HE TOA DO TRONG KHONG GIAN

Hình khơng gian lớp 12
CHỦ ĐỀ 1. TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ trong khơng gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz vng góc với nhau từng đơi
r r r
một và chung một điểm gốc O. Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên
các trục Ox, Oy , Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vng góc
trong khơng gian.
rr rr r r
r2 r 2 r 2
Chú ý: i  j  k  1 và i. j  i.k  k . j  0 .
2. Tọa độ của vectơ
r
r
r r
r
a) Định nghĩa: u   x; y; z  � u  xi  y j  zk
r
r
b) Tính chất: Cho a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ), k ��
r r
 a �b  (a1 �b1 ; a2 �b2 ; a3 �b3 )
r
 ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 )
�a1  b1
r r
�
a2  b2
 ab � �
�a  b

�3 3
r
r
r
r
 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)
r r r
r
r
r
 a cùng phương b (b �0)
 a  kb (k ��)
a1  kb1
�
a
a a
�
��
a2  kb2
� 1  2  3 , (b1 , b2 , b3 �0)
b1 b2 b3
�
a3  kb3
�
r r
rr
 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3
 a  b � a1b1  a2b2  a3b3  0
r2
r

2
2
2
 a  a1  a2  a3
 a  a12  a22  a22
rr
a1b1  a2b2  a3b3
a.b
r r
r r r
 cos(a , b )  r r 
(với a , b �0 )
2
2
2
2
2
2
a .b
a1  a2  a3 . b1  b2  b3
3. Tọa độ của điểm
uuuu
r
r
r
r
a) Định nghĩa: M ( x; y; z ) � OM  x.i  y. j  z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z :
cao độ)
Chú ý:  M � Oxy  � z  0; M � Oyz  � x  0; M � Oxz  � y  0
 M �Ox � y  z  0; M �Oy � x  z  0; M �Oz � x  y  0 .

b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; z B )
uuu
r
 AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A )
 AB  ( xB  x A ) 2  ( y B  y A ) 2  ( z B  z A ) 2
�x  x y  y B z A  z B �
;
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M � A B ; A
�
� 2
2
2 �
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :
�x  x  x y  y B  yC z A  z B  zC �
G �A B C ; A
;
�
3
3
3
�
�
 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :

Trang 1


Hình khơng gian lớp 12
�x  x  x  xD y A  yB  yC  y D z A  z B  zC  zC �
G �A B C

;
;
�
�
4
4
4
�
4. Tích có hướng của hai vectơ
r
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) ,
r r
r
r
r
�
a
b  (b1 ; b2 ; b3 ) . Tích có hướng của hai vectơ a và b, kí hiệu là �
�, b �, được xác
định bởi
�a2 a3 a3 a1 a1 a2 �
r r
�
a, b �
;
;
�  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 
�
� �
�b2 b3 b3 b1 b1 b2 �

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai
vectơ là một số.
b) Tính chất:
r r
r
r r
r
 [a, b]  a;
[ a , b]  b
r r
r r
�  �
�
a
,
b
b
 �
� � �, a �
r
r r
r r
r r
r
r
�
�
�
�
�

i
,
j

k
;
j
,
k

i
;
k
,i �
�
� j
� �
� �
r r
r r
r r
 [a, b]  a . b .sin  a , b  (Chương trình nâng cao)
r r
r r
r
 a, b cùng phương � [a, b]  0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
r r
r
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng 

r r r
[a, b].c  0
uuu
r uuur
 Diện tích hình bình hành ABCD :
SY ABCD  �
AB, AD �
�
�
u
u
u
r
u
u
u
r
1
S ABC  �
AB, AC �
 Diện tích tam giác ABC :
�
�
2
uuu
r uuur uuur
B C D : VABCD . A ' B 'C ' D '  [ AB, AD]. AA�
 Thể tích khối hộp ABCDA����
1 uuur uuur uuur
VABCD  [ AB, AC ]. AD

 Thể tích tứ diện ABCD :
6
Chú ý:
– Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường
thẳng vng góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam
giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ
đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
r r
rr
a  b � a.b  0
r
r
r
r r
�
� 0
a va b cung phuong � �
a, b �
r r r
r r r
a , b , c dong phang � �
a, b �
.c  0
�
�

Trang 2

Hình khơng gian lớp 12
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
r
r
r
r
r
Câu 1. Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos 
bằng
rr
rr
rr
r r
a.b
a.b
a.b
ab
A. r r .
B. r r .
C. r r .
D. r r .
a.b
a.b
a.b
a.b
r
r
Câu 2. Gọi  là góc giữa hai vectơ a   1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.
Câu 6.

Câu 7.

A. 0.

B.

2
.
5

A.

B.

8.

2
.
5

2
D.  .
5
r

r
r
Cho vectơ a   1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
r
r
r
A. b   2; 6; 8  . B. b   2; 6;8  .
C. b   2;6;8  .
D.
r
b   2; 6; 8  .
r
r
Tích vơ hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian
bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
Trong không gian cho hai điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
C.

C. 10.
D. 12.
rr r
Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với
uuuu
r
M  x; y; z  thì OM bằng
r r r

r r r
r r r
r r r
A.  xi  y j  zk .
B. xi  y j  zk .
C. x j  yi  zk .
D. xi  y j  zk .
r
r
Tích có hướng của hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí
r r
hiệu �
a, b �
�
�, được xác định bằng tọa độ
A.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
B.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
6.

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
D.  a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1 ; a1b1  a2b2  .
r
r
rr
Cho các vectơ u   u1 ; u2 ; u3  và v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi
C.

Câu 8.

A. u1v1  u2 v2  u3v3  1 .

B.

u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .
C. u1v1  u2 v2  u3v3  0 .
Câu 9.

D.

u1v2  u2 v3  u3v1  1 .
r
r
Cho vectơ a   1; 1; 2  , độ dài vectơ a là
A.

6.

B. 2.
C.
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm
không trùng với gốc tọa độ, khi đó tọa độ
A. M  a;0;0  , a �0 . B. M  0; b;0  , b �0 . C.

 6.

D. 4.

trên trục Ox sao cho M
điểm M có dạng
M  0;0; c  , c �0 . D.

M  a;1;1 , a �0 .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng  Oxy  sao cho
M không trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi
đó tọa độ điểm M là ( a, b, c �0 )
Trang 3


Hình khơng gian lớp 12
A.  0; b; a  .

B.  a; b;0  .
C.  0;0; c  .
D.  a;1;1
r
r
r
r
Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a   0;3; 4  và b  2 a , khi đó tọa độ vectơ b
có thể là
A.  0;3; 4  .
B.  4;0;3 .
C.  2;0;1 .
D.  8;0; 6  .
r r
r
r
�
u
Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó �

�, v �bằng
r r
r r
r r
r r
rr
r r
rr
r r
A. u . v .sin u , v .
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u, v .
D. u.v.sin u , v .
r
r
r
Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   1; 1; 2  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 ,
ur r r r
vectơ m  a  b  c có tọa độ là
A.  6;0; 6  .
B.  6;6;0  .
C.  6; 6;0  .
D.  0;6; 6  .

