Đề cương ôn tập Toán 9 theo từng chủ đề

Đại số
CHủ đề 1: Căn thức rút gọn biểu thức
I. căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại :
A
Có nghĩa

0

A
2. Hằng đẳng thức:
AA
=
2
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:
BABA ..
=

)0;0(

BA
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
B
A
B
A
=

)0;0(
>

BA
5. Đa thừa số ra ngoài căn:
..
2
BABA
=

)0(

B
6. Đa thừa số vào trong căn:
BABA .
2
=

)0;0(

BA

BABA .
2
=

)0;0(
<
BA
7. Khử căn thức ở mẫu:
B
BA
B

A .
=

)0(
>
B
8. Trục căn thức ở mẫu:
BA
BAC
BA
C

=

)(
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1)
32
+
x
2)
2
2
x
3)
3
4
+
x

4)
6
5
2
+

x
5)
43
+
x
6)
2
1 x
+
7)
x21
3

8)
53
3
+

x
Rỳt gn biu thc
Bài1
1)
483512
+

2)
4532055
+
3)
18584322
+
4)
485274123
+
5)
277512
+
6)
16227182
+
7)
54452203
+
8)
222)22(
+
9)
15
1
15
1
+


10)

25
1
25
1
+
+

11)
234
2
234
2
+


12)
21
22
+
+
13)
877)714228(
++
14)
286)2314(
2
+
15)
120)56(
2

16)
24362)2332(
2
++
17)
22
)32()21(
++
18)
22
)13()23(
+
19)
22
)25()35(
+
20)
)319)(319(
+
21)
)2()12(4
2
+
xxx
22)
57
57
57
57

+

+

+
23)
)2()44(2
222
yxyxyxyx
++
Bài2:
1)
( ) ( )
22
2323
++
2)
( ) ( )
22
3232
+
3)
( )
( )
2
2
3535
++
4)
1528

+
-
1528

5)
(
)
625
+
+
1528

6)
83
5
223
5
324324
+


++
Gii phng trỡnh:
1)
512
=
x
2)
35
=

x
3)
21)1(9
=
x
4)
0502
=
x
1
5)
0123
2
=
x
6)
9)3(
2
=
x
7)
6144
2
=++
xx
8)
3)12(
2
=
x

9)
64
2
=
x
10)
06)1(4
2
=
x
11)
21
3
=+
x
12)
223
3
=
x
II. các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung.
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).
Rút gọn.
B.Bài tập luyện tập:
Bi 1 Cho biu thc : A =
2
1
x x x
x x x



vi ( x >0 v x 1)
1) Rỳt gn biu thc A.
2) Tớnh giỏ tr ca biu thc A ti
3 2 2x = +
Bi 2. Cho biu thc : P =
4 4 4
2 2
a a a
a a
+ +
+
+
( Vi a

0 ; a

4 )
1) Rỳt gn biu thc P.
2) Tỡm giỏ tr ca a sao cho P = a + 1.

Bi 3: Cho biu thc A =
1 2
1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
1/.t iu kin biu thc A cú ngha
2/.Rỳt gn biu thc A
3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biu thc A = (1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+
+
+
( Vi
0; 1x x
)
a) Rỳt gn A
b) Tỡm x A = - 1
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
x
x
xx

+
+

1
22
1
22
1

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
b; Tính giá trị của B với x =3
c; Tìm giá trị của x để
2
1
=
A
Bài 6: Cho biểu thức : P =
x
x
x
x
x
x

+
+
+
+

+
4

52
2
2
2
1
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1

+


+


a
a
a
a
aa

2
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4
5
Bài 8: Cho biểu thức: M =









+

+










112
1

2
a
aa
a
aa
a
a

a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4
Bài 9 : Cho biểu thức : K =
3x
3x2
x1
x3
3x2x
11x15
+
+


+
+

a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K
c. Tìm x khi K=
2
1

d. Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 10 : Cho biểu thức: G=
2
1x2x
.
1x2x
2x
1x
2x
2
+








++
+



1. Xác định x để G tồn tại
2. Rút gọn biểu thức G
3. Tính số trị của G khi x = 0,16
4. Tìm gía trị lớn nhất của G
5. Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6. Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng

