Toán 12 KSHS 1 Bai toan lien quan hàm số www.MATHVN.com

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (181.32 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 
DẠNG 1. BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

y = f(x) và y = g(x) 
PHƯƠNG PHÁP:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)

Số giao điểm của 2 đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình (*)

BÀI 1. Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị hàm số sau.

2
2

−
−
+
−
=

x
x
x

y và y=2x2 −x+1

ĐS: A(0; 1) và B(1; 2)

2. y= x3 −2x2 +2x+2 và y= 1−x

BÀI 2. Tìm m để đồ thị hàm số y=x3 +3x2 +mx+1 cắt đường thẳng y = 1 – 2x 
tại ba điểm phân biệt.

ĐS: \{0}

2
3
;
2
3







 −
∈

m

BÀI 3*. Cho hàm số

y

=

x

−

3 ax

+

4 a

3 (Ca) với a là tham số
1. Tìm a để các điểm CĐ, CT của đồ thị (Ca) đối xứng

nhau qua đường thẳng y = x ĐS: a = ± 22

2. Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị (Ca) tại ba

điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC ĐS: a= 0; a = ± 22

BÀI 4. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số

2
3
6

+
+
−
=

x

m
x
x

y và

đường thẳng y =mx KL: nếu m = 1 hoặc m = -16/3 thì có 1 giao điểm 
Nếu m

≠

1 và m

≠

-16/3 thì có 2 giao điểm pb

BÀI 5. Cho hàm số

1
1

−
+
−
=

x
x
x

y có đồ thị là (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2. Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho AB = 12 hoặc m = 5 ĐS: m = -3

BÀI 6. Cho hàm số

2
9
2

−
+
−
=

x
x
x

y có đồ thị là (C).

1. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = k tại hai điểm phân

biệt với hoành độ dương. ĐS: k > 8

2. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = kx + 10 – 5k tại

hai điểm phân biệt nhận I(5; 10) làm trung điểm. ĐS: k =−32

BÀI 7. Cho hàm số

2
1
2

+
+
=

x
x

y có đồ thị là (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2. Xác định m để đường thẳng y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB ngắn nhất

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

DẠNG 2. BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH: 
f(x) = m (*)

PHƯƠNG PHÁP:

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và
đường thẳng y = m.

Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và biện luận số giao điểm với đường thẳng y = m

BÀI 1. Cho hàm số y= x3+3x2 −2 có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

m
x

x3+3 2 −2=

ĐS: m>2 hoặc m<-2: pt có 1 n0

m=2 hoặc m=-2: pt có 2 n0.

-2<m<2: pt có 3 n0 phân biệt 
3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình

0
3 2

3 − =

−x x

a

ĐS: a>4 hoặc a<-4: pt có 1 n0

a=4 hoặc a=-4: pt có 2 n0.

-4<a<4: pt có 3 n0 phân biệt 
4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình

2
3
2
3

3x k k

x + = +

DẠNG 3. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
PHƯƠNG PHÁP:

Giả sử cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).

1. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số y= f(x) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox, qua trục Ox
+ Bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox

(Đồ thị hàm số y= f(x) luôn nằm trên trục hoành ) 
2. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số y= f

( )

x như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (bỏ phần đ/t nằm bên trái Oy)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy, qua trục Oy

(Đồ thị hàm số chẵn y= f

( )

x luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng )

3. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (bỏ phần nằm dưới trục Ox)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox, qua trục Ox

(Đồ thị hàm số y = f(x) luôn nhận trục Ox làm trục đối xứng

vì M(x0; y0) và M’(x0; y0) cùng thuộc đồ thị h/s ) 
4. Từ đồ thị hàm số y = f(x) = u(x).v(x) suy ra đồ thị hàm số y = u(x)v(x)như sau:

Ta viết:





<
−

≥
=

0
u(x)

khi

)
(
).
(

0
u(x)

khi

)
(
).
(
)
(
)
(

x
v
x
u

x
v
x
u
x
v
x
u
y

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) ≥ 0)

+ Lấy đối xứng qua trục Ox, phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) <0)

BÀI 1. Cho hàm số y= x3−3x2 có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: −x3 + x2 =m

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 3a= x3−3x2

BÀI 2. Cho hàm số

3
2

−
−
−
=

x
x
x

y có đồ thị là (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m

x
x

x =

−
−
−

3
2

3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: a

x
x
x

3
3

=
−

−
−

4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:

2
3

k
x

x

x =

−
−
−

5. Biện luận theo t số nghiệm của phương trình: t

x
x
x

=
−

−
−

3
2

BÀI 3. Cho hàm số

2
)
2
)(
1
(

−
+
−
=

x
x
x

y có đồ thị là (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2. Tìm k để đường thẳng y = kx – 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương

3. Tìm m để phương trình: m

x
x
x

=
−

+
−

2
)
2
(
1

có đúng 3 nghiệm phân biệt

BÀI 4. Cho hàm số

1
3
2

−
+
−
=

x
x
x

y có đồ thị là (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: ( 1)

2
1
3

2 − + = + −

x
k
x

x

3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: −x2 +2x+4mx−1 =3

BÀI 5. [ĐH.2006.A] Cho hàm số y =2x3 −9x2 +12x−4 có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2. Tìm m để phương trình: 2x3 −9x2 +12x= m

có 6 nghiệm phân biệt.

ĐS:4<m<5

BÀI 6. Cho hàm số y=x3 −3x2 +2 có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

1
2

−
=
−
−

x
m
x

x

BÀI 7. Cho hàm số y = x4 −5x2 +4 có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x2 −4(x2 −1) =a−2

BÀI 8. Cho hàm số

1
1

−
−
+
=

x
x
x

y có đồ thị là (C).

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: k

x

x
x

=
−

−
+

1
1

3. Tìm tất cả các giá trị của m để trên đồ thị (C) có hai điểm A(xA; yA) , B(xB; yB)

khác nhau thỏa mãn điều kiện:




=
+

m

y
x

m
y
x

B
B

A
A

BÀI 9. Cho hàm số

2
5
4

−
+
−
=

x
x
x
y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương

trình: x2 −(4+m)x +5+2m=0

ĐS: m<-5/2 hay m= ± 2: có 2 n0.

-5/2<m<-2hay m>2: có 4 n0.

m=-5/2: có 3 n0. -2<m<2: vơ n0.

DẠNG 4. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x)
PHƯƠNG PHÁP:

Áp dụng cơng thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm

M(x0; y0) ta có:

)
)(

(

' 0 0

0 f x x x
y

y− = − hay y− y0 = y'(x0)(x−x0)

Trong đó: M(x0; y0) là tiếp điểm; y0 = f(x0) ; k = f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến

1. Nếu cho hồnh độ x0 thì tính y0 = f(x0) và hệ số góc k = f’(x0)

2. Nếu cho tung độ y0 thì giải pt: f(x) = y0 suy ra hoành độ x = x0 từ đó tính k = f’(x0)
3. Nếu cho hệ số góc k = k0 thì có 2 cách:

Cách 1. Giải pt: f’(x) = k0 ⇒ x = x0 ⇒ y0 = f(x0)

Cách 2. Pt tiếp tuyến có dạng: y = k0x + m (∆) (cần tìm m)

(∆) tiếp xúc với (C) ⇔ hệ pt sau có nghiệm:




=
+
=

0
0

)
(
'

)
(

k
x
f

m
x
k
x
f

⇒ x ?⇒ m ?

4. Nếu cho một điểm N(a; b) thuộc tiếp tuyến thì

Cách 1. Gọi tiếp điểm M(x0;y0). Ta có y0 = f (x0) và y−y0 = f'(x0)(x−x0)
⇒ b− f(x0)= f'(x0)(a−x0)⇒ x0 ⇒PT tiếp tuyến

Cách 2. Đường thẳng đi qua N(a; b) với hệ số góc k có phương tình dạng:

)
(x a
k
b

y− = − ⇔ y=kx−ka+b (∆)

)

(∆ tiếp xúc với (C) ⇔ hệ pt sau có nghiệm:





+
−
=

k
x
f

b
ka
kx
x
f

)
(
'

)
(

⇒ x?⇒ k?

BÀI 1. Cho hàm số y= x4 −4x2 +3có đồ thị là (C)

1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ bằng -1.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hồnh
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng - 8

BÀI 2. Cho hàm số y=−x3+3x2 −4x+2có đồ thị là (C)
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc bằng -1

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó vng góc với đường thẳng y= 3
4
1

x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

biết nó đi qua điểm N(1; -2)? ĐS: y = 2x; y = 2x -4 
BÀI 4. Cho hàm số y= x3−3x2 +2có đồ thị là (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A( ; 2
9

23 − ) ĐS: y = -2; y= 9x-25

y=

27
61
35 +

−

x

BÀI 5. Cho hàm số

2
1

+
−
+
=

x
x
x

y có đồ thị là (C).