 

 

 

 

Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  . Độ dài
các cạnh AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A. 21, 13, 37 .
B. 11, 14, 37 .
C. 21, 14, 37 .
D.
21, 13, 35 .
Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  . Tọa
độ trọng tâm G của tam giác ABC là
�5 2 4 �
�5 2 4 �
�5
�
A. � ; ;  �.
B. � ; ; �.
C.  5; 2; 4  .
D. � ;1; 2 �.
�3 3 3 �
�3 3 3 �
�2
�
Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1; 2;0  , B  1;1;3 , C  0; 2;5  . Để 4
điểm A, B, C , D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
D  0;0; 2  .
A. D  2;5;0  .
B. D  1; 2;3 .
C. D  1; 1;6  .
D.

r

r

r

Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a  (1;2;3),b  (2;0;1),c  (1;0;1) .

r

r

r

r

r

Tìm tọa độ của vectơ n  a  b  2c  3i
r
r
r
A. n   6; 2;6  .
B. n   6; 2; 6  .
C. n   0; 2;6  .

r
D. n   6; 2;6 

.
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B( 2;1;3), C (3; 2; 4) .
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
�2
�
�1 �
2; ;3 �.
A. G � ;1;3 �.
B. G  2;3;9  .
C. G  6;0; 24  .
D. G �
� 3 �
�3
�
Câu 20. Cho 3 điểm M  2;0;0  , N  0; 3;0  , P  0;0;4  . Nếu MNPQ là hình bình hành
thì tọa độ của điểm Q là
A. Q  2; 3; 4 
B. Q  2;3; 4 
C. Q  3; 4; 2 
D.
Q  2; 3; 4 
Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M  1;1;1 , N  2;3; 4  , P  7;7;5  . Để
tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là

Trang 4


Hình khơng gian lớp 12
A. Q  6;5; 2  .

B. Q  6;5; 2  .

C. Q  6; 5; 2  .

D.

Q  6; 5; 2  .
Câu 22. Cho 3 điểm A  1;2;0  , B  1;0; 1 , C  0; 1;2  . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
C. tam giác vuông đỉnh A .
D. tam giác đều.
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  1; 2; 2  , B  0;1;3  , C  3; 4;0  .
Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D  4;5; 1 .
B. D  4;5; 1 .
C. D  4; 5; 1 .
D. D  4; 5;1 .
r
r
r r
r
r
Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a  2; b  4 . Khi đó a  b
bằng
A. 8 3  20.

B. 2 7.

C. 2 5.

D. 2 .

Câu 25. Cho điểm M  1; 2; 3 , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  Oxy 
bằng
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 3.

Câu 26. Cho điểm M  2;5; 0  , hình chiếu vng góc của điểm M trên trục Oy là
điểm
 2;5;0  .
 0; 5; 0  .
 0;5;0  .
 2; 0; 0 
A. M �
B. M �
C. M �
D. M �
.
Câu 27. Cho điểm M  1; 2; 3 , hình chiếu vng góc của điểm M trên mặt phẳng

Câu 28.

 Oxy  là điểm
 1; 2; 0  .
 1; 0; 3 .
 0; 2; 3 .
A. M �

B. M �
C. M �
Cho điểm M  2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục

 1; 2;3 .
D. M �
Ox bằng

A.

B. 5 .
C. 2.
D. 26 .
29 .
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng
thức nào sau đây là đẳng thức đúng
uu
r uur uur
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
A. IA  IB  IC.
B. IA  IB  CI  0.
C. IA  BI  IC  0. D.
uu
r uur uur r
IA  IB  IC  0.
�

�

�

Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a   1;1;0  ; b   1;1;0  ; c   1;1;1 .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
uu
r
ur
A. br  cr.
B. a  2.
C. c  3.

D. ar  br.

Câu 31. Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Oxy  là
điểm
 3; 2;1 .
 3; 2; 1 .
 3; 2;1 .
 3; 2;0  .
A. M �
B. M �
C. M �
D. M �

 a; b; c  đối xứng của M qua trục Oy , khi đó
Câu 32. Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm M �
a  b  c bằng
A. 6.

B. 4.
C. 0.
D. 2.
r
r
r r
Câu 33. Cho u   1;1;1 và v   0;1; m  . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450
thì m bằng
Trang 5


Hình khơng gian lớp 12
A. � 3 .
B. 2 � 3 .
C. 1 � 3 .
D. 3 .
Câu 34. Cho A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD
bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D
của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
�
�
�
AB

,
AC
.
AD
AB, AC �
. AD
1 �
�
A. h  1 �
B.
�
.
h
.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
3 �
3
�
AB
.
AC
AB
.
AC
�
�
uuu

r uuur uuur
uuur uuur uuur
�
�
�
AB
, AC �
. AD
AB
,
AC
.
AD
�
C.
D. h  �
�
�
.
h
..
uuu
r uuur
uuu
r uuur
�
�
AB
.
AC

AB. AC
�
�
Oxyz
Câu 36. Trong không gian tọa độ
, cho bốn điểm
A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD

Câu 37.

Câu 38.

Câu 39.

Câu 40.

Câu 41.

Câu 42.

hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng  ABC  là
9
9
9
9
A.
.
B. .
C.
.

D.
.
7
14
7 2
2
Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có
A(1;0;2), B(2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; 5) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện
ABCD
� 18
�
� 14 �
9; ; 30 �. B. G  8;12; 4  .
3;3; �
A. G �
C. G �
.
D. G  2;3;1 .
� 4
�
� 4�
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (2; 1; 2) . Điểm M trên
trục Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là
�1 1 3 �
�1
�
�3
�
� 1 3�
0; ; �.

A. M � ; ; �.
B. M � ;0;0 �.
C. M � ;0;0 �.
D. M �
�2 2 2 �
�2
�
�2
�
� 2 2�
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (3; 1; 2) . Điểm M trên
trục Oz và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là
� 3�
�3 1 3 �
0;0; �.
A. M  0;0; 4  .
B. M  0;0; 4  .
C. M �
D. M � ; ; �
�2 2 2 �
� 2�
.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B(0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin
�
của góc BAC
là
9
9
9
9

A.
.
B.
.
C. 
.
D. 
.
2 35
35
2 35
35
r
r
r
Tọa độ của vecto n vng góc với hai vecto a  (2; 1; 2), b  (3; 2;1) là
r
r
r
A. n   3; 4;1 .
B. n   3; 4; 1 .
C. n   3; 4; 1 .
D.
r
n   3; 4; 1 .
r
r
r r r r r
r
r

2 r
Cho a  2; b  5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
, u  ka  b; v  a  2b.
3
r
r
Để u vng góc với v thì k bằng
6
45
6
45
.
.
A.  .
B.
C.
D.  .
45
6
45
6