7. Tìm x để G nhận giá trị âm
Bài 11 : Cho biểu thức: P=
2
1x
:
x1
1
1xx
x
1xx
2x










+
++
+

+
Với x 0 ; x 1
a. Rút gọn biểu thức trên
b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 1
Bài 12 : cho biểu thức Q=

+









+


+
+
a
1
1.
a1
1a
a22
1
a22
1

2
2
a. Tìm a dể Q tồn tại
b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=
x
x
xxyxy
x
yxy
x


+
+

1
1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn A
b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
Bài 14:Xét biểu thức: P=
( )

+
+








+
+

+
+
4a
5a2
1:
a16
2a4
4a
a
4a
a3

(Với a 0 ; a 16)
1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
----------------------------------
CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I. hàm số:
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng
ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản:
3
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng:
baxy
+=
Trong đó a; b là các hệ số
0

a
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng:
baxy
+=
là hàm số bậc nhất là:
0

a
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 m) x - 2 (1)
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất.
Giải: Hàm số (1) là bậc nhất

3003

mm
Tính chất:
+ TXĐ:
Rx

+ Đồng biến khi
0
>
a
. Nghịch biến khi
0
<
a
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 m) x - 2 (2)
Tìm các giá trị của m để hàm số (2):
+ Đồng biến trên R
+ Nghịch biến trên R
Giải: + Hàm số (1) Đồng biến

3003
<>
mm
+ Hàm số (1) Nghịch biến

3003
><
mm

Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng b.
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
a
b

.
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
:
+ Cắt nhau: (d
1
) cắt (d
2
)

,
aa

.
*/. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện
'
bb
=
.
*/. Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì :
.1.
'
=
aa
+ Song song với nhau: (d
1
) // (d
2
)
',
; bbaa
=
.
+ Trùng nhau: (d
1
)

(d
2
)

',
; bbaa
==
.
Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 m) x + 2 (d
1
)
V y = 2 x m (d
2
)
a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:
a/ (d
1
)//(d
2
)

{
1
2
1
2
23
=

=





=
m
m
m
m
m
b/ (d
1
) cắt (d
2
)

123 mm
c/ (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục tung

22
==
mm
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a.

4
+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác
atg
=

Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn.
Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù (


0
180
)
Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox
Giải:
Ta có:
.63632
00
===

TgTg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là:
.63
0
=

Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox.
Ta có:
.11763)180(632)180(
00000
====

TgTg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là:
.117
0
=

Các dạng bài tập th ờng gặp:
-Dng 3: Tớnh gúc

to bi ng thng y = ax + b v trc Ox
Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Ph ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x
1
; y
1
) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x
1
vào hàm số; tính đợc y
0
. Nếu y
0
= y
1
thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y
0

y

1
thì điểm M không
thuộc đồ thị.
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x
0
; y
0
) và điểm Q(x
1
; y
1
).
Ph ơng pháp: + Thay x
0
; y
0
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
0
= ax
0
+ b (1)
+ Thay x
1
; y
1
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
1
= ax
1

+ b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b.
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm.
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d
1
) : y = (m
2
-1) x + m
2
-5 ( Với m

1; m

-1 )
- Dng1: Xỏc dnh cỏc giỏ tr ca cỏc h s hm s ng bin, nghch bin, Hai ng thng
song song; ct nhau; trựng nhau.
Phơng pháp: Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dng 2: V th hm s y = ax + b
Xem lại các ví dụ ở trên.
Xỏc nh to giao im ca hai ng thng (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
Ph ơng pháp: Đặt ax + b = a

,
x + b
,
giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d
1
) hoặc (d
2
)
ta tính đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng:
Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực
tiếp đợc. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S
5
(d
2
) : y = x +1
(d
3
) : y = -x +3
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d
1
luôn đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d
1
//d
3
thì d
1
vuông góc d

2

c) Xác định m để 3 đờng thẳng d
1
;d
2
;d
3
đồng qui
Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d
1
đi qua là A(x
0
; y
0
) thay vào PT (d
1
) ta có :
y
0
= (m
2
-1 ) x
0
+m
2
-5 Với mọi m
=> m
2

