Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải

CHỦ ĐỀ 1: CÔNG THỨC LŨY THỪA
I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Cho a 

và n 

*

. Khi đó a n  a.a.a....a (n thừa số a).

Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0
Cho a 

\ 0 và n 

*

. Ta có: a  n 

1 0
; a  1.
an

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Chú ý: 00 và 0 n  n 

*

 khơng có nghĩa.

2. Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương n  2 .
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n  b .
Khi n lẻ, b 

: Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là

n

b.

Khi n chẵn và b  0 thì không tồn tại căn bậc n của số b.
Khi n chẵn và b  0 thì có duy nhất một căn bậc n của số b là
Khi n chẵn và b  0 có 2 căn bậc n của số thực b là

n

n

0  0.

b và  n b .

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ
Cho số thực a  0 và số hữu tỷ r 

m
m
, trong đó m  ; n  , n  2 . Khi đó a r  a n  n a m .

n

4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ
Giả sử a là một số dương và  là một số vô tỷ và  rn  là một dãy số hữu tỷ sao cho lim rn   . Khi đó
n 

lim a rn  a .

n 

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Cho hai số dương a; b và m; n 

. Khi đó ta có các cơng thức sau.

Nhóm cơng thức 1
1. a m .a n  a mn

am
1


2. n  a mn  m  0  n  a  n 
a
a


3.  a m   a m.n
n

 Tính chất 1: a0  1 a  0  và a1  a .

Nhóm cơng thức 2
m
n

1. a  n a m 

 a
n

m

2. a n .bn   ab  , n a . n b  n ab
n

n

an  a  n a
a
3. n    , n  n
b
b
b
b


 a  1; a m  a n  m  n
 Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 
.

m
n
0  a  1: a  a  m  n
a m  bm  m  0
 Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): Với a  b  0 thì  m
.
a  b  m  0

Ví dụ 1: Cho biểu thức P  x. 3 x 2 . x3 , với x  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
13
12

13
6

13
24

C. P  x .

B. P  x .

A. P  x .

13
8

D. P  x .

Lời giải

3

3

7

7

3

13

13

Ta có: P  x. 3 x 2 . x3  x. x 2 .x 2  x. x 2  x.x 6  x 6  x12 . Chọn A.

x . 3 x 2 . x  x n với x  0 . Tìm n.

Ví dụ 2: Biết rằng

2
.
3

B. n 

A. n  2 .

C. n 

4
.
3

D. n  3 .

Lời giải
1

Ta có:

1

3

1

5

3

5

1

1 5

6

x . 3 x 2 . x  x 2 . x 2 .x 2  x 2 . x 2  x 2 .x 6  x 2

4

 x 3 . Chọn C.
23

Ví dụ 3: Cho biểu thức P  x. 3 x 2 . k x3 , với x  0 . Biết rằng P  x 24 , giá trị của k bằng:
B. k  2 .

A. k  6 .

D. k  4 .

C. k  3 .
Lời giải

23

23

11

Ta có: P  x. 3 x 2 . k x3  x 24  x. 3 x 2 . k x3  x 12  3 x 2 . k x3  x12
11

11

x 2 . k x3  x 4  k x3  x 4

2

Ví dụ 4: Cho biểu thức P 
A. P  a 3 .

3

3

 x k  x 4  k  4 . Chọn D.



a 2 3 . a1
a1

B. P 

3



3

1 3

, với a  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

1
.
a

D. P 

C. P  a .
Lời giải

Ta có: P 



a 2 3 . a1
1 3

a

3



1 3



a 2 3 .a

1 3 1 3 

1 3

a


m

a 2 3 .a 2
1 3

a



a

3

1 3

a



1
. Chọn B.
a

a 4 b a a
.
   với a; b  0 . Tìm m.
Ví dụ 5: Cho biểu thức P 
b a b b

3

1
a

3

.


A. m 

7
.
24

B. m 

7
.
12

C. m  

7
.
12

D. m  

7
.
24

Lời giải
Đặt x 

1
7
1
1
7
3
3
3
3
4
4 
a
b
  x 1 . Khi đó P  3 x 4 x 1 x  x x 1.x 2  x x 2  x.x 8  x 8  x 24 .
b
a
7

a b a  a  24
7
Do đó P  3 . 4
. Chọn A.
  m

b a b b
24
7

Ví dụ 6: Cho biểu thức với Q 

6

a; b  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

ab 2
a
.
b

B. Q 

A. Q  a .

1

a 6 .b 3

C. Q  ab .

D. Q  a b .

Lời giải
7

Ta có: Q 

1

a 6 .b 3
6

ab 2

7



1

7

a 6 .b 3



1
2 6

 ab 

1

a 6 .b 3
1

6

a .b

2
6

 a . Chọn A.

