Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.16 MB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. [1H3-2.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho tứ diện đều ABCD Tính góc giữa vectơ.
DA



và BD


A. 60 B. 90 C. 30 D. 120

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng.

Chọn D

Vì ABCD là tứ diện đều ADB là tam giác đều ADB60

Vẽ DE BD  . Khi đó



DA BD,

 

 DA DE,



ADE180  ADB120

   

Câu 2. [1H3-2.2-3] (Sở Bắc Ninh) Cho hình chóp .O ABC có ba cạnh OA, OB , OC đơi một vng
góc và OA OB OC a . Gọi    M là trung điểm cạnh AB. Góc tạo bởi hai vectơ BC và OM
bằng

A. 135 . B. 150 . C. 120 . D. 60 .

Lời giải

Tác giả: Vũ Văn Bắc; Fb: vuvanbac.xy.abc

Chọn C

Cách 1:

Ta có





2
1

2 .

2 2



 



  



  



  

 

  

OM OA OB a

OM BC OB

BC OC OB .

2 2 2

  

BC OB OC a và

2 2

1 1 2

2 2 2

   a

OM AB OA OB

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Do đó:









. 2 1

cos , . 120

. 2 2

. 2
2

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  OM BC a  

OM BC OM BC

OM BC a

a

.
Cách 2:

Nguyễn Ngọc Thảo ; Fb: Nguyễn Ngọc Thảo

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Ta có: O



0;0;0



, A



0; ;0a



, B a



;0;0



, C



0;0;a



; ;0
2 2
 
 
 
a a
M
.

Khi đó ta có:  



;0;





BC a a

, 2 2; ;0

 

 

 

 a a
OM









cos  BC OM              ;  ..
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BC OM
BC OM
2
2

2
. 2.
2


a
a
a 1
2









; 120

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BC OM

Câu 3. [1H3-2.3-1] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hình chóp S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng

a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc



 ,IJ CD



bằng

A. 30 . B. 60. C. 45. D. 90.

Lời giải

Tác giả: Lê Vũ; Fb: Lê Vũ

Chọn B

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Mặt khác IJ là đường trung bình của tam giác SBC nên IJ// SB

Do đó:



IJ CD ,





SB,AB



60 (vì SAB đều).

Câu 4. [1H3-2.3-2] (Chuyên Hà Nội Lần1) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D.     có đáy là hình chữ
nhật và CAD   . Số đo góc giữa hai đường thẳng  40 AC B D,  là

A. 40 B. 20. C. 50. D. 80.

Lời giải
Chọn D

Vì BD B D//   nên



AC B D;   





AC BD;



AOB80 với O là tâm hình chữ nhật ABCD .

Câu 5. [1H3-2.3-2] (Hồng Hoa Thám Hưng n) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     , biết đáy

ABCD là hình vng. Tính góc giữa A C và BD.

A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .

Lời giải

Tác giả: Đặng Phước Thiên; Fb: Đặng Phước Thiên

Chọn A

Vì ABCD là hình vng nên BDAC.

Mặt khác AA



ABCD



 BDAA.

Ta có '





BD AC

BD AA C BD A C

BD AA



 

   




 .

Do đó góc giữa A C và BD bằng 90 .

Câu 6. [1H3-2.3-2] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho tứ diện ABCD có AB CD . Gọi
, , ,

I J E F

lần lượt là các trung điểm của AC BC BD AD . Góc giữa , , , IE và JF bằng

A.45 .0 B. 80 .0 C.90 .0 D.60 .0

Lời giải

Tác giả:Trần Thủy ; Fb:Trần Thủy

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Theo tính chất của đường trung bình ta có

1
2
1
2
IJ EF AB

JE IF CD


 





  




Mặt khác ta lại có AB CD nên IJ EFIF JE. Hay tứ giác IJEF là hình thoi. Suy ra
IEJF.

Vậy góc giữa IE và JF bằng 900.

Câu 7. [1H3-2.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hình chóp

S ABC

.

có

SA SB



và

CA CB



. Góc
giữa hai đường thẳng SC và AB bằng

A.30o. B. 45o. C.60o. D.90o.

Lời giải

Tác giả: Trần Lê Cường; Fb: Thầy Trần Lê Cường

Chọn D

Ta có SA SB và CA CB nên các tam giác SAB và CAB lần lượt là các tam giác cân tại S
và C.