(x
0
+1) -(x
0
+y
0
+5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
x
0
+ 1 =0
x
0
+y
0
+5 = 0 suy ra : x
0
=-1
Y
0
= - 4
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B của (d
2
) và (d
3
)

:
Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)

Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d
1
)

phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d
1
) ta có:
2 = (m
2
-1) .1 + m
2
-5
m
2
= 4 => m = 2 và m = -2
Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui.
Bài tập:
Bi 1: Cho hai ng thng (d
1
): y = ( 2 + m )x + 1 v (d
2
): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tỡm m (d
1
) v (d
2
)

ct nhau .
2) Vi m = 1 , v (d

1
) v (d
2
)

trờn cựng mt phng ta Oxy ri tỡm ta giao im ca
hai ng thng (d
1
) v (d
2
)

bng phộp tớnh.
Bi 2: Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s ng bin hay
nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 3: Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1) , hm s ng bin hay nghch bin ? Vỡ sao?
Bi 4: Cho hai ng thng y = mx 2 ;(m
)0

v y = (2 - m)x + 4 ;
)2(

m
. Tỡm iu kin ca m hai ng
thng trờn:
a) Song song.
b) Ct nhau .
Bi 5: Với giỏ tr no ca m thỡ hai ng thng y = 2x + 3+m v y = 3x + 5- m ct nhau ti mt im trờn trc
tung .Vit phng trỡnh ng thng (d) bit (d) song song vi
(d): y =

x
2
1

v ct trc honh ti im cú honh bng 10.
Bi 6: Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua im A(2;7).
Bi 7: Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im A(2; - 2) v B(-1;3).
Bi 8: Cho hai ng thng : (d
1
): y =
1
2
2
x +
v (d
2
): y =
2x
+
a/ V (d
1
) v (d
2
) trờn cựng mt h trc ta Oxy.
b/ Gi A v B ln lt l giao im ca (d
1
) v (d
2
) vi trc Ox , C l giao im ca (d
1

) v (d
2
) Tớnh chu vi v
din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Bi 9: Cho các đờng thẳng (d
1
) : y = 4mx - (m+5) với m

0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1
) cắt (d
2
) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm cố định A ;(d
2

) đi qua điểm cố định B . Tính BA
?
Bi 10: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
6
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2
CHủ đề 3: hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
I. các kháI niệm:
Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(
0

a
hoặc
)0

b
+ Một nghiệm của phơng trình là cặp số x
0
; y
0
thỏa mãn : ax
0
+ by
0
= c
+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c. Nếu

0;0

ba
thì đờng thẳng (d) là đồ thị của
hàm số bậc nhất:
b
c
x
b
a
y
+=
.
Hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
+ Dạng:



=+
=+
)2.(
)1.(
,,,
cybxa
cbyax
+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phơng trình
+ Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)
-Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d')

*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất
*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm
*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.
Hệ ph ơng trình t ơng đ ơng:
Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
Ii.ph ơng pháp giảI hệ ph ơng trình:
Giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp thế :
a) Quy tắc thế :
+ Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phơng trình thứ hai để
đợc một phơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới này để thay thế cho phơng trình thứ hai trong hệ (phơng trình thứ nhất cũng th-
ờng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đợc ở bớc 1).
Ví dụ: xét hệ phơng trình:



=+
=
)2.(323
)1.(12
yx
yx
+ Bớc 1: Từ phơng trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có:
.(*)21 yx
+=
Thay
.(*)21 yx
+=
vào phơng trình (2) ta đợc:
.(**)32)21(3

=++
yy
+ Bớc 2: Thế phơng trình
(**)
vào phơng trình hai của hệ ta có:



=++
+=
32)21(3
21
yy
yx
b) Giải hệ :
7





=
=




=
+=

=++
+=




=++
+=
0
1
0
21
3263
21
32)21(3
21
y
x
y
yx
yy
yx
yy
yx
Vậy hệ phơng trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).
Giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp cộng đại số :
a)Quy tắc cộng đại số :

+ Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ của hệ phơng trình đã cho để đợc một phơng trình mới.
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy thay thế cho một trong hai phơng trình của hệ (và giữ nguyên phơng trình
kia)
L u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để
đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)
bài tập:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.






