Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 16 - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (270.03 KB, 26 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề 16: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Phương trình tổng quát của mật phẳng:

Mặt phẳng qua M x y0



0; 0



và vecto pháp tuyến n



A B C, ,





2 2 2

0, 0

Ax By Cz D    A B C 

Hay A x x



 0



B y y



 0



C z z



 0



0

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

x y z

a b b   khi cắt 3 trục Ox, Oy, Oz tại 3 điểm khác gốc O là



;0;0 ,





0; ;0 ,





0;0;



A a B b C c

Phương trình của đường thẳng: đi qua M x y z0



0, ,0 0



và có vectơ chỉ phương



, , ,



2 2 2 0

u a b c a b c 

Phương trình tham số: d:

0
0
0

x x at
y y bt t R
z z ct

 




  



  


Phương trình chính tắc khi a b c , , 0:

0 0 0

x x y y z z

a b c

  

 

- Đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau:

Nếu d   thì chọn VTCP               n n n, 

Hoặc từ hệ 0

' ' ' ' 0

Ax By Cz D
A x B y C z D

   




   

 ta chọn ra

hai bộ nghiệm



x;y;z



tương ứng tọa độ của hai điểm thuộc giao tuyến.
- Đường vng góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau:

Đường thẳng d1 qua M1 và có VTCP u1


Đường thẳng d2 qua M2 và có VTCP u2


Cách 1: Đường vng góc chung d có VTCP uu u1; 2
  

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cách 2: Gọi đoạn vng góc chung là AB, A d 1và B d 2dạng tham số theo t và t'.
Tìm t và t' bằng hệ điều kiện:

1
2

. 0

AB u
AB u

 








 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  . Đường vng góc chung d là đường thẳng AB.

Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm I a,b,c





bán kính R



x a





y b





z c



3 R2

      hay:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 0, 0

x y y  Ax By Cz D  A B C  D

Có tâm I



 A B C, ,



và bán kính R A2 B2 C2 D

   

Phương trình đường trịn giao tuyến
2 2 2

2 2 2 0

x y z ax by cz d

Ax By Cz D

       



   



Giao tuyến của mặt cầu (S) tâm I bán kính

R và mặt phẵng (P) là đường trịn giao

tuyến (C) có tâm H là hình chiếu tâm mặt cầu I lên mặt phẳng (P) và bán

Kính r R2 d t P2



;

 



 

2. CÁC BÀI TỐN

Bài tốn 16.1: Lập phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua hai điểm A 1;1;-1 ,B 5;2;1









và song song với trục Oz

b) Chứa giao tuyến của 2 mặt phẳng x y z   4 0,3 x y z  1 0 và đi qua



2;1; 1



K 

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng (P) song song với Oz nên có phương trình: A x B y D'  '  ' 0 với
2 2

' 0, ' ' 0

D  A B 

(P) đi qua A và B nên: ' ' ' 0 4 ' ' 0

5 ' 2 ' ' 0

A B D

A B

A B D

  



  



  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chọn A' 1, ' B 4 và do đó D ' 3và được phương trình của (P) là:
4 3 0

x y 

b) Các điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng có toạ độ



x y z; ;



thoả mãn hệ

4 0

3 1 0

x y z

   




   



Cho y=0 thì

4 2 3 11

;0;

3 1 11 2 2

x
x z

M
x z

z




 

   

  

   

   

  




Cho z=0 thì

4 2 3 11

; ;0

3 1 11 2 2

x
x y

M
x y

z





 

   

   

   

   

  




Ta lập được phương trình (MNK): 15x-7y+7z-16=0
Bài tốn 16.2: Lập phương trình mặt phẳng

a) Đi qua điểm G 1;2;3





và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng
tâm của tam giác ABC.

b) Đi qua điểm H 2;1;1





và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực
tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Giả sử A a;0;0 ,B 0;b;0









và C 0;0;c





. Vì G 1;2;3





là trọng tâm của tam giác

ABC nên: 0 0 1;0 0 2;0 0 3

3 3 3

a   b  c

  

Suy ra a3,b6,c9

Vậy phương trình theo đoạn chắn: 1
3 6 9

x y z

  

b) Nếu mặt phẳng đi qua H 2;1;1





và cắt các trục toạ độ tại A, B, C thì tứ diện OABC
có các cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc, do đó H là trực tâm của tam giác ABC

thì OHmp ABC





Vậy mp(ABC) đi qua H và có vectơ pháp tuyến OH= 2;1;1





nên có phương trình:



 



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài toán 16.3: Viết phương trình của mặt phẳng qua điểm M 5;4;3





và cắt ba trục toạ độ
ở ba điểm khác O, cách đều gốc toạ độ.

Hướng dẫn giải
Mặt phẳng cần tìm có dạng đoạn chắn:

1, 0

x y z

a b c

a b c    

Điểm M 5;4;3





thuộc mặt phẳng nên: 5 4 3 1

a b c   (1)

Với b a c a, ,(1) 5 4 3 1 a 12

a a a

       

Với b a c, a, (1) 5 4 3 1 a 6

a a a

       

Với b a c a, ,(1) 5 4 3 1 a 4

a a a

       

Với b a c, a,(1) 5 4 3 1 a 2

a a a

       

Do đó bốn mặt phẳng cần tìm là:

1; 1; ; 1.