Gọi H là trung điểm của AB (tham khảo hình vẽ), suy ra

SH

và

CH

là các đường trung

tuyến đồng thời là các đường cao trong hai tam giác cân

SAB

và

CAB

Từ








   





SH AB

AB SHC AB SC

CH AB .

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 8. [1H3-2.3-2] (Chuyên Thái Nguyên) Cho tứ diện ABCD có ABACAD và

  60

BAD BAC 

  . Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD .

A

. 90. B. 45. C. 60. D. 30.

Lời giải

Tác giả:Trần Công Diêu; Fb:Trần Cơng Diêu

Cách 1. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng



BCD



.

Ta có ABAC AD nên suy ra H là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác BCD .

Lại có

 





BAD BAC BC BD

H BM AH ABM



   

    .

Mặt khác





CD BM

CD ABM CD AB

CD AH




   




 .

Cách 2.





2 0 2

. . . .cos 60 .cos 60 0

AB CD AB BD BC AB BD AB BC a a 

      

        
        

        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        

.
Chọn A

Câu 9. [1H3-2.3-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho hình
chóp .S ABCD có đáy là một hình vng, SA vng góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình

chiếu vng góc của A lên các đường thẳng SB , SD . Gọi P là giao điểm của SC và



AMN



. Khi đó góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng

A. 6



. B. 2



. C.

2
3



. D. 4



Lời giải

Tác giả: Lê Thị Hiền; Fb: Lê Hiền

Chọn D

● Dựng điểm P

Gọi OACBD, I MNSO.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

● Xét các tam SAB và SAD có: SAB SAD 90 , SA chung, AB AD .

Suy ra SAB SAD  SA SD và AM AN  MN BD// .

 

● Ta có

BDAC (do ABCD là hình vng).

BDSA (do SA



ABCD



).

Suy ra BD



SAC



mà AP



SAC



nên suy ra BDAP.

 

Từ

 

1 và

 

2 suy ra MN AP hay góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng 2



Bài tập tương tự:

Câu 10. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là một hình vng, SA vng góc với đáy. Gọi M là hình
chiếu vng góc của A lên đường thẳng SB . Khi đó góc giữa hai đường thẳng AM và SC
bằng

A. 6



. B. 2



. C. 3



. D. 4



Câu 11. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là một hình vng, SA vng góc với đáy. Gọi M , N lần
lượt là hình chiếu vng góc của A lên các đường thẳng SB , SD . Gọi P là giao điểm của
SC và



AMN



. Gọi I J, lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AB, AD và thỏa mãn

3
AB AI

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

, 3DJ  2DA. Khi đó góc giữa hai đường thẳng AP và IJ bằng

A. 6



. B. 2



. C. 3



. D. 4


.
Ghi nhớ:
●
//
a b
c b
c a

 


 .
●

 

d

d a
a





 



 .
●

 

,
d a
d b
d
a b

a b I





 

 




  
 .

Câu 12. [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho hình lập phương
.

ABCD A B C D    . Góc giữa hai đường thẳng CD và AC bằng

A. 30 . B. 90 . C. 60 . D. 45 .

Lời giải

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ta có:

CD C D

CD AC

CD AD

 



 

 


 

 suy ra góc giữa hai đường thẳng CD và AC là 90 .

Câu 13. [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tứ diện đều có góc tạo bởi hai
cạnh đối diện bằng

A. 900. B. . C. 300. D.450.

Lời giải.

Tác Giả: Phùng Văn Khải

Chọn A

Trong BCD, gọi H là chân đường cao hạ từ B .

H

 là trung điểm của CD và BH CD

 

2
AH CD

 

Từ

   

1 ; 2  CD



ABH



CD AB

 

Tương tự với các cặp cạnh đối còn lại.

Bài tập tương tự

Câu 14. Cho tứ diện

ABCD

có hai mặt ABC và

ABD

là các tam giác đều. Góc giữa AB và

CD

là:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 15. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD, , đơi một vng góc với nhau. Số đo góc giữa hai đường
thẳng

AB

và CD bằng:

A.

30

0. B.90 .0 C.

60

0. D.45 .0

Ghi nhớ: Tứ diện đều có các cặp cạnh đối vng góc.

