Toán 6 Học Sinh GiỏiChuyên đề toán 6 nâng cao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.3 MB, 26 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

- 1 -
Đ 1- Tập hợp. Tập hợp con

I/ Kiến thức cơ bản 
II/ Kiến thức nâng cao. 
III/ Ví dụ:

Đ.2- Tập hợp các số tự nhiên. Ghi số tự nhiên 
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số ngun tố biết tổng của chúng bằng 601 
Đ 3- Phép cộng và phép nhân

I/ Kiến thức cơ bản 
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601 
Đ 4- Phép trừ và phép chia

I/ Kiến thức cơ bản 
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601 
Đ 5- Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

I/ Kiến thức cơ bản 
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số ngun tố biết tổng của chúng bằng 601

Đ6. Thứ tự thực hiện phép tính

I/ Kiến thức cơ bản 
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601 
Đ7 – Tính chất chia hết của một tổng

I/ Kiến thức cơ bản 
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số ngun tố biết tổng của chúng bằng 601 
Đ8 – Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5

I/ Kiến thức cơ bản 
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601

Đ 8 – Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 
I/ Kiến thức cơ bản

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- 2 -
III/ Ví dụ: 1.

Chuyên đề 1: So sánh hai luỹ thừa

1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa 
cùng cơ sốhoặc cùng số mũ.

- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (cơ số lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào 
có số mũ lớn hơn thì sẽ lớn hơn.

- Nếu ai luỹ thừa cùng số mũ (số mũ lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào 
có cơ số lớn hơn thì sẽ lớn hơn.

2. Ngồi cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc 
cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân (a 0) 
Bổ xung kiến thức nâng cao:

1. Luỹ thừa của luỹ thừa: (am)n = am.n
2. Luỹ thừa của một tích: ( a.b)n = anbn .

Ví dụ: 25.55 = (2.5)5 = 105 = 100 000.

3. Luỹ thừa một thương: an :bn = (a:b)n , hay 
:

n
n n a

a b
b

 
   
Ví dụ : 147: 77 = (14 : 7)7 = 27 = 128

4. Luỹ thừa tầng: mn  mn

a a Ví dụ : 23  23 8

2 2 2 256

Bài 1: So sánh các số sau:

a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257
c) 536 và 1124 d) 32n và 23n
Bài 2: So sánh các số sau:

a) 523 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 2115 và 275.498. 
Bài 3: So sánh các số sau.

a) 19920 và 200315
b) 339 và 1121

Bài 4: So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn? 
a) 7245 – 7243 và 7244 – 7243

Bài 5. Tìm xN, biết:

a) 16x < 1284 b) 5x.5x+1.5x+2 ≤ 100...0 :218
18 chữ số 0
Bài 6: Cho S = 1 + 2+ 22 + 23 + ... + 29.

So sánh S với 5.28.

Nếu a > b thì an > bn (n > 0)

Nếu m > n thì am > an (a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

- 3 -
Bài 7: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó khơng có

chữ số 0. Hãy so sánh m và 10.98.

Bài 8: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1,2,3 với điều kiện 
mỗi chữ số dùng một và chỉ một lần.

Bài tập bổ sung

Chuyên đề 2:

Chữ số tận cùng của một tích của một luỹ thừa:

I/ Lý thuyết

1. Tìm chữ số tận cùng của một tích.
- Tích các số lẻ là 1 số lẻ.

- Tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận
cùng là 5.

- Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số
chẵn.

2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa .

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất
kỳ (khác 0 ) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó.

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 3,7,9 nâng lên luỹ thừa 4n
đều có tận cùng là 1.

...34n = ...1 ...74n = ...1 ...94n = ...1

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 2,2,8 nâng lên luỹ thừa 4n
(n ≠0) đều có tận cùng là 6.

...24n = ...6 ...44n = ...6 ...84n = ...6

( Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, khi nâng
lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng là chính nó; khi nâng lên luỹ thừa
chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1.)

II/ Bài tập

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau. 
7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335.

Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 5n.(n>1)
Bài 3: Chứng tỏ các tổng hiệu sau chia hết cho 10.

a) A = 98.96.94.92 – 91.93.95.97

b) B = 405n+ 2405 + m (m , n N ; n ≠ 0) 
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

7
6

234 b)

5
7
6

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- 4 -
Bài 5: Tìm các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu 
thừa số?

Bài 6: Tích 2.22.23...210 . 52.54.56....514 .
Tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
Bài 7: Cho S = 1 + 31+ 32 + 33 + ... + 330 .

Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S khơng phải là số chính
phương.

Bài tập bổ sung

Chuyên đề 3

Số nguyên tố. Hợp số

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố. 
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

1. Xác định số lượng các ước của một số:

Nếu M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = ax.by...cz thì số các 
ước của M là (x+1)(y+1)...(z+1).

