i bài tập gtlngtnn của hàm số phân loại các dạng toán ví dụ minh họa và bài tập vận dụng dowload ii bài tập thể tích khối đa diện bấm vào đây iii tổng hợp các

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (303 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ÔN THI ĐH: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN, GTNN

Chương 1. Ơn tập phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo

sát trực tiếp hàm số.

Chương 2. Hệ thống một số dạng tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng

phương pháp đổi biến số.

Chương 3. Hệ thống một số dạng tốn tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

nhiều biến số bằng phương pháp đổi biến số.

Các dạng toán:

a. Căn cứ vào mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức để phát hiện ra
cách đổi biến.

b. Phương pháp đổi biến số S = x + y, P = x.y đối với bài tốn tìm GTLN, NN của
biểu thức đối xứng theo 2 biến số x, y.

c. Phương pháp đổi biến số đối với biểu thức đối xứng theo 3 biến số x, y, z.
d. Tìm GTLN, NN qua biểu thức trung gian (do biểu thức ban đầu khơng có dấu
hiệu đổi biến).

CHƯƠNG 1. ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG 
CÁCH

KHẢO SÁT TRỰC TIẾP HÀM SỐ

1.1/ Phương pháp giải bài tốn: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D.

Phương pháp chung

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D. Căn cứ vào bảng biến thiên để kết
luận.

Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm như sau:

- Tính đạo hàm y’.

- Tìm các nghiệm của y’ trong đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x1, x2 ...

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b].

Lưu ý 2: Khi KL về GTLN, GTNN tìm được phải nêu rõ nó đạt được khi x nhận

giá trị nào.

1.2/ Bài tập tự luyện - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các hàm số sau:

( ) 4

f x  x x f x( ) x 1 3x f x( ) 1x2  1x2

  2

( ) 1 1 .

f x  x x





( ) 1

f x x x x

2 3

( )

1
x
f x

x





( ) sin 2 , ; .

2 2
f x  xx x   

 

f(x)=5cosx–cos5x,

4 x 4

 

  

x
s inx+2cos

( ) , 0; .

x 2

cosx+2sin
2

f x  x  

 

4 4

2 2 2 6 2 6

y x x  x x 2 2





1 1, 1;1

y x   x x  x x  y x24x21 x23x10

CHƯƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP TÌM GTLN, NN CỦA HÀM SỐ BẰNG 
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1.1/Phương pháp giải

Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác 
định của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước)

Bước 1. Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo x.

Bước 2. Chuyển ĐK của biến số x sang ĐK của biến số t. Giả sử tìm được tK.

Bước 3. Chuyển bài toán ban đầu thành bài tốn mới đơn giản hơn. Cụ thể là: Tìm

GTLN, GTNN của hàm số f(t) trên tập số K.

1.2/ Ví dụ minh họa

Trước tiên sẽ lưu ý đến sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải một bài toán bằng
phương pháp đổi biến số nói chung, và bài tốn tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp
đổi biến nói riêng thơng qua ví dụ sau:

Ví dụ 1

Tìm GTNN, GTLN của hàm số 2sin 1

sin sin 1

x
y

x x




</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Sai lầm thường gặp

Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t: ( ) 2 1
1

t
f t

t t




  .

Ta có:

2 2

2
( )

( 1)

t t

f t

t t
 


  , f

’

(t) = 0  0

2
t

t




 


; lim ( ) 0

x f x  .

Bảng biến thiên của hàm số f(t) như sau:

t  -2 0


f’(t) - 0 + 0 -

f(t)

0 1



Từ BBT suy ra:

1
)
2
(
)

inf(t  f  

M ; Maxf(t) f(0)1.

Từ đó có GTNN, GTLN của hàm số ban đầu lần lượt là

3
1

 và 1.

 Phân tích sai lầm

Theo lời giải trên thì hàm số f(x) nhận GTNN là

3
1

 khi: sinx = -2, điều này không xảy

ra.

Mặc dù đã lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí nhưng chưa tìm điều kiện cho nó dẫn đến 
bài tốn tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới ( ) 2 1

t
f t

t t




  khơng tương thích

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 Lời giải đúng

Đặt t = sinx, điều kiện   1 t 1.