12 12 12 6 6 6 4 4 4 2 2 2

x y z x y z x y z x y z

          



Bài tốn 16.4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
a) 2x y 4z 5 0 và 3x5y z 1 0 .

b) x2y z 1 0 và x2y z  5 0

Hướng dẫn giải

a) Điểm M x;y;z





cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

2 4 5 3 5 1

4 1 16 9 25 1

x y  z x y z 


   

5 2x y 4z 5 3x 5y z 1

       









5 2x y 4z 5 3 3x 5y z 1

       

Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng phân giác:



2 5 3 3

 

x 5 5 3



y



4 5 3



z5 5 3 0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b) Điểm M x;y;z





cách đều hai mặt phẳng : 2 1 2 5

1 4 1 1 4 1

x y z  x y z 


   

2 1 2 5

x y z x y z

       





2 1 2 5

x y z x y z

      


 

      



2x 4y 2z 4 0 x 2y z 2 0

         

Vậy tập hợp các điểm M là mặt phẳng song song cách đều có phương trình:

2 2 0

x y z  

Bài tốn 16.5: Lập phương trình tổng qt của mặt phẳng (P) đi qua các điểm









M 0;0;1 ,N 3;0;0 và tạo với mặt phẳng Oxy góc π
3.
Hướng dẫn giải

Gọi vectơ pháp tuyến của (P) là n= 1;a;b





. Ta có MN= 3;0; 1







Vì n.MN=3.1+0-b=0  nên b=3. Do đó n= 1;a;3





Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến k= 0;0;1





Ta có: cos . 1 23 26

3 . 2 10

n k

a

n k a



    


 

 

PT mặt phẳng (P) là:1.



x 0



 26



y 0



3.



z1



0

26. 3 3 0

x y z

    

Bài toán 16.6: Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mp ( ) có phương trình:
2x y  5z0 một góc 600

Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng:









0 p ; ;0 , 2;1; 5

Ax By   n  A B n  

 

Ta có: cos





2 2 2 cos600 1
2
. 4 1 5

p

A B
n n

A B





  

  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2 2 2 2

2 2A B 10. A B 6A 16AB 6B 0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Lấy B=1,ta có: 2 1
2

6 16 6 0 3

A

A A

A





   





Vậy có hai mặt phẳng (P) phải tìm: 1 0; 3 0
3x y   x y 

Bài toán 16.7: Cho tứ diện ABCD với A 3;5;-1 ,B 7;5;3 ,C 9;-1;5 ,D 5;3;-3

















. Viết
phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện đó.

Hướng dẫn giải

Một mặt phẳng cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc
nó song song với MN. Vì vậy, để mặt phẳng (P) cách đều bốn đình A, B, C, D của
hình tứ diện thì:

- Hoặc mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ
diện. Có bốn mặt phẳng như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với một
mặt.

- Hoặc mặt phẳng (P) chứa hai đường trung bình của tứ diện. Có ba mặt phẳng như vậy
đi qua trung điểm một cạnh và song song với 2 cạnh đối chung mút. Từ đó tìm được
bảy mặt phẳng thoả mãn u cầu đầu bài là:

6 0; 10 0; 2 8 0;2 14

x z   x y   x y z   x y z  

2 0;2 16 0;5 2 28 0

x y z    x y z    x y  z 

Bài toán 16.8: Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểmM1



1;0;1 ,



M2



2; 1;0



và M3



0;0;1



.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M3mà khoảng cách từ M1và M3đến (P) đều

bằng 2
2 .

Hướng dẫn giải
 Mặt phẳng (P) đi qua M 0;0;1





nên có phương trình













A x B y C z 

Hay Ax By Cz  0



A2B2C2 0



Ta có khoảng cách

2 2 2 2 2 2

2 2

A C C A B C

A B C A B C

   

 

   

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

- Với C3A thì từ

2 2 2

A 2

A +B +C  ta suy ra





2 2 2 2 2

2A A B  3A B 8A  64B2B 0

2 2

3 7

2 0 0, 0

4 16

B

A B A B

 

        

  nên C 0: loại

Bài tốn 16.9: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng

4x3y12z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: 4x3y12y D 0
với D 1 .

Hướng dẫn giải
Mặt cầu đã cho có tâm là I 1;2;3





và có bán kính

2 2 2

1 2 3 2 4

R     

Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng 4x3y12z 1 0 nên có phương trình:
với 4x3y12y D 0 với D 1 .

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi.

 





26 52 78

d I P   R D   D hoặc D 26

Vậy có hai mặt phằng thoả mãn yêu cầu là:
4x 3y 12z 78 0    và 4x 3y 12z 26 0   

Bài toán 16.10: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d:

13 1

1 1 4

x y z

 

 và tiếp xúc với mặt cầu (S):

2 2 2 2 4 6 67 0

x y  z  x y z 

Hướng dẫn giải

Tâm của (S) là I 1;2;3





, bán kính R 12 22 32 67 9

    

Đường thẳng d đi qua M 13; 1;0







và N 12;0;4





Phương trình(P):Ax By Cz D 0,A2 B2 C2 0

      

(P) qua M, N nên: 13 0 4

12 4 0 12 52

A B D A B C

A C D D B C

    

 



 

    

 

Do đó (P):



B4C x By Cz



  12B 52C0 (*)

Điều kiện (P) tiếp xúc (S): d I, P



 