=+
=+
538
24
yx
yx






=+
=
42 yx

myx






=
=+
2
623
yx
yx







=+
=
264
132
yx
yx



2 3 5

5 4 1
x y
x y
+ =


=




3 7
2 0
x y
x y
=


+ =





4 2
3 2 4
x y
x y
+ =

+ =




2
2 3 9
x y
x y
=


=



2x 3y 2
4x 6y 2
=


+ =


Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số

=+
=
311110
7112
yx
yx






=
=+
72
33
yx
yx






=
=+
032
852
yx

yx




=
=+
323
223
yx
yx






=
=+
736
425
yx
yx





=+
=

564
1132
yx
yx




=
=+
32
123
yx
yx





=
=+
6156
252
yx
yx

=
=
346
423
yx
yx
8
Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phơng trình sau




=++
=++
5)(2)(
4)(3)(2
yxyx
yxyx








=
=+
5
111

5
411
yx
yx










=



=

+

1
1
3
2
2
2
1
1

2
1
yx
yx

Các bài tập tự luyện
Bài 1 Giải các hệ phơng trình sau :
a)



=
=
42
22
yx
yx
b)



=
=+
20510
152
yx
yx
c)

=
=+
432
3
yx
yx
d)



=+
=+
975
432
yx
yx
e)



=++
=+
0386
243
yx
yx
f)

=+
=
8
3
2
4
1
32
y
x
y
x
Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :
a)







=
=+
8
311

8
511
yx
yx
b)







=

+
=


01
2y
1
x
3
2
2y
2
x
1
c)

=

+
+
=


+
1
2
3
2
20
1
2
1
2
4
yxyx
yxyx
Bài 3 : Cho hệ phơng trình
( )

=
=+
7
53
yx
yxm
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 4 : Cho hệ phơng trình



=+
=
3
2
ayx
yax
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó
c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm
9
Bài 5 : Cho hệ phơng trình



+=+
=

12
2
ayx
ayax

a) Giải hệ phơng trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1
d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên.
Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình:



=
=+
8050)4(
16)4(2
yxm
ymx
(I)
b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1
Bài 7* : Giải phơng trình sau :
a)
558
=++
xx
b)
482
22
=++

xx
CHủ đề 4: hình học

I. hệ thức trong tam giác vuông:
Hệ thức giữa cạnh và đ ờng cao:
+
,2,2
.;. cacbab
==
+
222
cba
+=

+
,,2
.cbh
=
+
,,
cba
+=

+
cbha ..
=
+
,,2
111
cbh

+=
+
,
,
2
2
,
,
2
2
.;
b
c
b
c
c
b
c
b
==
Hệ thức giữa cạnh và góc:
Tỷ số l ợng giác:
D
K
Cotg
K
D
Tg
H
K

Cos
H
D
Sin
====
;;;
Tính chất của tỷ số l ợng giác:
1/ Nếu
0
90
=+

Thì:


SinCos
CosSin
=
=



TgCotg
CotgTg
=
=
2/Với

nhn thỡ 0 < sin

< 1, 0 < cos

< 1
*sin
2


+ cos
2


= 1 *tg

= sin

/cos

*cotg

= cos

/sin

*tg

. cotg

=1
Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:

10

SinCacSinBab ..;.
==

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:

CosBacCosCab ..;.
==
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối:

TgCbcTgBcb ..;.
==
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cotg góc kề:

CotgBbcCotgCcb ..;.
==
Bài Tập áp dụng:
Bi 1: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Bit b = 4 cm, c = 3 cm. Gii tam giỏc ABC
Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b

= 7, c

= 3. Gii tam giỏc ABC?
Bi 3a: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b = 4, b

= 3.2. Gii tam giỏc ABC?
Bi 3b: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú c = 4, b

= 3.2. Gii tam giỏc ABC?

