101 bài tập hình thể tích cực hay

Vũ Quang Huy

0932512918

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

101 BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐƯỢC SẮP XẾP THEO DẠNG
BÀI TẬP GIỐNG NHAU (phân định bằng dấu “______________”)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng cân tại C , cạnh huyền bằng 3a, G là trọng tâm tam
giác ABC , SG   ABC  , SB 

 SAC 

a 14
.Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng
2

theo a.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I , có AB  a và BC  a 3 .Gọi H là trung điểm
AI .Biết SH vng góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAC vuông tại S . Tính thể tích khối chóp S.ABCD
và khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SBD  .
ĐS: V 

a3
3a
và d 
2
15

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,góc ABC  600 . SA vng góc với mặt

phẳng đáy. SC  2a .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  .
ĐS: V 

a3
a 15
và d 
5
2

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm cạnh AB. Hình chiếu
vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
đáy là 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm H đến  SBC  .
ĐS: V 

a 21
a 3 17
và d 
16
4 29

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng, SA vng góc với đáy, SA  a .Góc giữa đường thẳng
SD và mặt phẳng  SAC  bằng 300 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt
phẳng  SBM  với M là trung điểm CD.
ĐS: V 

a
a3
và d 
3
3

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  a, BC  2a 2 .Hình chiếu của S lên
mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác ABC. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABCD  bằng 600
.Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  .

Trang 1


Vũ Quang Huy

0932512918
2a 6
3a 21
và d  A;  SBC   

14
3

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

3

ĐS: VS . ABCD

Bài 7: (Hồng Quang,Hải Dương -2012,A)
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A1B1C1 có AB  a , AC  2a 2 , BAC  1350 và đường thẳng AB1 tạo với mặt
phẳng  BCC1B1  góc 300 .Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp  BCC1B1  và thể tích khối lăng trụ đã cho.
ĐS: d 

2a

a 3 139
và V 
13
13

Bài 8: (Chun Lý Tự Trọng, Cần Thơ 2013-A)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, AB  AC  a ,M là trung điểm cạnh AB, hình
chiếp vng góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC, góc giữa
đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600 .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm
C đến mặt phẳng (SAB).
a 3 30
a 130
ĐS: V 
và d  C;( SAB)  
24
13

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáy, hình chiếu vng góc của S trên đường thẳng AB là điểm H thuộc đoạn
AB sao cho BH  2 AH .Gọi I là giao điểm của HC và BD .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng
cách từ I đến mặt phẳng  SCD  .
ĐS: V 

a3 2
3a 22
và d 
55
9

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, BD  2a; tam giác SAC vng tại S và nằm

trong mặt phẳng vng góc với đáy, SC  a 3 .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ
điểm B đến mp  SAD 
ĐS: V 

a3 3
2a 21
và d  B;  SAD   
7
3

Bài 11 (B-2013) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Trang 2


Vũ Quang Huy
Bài 12: ( Chuyên Hạ Lọng-2012 A)

0932512918

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và SAD  900 ,J là trung
điểm SD. Tính theo a thể tích tứ diện ACDJ và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACJ)
ĐS: V 

a3 3
a 21

và d  D,  ACJ   
24
7

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáy, góc giữa cạnh SC và đáy bằng 600 ; AC  a .Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  .
a3 3
3a 13
ĐS: V 
và d  A;  SBC   
4
13

Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB  a, AD  2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  bằng 450
.Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng  SAC  .
ĐS: V 

a 3 17
a 1513
và d 
3
89

Bài 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng tại A, ABC  600 , BC  2a .Gọi H là hình
chiếu vng góc của A trên BC .Biết rằng SH vng góc với mặt phẳng  ABC  và SA tạo với mặt phẳng

 ABC  một góc 600 .Tính thể tích khối chóp

S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAC  theo

a.
ĐS: V 

a3 3
2a 5
và d 
4
5

Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình bình hành ABCD cạnh AB  AC  2a , AD  2 3a .Biết SA
vng góc với mặt phẳng  ABCD  , góc giữa mặt phẳng  SBC  với mặt phẳng đáy là 600 .Gọi G là trọng tâm
của tam giác SAD .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến  SBC  .
ĐS: V  2a 3 và d 

a 3
3

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B .Hình chiếu của đỉnh S lên
mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm I của AC và BD .Mặt bên  SAB  hợp với đáy một góc 600 .Biết