Ví dụ 7: Cho x là số thực dương, viết biểu thức Q  x. 3 x 2 . 6 x dưới dạng lũy thừa với số hữu tỉ
2
3

5
36

A. Q  x .

B. Q  x .

C. Q  x .

D. Q  x 2 .

Lời giải
2
3

1
6

5
6

1
6

Ta có: Q  x. x . x  x.x .x  x .x  x . Chọn C.
3

2 6

Ví dụ 8: Cho biểu thức P  x. 4 x 2 . x3 với x  0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
3

5

A. P  x 6 .

5

2

C. P  x 8 .

B. P  x 3 .

3

D. P  x 4 .

Lời giải
1

1

5
 72  4  158  3
3
4 2
3
2
8
3
Ta có: P  x. x . x  x. x .x  x.  x    x   x . Chọn C.
 
 
3

4

3
2

a 2 .  a 2 .b3  .b 1
2

Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức T 
A. T  a 4 .b6 .

 a 1.b  .a 5 .b2
3

B. T  a6 .b6 .

với a, b là hai số thực dương.
C. T  a 4 .b4 .
Lời giải

D. T  a6 .b4 .


a 2 .  a 2 .b3  .b 1
2

Ta có: T 

 a .b  .a
3

1

Ví dụ 10: Biết rằng

5

xa
x

.b 2



a 2 .a 4 .b6 .b 1 a 2 .b5

 a 6 .b 4 . Chọn D.
a 3 .b3 .a 5 .b2 a 8 .b

2

b2

 x9 với x  1 và a  b  3 . Tính giá trị của biểu thức P  a  b .

A. P  1 .

C. P  2 .

B. P  3 .

D. P  4 .

Lời giải
Ta có:

xa

2

xb

2

 x9  x a

2

b 2

x 1
 x9 
 a 2  b 2  9   a  b  a  b   9  a  b 

Ví dụ 11: Cho x, y  0 . Biết rằng
A. 0.

x. 4

3

x

x

3

 x m và y 2 . y. 3

B. 2.

9
9
  3 . Chọn B.
ab 3

1
 y n . Tính m  n .
2
y

D. 2.

C. 1.
Lời giải

1

3

Ta có:

x. 4

8
2
1
1
4
x3
1

 x. 4 3  x. x 3  x.x 3  x 3  x 6  m  .
x
6

x

x3

2
1
1
13
1
13
2
2
2
2
2
3
3
3
6
6

y
.
y
.
y


y
.
y
.
y

y
.
y

y
.
y

y
n .
2
y
6

Lại có: y 2 . y. 3

Do đó: m  n  2 . Chọn D.



Ví dụ 12: Giá trị của biểu thức P  5  2 6

 .5  2 6 

2018

B. P  5  2 6 .

A. P  5  2 6 .

2019

bằng:

C. P  10  4 6 .

D. P  10  4 6 .

Lời giải







Ta có: 5  2 6 5  2 6  25  24  1 .



Do đó: P  5  2 6

 .5  2 6 
2018

2019





Ví dụ 13: Giá trị của biểu thức M  3  2 2





 .3
2019

2 4



2018





. 5  2 6  5  2 6 . Chọn B.

2018

bằng:









C. 3  2 2 .21009 .

B. 3  2 2 .21009 .

A. 21009 .



  52 6 52 6 



Lời giải







Ta có: 3 2  4  2 3  2 2  M  3  2 2









Lại có: 3  2 2 3  2 2  32  2 2





Do đó: M  3  2 2 .21009 . Chọn C.



2

 .  2  . 3  2 2 
2019

2018



 9  8  1 nên 3  2 2

2018

.

 .3  2 2 
2018



D. 3  2 2 .

2018

 1.


Ví dụ 14: Cho 2 x  5 . Giá trị của biểu thức T  4x1  22 x bằng:
A.

504
.
5

B.

104
.
5

C.

104
.
25

D.