Bài tốn quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số ( ) 2 1
1

t
f t

t t




  trên đoạn



1;1



Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn



1;1



như sau:

t -1 0 1 

f’(t) + 0
-

1

f(t)

0 3

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN, GTLN của hàm số f(t) trên đoạn



1;1



lần lượt là 0 (khi

và chỉ khi t = -1) và 1 (khi và chỉ khi t = 0).

Từ đó có: Maxy = 1 đạt được khi và chỉ khi: x k, Miny = 0 khi và chỉ khi:  2

2 k .

Nhận xét

Nếu biểu thức xác định của hàm số có thể phân chia thành các nhóm số hạng và giữa
chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua
nhau thì ta có thể đưa bài tốn đó về bài toán đơn giản hơn bằng phương pháp đổi biến
số.

Mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức xác định hàm số ở ví dụ trên là rõ
ràng dễ thấy, điều này giúp ta phát hiện cách đổi biến số khơng mấy khó khăn, tuy nhiên
có những trường hợp mối liên hệ giữa các nhóm số hạng được ẩn kín bên trong, địi hỏi
nhiều phép biến đổi và có cách nhìn tinh mới phát hiện ra được.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Nhận xét và hướng dẫn giải

Xét mối liên hệ giữa hai nhóm số hạng: sinx + cosx và sinx cosx, 
Chúng có mối liên hệ với nhau bởi hệ thức dễ thấy sau

(sinx + cosx)2 = sin2x + cos2x + 2sinx cosx = 1 + 2sinx cosx,

Nhận xét đó gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ sin cos 2 sin

4
u x x x

 , với điều kiện của

biến số mới là  2u 2.

Khi đó

2
1
sin cos

2
u

x x  và bài tốn quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số

2
1
( )

2
u
f u  u 

trên đoạn  2; 2 .

 

Trên đoạn  2; 2

  dễ dàng tìm được GTNN, GTLN của hàm số f(u) lần lượt là -1 (khi

và chỉ khi u = -1) và

2
1

2  (khi và chỉ khi u = 2).

Từ đó có GTNN, LN của hàm số ban đầu.

Ví dụ 3

Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có: sin4x + cos4x = 1 2

1 sin 2

2 x

 và sin cos 1sin 2 .
2

x x x

Từ phân tích trên ta thấy nếu đặt t = sin2x (điều kiện   1 t 1) ta có hàm số theo

biến số t sau: 1 2 1

( ) 2

2 2

h t   t  t .

Và bài tốn trở thành tìm GTNN, GTNN của hàm số h(t) trên đoạn [-1; 1].

Đáp số: Maxy = 17

8  x 12 k



   hoặc 5
12

x  k ; Miny = 2 

( ).

x k kZ

Ví dụ 4

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y x 1 3x (x1)(3x)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Nhận xét và hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D  



1;3



Để ý rằng:



x 1 3x



2  4 2 (x1)(3x),

Vì thế nếu đặt t x 1 3x thì

2
4
( 1)(3 )

2
t

x x   và ta có hàm số theo biến t

( ) 2

2
t

g t   t .

Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý rằng 2





4 2 ( 1)(3 ) 4, 1;3

t   x x    x , từ đó

suy ra   2 t 2.(hoặc lập BBT của hàm số t x( ) x 1 3x trên D  



1;3



để suy ra

2 t 2.

   )

Bài tốn quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số

( ) 2

2
t

g t   t trên đoạn



2; 2



.

Đáp số: Maxy = 2 x = 3; Miny =

2
5
  .
2
7
1 

x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau bằng phương pháp đổi biến số:

y =
1
cos
1
cos
cos
2 2




x
x
x
4
cos
1
4
sin
1




x
x
y
6 6

sin cos .sin .cos

y x x a x x

(với a là 
tham số)

x
x

y  1sin  1cos y = sin2 os2 1

3 x3c x (cos4 cos8 )

2
1
)
4
cos
2
sin
1
(

2 x x x x

y   

x
x

y 4 2

2
4
cos
2
sin

3
sin
4
cos
3



 y =

x
x
x
x
4
4
6
6
cos
sin
1
cos
sin
1




2
cos

sin (2 cos sin )
x

y

x x x



 , với 0 x 3.