2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các
thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

3. Tính chất chia hết liên qua đến số nguyên tố.

Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a p hoặc b p.
Đặc biệt nếu an p thì a p

III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601 
2. Cho A = 5 + 52+53+ ...+5100.

a) Số A là số nguyên tố hay hợp số

b) Số A có phải là số chính phương khơng?

3. Số 54 có bao nhiêu ước? Viết tất cả các ước của nó?
IV/ Bài tập

114. Tìm số nguyên tố a để 4a + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30. 
115. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?

a = 1.3.5.7...13 + 20

b = 147.247.347 – 13

116. Cho nN* . Chứng minh rằng số 111....1 2111...1 là hợp số

n chữ số1 n chữ số1

117. Tìm số bị chia và thương trong phép chia:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

- 5 -
119. a) Cho n là số không chi hết cho 3. Chứng minh rằng n2 chia 3 dư 1.

b) Cho p là số nguyên tốa lớn hơn 3. Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay
hợp số.

Bài 120. Cho n> 2 và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số n2 – 1 và
n2 + 1 không thể đồng thời là số nguyên tố.

Bài 121: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.

a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5.

b) Biết 8p + 1 cũng là một số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là hợp
số

Bài 122: Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố (p  3). Hỏi p + 100 là số nguyên

tố hay hợp số?

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Bài 123: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố bằng cách hợp lý nhất:

a) 700; 9000; 210 000
b) 500; 1600; 18 000

Bài 124: Mỗi số sau có bao nhiêu ước:

90 ; 540 ; 3675.

Bài 125: Tìm các ước của số:

a) 119 b) 625 c) 200.

Bài 126: Tính cạnh của một hình vng biết diện tích của nó là:

a) 5929m2; b) 32400m2 .

Bài 127: Tính cạnh của hình lập phương biết thể tích của nó là 1728cm3. 
Bài 128: Chứng minh rằng một số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước là

một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phương.

Bài129: Tìm n  N* biết:

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 210
b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = 225

Bài tập bổ sung

1. Chứng tỏ các số sau là hợp số:

A. 676767 B. 108 + 107 + 7 C. 175 + 244 + 1321
D. 311141111 E. 10100- 7

2. Cho số 360

a) Phân tích số 360 ra thừa số nguyên tố.
b) Số 360 có bao nhiêu ước.

c) Tìm tất cả các ước của 360

3. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số:
a) 1025 b) 113 + 123 + 133 + 143

4. Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia
cho 12 đều dư 1.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- 6 -
Đ 13. Ước chung và ước chung lớn nhất

I/ Kiến thức cơ bản 
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601 
IV. Bài tập

Bài 130: Cho A là tập hợp các số nguyên tố

B là tập hợp các hợp số
M là tập hợp các ước của 20

N là tập hợp các ước của 50
a) Tìm A  B

b) Tìm M  N

Bài 131: Cho C là tập hợp các số chia hết cho 3

D là tập hợp các số chia hết cho 9
Tìm C  D.

Bài 132: Tìm ƯCLN và ƯC của ba số 432; 504 và 720.

Bài 133: Một căn phòng hình chữ nhật kích thước 630 x 480 (cm) được lát

loại gạch hình vng. Muốn cho hai hàng gạch cuối cùng sát hai bức
tường liên tiếp khơng bị cắt xén thì kích thước lớn nhất của viên gạch là
bao nhiêu? Để lát căn phịng đó cần bao nhiêu viên gạch?

Bài 134: Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:

a) Hai số lẻ liên tiếp.

b) 2n + 5 và 3n + 7 (n  N)

Bài 135: Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng:

a) (a, a – b) = 1
b) (ab, a + b) = 1

Bài 136: Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau,

a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n  N).
Tìm (a, b).

Bài 137: ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270, tìm số nhỏ.

Bài 138: Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là 18. 
Bài 139: Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90 và

ƯCLN của chúng là 15.

Bài 140: Tìm hai số biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27. 
Bài 141: Cho a + 5b 7 (a, b  N). Chứng minh rằng 10a + b 7. Mệnh đề

đảo lại có đúng khơng?

Bài 142: Một số tự nhiên a và 5 lần số đó có tổng các chữ số như nhau.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

- 7 -
Bài 143: Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe: Loại 12 chỗ ngồi và loại

7 chỗ ngồi. Biết số người đi vừa đủ số ghế ngồi, hỏi mỗi loại có mấy xe?

Bài tập bổ sung

1. Tìm số tự nhiên a, b để A = 4a1b chia hết cho 12

2. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng của chúng là 128 và ƯCLN của a,b là 16.
3. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích của chúng là 216 và ƯCLN của a,b là 6.
4. Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b.

Chứng minh rằng hai số 11a + 2b và 18a + 5b thì hoặc nguyên tố cùng
nhau hoặc có một ước chung là 19

5. Cho hai số nguyen tố cùng nhau. Chứng inh rằng tích ab và tổng a + b của
chúng cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

6. Tìm các số tự nhiên a và b để A = 25a2b chia hết cho 36 và số B = a378b

chia hết cho 72.