Trang 3


Vũ Quang Huy
0932512918
Đà nẵng, ngày 9-8-2015
rằng AB  BC  a, AD  3a .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SAB 

theo a.
ĐS: VS . ABCD

a3 3
3a 3
và d  D;  SAB   

2
2

Bài 18: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB  a , ACB  300 ; M là
trung điểm cạnh AC. Góc giữa mặt bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600 .Hình chiếu vng góc của đỉnh A '
lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của BM .Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' và khoảng
cách từ điểm C ' đến mặt phẳng  BMB ' .
ĐS: VABC . A ' B 'C '

3a
3a 3 3
và d  C ';  BMB '  

4
4

Bài 19: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân, AB  AC  a, BAC  1200 .Mặt phẳng

 AB ' C ' tạo với mặt đáy góc 600 .Tính thể tích lăng trụ
mặt phẳng  AB ' C ' theo a.
ĐS: VABC . A ' B 'C ' 

ABC.A ' B ' C ' và khoảng cách từ đường thẳng BC đến

3a3
a 3
và d  B;  AB ' C '  
4
8

Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng tại A, AB  AC  a, I là trung điểm của cạnh SC
.Hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của BC , mặt phẳng  SAB  tạo với đáy
một góc 600 .Tính thể tích S.ABC và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SAB  theo a.
ĐS: V 

a3 3
a 3
và d 
12
4

Bài 21: (Đơ Lương,Nghệ An-2012,A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và D. Biết AB  2a ,AD  a ,DC  a và SA 
(ABCD). Góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) với đáy bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ
B tới mặt phẳng (SCD) theo a
ĐS: V 

2a 3
a 6
và d  B;( SCD)  
2
3

Trang 4


Vũ Quang Huy
0932512918
Đà nẵng, ngày 9-8-2015
0
Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc BAD  60 .Hình chiếu vng góc
của đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  là trọng tâm ABC .Góc giữa mặt phẳng  ABCD  và mặt phẳng  SAB 
bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  .
ĐS: V 

a3 3
3 7a
và d 
12
14

Bài 23: (Chuyên Đại Học Vinh 2013-A Lần II,III)
Cho tứ diện ABCD có mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (BCD), tam giác BCD vuông ở D. Biết rằng
AB  a 15 , BC  3a 3 ,AC  a 6 ; góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng 600 . Tính thể tích khối
tứ diện ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) theo a
ĐS: V 

3 6a 3
3 3a
và d 
2
2

Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A,D biết SA  (ABCD), SA  a ,AB
 2a ,AD  DC  a .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa AB và SC

a3
a 2
ĐS: V 
và d  AB, SC  
2
2
Bài 25: (Bắc Ninh 2013-D)
Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  AC  a 2 ,
hình chiếu vng góc cỉa A ' trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của cạnh BC .Tính thể tích khối lăng trụ

ABC.A ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC
ĐS: V  a3 3 và d  AA '; BC  

a 3
2

Bài 26: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  2a , BAC  600 , cạnh bên SA
vng góc với đáy và SA  a 3 .Gọi M là trung điểm của cạnh AB .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM
ĐS: V  2a 3 và d  SB; CM  

2a 3
29

Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC  600 .Cạnh bên SD  a 2 .
Hình chiếu vng góc của S trên  ABCD  là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD  3HB .Gọi M là trung
điểm cạnh SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB.

Trang 5


Vũ Quang Huy
ĐS: None

0932512918

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, ABC  600 ,cạnh bên SA vng góc
với đáy, SC tạo với đáy một góc 600 .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB, SD .
ĐS: VS . ABCD 

3a
a3
và d  AB, SD  
2
15

Bài 29: Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đều cạnh a, tam giác ABC cân tại C .Hình chiếu của S trên

mp  ABC  là trung điểm của cạnh AB; góc hợp bởi cạnh SC và mặt phẳng đáy là 300 .Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách giữa SA, BC theo a.
ĐS: V 

3a
a3 3

và d 
8
13

Bài 30: (Ngô Gia Tự,Bắc Ninh -2013 A,B,D)
Bài 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C , AB  5cm , BC  4cm cạnh bên SA
vng góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với mặt đáy  ABC  bằng 600 .Gọi D là trung điểm của cạnh

AB.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC .
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC .
ĐS: V  6 3  cm3 

và d  SD, BC   3

Bài 32: (Ba Đình, Thanh Hóa 2013-A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  2 2a . Hình chiếu vng góc của điểm
S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một
góc 450 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a
ĐS: V 