 









6 2

4 1 , 1;1

y x  x x  y = 2 3





2
1x  1x

4 2 4 2 2 2

(4cos 3sin )(4sin 3cos ) 25sin cos .

y       

3 2

1 1 1

y x x x

x x x

      f(x)=

2
2
5
8
8
4
2
2
3
4






x
x

x
x
x
x

4 2 2

2 2

2 1 1 1 3

( )

1 1 1

x x x

f x

x x

     



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

CHƯƠNG 3. TÌM GTLN, NN CỦA BIỂU THỨC CĨ NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG 
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

2.1/Phương pháp giải

Để tìm GTLN, GTNN của một biểu thức có chứa nhiều hơn một biến số nào đó ta
có thể dùng phương pháp đổi biến số như sau:

Bước 1. Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới.

Bước 2. Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban đầu).

Bước 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện của nó.

Một số bất đẳng thức cơ sở thường sử dụng:

1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có:

2 2

2 2 2

2 2 2 2

1/ 2

2 /( ) 4

3 / 2( ) ( )

4 /

5 /( ) 3( )

6 / 3( ) ( ) .

a b ab
a b ab

a b a b

a b c ab bc ca
a b c ab bc ca

a b c a b c

 

  

    

2/ BĐT Côsi - Với a, b, c khơng âm, ta có: 3  3

2 , 3 , 27

a b  ab a b c   abc a b c   abc

2.2/ Ví dụ minh họa

a. Căn cứ vào mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức để phát hiện 
ra cách đổi biến.

Ví dụ 1

Nhận xét và hướng dẫn giải

Dễ thấy 3

3 . 1

xyz
x y z

x y z
xyz

 



  , do đó nếu đặt 3
x y z
t

xyz
 

 ta được biểu thức theo biến số t là:

1
( )

P t t
t

  .

Cho x, y, z là các số dương. Tìm GTNN của biểu thức

3 .

xyz
x y z

P

x y z
xyz

 

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: 3

3 3

xyz
x y z

t

xyz xyz

 

   .

Do đó bài tốn quy về tìm GTNN của hàm số P t( ) t 1
t

  trên khoảng



3;.

Vì

2
'

2
1

( ) t 0, 3

P t t

t


    nên hàm số P(t) đồng biến trên khoảng



3; 

Từ đó có

3; 

( ) (3)

Min P t P

   , đây cũng là GTNN của biểu thức P.

Ví dụ 2

Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có:

2 2

2 2 2 (2 ).

x y x y

a

y x y x

 

    

 

2 2

4 4 2 2

4 4 2 2 2 2 2 (2 ).

x y x y x y

b

y x y x y x

 

   

 

          

  

   

Từ (2a) và (2b) ta thấy nếu đặt t x y
y x

  thì: 4 2

5 4

T t  t  t ,

Cũng từ (2a) có:

2 2

2 2 2 4 4.

x y

t t

y x

     

Bài tốn trở thành: Tìm GTNN của hàm số 4 2

( ) 5 4

T t t  t  t trên miền
( ; 2] [2; ).

D      

Ta có: ' 3 2

( ) 4 10 1 4 ( 4) 6 1

T x  t  t  t t   t , để ý rằng t2 4 0,  x D nên suy ra dấu của T’(t)

trên D và có bảng biến thiên như sau:

Cho x, y khác 0. Tìm GTNN của biểu thức

4 4 2 2

4 4 2 2 .

x y x y x y

T

y x y x y x

 

     

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

t 

-2

2 

T’(t) - +

 

T(t)

-2 2

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của T(t) trên D là -2 khi và chỉ khi: t = -2. 
Từ đó có: Min(T) = -2, đạt được khi và chỉ khi x = - y (x và y khác 0) .

Ví dụ 3

Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có H =  

x
y
y
x
y

x
y

x   










 1 1 2 .

Vì thế nếu đặt

y
x

t  ta có hàm số theo biến số t sau: ( ) 2 1.

t
t
t

H   

Từ điều kiện ràng buộc 1 x y2 ta suy ra: 1
2

1



y
x

, do đó 







 ;1

2
1

t .

