sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

1.ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Bối cảnh:
Năm học 2013-2014 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “ Học
tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “ Hai không”; “
Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm
học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây
dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực ". Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã
khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy
học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng
phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thơng tin vào q trình dạy học ". Do đó
trong q trình dạy học địi hỏi các thầy cơ giáo phải tích cực học tập; khơng ngừng
nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học,
sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học
tập cho các em.
1.2 Lý do chọn đề tài:
Các vấn đề liên quan tới dãy số là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích
tốn học. Song khái niệm dãy số học sinh mới chỉ được làm quen trong chương trình
tốn lớp 11 phần mở đầu của Giải tích tốn học. Các dạng toán liên quan tới nội
dung này thường là khó với các em.
Qua thực tế giảng dạy chương trình chuyên toán lớp 11 những năm qua, cũng
như việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy một dạng toán
khá cơ bản về dãy số là bài tốn tìm số hạng tổng qt. Lý thuyết đại số và các bài
toán về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của giải tích tốn
học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi gần
như là bài toán được đề cập tới đầu tiên. Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác
nhau bài toán này thực sự không phải là dễ với học sinh.
Xuất phát từ các lí do trên tơi chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định
công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số ”. Qua nội dung
các ví dụ trong đề tài nhằm giúp các em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần nào
đáp ứng được việc học chuyên đề lớp 11 chun tốn cũng như việc ơn thi học sinh

giỏi các cấp.
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu:

1


Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng dạy
từ trước đến nay và hiện nay là lớp 11A1, 11A2.
Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương III: Dãy số . Cấp số cộng và cấp
số nhân” sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 ban nâng cao.
1.4 Mục đích nghiên cứu:
Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh cịn chưa quen với
tính tư duy trừu tượng của nó, nên tơi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những
phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những
vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần
chất lượng giảng dạy học nói chung và mơn Đại số và Giải tích 11 nói riêng.
1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, khơng
áp đặt hoặc dập khn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải
quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.

2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Cơ sở lý luận:
a) Phương pháp quy nạp toán học
b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
* Dãy số ( un ) gọi là dãy số tăng nếu un < un+1 ,

∀n ∈ ¥ *

*
* Dãy số ( un ) gọi là dãy số giảm nếu un > un+1 , ∀n ∈ ¥
*
Vậy: Nếu un+1 − un > 0, ∀n ∈ ¥ suy ra ( un ) là dãy số tăng
*
Nếu un+1 − un < 0, ∀n ∈ ¥ suy ra ( un ) là dãy số giảm
*
* Nếu tồn tại số M sao cho un ≤ M , ∀n ∈ ¥ thì ( un ) bị chặn trên
*
* Nếu tồn tại số m sao cho un ≥ m , ∀n ∈ ¥ thì ( un ) bị chặn dưới
* Nếu dãy số ( un ) bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn

c) Cấp số cộng
* Dãy số ( un ) là cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d với ∀n ∈ ¥ * , trong đó d là số
khơng đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nếu dãy số ( un ) là cấp số cộng thì un = u1 + ( n − 1) d
* Nếu dãy số ( un ) là cấp số cộng thì tổng
2


S n = u1 + u2 + ... + un =

n
( u1 + un )
2

d) Cấp số nhân
* Dãy số ( un ) là cấp số nhân ⇔ un+1 = un .q với ∀n ∈ ¥ * , trong đó q là số
không đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
n−1

* Nếu dãy số ( un ) là cấp số nhân thì un = u1.q
* Nếu dãy số ( un ) là cấp số nhân vơi q ≠ 1, q ≠ 0 thì tổng

1 − qn
S n = u1 + u2 + ... + un = u1.
1− q
e) Một số đinh lí về giới hạn
- Nếu q < 1 thì lim q n = 0
- Nếu q > 1 thì lim q n = +∞
*
- Nếu các dãy số an ≤ bn ≤ cn , ∀n ∈ ¥ và lim an = lim cn = L thì lim bn = L

- Nếu dãy số ( un ) tăng và bị chặn trên thì ( un ) có giới hạn

Nếu dãy số ( un ) giảm và bị chặn dưới thì ( un ) có giới hạn.
2.2 Nội dung nghiên cu ca ti.
A. Phơng trình sai phân tuyến tính cấp một