2 2a
4 2 3
a và d  D; mpACM  
3
11

Bài 33: (Bỉm Sơn, Thanh Hóa 2013-A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ,SA vng góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt
phẳng (SAB) bằng 300 .Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai

đường thẳng DE và SC theo a

Trang 6


Vũ Quang Huy
ĐS: V 

0932512918

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

3

2a
38
và d  DE , SC  
a
3
19

Bài 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB  a , AD  2a .Gọi M là trung điểm
của cạnh AB và N là trung điểm của đoạn MI. Hình chiếu vng góc của điểm S lên mặt phẳng đáy (ABCD)
trùng với điểm N. Biết góc tạo bởi đường thẳng SB với mặt phẳng (ABCD) bằng 450 .Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD theo a
a3 2
a 6
và d  MN , SD  
3
6

Bài 35: (Bắc Ninh 2013-B)

ĐS: V 

Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, SA= a 3 , tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A và B,
AB  a , BC  2a , biết góc tạo bởi SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 300 . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và CD với điểm M là trung điểm BC
ĐS: V 

5 3a 3
30
và d  SM ; CD  
a
6
10

Bài 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a .Hình chiếu vng góc của S lên mặt
phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm của tam giác ABD ,cạnh SB tạo với mặt phẳng  ABCD  một góc 600.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD .
ĐS: V 

a 3 15
a 15
và d 
12
9

Bài 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a , AD  2a. Hình chiếu vng góc
của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AD, góc giữa SB và mặt phẳng đáy là 450 .Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH theo a .

ĐS: V 

2
2a 3 2
và d  a
5
3

Bài 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AD  2 AB , SA   ABCD  , SC  2a 5
và góc giữa SC và  ABCD   600 .Tính VS . ABCD và d  AM ; SD  trong đó M là trung điểm BC.
ĐS: V 

2a 3 15
a 510
và d 
17
3

Bài 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B , chân đường cao hạ từ S lên  ABC  là
điểm H trùng với trung điểm cạnh BC. Góc giữa cạnh SA với mặt phẳng  ABC  bằng 450 , cho tam giác

SBC đều cạnh 2a .Tính VS . ABC và d  SC; AB  .

Trang 7


Vũ Quang Huy
ĐS: none

0932512918

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

Bài 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh 3a. Chân đường cao hạ từ S xuống mặt
phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AB  3 AH ; góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC 
bằng 600 .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC .
ĐS: V 

3a 21
9a 3 7
và d 
4
29

Bài 41: (Bắc Ninh 2013-A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc ABC  600 .Hai mặt phẳng (SAC) và
(SBD) cùng vng góc với đáy (ABCD). Gọi điểm I thuộc cạnh AB sao cho IB=3IA. Tính thể tích khối chóp
a
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a biết SI 
2
Bài 42: (Chuyên Đại Học Vinh 2012-A Lần III)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, AD=DC, AB=2AD, măt bên SBC là
tam giác đều cạnh 2a và thc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA theo a .
ĐS: V  3a3 và d  BC , SA 

2 21a
7

Bài 43: (Chuyên Hạ Long – 2013 B)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ,tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông tại S.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,SC
ĐS: V 

a3 3
a 3
và d  AB, SC  
12
2

Bài 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là ta giác đều cạnh a ,mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp S.ABM và khoảng cách giữa
hai đường thẳng SA,BC

3a
a3
ĐS: V 
và d  SA, BC  
16
15
Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và SA  a Biết ABCD là hình thang vng tại A
và B , AB  a, BC  2a và SC  BD
a) Tính tan của góc giữa SC với mặt phẳng  ABCD  .
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM với M là trung điểm BC.

Trang 8


Vũ Quang Huy

ĐS: a)

1
5

3

b)

5a
12

0932512918
a 2
c)
2

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

Bài 46: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên  SAB  là tam giác vng cân tại

S và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và AC
ĐS: VS . ABC

a 3
a3 3
và d  AC; SB  

24

7

Bài 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; độ dài cạnh AB  a , BC  a 2 .Các cạnh bên bằng
nhau và bằng 2a .Gọi M , N tương ứng là trung điểm các cạnh AD và BC , K là điểm trên cạnh AD sao cho
AK 

2 2a
.Tính theo a thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK .
3

ĐS: V 

13
a 3 26
và d  a
238
6

Bài 48: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên  SAB  là tam giác vuông cân tại

