

Bài 7 Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 15km/h và

sau đó quay trở về từ B đến A với vận tố12km/h.

Cả đi lẫn về mất 4giờ30 phút .Tính chiều dài quãng đường ?

Bài 8 Tổng số học sinh của hai lớp 8A và 8B là 78 em. Nếu chuyển 2 em tờ lớp 8A qua lớp 8B thì số học sinh
của hai lớp bằng nhau. Tính số học sinh của mỗi lớp?

Bài 9 Hai thùng dầu A và B có tất cả 100 lít .Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B 18 lít thì số lượng dầu ở hai

thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu ở mỗi thùng lúc đầu.

Bài 10 Tổng của hai chồng sách là 90 quyển . Nếu chuyển từ chồng thứ hai sang chồng thứ nhất 10 quyển thì số

sách ở chồng thứ nhất sẽ gấp đôi chồng thứ hai . Tìm số sách ở mỗi chồng lúc ban đàu .

Bài 11 Một xe ô tô đi từ A đến B hết 3g12ph .Nếu vận tốc tăng thêm 10km/h thì đến B sớm hơn 32ph. Tính

qng đường AB và vận tốc ban đầu của xe ?

Bài 12 Lúc 7 giờ sáng, một chiếc canơ xi dịng từ bến A đến bến B, cách nhau 36km, rồi ngay lập tức quay

trở về và đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ca nơ khi xi dịng, biết rằng vận tốc nước chảy là
6km/h.

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Dương Thị Thuỷ 56

thì mất thời gian là 2 giờ 30 phút .Tính quãng đường AB ,biết rằng vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20 km
/h .Bài 14 Một đoàn tàu đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Lúc về đồn tàu đó đi với vận tốc 35 km/h, nên 
thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 12 phút. Tính qng đưịng AB.

Bài 15 Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 25km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên thời gian về

ít hơn thời gian đi là 20’ . Tính quảng đường AB

Bài 16 Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h . Sau khi đi được 2/3 quãng

đường bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5 km/h . Tính quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó , biết rằng
thời

gian bạn ấy đi từ nhà đến trường là 28 phút

Bài 17 Một hình chữ nhật có độ dài một cạnh bằng 5cm và độ dài đường chéo bằng 13cm . Tính diện tích của

hình chữ nhật đó .

Bài 18 Có 15 quyển vở gồm hai loại : loại I giá 2000 đồng một quyển , loại II giá 1500 đồng một quyển . Số

tiền mua 15 quyển vở là 26000 đồng . Hỏi có mấy quyển vở mỗi loại ?

DẠNG IV: Các bài tốn hình học phẳng

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 15cm, AC = 20cm.Vẽ tia Ax//BC và tia By vng góc với BC tại

B, tia Ax cắt By tại D.

a, Chứng minh ∆ ABC  ∆ DAB b. Tính BC, DA, DB.
C. AB cắt CD tại I. Tính diện tích ∆ BIC

Bài 2 Cho hình chữ nhật có AB = 8cm; BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB

a/ Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD

b/ Chứng minh AD2 = DH.DB c/ Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH

Bài 3 Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 6cm, AC = 8 cm. Trên tia đối của AB lấy điểm D sao cho AD =

1/3AB. Kẻ DH vng góc với BC.

a/ Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBD
b/ Tính BC, HB, HD, HC

c/ Gọi K là giao điểm của DH và AC. Tính tỉ số diện tích của AKD và ABC

Bài 4 Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc các cạnh

AB, AC sao cho góc DME bằng góc B.

a/ Chứng minh  BDM đồng dạng với  CME
b/ Chứng minh BD.CE không đổi.

c/ Chứng minh DM là phân giác của góc BDE.

Bài 5 Cho ABC vng tại A có đường cao AH .Cho biết AB=15cm, AH=12cm

\a) Chứng minh AHB , CHAđồng dạng

\b) Tính độ dài đoạn thẳng HB;HC;AC .

\c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE=5cm ;trên cạnh BC lấy điểm F sao cho
CF = 4cm.Chứng minh CEF vuông.

\d) Chứng minh :CE.CA = CF

Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. AH là đường cao của ADB.

a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD
b) Chứng minh AD2 = DH.DB

c) Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH

Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH.

a) Tìm AD ? Biết AB=6cm AC= 8cm
b) Chứng minh : ABC đồng dạng với DBF

c) Chứng minh : DF. EC = FA.AE .

Bài 8 : Cho hình thang ABCD (AB // CD) có góc DABDBC và AD = 3cm, AB = 5cm, BC = 4cm.
a) Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD.

b) Tính độ dài của DB, DC.

c) Tính diện tích của hình thang ABCD, biết diện tích của tam giácABD bằng 5cm2.