Phơng trình sai phân tuyến tính cấp một là phơng trình
sai phân dạng :
u1 = , a.un+1 + b.un = f n , n ∈ N *
trong ®ã a,b, là các hằng số ,a # 0 và f n là biểu thức của n cho
trớc
Dạng 1
Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = , a.un +1 + b .un = 0

(1.1)

*
trong ®ã a, b, α cho tríc n N

Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng a. + b = 0 để tìm Khi đó
un = q n (q là hằng số ) , trong đó q đợc xác định khi biết u1 =
Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết
số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội b»ng 2
3


Bài giải Ta có

un +1 = 2 un , u1 = 1

(1.2)

n
Phơng trình đặc trng có nghiệm = 2 VËy un = c.2 . Tõ u1 = 1 suy
1
n 1
ra c =
Do đó un = 2
2
Dạng 2

Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn

u1 = α , au n+1 + bun = f n , n ∈ N *

(2 .1)

trong ®ã f n là đa thức theo n
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng a. + b = 0 ta tìm ®ỵc λ Ta cã
un = un0 + un* Trong ®ã un0 là nghiệm của phơng trình thuần nhất
*
(1.1) và un là nghiệm riêng tuỳ ý của phơng trình không thuần
0
n
nhất (2.1) VËy un = q.λ q lµ h»ng sè sÏ đợc xác định sau
*
Ta xác định un nh sau :
*
1) Nếu #1 thì un là đa thức cùng bậc víi f n
*
2) NÕu λ =1 th× un = n.g n với g n là đa thức cùng bậc với f n
*
Thay un vào phơng trình, đồng nhất các hệ số ta tính đợc các hệ
*
số của un

Bài toán 2: Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = 2; un +1 = un + 2n, n N *
Bài giải

(2.2)

Phơng trình ®Ỉc trng λ − 1 = 0 cã nghiƯm λ = 1 Ta cã

un = un0 + un* trong ®ã un0 = c.1n = c, un* = n ( an + b ) Thay un* vào phơng
trình (2.2) ta đợc

( n + 1)  a ( n + 1) + b  = n ( an + b ) + 2n

(2.3)

thay n=1và n=2 vào (2.3) ta đợc hệ phơng trình sau
3a + b = 2
a = 1
⇔

5a + b = 4 b = −1
4


Do ®ã un = n ( n − 1)
0
*
Ta cã un = un + un = c + n ( n 1) Vì u1 = 2 nên 2 = c + 1( 1 − 1) ⇔ c = 2
2
VËy un = 2 + n ( n − 1) , hay un = n n + 2

Dạng 3
Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = , a.un +1 + bun = v.àn , n N *

(3.1)

trong đó f n là đa thức theo n
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng a. + b = 0 ta tìm đợc λ Ta cã
un = un0 + un* Trong ®ã un0 = c. n , c là hằng số cha đợc xác định , un* đợc xác định nh sau :
1) Nếu # à
2) Nếu = à

*
n
thì un = A.à
*
n
thì un = A.n.à

*
Thay un vào phơng trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính đợc
*
0
*
các hệ số của un . BiÕt u1 , tõ hÖ thøc un = un + un , tính đợc c

Bài toán 3: Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = 1; un +1 = 3.u n + 2 n , n ∈ N *
Bµi giải

(3.2)

Phơng trình đặc trng 3 = 0 có nghiÖm λ = 3 Ta cã

un = un0 + un* trong ®ã un0 = c.3n , un* = a.2n
*
n
Thay un = a.2 vào phơng trình (3.2) , ta thu đợc

a.2n+1 = 3a.2n + 2n ⇔ 2a = 3a + 1 ⇔ a = −1
n
n
n
n
Suy ra un = −2 Do ®ã un = c.3 2n vì u1 = 1 nên c=1 Vậy un = 3 2