Bi 4: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH = 4.8, BC =10. Gii tam giỏc ABC?
Bi 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, c

= 3. Gii tam giỏc ABC?
Bi 6: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b = 12, a = 20. Gii tam giỏc ABC?
Bi7: Chotam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, c = 5. Gii tam giỏc ABC?
Bi 8: Cho tam giỏc ABC vuụng cú A = 90
0
, b = 5, B = 40
0.
Gii tam giỏc ABC?
Bi 9: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú a = 15, B = 60
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 10:Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH = 3, C = 40
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 11: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú c

= 4, B = 55
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 12: Chotam giỏc ABC vuụng ti A, cú trung tuyn ng vi cnh huyn m
a
= 5, h = 4.
Gii tam giỏc ABC?
Bi13: Chotam giỏc ABC vuụng ti A, trung tuyn ng vi cnh huyn m
a
= 5, mt gúc nhn bng 47
0

. Gii tam
giỏc ABC?
Bi14: Tam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g
a
= 5.
Gii tam giỏc ABC?
Bi15: Chotam giỏc ABC vuụng ti A cú Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g
a
= 5. Gúc C = 30
0
. Gii tam
giỏc ABC?
II. Đ ờng tròn:



.Sự xác định đ

ờng tròn:

Muốn xác định đợc một đờng tròn cần biết:
+ Tâm và bán kính,hoặc
+ Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm của đờng kính; bán kính bằng 1/2 đờng kính) , hoặc
+ Đờng tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đờng trung trực của hai đoạn thẳng nối hai
trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó) .



Tính chất đối xứng:

+ Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm của đờng tròn.
+ Bất kì đờng kính vào cũng là một trục đối xứng của đờng tròn.



Các mối quan hệ:

1. Quan hệ giữa đ ờng kính và dây:
+ Đờng kính (hoặc bán kính)

Dây

Đi qua trung điểm của dây ấy.
2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau

Chúng cách đều tâm.
+ Dây lớn hơn

Dây gần tâm hơn.

Vị trí t

ơng đối của đ

ờng thẳng với đ

ờng tròn:

+ Đờng thẳng không cắt đờng tròn

Không có điểm chung

d > R (dlà khoảng cách từ tâm đến đờng
thẳng; R là bán kính của đờng tròn)
+ Đờng thẳng cắt đờng tròn

Có 1 điểm chung

d < R.
+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn

Có 2 điểm chung

d = R.



Tiếp tuyến của đ

ờng tròn:

1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó
2. Tính chất: Tiếp tuyến của đờng tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp điểm)
11
3.DÊu hiƯu nhhËn biÕt tiÕp tun: §êng th¼ng vu«ng gãc t¹i ®Çu mót cđa b¸n kÝnh cđa mét ®êng trßn lµ tiÕp
tun cđa ®êng trßn ®ã.
Bµi TËp tỉng hỵp häc kú I:
Bµi 1 Cho tam gi¸c ABC (AB = AC ) kỴ ®êng cao AH c¾t ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c t¹i D
a/ Chứng minh: AD lµ ®êng kÝnh

b/ TÝnh gãc ACD
c/ BiÕt AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tÝnh b¸n kÝnh cđa ®êng trßn t©m (O)
Bµi 2 Cho ( O) vµ A lµ ®iĨm n»m bªn ngoµi ®êng trßn . KỴ c¸c tiÕp tun AB ; AC víi ®êng trßn
( B , C lµ tiÕp ®iĨm )
a/ Chøng minh: OA
⊥
BC
b/VÏ ®êng kÝnh CD chøng minh: BD// AO
c/TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cđa tam gi¸c ABC biÕt OB =2cm ; OC = 4 cm?
Bµi 3: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB . Qua C thc nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun d víi ®êng trßn . G äi E , F lÇn
lỵt lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ A , B ®Õn d vµ H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ C ®Õn AB. Chứng minh:
a/ CE = CF
b/ AC lµ ph©n gi¸c cđa gãc BAE
c/ CH
2
= BF . AE
Bµi 4: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB vÏ c¸c tiÕp tun A x; By tõ M trªn ®êng trßn ( M kh¸c A, B) vÏ tiÕp tun
thø 3 nã c¾t Ax ë C c¾t B y ë D gäi N lµ giao ®iĨm cđa BC Vµ AO .CMR
a/
CN NB
AC BD
=
b/ MN
⊥
AB
c/ gãc COD = 90º
Bµi 5 : Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN
cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a)CMR: NE
⊥

