Đề thi Học kì 1 Toán 12 - Đề số 8

TRƯỜNG THPT NGUYỄN CHÍ THANH
Đề số 8
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2008 – 2009
Môn TOÁN Lớp 12
Thời gian làm bài 90 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7 điểm):
Bài 1. Cho hàm số
396
23
+−+−=
xxxy
có đồ thị (C).
1) (2 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) (1.25 điểm) Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 4, viết phương trình tiếp tuyến
với đồ thị (C) tại điểm A. Tiếp tuyến này cắt lại đồ thị (C) tại điểm B (B khác A), tìm tọa độ
điểm B.
Bài 2. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
x
x
y
ln
=
trên đoạn [1; e
2
]
Bài 3. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, I là trung điểm của AB,
∆
là đường thẳng qua I và
vuông góc với mp(ABCD). Trên
∆
lấy một điểm S sao cho SI =

2
3a
.
1) (0.75 điểm) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
2) (1 điểm) Gọi (N) là hình nón tròn xoay thu được khi quay đường gấp khúc SAI xung quanh
SI. Tính diện tích xung quanh của hình nón (N).
3) (1 điểm) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
II. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO HỌC SINH TỪNG BAN (3 điểm):
Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần: Theo chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao
1. Theo chương trình Nâng cao
Bài 4a. (2 điểm) Giải hệ phương trình sau :
y
y y
x
x x
2
1
2 2
2 log 3 13
1 3 .log 2 log 3
+

− =


+ = +


Bài 5a. (1 điểm) Cho phương trình
09).1(12).12(16

=++−+
xxx
mm
. Tìm m để phương trình có
hai nghiệm trái dấu.
2. Theo chương trình Chuẩn
Bài 4b. Giải các phương trình sau :
1) (1 điểm)
013.83
22
=−+
+
xx
.
2) (1 điểm)
8log3)27(log)113(log
555
+=−+−
xx
.
Bài 5b. (1 điểm) Giải bất phương trình sau:

032log12log2log.2.3log.2
2
2
2
5
2
22
2

>+−++−
++
xxxx
xxx
.
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
TRƯỜNG THPT NGUYỄN CHÍ THANH ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 12
1
Đề số 8 Thời gian làm bài 90 phút
Bài ý Nội dung điểm
1 1.1 Tập xác định D = R 0.25
x
lim
→−∞
x x x
3 2
( 6 9 3)− + − + = +∞
;
x
lim
→+∞
x x x
3 2
( 6 9 3)− + − + = −∞
0.25
y
'
= –3x

2
+ 12x – 9 0.25
x
y
x
'
1
0
3

=
= ⇔

=

; y(1) = –1 ; y(3) = 3
0.25
Bảng biến thiên:

CD
CT
-
∞
3
-1
+
∞
+
__
00

+
∞
3
1-
∞
y
y'
x
Hàm số tăng trên khoảng (1;3) ; giảm trên các khoảng (–
∞
;1) ; (3;
)+∞
, đạt cực
tiểu tại x = 1 , giá trị cực tiểu là –1 , đạt cực đại tại x = 3 , giá trị cực đại là 3.
0.5
Các giá trị đặc biệt :

-13
1
-1
3
4
0 2 3
1
y
x
Đồ thị :
432
0 1
1

3
y
x
0.5
1.2 Điểm A thuộc (C) có hoành độ bằng 4 , suy ra A(4;–1) 0.25
y
'
(4) = –9 0.25
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là y = –9(x–4)–1 hay y = –9x + 35. 0.25
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) là nghiệm của phương trình
–x
3
+ 6x
2
– 9x + 3 = –9x + 35
0.25
Phương trình trên có nghiệm x = 4 ; x = –2 , kết luận điểm B(–2;53) 0.25
2
Hàm số
x
y
x
ln
=
liên tục trên đoạn
e
2
[1; ]
và có
x

y
x
2
1 ln
'
−
=
0.5
y x x e' 0 1 ln 0= ⇔ − = ⇔ =
(e thuộc đoạn
e
2
[1; ]
)
0.25
y(1) = 0 < y(e
2
) =
e
2
2
< y(e) =
e
1
nên trên đoạn
e
2
[1; ]
hàm số có GTLN là
e

1
,
0.25
2
đạt khi x = e và có GTNN là 0 đạt khi x = 1.
3

O
m
∆
J
K
I
C
A
D
B
S
3.1 SI là đường cao của hình chóp nên thể tích của khối chóp SABCD là
V =
dt ABCD SI
1
( ).
3
0.25
Trong đó SI =
a 3
2
và dt(ABCD) = a
2

0.25
Suy ra thể tích của khối chóp là V =
a a
a
3
2
1 3 3
3 2 6
=
0.25
3.2 Hình nón tròn xoay thu được có đường sinh là SA và bán kính đáy là IA 0.25
Diện tích xung quanh của hình nón là
xq
S IA SA. .
π
=
(1)
0.25
Trong đó IA =
a
2
; tam giác SIA vuông tại I nên

a a a a
SA SI AI a
2 2
2 2 2 2
3 3
( ) ( )