7. Trong một buổi sinh họat ngoại khố có 252 em học sinh khối lớp 6 ; 210
em khối 7; 126 em khối 8. Người ta chia đều số học sinh mỗi khối vào từng
nhóm. Mỗi nhóm đều có đủ học sinh 3 khối.

Có bao nhiêu cách thành lập nhóm, mỗi cách cho bao nhiêu nhóm, mỗi
nhóm có bao nhiêu người và số học sinh mỗi khối trong một nhóm là bao
nhiêu.

Đ 14. Bội chung và bội chung nhỏ nhất 
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

1. Tích của hai số bằng tích của BCNN với ƯCLN của chúng.
ab =BCNN(a,b).ƯCLN(a,b)

2. Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a,b thì thương của chúng là
những số nguyên tố cùng nhau.

3. Nếu a m và a n thì a BCNN(m,n). Từ đó suy ra:

- Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết
cho tích của chúng.

- Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố đơi một cùng nhau thì nó
chia hết cho tích của chúng.

III/ Ví dụ: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia cho 18 ; 30; 45; có 
số dư lần lượt là: 8 ; 20; 35.

Giải

Gọi số phải tìm là a. Ta có: a + 10 chia hết cho 18; 30; 45.
Vậy a + 10  BC (18,30,45).

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- 8 -
Suy ra a + 10 = 90k ( kN*).

Hay a = 90k – 10.

Với k = 1 thì a = 80 (mới có 2 chữ số)
Với k = 3thì a = 170 (có 3 chữ số)
Vậy số cần tìm là 170

IV. Bài tập:

Bài 144: Một xe lăn dành cho người tàn tật có chu vi bánh trước là 63cm, chu

vi bánh sau là 186cm. Người ta đánh dấu hai điểm tiếp đất cảu han bánh

xe này. Hỏi bánh trước và bánh sâuphỉ lăn ít nhất bao nhiêu vịng thì hai
điểm được đánh dấu lại cùng tiếp đất một lúc.

Bài 145: Ba học sinh, mỗi người mua một loại bút. Giá ba loại lần lượt là

1200 đồng, 1500 đồng, 2 000 đồng. Biết số tiền phải trả là như nhau, hỏi
mỗi học sinh mua ít nhất bao nhiêu bút?

Bài 146: Tìm các bội chung lớn hơn 5000 nhưng nhỏ hơn 10000 của các số

126 ; 140 ; 180.

Bài 147: Một số tự nhiên chia cho 12, 18, 21 đều dư 5. Tìm số đó biết rằng nó

xấp xỉ 1000.

Bài 148: Khối 6 của một trường có chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10;

12; 15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì khơng dư. Tính số học sinh khối
6.

Bài 149: Tìm hai số tự nhiên a và b biết:

BCNN (a, b) = 300 ; ƯCLN (a, b) = 15

Bài 150: Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng là 2940 và BCNN của

chúng là 210.

Bài 151: Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15.

Bài 152: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11 thì dư 5,

chia cho 13 thì dư 8.

Bài 153: Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì

a2 – 1 : 6.

Bài 154: Chứng minh rằng tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.

Bài tập bổ sung

1.Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1.
2. Tìm các số tự nhiên a, b biết

ƯCLN(a,b) = 5 và BCNN(ab) = 105

3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho
15 dư 13 và cxhia hết co 23.

4. Tìm hai số có 3 chữ số biết tổng của chúng là bội của 504 và thương của số
lớn chia cho số nhỏ là bội của 6.

5. Cho BCN(a,b) = 60 và a = 12. Tìm b?

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

- 9 -
A biết A < 400.

7. Tổng số học sinh khối 6 cua một trường có khoảng từ 235 đến 250 em, khi
chia cho 3 dư 2, chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia 10

dư 9. tìm số học sinh của khối 6

Chuyên đề 4

Nguyên lý Điriclê và bài toán chia hết

Bài 155: Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít

nhất hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau.

Bài 154: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2. 
Bài 154: Cho dãy số : 10; 102; 103; ...;1020.

Chứng minh rằng tồn tại một số chia 19 dư 1.

Bài 158: Chứng minh răng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số

bằng 19.

Bài 159: Cho ba số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng các chữ số

bằng 19.

Bài 160: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có

tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.

Bài 161: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kỳ ln chọn được hai số

có tổng chia hết cho 4.

Bài 162: Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta ln chon được ba

số có tổng chia hết cho 4.

Bài 163: Cho năm số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chọn được ba

số có tổng chia hết cho 3.

Bài 164: Cho 5 số tự nhiên lẻ bất kỳ, chứng minh rằng ta ln chọn được
bốn số có tổng chia hết cho 4.

Bài 165*: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc. Chứng minh

rằng khi ta gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao
giờ cũng tìm được một hay nhiều măt để tổng các số trên đó chia hết cho
5.