Trang 6


Hình khơng gian lớp 12
r
r
uu
r

Câu 43. Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w   1; 2;1 . Với giá trị nào của m thì ba vectơ
trên đồng phẳng
3
3
8
8
A. .
B.  .
C. .
D.  .
8
8
3
3
r
r
Câu 44. Cho hai vectơ a   1;log 3 5; m  , b   3;log 5 3; 4  . Với giá trị nào của m thì
r r
ab
A. m  1; m  1 .
B. m  1 .
C. m  1 .
D.
m  2; m  2 .
Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của
x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng là
A. x  5; y  11 .
B. x  5; y  11 .
C. x  11; y  5 . D. x  11; y  5 .
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác

ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Câu 47. Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam
giác ABC có diện tích bằng
1
6
6
A. 6 .
B.
.
C.
.
D. .
2
3
2
Câu 48. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là  1;1;1 ,  2;3; 4  ,  7;7;5  . Diện
tích của hình bình hành đó bằng
83
.
2
r
r
r
Câu 49. Cho 3 vecto a   1; 2;1 ; b   1;1; 2  và c   x;3x; x  2  . Tìm x để 3 vectơ
r r r
a, b, c đồng phẳng

A. 2.
B. 1.
C. 2.
D. 1.
r
�
�
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   3; 2; 4  , b   5;1;6  , c   3;0; 2  .
r r r
r
r
Tìm vectơ x sao cho vectơ x đồng thời vng góc với a, b, c
A.  1;0;0  .
B.  0;0;1 .
C.  0;1;0  .
D.  0;0;0  .
A. 2 83 .

B.

83 .

C. 83 .

D.

Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B (1; 2; 3) , C (7; 4; 2) . Nếu E là điểm
uuu
r
uuu

r
thỏa mãn đẳng thức CE  2 EB thì tọa độ điểm E là
8 8�
8 8�
8�
1�
A. �
B. �
C. �
D. �
3; ;  �
.
3; ; �
.
3;3;  �
.
1; 2; �
.
�
�
�
�
3�
� 3�
� 3 3�
� 3 3�
�
Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) ,
B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) . Điểm M  a; b; c  là đỉnh thứ tư của hình bình hành
ABCM , khi đó P  a 2  b 2  c 2 có giá trị bằng

A. 43. .
B. 44. .
C. 42. .
D. 45.
Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 1) ,
B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) . Tìm tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong
góc A của tam giác ABC
A. D(0;1;3) .
B. D(0;3;1) .
C. D(0; 3;1) .
D. D(0;3; 1) .
Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(1;3;5) , B(4;3;2) ,
C(0;2;1) . Tìm tọa độ điểm I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Trang 7


Hình khơng gian lớp 12
8 5 8
5 8 8
5 8 8
8 8 5
A. I ( ; ; ) .
B. I ( ; ; ) .
C. I ( ; ; ).
D. I ( ; ; ) .
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3

ur
r
r
Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ  a   1;1;0  , b   1;1;0  , c   1;1;1 . Cho
uuu
r r uuu
r r uuuu
r r
A���
B C thỏa mãn điều kiện OA  a , OB  b , OC '  c . Thể tích
hình hộp OABC.O�
của hình hộp nói trên bằng:
1
2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3
Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A  2; 1;1 , B  1;0;0  ,
C  3;1;0  , D  0;2;1 . Cho các mệnh đề sau:

1) Độ dài AB  2 .
2) Tam giác BCD vng tại B .
3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).
C. 1); 3).

D. 2),
1)
r
r
r
Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a   1,1, 0  ; b  (1,1,0); c   1,1,1 . Trong
các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
r r
A.
B. r r r r
6
cos b, c 
.
a  b  c  0.
3
r r r
rr
A. a, b, c đồng phẳng.
D. a.b  1.
Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) ,
B (1;1; 2) , C ( 1;1;0) , D(2; 1; 2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD
bằng:
A. 2 .
B. 1 .
C. 13
D. 3 13
.
.
13
13

2
13
Câu 59. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng
thức nào sau đây là đẳng thức đúng
uu
r 1 uur uur uuu
r
uu
r 1 uur uur uuu
r
A. SI  SA  SB  SC .
B. SI  SA  SB  SC .
2ur uur uuu
3ur uur uuu
uur u
r
uu
r u
r r
C. SI  SA  SB  SC.
D. SI  SA  SB  SC  0.
Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có
A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D( 2;1; 1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1.
D. .
2

2
0 �
�
�
Câu 61. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  a, SC  3a, ASB  CSB  60 , CSA  900 . Gọi
G là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3
Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1
uuur uuur
và điểm M  m; m; m  , để MB  2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

 









A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 4.
Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1

và điểm M  m; m; m  , để MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng

Trang 8


Hình khơng gian lớp 12
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Câu 64. Cho hình chóp S . ABCD biết A  2; 2;6  , B  3;1;8  , C  1;0;7  , D  1; 2;3 . Gọi H

là trung điểm của CD, SH   ABCD  . Để khối chóp S . ABCD có thể tích
27
bằng
(đvtt) thì có hai điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Tìm
2
tọa độ trung điểm I của SS
1 2
A. I  0; 1; 3 .
B. I  1;0;3

C. I  0;1;3 .
D. I  1;0; 3 .
Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;7), B(4;5; 2) . Đường thẳng
AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo
tỉ số nào
1
1
2
A. .
B. 2 .
C. .
D. .
2
3
3
Oxyz
A
(2;1;

1),
B
(3;0;1),C(2;
1;3)
Câu 66. Trong khơng gian
, cho tứ diện ABCD có
và D thuộc trục Oy . Biết VABCD  5 và có hai điểm D1  0; y1 ;0  , D2  0; y2 ;0 
thỏa mãn u cầu bài tốn. Khi đó y1  y2 bằng
A. 0.
B. 1.
C. 2 .

D. 3 .
Oxyz
A
(

1;
2;4),
B
(3;0;
2),C(1;3;7) .
Câu 67. Trong khơng gian
, cho tam giác ABC có
uuur
Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .
207
203
201
205
B.
C.
D.
.
.
.
3
3
3
3
Câu 68. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) ,
B (5;1; 2) , C (7;9;1) . Tính độ dài phân giác trong AD của góc A

A.

A. 2 74 .
B. 3 74 .
C. 2 74.
D. 3 74.
3
2
Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) ,
C (2; 4;3) D(2; 2; 1) . Biết M  x; y; z  , để MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị
nhỏ nhất thì x  y  z bằng
A.
B.
C.
D.
7.
8.
9.
6.
Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) ,
B (1; 2;0) , C (1;1; 2) . H là trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn
OH bằng
870
870
870
870
A.
B.
C.
D.