R





2 2 2

4 2 3 12 52

9
4

B C B C B C

B C B C

    

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2 2
B+5C = 2B +8BC+17C


2 2 8 2 0 4

B B C B C

      hoặc B2C.
Thế vào (*) và rút gọnC 0 , ta được 2 mặt phẳng:

2x 2y z  28 0,8 x4y z 100 0 .
Bài toán 16.11: Lập phương trình mặt cầu

a) Có đường trịn lớn là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với













A 0; 2;1 ,B 1;0;1 ,C 0;0; 1  

b) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A 1;2; 4 ,B 1; 3;1 ,C 2;2;3 ,D 1;0;4





















Hướng dẫn giải:

a) Gọi I x y z



; ;



là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: AB 



1;2;0 ,



AC



0;2; 2 ,



AI



x y; 2;z1







, 4; 2; 2

AB AC

 

                   

Nên I



ABC



 AB,AC AI=0  2x-y+z-3=0
  

Ta có





2 2

2 4 -3

1
1

2 3 3

x

AI BI x y

AI CI y z y

x y z
I ABC

z


 

     

  

     

  

      



 





Nên tâm , 1 3,

4 4

I t  

  và bán kính

33
8

R AI 

Vậy PT mặt cầu là





2 2

2 1 3 33

4 4 8

x y  z  

   

b) Gọi I a;b;c





là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

2 2

1 2

7 2 1

2 8 -2 0

IA IB

IA IB y z x

IA IC IA IC x y y

IA ID IA ID x y z

 

    

  



  

       

   

        

   

Do đó





</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Vậy (S):



x2



2



y1



2z2 26

Bài toán 16.12: Cho bốn điểm A 3;2;0 ,B -1;3;2 ,C 1;0;1 ,D 0;-1;3

















Tìm tập hợp những điểm M trong khơng gian thoả mãn:

MA MB MC MD   MA MB  MC

      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      

      
      
      

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, I là trung điểm AB thì: G 3;1;3 ,I 1; ;15

4 2 2

   

   

   

Ta có MA MB MC MD   4MG

    

2 2 2 2

MA MB  MC MI MC CI

     

Do đó MA MB MC MD      MA MB - 2MC

4 2 :

2 4

CI

MG CI MG

     không đổi

Vậy tập hợp những điểm M x;y;z





là mặt cầu tâm





2 2

3 3 25

4 2 16

x y x

   

     

   

   

Bài tốn 16.13: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu:

(S): 2 2 2

2 2 4 3 0

x y z  x y   cà đường thẳng 1 2
2

-1

: 1 , :

1 1 1

x t

x y z

y t

z t





      

 

 


Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường

thẳng 1 và 2.

Hướng dẫn giải
Mặt cầu (S) tâm I



1; 1; 2 , 



R3

 đi qua điểm A 0; 1; 0





có vectơ chỉ phương u = 2; 1 ; 1







 đi qua điểm B 1; 0; 0





có vectơ chỉ phương v  



1; 1; 1 .



Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n  ,u v



0; 1; 1





 

P y z m: 0


     

  

Điều kiện tiếp xúc: d l P



 



R

3 3 3 2

m



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Vậy có 2 mặt phẳng

 

P1 :y z  3 3 2 0,

 

P y z2   3 3 2 0
Các điểm A, B khơng thuộc hai mặt phẳng nên đó là 2 mặt cần tìm.

Bài tốn 16.14: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa giao tuyến d của 2 mặt phẳng:
3 0 , 2 4 0

x y z    x y z    và hợp với mp(Oxy) góc 60°.

Hướng dẫn giải

Giao tuyến d của mặt phẳng: x  y  z 3 0, 2  x  y  z 4 0  đi qua
M(1; 1; 1)

và có VTCP: un n1, 2 (0 ;1 ; 1 )



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

2 2 2

( ) : (P A x1) ( B y1) ( C z1) 0; A B C 0

Ta có VTPT n= A,B,C





vng góc với u nên:B C 0  C . B

Do đó (P): Ax  By  Bz A  2 0B 
Mặt phắng (Oxy) có VTPT k  (0; 0; 1)

Ta có: 600 cos ,





1 2 2 1

2 2 2

B

n k

A B

     


 

2 2 2 2

A B A B

   

Từ đó tìm được 2 mặt phẳng (P):

2 x  y  z 2 2 0, 2  x y z   2 2 0 

Bài tốn 16.15: Lập phương trình m ặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng

 

: 2 1 1

3 2 2

x y z

   và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P):

2 2 2 0, ( ) : 2 2 4 0

x y z  Q x y z 

Hướng dẫn giải

Ta có (P), (Q) song song nên tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn AB với A, B là

giao điểm của

 

 và 2 mặt phẳng đó (A) cắt (P) tạiA(2; 1; 1), cắt (Q) tại

l(-1 ; 3; 3). ( 4;5;5)B  nên tâm

Ta có ( , ( )) 1 2.3 2.3 2 1
1 4 4

R d l P     
 

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là



x1



2



y 3



2



z 3



2 1

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

d:
2

11
2
14 2

x t

y t

z t






 




 




tại 2 điểm A, B mà AB = 40

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm dây AB thì IH vng góc với
AB. Mặt phẳng (P) qua I, vng góc với d có
phương trình:2 x  y 2z 9 0 , suy ra giao

điểm d và d (P) là: H -3;-7;-11 .