Bài tập bổ sung

Ôn tập chương I

Bài 166: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý nhất.

a) 19 + 19 +...+19 + 77 + 77 + ...+77

23 số hạng 19 số hạng

b) 1000! . (456.789789 – 789.456456)

Bài 167: Cho biểu thức 252 – 84: 21 + 7

a) Tính giá trị biểu thức đó

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

- 10 -

Bài 168: Tìm x biết:

a) x + (x + 1) + (2+x) +..+(x+30) = 1240
b) 1 + 2 + 3 +...+x = 210

Bài 169: Chiến thắng Đống Đa vào mùa xân năm 1978. Trong hệ đếm CAN

CHI năm đó là năm nào?

Bài 170: Chứng minh:

a) 10n + 53 9 b) 4343 -1717 10

c) 555..5 chia hết cho 11 nhưng khôngchia hết cho 125
2n chữ số 5

Bài 171: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sso cho chia nó cho 17 dư 5 ; chia nó cho 9

dư 12

Bài 172: Ngày 1 tháng 2 năm 2003 là ngày thứ 7.

a) Hỏi ngày 1 tháng 3 ; ngày 1 tháng 4 của năm này là ngày thứ mấy?

b) Ngày 1 tháng 2 nămm 2004 là ngày thứ mấy?

Bài 173: Cho A = 4 + 42 + 43 + ...+ 423 + 424 . Chứng minh :
A 20 ; A 21 ; A 420

Bài 174: Cho n = 29k với k N. Với giá trị nào của k thì n là :

a) Số nguyên tố.
b) Là hợp số.

Bài 175: Tìm x, y  N biết (x+1)(2y-5) = 143.

Bài 176: Cho a là hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa hai số

nguyên tố khác nhau p1 và p2. Biết a3 có tất cả 40 ước hỏi a2 có bao nhiêu

ước ?

Bài 177: Tìm a N biết 355 chia a dư 13 và 836 chia cho a thì dư .

Bài 178*: Một số tự nhiên chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4. Nếu đem

số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?

Bài 179: Cho các số 12 ; 18 ; 27

a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó?

b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều dư 1?

Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia 12 dư 10 ; chia 18 dư 16 ; chia 27 dư
25?

Bài tập bổ sung chương I

Chương II. Số nguyên

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

- 11 -
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

Bài 180. 
Bài 180

Bài 183: Cho A = {x  Z | x > -9}

B = {x  Z | x < - 4}

C = {x  Z | x ≥ - 2}

Tìm A  B ; B  C ; C  A

Bài 181: Viết tập hợp ba số nguyên liên tiếp trong đó có số 0.

Bài 182: Số nguyên âm lớn nhất có 3 chữ số và số nguyên âm nhỏ nhát

có 2 chữ số có phải là 2 số nguyên liên tiếp nhau khơng?

Bài 186: Tìm các giá trị thích hợp của a và b: 
a) a00> -111

b) a99 > - 600
c)cb3 < cba

d) -cba<c85

Bài 187: Cho ba số nguyên a;b;0. biết a là một số âm và a<b. Hãy sắp 
xếp 3 số đó theo thứ tự tăng dần.

Bài 188: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? 
a) Nếu a = b thì | a | = | b |

b) Nếu | a | = | b | thì a = b
c) Nếu | a | < | b | thì a Bài 189: Tìm x biết:

a) | x | + | - 5 | = | 37 |
b) | -6 |.|x| = 54

Bài 190: Tìm x, y, z  Z biết : | x | + | y | + | z | = 0
Bài 191: Tìm x  Z, biết:

a) | x | < 10 c) | x | > -3
b) | x | > 21 d) | x | < -1

Bài tập bổ sung

Đ 2. Phép cộng hai số nguyên. 
Tính chất phép cộng hai số nguyên 
I/ Kiến thức cơ bản

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

- 12 -
III/ Ví dụ: Tính tổng S = (-351) + (-74) + 51 + (-126) + 149

IV. Bài tập:

192. Cho x  {-3; -2; -1; 0; 1; 2;...; 10}

y  { -1 ; 1; 0; 1; ...; 5}
Biết : x + y = 3.

193. Tính nhanh :

a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 256
b) – 359 + 181 + (-123) + 350 + (-172)
c) – 69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78

194. Tính tổng các số nguyên x biết:
a) – 17  x  18

b) |x| < 25

195. Cho S1 = 1 + (-3) +5 +(-7) + ...+17

S2 = -2 +4 +(-6) +...+(-18)

Tính tổng S1 + S2

196. Cho x và y là những số ngun tố có 3 chữ số. Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của tổng x + y.

197. Chứng minh rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng.

198.Cho |x| = 5 ; |y| = 11. Tính x + y

199*. Cho x, y là hai số nguyên cùng dấu . Tĩnh + y biết |x| + |y| = 10.