.
.
.
.
12
14
16
15
Câu 71. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B
nằm trên mặt phẳng (Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz
và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC . Toạ độ các điểm B , C thỏa
mãn yêu cầu bài toán là:
�3  177 17  177 � � 3  177 �
A. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �
B. B �
;
;0 �
,C �

0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�

Trang 9


Hình khơng gian lớp 12
�3  177 17  177 � � 3  177 �
C. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �
D. B �
;
;0 �

,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vng ABCD , B (3;0;8) ,
D(5; 4;0) . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa đợ là những
uuu
r uuu
r
sớ ngun, khi đó CA  CB bằng:
A. 5 10.
B. 6 10.
C. 10 6.
D. 10 5.
Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; 1) ,
B (2;3; 4) , C (3;1; 2) . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A. 9  2 6.
B. 9  3 6.
C. 9  3 6.
D. 9  2 6.
Câu 74. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
�
M  3;0;0  , N  m, n, 0  , P  0;0; p  . Biết MN  13, MON
 600 , thể tích tứ diện
OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A  m  2n 2  p 2 bằng

A. 29.
B. 27.
C. 28.
D. 30.
Oxyz
A
(2;3;1)
Câu 75. Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
, B (1; 2;0)
, C (1;1; 2) . Gọi I  a; b; c  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính
giá trị biểu thức P  15a  30b  75c
A. 48.
B. 50.
C. 52.
D. 46.

Trang 10


Hình khơng gian lớp 12
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

A A B C A B D A A D A B B A B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101102103104105106107108109110111112113114115116117118119
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
r
r
r
r
r

Câu 1. Gọi
là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos 
bằng
rr
rr
rr
r r
a.b
a.b
a.b
ab
A. r r .
B. r r .
C. r r .
D. r r .
a.b
a.b
a.b
a.b
r

r
Câu 2. Gọi  là góc giữa hai vectơ a   1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng
2
2
2
A. 0.
B. .
C.
.
D.  .
5
5
5
r
r
r
Câu 3. Cho vectơ a   1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
r
r
r
A. b   2; 6; 8  . B. b   2; 6;8  .
C. b   2;6;8  .
D.
r
b   2; 6; 8  .
r
r
Câu 4. Tích vơ hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian
bằng
A. 10.

B. 13.
C. 12.
D. 14.
Câu 5. Trong không gian cho hai điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.

C. 10.
D. 12.
rr r
Câu 6. Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với
uuuu
r
M  x; y; z  thì OM bằng
r r r
r r r
r r r
r r r
A.  xi  y j  zk .
B. xi  y j  zk .
C. x j  yi  zk .
D. xi  y j  zk .
r
r
Câu 7. Tích có hướng của hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí
r r
hiệu �
a, b �
�
�, được xác định bằng tọa độ
A.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .

B.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
6.

B.

8.

Trang 11


Hình khơng gian lớp 12

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
D.  a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1 ; a1b1  a2b2  .
r
r
rr
Cho các vectơ u   u1 ; u2 ; u3  và v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi
C.

Câu 8.

A. u1v1  u2 v2  u3v3  1 .

B.

u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .
C. u1v1  u2 v2  u3v3  0 .

D.

u1v2  u2 v3  u3v1  1 .
r
r
Câu 9. Cho vectơ a   1; 1; 2  , độ dài vectơ a là
B. 2.
C.  6 .
D. 4.
Câu 10.
Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M
không trùng với gốc tọa độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M  a;0;0  , a �0 . B. M  0; b;0  , b �0 . C. M  0;0; c  , c �0 . D.
A.

6.

M  a;1;1 , a �0 .
Câu 11.
Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng  Oxy  sao
cho M không trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy ,
khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c �0 )
A.  0; b; a  .
B.  a; b;0  .
C.  0;0; c  .
D.  a;1;1
r
r
r
Câu 12.
Trong không gian Oxyz , cho a   0;3; 4  và b  2 a , khi đó tọa độ

r
vectơ b có thể là
A.  0;3; 4  .
B.  4;0;3 .
C.  2;0;1 .
D.  8;0; 6  .
r r
r
r
�
u
Câu 13.
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó �
�, v �bằng
r r
r r
r r
r r
rr
r r
rr
r r
A. u . v .sin u , v .
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u, v .
D. u.v.sin u , v .

 

Câu 14.

 

 

 

Trong không gian Oxyz cho ba vectơ
r
r
r
ur r r r
a   1; 1; 2  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ m  a  b  c có tọa độ là

A.  6;0; 6  .

B.  6;6;0  .

C.  6; 6;0  .

D.  0;6; 6  .

Câu 15.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  . Độ
dài các cạnh AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A. 21, 13, 37 .
B. 11, 14, 37 .
C. 21, 14, 37 .
D.
21, 13, 35 .

Câu 16.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  .
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
�5 2 4 �
�5 2 4 �
�5
�
A. � ; ;  �.
B. � ; ; �.
C.  5; 2; 4  .
D. � ;1; 2 �.
�3 3 3 �
�3 3 3 �
�2
�
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1; 2;0  , B  1;1;3 , C  0; 2;5  . Để
4 điểm A, B, C , D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

Câu 17.

Trang 12


Hình khơng gian lớp 12
A. D  2;5;0  .

B. D  1; 2;3 .

C. D  1; 1;6  .

D.

D  0;0; 2  .

Hướng

dẫn

giải

uuu
r uuur uuur
�
AB
. AD  0
Cách 1:Tính �
� , AC �
Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm
được.
Câu 18.
Trong không gian Oxyz , cho ba vecto

r
r
r
r r r r r
a  (1; 2;3),b  (2; 0;1),c  (1;0;1) . Tìm tọa độ của vectơ n  a  b  2c  3i

r
A. n   6; 2;6  .

r
B. n   6; 2; 6  .

r
C. n   0; 2;6  .

r
D. n   6; 2;6 

.
Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có
A(1;0; 2), B (2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
�2
�
�1 �
2; ;3 �.
A. G � ;1;3 �.
B. G  2;3;9  .
C. G  6;0; 24  .
D. G �
� 3 �
�3
�

Câu 19.

Câu 20.
Cho 3 điểm M  2;0;0  , N  0; 3;0  , P  0;0;4  . Nếu MNPQ là hình bình
hành thì tọa độ của điểm Q là

A. Q  2; 3; 4 
B. Q  2;3; 4 
C. Q  3; 4; 2 
D.
Q  2; 3; 4 
Hướng dẫn giải
�x2
uuuu
r uuu
r
�
Gọi Q ( x; y; z ) , MNPQ là hình bình hành thì MN  QP � � y  3
�z  4  0
�
Câu 21.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M  1;1;1 , N  2;3; 4  , P  7;7;5 
. Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q  6;5; 2  .
B. Q  6;5; 2  .
C. Q  6; 5; 2  .
D.
Q  6; 5; 2  .
Hướng dẫn giải
Điểm Q  x; y; z 
uuuu
r
uuu
r
MN   1; 2;3 , QP   7  x;7  y;5  z 
uuuu

r uuu
r
Vì MNPQ là hình bình hành nên MN  QP � Q  6;5; 2 

Câu 22.
Cho 3 điểm A  1;2;0  , B  1;0; 1 , C  0; 1;2  . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
C. tam giác vuông đỉnh A .