Câu 16. [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho tứ diện .S ABC có

; 2

SA SB SC  ABAC a BC a . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

A. 0. B. 120 . C. 60 . D. 90 .

Lời giải
Chọn C.

Gọi M N P lần lượt là trung điểm của , ,, , BC SB SA . 
Góc giữa AB và SC là góc giữa PN và MN .

2
a
MN  NP

2 2

3
2
a

PC BP   PM  PC  CM

2 2

3 2

2 2 2

a a a

   

      

   

Suy ra tam giác MNP là tam giác đều  MNP60 . 
Vậy góc giữa AB và SC bằng 60 .

Câu 17. [1H3-2.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     . Khẳng

định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Góc giữa hai đường thẳng B D  và AA bằng 60 .
B. Góc giữa hai đường thẳng AC và B D  bằng 90 .
C. Góc giữa hai đường thẳng AB và D C bằng 45 .
D. Góc giữa hai đường thẳng D C và A C  bằng 60 .

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Hiền; Fb: Lê Hiền

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

● ABCD A B C D.     là hình lập phương nên AA



A B C D   



 AAB D 



AA B D  ,



   nên đáp án A sai.

● Do B D BD // nên



AC B D,   

 

AC BD,



90 (vì ABCD là hình vuông).

● Do AB CD// nên



AB D C, 

 

 CD D C, 



DCD 45 (vì CDD C  là hình vng).

● Do D C A B //  nên



D C A C ,  

 

 A B A C ,  



BA C  60 (vì A BC  là tam giác đều cạnh
2

AB ).

Câu 18. [1H3-2.3-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình lăng
trụ

ABC A B C

.

  

có độ dài cạnh bên là 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a ,

AC a . Hình chiếu của A lên



ABC



trùng với trung điểm I của BC . Khi đó





cos AA B C   là,

A. 
2

2 . B.

2 . C.

4 . D.

3
2 .

Lời giải

Tác giả:Lê thị Ngọc Thúy ; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy

Chọn C

Ta có AA BB// , BC B C//   nên




AA B C  ,







BB BC,



IBB

 .

Xét tam giác vuông ABC : BC AB2AC2 2a 2

BC

BI a

  

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Xét tam giác vuông AA I : A I'  AA2 AI2  4a2 a2 a 3.

Xét tam giác vuông A IB : B I  A B 2A I 2  a23a2 2a.

Áp dụng định lí coscho tam giác BIB: cos IBB

2 2 2

2. .

BI BB IB

BI BB

 

 





2 4 2 4 2
2. .2

a a a

a a

 

 1

4


Vậy





 1

cos , cos

4
AA B C    IBB

Câu 19. [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có I J, tương ứng là
trung điểm của BC và BB. Góc giữa hai đường thẳng AC và IJ bằng

A. 45. B. 60. C. 30. D. 120.

Lời giải

Tác giả: Phan Chí Dũng ; Fb: Phan Chí Dũng

Chọn B

Gọi K là trung điểm của AB vì ABCD là hình vng nên KI AC// , suy ra góc giữa AC và
IJ bằng góc giữa KI và IJ .

Ta có

1 1 1

; ;

2 2 2

IK  AC IJ  B C KJ  AB

vì ABCD A B C D.     là hình lập phương nên

AC B C  AB suy ra KI IJ JK suy ra tam giác IJK là tam giác đều, suy ra ·KIJ   .60

Vậy góc giữa AC và IJ bằng 60 .
BÀI TỐN TỔNG QT

 Bài tốn: Xác định góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian.
 Kiến thức cần nhớ để vận dụng vào bài tập

 Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 Phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Tìm hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song ( hoặc
trùng ) với a và b, thông thường ta chọn O thuận lợi thuộc đường thẳng a , b đi qua O
và song song với b. Khi đó góc giữa a và b là góc giữa a và b.

Cách 2: Sử dụng véc tơ

Gọi  là góc hai đường thẳng a và b.

u và u 2 lần lượt là các véc tơ chỉ phương của a và b.

- Nếu





0
1; 2 90
u u          
 

 
 
 
 

thì:  



u u1; 2



 

- Nếu





0
1; 2 90
u u  

thì:





1 2
180 u u;

  

 
.