Bài tốn trở thành: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

t
t
t

H( )2 1 trên đoạn 







1
;
2
1

Vì 











 ;1

2
1
0

1
)

( 2

2
'

t
t

H nên H(t) là hàm số nghịch biến trên đoạn này 
Tìm GTLN, NN của H =   











y
x
y

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Từ đó có GTLN của H(t) trên đoạn 





1
;
2
1

là
2
9

khi: t =

2
1

, còn GTNN trên đoạn này của

H(t) bằng 4 khi: t = 1.

Đáp số: Max(H) =

2
9

 (x; y) = (1; 2) ; Min(H) = 4  x = y (với 1x y, 2).

Ví dụ 4

Nhận xét và hướng dẫn giải

Biến đổi:
2 2
2 2
1 1
2
2

x y x y

Q

x y

x y xy xy y x

y x
xy

    
 
 

. Đặt t x y
y x

  , thì theo t ta có: ( ) 1
2

Q t t

t

 



Hơn nữa dễ thấy x y 2

y x  (với x, y dương và x khác y) nên ta có t > 2.

Vì thế quy về bài tốn quen thuộc: Tìm GTNN của hàm số ( ) 1
2

Q t t

t

 

 trên khoảng

2;.

Ta có 











3

1
0
)
(
'
,
)
2
(
3
4
)
(

' 2 '

2
'
t
t
t
Q
t
t
t
t

Q . BBT của Q(t) trên khoảng 2; như sau:

t 2 3 

Q'(t) - 0
+

Q(t)

Tìm GTNN của

 2 2 2

1 1 1

Q xy
x y
x y
 
 
  
  
 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của Q(t) trên khoảng 2; là Q(3) = 4.

Đáp số: Min(P) = 4 đạt được khi và chỉ khi x2 + y2 – 3xy = 0.

b. Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa

mãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y.

Cách giải:

1. Đặt x y S

xy P
 






(ĐK 2
4
S  P),

2. Biểu diễn giả thiết M theo S và P (1)

3. Biểu diễn biểu thức M theo S và P rồi kết hợp với (1) để biểu diễn M theo 1

biến S hoặc P.

4. Tìm ĐK cho S hoặc P (M theo biến nào thì tìm ĐK cho biến đó) bằng cách kết
hợp (1) và điều kiện 2

4
S  P.

5. Tìm GTLN, NN của biểu thức M với điều kiện tìm được của biến số tìm được
ở bước 4.

Lưu ý: Cách tìm ĐK ở bước 4 chỉ áp dụng khi cho x, y bất kỳ. Ví dụ nếu giả thiết 
cho thêm x > 0, y > 0 thì phải lưu ý S > 0 và P > 0 để tìm ĐK cho chính xác.

Ví dụ 5

Nhận xét và hướng dẫn giải 
Đặt S = x + y = 1, P = xy

Ta có: M = (xy)3 – 3xy (x + y) + (x + y)3 + 1 = (xy)3 – 3xy + 2 = P3 – 3P + 2.

Lại có 1 = S2  4P suy ra: 1.
4

P 

Vậy bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số M(P) = P3 – 3P + 2 với 1.
4

P 

Ta lập được bảng biến thiên của M(P) trên khoảng ;1
4

 



 

  như sau:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

P  -1 1

M’(P) + 0
-

4

M’(P)



81

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN khơng tồn tại cịn GTLN của Q bằng 4, đạt được

khi và chỉ khi 1

1
x y

xy
 



 


, giải hệ ta được  ;  1 5 1; 5 , 1 5 1; 5 .

2 2 2 2

x y           

   

 

Ví dụ 6

Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có: M = 2(x + y)(x2 + y2 – xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a),

Ngoài ra biến đổi giả thiết của bài tốn ta có: x2 + y2 = 2(x + y)2 – 2xy = 2 (6b)

Qua các phân tích trên thấy rằng nếu đặt t = x + y sẽ biểu diễn được xy theo biến t, từ đó 
biểu diễn được biểu thức M theo t.