D. tam giác đều.
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur
uuur uuur
AB  (0; 2; 1); AC  ( 1; 3;2) . Ta thấy AB. AC �0 � ABC không vuông.
uuu
r uuur
AB �AC � ABC không cân.

Trang 13


Hình khơng gian lớp 12
Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
A  1; 2; 2  , B  0;1;3 , C  3; 4;0  . Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì tọa
độ điểm D là
A. D  4;5; 1 .
B. D  4;5; 1 .

C. D  4; 5; 1 .
D. D  4; 5;1 .
Hướng dẫn giải
Điểm D  x; y; z 
uuu
r
uuur
AB   1; 1;1 , DC   3  x; 4  y;  z 
uuur uuur
Vì ABCD là hình bình hành nên AB  DC � D  4;5; 1
r
r
r
r
Câu 24.
Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a  2; b  4 . Khi đó
r r
a  b bằng
Câu 23.

A.

C. 2 5.
D. 2 .
Hướng dẫn giải
r r2 r2 r2
r r
r r
r r
Ta có a  b  a  b  2 a b .cos a, b  4  16  8  28 � a  b  2 7.

8 3  20.

B. 2 7.

 

Câu 25.
Cho điểm M  1; 2; 3 , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  Oxy 
bằng
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 3.
Hướng dẫn giải
Với M  a; b; c  � d  M ,  Oxy    c
Cho điểm M  2;5; 0  , hình chiếu vng góc của điểm M trên trục
Oy là điểm
 2;5;0  .
 0; 5; 0  .
 0;5;0  .
 2; 0; 0 
A. M �
B. M �
C. M �
D. M �

Câu 26.

.
Hướng dẫn giải

Với M  a; b; c  � hình chiếu vng góc của M lên trục Oy là M 1  0; b;0 
Cho điểm M  1; 2; 3 , hình chiếu vng góc của điểm M trên mặt

Câu 27.

phẳng  Oxy  là điểm

 1; 2; 0  .
A. M �

 1; 0; 3 .
B. M �

 0; 2; 3 .
C. M �

 1; 2;3 .
D. M �

Hướng dẫn giải
Với M  a; b; c  � hình chiếu vng góc của M lên mặt phẳng  Oxy  là
M 1  a; b;0 
Câu 28.
A.

Cho điểm M  2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
29 .

B.

5.

C. 2.

D.

26 .

Hướng dẫn giải
Với M  a; b; c  � d  M , Ox   b 2  c 2
Câu 29.
Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC .
Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng

Trang 14


Hình khơng gian lớp 12
uu
r uur uur
A. IA  IB  IC.
uu
r uur uur r
IA  IB  IC  0.
Câu 30.

uu
r uur uur r
B. IA  IB  CI  0.

uu
r uur uur r
C. IA  BI  IC  0. D.
�

�

�

Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a   1;1;0  ; b   1;1;0  ; c   1;1;1

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
uu
r
ur
A. br  cr.
B. a  2.
C. c  3.
rr
Vì b.c  2 �0.

D. ar  br.

Hướng dẫn giải

Câu 31.
Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Oxy  là
điểm
 3; 2;1 .
 3; 2; 1 .

 3; 2;1 .
 3; 2;0  .
A. M �
B. M �
C. M �
D. M �
Hướng dẫn giải
Với M  a; b; c  � điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Oxy  là M  a; b; c 

 a; b; c  đối xứng của M qua trục Oy ,
Câu 32.
Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm M �
khi đó a  b  c bằng
A. 6.
B. 4.
C. 0.
D. 2.
Hướng dẫn giải
M
a
;
b
;
c
�

 điểm đối xứng của M qua trục Oy là M �
 a; b; c 
Với
� M�

 3; 2;1 � a  b  c  0.
r
r
r r
Câu 33.
Cho u   1;1;1 và v   0;1; m  . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo
bằng 450 thì m bằng
A. � 3 .

B. 2 � 3 .
C. 1 � 3 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
m �1
�
1.0  1.1  1.m
1
�
cos  

� 2  m  1  3 m 2  1 � � 2
2
3  m  1  2  m  1
2
3. m 2  1
�
� m  2� 3

Câu 34.
Cho A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD

bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur
uuur
Tính AB   2;5; 2  , AC   2; 4; 2  , AD   2;5;1
1 uuur uuur uuur
V �
AB, AC �
. AD  3
�
6�
Sử dụng Casio
uuur
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
uuur
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
uuur
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính V )
Câu 35.
Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ
D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:

Trang 15

Hình khơng gian lớp 12
uuur uuur uuur
�
AB, AC �
. AD
�
A. h  1 �
.
uuu
r uuur
3 �
�
AB
.
AC
�
�
uuur uuur uuur
�
AB, AC �
. AD
C.
�
�
h
..
uuu
r uuur

AB. AC

uuur uuur uuur
�
AB, AC �
. AD
1 �
B.
�
h
.
uuu
r uuur
3
AB. AC
uuu
r uuur uuur
�
AB
, AC �
. AD
�
D. h  �
.
uuu
r uuur
�
�
AB
.

AC
�
�
Hướng dẫn giải
uuur uuur uuur
�
AB, AC �
. AD
r uuur uuur
1 1 uuur uuur
1 uuu
�
�
� �
�
h
.
AB
.
AC
AB
,
AC
.
AD
Vì VABCD  h. �
nên
u
u
u

r
u
u
u
r
� 6�
�
3 2�
�
�
AB
.
AC
�
�
Oxyz
Câu 36.
Trong không gian tọa độ
, cho bốn điểm
A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD

hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng  ABC  là
9
9
9
9
A.
.
B. .
C.

.
D.
.
7 2
7
2
14
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur
uuur
Tính AB  2;5; 2  , AC  2; 4; 2  , AD  2;5;1
1 uuur uuur uuur
V �
AB, AC �
. AD  3
�
6�
r uuur
1
1 uuu
h  d  D,  ABC  
V  B.h , với B  SABC  �
AB
, AC �
� 7 2 ,
3
2�
3V

3.3
9
�h


B 7 2 7 2
Câu 37.
Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có
A(1;0;2), B(2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; 5) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện
ABCD
� 18
�
� 14 �
9; ; 30 �. B. G  8;12; 4  .
3;3; �
A. G �
C. G �
.
D. G  2;3;1 .
� 4
�
� 4�
Câu 38.
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(2; 1; 2) . Điểm M trên
trục Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là
�1 1 3 �
�1
�
�3
�

� 1 3�
0; ; �.
A. M � ; ; �.
B. M � ;0;0 �.
C. M � ;0;0 �.
D. M �
�2 2 2 �
�2
�
�2
�
� 2 2�
Hướng dẫn giải
M �Ox � M  a;0;0 
M cách đều hai điểm A, B nên
MA2  MB 2 �  1  a   22  12   2  a   22  12
2

2

3
2
Câu 39.
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(3; 1; 2) . Điểm M trên
trục Oz và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là
� 3�
�3 1 3 �
0;0; �.
A. M  0;0; 4  .
B. M  0;0; 4  .