Dạng 4
Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn

u1 = α , a.un +1 + bun = f1n + f 2 n , n ∈ N *

(4.1)

n
Trong đó f1n là đa thức theo n và f 2 n = v.à

Phơng pháp giải
5


0
*
*

0
Ta cã un = un + u1n + u2 n Trong đó un là nghiệm tổng quát của ph*
ơng trình thuần nhất aun+1 + bun = 0 , un là một nghiệm riêng của
*
phơng trình không thuần nhất a.un+1 + b.un = f1n , u2n là nghiệm riêng

bất kỳ của phơng trình không thuần nhất a.un+1 + b.un = f 2 n
Bài toán 4: Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = 1; un +1 = 2un + n 2 + 3.2n , n N *
Bài giải

(4.2)

Phơng trình đặc trng λ − 2 = 0 cã nghiÖm λ = 2 Ta cã

un = un0 + u1*n + u2*n trong ®ã un0 = c.2n , un* = a.n 2 + b.n + c , u2*n = An.2n
*
2
Thay un vào phơng trình un+1 = 2.un + n , ta đợc

a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 2an 2 + 2bn + 2c + n 2
2

Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình
2a − c = 1
 a = −1


⇔ b = −2

a − b − c = 4
2a + 2b + c = −9 c = −3


*
2
*
n
VËy u1n = − n − 2n 3 thay u2n vào phơng trình un+1 = 2.un + 3.2 Ta đợc

A ( n + 1) 2n+1 = 2 An.2 n + 3.2n ⇔ 2 A ( n + 1) = 2 An + 3 ⇔ A =

3
2

VËy
3
u2*n = n.2n = 3n.2n −1
2
n
2
n −1
Do ®ã un = c.2 + ( −n − 2n − 3) + 3n.2 . Ta cã u1 = 1 nªn

1 = 2c − 2 + 3 ⇔ c = 0 VËy un = 3n.2n1 n 2 2n 3
B. Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai là phơng trình sai
phân dạng
u1 = , u2 = β , a.un+1 + bun + c.un−1 = f n , n ∈ N *
6

trong đó a,b,c, , là các hằng số , a # 0 vµ f n lµ biĨu thøc của n
cho trớc
(NX: Phơng trình đặc trng của phơng trình sai phân tuyến
tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội
dung của đề tài chỉ dừng lại trong trờng số thực , tức là chỉ xét
nghiệm thực )
Dạng 1
Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = , u2 = β , aun +1 + bun + c.u n 1 = 0, n N *

(5.1)

Phơng pháp giải
2
Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = 0

tìm Khi đó

n
n
1) Nếu 1 , 2 là hai nghiệm thực khác nhau thì un = A.1 + B.2 ,

trong đó A và B đợc xác định khi biÕt u1 , u2
n
2) NÕu λ1 , λ2 lµ hai nghiƯm kÐp λ1 = λ2 = λ th× un = ( A + Bn ) . ,

trong đó A và B đợc xác định khi biết u1 , u2

Bài toán 5: Tìm un thoả mÃn điều kiện sau
u0 = 1, u1 = 16, un + 2 = 8.un+1 − 16.un
Bµi giải

(5.1)

Phơng trình đặc trng 2 8 + 16 = 0 cã nghiÖm kÐp

λ=4
Ta cã
un = ( A + B.n ) .4 n

(5.2)

Cho n=0 , n=1 thay vµo (5.2) ta thu đợc hệ phơng trình
u0 = 1 = A
A =1
⇔

u1 = ( 1 + B ) .4 = 16  B = 3
n
VËy un = ( 1 + 3n ) .4

Dạng 2
Tìm un thoả mÃn điều kiện
7


u1 = α , u2 = β , a.u n+1 + b.un + c.u n−1 = f n , n 2, (6.1)
trong đó a # 0, f n là đa thức theo n cho trớc

Phơng pháp giải
2
Giải phơng trình ®Ỉc trng a.λ + b.λ + c = 0 ®Ĩ tìm . Khi
0
*
0
đó ta có un = un + un , trong đó un là nghiệm tổng quát của phơng
*
trình thuần nhất a.un+1 + b.un + c.un 1 = 0 và un là một nghiệm tuỳ ý của

phơng trình
a.un+1 + b.un + c.un −1 = f n
0
Theo d¹ng 1 ta tìm đợc un , trong đó hệ số A, B cha đợc xác
*
định , un đợc xác định nh sau :
*
1) Nếu #1 thì un là đa thức cïng bËc víi f n
*
2) NÕu λ = 1 lµ nghiệm đơn thì un = n.g n , g n là đa thức cùng bậc