Ta có R2 IA2 AH2 IH2 202 152 225

     

Vậy (S):



x 2



2



y 3



2



z1



2 225

Cách khác IH = d(l, d) = M I u0 .

u

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Bài toán 16.17: Cho

 

P : 5x 4y z 6 0, 

 

Q : 2 x y z   7 0 và d là giao
tuyến của 2 mặt phẳng:x y 2 z 3 0 ,  x 3 y z 0. Lập phương trình mặt cầu

(S) tâm I là giao điểm của d với (P), cắt (Q) theo đường tròn có chu vi4 .

Hướng dẫn giải
Tâm I x; y; z





có toạ độ là nghiệm của hệ:

5 4 6 0 1

2 3 0 0

3 0 1

x y z x

x y z y

x y z z

    

 

 

     

 

     

 

nên I(1; 0; 1)

Ta có d = d(I, (Q)) = 2.1 0 1 7 10

4 1 1 6

  

 

Đường trịn giao tuyến có chu vi 4 5 2 r  nên có bán kính r 2 5 do đó

2 2 2 110
3

R d r  .

Vậy phương trình (S):





2 2





2 110.
3

x y  z 

Bài tốn 16.18: Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

b) Vng góc với mp(ABC) có A



1; 0; 1 , 



B



2; 3; 1 , 



C



1; 3; 1



tại trực tâm H của
tam giác ABC.

Hướng dẫn giải
a) (P), (P') có VTPT n (2; 1; 1); ' (2; 0; 1). n  

Gọi VTCP của giao tuyến d là: u thì u n,n'

Chọn , ' 1 1; 1 2 2 1; (1; 4;2)
0 1 1 2 2 0

un n    
 

 

 

 

Các điểm thuộc giao tuyển d có toạ độ thoả mãn hệ:

2 5 0

2 3 0

x y z
x z

   




  

 . Cho x = 0 thì

y=8,z=3

Do đó d qua M 0; 8; 3 ,





có VTCP u= (1; 4; 2) nên có phương trình tham số

và chính tắc là: 8 4 ; 8 3

1 4 2

3 2

x t

x y z

y t z

z t




 



   


  


Cách khác: ta có 2x-y+z+5 y=z+2x+5

2x-z+3=0 z=2x+3

 



 

 

Đặt xtthì y 8 4 , 3 2  t z   tnên phương trình: 8 4
3 2

x t

y t

z t





 


  


Ngồi cách tìm một điểm và VTCP, cách tạo tham số, ta có thể tìm 2 điểm trên giao
tuyến.

b) Phương trình mặt phẳng

 

 qua c vng góc với AB là:
1(x1) 3 (  y 3) 0   x 3  y10 0.

Phương trình mặt phẳng (P) qua B vng góc với AC là:
3(y 3) 2( 1) 0 3 2 z   y  z 7 0

Đường thẳng d qua trực tâm H của tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng (ABC)

là giao tuyến của

 

 và

 

 .

Đường thẳng d qua N 1; 3; 1







và có vectơ chỉ phương un n,  



6; 2;3



 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

nên có phương trình là:

1 4

1 3

x t

y t

z t

 






  


Bài toán 16.19: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm





M 0; 1; -1 vng góc và cắt đường thẳng :

1 4

x t

y t

z t

 







  


Hướng dẫn giải

Đường thẳng VTCP u   ( 4; 1; 4). Gọi H là hình chiếu của M lên  thì
(1 4 ; ; 1 4 ).

H  t t   t

Ta có MH  (1 4 ;  t t 1 ; 4 )t



nên MHΔ

. 0 4(1 4 ) 1( 1) 4(4 ) 0.

u MH      t  t  t 

5
33t = 5 t =

  .Do đó H 13 -28 20; ;

33 33 33

 

 

  hay (13; -28 ; 20)

Vậy phương trình chính tắc của d là 1 1

3 28 20

x y z

 



Cách khác: Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng

( , ) : 4M  x4y3z1 0  và mặt phẳng qua M, vng góc với
: 4x y 4z  3 0.

   

Bài toán 16.20: Viết phương trình hình chiếu vng góc của

a) Đường thẳng d:
5
3 2
4

x t

y t

z t

 



 

  


trên mỗi mặt phẳng toạ độ.

b) Đường thẳng d: 8 4
3 2

x t

y t

z t





 

  


</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Hướng dẫn giải

a) Điểm M x; y; z





thuộc d có hình chiếu lên mp(Oyz) là M' 0; y; z





thuộc d', d' là
hình chiếu lên mp(Oyz).

Vậy phương trình tham số của d' là:
5
3 2
0

x t

y t

z

 



 

 


. Tương tự thì hình chiếu lên

mp(Oxy), mp(Oxz) có phương trình tham số:

5 5

3 2 , 0

0 4

x t x t

y t y

z z t

   

 

 

  

 

    

 

b) Ta viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua d và vng góc với mp(P).
Vectơ pháp tuyến của của (Q) vng góc với cả uvà np



nên ta có thể lấy



2; 1; 3 .