AB
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M .CMR: FA là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA).
d/ Chứng minh : BM.BF = BF
2
– FN
2
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn
( M ≠ A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và
By tại C và D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 90
0
b) Chứng minh: AC.BD = R
2
c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R.
d) Tìm vò trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất.
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn
(O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc
với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.
a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân.
b/ Hạ OI vuông góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c/ Chứng minh AM.BN = R
2
d/ Tìm vò trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến
xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a/ Chứng minh rằng MC = MD.
12
b/ Chứng mihn AD + BC có giá trò không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn.
13

Các dạng toán về phơng trình bậc hai
bài mẫu: Giải các phơng trình sau bằng cách điền tiếp vào chỗ (.........)
14
1) Giải phơng trình: 3x
2
-27x = 0 3x(x-) = 0 3x= 0 (1) hoặc .........................(2)
Giải(1) x=
Giải(2) x=
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ..
2) Giải các phơng trình: 5x
2
- 45 = 0 x
2
- = 0 x
2
= 9 x
1,2
=
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ..
3)Giải phơng trình: 2x
2
-2007x +2005= 0
(a=..;b=..;c=)
Ta có:a+b+c== 0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ; ..
??:Em hãy đề xuất một bài toán tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh
hơn,trình bày ngắn gọn chính xác.
4) Giải phơng trình: 2x
2
+7x -5= 0

(a=..;b=..;c=)
Ta có: =.=..>0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm . ; ..
5) Giải phơng trình: x
4
- 7x
2
+10 = 0(*)
Đặt x
2
= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
- 7y +10 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.=..>0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y
1
== ; y
2
==..
Với y
1
=; y
2
=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x
2
= y
Nên y
1

==> x
2
=..<=>
y
2
==> x
2
=..<=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;..
6) Giải phơng trình:
06x5x
=+
(*)
Đặt
x

= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
+5y -6 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.=..>0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y
1
== ; y
2
==..
Với y
1
=;. thoả mãn điều kiện của bài toán => y
1

=(loại)
y
2
=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x
2
= y
Nên y
2
==>
x
=..<=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;..
Bài 1 : Giải các phơng trình
a) 2x
2
- 50 = 0 c)54x
2
= 27x e)y+
y
-6=0
b)
2
4
53
2
2
=
+
x

x
d) y+
y
=0 f)y-5
y
+4=0
Bài 2: Giải các phơng trình
a) 3x
2
-17x - 20 = 0
b) 2x
2
- 2007x + 2005 = 0
c) x
2
+ x + 1 = 0
d) x
2
- 4x + 4= 0
e) x
2
+ 3x - 1 = 0
f) x
2
- x +
22

= 0
Bài 3 : Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp ẩn phụ
1) x

4
- 5x
2
- 6 = 0
2) x
4
+ 7x
2
- 8 = 0
3) x
4
+ 9x
2
+ 2 = 0
4)
1
1
2
1
2
2
+
+=

x
x
x
6)
( ) ( )
03222

2
2
2
=++
xxxx
7)
( )
( )
0845yy8y5y
2
2
=++
8)
( )
6555
22
=
yy
9)
0224
22
=++
xx
15
5)
2
1
1
=
+

+
+
x
x
x
x
bài mẫu: Tìm giá trị của m để phơng trình: 5x
2
+ mx - m
2
-12 = 0 (1)
có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm còn lại
Giải: Để phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2 thì:
5.2
2
+m.2 -m
2
-12=0
8+m.2 -m
2
=0
m
2
-2m - 8 = 0(*)
Giải (*)Ta có: '=..=..> 0 =>
'

=

=> phơng trình (*) có hai nghiệm m
1
==.. ; m
2
==..
+)Với m
1
= phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2.
lúc đó theo Vi-et ta có: x
1
+x
2
=-
5
m
.
Mà x
1
=2 ; m
1
= Nên 2 + x
2
=-
5
4
x
2
=.=..

