on toan 12

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu

Cách chọn
Đặt x = |a| sint; với

a2 − x2

t ∈ [ 0; π ]
hoặc x = |a| cost; với
a
 π π
t ∈  − ;  \ { 0}
 2 2
Đặt x = sint ; với
a
π 
t ∈ [ 0; π ] \  
2
hoặc x = cost ; với

x2 − a2

 π π
t ∈ − ; ÷
 2 2
Đặt x = |a|tant; với
t ∈ ( 0; π )
hoặc x = |a|cost; với

a 2 + x2
a+x
a − x hoặc

a−x
a+x

( x − a) ( b − x)
1
a + x2
2

1

I=

∫

2
2

Bài 1: Tính
Giải:

Đặt x = acos2t
Đặt x = a + (b – a)sin2t
 π π
t ∈ − ; ÷
 2 2
Đặt x = atant; với

1 − x2
dx
x2

 π π
t ∈ − ; 
 2 2  . ⇒ dx = - sint dt
Đặt x = cost,
Đổi cận:
π
2
x
4
2
t
1
0
1
2
0
1− x
1 − cos 2t .sint
I= ∫
dx
−∫
dt
x2
cos 2t
2

π
2
Khi đó:
= 4
=

π
4

 1

π
4

∫
0

sin t .sin t
dt
cos 2t

π
4

=

sin 2 t
∫ cos 2t dt
0

=



∫  cos t − 1÷dt


2

0

 π π
t ∈− ; 
 2 2

=

π
( tan t − t ) 4
 π
π
t ∈ 0; 
1−
0 =
 4  nên sint ≥ 0 ⇒ sin t = sin t )
4 . (v?
=
1

a

Bài 2: Tính
Giải:

I = ∫ x 2 a 2 − x 2 dx
0

 π π
t ∈ − ; 
 2 2  . ⇒ dx = acostdt
Đặt x = asint,
Đổi cận:
x

0

t

0

a
π
2
π
2

a

Khi đó:

π
4 2

a
4

∫ sin

2

I = ∫ x 2 a 2 − x 2 dx
0

=

∫a

2

0

sin 2 t a 2 ( 1 − sin 2 t ) .acostdt

π
2

=

a 4 ∫ sin 2 tcos 2tdt
0

=

2tdt

0

=

π
a4  1

t − sin 4t ÷ 2 π a 4
∫ ( 1 − cos4t ) dt 8  4

0
0
=
= 16

π
4 2

=

a
8

1

Bài 3: Tính
Giải:

I = ∫ x 2 1 − x 2 dx
0

 π π
t ∈ − ; 
 2 2  . ⇒ dx = costdt
Đặt x = sint,
Đổi cận:
x
0
1
π
t
0
2
π
2

1

Khi đó:

I = ∫ x 2 1 − x 2 dx
0

=

∫ sin

2

π
2

t 1 − sin 2 t .costdt

0

π
1 1

1
t − sin 4t ÷ 2 π
∫ ( 1 − cos4t ) dt 8  4

0
8
= 0
=
= 16

=

1
2
2
∫ sin tcos tdt

40

π
2

=

1
2
∫ sin 2tdt
40

π
2

1

Bài 4: Tính
Giải:

I = ∫ x 3 1 − x 2 dx
0

2
Đặt t = 1 − x ⇔ t2 = 1 – x2 ⇒ xdx = -tdt
Đổi cận:
x
0
1

2


t

1

0

1

Khi đó:

I = ∫ x 3 1 − x 2 dx
0

1

I = ∫ x 2 1 − x 2 xdx

=

0

1

1

∫ ( 1 − t ) .t.tdt ∫ ( t
2

=

0

=

0

2

− t 4 ) dt

 t3 t5  1
 − ÷
3 50
=

2
.
= 15
e2

I=
Bài 5: Tính
Giải:

dx

∫ x ln

5

e

x

dx
Đặt t = lnx ⇒ dt = x
Đổi cận:
x
e
e2
t
1
2
e2
2
dx
dt
I=∫
5
∫ t5
x ln x 1
e
Khi đó:
=
=
1

Bài 6: Tính
Giải:

 1  2 15
 − 4 ÷1 = .
64
 4t 

I = ∫ x 3 ( x 4 + 1) dx
4

0

⇒ x 3 dx =

Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 4x dx
Đổi cận:
x
0
1
t
1
2
4

3

1

Khi đó:

dt
4

2
1 4
 1 5  2 31
∫ t dt =  20 t ÷1 = 20 .