với f n
*
2
3) Nếu = 1 là nghiệm kép thì un = n. g n , g n là đa thức cùng bậc

với f n ,
*
Thay un vào phơng trình , đồng nhất các hệ số, tính đợc các hệ
*

0
*
số của un . Biết u1 , u2 tõ hÖ thøc un = un + un tính đợc A, B

Bài toán 6: Tìm un thoả mÃn ®iỊu kiƯn

u1 = 1; u2 = 0, un +1 − 2un + un−1 = n + 1, n ≥ 2
Bµi giải

(6.2)

Phơng trình đặc trng 2 2 + 1 = 0 cã nghiÖm kÐp

0
n
*
2
λ = 1 Ta cã un = un0 + un* trong ®ã un = ( A + B.n ) .1 = A + Bn, un = n ( a.n + b )
*
Thay un vào phơng trình (6,2) , ta đợc

( n + 1)

2

a ( n + 1) + b  − 2n 2 ( a.n + b ) + ( n − 1)  a ( n − 1) + b  = n + 1
2

Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình

8


1

a = 6
4 ( 2a + b ) − 2 ( a + b ) = 2
⇔

9
3
a
+
b
−
8
2
a
+
b
+
a
+
b
=
3
(
)
(
)

(
)
b = 1


2
n 1
un* = n 2 + ữ
6 2

Vậy
Do đó

n 1
un = un0 + un* = A + Bn + n 2 + ữ
6 2
Mt khác
1 1

A
+
B
+
+ =1
A = 4

6 2

11
1
1


A + 2 B + 4  + ÷ = 0  B = 3
3 2

VËy
un = 4 −

11
n 1
n + n2 + ữ
3
6 2

Dạng 3
Tìm un thoả mÃn ®iỊu kiƯn

u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = d .µ n , n 2

(7.1)

Phơng pháp giải
2
Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = 0 để tìm Khi ®ã
0
*
0

ta cã un = un + un , trong ®ã un đợc xác định nh dạng 1 và hệ số A và
*
B cha đợc xác định, un đợc xác định nh sau
*
n
1) Nếu # à thì un = k .à
*
n
2) Nếu = à là nghiệm đơn thì un = k .nµ
*
2
n
3) NÕu λ = µ lµ nghiƯm kÐp thì un = k .n. à

9


*
Thay un vào phơng trình , dùng phơng pháp đồng nhất thức các
0
*
hệ số sẽ tính đợc hệ số k . BiÕt u1 , u2 tõ hÖ thøc un = un + un tính đợc

A,B
Bài toán 7: Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn

u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un + un−1 = 3.2n , n ≥ 2
Bµi giải

Phơng trình đặc trng 2 2 + 1 = 0 cã nghiÖm kÐp

0
n
*
n
λ = 1 Ta cã un = un0 + u1*n trong ®ã un = ( A + B.n ) .1 = A + Bn, un = k .2
*
Thay un vào phơng trình , ta đợc

k .2n+1 − 2k .2n + k .2n −1 = 3.2 n ⇔ k = 6
*
n
n +1
0
*
n +1
VËy un = 6.2 = 3.2 . Do ®ã un = un + un = A + bn + 3.2 . (1) Thay

u1 = 1, u2 = 0 vào phơng trình (1) ta thu đợc
1 = A + B + 12
A = 2
⇔

0 = A + 2 B + 24  B = −13
VËy
un = 2 13n + 3.2n +1
Dạng 4
Tìm un thoả mÃn ®iỊu kiƯn

u1 = α , u2 = β , au n+1 + bun + c.un −1 = f n + g n , n ≥ 2 (8.1)

n
trong ®ã a # 0 , f n là đa thức theo n và g n = v.à

Phơng pháp giải
0
*
*
0
Ta có un = un + u1n + u2 n trong đó un là nghiệm tổng quát của ph*
ơng trình thuần nhất aun+1 + bun + c.un 1 = 0 , u1n là nghiệm riêng tùy
*
ý của phơng trình không thuần nhất aun +1 + bun + c.u n −1 = f n u2n lµ

nghiƯm riêng tùy ý của phơng trình không thuần nhất

aun +1 + bun + c.un1 = g n
Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )
Tìm un thoả mÃn điều kiện
10


u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un − 3un −1 = n + 2 n , n 2 (8.2)
Phơng trình đặc trng 2 2 3 = 0 có nghiệm