C. M �
D. M � ; ; �
�2 2 2 �
� 2�
.
� 2a  3 � a 

Trang 16


Hình khơng gian lớp 12
Câu 40.
Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B (0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin
�
của góc BAC
là
9
9
9
9
A.
.
B.
.
C. 
.
D. 
.
2 35
35

2 35
35
r
r
r
Câu 41.
Tọa độ của vecto n vng góc với hai vecto a  (2; 1; 2), b  (3; 2;1) là
r
r
r
A. n   3; 4;1 .
B. n   3; 4; 1 .
C. n   3; 4; 1 .
D.
r
n   3; 4; 1 .
r
r
r
r
2
Câu 42.
Cho a  2; b  5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
,
3
r
r r r r r
r
r
u  k a  b; v  a  2b. Để u vng góc với v thì k bằng

6
45
6
45
.
.
A.  .
B.
C.
D.  .
45
6
45
6
Hướng dẫn giải
rr
r r r
r
r r
2
u.v  ka  b a  2b  4k  50   2k  1 a b cos
3
 6k  45
r
r
uu
r
Câu 43.
Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w   1; 2;1 . Với giá trị nào của m thì ba
vectơ trên đồng phẳng

3
3
8
8
A. .
B.  .
C. .
D.  .
8
8
3
3
Hướng dẫn giải
r r
r r uu
r
�  2; m  2; m  6  , �
�
u
,
v
u
,
v
.w
Ta có: �
� �
� �  3m  8
r r uu
r

r r uu
r
8
�
u
,
v
.w
u , v, w đồng phẳng � �
� � 0� m3
r
r
Câu 44.
Cho hai vectơ a   1;log 3 5; m  , b   3;log 5 3; 4  . Với giá trị nào của m thì
r r
ab
A. m  1; m  1 .
B. m  1 .
C. m  1 .
D.
m  2; m  2 .
Câu 45.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B (3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị
của x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng là
A. x  5; y  11 .
B. x  5; y  11 .
C. x  11; y  5 . D. x  11; y  5 .
Hướng dẫn giải
uuu
r

uuur
AB   1; 2;1 , AC   x  2; y  5;3
uuur uuur
x2 y 5 3
A, B, C thẳng hàng � AB, AC cùng phương �

 � x  5; y  11
1
2
1
Oxyz
A
(1;0;0),
B
(0;0;1),
C
(2;1;1)
Câu 46.
Trong không gian
cho ba điểm
. Tam
giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuu

r
uuu
r
BA   1;0; 1 , CA   1; 1; 1 , CB   2; 1;0 
uuu
r uuu
r
BA.CA  0 � tam giác vuông tại A , AB �AC .







Trang 17


Hình khơng gian lớp 12
Câu 47.
Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) .
Tam giác ABC có diện tích bằng
1
6
6
A. 6 .
B.
.
C.
.

D. .
2
3
2
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur
r uuur
1 uuu
6
AB   1;0;1 , AC   1;1;1 . S ABC  �
AB
. AC �

�
�
2
2
Câu 48.
Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là  1;1;1 ,  2;3; 4  ,  7;7;5  .
Diện tích của hình bình hành đó bằng
83
A. 2 83 .
B. 83 .
C. 83 .
D.
.
2
Hướng dẫn giải

Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là A, B , C
uuu
r
uuur
AB   1; 2;3 , AC   6;6; 4 
uuu
r uuur
2
2
2
�
S hbh  �
AB
� , AC �  10   14   6   2 83
r
r
r
Câu 49.
Cho 3 vecto a   1; 2;1 ; b   1;1; 2  và c   x;3x; x  2  . Tìm x để 3
r r r
vectơ a, b, c đồng phẳng
A. 2.
B. 1.
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải
u
ruur r
r r r
a, b �

.c  0 � x  2.
a, b, c đồng phẳng thì �
� �
r
�
Câu 50.
Trong khơng gian Oxyz cho ba vectơ a   3; 2; 4  , b   5;1;6  ,
r
r
�
c   3;0; 2  . Tìm vectơ x sao cho vectơ x đồng thời vng góc với
r r r
a , b, c
A.  1;0;0  .
B.  0;0;1 .
C.  0;1;0  .
D.  0;0;0  .
Hướng dẫn giải
r
rr rr rr
Dễ thấy chỉ có x  (0;0;0) thỏa mãn x.a  x.b  x.c  0.
Câu 51.
Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B (1; 2; 3) , C (7; 4; 2) . Nếu E là
uuu
r
uuu
r
điểm thỏa mãn đẳng thức CE  2 EB thì tọa độ điểm E là
8 8�
8 8�

8�
1�
A. �
B. �
C. �
D. �
3; ;  �
.
3; ; �
.
3;3;  �
.
1; 2; �
.
�
�
�
�
3�
� 3 3�
� 3�
� 3 3�
�
Hướng dẫn giải
�
�x  3
uuu
r
uuu
r �

� 8
E ( x; y; z ) , từ CE  2 EB � �y  .
� 3
8
�
z
�
3
�
Câu 52.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) ,
B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) . Điểm M  a; b; c  là đỉnh thứ tư của hình bình hành
ABCM , khi đó P  a 2  b 2  c 2 có giá trị bằng
A. 43. .
B. 44. .
C. 42. .
D. 45.
Trang 18


Hình khơng gian lớp 12

Câu

Câu

Câu

Câu

Hướng dẫn giải
M ( x; y; z ) , ABCM là hình bình hành thì
�x  1  2  2
uuuu
r uuur �
AM  BC � �y  2  3  1 � M ( 3;6; 1) � P  44. .
�z  1  3  3
�
53.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 1) ,
B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) . Tìm tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong
góc A của tam giác ABC
A. D(0;1;3) .
B. D(0;3;1) .
C. D(0; 3;1) .
D. D(0;3; 1) .
Hướng dẫn giải
Ta có AB  26, AC  26 � tam giác ABC cân ở A nên D là trung điểm
BC � D(0;1;3).
54.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(1;3;5) ,
B(4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa độ điểm I tâm đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC
8 5 8
5 8 8
5 8 8
8 8 5
A. I ( ; ; ) .
B. I ( ; ; ) .
C. I ( ; ; ).

D. I ( ; ; ) .
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
Hướng dẫn giải
Ta có: AB  BC  CA  3 2  ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn
5 8 8�
ngoại tiếp ABC là trọng tâm của nó. Kết luận: I �
 ; ; �.
�
� 3 3 3�
ur
r
r
55.
Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ  a   1;1;0  , b   1;1;0  , c   1;1;1 .
uuu
r r uuu
r r uuuu
r r
A���
B C thỏa mãn điều kiện OA  a, OB  b , OC '  c .
Cho hình hộp OABC.O �
Thể tích của hình hộp nói trên bằng:
1
2
A.
B. 4
C.