= 41

I = ∫ x 3 ( x 4 + 1) dx
4

0

π
2

I = ∫ sin 5 xcoxdx

0
Bài 7: Tính
Giải:
Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx
Đổi cận:
π
x
0

2
t
0
1

π
2

Khi đó:
I=
Bài 8: Tính
Giải:

1

I = ∫ sin xcoxdx = ∫ t 5 dt =
5

0

π
12

∫ tan

0

4

1

6

.

xdx

0

3


π
12

Ta có:

π
12

0

0

sin 4 x

∫ tan 4 xdx = ∫ cos 4 x dx

Đặt t = cos4x ;
Đổi cận:

⇒ dt = −4s in4 xdx ⇒ sin 4 xdx = −

x

π
12
1
2

0

t

1

Khi đó:

π
12

π
12

0

I=

dt
4

0

∫ tan 4 xdx = ∫

1

1
1
sin 4 x
1 2 dt 1 dt 1
1
dx = − ∫ = ∫ = ln t 1 = ln 2.
cos 4 x
41 t 41 t 4
4
2
2

π
2

Bài 9: Tính
Giải:

I = ∫ cos 5 xdx
0

π
2

π
2

π
2

∫ cos xdx = ∫ cos xcoxdx = ∫ ( 1 − sin x )
5

4

Ta có:
Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx
Đổi cận:
π
x
0
2
1
t
0
Khi đó:
0

0

π
2

π

2

0

0

2

coxdx

0

π
2

I = ∫ cos 5 xdx = ∫ ( 1 − sin 2 x ) coxdx = ∫ ( 1 − t
2

2

0

)

2 2

π
2

 2t 3 t 5  1 5

dt = ∫ ( 1 − 2t 2 + t 4 ) dt =  t −
+ ÷ = .
3
5  0 18

0

π
4

Bài 10: Tính
Giải:

1
dx
cos 4 x
0

I =∫

Đặt t = tanx ;
Đổi cận:
x

0

t

0
π

4

Khi đó:

⇒ dt =

1
dx
cos 2 x

π
4
1
π
4

1
 t3  1 4
1
1
2
I=∫
dx = ∫ ( 1 + tan x )
dx = ∫ ( 1 + t 2 ) dt =  t + ÷ = .
cos 4 x
cos 2 x
30 3

0
0

0

4


π
2

I =∫
π

cos 3 x
dx
s in 2 x

6
Bài 11: Tính
Giải:
Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx
Đổi cận:
π
π
x
6
2
1
t
1
2

π
2

π

1
1
1
2
cos 3 x
(1 − s in 2 x)
1− t2
1
1

 1 
I=∫
dx = ∫
cosxdx = ∫ 2 dt = ∫  2 − 1÷dt =  − − t ÷ 1 = .
2
2
s in x
t
2

 t 
π s in x
π
1
1t

2
6
6
2
2
Khi đó:
π
2

I = ∫ sin 3 xcos 3 xdx

0
Bài 12: Tính
Giải:
Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx
Đổi cận:
π
0
x
2
t
0
1
Khi đó:

π
2

π
2

 t4 t6  1 1
I = ∫ sin xcos xdx = ∫ sin x ( 1 − sin x ) cosxdx = ∫ t ( 1 − t ) dt = ∫ ( t − t ) dt =  − ÷ = .
 4 6  0 12
0
0
0
0
3

3

π
2

1

3

2

1

3

2

3

5

I = ∫ esin x sin 2 xdx
2

0
Bài 13: Tính
Giải:
Đặt t = sin2x ; ⇒ dt = s in2 xdx
Đổi cận:
π
0
x
2
t
0
1

π
2

Khi đó:

I = ∫e
0

sin 2 x

1

sin 2 xdx = ∫ et dt = et

0

1
= e − 1.
0

π
2

sin 2 x
dx
1 + cos 2 x
0

I =∫

Bài 14: Tính
Giải:
Đặt t = 1 + cos2x ; ⇒ dt = − s in 2 xdx ⇒ s in 2 xdx = − dt
5


Đổi cận:
0

x
t

2

π
2
1

π
2

1
2
2
sin 2 x
dt
dt
dx = − ∫ = ∫ = ( ln t ) = ln 2.
2
1
1 + cos x
t 1 t
0
2

I=∫

Khi đó:

π
4

Bài 15: Tính
Giải:

I = ∫ tan 3 xdx
0

Đặt t = tanx ;
Đổi cận:

⇒ dt = ( 1 + tan 2 x ) dx = ( 1 + t 2 ) dt ⇒ dx =

x
t
Khi đó:
π
4

0

0

dt
t +1
2

π
4
1

2
1
1

1
1
t3
t 
1 2t
t 2 1 1 d ( t + 1)

I = ∫ tan xdx = ∫ 2
dt = ∫  t − 2 ÷dt = ∫ tdt − ∫ 2
dt =
−
=
t +1
t +1 
2 0 t +1
2 0 2 ∫ t2 +1
0
0
0
0
0

=

1

3

1 1 1
1 1

1
− ln ( t 2 + 1) = − ln 2 = ( 1 − ln 2 ) .
0 2 2
2 2
2
1

Bài 16: Tính
Giải:

1
dx
1+ x
0

I =∫

2
Đặt t = x ; ⇒ t = x ⇒ dx = 2tdt
Đổi cận:
0
x
1
t
0
1
1
1
1
1

1
t
1 

I =∫
dx = 2 ∫
dt = 2∫ 1 −
÷dt = 2 ( t − ln 1 + t ) 0 = 2 ( 1 − ln 2 ) .
1+ t
1+ t 
x
0 1+
0
0
Khi đó:
1

Bài 17: Tính
Giải:

I = ∫ x 3 3 1 − x 4 dx
0

3
1 − x 4 ⇒ t 3 = 1 − x 4 ⇒ x3 dx = − t 2 dt
4
Đặt t =
Đổi cận:
0
x

1
t
1
0
3

6


1

Khi đó:

I = ∫ x 3 3 1 − x 4 dx =
0

0

I=
Bài 18: Tính
Giải:

∫x

2

−1

1
dx

+ 2x + 4

0

Ta có:

1

3 3
3 41 3
∫ t dt = 16 t 0 = 16 .
40

0

1
1
∫1 x 2 + 2 x + 4 dx = −∫1
2
−
( x + 1) +

( 3)

2

dx

 π π
t ∈  − ; ÷. ⇒ dx = 3 ( 1 + tan 2 t ) dt

 2 2
Đặt x + 1 = 3 tan t với
Đổi cận:
x
-1
0
π
t
0
6
π
π
0
1
36
3
π 3
I=∫ 2
dx =
∫ dt = 3 t 6 = 18 .
x + 2x + 4
3 0
−1
0
Khi đó:
1
x3
I =∫
dx
1 + x8

0
Bài 19: Tính
Giải:
1
1
x3
x3
dx = ∫
dx
∫ 1 + x8
4 2
0
0 1+ ( x )
Ta có:
1
 π π
t ∈  − ; ÷. ⇒ x 3dx = ( 1 + tan 2 t ) dt
4
4
 2 2
Đặt x = tan t với
Đổi cận:
x

0

t

0
3

I =∫
Khi đó:
e

I =∫
1

1

3

2

π
4

1 + ln x
dx
x

t = 1 + ln x ⇒ t 2 = 1 + ln x ⇒ 2tdt =

Đặt
Đổi cận:
x
t

π
4

π
x
x
1 1 + tan t
1
1
π
dx = ∫
dx = ∫
dt = ∫ dt = t 4 = .
8
2
4 2
1+ x
4 0 1 + tan t
40
4
16
0
0 1+ ( x )
0
1