200. Tính tổng :

a) S1 = a + |a| với a  Z.

b) S2 = a + |a| + a + |a| + ...+ a với a  Z- và có 101 số hạng.

201*. Cho 18 số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đó đều là
một số âm. Giải thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là một số âm? Bài tốn
cịn đúng khơng nếu thay 18 số bằng 19 số.

Đ 3. Phép trừ hai số nguyên 
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ:

IV. Bài tập:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

- 13 -

a b a-b b-a

77 55

-29 1

-13 -6

0 -19

203. Tìm x biết (x + 153) – (48 – 193) = 1 – 2 – 3 – 4. 
204. Cho |x| = 7 ; |y| = 20 với x, y  Z. Tính x – y
205. Cho |x|  3; |y|  5 với x,y  Z. Biết x – y = 2.

Tìm x và y ?

206. Tìm x  Z biết :

a) |x + 8| = 6 b) | x+ a | = a với a  Z.

207. Tìm x  Z , biết:
1 < | x – 2| < 4.

208. Tìm x, y  Z, biết | x + 35 – 40 | + | y + 10 – 11|  0.

209*. Cho x < y < 0 và |x| - |y| = 100. Tính x – y

210. Cho x  {-2 ; -1; 0 ; 1; ...; 11}

y  { -89; -88; - 87;...; -1; 0 ; 11}

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị hỏ nhất của x – y.

211. Cho x, y  Z.

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 1000 - |x + 5| có GTLN, tìm
GTLN đó.

b) Với giá trị nào của y thì biểu thức B = |y - 3| + 50 có GTNN, tìm
GTNN đó.

c) Với giá trị nào của x, y thì biểu thức

C = | x – 100 | + | y + 200 | - 1 có GTNN, tìm GTNN đó.

Bài tập bổ sung

Đ 4.Quy tắc chuyển vế. Quy tắc dấu ngoặc 
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

IV. Bài tập:

212. Tính hợp lý:

a) -2003 + (-21+75 + 2003) b) 1125 – ( 374 + 1125) + (-65 +374)
213. Đặt dấu ngoặc một cách hợp lý để tính các tổng đại số sau:

a) 942 – 2567 + 2563 – 1942

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

- 14 -
214. Tìm x biết:

a) 416 + ( x – 45) = 387
b) 11 – (x + 84) = 97
c) - (x + 84) + 213 = - 16
215. Chứng minh đẳng thức:

a) - (- a + b + c) + ( b + c – 1) = (b –c + 6) – ( 7 – a + b) + c
216. Cho A = a + b – 5; B = - b – c + 1

C = b – c – 4; D = b – a
Chứng minh A + B = C – D

217. Cho a > b ; Tính |S| biết:

S = - ( a – b – c ) + ( - c + b + a) – ( a + b)

218. Cho M = a + b – 1 và N = b + c – 1. Biết M > N hỏi hiệu a – c 
dương hay âm ?

219. Viết 5 số nguyên vào 5 đỉnh của một ngôi sao năm cánh sao cho 
tổng của hai số tại hai đỉnh liền nhau ln bằng – 6. Tìm 5 số nguyên đó?

Bài tập bổ sung

Đ 5. Phép nhân hai số nguyên

I/ Kiến thức cơ bản 
II/ Kiến thức nâng cao.

1- Luỹ thừa bậc chẵn của một số nguyên âm là một số nguyên dương.
- Luỹ thừa bậc lẻ của một số nguyên âm là một số nguyên âm.

2. a  b  ac  ab nếu c > 0
a  b  ac  ab nếu c < 0

3. Giá rị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối:
| a. b| = |a|.|b|

4. Với a  Z thì a2  0 ( dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0 )

III/ Ví dụ: Tìm a, b  Z biết a,b = 24 và a + b = - 10. 
Giải

Ta thấy ab > 0 nên a, b cùng dấu
a + b = -10 nên a, b cùng dấu âm

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

- 15 -
Trong các trườnghợp trên thì chỉ có (-4) + (-6) = -10

Vậy a = - 4; b = -6 hoặc a = - 6; b = - 4

Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng bằng tích
Giải

Gọi hai số cần tìm là x và y
Ta có xy = x + y

 xy – x – y = 0
 xy – x – y + 1 = 1
 x(y – 1) – (y – 1) = 1

 (y – 1)(x – 1) = 1  1 1 1

1 1 1

y x

   


     

 

2; 2
0; 0

x y

 



  


IV. Bài tập:

220. Tìm x  Z biết: 
a) x(x+3) = 0

b) (x – 2)(5 – x) = 0
c) (x-1)(x2 + 1) = 0

221. Thu gọn các biểu thức sau:

a) 7x – 19x + 6x b) –ab – ba
222. Cho A = (5m2 – 8m2 – 9m2)(-n3 + 4n3)