Bài giải

1 = 1, 2 = 3 Ta cã
un = un0 + u1*n + u2*n
trong ®ã
un0 = A ( −1) + B.3n , u1*n = a + bn, u2*n = k .2n

n

*
Thay u1n vào phơng tr×nh un+1 − 2un − 3un−1 = n , ta ®ỵc

a ( n + 1) + b − 2 ( an + b ) − 3  a ( n − 1) + b  = n ⇔ ( 4a + 1) n − 4 ( a − b ) = 0
Vậy
a=b=

1
4

Do đó
un* =

1
( n + 1)
4

n
*
Thay u2n vào phơng tr×nh un+1 − 2un − 3un −1 = 2 , ta đợc

k .2n+1 2.k .2n = 3.k .2n 1 = 2n ⇔ k = −

2
3

Do ®ã
2

1
u2*n = − .2n = − .2n+1
3
3
VËy
un = un0 + u1*n + u2*n = A ( −1) + B.3n −
n

1
1
( n + 1) − .2n+1 (8.3)
4
3

Ta thay u1 = 1, u2 = 0 vµo (8.3) ta đợc hệ phơng trình
1 4
61


A + 3B − 2 − 3 = 1  A = − 48
⇔

3
8
 A + 9B − − = 0
 B = 25


4 3
48

VËy

11


un = −

61
25
1
1
n
.( −1) + .3n − .( n + 1) .2 n+1
48
48
4
3

C. Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba là phơng trình sai
phân dạng
u1 = , u2 = , u3 = γ , a.un + 2 + bun+1 + c.un + d .un−1 = f n , n ≥ 2 (a.1)
trong ®ã a,b,c, d, α , β , là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức
của n cho trớc
(NX: Phơng trình đặc trng của phơng trình sai phân tuyến
tính cấp ba luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung
của đề tài chỉ dừng lại trong trờng số thực , tức là chỉ xét
nghiệm thực )
Phơng pháp giải
Nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyến tính cấp

0
*
0
ba có dạng un = un + un , trong đó un là nghiệm tổng quát của phơng
*
trình tuyến tính thuần nhất, un là một nghiệm riêng của phơng

trình tuyến tính không thuần nhất
Xét phơng trình đặc trng
a 3 + b 2 + c + d = 0

(a.2)

1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phơng trình sai
phân tuyến tính cấp ba thn nhÊt
a) NÕu (a.2) cã ba nghiƯm thùc λ1 , 2 , 3 phân biệt thì
un0 = a1 .1n + a2 .λ2n + a3 .λ3n
b) NÕu (a.2) cã mét nghiệm thực bội 2 và một nghiệm
đơn (1 = 2 # λ3 ) th×
un0 = (a1 + a2 n)λ1n + a3 .λ3n
c) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi 3 (λ1 = λ2 = λ3 ) th×
12


un0 = (a1 + a2 n + a3 n 2 )1n
*
2) Xác định nghiệm riêng un của phơng trình (a.1)

ã Xét f n là đa thức của n ta có
*

a) Nếu #1 thì un là đa thức cùng bậc với f n
*
b) Nếu = 1 (nghiệm đơn ) thì un = n.g n , g n là đa thøc

cïng bËc víi f n
*
2
c) NÕu λ = 1 (béi 2 ) th× un = n .g n g n là đa thức cùng bậc với

fn
*
3
d) Nếu = 1 (béi 3) th× un = n .g n g n là đa thức cùng bậc với

fn
ã Xét f n = v.à n ta có
*
n
a) Nếu # à thì un = k .n.à
*
n
b) Nếu = à (nghiệm đơn ) thì un = k .à
*
s
n
c) Nếu = à (nghiệm bội s ) thì un = k .n .à

Bài toán 9:

T×m d·y sè (un ) biÕt r»ng

u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un−1 − 11.un− 2 + 5.un 3 , n 4
Bài giải

(9.1)