Bài 20: Tính
Giải:

0
π
4

1
1

dx
x

e
2
7


e

Khi đó:

I =∫
1

1 + ln x
dx =
x

(

)

t3 2 2 2 2 −1
∫ t.2tdt =2 ∫ t dt =2 3 1 = 3 .
1

1
2

2

2

ln ( 2 − x )
dx
2− x
0
1

Bài 21: Tính
Giải:

I =∫

t = ln ( 2 − x ) ⇒ dt =

Đặt
Đổi cận:
x
t
Khi đó:

−dx
2− x

1

1
ln2
0
1
0
ln 2
ln ( 2 − x )
t 2 ln 2 ln 2 2
I =∫
dx = − ∫ tdt = ∫ tdt =
=
.
2− x
2 0
2
0
ln 2
0
π
2

Bài 22: Tính
Giải:

cosx
dx
1 + sin 2 x
0

I =∫

 π π
t ∈  − ; ÷⇒ cosxdx = ( 1 + tan 2 t ) dt
 2 2
Đặt sin x = tan t với
Đổi cận:
π
x
0
2
π
t
0
4
π
2

Khi đó:

π
2

I =∫
Bài 23: Tính
Giải:

π

π

4
4
cosx
1 + tan 2 t
π
I=∫
dx = ∫
dt = ∫ dt =
2
2
1 + sin x
1 + tan t
4
0
0
0

π
3

1
dx
sin x

x
1
x
2dt
⇒ dt =  1 + tan 2 ÷dx ⇒ dx =
2

2
2
1+ t2
Đặt
1
1
2tdt 1
dx =
.
= dt
2t 1 + t 2 t
sin x
1+ t2
Ta tính:
Đổi cận:
π
π
x
3
2
3
t
1
3
t = tan

8


π

2

1
I=∫
dx =
π sin x
Khi đó:

3
e

Bài 24: Tính
Giải:

I =∫
1

1

3 1
= ln 3.
3 = − ln
3
2
3

1
dx
x ( 1 + ln x )

Đặt
Đổi cận:
x
t

dx
x

1
1
e

I =∫
1

1

Bài 25: Tính
Giải:

1
∫ t dt = ( ln t )
3
3

t = 1 + ln x ⇒ dt =

Khi đó:

1

e
2

2
2
1
dt
dx = ∫ = ln t = ln 2.
1
x ( 1 + ln x )
t
1

I = ∫ x 5e x dx
3

0

t = x 3 ⇒ dt = 3 x 2 dx ⇒ x 2 dx =

Đặt
Đổi cận:
x
t

0
0
1

1
1

I = ∫ x 5e x dx =

Khi đó:

3

0

I=

1+ 5
2

Bài 26: Tính
Giải:

∫
1

1+ 5
2

∫
1

1
1

1 t
1 1 1
e 1 1 1
te dt = tet − ∫ et dt = − et =
∫
30
3 0 30
3 3 0 3

x2 + 1
dx
x4 − x2 + 1

x +1
dx =
x − x2 + 1
2

4

1+ 5
2

∫
1

Ta có:
t = x−

Đặt

Đổi cận:

1+

1
x2

1
x −1 + 2
x
2

dx =

1+ 5
2

∫
1

1 

1 + 2 ÷
 x  dx
2
1

x − ÷ +1

x



1
1 

⇒ dt =  1 + 2 ÷dx
x
 x 

x
t

dt
3

1
0
dt
I =∫
1+ t2
0

1+ 5
2
1

1

Khi đó:

9


t = tan u ⇒ dt = ( 1 + tan 2 u ) du
Đặt
Đổi cận:
x
0
1
π
t
0
4
π
4

π
4

π
dt
1 + tan u
π
I =∫
=∫
du = ∫ du = u 4 = .
2
2
1+ t
1 + tan u

4
0
0
0
0
Vậy
2
dx
I =∫
3
1 x 1+ x
Bài 27: Tính
Giải:
2
2
dx
x 2 dx
=∫
∫
3
3
1 + x3
1 x
Ta có: 1 x 1 + x
1