Với giá trị nào của m và n thì A  0
223. Tìm x biết:

a) – 12(x – 5) + 7(3 – x) = 5

b) 30(x + 2) – 6(x – 5) – 24x =100
224. Tìm x  Z biết:

a) | 2x – 5 | = 13
b) 7x + 3| = 66
c) | 5x – 2|  0
225. Tìm x  Z biết:

a) (x – 3) (2y + 1) = 7
b) (2x + 1) (3y – 2) = - 55.
226. Tìm x  Z sao cho :

(x- 7) (x + 3) < 0

227. Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợ lý: 
a) 125.(-61).(-2)3.(-1)2n (n N*)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- 16 -
a) (x +1) + ( x+3) + (x + 5) + ... + (x + 99) = 0

b) (x -3) + ( x - 2) + (x - 1) + ... + 10 + 11 = 0
229. Cho m và n các số nguyên dương:

A = 2+4+6+...+2m

m B =

2+4+6+...+2n
n

Biết A < B hãy so sánh m và n

230*. Cho 16 số ngun. Tích của 3 số bất kì ln là một số âm. Chứng 
minh rằng tích của 16 số đó là một số dương.

231. Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức: 
a) (a + b)(a + b)

b) (a – b)(a – b)
c) (a + b)(a – b)

232. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp thì bình phương của 
số ở giữa hn tich hai số kia đúng 1 đơn vị.

233. Cho a = - 20 ; b – c = - 5, hãy tìm A biết 
A2 = b(a – c) – c(a – b)

234. Biến đổi tổng thành tích:

a) ab – ac + ad b) ac + ad – bc – bd
235. Cho a, b , c  Z. Biết ab – ac + bc – c2 = -1

Chứng minh a và b là hai số đối nhau.
236*. Tìm x, y  Z biết :

a) xy + 3x – 7y = 21
b) xy + 3x – 2y = 11

  

Bài tập bổ sung

Đ 6. Bội và ước của một số nguyên 
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

1. Các tính chất về chia hết (hay khơng chia hết) đối với số tự nhiên

vẫn đúng với số nguyên.

2. Nếu alà bội của b thì a cũng là bội của b. Nếu b là ước của a thì
-b cũng là ước của a. Do đó nếu số ngun m có k ước tự nhiên thì có
thêm k ước âm (đó là các số đối của các ước tự nhiên).

3. Chú ý:

- Trong tập hợp số Z , một số chia 3 dư 1; dư 2 được biểu diễ bởi
công thức 3k + 1; 3k + 2 hoặc gộp lại là 3k  1.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

- 17 -
III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

237. Các số sau có bao nhiêu ước? 
a) 54 ; b) – 196.

238. Chứng minh rằng nếu a b thì |a| |b| 
239. Với n  Z, các số sau là chẵn hay lẻ?

A = (n – 4)(n – 15) B = n2 – n – 1

240. Co a, b , x , y  Z trong đó x , y khơng đối nhau. Chứng minh rằng 
nếu ax – by x+ y thì ay – bx x + y

241. Tìm các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 
3x – 4y = -21 (Phương trình Điơphăng)

242. Cho S = 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399. 
a) Chứg minh rằng S là bội của – 20

b) Tính S, từ đó suy ra 3100 chia cho 4 dư 1.

243. Tìm số nguyên dương n sao cho n + 2 là ước của 111 còn n – 2 là 
bội của 11.

244. Tìm n  Z để; 
a) 4n – 5 n

b) -11 là bội của n – 1
c) 2n – 1 là ước của 3n + 2.
245. Tìm n  Z sao cho :

n – 1 là bội của n + 5 và n + 5 là bội của n – 1
246*. Tìm n  Z để:

a) n2 – 7 là bội của n + 3
b) n + 3 là bội của n2 – 7

  

Bài tập bổ sung

Đ 7. Ôn tập chương II
Ví dụ: Tìm x, y, z biết :

x – y = - 9 ; y – x = 10 ; z + x = 11
Ví dụ: Cho x  Z hãy so sánh x2 và x3

Chú ý: để so sánh A và B ta thường xét hiệu A – B .

Nếu A – B > 0 thì A > B ; Nếu A – B < 0 thì A Bài tập:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

- 18 -
A = - 125(x + x + ...+ x – y – y – ... – y)

(x có 8 số hạng, y có 8 số hạng)

248. Cho biểu thức B = 1 10 100. Hãy điền vào cá ô trống dấu của 
các phép tính cộng, trừ, nhân , chia và thêm dấu ngoặc (nêu cần) để B là
số nguyên lớn nhất, số nguyên nhỏ nhất.

249. Tìm x  Z biết 2  |x|  5 
250. Tìm x  Z

a) – 3x + 5 = 41 b) 52 - | x | = 80 c) |7x + 1| = 20
251. Cho A = {6 ;7; 8; 9 } ; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8}

a) Có bao nhiêu hiệu dạng a – b với a  A; b  B
b) Có bao nhiêu hiệu chi hết cho 5

c) Có bao nhiêu hiệu là số nguyên âm ?