Bài 9 Cho ABC vuông tại A,vẽ đường cao AH của ABC .
a) Chứng minh ABH đồng dạng với CBA

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

c) Gọi E,Flà hai điểm đối xứng của H qua AB và AC. Tính diện tích tứ giác EFCB

Bài 11 Cho  ABC có AB=12cm, AC= 15cm, BC = 16cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM =3cm. Từ

M kẻ đường thẳng // với BC cắt AC tại N, cắt trung tuyến AI tại K .
a/ Tính độ dài MN

b/ Chứng minh K là trung điểm của MN

c/ Trên tia MN lấy điểm P sao cho MP= 8cm . Nối PI cắt AC tại Q c/m QIC đồng dạng với AMN

Bài 12 Cho hình thang ABCD cóÂ = D =90º. Hai đường chéo AC và BD vng góc với nhau tại I. Chứng

minh :

a / ΔABD ~ ∆DAC Suy ra AD2 = AB . DC

b/ Gọi E là hình chiếu của B xuống DC và O là trung điểm của BD .
Chứng minh ba điểm A, O , E thẳng hàng.

c/ Tính tỉ số diện tích hai tam giác AIB và DIC.?

d) Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD.
e) Tính độ dài của DB, DC.

Bài 15 Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có góc DAB bằng góc DBC và

AD= 3cm, AB = 5cm, BC = 4cm.

a/ Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD.
b/ Tính độ dài của DB, DC.

c/ Tính diện tích của hình thang ABCD, biết diện tích của tam giácABD bằng 5cm2.

Bài 16 Cho tam giác ABC, có Â = 900, BD là trung tuyến. DM là phân giác của góc

ADB, DN là phân giác của góc BDC (MAB, NBC).
a/ Tính MA biết AD = 6, BD = 10, MB = 5.

b/ Chứng minh MN // AC

c/ Tinh tỉ số diện tích của tam giác ABC và diện tích tứ giác AMNC.

Bài 17 Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ các đường cao BH và CK ( HAC , K AB)

a/ Chứng minh BKC CHB theo tí số đồng dạng bằng 1.
b/ Chứng minh KH // BC

c/Cho biết BC = a , AB = AC =b . Tính độ dài đoạn thẳng HK theo a và b.

Bài 18 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 5cm , đường phân giác AD. Đường vng góc với

DC cắt AC ở E .

e) Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEC đồng dạng .
f) Tính độ dài các đoạn thẳng BC , BD

g) Tính độ dài AD

h) Tính diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác ABDE

Bài 19 Cho tam giác ABC vng tai A có AB = 6 cm; AC = 8cm. Trên một nửa mặt phẳng bờ AC không chứa

điểm B vẽ tia Ax song song với BC. Từ C vẽ CD  Ax ( tại D )

1) Chứng minh hai tam giác ADC và CAB đồng dạng.
2) Tính DC.
3) BD cắt AC tại I. Tính diện tích tam giác BIC.

Bài 20 Cho ABC vng tại A có AB = 9cm ; BC = 15cm . Lấy M thuộc BC sao cho CM = 4cm , vẽ Mx

vng góc với BC cắt AC tại N.

a/Chứng minh CMN đồng dạng với CAB , suy ra CM.AB = MN.CA .
b/Tính MN .

c/Tính tỉ số diện tích của CMN và diện tích CAB .

Bài 21 Cho hình thang cân ABCD có AB// CD và AB< CD, đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC.Vẽ

Đường cao BH.

a/ Chứng minh  BDC  HBC b/ Cho BC =15; DC =25.Tính HC, HD
c/ Tính diện tích hình thang ABCD

2)Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là d1= 6 cm và d2= 8 cm.Tìm diện tích S và chiều cao h của hình thoi
đó? ( 1đ )

Bài 22 cho ABC vng tại A có AB> AC , M là điểm tuỳ ý trên BC . Qua M kẻ

BC

Mx  và cắt AB tại I cắt CA tại D .
a) Chứng minh ABC MDC

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Dương Thị Thuỷ 58

B) Chứng minh : BI .BA =BM . BC

C) Cho góc ACB = 60 và 0 SCDB 60cm2 . Tính SCMA

DẠNG V: Các bài tốn hình học ko gian

Bài 1Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 20 cm, cạnh bên SA= 24 cm.

a/ Tính chiều cao SO rồi tính thể tích của hình chóp
b/ Tính diện tích tồn phần của hình chóp

Bài 2 Cho hình lăng trụ đứng đáy là tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vng là 3cm và 4cm.Thể tích hình

lăng trụ là 60cm2

.Tìm chiều cao của hình lăng trụ ?

Bài 3 Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm . Tính thể tích hình

hộp chữ nhật đó .

Bài 4 a) Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm . Tính thể tích hình

hộp chữ nhật đó

b) Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước là 3 cm; 4 cm; 5cm .

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật đó là

Bài 5 Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3cm,4cm,và 6cm.Tính diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật 
Bài 6 Tính diện tích tồn phần của hình lăng trụ đứng có chiều cao 6m đáy là tam giác vng có 2 cạnh góc

vng là 3cmvà 4cm .

Bài 7 Một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vng ( như hình vẽ ). Độ dài

hai cạnh góc vng của đáy là 5cm, 12cm , chiều cao của lăng trụ là 8cm. Tính
diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đó

Bài 8 Một lăng trụ đứng có chiều cao 6 cm, đáy là tam giác vng có hai cạnh

góc vng lần lượt là 3cm và 4 cm

a) Tìm diện tích xung quanh của hình lăng trụ.
b) Tìm thể tích của hình lăng trụ

Bài 9 Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh của tứ giác đáy bằng 4 cm và độ dài đường cao bằng 6 cm .

Tính thể tích hình chóp đều đó .

DẠNG VI: Các bài tốn rút gọn biểu thức 
Bài 1: 
a)
x
x
x
x
x
x
4
8
5
5
3
2 