2 2 4 4
= + = + = + =
0.25
Suy ra diện tích xung quanh của hình nón là
xq
a
S a a
2
1
2 2
π π
= =
0.25
3.3 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, qua O dựng đường thẳng
∆
vuông góc
mp(ABCD) , suy ra
∆
là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD .
0.25
Tam giác SAB có SA = AB = BS = a nên SAB là tam giác đều. Gọi K là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB ( K cũng là trọng tâm của tam giác SAB.Do
SI song song với
∆
nên trong mp(SI,
∆
) , qua K dựng đường thẳng m song song
với IO , m là trục của tam giác SAB
0.25
Gọi J là giao điểm của

∆
với m , suy ra JS = JA = JB = JC = JD . Vậy J là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
0.25
Bán kính của mặt cầu là JA. Ta có :
JA
2
= OA
2
+ OJ
2
= OA
2
+ IK
2
=
a
AC SI a
2 2 2 2
1 1 1 1 3
( ) ( ) ( 2) ( )
2 3 2 3 2
+ = +
=
=
a
2
7
12
. Suy ra bán kính của mặt cầu là JA =

a 21
6
.
0.25
4a Điều kiện x>0 0.25
y
y y
x
x x
2
1
2 2
2 log 3 13(1)
1 3 .log 2 log 3 (2)
+

− =


+ = +


(1)
y
x
2
3 2 log 13⇔ = −
(3)
0.25
3

Thay (3) vào (2) ta được phương trình
x x
2
2 2
2 log 21log 40 0− + =
(4)
0.25
Giải (4) ta được
x
2
log 8=
;
x
2
5
log
2
=
0.25
*
x
2
log 8=
ta có hệ
y
x
2
log 8
3 3


=


=


0.25
Giải hệ này ta được x = 256 (thỏa điều kiện x > 0)
y = 1
0.25
*
x
2
5
log
2
=
thì
y
3 8= −
, phương trình này vô nghiệm.
0.25
Nghiệm của hệ là : (256 ; 1) 0.25
5a
x x x
m m16 (2 1).12 ( 1).9 0+ − + + =
(1)
x x
m m
16 4

(1) ( ) (2 1).( ) 1 0
9 3
⇔ + − + + =
đặt
x
t
4
( )
3
=
( t>0) , ta được phương trình t
2
+ (2m–1)t +m +1=0 (2)
t t t m
2
(2) 1 (2 1)⇔ − + − = +

t t
m
t
2
1
2 1
− + −
⇔ =
+
(3) (do 2t+1
0≠
với mọi t > 0 ).
Phương trình (1) có 2 nghiệm x

1
, x
2
thỏa x
1
< 0 < x
2
khi và chỉ khi phương trình
(3) có 2 nghiệm t
1
, t
2
thỏa 0 < t
1
< 1< t
2
0.25
Xét hàm số
t t
f t
t
2
1
( )
2 1
− + −
=
+
trên khoảng
(0; )+∞

t t
f t
t
2
'
2
2 2 3
( )
(2 1)
− − +
=
+

t
f t
t
'
1 7
0
2
( ) 0
1 7
2

+
= <

−

= ⇔


−
=

 −

0.25
Bảng biến thiên :

-
∞
-
1
3
-1
-
+
0
+
∞
1
7-1
2
0
f(t)
f'(t)
t

0.25
Phương trình (3) có 2 nghiệm t

1
, t
2
thỏa 0< t
1
<1< t
2
khi và chỉ khi đường thẳng y
= m cắt đồ thị hàm số f(t) tại hai điểm có hoành độ t
1
, t
2
thỏa
0< t
1
<1< t
2
. Căn cứ vào bảng ta có –1 < m <
1
3
−
0.25
4b 4.1
x x2 2
3 8.3 1 0
+
+ − =
(1)
x x2
(1) 9.(3 ) 8.3 1 0⇔ + − =

0.25
4

x
x
3 1
1
3
9

= −

⇔

=


0.25

x 2
3 3
−
⇔ =
0.25

x 2⇔ = −
0.25
4.2
x x
5 5 5

log (3 11) log ( 27) 3 log 8− + − = +
(2)
Điều kiện : x > 27 0.25
x x
2 3
5 5
(2) log (3 92 297) log (5 .8)⇔ − + =
0.25

⇔
x x
2
3 92 703 0− − =
0.25
x
x
37
19
3

=

⇔
−

=



x

19
3
−
=
không thỏa điều kiện ; x =37 là nghiệm của pt
0.25
5b
x x x
x x x x
2 2 5 2
2 2 2 2
2 .log 3.2 .log 2 log 12log 32 0
+ +
− + + − + >
(3)
Điều kiện x > 0
x x x
x x x x
2 2
2 2 2 2
(3) 2 .log 12.2 .log 32.2 log 12 log 32 0⇔ − + + − + >
0.25

x
x x
2
2 2
(2 1)(log 12.log 32) 0⇔ + − + >

x x

2
2 2
(log 12.log 32) 0⇔ − + >
(vì 2
x
+1 >0 với mọi x )
0.25

x
x
x x
2
2
log 4
16
log 8 256

<

<
⇔ ⇔


> >




0.25
Nghiệm của bpt là 0< x< 16 ; x > 256 0.25

5