252. Số (-3)20 + có phải là tích của hai số ngun liên tiếp khơng ?

253. Tìm x  Z biết (x + 5)(3x – 12) > 0

254. Tìm x  Z biết (x3+ 5)(x3 + 10)(x3 + 30) < 0
255. Tìm x, y  Z biết (x – 7)(xy + 1) = 9

256. Cho a, b, c, d Z .

Biết tích ab là số liền sau của tích cd và a + b = c + d.
Chứng minh rằng a = b

257. Tìm hai số ngun mà tích của chúng bằng hiệu của chúng.

Chun đề Phương trình Điơphăng

I/ Kiến thức cơ bản

II/ Ví dụ: 1

Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên x và y sao cho
2x + 5y = 19

Cách 1: Vì x,y  N  5y ≤ 19  y < 4

Mặt khác vì 19 là số lẻ nên 2x + 5y là số lẻ
2x là số chẵn và 5y là số lẻ:

Do đó y = 1 hoặc y = 3.
Với y = 1 ta có: 2x + 5.1 = 19

2x = 14
x = 7
Với y = 3, ta có: 2x + 5.3 = 19

2x = 4
x = 2

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

- 19 -

Cách 2: Từ (1) ta có:
x = 19 - 15y

2 = 10 - 3y +
y - 1

Để x  N thì y-1

2  N hay y = 2n + 1 với n  N, do đó x = 7 – 5n ≥ 0

 n = 0 hoặc n = 1. Tương ứng ta được x, y.

Ví dụ 2: Trăm trâu trăm cỏ. Trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, lụ khụ trâu
già, ba con một bó. Hỏi số trâu mỗi loại?

Bài tâp:

Chương III. Phân số

Bài 1. Mở rộng khái niệm về phân số. Hai phân số bằng nhau.
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: Tìm x, y  Z biết : x 3
=

15 y và x < y < 0

IV. Bài tập:

258. Trong các số sau, số nào là phân số:

-5

7 ;

43
1 ;

a - 3 (a Z) ; 2
9

a 5 (a Z)

;

7: 2a

10 (a Z)

259. Cho n  N, hỏi sau n giờ thì kim gìơ quay được bao nhiêu vịng? Với

giá trị nào của n thì vịng quay là số tự nhiên.

260. Viết các phân số dưới đây dưới dạng phân số có mẫu số dương, biết a

-4

;

- 5

a - 3

với a < 3 ;

6
- a - 1

261. Từ ba số 2, 10, 50, trong đó có 1 số được dùng hai lần hãy viết các
cặp phân số bằng nhau

262. Trong các phân số sau, những phân số nào bằng nhau?

15 -17 6 28 3

; ; ; ;
60 5 15 -20 12

263. Tìm x  Z , biết :
a) 111 < x < 91

37 13

b)

-84 108

< 3x <

14 9

264. Cho A =

3n - 5

n + 4

Tìm x  Z để A có giá trị ngun.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

- 20 -

15

8 12 ;

n

;

n-2

n+1

266. Tìm x  Z, biết :

x - 1 =

8

9 3

b)

- 4

- x =

9 x

c)

18 x =

4 x + 1

267. Tìm x, y  Z biết:

x =

9

7 y

và x > y b)

y

- 2 =

x

5

và x < y < 0

268. Tìm x, y  Z biết:

4 x - 4 =

y - 3

3

và x – y = 5

Bài 2. Tính chất cơ bản của phân số. Rút gọn phân số
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

Bài 3. Quy đồng mẫu số nhiều phân số. So sánh phân số
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

Đ 4. Chuyên đề

Một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số 
Bài 5. Phép cộng phân số. Tính chất cơ bản phép cộng phân số
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

- 21 -
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

Bài 7. Phép nhân phân số. Tính chất cơ bản của phép nhân phân số.
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

Bài 8. Chuyên đề : Tổng các phân số viết theo quy luật
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

Bài 9. Phép chia phân số
I/ Kiến thức cơ bản 
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

Bài 10. Hỗn số. Số thập phân. Phần trăm.
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

Bài 11. Ba bài toán cơ bản về phân số.
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

- 22 -
Đ 12. Chuyên đề

Toán công việc làm đồng thời 
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

Bài 13. Chun đề

Tốn về tính tuổi.

I/ Kiến thức cơ bản 
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1

IV. Bài tập:

Đ 14. Ôn tập chương



</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

- 23 -
1. Cho A =

2
x

5
x



 . Tìm x để :

a) Có giá trị là một số nguyên b) A có giá trị lớn nhất
2. Tìm cặp số nguyên (x;y) biết;

a)
2
y

1
3
1
9
1

-x



 b)

9
2
12
y
2
18
1

3x   

và x - y = -1

3. Cho A =
1
2x
5
2x




. Tìm x  Z để:

a) A là phân số ? b) A là một số nguyên
c) Tìm x để A có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất?
4. Tìm số nguyên x biết;

a)
8
3
6
1
2x
4
1
x
3
2
2
x







 x b)

26
12
3
6x
6
2
4
10
1
2x
3





 x

5. Chứng minh

a) 1

100
1
...
52
1
51
1
2

1





 b)

6
5
40
1
...
22
1
21
1
12
7






6. Cho S =

19
6
...