D. 2
3
3
Hướng dẫn giải
uuu
r r
uuu
r r
uuuu
r r
OA  a , � A( 1;1;0), OB  b � B(1;1;0), OC '  c � C '(1;1;1)
uuu
r uuu
r uuuur
uuur uuur
uuuu
r
uuuu
r
�
OA
,
OB
OO '
AB  OC � C (2;0;0) � CC '  ( 1;1;1)  OO ' � VOABC .O ' A ' B ' C '  �
�
�
56.
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm
A  2; 1;1 , B  1;0;0  , C  3;1;0  , D  0;2;1 . Cho các mệnh đề sau:

1) Độ dài AB  2 .
2) Tam giác BCD vuông tại B .
3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).
C. 1); 3).
D. 2),
1)
r
r
r
Câu 57.
Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a   1,1,0  ; b  (1,1, 0); c   1,1,1 .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
r r
A.
B. r r r r
6
cos b, c 
.
a  b  c  0.
3
r r r
rr
A. a, b, c đồng phẳng.
D. a.b  1.
Hướng dẫn giải

 

Trang 19


Hình khơng gian lớp 12
rr
r r
b.c
cos(b, c)  r r
b.c
Câu 58.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết
A(1;0;1) , B (1;1; 2) , C ( 1;1;0) , D(2; 1; 2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện
ABCD bằng:
A. 2 .
B. 1 .
C. 13
D. 3 13
.
.
13
13
2
13
Hướng dẫn giải
uuu
r uuur uuur
�

AB, AC �
. AD
1
�
�

.
Sử dụng cơng thức h 
uuu
r uuur
13
AB. AC

Câu 59.
Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC .
Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng
uu
r 1 uur uur uuu
r
uu
r 1 uur uur uuu
r
A. SI  SA  SB  SC .
B. SI  SA  SB  SC .
2ur uur uuu
3ur uur uuu
uur u
r
uu
r u

r r
C. SI  SA  SB  SC.
D. SI  SA  SB  SC  0.
Hướng dẫn giải
uu
r uur uur
SI  SA  AI �
uu
r uur uur �
r uur uur uur uur uur uur
� uu
SI  SB  BI �� 3SI  SA  SB  SB  AI  BI  CI
uu
r uuu
r uur �
SI  SC  CI �
uur uur uur r uu
r 1 uur uur uuu
r
Vì I là trọng tâm tam giác ABC � AI  BI  CI  0 � SI  SA  SB  SC .
3
Câu 60.
Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có
A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D( 2;1; 1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1.
D. .

2
2
Hướng dẫn giải
1 uuur uuur uuur
 AB,  AC �
. AD
Thể tích tứ diện: VABCD  �
�
6�
�  600 , CSA
�  900 .
Câu 61.
Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  a, SC  3a, �
ASB  CSB
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tổng qt: Cho hình chóp S . ABC có

�   , CSA
�   . Gọi G là trọng tâm tam
SA  a, SB  b, SC  c và có �
ASB   , BSC
giác ABC, khi đó
1 2
SG 
a  b 2  c 2  2ab cos   2ac cos   2bc
3
Chứng minh:
uuu
r 1 uur uur uuu
r
Ta có: SG  SA  SB  SC
3
uur uur uuu
r 2 uur 2 uur 2 uuu
r2
uur uur uur uuu
r uur uuu
r
SA  SB  SC  SA  SB  SC  2SA.SB  2SA.SC  2SB.SC























Trang 20




Hình khơng gian lớp 12
1 2
a  b 2  c 2  2ab cos   2ac cos   2bc
3
a 15
Áp dụng cơng thức trên ta tính được SG 
3
Câu 62.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
Khi đó SG 

uuur uuur
A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1 và điểm M  m; m; m  , để MB  2 AC đạt giá trị
nhỏ nhất thì m bằng
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 4.
Hướng dẫn giải
uuur
uuur
AC  1; 3; 2  , MB  2  m;  6  m; 2  m 
uuur uuur
2
2
MB  2 AC  m 2  m 2   m  6   3m 2  12m  36  3  m  2   24
uuur uuur
Để MB  2 AC nhỏ nhất thì m  2
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1 và điểm M  m; m; m  , để MA2  MB 2  MC 2 đạt
giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải
uuur
uuur
uuuu
r

MA   2  m;5  m;1  m  , MB   2  m; 6  m; 2  m  , MC   1  m; 2  m; 1  m 

Câu 63.

MA2  MB 2  MC 2  3m2  24m  20  28  3  m  4  �28
2

Để MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m  4
Câu 64.
Cho hình chóp S . ABCD biết A  2;2;6  , B  3;1;8  , C  1;0;7  , D  1; 2;3 . Gọi

H là trung điểm của CD, SH   ABCD  . Để khối chóp S . ABCD có thể tích
27
bằng
(đvtt) thì có hai điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Tìm
2
tọa độ trung điểm I của SS
1 2
A. I  0; 1; 3 .
B. I  1;0;3
C. I  0;1;3 .
D. I  1;0; 3 .
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur
r uuur
1 uuu
3 3
Ta có AB   1; 1; 2  , AC   1; 2;1 � S ABC  �

AB
, AC �

�
�
2
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r2
DC   2; 2; 4  , AB   1; 1; 2  � DC  2. AB � ABCD là hình thang và
S ABCD  3S ABC 

9 3
2

1
Vì VS . ABCD  SH .S ABCD � SH  3 3
3
Lại có H là trung điểm của CD � H  0;1;5 
uuur
uuur
uuu
r uuur
�
AB
Gọi S  a; b; c  � SH   a;1  b;5  c  � SH  k �
� , AC � k  3;3;3   3k ;3k ;3k 

Suy ra 3 3  9k 2  9k 2  9k 2 � k  �1
uuur
+) Với k  1 � SH   3;3;3 � S  3; 2; 2 
uuur
+) Với k  1 � SH   3; 3; 3 � S  3; 4;8 
Suy ra I  0;1;3

Trang 21


Hình khơng gian lớp 12
Câu 65.
Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;7), B (4;5; 2) . Đường
thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng
AB theo tỉ số nào
1
1
2
A. .
B. 2 .
C. .
D. .
2
3
3
Hướng dẫn giải
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M � M (0; y; z )
uuur
uuur
� MA  (2; 1  y;7  z ), MB  (4;5  y; 2  z )

�
2  k .4
�
uuur
uuur
1
1  y  k  5  y  � k 
Từ MA  k MB ta có hệ �
2
�
7

z

k

2

z


�
Trong khơng gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có
A(2;1; 1), B(3;0;1), C(2; 1;3) và D thuộc trục Oy . Biết VABCD  5 và có hai
điểm D1  0; y1 ;0  , D2  0; y2 ;0  thỏa mãn u cầu bài tốn. Khi đó y1  y2

Câu 66.

bằng
A. 0.