Xét phơng trình đặc trng

3 7 2 + 11 5 = 0
cã 3 nghiÖm thùc

λ1 = λ2 = 1, λ3 = 5
n
VËy un = c1 + c2 n + c3 5

Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phơng trình tạo thành, ta đợc
c1 =

1
3
1
, c2 = , c3 =
16
4
16

VËy un = −

1 3
1

+ ( n − 1) + .5n 1
16 4
16

D. Bài tập áp dụng
13


Cho dÃy số (an ) đợc xác định theo công thức sau

Bài toán 10:

a1 = 0; a2 = 1, an +1 = 2an − an−1 + 1, n ≥ 2

(10.1)

Chøng minh sè A = 4.an .an+ 2 + 1 lµ số chính phơng
Bài giải Ta có

an+1 = 2an an1 + 1

(10.2)

Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta đợc
an = 2an −1 − an −2 + 1

(10.3)

Trõ c¸c vÕ của (10.1) cho (10.2) ta thu đợc
an+1 3an + 3an1 an 2 = 0

(10.4)

Phơng trình đặc trng của (10.4) lµ

λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = 0
cã nghiƯm λ = 1 lµ nghiƯm béi bËc ba
Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình (10.4) là
an = (c1 + c2 n + c3 n 2 )1n
Cho n=0, n=1, n=2 ta đợc
0 = c1
c1 = 0



1 = c2 + c2 + c3
1
c
=
c
=
3
3 = c + 2c + 4c
 2
2
1
2
3

Ta thu đợc an =

n ( n + 1)
và từ ®ã ta cã
2

A = 4an .an + 2 + 1 = ( n 2 + 3n + 1)

2

Điều này chứng tỏ A là một số chính phơng
Bài toán 11:

Cho dÃy số ( xn ) đợc xác định theo công thức sau

x1 = 7; x2 = 50, xn +1 = 4 xn + 5 xn −1 − 1975 ( n ≥ 2 )

(11.1)

Chứng minh rằng x1996 M1997
Bài giải Xét dÃy số ( yn ) víi y1 = 7, y2 = 50 vµ

yn +1 = 4 yn + 5 yn −1 + 22 ( n ≥ 2 )

(11.2)

DÔ thÊy yn ≡ xn ( mod1997 ) . Do đó chỉ cần chứng minh
14


y1996 0 ( mod1997 )

Đặt zn = 4 yn + 11 suy ra z1 = 39, z2 = 211 . NhËn xÐt r»ng
zn +1 = 4 yn+1 + 11 = 16 yn + 20 yn −1 + 99 = 4 zn + 20 yn−1 + 55

(11.3)

Ta l¹i cã
zn −1 = 4 yn −1 + 11 suy ra 20 yn−1 = 5 zn1 55
Thế (11.4) vào (11.3) ta đợc
zn +1 = 4 zn + 5 zn−1
Suy ra
zn +1 − 4 zn 5 zn1 = 0

(11.5)

Phơng trình đặc trng cđa (11.5) lµ

λ 2 − 4λ − 5 = 0 cã nghiƯm λ1 = −1, λ2 = 5
NghiƯm tỉng qu¸t cđa (11.1) lµ
zn = ( −1) α + 5n β
n

Ta cã
8

α=

 z1 = −α + 5β = 39

3
⇔


 z2 = α + 25β = 211  β = 25

3
Do ®ã ta nhận đợc
8
25
n
zn = .( 1) + .5n
3
3

(11.6)

Từ (11.6) ta suy ra
z1996

8 + 25.51996
=
3

Ta cÇn chøng minh
z1996 ≡ 11( mod1997 )
Do
51996 − 1 M1997
 1996
5 − 1 M3
15

(11.4)

1996
Nên 5 1M3.1997 . Từ đó , ta có 51996 = 3n.1997 + 1 , và khi đó

8 25 ( 3n.1997 + 1)
z1996 = +
= 25.n.1997 + 11
3
3
VËy z1996 11( mod 1997 )
E. Bài tập tơng tự
Bài 1: Xác định công thức của dÃy số ( xn ) thoả mÃn các điều
kiện sau
1) x1 = 11, xn +1 = 10.xn + 1 − 9n , ∀n ∈ N
2) x0 = 2, x1 = −8, xn+ 2 = −8.xn+1 + 9 xn
2
3) x0 = 1, x1 = 3, 2. xn+ 2 − 5 xn+1 + 2 xn = −n − 2n + 3
2
4) x0 = 0, x1 = 1, xn +1 − 4 xn + 4 xn −1 = n − 6n + 5