Thật vậy, từ (6b) có:

2 2

( ) 2 2

2 2

x y t

xy     , kết hợp với (6a) ta biểu diễn được biểu thức

ban đầu theo t là: 3 3 2

( ) 6 3

M t   t t  t .

Để x, y tồn tại ta phải có: (x + y)2  4xy nên t2 2(t2 – 2) từ đó có   2 t 2.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Từ đó có GTNN, GTLN của M t( ) trên [-2; 2] là: Max(M) = 13,

2 Min(M) = -7.

c. Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau:

Tính chất 1: M phụ thuộc vào 2 trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc

x2 + y2 + z2.

Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị của một trong 3 đại lượng: x + y + z, xy +

yz + zx hoặc x2 + y2 + z2.

Cách giải:

1. Giả sử biểu thức M có mặt 2 trong 3 đại lượng nêu trên, khi đó có thể đặt một
trong hai đại lượng của biểu thức M là ẩn phụ t rồi dùng giả thiết của bài toán đã cho 
và kết hợp hằng đẳng thức (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn

đại lượng còn lại theo t.

2. Tìm ĐK cho t ta thường dùng một trong ba BĐT sau:

x2 + y2 + z2  xy + yz + zx hoặc (x + y + z)2  3(xy + yz + zx) hoặc 3(x2 + y2 + z2) 

(x + y + z)2

3. Quy về bài tốn đơn giản.

Ví dụ 7

Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có: R = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = (x + y + z)(1 – xy – yz – zx) 
(7a),

Viết lại giả thiết của bài toán thành: (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = 1 (7b).

Đặt t = x + y + z thì từ (7b) ta có xy + yz + zx =

2
1
2
t 

, kết hợp với (7a) ta biểu diễn được

biểu thức ban đầu theo t là: R(t) = 1

2(3t – t
3

).

Dễ dàng CM: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx, từ đó suy ra 
2

1
1
2
t 

 suy ra  3 t 3.

Tìm GTLN, NN của R(t) trên đoạn  3; 3

 , được: Max(R) = 1 ; Min(R) = -1.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

d. Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm 
GTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian.

Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN của biểu thức M khơng có dấu hiệu đổi biến số nhưng

đánh giá được M  N thì thay vì tìm GTLN, NN của M ta đi thực hiện bài tốn: tìm

GTLN, NN của biểu thức trung gian N.

Ví dụ 8

Nhận xét và hướng dẫn giải

Rõ ràng khơng có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số của biểu thức cho trong bài tốn
theo một biến số mới, ta sẽ tìm GTNN của biểu thức M ban đầu thông qua việc tìm 
GTNN của một biểu thức trung gian T, biểu thức này được xác định qua lập luận sau: 
+ Trước hết theo BĐT Cơ si ta có

M = x + y + z 3

1 1 1 3

3 xyz

x y z xyz

     , đẳng thức xảy ra x = y = z (8a)

+ Để tìm GTNN của biểu thức M ta đi tìm GTNN của biểu thức

3
3
3

T xyz

xyz

  .

Đặt u33 xyz thì việc tìm GTNN của biểu thức T được quy về việc tìm GTNN của hàm

số T u( ) u 9
u

  trên khoảng 0;3
2

 

 

  (vì

3 3

0 3

u xyz x y z

      ).

Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến trên khoảng 0;3
2

 

 

 , nên 3
(0; ]

3 15
( )

2 2

MinT u T 
  .

Suy ra GTNN của biểu thức trung gian T là 15

2 (đạt được  x = y = z)

Tức là 3

3 15

T xyz

xyz

   , đẳng thức xảy ra  x = y = z (8b).

Cho x, y , z > 0 và x + y + z 3

 . Tìm GTNN của M = x + y + z 1 1 1.

x y z

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

+ Từ các kết quả (8a) và (8b) suy ra GTNN của biểu thức M ban đầu là 15

2 đạt được khi

và chỉ khi x = y = z.