504
.
25

Lời giải
Ta có: T  4 x 1  22 x  4 x.4 

2
22
4
4 504
. Chọn A.
  2 x  .4  x  4.52  
x
2
2
5
5

2 x  2 x  3
Ví dụ 15: Cho 4  4  34 . Tính giá trị của biểu thức T 
.

1  2 x 1  21 x
x

A. T 

x

3
.
4

B. T 

3
.
11

C. T 

3
.
11

D. T 

3
.
13

Lời giải

Ta có: 4x  4 x  34  22 x  2  22 x  36   2 x  2 x   36  2 x  2 x  6 (Do 2x  2 x  0 ).
2

Khi đó: T 

63
3
3
. Chọn C.


x
x
1  2  2  2  1  2.6 11

Ví dụ 16: Cho hàm số f  x  
A. T  0 .

9x
, với a, b 
9x  3

và a  b  1. Tính T  f  a   f  b  .

B. T  1 .

C. T  1 .

D. T  2 .

Lời giải

9
a
9
9
9
 1 a
 a
 9
Ta có: T  f  a   f  b   f  a   f 1  a   a
9 3 9 3 9 3 9 3
9a
1 a

a

a

9a
9
9a
3


 a
 1 . Chọn B.
a
a
a

9  3 9  3.9
9 3 9 3
Tổng quát: Cho hàm số f  x  

ax
ta có f  x   f 1  x   1 .
ax  a

4x
Ví dụ 17: Cho hàm số f  x   x
.
4 2
 1 
Tính tổng S  f 

 2005 

A. S  1002 .

 2 
f
  ... 
 2005 

B. S 

 2004 
f

 2005 

3008
.
3

 2005 
f
.
 2005 

C. S  1003 .

D. S 

Lời giải
Sử dụng tính chất tổng quát: Với hàm số f  x  

ax
ta có f  x   f 1  x   1 .
ax  a

2005
.
2


  1 
Khi đó S   f 

  2005 

 2004     2 
f
   f 

 2005     2005 

 1  1  ...  1  f 1  1002 

  1002 
 2003  
f
   ...   f 

 2005  
  2005 

 1003  
f
   f 1
 2005  

4 3008
. Chọn B.

6
3

1  x  1  x 1
x 1  x 1 

Ví dụ 18: Rút gọn biểu thức Q  . 

 với x  1 ta được
x  x  1  x 1
x  1  x  1 

B. Q  2 x .

A. Q  1 .

D. Q  2 .

C. Q  2 .
Lời giải



Ta có:
Và



 
2

x  1  x 1 



x



2

1x  1  x  1  x  1  x  1  2 .

  x 1 
x  1  .  1x  1 
2

x 1  x 1 



 2x  2 x2 1  2 x  2 x2 1  4 x .



x  1  x 1 .

1 
Suy ra Q  .

x  1  x 1

x 1 

Ví dụ 19: Đơn giản biểu thức T 
A. T  4 a .


x 1
x 1

2

1 4x
 .  2 .Chọn C.
x 2

a b
a  4 ab
ta được

4
a4b 4a4b
C. T  4 a  4 b .

B. T  4 b .

D. T   4 b

Lời giải

 a  b
Ta có: T 
2

4

4

4

a b
4

2

4



a



4

4

a4b

a b
4



4

a  4 b  4 a  4 b . Chọn B.

 1 
Ví dụ 20: Cho a, b là hai số thực khác 0. Biết rằng 

 125 
A.

76
.
21

B. 2.

a 2  4 ab

C.





3



3 a 2 10 ab

625

4
.
21

. Tính tỉ số

D.

a
.
b

76
.
3

Lời giải

 1 
Ta có: 

 125 

a 2  4 ab



 3  a 2  4ab  



3



3 a 2 10 ab

625

 5

Ví dụ 21: Cho 9  9
A. P  10 .

 43 
 5 
 

3 a 2 10 ab

4
3 a 2  4 ab 
3a 2 10 ab 
  5 
  5 3 

4
3a2 10ab   4 3a2 10ab   9  a2  4ab   0
3

a ,b  0
 21a 2  4ab 
 21a  4b 

x



2
3 a  4 ab

x

 14,

a 4
 . Chọn C.
b 21

6  3  3x  3 x 
23

x 1

1 x

3

B. P  10 .



a a
( là phân số tối giản). Tính P  ab .
b b
C. P  45 .