5) x1 = 1, x2 = 2, xn + 2 − 5 xn+1 + 6 xn = 4
Bài 2: Cho dÃy số (an ) thoả mÃn ®iỊu kiƯn

an = an −1 + 2.an −2

a1 = a2 = 1

n∈ N

( n ≥ 3)

Chøng minh r»ng an lµ một số lẻ
Bài 3: Cho dÃy số (bn ) xác ®Þnh bëi

bn = 2.bn −1 + bn −2

b1 = 1, b2 = 2

n∈ N

( n ≥ 3)
n

5
Chøng minh r»ng bn ữ , n N
2
Bài 4:

Cho dÃy số (un ) thoả mÃn điều kiện

un + 2 2.un+1 + un = 2
n∈ N

u
=
1,
u
=
0

 0
1

( n ≥ 2)

Chøng minh rằng un là một số chính phơng

16


Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 4 Toán 11 Lần thứ VIII
2002
NXB giáo dục )
Cho dÃy sè (un ) tho¶ m·n nh sau
un ∈ Z + , ∀∈ N

u0 = 1, u1 = 9
u = 10.u − u
∀n ∈ N , n ≥ 2
n −1
n−2
 n
Chøng minh :

∀k ∈ N , k ≥ 1

2
2
1) uk + uk −1 − 10uk .uk −1 = −8
2

2) 5.uk − uk −1 M4 va 3.uk − 1M2

( MkÝ hiÖu chia hết )
Bài 6:

Cho dÃy số (un ) thoả mÃn điều kiÖn

un + 2 = 2un +1 + 2un − un −1 , n ∈ N *
Chøng minh r»ng tån t¹i các hằng số nguyên M sao cho các số
M + 4.an+1an đều là số chính phơng
Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356)
Cho dÃy số (ai ) ( i=1,2,3,4)đợc xác định bởi

a1 = 1, a2 = 1, an = −an −1 − 2an − 2 , n = 3,4,...
Tính giá trị của biểu thức
2
2
A = 2.a2006
+ a2006 .a2007 + a2007

Bài 8:

Cho dÃy số nguyên dơng (un ) thoả mÃn điều kiện

u0 = 20, u1 = 100, un + 2 = 4.un +1 + 5.un + 20, n N *
Tìm số nguyên dơng h bé nhất có tÝnh chÊt
an+ h − an M1998 , n ∈ N

F. Xây dựng bài toán về dÃy số truy hồi
17

Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công
thức tổng quát của một lớp d·y sè cã tÝnh chÊt truy håi mét c¸ch
chÝnh x¸c nhất, giúp các Thầy cô kiểm tra kết quả bài toán theo
cách giải khác. Bên cạnh đó ta có thể tiến hành xây dựng thêm các
bài toán mới về dÃy số.
Dới đây là một số ví dụ xây dựng thêm các bài toán về
dÃy số có tính quy luật chỉ mang tính chất tham khảo. Tác
giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu và phát triển rộng hơn các bài
toán khác về dÃy số.
Ví dụ 1:

Xuất phát từ phơng tr×nh

( λ − 1) ( λ + 9 ) = 0

2

+ 8 9 = 0

(12.1)

phơng trình (12.1) có thể đợc coi là phơng trình đặc trng của
một dÃy số có quy luật. Chẳng hạn dÃy số (un ) đợc xác định theo
công thức sau
un+ 2 + 8.un+1 + 9.un = 0
cã thÓ cho u0 = 2, u1 = 8 . Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau
Bài toán 1: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau
xn + 2 + 8.xn+1 + 9.xn = 0


 x0 = 2, x1 = −8

n∈ N

Xác định công thức của xn
Bài toán 2: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau
xn + 2 + 8.xn+1 + 9.xn = 0

 x0 = 2, x1 = 8

n N

Tính giá trị của biểu thức A = x2006 − 5.x2007 + 4
VÝ dơ 2:

Xt ph¸t tõ phơng trình

( 1)

2

= 0 2 2λ + 1 = 0

18

(12.2)


phơng trình (12.2) có thể đợc coi là phơng trình đặc trng của

một dÃy số có quy luật. Chẳng hạn dÃy số (un ) đợc xác định theo
công thức sau
un+ 2 − 2.un +1 + un = 2
cã thÓ cho u0 = 1, u1 = 0 khi ®ã vËn dơng thuật toán trên xác định
đợc công thức tổng quát của d·y sè
xn = ( n − 1)

2

Ta cã thĨ ph¸t biểu thành các bài toán sau
Bài toán 1: Xác định công thức của dÃy số ( xn ) thoả mÃn các
điều kiện sau
xn + 2 2 xn+1 + xn = 2
n N

x
=
1,
x
=
0
0
1
Bài toán 2: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau
xn + 2 − 2 xn+1 + xn = 2
n∈ N

 x0 = 1, x1 = 0
Chøng minh r»ng xn lµ mét sè chính phơng
Bài toán 3: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau

xn + 2 2 xn+1 + xn = 2
n N

x
=
1,
x
=
0
0
1
Xác định số tự nhiên n sao cho
xn+1 + xn = 22685
2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
Để thực hiện đề tài này tơi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này,
nghiên cứu lời giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với từng nội dung
để làm nổi bật được nội dung cần phân tích.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số bài
tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có
được sự kết luận tồn diện nên giữa học kì II năm học 2013 – 2014 khi học sinh đã
học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đã cho các lớp 11A1,
19


11A2 làm bài kiểm tra 45 phút với đề bài tương tự phần khảo sát thực tiễn chỉ thay
đổi về mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết quả thu được.
Trong đó lớp 11A1 là lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài cịn
lớp 11A2 là lớp đối chứng khơng tham gia trong việc triển khai đề tài.
Sau khi chấm bài kiểm tra tơi thu kết quả với mức điểm được tính phần trăm

như sau:
Lớp thực nghiệm 11A1(42 học sinh)
Lớp đối chứng 11A2 (48 học sinh)

Điểm
Lớp
Lớp
11A1
Lớp
11A2

1 1 – 2,5 3 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,59 9– 10
0%

2%

18%

20%

60%

4%

28%

52%

14%

2%

Căn cứ vào kết quả kiểm tra. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của lớp thực
nghiệm và lớp cịn lại khơng được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung
đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 11 có cái nhìn bao qt
về cách giải các bài toán về dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng
chun giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các bài toán về dãy số đồng thời góp
phần làm cho học sinh thấy hứng thú hơn nữa với mơn Tốn vì trong đó thường có
các phép thế tuyệt đẹp các suy luận rất rất logic.

20


3. KẾT LUẬN
3.1. Những bài học kinh nghiệm:
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với mơn học này thì
người giáo viên phải có một số kỹ năng sau:
* Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
* Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, suy luận logíc.
* Kỹ năng trình bày lời giải.
3.2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học sinh
tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói riêng và
kết quả giáo dục của nhà trường nói chung.
3.3 Khả năng ứng dụng, triển khai:
Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm nối bậc ở phương pháp giảng
dạy đó là phương pháp đặt vấn đề và phận tích hướng dẫn học sinh giải quyết vấn
đề.
3.4 Những kiến nghị, đề xuất:
Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với mơn học, bản thân có kiến nghị với

phịng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung một số tài liệu
tham khảo và thường xuyên tổ chức các buổi thảo luận chuyên đề toán học nhằm
giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn.

Tiên Lữ, ngày 25 tháng 03 năm 2014
Người Viết

Đào Hữu Trang

21


Tài liệu tham khảo
1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phơng pháp sai phân. Nhà
xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004
2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 4 Môn Toán Lần thứ V, Nhà
xuất bản Giáo Dục
3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 ,
Nhà xuất bản Giáo Dục
4) Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 ,

Nhà xuất bản Giáo Dục

5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán
PTTH Đại số và giải tích 11,

Nhà xuất bản Giáo Dục

6) Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dÃy số , Nhà
xuất bản Giáo Dục - 2003

22