CÙNG MỨC ĐỘ

Tác giả: Vũ Nga; Fb: Nga Vu

Câu 20. [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình lập phương ABCD A B C D.    . Góc giữa hai đường
thẳng AC và A B bằng

A. 45. B. 60. C. 30. D. 120.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Do AC A C//   nên góc giữa hai đường thẳng AC và A B là góc giữa hai đường thẳng A C 
và A B . Ta có A C A B BCa 2 ( với a là độ dài cạnh của hình lập phương )

A BC 

  đều BA C  600

   góc giữa hai đường thẳng AC và A B là 60.

Câu 21. [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có đáy là hình vng
cạnh 2a, cạnh bên là a . I J, tương ứng là trung điểm của BC và BB. Góc giữa hai đường
thẳng AC và IJ bằng  . Tính osc  ?

A.

10
os

5
c  

. B.

5
os

5
c  

. C.

1
os

2
c  

. D.

3
os

2
c  

Lời giải

Gọi K là trung điểm của AB vì ABCD là hình vng nên KI AC// , suy ra góc giữa AC và
IJ bằng góc giữa KI và IJ .

Ta có IK a 2,

2 5

4 2

a a

JK JI  a  



os

2
KI
c JIK

IJ

 10

 os 10

5
c 

 

Câu 22. [1H3-2.3-4] (Ngô Quyền Hà Nội) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có .    AB a và
2

 

AA a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng 

A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .

Lời giải

Tác giả: Trần Đình Thái ; Fb: Đình Tháii

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Gọi E là điểm đối xứng của A qua B.

Ta có AB B E/ /  và AB B E a   suy ra ABEB là hình bình hành.

/ /
AB BE

 



AB BC, 







BE BC, 



EBC.

Xét tam giác BB E có BBB E  BB E vuông tại B.

2 2 2 2 2 3

BE BB B E a a a

      .

Xét tam giác BB C  có BBB C   BB C  vuông tại B.

2 2 2 2 2 3

BC BB B C  a a a

      .

Xét tam giác A C E  có

1
2
C B A B B E  A E

A C E 

  vuông tại C  C E  A E 2 A C 2  4a2 a2 a 3.

Suy ra tam giác BEC có BE C E BC   a 3  BEC là tam giác đều.

 60

EBC

   



AB BC, 



60 .

Vậy góc giữa đường thẳng AB và BC bằng 60 .

Câu 23. [1H3-2.4-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho tứ diện
đều ABCD . Khi đó góc giữa AB và CD bằng:

A.120. B.0. C.90. D.60.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Bích; Fb: Bich Nguyen

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Giả sử tứ diện ABCDđều cạnh a .

Ta có :













2 2

. . .

cos , cos ,

CB CA CD

AB CD CB CD CA CD

AB CD AB CD

AB CD a a

 

   

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

     

 

  2 2

2 2

. .cos . .cos .cos 60 .cos 60

CA CD ACD CB CD BCD a a

a a

 

  

 

Vậy góc giữa AB và CD bằng 90 .

Bài tập tương tự :

Câu 24. Cho tứ diện ABCD có các mặt



ABC



và



ABD



là các tam giác đều cạnh a, các mặt



ACD



và



BCD



vng góc với nhau. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD và BC

A. 30° B. 60° C. 90° D. 45°

Câu 25. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là trung

điểm của AD.

A.
3

2 B.

4 C.

6 D.

1
2
Ghi nhớ: Cách xác định góc giữa hai đường phẳng

+Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°

Nếu a và b cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các góc được tạo bởi hai đường
thẳng.

+Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường thẳng 'a và 'b cùng đi qua
một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.

Tức là:













/ / '

, ', '

/ / '
a a

a b a b
b b



 




</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>







0  a b, 90

*Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm (thuộc một trong hai đường
thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng song song với đường còn lại.

*Nếu u u1, 2
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b ;  là góc giữa hai

vectơ u u1, 2
 

thì:













1, 2 90

180 90

u u khi

a b

khi

 

   




    


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Tức là:









1 2



1 2
1 2

cos , cos ,

.
u u

a b u u

u u

 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

 

Câu 26. [1H3-2.4-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam
giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

A. 120. B. 60. C. 90. D. 30.

Lời giải.

Tác giả: Văn Bùi Vũ; Fb: Van Tuan Vu.

Chọn C.
Cách 1 .

Gọi E là trung điểm của CD. Ta có: BCDcân tại B , do đó CDBE.