D. P  45 .


Lời giải
Ta có: 9x  9 x   3x  3 x   2  14  3x  3 x  4 .
2

Suy ra

6  3  3x  3 x 
23

x 1

1 x

3



6  3  3x  3 x 
2  3 3  3

x

x





6  3.4
9
   P  ab  45 . Chọn C.
2  3.4
5


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho 0  a  1 và biểu thức
A. n 

11
.
6

a 3 a được viết dưới dạng a n . Tìm n.

5
B. n  .
3

C. n 

2
.
3

D. n 

1
.
6

Câu 2: Cho biết Q  a 2 . 3 a 4 với a  0, a  1 . Khẳng định nào đúng?
7
3

5
3

A. Q  a .

11
6

7
4

B. Q  a .

D. Q  a .

C. Q  a .

a 
Câu 3: Cho 0  a  1 . Rút gọn P 

3 4

2

a .a

3
2

.

17

23

B. P  a 2 .

A. P  a9 .

7

C. P  a 2 .

D. P  a 2 .

1

Câu 4: Rút gọn biểu thức với P 

x 6 . 3 x 4 . 4 x5
x3

với x  0 .

112

5

211

13

B. P  x 60 .

A. P  x 4 .

D. P  x 60 .

C. P  x18 .
9
16

Câu 5: Với x  0 , hãy rút gọn biểu thức P  x x x x x : x .
13

5

Câu 6: Biết
A. M  18 .

xa
x

C. P  x 48 .

b2

 x16 với x  1 và a  b  2 . Tính giá trị của biểu thức M  a  b
B. M  14 .

B. T 

3

b b b về dạng b y . Tính T  6 x  12 y .

7
.
12



Câu 8: Giá trị của biểu thức P  1  3

D. M  6 .

C. M  8

Câu 7: Cho a, b  0 , viết a . a về dạng a x và

A. 121008 .

D. P  x 32 .

2

2
3

A. T  17 .

1

9

B. P  x 32 .

A. P  x 32 .

D. T 

C. T  14 .

 3  3 
2016

2016

bằng:



C. 1  3

B. 41008 .

7
.
6



1008

.



D. 3  3



1008

2

Câu 9: Cho a là một số dương, biểu thức a 3 a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
7

5

A. a 6 .

6

4

B. a 6 .

D. a 7 .

C. a 3 .

Câu 10: Viết biểu thức Q  x . 3 x . 6 x5 với x  0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?
2

A. Q  x 3 .

5

B. Q  x 3 .

5

C. Q  x 2 .

Câu 11: Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức P  a 4 a 3 a a .
5

7

D. Q  x 3 .

.


13

11

1

1

B. P  a120 .

A. P  a14 .

D. P  a 60 .

C. P  a 40 .
11

Câu 12: Viết biểu thức A  a a a : a 6 với a  0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?
21

B. A  a

A. A  a 44 .



1
12

23

D. A  a

C. A  a 24 .

.



23
24

.

m

Câu 13: Biết
A. m 

2
.
15

5

b 3 a a
   với a, b là các số thực dương. Tìm m.
a b b
B. m 

4
.
15

C. m 

2
.
5

D. m  

2
.
15

5

Câu 14: Viết biểu thức P 

A. P  a .

a2a 2 3 a4
6

a5

,  a  0  dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

C. P  a 4 .

B. P  a5 .

D. P  a 2 .
7

Câu 15: Cho a, b là hai số thực dương. Thu gọn biểu thức T 
A. T 

a
.
b2

C. T 

B. T  ab .

Câu 16: Với a  0 thì biểu thức P 

a

7 1

.a 2

a 
2 2

A. P  a5 .

2 2

2
3

ab 2

.

b
.
a

D. T 

a
.
b

được rút gọn là:

C. P  a3 .

B. P  a 4 .

Câu 17: Cho x  0, y  0 . Viết biểu thức x . x

D. P  a .

4
5

x  x và y : 6 y 5 y  y n . Tính m  n .

5

m

8
B.  .
5

11
.
6

6



7

4
5 6

A.

a 6 .b

C. 

11
.
6

D.

8
.
5

Câu 18: Cho 5x  2 . Tính A  25x  52 x .
A. A 

13
.
2

B. A 

Câu 19: Cho Cho 9 x  9 x  14,
A. P  10 .