Ví dụ 9

Nhận xét và hướng dẫn giải

Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1)  xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z),

Do đó có: N = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx)

= 2 - 2(x + y + z) + (x + y + z)2 – 4xyz (9a)

Áp dụng BĐT Cauchy ta được

3 






  

 x y z

xyz , từ đây và (9a) suy ra:

3
2

3
4
)
(

)
(

2 







  










 x y z x y z x y z

N , đẳng thức có x = y = z. (9b)

Đặt t = x + y + z (0 < t < 3) thì từ (9b) ta có:

3
2 4

2 2 ( )

27
t

N   tt   f t .

Đến đây, bằng cách khảo sát hàm số ta được GTNN của hàm số f(t) trên khoảng (0 ; 3) là

4
3

, đạt được khi và chỉ khi

2
3


t . Từ đó có: Min(N) =

4
3

, đạt được khi và chỉ khi

.
2
1



 y z

x

Ví dụ 10

Nhận xét và hướng dẫn giải

Vì P > 0 với mọi x, y > 0 nên P đạt GTNN khi và chỉ khi P2 đạt GTNN.

Cho các số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) và thỏa mãn xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1). 
 Tìm GTNN của biểu thức N = x2 + y2 + z2.

Cho các số thực dương thoả mãn: x + y = 1. Tìm GTNN của biểu

thức: .

1 y

y

x
x
P

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Kết hợp với giả thiết x + y = 1, ta có:





).
(
)
(
3
2
1
3
2
1
2
3
)
(
)
(
1
2
)

1
)(
1
(
2
1
1
3
2
2
2
2
2
xy
t
t
f
t
t
xy
xy
xy
xy
xy
y
x
y
x
xy
y

x
xy
x
y
y
x
y
x
xy
y
y
x
x
P




























Từ giả thiết và BĐT đúng .

4
1
0
0
4
)

(xy 2  xy  t  xy

Chứng minh được hàm số f(t) nghịch biến trên đoạn 






4

1
;

0 , suy ra GTNN của hàm

số này (chính là GTNN của P2) là ) 2
4
1

( 

f , từ đó có kết quả bài tốn.

BÀI TẬP

Bài 1 (PP thế). 1/ Cho x + y = 1. Tìm GTLN, NN của P = x3 + y3 + 3(x2 – y2) + 3(x
+ y).

2/ Cho x, y  0 và x + y = 1. Tìm GTNN của P = 32x + 3y.

3/ Cho x, y > 0 và x + y =5/4. Tìm GTNN của P = 4 1 .
4
x y

4/ Cho 2

0, 12.

y x x y Tìm GTLN, NN của: xy + x + 2y +17.

Bài 2. (Dựa vào tính đẳng cấp).

1/ Tìm GTLN và GTNN của 2 2
2

M x xy y biết: a. 2 2
1.
x xyy  b.

2 2

1.
x xyy 

2/ Cho x2 + y2 = 1. Tìm GTNN, GTLN của

2( 6 )

1 2 2

x xy
P
xy y


  .

Bài 3. (Dấu hiệu đổi biến đơn giản)

1/ Cho x, y > 0. Tìm GTNN của P x y xy .

x y
xy



 



2/ Cho các số dương x, y thỏa: x 1 1
y

  . Tìm GTNN của biểu thức H x y
y x
  .

3/ Cho x, y dương và xy1. Tìm GTLN, NN của: C xy 1
xy

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 3. (Đổi biến số S = x + y, P = xy với ĐK S2 >= 4P hoặc S = x2 + y2, P = xy ĐK
S2 >= 4P2)

1/ Cho các số dương x và y thoả mãn x + y = 1. Tìm GTLN và GTNN của các biểu 
thức sau:

xy
y
x

A 3 1 3  1


 , b.

1
1 




x
y
y

x

B , c. D = x2y2(x2 +y2).

2/ Cho x, y khác 0 thoả mãn: xy(x+y) = x2 + y2 - xy. Tìm GTLN của 13 13

y
x

N   .

3/ Cho 2 số x, y thỏa mãn: 1 – y2 = x(x – y). Tìm GTLN, NN của F =

6 6

3 3

x y

x y y x

 



4/ Cho các số thực không âm x, y không âm và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN,
GTLN của:







S 4x 3y 4y 3x 25xy

5/ Cho x, y > 0 thỏa mãn x2y + y2x = x + y + 3xy. Tìm GTNN:

2 2 (2 1) 3

.
2

xy

A x y

xy

 

  

6/ Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy = 3. Tìm GTNN của N = x3 + y3 – 3x – 3y.