S và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
ĐS: V 

a 3
a3 3
và d 
24
7

Bài 49: (Đức Thọ, Hà Tĩnh 2013-Lần I)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB  a ,BC  a 3 . Tam giác SOA cân tại S và
mặt phẳng (SAD) vng góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 600 .Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SB và AC.
ĐS: V 

2a 3 3
3a
và d  SB; AC  
4
3

Bài 50: (Lạng Giang,Bắc Ninh-2013 A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có góc BAC  600 ; AB  a ; AC  4a .Hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vng góc với đáy; SD tạo với đáy góc 450
a) Tính thể tích khối chóp
b) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và CF

Trang 9


Vũ Quang Huy

0932512918
2a 39
2a 39
ĐS: V 
và d  DE , CF  
3
19

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

3

Bài 51: (Nguyễn Đăng Đạo, Bắc Ninh- 2012,A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có góc BAC  600 ; AB  a ;AC  4a .Hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vng góc với đáy; SD tạo với đáy một góc 450 .
a) Tính thể tích khối chóp .
b) Gọi E,F lần lượt là trung điểm BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và CF.
ĐS: a)

2a 3 39
3

b)

2a 39
19

Bài 52: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  3a ; AD  2a .Hình chiếu vng
góc của S lên  ABCD  là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH  2 HB .Góc giữa mặt phẳng  SCD  và

 ABCD

bằng 600 .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và

AD .
ĐS: V  4a3 3 và d 

6a 39
13

Bài 53: (Chuyên Đại Học Vinh 2013-A Lần I)
Cho hình chóp S.ABCD có SC   ABCD  , đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 và ABC  1200 . Biết
rằng góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABCD  bằng 450 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa đường thẳng SA, BD
ĐS: V 

3 3a 3
3 5a
và d  SA, BD  
10
4

Bài 54: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại B, BC  3a, AC  a 10 .Cạnh bên SA vng góc
với đáy. Góc giữa mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa
hai đường thẳng SM và AC theo a, biết M là điểm trên đoạn BC sao cho MC  2MB .
ĐS: VS . ABC 

a3 3
a 102
và d  SM ; AC  
2
17

Bài 55: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh đáy AB  2a và góc

ABC  300 . Mặt phẳng  C ' AB  tạo với  ABC  một góc 600 .Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AC ' và CB ' .

Trang
10


Vũ Quang Huy
ĐS: V 

0932512918
a

3

3

và d 

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

a 2
2

Bài 56: Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có  A ' BC  tạo với đáy góc 600 , tam giác A ' BC có diện tích bằng

8 3
a) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB ' và CC ' .Tính thể tích khối tứ diện A ' AMN
b) Tính khoảng cách giữa hai cạnh A ' B và AC
ĐS: V  16 3 và d  A ' B, AC   3
Bài 57: (Chuyên Đại Học Vinh 2013-A Lần I)
Cho hình chóp S.ABCD có SC   ABCD  , đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 và ABC  1200 . Biết

rằng góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABCD  bằng 450 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa đường thẳng SA, BD
ĐS: V 

3 3a 3
3 5a
và d  SA, BD  
10
4

Bài 58: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a, AD  a 3 . SA   ABCD  , góc giữa
mặt phẳng  SBD  và  ABCD  bằng 600 .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC và SD .
ĐS: V 

3a
a3 3
và d 
4
2

Bài 59: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC  2 3a và BD  2a cắt nhau
tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ O đến mặt
phẳng (SAB) bằng

a 3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
4

a3 3

3
Bài 60: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và góc
a
ABC bằng 300 .Tính thể tích khối lăng trụ trên biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ bằng
2

ĐS: V 

ĐS: V 

a3
3

Bài 61: (Chuyên Vĩnh Phúc 2013-A)

Trang
11


Vũ Quang Huy
0932512918
Đà nẵng, ngày 9-8-2015
Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu của đỉnh A ' trên mặt phẳng  ABC 
a 3
, hãy
4
tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của thiết diện khi cắt lăng trụ bởi mặt phẳng đi qua BC và vng góc
với AA '

trùng với tâm O của tam giác ABC .Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AA ' bằng

ĐS: V 

a3 3
và S  a 2 3
6

Bài 62: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , hai mặt phẳng  SAC  và  SBD  cùng
vng góc với mặt phẳng  ABCD  .Biết AC  2 3a và BD  2a , khoảng cách từ điểm O đến  SAB  bằng
a 3
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
4