75
.
2

C. A 

6  3  3x  3 x 
23

x 1

1 x

3



33
.
2

D. A  29 .

a a
( là phân số tối giản). Tính P  ab .
b b

B. P  10 .

C. P  45 .

D. P  45 .

Câu 20: Cho a, b là các số thực thỏa 3.2a  2b  7 2 và 5.2a  2b  9 2 . Tính S  a  b .
A. S  3 .

B. S  2 .

Câu 21: Cho hàm số f  x  
A.

59
.
6

2x
. Tổng f  0  
2x  2

B. 10.

C. S  4 .
1
f    ... 
 10 

C.

19
.
2

D. S  1 .
 18 
f  
 10 

 19 
f   bằng
 10 

D.

28
.
3




Câu 22: Giá trị của biểu thức P  3  3 8



A. 3  3 8



1009

.

 13  3 8 
2018

3

2018



C. 13  3 3 8

B. 192018 .



1009

.



D. 16  2 3 8

Câu 23: Viết biểu thức P  x5 . 3 x 2 . 5 x3  x  0  dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
61

30

A. P  x .

B. P  x

117
30

.

C. P  x

113
30

.

83
30

D. P  x .



2018

.

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1

Câu 1:

1

2
 13  2  43  2
3
a a   a.a    a   a 3 . Chọn C.

  
1

1

5
 2 43  2  103  2
Câu 2: Q   a .a    a   a 3 . Chọn A.

 


Câu 3: P 

a12
a

Câu 4: P 

12 

a

7
2

1
6

4
3

x .x .x
x

5
4

7
2

17
2

 a . Chọn B.

x



3
2

11
4

x

3
2

5
4

 x . Chọn A.

3

Câu 5:

3

7

x x x x 2  x x x.x 4  x x x 4
7

15

15

31

31

31

 x x.x 8  x x 8  x.x16  x16  x 32  P  x 32 . Chọn B.
Câu 6: x16  xa

2

b2

 x 2 a b  a  b  8 . Chọn C.
1

1

1

3 3
7
 3 3  7 3
7 y 
7
x
Câu 7: a  a .a  a  x  ; b   b b 2    b.b 4    b 4   b12  b  . Chọn C.


 
6
12
  


2
3

7
6

1
2







Câu 8: P   1  3 3  3 


Câu 9: a

2
3

2
3

1
2

7
6

1
3

5
6

5
3

2016



 2 3



2016

 121008 . Chọn A.

a  a .a  a . Chọn B.
1
2

Câu 10: Q  x .x .x  x . Chọn B.



Câu 11: P  a 4 a a



 4 3
  a a2



1
5

1

1

1

1

11
 5  3  5  11  5

   a.a 8    a 8   a 40 . Chọn C.
 
  


1

1

11
7
11
3 2
23


 3  2 11  7  2 11
Câu 12: A   a a 2  : a 6   a.a 4  : a 6   a 4  : a 6  a 8 : a 6  a 24 . Chọn D.




 


1

1

2

 b3 a  5  b 2 15  b 15
2
a
Câu 13: Ta có     3 3 .    2      m   . Chọn D.
 a b  a 
15
b
a


m

5

Câu 14: Ta có P 

4

a 2 .a 2 .a 3
a

5
6

 a 5 . Chọn B.


 76 16   23 62  a
Câu 15: T   a : a  b : b   . Chọn D.



 b
a3
Câu 16: P  2  a5 . Chọn A.
a
Câu 17:  x



m 6

24
5

1
2

 x .x .x  x

Câu 18: A   5x  
2

5

103
10

24
7


 5 12 
103 n 6
7
5
10
m
;  y   y :  y . y   y  n   . Chọn A.
60
60



25 33
 . Chọn C.
5x
2

Câu 19:  3x  3 x   14  2  16  3x  3 x  4 
2

a 6  3.4
9

  . Chọn C.
b 2  3.4
5

3


2a  2 2
a  2
Câu 20: Ta có: 
. Chọn B.

b
2  2
b  1

2
Câu 21: Với a  b  2 f  a   f  b  
Lưu ý:

2a
2b
2.2a b  2.2a  2.2b


 1.
2a  2 2b  2 2a b  2.2a  2.2b  4

1 19
59
  2...  P  f  0   f 1  9.1  . Chọn A.
10 10
6

Câu 22: P   3  2 
5
2

2
3

2018

13  6

3
5

113
30

Câu 23: P  x .x .x  x

2018

 192018 . Chọn B.

. Chọn C.