, p

nu n 

   

 

 

Và (Q) đi qua d nên đi quaM 0; 8; 3





. Vậy (Q) có phương

trình:

2(x 0) ( y 8) 3( z 3) 0 hay 2 x  y 3 1 0.z  

Vì d khơng vng góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d'. Đường

thẳng d' là giao tuyến của (Q) và (P) nên d' chứa các điểm có toạ độ



x y z, ,



thỏa mãn : 7 0

2 3 1 0

x y z
x y z

   




   



Đặt z = tthì x8 4 t, y = 15 – 5 t .Vậy d'

8 4
15 5

x t

y t

z t

 




 


 


Cách khác: Tìm giao điểm A của d và (P). Thế toạ độ x, y, z vào

 

P : 8t  4 t) (3 2 ) 7 0 4 4 40 13; ;

7 7 7 7

t t A 

        

 

Mặt phẳng (Q) qua d, vuông góc với (P) có VTPT: 'u u n. p (2; 1; 3)

 

  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Đường thẳng d' của VTCP 'u n n , p (4; 5; 1)

Từ đó suy ra phương trình của hình chiếu d'.

Bài tốn 16.21: Viết phương trình hình chiếu của



2



7 3 9

1 2 1

x y z

 



theo phương (



1



3 1 1

7 2 3

x y z

 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Hướng dẫn giải

Hình chiếu A là giao tuyến của

 

α với

 

β , trong đó

 

β là mặt phẳng chứa



2



song song với



1



Vì

 

β chứa



2



nên đi qua A 7; 3; 9





và có VTPT





1 2 8;4;16

nu u  

 


   

hay



2; 1; 4 .



Do đó

 

β :2(x 7) 1( y 3) 4( z 9) 0 hay 2 x y 4z 53 0.

Các điểm thuộc giao tuyến



2



có toạ độ thoả mãn:

7 3 0

2 4 53 0

x y
x y z

   




   


Đặt z t thì 56 3 , x   t y 59 2 t

Vậy phương trình tham số của hình chiếu:

56 3
59 2

x t

y t

z t

 




 


 


Bài toán 16.22: Cho đường thẳng  và mp(P) có phương trình:

1 2 3

( ) : 2 5 0.

1 2 2

x y z

P x z

 

    

Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm A của A và (P), nằm trong (P) và
vng góc với .

Hướng dẫn giải
 dạng tham số: x 1 1, y 2 2 , t z  3 2 .t
Thế x, y, z vào (P) thì được t = 0 nên A 1; 2; 3 .





Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vng góc với . Khi đó, vectơ chỉ

phương u' của d phải vng góc với vectơ chỉ phương u'= 1; 2; 2





của , đồng thời

vng góc với vectơ pháp tuyến n= 2; 0; , 1





của (P), nên ta chọn:





, 2;3; 4 .

u  u n 

  

 

  

Vậy đường thẳng d: 1 2 3

2 2 4

x y z

 



Cách khác: Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vng góc với  thì (Q) có vectơ pháp
tuyến là vectơ chỉ phương của A nên có phương trình:









1 2 2 2 3 0 hay 2 2 11 0.

x  y  z  x y z  Giao tuyến d của (P) và (Q) là

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Suy ra phương trình tham số của d là:

1 2
3 3
1
17 4

3 3

x t

y

z t



 







  



Bài tốn 16.23: Viết phương trình đường thẳng đi qua A 1; -1; 1





và cắt cả hai đường

thẳng: d:

1 2

y t

y t

z t

 






  


và

'
' : 1 2 '

2 '

x t

d y t

z t





 


  


Hướng dẫn giải

Ta có A khơng thuộc d và d'.Đường thẳng d' đi qua điểm M 1; 0; 3





và có vectơ chỉ

phương u= 2; 1;-1





. Đường thẳng d' đi qua điểm M' 0; -1; 2





và có vectơ chỉ

phương u'= 1;-2; 1





Đường thẳng  cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng: mp (A; d) và mp (A; d').
Mp(A; d) có vectơ pháp tuyến

, ( 3; 4; 2),

nAM u   

 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

mp(A; d') có vectơ pháp tuyến

' ', ' (2;2;2) hay (1; 1; 1).

n      AM u  
 

 
 
 
 
 
   

Đường thẳng  có vectơ chỉ phương là n n, ' 



6; 1;  7





 

đi qua A nên có

phương trình tham số là:

1 6
1
1 7

x t

y t

z t

 



 


  


Ta có u n    . 2 1 1 2 0  nên d cắt mp(A; d'), do đó d cắt 

Tương tự, vì u'.n  3 9 2 13 0   nên d' cắt mp(A; d), do đó d' cắt .
Vậy là đường thẳng đi qua A, cắt cả d và d'.

Cách khác: Ta tìm giao điểm B của d' và (A; d), đường thẳng là đường thẳng qua A và

B. Lấy điểm M 1 + 2t; t;3-1





nằm trên d và điểm M t' '; 1 2 '; 2 '



  t  t



nằm trên d'.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài toán 16.24: Viết phương trình đường thẳng vng góc chung của AC và BD biết

















A 4; 1; 4 , B 3; 3; 1 , C 1; 5; 5 , D 1; 1; 1 .

Hướng dẫn giải

PT đường AC là

 

d1 : x 4 3 ,  t y 1 4 , t z 4 t có VTCP u   ( 3; 4; 1).


PT đường BD là

 

d2 : x 3 2 , k y 3 2 ,k z1 có VTCP u   2 ( 2; 2; 0)


Gọi đường vng góc chung là

 

 qua E thuộc d1,F thuộc d2:
(4 3 ; 1 4 ; 4 ); (3 2 ; 3 2 ; 1)

E  t  t t F  k  k

(1 3 2 ; 2 4 2 ; 3 ).