ACD

 cân tại A , do đó CDAE.

Suy ra CD^

(

ABE

)

, mà AB



ABE



nên CDAB.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Cách 2 .

Xét AB CD AB AD AC. 







    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
. .

AB AD AB AC

                               AB ADcosBAD  AB AC cosBAC0

   
   
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
.

( Vì ABADAC, BAD BAC  60).

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

Câu 27. [1H3-2.4-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình lập phương ABCD EFGH có cạnh.
bằng a . Tính               AC EF.

A. 2a2. B. a 2. C.

2
2

2
a

. D. a2.

Lời giải

Tác giả: Lưu Anh Bảo ; Fb: Luu Anh Bao

Chọn D
Ta có
//




AE CG

AE CG  ACGE là hình bình hành  ACEG . Do đó

.  .
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

AC EF EG EF  . .cos



;



   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

EG EF EG EF EG EF. .cosGEF 2. .cos 45
a a  a2.

Câu 28. [1H3-2.4-2] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Cho lăng trụ tam
giác đều ABC A B C.    có tất cả các cạnh đều bằng a. Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng

BC và AB là

A. 
1

2 . B.

4 . C.

3 . D.

2
4 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tuấn Phương ; Fb: Nguyễn Tuấn Phương

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ta có AB BC. 



AB BB BC 



. AB BC BB BC.  .
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        

        
.

Vì BB



ABC



 BBBC BB BC'. 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
do đó
2
2 0

. . cos 60

2
a
AB BC BA BCa 

   
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
.

Vậy





. 2 2

cos ,

. 2. 4

a
AB BC
AB BC

AB BC a a


   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

. Do đó chọn đáp án D.

Câu 29. [1H3-2.4-2] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam
Định Lần 1) ] Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vng cạnh là 2a ; cạnh SA a và
vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD . Tính cos với  là góc tạo bởi hai đường
thẳng SB và AM .

A. 
2

5. B.

2. C.

5. D.

2
5


Lời giải

Tác giả: Trương Thanh Nhàn; Fb: Trương Thanh Nhàn

Chọn A

Cách 1:

Gọi N , P lần lượt là trung điểm của ABvà SA .

Ta có
//
//
SB NP
AM NC



</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Xét NPC có 
5
2
a
NP 
,
33
2
a
PC 

, NC a 5.

Khi đó

 2 2 2 2

cos cos

2 . 5

NP NC PC

PNC

NP NC

     

Cách 2 : Trương Hồng Hà

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A



0;0;0



, S



0;0;a



, B a



2 ;0;0



,D



0;2 ;0a



Ta có M a a



; 2 ;0



, AM 



a a; 2 ;0





, SB



2 ;0;a  a





Do đó





2 2 2 2

2 2

cos cos ,

5
4 . 4

a
AM SB

a a a a

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.

Câu 30. [1H3-2.4-2] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho tứ diện ABCD có AC3a,BD4a. Gọi M
, N lần lượt là trung điểm của ADvà BC . Biết AC vng góc với BD. Tính MN.

A.
5
2

a
MN 
. B. 
5
2
a
MN 
. C. 
7
2
a
MN 
. D. 
7
2
a
MN 
.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa; Fb: />

Chọn A

+ Gọi P, Q lần lượt là trung điểm DC ,AB.

+ Vì

// //
// //

MP QN AC

QM NP BD

BD AC





 

 nên tứ giác MPNQ là hình chữ nhật có

3
2

a
MP NQ 

,
2

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

+ Ta tính được

2 2 5

2
a
MN  MP PN 

(đvđd).

Câu 31. [1H3-2.4-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho tứ diện gần

đều ABCD , biết AB CD  , 5 AC BD 34, AD BC  41. Tính sin của góc giữa

2 đường thẳng AB và CD .

A. 
24

25 . B.

25 . C.

2 . D.

1
3 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Thắng; Fb: Nguyễn Thắng
Phản biện: Nguyễn Thị Thu Hương; Fb: Hương Nguyễn

Chọn A

Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của AC AD BC, ,

 

/ / , / / ( , ) ( , )

MN CD MP AB AB CD MN MP

   .