16
6
15

6   

a) Chứng minh rằng 1 < S < 2
b) Từ câu a hãy suy ra S  Z
7. Cho A =

3
2
1
4n



n . Tìm n  Z để:

a) A là một số nguyên

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A?
8. Tìm hai số nguyên a và b biết rằng :

1
b
1
2
1
7

a


 .

9. a) Chứng minh:

n)
a(a
n
n
a
1
a
1




S1 =
100
.
99
1
...
3
.
2
1
2

.
1

1   

S2 =
2005
.
2001
4
...
9
.
5
4
5
.
1

4   

S3 =

1000
.
999
2
...
14
.

12
2
12
.
10
2




10. Tìm xN sao cho

2006
2005
)
6
5
)(
1
5
(
5
...
11
.
6
5
6
.
1

5 





x
x

11. Cho P =

)
3
2
)(
1
2
(
2
...
5
.
3
2
3
.
1
2






n
n

Chứng minh P < 1,  n N*

12. a) Chứng minh  n N, n > 1 ta có

n
1
1

-n
1
n
1
n
1
1

-n
1

2  



</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

- 24 -

b) áp dụng câu (a) hãy chứng minh

202
99
100
1
...
3
1
2
1
100
99
2
2

2    



13. Tính giá trị biểu thức : S =

2005
.
2002
1
...
7
.

4
1
4
.
1

1   

áp dụng tính:

P =

101
.
96
3
...
11
.
6
3
6
.
1
3



 Q =

100
.
99
.
98
1
...
4
.
3
.
2
1
3
.
2
.
1
1




14. Tính giá trị biểu thức sau:
A = 1+ 2 3 2006

2
1
...
2

1
2
1
2
1




 B = 2 3 100 101

3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1






C =
1

.
999
1
3
.
997
1
...
997
.
3
1
999
.
1
1
999
1
...
5
1
3
1
1










15. Chứng minh rằng:
a)
4
1
2007
1
...
6
1
5
1
2
3

2     b)

5
1
2007
1
...
6
1
5
1
2
3

2    

Phòng GD

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

- 25 -
Bài 1( 4đ):

Tính nhanh:

A = 1 + 3 - 5 -7 + 9 + 11 ... - 397 - 399

B = 2100 - 299 - 298 - ... - 22 - 21 - 1

Bài 2 (4đ):

Số 36 chia cho số nguyên a rồi trừ đi a. Lấy kết quả này chia cho a rồi trừ
đi a. Lại lấy kết quả này chia cho a rồi trừ đi a. Cuối cùng được số -a. Tìm số

Bài 3(3đ):

Cho biết a + 4b chia hết cho 13, (a,bN). Chứng minh 10a + b chia hết

cho 13.

Bài 4 ( 3đ):

Cho phân số

85357
57643

. Hãy tìm một số nguyên sao cho khi tử số cộng với số

đó và mẫu số trừ đi số đó ta được phân số bằng

6
7

Bài 5 ( 6đ):

Cho góc BOC bằng 750 . A là một điểm nằm trong góc BOC. Biết góc

BOA bằng 400.

a) Tính góc AOC.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

- 26 -



≤ ≥±
                ± 

1) Cho biểu thức A =

4
2
2
2


n
n

với n Z.

a) Với giá trị nào của A thì A là phân số.
b) Tìm giá trị của A để A là số nguyên.
2. Rút gọn phân số :

a) M = 8 4 2
4
6
5
4
8
.
234
.
81
.
3
3
.
3

.
27
.
9

b) N = 4 12 11
9
5
6
6
3
.
8
120
.
6
9
.
4



3. Cho hai phân số

n
1
và
1
n
1

 (n  Z n > 0). Chứng tỏ rằng;

n
1
.
1
n
1
 = n

1

-1
n
1
 .

áp dụng tính:
a)
2.3
1
+
3.4
1
+
4.5
1
...
99.100

b) B =

</div>

Toán 6 Học Sinh GiỏiChuyên đề toán 6 nâng cao

;

;

với a < 3 ;

b)

3n - 5

n + 4

15

8

12 ;

<sub>n </sub>

;

n-2

n+1

x - 1 =

8

9

<sub>3</sub>

b)

- 4

- x =

9

<sub> x</sub>

c)

18

x =

4

<sub>x + 1</sub>

x =

9

7

<sub>y</sub>

và x > y b)

y

- 2 =

x

<sub>5</sub>

và x < y < 0

4

x - 4 =

y - 3

<sub>3</sub>

và x – y = 5

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về