FE  t k   t k t



Ta có

1
2

. 0 26 2 8 0 17

4 1 0 3

. 0

t

FE u t k

t k

FE u k





     

 

 

  

  

 

 

 




 

Suy ra E 53 37 73; ; , F 45 45 17; ;
17 17 17 17 17 17

   

   

   

Đường vng góc chung

 

 có vectơ chỉ phương

8 8 56

FE ; ;

17 17 17

 

  

 



hay



1; 1;7



nên có PT là: 45 , 45 , 1 7.

17 17

x t y  t z  t

Bài toán 16.25: Cho 2 đường thẳng:





3 1 1

7 2 3

x y z

  

 và





7 3 9

1 2 1

x y z

  

 . Lập phương trình đường thẳng



3



đối xứng với



Δ2



qua



Δ1



Hướng dẫn giải
Lấy điểm M 





 M t( 7; 2t3; t 9)

Mặt phẳng (P) qua M vng góc với



1















7 x 1 7 2 y 2 t 3 3 z t 9 0

         

Ta có



1



: x7k3, y2k1, z3k1

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

21 6 9

3 1 1

31 3 31

t t t

 

    

 

  ứng với

3
31

t
k

Gọi M' đối xứng với M qua



Δ1



thì I là trung điểm đoạn MM' nên có

M' 11 1, 74 1, 13 7

31 31 31

t t t

 

    

 

 .

Vậy đường thẳng



3



cần tìm chứa các điểm M' nên có phương trình là:

1 11
1 74
7 17

x t

y t

z t

 




 


  


Bài tốn 16.26: Viết phương trình đường thẳng đi qua M 1; -5; 3





và tạo với hai đường
thẳng Ox, Oy các góc bằng 60°.

Hướng dẫn giải
Gọi u



a b c; ; ,



a2 b2 c2 0

   



là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm. Các

đường thẳng Ox, Oy có các vectơ chỉ phương là i 1; 0; 0 ,





j



0; 1; 0



. Theo giả
thiết của bài tốn thì:

2 2 2 2 2 2

1
cos 60

a b

a b c  a b c  





2 2 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2

a b a b c a b a b c

         

2 2 2

2a 2b c

   . Chọn C= 2 thì a 1,b1.

Vậy có 4 trường hợp xảy ra nên có 4 đường thẳng có phương trình:

1 5 3 1 5 3

;

1 1 2 1 1 2

x y z x y z

   



1 5 3 1 5 3

;

1 1 2 1 1 2

x y z x y z

   

  

Bài toán 16.27: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm

















A 1; 5; 3 , B 4; 2; -5 , C 5; 5 ;-1 và D 1; 2; 4

a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Lập phương trình mặt cầu
(S) đi qua bốn điểm đó. Tìm khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ABC).

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Hướng dẫn giải
Ta có AB(3; 3; 8),   AC(4;0; 4),  AD (0; 3;1) 

[AB AC , ] (12; 20; 12)
 

nên [AB A C, ]. AD 72 0 . 
  

Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Giả sử mặt cầu (S) có phương trình:

2 2 2 2 2 2 0.

x y z  ax by cz d 

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có:

1 25 9 2 10 6 0 1

16 4 25 8 4 10 0 2

5 25 1 10 10 2 0 1

1 4 16 2 4 8 0 19

a b c d a

a b c d b

a b c d c

a b c d d

       

 

         

 



 

       

 

         

 

Vậy mặt cầu (S) là: x2 y2 z2 2x 4x 2z 19 0

      

Mặt cầu (S) có tâm I



1; 2; 1



và bán kính R = 5 Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến

, (12; 20; 12)

nAB AC  

 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

hay (3; 5; 3) và đi qua điểm A 1; 5; 3





nên có phương

trình: 3(x - 1) - 5(y - 5) + 3(z - 3) = 0 hay 3x - 5y + 3z + 13 = 0.

Khoảng cách ( ;( )) 13.1 5.2 3.4 132 2 2 18
43
3 5 3

d D ABC     

 

b) Mặt phẳng

 

 vng góc với CD có vectơ pháp tuyến CD  



4; 3; 5



nên có

phương trình: 4x 3 5y  z d 0.Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và

chỉ khi: 4.1 3 .2 5 .1 5 15 15 2

16 9 25 50

d d

d

    

    

 

Vậy ta có hai mặt phẵng cần tìm với phương trình:
4x 3y 5z 15 25 2 0

     

c) Tâm mặt cầu (S) là I



1; 2; 1



. Khoảng cách từ I tới (Oxy) là d = -1 =11 nên (S)

cắt mp(Oxy) theo đường trịn có bán kính 2 2

1= R -d = 25-1=2 61

r

Khoảng cách từ I tới mp(Oyz) là d =12 nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán

kính 2 2

2 2 25 1 2 6

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Khoảng cách từ I tới mp(Oxz) là d =23 nên (S) cắt mp(Oxz) theo đường tròn có bán

kính 2 2

3 3 25 4 21

r  R  d   

Bài toán 16.28: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M 1; 2; 3 .





Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể

tích bé nhất.

Hướng dẫn giải

Giả sử A a; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c













với a > 0, b > 0, c > 0.