ĐS: V 

a3 3
3

Bài 63: (Ninh Giang, Hải Dương-2012,A)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân tại C ,cạnh đáy AB=2a và góc ABC  300
a
.Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB ' bằng
2
ĐS: V 

a3
3

Bài 64: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và B với BC là đáy nhỏ, H là trung điểm AB,
SA  2a , SC  a 5 .Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng

(ABCD) và khoảng cách từ D tới mặt phẳng (SHC) bằng 2a 2 .Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
ĐS: V 

4a 3
3

Bài 65: (Chuyên Lương Văn Chánh,Phú n 2013-A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vng góc với đáy.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
ĐS: a) V 

a3 3
6

b) R 

a 21
6
Trang
12


Vũ Quang Huy
Bài 66: (Lý Thái Tổ, Bắc Ninh-2013,A)

0932512918

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB= a ,AC  2a ,AA’  2a 5 và BAC  1200 .Gọi K là trung điểm
của cạnh CC’
a) Tính thể tích khối chóp AA’BK.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK
c) Gọi I là trung điểm BB’, tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A’BK).
a 3 15
ĐS: a)
3

b) R 

a 21
2

c)

a 5
6

Bài 67: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S và  SAC 
vng góc với  ABC  .Góc SBC  600 .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và xác định tâm, bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
ĐS: V 

a3 2
a 38
và R 
8
8

Bài 68: (Chun Vĩnh Phúc 2012-A)
Cho hình hộp đứng ABCD. A1B1C1D1 có các cạnh AB  AD  2, AA1  3 và góc BAD  600 .Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của các cạnh A1D1 và A1 B1
a) Chứng minh rằng AC1 vng góc với mặt phẳng  BDMN  .
b) Tính thể tích khối chóp A.BDMN .
ĐS: V 

3
2

Bài 69: (Cơng Nghiệp Hịa Bình 2012-A)
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A1B1C1 có AB  a , AC  2a, AA1  2a 5 và BAC  1200 .Gọi M là trung điểm
của cạnh CC1 . Chứng minh MB  MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng  A1 BM  .
ĐS: d 

a 5
3

Bài 70: (Chuyên Nguyễn Huệ Hà Nội-2012 A lần 1)
Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân ở B , AA '  AC  a ,góc giữa đường thẳng
BC ' và mặt phẳng  ABC  bằng 600 .Gọi P, M lần lượt là trung điểm của BB ', CC ' , N là điểm thuộc A ' C '
sao cho NC ' 

a
.Tính thể tích khối tứ diện AB ' C ' B theo a và chứng minh PN  A ' M
4

Trang
13

Vũ Quang Huy

0932512918

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

Bài 71: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng
đáy , góc giữ đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 600
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2. Số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD) bằng  . Tính sin 
ĐS : VS . ABCD 

a3 3
3
và sin  
3
4

Bài 72: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, SA  a , SB  a 3, BAD  600 ,  SAB    ABCD 
.Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin góc giữa hai
đường thẳng SM và DN
ĐS: V  a 3 và cos  

3
4

Bài 73: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA  a 3 và SA vng góc với mặt
phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện S.ACD và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB, AC

ĐS: V 

1
a3 3
và cos  
6
2 2

Bài 74: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AB  2a , BAD  600 .Hình chiếu vng góc của
đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm H của tam giác ABD. Biết tam giác SAC vuông tại đỉnh S, tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)
ĐS: V 

4 2 3
a và   450
3

Bài 75: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy  ABC  là tam giác cân với AB  AC  a .Góc

BAC  1200 , cạnh bên BB '  a , gọi I là trung điểm của CC ' .Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và

 AB ' I 
ĐS: cos  

3
10

Bài 76: (Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị 2013-A Lần I,II)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4a .M là trung điểm BC, H là trung điểm AM và
SH  (ABC). Góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và góc

giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)

Trang
14


Vũ Quang Huy

0932512918

ĐS: V  2 3a3 và   arccos

Đà nẵng, ngày 9-8-2015

1
8

Bài 77: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường
trịn đường kính AD, với AD  2a .Gọi I là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ I tới mặt phẳng (SCD)
3a 3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và cosin góc tạo bởi đường thẳng SO và AD. Với O là
8
giao điểm của AC và BD.

bằng

ĐS: V 

 21 
a3 3

và   arccos 

4
 7 

Bài 78: (Chuyên Nguyễn Huệ,Phú n 2012-A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a .SA  (ABCD) và SC hơp với mặt phẳng
(ABCD) một góc 600 .Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CD,AD. Tính khoảng cách từ điểm N đến
mặt phẳng (SMP). Tính góc giữa SM và NP
ĐS: d  N ;  SMP   

3
a 6
và cos  SM , NP  
5
58

Bài 79: (Chuyên Lê Q Đơn, Quảng Trị 2012 –A)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a ;M và N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Biết rằng
(AMN)  (SBC). Tính thể tích khối chóp S.AMN.
ĐS: V 

5 3
a
96

Bài 80: (Chun Hạ Long-2013 A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , tam giác SAB đều và tam giác SCD vng tại S.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . Cho M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với
SA. Tính AM theo a .