B. 1.

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

D �Oy � D(0; y;0)
uuu
r
uuur
uuur
Ta có: AB   1; 1; 2  , AD   2; y  1;1 , AC   0; 2; 4 
uuur uuur
uuur uuur uuur
�  0; 4; 2  � �
��
AB
.
AC
AB. AC �
. AD  4 y  2
�
�
�
�
1
VABCD  5 � 4 y  2  5 � y  7; y  8 � D1  0; 7;0  , D2  0;8;0  � y1  y2  1
6

Câu 67.
Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có
A(1; 2; 4), B(3;0; 2), C(1;3;7) . Gọi D là chân đường phân giác trong của
uuur
góc A . Tính độ dài OD .
A.

207
.
3

Gọi D  x; y; z 

B.

203
201
C.
.
3
3
Hướng dẫn giải

D.

205
.
3

DB AB 2 14



2
DC AC
14
Vì D nằm giữa B, C (phân giác trong) nên
� 5
�
3  x  2  1  x 
�x  3
uuur
uuur
�
�
DB  2 DC � �
 y  2  3  y 
� �y  2
�
�z  4
�2  z  2  7  z 
�
�
205
�5
� uuur
Suy ra D � ; 2; 4 �� OD 
3
�3
�
Câu 68.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1)
, B (5;1; 2) , C (7;9;1) . Tính độ dài phân giác trong AD của góc A

Trang 22


Hình khơng gian lớp 12
A. 2 74 .
3

B. 3 74 .
C. 2 74.
D. 3 74.
2
Hướng dẫn giải
D( x; y; z ) là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC .
uuur
uuur
DB AB 1
17 11
2 74
Ta có

 � DC  2 DB � D( ; ; 1) � AD 
.
DC AC 2
3 3
3
Câu 69.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) ,

C (2; 4;3) D(2; 2; 1) . Biết M  x; y; z  , để MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị
nhỏ nhất thì x  y  z bằng
A.
B.
C.
D.
7.
8.
9.
6.
Hướng dẫn giải
�7 14 �
Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G � ; ;0 �
.
�3 3 �
Ta có: MA2  MB 2  MC 2  MD 2  4MG 2  GA2  GB 2  GC 2  GD 2
�7 14 �
 GA2  GB 2  GC 2  GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M �G � ; ;0 �� x  y  z  7
�3 3 �
.
Câu 70.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba
điểm A(2;3;1) , B (1; 2;0) , C (1;1; 2) . H là trực tâm tam giác ABC , khi đó,
độ dài đoạn OH bằng
870
870
870
870
A.
B.

C.
D.
.
.
.
.
12
14
16
15
Hướng dẫn giải
H ( x; y ; z ) là trực tâm của ABC  BH  AC , CH  AB, H �( ABC )
uuur uuur
�BH . AC  0
r
�
29
1
�uuur uuu
� 2
2 29 1 �
870
��
CH . AB  0
� �x  ; y  ; z    H �
.
; ;  �� OH 
�
15
3

r uuur uuur
� 15
15 15 3 �
15
�
�uuu
AB, AC �
. AH  0
�
�
��
Câu 71.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) ,
B nằm trên mặt phẳng (Oxy ) và có hồnh độ dương, C nằm trên trục
Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC . Toạ độ các điểm B , C
thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
�3  177 17  177 � � 3  177 �
A. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �

B. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �
C. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �
D. B �
;
;0 �
,C �

0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
Hướng dẫn giải
B
(
x
;
y
;0)
�
(
Oxy
),
C
(0;
0;
z ) �Oz .
Giả sử

Trang 23


Hình khơng gian lớp 12
uuur uuur

�AH  BC
r
�uuur uuu

CH  AB
H là trực tâm của tam giác ABC  �
r uuur uuur
�uuu
o�
ngpha�
ng
�AB, AC, AH �

uuur uuur
�AH .BC  0
r
�
�uuur uuu
CH . AB  0
�
�uuur uuur uuur
AB, AH �
. AC  0
�
�
��
�x  z  0
�
3  177
17  177

3  177
2x  y  7  0
 �
 x
;y 
;z 
4
2
4
�
3x  3 y  yz  z  0
�

�3  177 17  177 � � 3  177 �
 B�
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
Câu 72.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vng ABCD ,
B (3;0;8) , D(5; 4;0) . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là
uuu

r uuu
r
những sớ ngun, khi đó CA  CB bằng:
A. 5 10.

B. 6 10.
C. 10 6.
D. 10 5.
Hướng dẫn giải
I
(

1;
2; 4) , BD  12 và điểm A thuộc mặt phẳng
Ta có trung điểm BD là
(Oxy ) nên A(a; b;0) .
�AB 2  AD 2
�
(a  3) 2  b 2  82  (a  5) 2  (b  4) 2
�
�
2 �
�
ABCD là hình vng
� 2 �1
� �
(a  1) 2  (b  2) 2  42  36
�AI  � BD � �
�2
�

�
� 17
a
�
b

4

2
a
a

1
�
�
� 5
��
��
� A(1; 2; 0) hoặc
hoặc �
b2
14
(a  1) 2  (6  2a ) 2  20
�
�
�
b
�
5
17 14 �

�
A� ;
;0 �(loại). Với A(1; 2;0)  C (3; 6;8) .
�5 5
�
Câu 73.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết
A(5;3; 1) , B (2;3; 4) , C (3;1; 2) . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
ABC bằng:
A. 9  2 6.
B. 9  3 6.
C. 9  3 6.
D. 9  2 6.
Hướng dẫn giải
2
2
2
Ta có AC  BC  9  9  AB � tam giác ABC vuông tại C .
1
CA.CB
S ABC
3.3 2
2
r



 93 6
Suy ra:
1

p
3
2

3

3
 AB  BC  CA
2
Câu 74.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
�
M  3;0;0  , N  m, n, 0  , P  0;0; p  . Biết MN  13, MON
 600 , thể tích tứ diện
OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A  m  2n 2  p 2 bằng
A. 29.
B. 27.
C. 28.
Hướng dẫn giải

Trang 24

D. 30.


Hình khơng gian lớp 12
uuuu
r
uuur
uuuu

r uuur
OM   3;0;0  , ON   m; n;0  � OM .ON  3m
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur uuuu
r uuur
OM .ON
1
m
1
0
OM .ON  OM . ON cos 60 � uuuu

r uuur  �
2
2
2
OM . ON 2
m n
MN 

 m  3

2

 n 2  13

Suy ra m  2; n  �2 3
uuuu

r uuur uuu
r
1
�
�
OM
,
ON
.
OP
�
�  6 3p �V  6 6 3p  3 � p  � 3
Vậy A  2  2.12  3  29.
Câu 75.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) ,
B (1; 2;0) , C (1;1; 2) . Gọi I  a; b; c  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC . Tính giá trị biểu thức P  15a  30b  75c
A. 48.
B. 50.
C. 52.
D. 46.
Hướng dẫn giải
I ( x; y; z ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
AI  BI  CI , I �( ABC )
�AI 2  BI 2
� 2
61
1
14 61 1 �
� 14

�
��
CI  BI 2
� �x  ; y  ; z   � I � ; ;  �� P  50.
30
3
15 30 3 �
r uuur uur
� 15
�
�uuu
�
�
AB
,
AC
AI

0
�
��

Trang 25