 

P : x y z 1.

a b c  Vì M nằm trên (P) nên

1 2 3
1

a b c  

Ta có:1 1 2 333 1 2 3. . 33 6 1 27 27
6

abc

a b c a b c abc abc

       

Dấu "=" xảy ra khi 1 2 3= = =1

a b c hay a = 3; b = 6; c = 9.

Thể tích tứ diện OABC là 1 . . 27

6 6

abc
V  OA OB OC  .

Vậy thể tích nhỏ nhất là 27. Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là: 1
6 6 9

x y z

  

Bài tốn 16.29: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P): x 2y2z 5 0và hai điểmA



3; 0; 1 , 1;



B( 1; )3 . Trong các đường thẳng

đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ
B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi A là đường thẳng cần tìm; A nằm trong mặt
phẳng (Q) qua A và song song với (P).

Phương trình (Q): x 2y2z 1 0.
K, H là hình chiếu của B trên , (Q).

Ta có BK BH nên AH là đường thẳng cần tìm. Toạ độ H(x; y; z) thoả mãn:

1 1 3

1 11 7
; ;

1 2 2

9 9 9

2 2 1 0

x y z

H

x y z

  



 

  

 



  

 

    



</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

26 11 2

AH= ;

;-9 ;-9 9

 

 

 



. Vậy phương trình : 3 1

26 11 2

x y z

 



Bài tốn 16.30: Lập phương trình mặt phắng (P) chứa đường thẳng d:

1 2
2

x t

y t

z t





 


  


và hợp với mặt phẳng

 

Q : 2 x y  2z 2 0 một góc bé nhất.

Hướng dẫn giải
Gọi

 

P : Ax By Cz 0,D A2 B2 C2 0

       .Vì (P) chứa d nên đi qua
(0; 1; 2), ( 1; 1; 3) :

M  N 

2 0 2

3 0 2

B C D A B C

A B C D D B C

     

 



 

      

 

Do đó (P):(2 ) B  C x  By  Cz 2 0 B  C 

Mp(Q) có VTPT n '



2; 1; 2 . 



Gọi φlà góc giữa 2 mặt phẳng thì:





2 2

cos cos , '

5B + 4BC + 2C

B
n n

    

Xét B = 0thì φ 90 . Xét B 0 , đặtm=C
B thì:





2 2

1 1 1

cos

2m 4m 5 2 m 1 3

   

   

Dấu "=" xảy ra khi m = -1 nên B C, khi đó φ< 90°là góc cần tìm.

Vậy

 

P : x + y - z + 3 = 0.

Bài tốn 16.31: Trong khơng gian Oxyz cho tập hợp các mặt phẳng



αm



có phương trình

làmx 2



m1



y 



m 1



z1 0 .

a) Chứng tỏ các mặt phẳng (ctm) đi qua một đường thẳng cố định .

b) Cho đường thẳng d với phương trình tham số

1 2
3

x t

y t

z t

 






  


Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d và  chéo nhau.

c) Lập phương trình 2 mặt phẳng lần lượt chứa một đường thẳng d hoặc và chứa
đường vng góc chung của chúng.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

a) Phương trình các mặt phẳng (am) có thể viết thành:
2 y  z1 ( m x 2 ) 0y  z 

Đẳng thức này đúng với mọi m nên ta suy ra: 2 1 0

2 0

x z
x y z

  




  



Hệ phương trình này xác định một đường thảng A cố định là giao tuyến của 2 mặt
phẳng 2 y  z1 0,  x 2 0.y  z 

 có VTCP n= n ,n = 4;4;-2 1 2







 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

và đi qua B 1;0;1







Vậy các mặt phẳng



m



đi qua đường thăng cô định :

1 1

4 1 2

x y z

 


b) d qua A 1; 0; -2





và có VTCP u  



2; 3; 1



Ta có u v , 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

. AB 0


nên d và  chéo nhau.

c) Đường vng góc chung IJ có VTCP au v ,   



5; 8; 14 



 

  

Mặt phẳng (P) chứa d và IJ có VTPT





, 50; 23; 31

p

n u a

 

   

  

và đi qua A 1; 0; -2





nên có phương trình:













50 x 1 23 y 0 31 2 2 0

       hay 50x23 y 31z112 0.

Mặt phẳng (Q) chứa  nên IJ có VTPT n = v, Q  a 



30; 6 ; 276 



  

và đi qua





B -1; 0; 1 nên có phương trình: 10 1 22



x 







y 0



 9



z1 0



 hay

10x 22 9 1 0.y  z  

Bài toán 16.32: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng A có phương trình :

1 1

2 1 3

x y z

 



a) Viết phương trình hình chiếu của A trên các mặt phẳng ( Oyz).
b) Chứng minh mặt phẳng x + 5y + z + 4 = 0đi qua đường thẳng .
c) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả  và '.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng A có phương trình tham số là:
0

1
3

x

y t

z t





 


 


</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Đường thẳng  có vectơ chỉ phương u 



2; 1; 3



Ta có n . u 0   nên  song song

hoặc nằm trên mặt phẳng

 

 .