Ta có:

5
2
MN MP

(các đường trung bình).
( . . )

ABC DCB c c c  APDP

  (2 đường trung tuyến tương ứng)

PAD

  cân tại P PN  AD PN  PD2  ND2

Theo công thức đường trung tuyến ta có:

2 2 2

2 2 2 77

4 4

CD BD BC

PD    

2 77 41 9

4 4

PN

   

Xét MNP , theo định lí costa có:

 2 2 2

25 25

9 7

4 4

2 . 2. 25

MN MP PN

cosPMN

MN MP

 

  

 90 ( , ) 

PMN AB CD PMN

    



7 24

sin 1

25 25

PMN  

     

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Chú ý: Có thể dùng cơng thức tính nhanh:



2 2

( , )

BC BD

cos AB CD

AB


 

Câu 32. [1H3-2.4-2] (Lê Q Đơn Điện Biên Lần 3) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     . Tính góc
giữa AC và BD .

A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 120 .

Lời giải

Tác giả: Hà Lê; Fb: Ha Le

Chọn A

Cách 1:

Vì ABCD là hình vng nên BDAC.

Mặt khác AA 



ABCD



 AABD.

Ta có

BD AC
BD AA









  BD



AA C



 BDAC'.

Vậy góc giữa AC và BD bằng 90 .

Cách 2:

Vì C B , C D  , C C đơi một vng góc với nhau nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O C
như hình vẽ. Giả sử cạnh hình lập phương đã cho có độ dài bằng a .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>



; ;



C A a a a 

, BD



a a; ;0





. 0

C A BD                 C A   BD. Vậy góc giữa AC và BD bằng 90 .

---STRONG TEAM TOÁN VD

VDC---Câu 33. [1H3-2.4-3] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho hình
chóp .S ABC có SA SB SC AB AC    và BCa 2. Tính góc giữa hai đường thẳng SC
và AB.

A. 60 B. 90 C. 120 D. 45

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng.

Chọn A

* Ta có





. ( ). . .

cos ,

.
.

SC AB SA AC AB SA AB AC AB
SC AB

a a a

SC AB
 
  
        
        
        
        
        

        
        
        
        
        
        
        
        
        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Vì CB2 (a 2)2 a2a2 AC2AB2 ABC vng tại A               AC AB. 0

SAB

 đều nên SAB 60  (SA AB, ) 120 

 

. . .cos120

2
a

SA AB a a 

   
 









2
2
1
2

cos , , 120 ( , ) 180 120 60

2
a

SC AB SC AB SC AB

a




                                         

Bài tập tương tự :

Câu 34. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos



AB DM,



bằng :

A. 
2
.
2 B. 
3
.
6 C. 
1
.
2 D. 
3
.
2

Câu 35. Cho tứ diện ABCD có

3
2
AC AD

, CAB DAB  60 , CD AD . Gọi  là góc giữa AB
và CD . Chọn khẳng định đúng?

A. cos 4
3
.



B.  60 . C.  30 . D. cos 4
1
.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Ghi nhớ:

 

.
cos ,
.
u v
u v
u v

 
 
 

Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng

a

và v là vectơ chỉ phương của đường thẳng b

và



u v,




 

thì góc giữa hai đường thẳng

a

và b bằng



nếu 0   90 và bằng 180  

nếu 90  180 . Nếu

a

và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 .

Câu 36. [1H3-2.4-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho tứ diện ABCD có
AB AC AD và BAC BAD 60 , CAD 90 . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của
AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD



A. 60 . B. 90 . C. 120 . D. 45 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Huỳnh Như ; Fb: Nhu Nguyen

Chọn B

 

2
IJ IA AD DJ

IJ IB BC CJ

  
  
   

Lấy

   

1  2 ta được:



 



2IJ  IA IB   AD BC   DJ CJ AD BC

Hay









1 1

2 2

IJ  AD BC  AD AC AB 

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
.



 



2 2
0 0
1
. .
2

1 1 1 1 1 1

. . . .

2 2 2 2 2 2

1 1

. . . 60 . . 60 0

2 2

IJ CD AD AC AB AD AC

AD AD AC AC AD AC AB AD AB AC

AB AD cos AB AC cos

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23></div>

Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện



 







































































<i>S ABC</i>

.

<i>SA SB</i>



<i>CA CB</i>



<i>SH</i>

<i>CH</i>

<i>SAB</i>

<i>CAB</i>

























 













 

 

 





 

 

 

 

 

 

   