ĐS: V 

a3 3
a 5
và AM 
12
2

Bài 81: (Nguyễn Trung Thiên, Hà Tĩnh-2013,A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a ,SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  a 3 .Gọi E và
F lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng (AEF) cắt SC tại I. Tính thể tích khối chóp S.AEIF.
3a 3 3
ĐS: V 
20

Trang
15


Vũ Quang Huy
0932512918
Đà nẵng, ngày 9-8-2015
Bài 82: (Chuyên Nguyễn Quang Diệu,Đồng Tháp 2012-D lần I,II)Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB,BC,CD
đơi một vng góc với nhau, AB=BC=CD= a .Gọi C’ và D’ lần lượt là hình chiếu của B trên AC và AD. Tính
thể tích tứ diện ABC’D’

a3
ĐS: V 
36

CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 83 Đề 2015: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng
 ABCD ,góc giữa đường thẳng SC và  ABCD bằng 450 .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC .
ĐS: V 

2a 3
a 10
và d 
3
5

3a
.Hình chiếu vng
2
góc của S lên  ABCD  la trung điểm cạnh AB .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ
Bài 84 A-2014: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD 

A đến  SBD  .

2a
a3
ĐS: V 
và d 
3
3
Bài 85 B-2014: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của A '
trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A ' C và mặt phẳng đáy bằng 600
.Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' và khoảng cách từ điểm B đến  ACC ' A ' .
3 3a 3

3 13a
ĐS: V 
và d 
8
13

Bài 86 D-2014: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác
đều cạnh a và mặt phẳng  SBC  vng góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC
ĐS: V 

a3 3
a 3
và d 
24
4

Trang
16


Vũ Quang Huy
0932512918
Đà nẵng, ngày 9-8-2015
0
Bài 87 A2013: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, ABC  30 ,SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt bên SBC vng góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C
đến mặt phẳng (SAB)
Bài 88 B2013: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ

điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Bài 89 D2013: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy,

BAD  1200 , M là trung điểm của cạnh BC và SMA  450 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Bài 90 A2012: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a .Hình chiếu vng góc của S lên mặt
phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)
bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a
Bài 91 B2012: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với AB  2a, AB  a .Gọi H là hình chiếu vng góc của A
trên cạnh SC. Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a
Bài 92 D2012: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vng, tam giác A’AC vng cân,
A ' C  a . Tính thể tích của khối tứ diện ABB ' C ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a
Bài 93 A2011: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  BC  2a ;hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt phẳng (ABC).Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và
song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối
chóp S.BCNM và khoảng cách giữa AB và SN theo a
Bài 94 B2011: Cho lăng trụ ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a 3 . Hình chiếu
vng góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng

 ADD1 A1  và  ABCD
 A1BD theo a

bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng

Bài 95 D2011: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA  3a, BC  4a ; mặt phẳng
(SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB  2a 3 và SBC  300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a
Bài 96 A2010: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung
điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) và

SH  a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

Trang
17


Vũ Quang Huy
0932512918
Đà nẵng, ngày 9-8-2015
Bài 97 B2010: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A 'B'C' có AB  a , góc giữa hai mặt phẳng  A ' BC  và

 ABC  bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác

A ' BC .Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện G.ABC theo a
Bài 98 D2010: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA  a ; hình chiếu
AC
vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH 
. Gọi CM là đường cao
4
của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Bài 99 A2009: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; AB  AD  2a , CD  a
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết rằng hai mặt phẳng
(SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài 100 B2009: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có BB '  a, góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng
(ABC) bằng 600 ;tam giác ABC vuông tại C và BAC  600 . Hình chiếu vng góc của điểm B ' lên mặt phẳng
(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a
Bài 101 D2009: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB  a ,
AA '  2a, A ' C  3a .Gọi M là trung điểm của đoạn thằng A ' C ', I là giao điểm của AM và A ' C . Tính theo a

thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

Trang
18