Vì điểm M 1; -1; 0





của A

 

 (a) nên A nằm trên

 

 .

c) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hình chiếu d1 của đường thẳng  có phương trình:
x + 2y + 1 = 0và hình chiếu d'1 của 'có phương trìnhx - y = 0. Giao điểm của hai

đường thẳng d1 và d'1 là

1 1
; ;0
3 3

I  

 Khi đó đường thẳng đi qua I, song song với Oz
sẽ cắt cả hai đường thẳng 

và '. Phương trình đường thẳng đó là:

1
3
1
3

x

y

z t















3. BÀI LUYỆN TẬP

Bài tập 16.1: Lập phương trình mặt phẳng

a) Đi qua hai điểm A



0; 1; 1 , 1; 0; 2



B 





và vng góc với mặt phẳng (P):
x - y + z + 1 = 0.

b) Chứa trục Oz và đi qua điểm 2; 1; 2E







Hướng dẫn
a) Chọn nAB n; p

 

Kết quả y  z 2 0.

b) Kết quả 2y + z = 0.

Bài tập 16. 2: Lập phương trình mặt phẳng

a) Đi qua điểm M 2; -1; 2 ,





song song với trục Oy và

 

P : 2 x  y 3 1 0 z   .

b) Đi qua điểm M 3; -1; -5





đồng thời vng góc với hai mặt phẳng

3x 2y2z 7 0 và 5x 4y3z 1 0.

Hướng dẫn
a) Chọn VTPT n j;np

  

Kết quả3x 2z 2 0 .

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài tập 16. 3: Cho tứ diện với các đỉnh A 2; 0; 0 , B 0; 4; 0 , C 0; 0; 6 , D 2; 4; 6 .

















Tìm tập hợp các điểm M trong khơng gian sao cho MA+MB+MC+MD =4    .

Hướng dẫn

Gọi M x;y;z .





Kết quả mặt cầu



x1



2



y 2



2



z 3 1



2 
Bài tập 16. 4: Lập phương trình mặt cầu:

a) Đi qua ba điểm A 0; 8; 0 , B 4; 6; 2 , C 0; 12; 4













và có tâm nằm trên mp(Oỵz).
b) Cầu có tâm là hình chiếu H của gốc O lên đường thẳng AB và bán kính R = 3, với









A 3; 0; 0 , B 0; 4; 0 .

Hướng dẫn
a) Tâm I nằm trên mp(Oyz) nên I 0;b;c .





Kết quả x2



y 7





z 5



2 26

    

b) Kết quả

2 2

48 36

25 25

x y z

   

    

   

   

Bài tập 16. 5: Lập phương trình mặt cầu: a) Có tâm thuộc trục Oy và tiếp xúc với hai mặt
phẳng:x2y 2z 3 0,  x2y 2z 5 0 x.

b) Đi qua A 2; 0; 1 , B 1; 0; 0 , C 1; 1; 1













và có tâm thuộc mặt phẳng

 

P : x  y  z 2 0.

Hướng dẫn
a) Tâm I thuộc trục Oy nên I 0;b;0 .





Kết quả 2



2



2 2 1
9

x  y  z  .

b) Kết quả



x1 2 2



 y 



z1 2 1





Bài tập 16. 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

1 2 5

2 3 4

x y z

d     

 và 2

7 2 1

3 3 2

x y z

d     



Chứng to răng hai đường thẳng đã cho cùng nằm trong một mặt phẳng, viết phương
trình mặt phẳng đó.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Kết quả 2 x16y13z31 0.

Bài tập 16. 7: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d là giao tuyến

của 2 mặt phẳng (P): x2y5z6 0 , ( ) Q : x y  3z3 0 vng góc với

mặt phẳng

 

R : 3x2y z  5 0.
Hướng dẫn
Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt

 

P : x+ 2y + 5z + 6 = 0, Q : x - y - 3z + 3 = 0

 

nên có VTPT n               n np; Q

Kết quả 7x 4y13z24 0. 

Bài tập 16. 8: Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình:
2

3
11

,( ) : 3 4 1 0.
3

x t

d y t P x y z

z t



 





     









Viết phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vng góc của d trên mp(P) và

phương trình đường thẳng d1 là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương
Oz.

Hướng dẫn
Tìm giao điểm A của d trên mp(P).

Kết quả

13
3

3
1 2

;
9 3

10
2
3

x t

y t y t

z t z t



  

  






  

 

 



   






Bài tập 16. 9: Lập phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng

 

7 3 9

1 2 1

x y z

d     

 và

 

3 1 1

7 2 3

x y z

d     


Hướng dẫn

Gọi đoạn vng góc chung là AB với A thuộc di tham số t và B thuộc d2 tham số t’.

Kết quả 7 3 9

2 2 4

x y z

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài tập 16. 10: Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mặt phẳng y 2 0 z 
và cắt 2 đường thẳng:

1 2

1 2 '

: , 4 2 '

4 1

x t x t

d y t d y t

z t z

   

 

 

  

 

   

 

Hướng dẫn

Tìm 2 giao điểm A, B của 2 đường thẳng d < d2 với mp(P).

Kết quả

1 4
2

x t

y t

z t

 





 


Bài tập 16. 11: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d1 và cắt
cả hai đường thẳng d2 và d3, biết phương trình :

1 2 3

1 4 5

1 2 2

2 4 ; : ; 7 9 '

1 4 3

1 '

x x t

x y z

d y t d d y t

z t z t

  

 

  

 

     

 

    

 

Hướng dẫn

Đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d2 và d3tại BC với B thuộc d1 tham số t và c

thuộc d3 tham số t’.

Kết quả d:
1

2 4
2

x
y

z t





 


</div>