7/ Cho x, y không âm và x2 + y2 + xy =3. Tìm GTLN, NN của P = x3 + y 3 – x2 – y2.

8/ Cho x, y > 0 và x2 - xy + y2 = 1. Tìm GTLN, GTNN của P =

4 4
2 2

1
1

x y

 

  .

9/ Cho x, y thỏa x2(2x2 – 1) + y2(2y2 – 1) = 0. Tìm GTLN, NN của: P = x2(x2 – 4) +
y2(y2 – 4) + 2(x2y2 – 4).

10/ Cho x, y thỏa mãn 2(x2 + y2) = xy + 1. Tìm GTLN, GTNN của P = 7(x4 + y4) +
4x2y2.

11/ Cho x, y là hai số thực dương thỏa x3  y3 2. Chứng minh: x2  y2 2.

12/ Cho x, y dương và xy + x + y = 3. CMR: 3 3 2 2 3
.

1 1 2

x y xy

x y

y x xy   .

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bài 5 (Đổi biến).

1/ Cho x, y > 0 và x + 2y – xy = 0. Tìm GTNN của M =

2 2

4 8 1

x y

y x

  .

2/ Cho a, b  -1. Tìm GTLN của: P = a 1 b1.

3/ Cho các số thực x, y thoả mãn: x3 x 1 3 y2y. Tìm GTLN, GTNN của x +
y.

4/ Cho 2 số x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 1. Tìm GTLN, NN của M =

   

 

1 4 1

2 1

x y x y

x y

   

  .

5/ Cho các số x, y thỏa: x2 + xy + 4y2 = 3. Tìm GTLN, NN của biểu thức P = x3 +
8y3 – 9xy.

Bài 6.

1/ Cho các số thực x, y, z thay đổi thoả mãn đẳng thức x2 + y2 + z2 =1.Tìm GTLN và

GTNN của biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx.

2/ Cho x, y, z không âm và x2 + y2 + z2 = 3. Tìm GTLN, NN: Q = xy + yz + zx +

5
.
x y z 

3/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của M = 2 2 2

2 2 2.
xy yz zx

x y z

 

  

 

Bài 7. (Đánh giá trung gian)

1/ Cho x, y thỏa (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32. Tìm GTNN: N = x3 + y3 + 3(xy –

1)(x + y – 2).

2/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của P = 2(x2 + y2 + z2) – 4xyz – 9x +
2012.

3/ Cho x, y > 0 và x + y 1. Tìm GTNN của

2 2

1 1 3

x y xy

A

x y x y xy

 

   



4/ Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãnxy1. Tìm GTNN của:



4 4 2 2





2 2



</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

5/ Cho x, y, z > 0 và có tổng bằng 1. Tìm GTNN của: Q x 1 y 1 z 1

y z x

     

        

   

 

6/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của các biểu thức:

A = xy yz zx 3 3 3

x y z

     và B = x y z 1 1 1

x y z

     .

7/ Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTNN của M = a + b + c + 1 .

abc

8/ Cho ba số dương x, y, z. CMR: 1 1 1 2 2 362 2 2 2

x  y z  x y  y z x z .

9/ Cho a, b, c > 0, CMR: 1 1 1 9

abc  abc.

10/ Cho x y z , , 0 và thỏa xy z 1. Chứng minh rằng 18
2

xyz
xy yz zx

xyz

  

 .

11/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR: 18

2
xyz
xy yz zx

xyz

  

 .

12/ Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. CMR:

5 3 5 3 5 3

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 3

.
3

a a a b b b c c c

b c a c a b

     

  

</div>

i bài tập gtlngtnn của hàm số phân loại các dạng toán ví dụ minh họa và bài tập vận dụng dowload ii bài tập thể tích khối đa diện bấm vào đây iii tổng hợp các

<b>ÔN THI ĐH: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN, GTNN </b>





<sub></sub>

<sub></sub>









































<sub></sub>

<sub></sub>























Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về