+)Với m
2
= phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2.
lúc đó theo Vi-et ta có: x
1
+x
2
=-
5
m
.
Mà x
1
=2 ; m
2
= Nên 2 + x
2
=.. x
2
=.=..
Vậy

Bài 4 : Với giá trị của b thì các phơng trình
a) 2x
2
+ bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại
b) b
2

x
2
- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7 . Tìm nghiệm còn lại
c) (b-1)x
2
+ (b+1)
2
.x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5 : Cho các phơng trình ẩn x. Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép:
a) x
2
+ 5x + k = 0 c) x
2
- (2k+3) + 4k + 2 = 0
b) x
2
+ kx + 2 = 0 d) (k-1) x
2
+ kx + 1 = 0
Bài 6 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 vô nghiệm.
Bài 7 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt
bài mẫu: Chứng minh rằng phơng trình: (m-3)x
2
+ m x +1= 0
có nghiệm với mọi giá trị của m
Giải: phơng trình: (m-3)x
2
+ m x +1= 0(*)
( a=.; b=; c=)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 m =..lúc đó phơng trình(*) trở thành:

3x+1=0 x=
=> m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.(1)
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: === m
2
- 4m + 12
= m
2
- 2(.).m +(..)
2
-.. +12 = ( - .)
2
+.
Nhận thấy: ( m - .)
2
0 Với mọi m 3 ( m - .)
2
+ 8 .>0 Với mọi m 3
Hay >0 Với mọi m 3 => phơng trình(*) có hai nghiệm Với mọi m 3 (2)
Từ (1) ;(2) => phơng trình(*) có nghiệm Với mọi m
Chú ý:Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 8 : Chứng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.
a)x
2
+(m+1)x+m=0 b) x
2
-mx + m - 4 = 0
c) -3x
2
+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) x

2
+ 4x - m
2
+ 4m - 9 = 0
e) (m+1)x
2
+ x - m = 0
bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x
2
+(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Giải: phơng trình bậc hai: x
2
+(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1)
16
Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0
30-5m < 0 .<=> m > 6
Vậy m.
Chú ý:Trong dạng toán này Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta
không phải xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu.
a) x
2
+ 2x + m - 1 = 0 b) x
2
+ mx + 7 = 0
c)-3x
2
+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) 3x
2
- 2(2m+1)x+ m

2
-2 5 = 0 e) (m
2
+ 4 m
+4)x
2
+ mx - 1 = 0
Bài 10 : Cho phơng trình : (m+3)x
2
- m(m+5)x + 2m
2
= 0 (1)
a) Giải phơng trình khi m = 5
b) Chứng minh rằng : x = m là một nghiệm của phơng trình (1)
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
bài mẫu: Giải và biện luận phơng trình: (m-3)x
2
+ 2(m-2) x +m = 0 (ẩn x , tham số m)
Giải: phơng trình: (m-3)x
2
+ 2(m-2)x +m = 0(*)
( a=.; b=; c=)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 m =..lúc đó phơng trình(*) trở thành:
.x+1=0 x=
=> m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: '==..= -m +4
-Khi '>0 hay -m+4 >0 m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc
lúc đó phơng trình(*) có hai nghiệm phân biệt x
1

=
3m
m4)2m(

+
;.
-Khi '=0 hay -m+4 =0 m= 4
lúc đó phơng trình(*) có nghiệm kép x
1
=.=
3m
)2m(


=2 (do m= 4)
-Khi '>0 hay -m+4 <0 . kết hợp vơí điều kiện ta đợc.
lúc đó phơng trình(*) vô nghiệm
Vậy m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.





Bài 11 : Cho phơng trình ẩn x: mx
2
- 2(m-2) x + m - 3 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
c) Giải và biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình
Bài 12 : Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là

a) 3 và 5 b) 3-
5
và 3 +
5
c) 3-
2
và 3 +
2
d)
223
1

và
223
1
+
e)
ba
+
1
và
ba

1
với a b
bài mẫu: Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là: 1-
5
và 1 +
5
Giải: Đặt x

1
=3-
5
và x
2
= 3 +
5
Ta có: x
1
+x
2
=+= 6
x
1
.x
2
=(.).(..)=.= 4
áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình: .= 0
17
m <4
m3