1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) vng

góc với tiệm cận xiên ĐS: y= x− +2 2−5

và y= x− −2 2−5
2. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều không đi qua điểm I(-2; -3)

BÀI 6. Cho hàm số

2
4
5

−
+
−
=

x
x
x

y có đồ thị là (C).

1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song

song với đường thẳng y = 3x + 2008. ĐS: và yy= x= x33−−113
2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vng góc với tiệm cận xiên.

BÀI 7. [HVBCVT. 2000] Cho hàm số y= −x3 +3x2 −2 (*)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sơ (*)

2. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ

được một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (*) ĐS: A(1; 0)

BÀI 8. [ĐHGTVT.00] Cho hàm số

a
x

x
a
x
y

+
−
+
+

= 2 2 ( 1) 3 có đồ thị là (Ca).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi a = 2

2. Xác định a để đường tiệm cận xiên của đồ thị (Ca) tiếp xúc với

parabol y = x2 + 5. ĐS: a = -3

BÀI 9. [ĐHKT.00] Cho hàm số y= kx4 +(k−1)x2 +1−2k với k là tham số

1. Xác định k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị ĐS:

)
;
1

[
]
0
;

(−∞ ∪ +∞

∈

k

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi k =
2

1 . Gọi đồ thị khi đó là (C)
3. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm O.

ĐS: y=0; y x

3
3

1
±
=

BÀI 10. Cho hàm số

2
2

−
−
+
=

x
x
x

y có đồ thị là (C).

1. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong

(C) qua đường thẳng y = 2. ĐS: 32 6

−
−
+
−
=

x
x
x
y

2. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C) qua điểm I(1; -2)

BÀI 11. Cho hàm số y= x3 −3xcó đồ thị là (C)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

BÀI 12. [ĐHVinh.00] Cho hàm số y =(m+1)x3 −(2m+1)x−m+1 có đồ thị (Cm).

1. CMR: với mọi m đồ thị (Cm) ln có 3 điểm

cố định thẳng hàng ĐS: A0(-1;1), A1,2(

2
5
5
,
2

1± ±

)

2. Với giá trị nào của m thì trên (Cm) có tiếp tuyến

vng góc với đường thẳng đi qua 3 điểm cố

định ĐS: m < -1 hoặc m > 0

BÀI 13. Cho hàm số y= x4 +mx2 −(m+1) có đồ thị (Cm).

1. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm) ĐS: A1,2(± 1;0)

2. Gọi A là điểm cố định với hoành độ dương của (Cm).

Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị tại A

song song với đường thẳng y = 2x. ĐS: m =1

BÀI 14. Cho hàm số y= x3 −3mx2 +3(m2 −1)x+m có đồ thị (Cm).

1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x=2 ĐS: m=1

2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến

đi qua A(0; 6) ĐS: y = 9x + 6

BÀI 15. Cho hàm số y= x3 +3x2 +mx+1 có đồ thị (Cm).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

2. Chứng minh với mọi m đồ thị (Cm) luôn cắt đồ thị hàm

số y = x3 +2x2+7 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ

tích trung điểm I của đoạn AB.

Quỹ tích:
19
18
4

4 3+ 2 + +

= x x x

y

3. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba

điểm phân biệt C(0; 1) D và E sao cho các tiếp tuyến

tại D và E vng góc với nhau. ĐS: 8

65
9±
=

m

BÀI 16. Cho hàm số

−

+
−
=

x
m
x
x

y có đồ thị là (Cm) (m là tham số khác 0)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại

A, B vng góc với nhau

3. Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kỳ của (Cm) và hai đường tiệm cận

có diện tích nhỏ hơn 2 (đvdt)

BÀI 17. Cho hàm số

2
2

+
+

+
=

x
x
x

y có đồ thị là (C)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d:5x - 9y –4 = 0 
3. Tìm những điểm M trên Oy để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến hai nhánh của (C)

BÀI 18. Cho hàm số y= x3 +3x2 +1 có đồ thị là (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x−13 +3

(

x−1

)

2 +1=a

</div>

Toán 12 KSHS 1 Bai toan lien quan hàm số www.MATHVN.com

<i>y</i>

=

<i>x</i>

−

3

<i>ax</i>

+

4

<i>a</i>

≠

≠

( )

( )

(

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về