2

t = 1 + x 3 ⇒ t 2 = 1 + x 3 ⇒ 2tdt = 3 x 2 dx ⇒ x 2 dx =

Đặt
Đổi cận:
x
t

1
2

2tdt
3

2
3

Khi đó:
2

I =∫
1

=

2

dx
x 1 + x3

=∫
1

x 2 dx
x3 1 + x3

=

2
3

3

dt
1
∫ t 2 −1 = 3
2

3

 1

1 

∫  t − 1 − t + 1 ÷dt =


2

3


1

−1 3
( ln t − 1 − ln t + 1 ) =  1 ln tt + 1  = 1  ln 1 − ln 2 − 1 ÷ = 1 ln 2 + 1 = 1 ln
3
÷
 2
3
2 + 1 ÷ 3 2 2 −1 3
2 
 2 3


(

)

(

1

)

2 −1

2

2

Bài 28: Tính
Giải:

3x3
I =∫ 2
dx
x + 2x + 1
0
2

2

3x3
3 x3
dx = ∫
∫ x 2 + 2 x + 1 0 ( x + 1) 2 dx
0

Ta có:
Đặt t = x + 1 ⇒ dt = dx
Đổi cận:
x
0
2
t
2
3
Khi đó:

3
2
3
3

3 ( t 3 − 3t 2 + 3t − 1)
3 ( t − 1)
3x3
3x3
I =∫ 2
dx = ∫
dx = ∫
dt = ∫
dt =
2
x + 2x + 1
t2
t2
0
0 ( x + 1)
1
1
2

3
 t2
9
1 3 3


= ∫  3t − 9 + − 3t −2 ÷dt =  3 − 9t + 9 ln t + 3 ÷ = ( 32 − 12 ) − 9 ( 3 − 1) + 9 ( ln 3 − ln1) + 1 − 3 = 9 ln 3 − 8
t
t 1 2

 2

1

10


ln 2

I=

∫

e 2 x + 3e x
dx
e 2 x + 3e x + 2

0
Bài 29: Tính
Giải:
x
x
Đặt t = e ⇒ dt = e dx
Đổi cận:
x
0
ln2
t
1
2
Khi đó:
ln 2

I=

∫
0

e2 x + 3e x
dx =
e2 x + 3e x + 2

2

ln 2

∫
0

2

2

ex + 3
t +3
1 
 2
e x dx = ∫ 2
dt = ∫ 
−
dt
÷ =

2x
x
e + 3e + 2
t + 3t + 2
t +1 t + 2 
1
1

2

2
2
1
1
3
4
9
4
27
dt −∫
dt = 2 ln t + 1 − ln t + 2 = 2 ( ln 3 − ln 2 ) − ( ln 4 − ln 3 ) = 2 ln − ln = ln − ln = ln
1
1
t +1
t+2
2
3
4
3
16

1
1

= 2∫

4

I =∫

(

dx

)

x
1 x 1+
Bài 30: Tính
Giải:
2
Đặt x = t ⇒ dx = 2tdt
Đổi cận:
x
1
4
t
1
2
4
2

2
2
dx
2tdt
dt
1 1 
I =∫
=∫ 2
=2∫
=2∫  −
÷dt =
t (1+ t )
t 1+ t )
t 1+ t 
x
1 x 1+
1
1 (
1

(

Khi đó:

= 2 ( ln t − ln t + 1 )
1

Bài 31: Tính
Giải:

)

I =∫
0

(1− x )

2 3

2
1
4
 2
= 2  ln − ln ÷ = 2 ln .
1
2
3
 3

dx

 π
x = sin t , t ∈ 0;  ⇒ dx = costdt
 2
Đặt
Đổi cận:
x
0
1
π

t
0
2
Khi đó:

11


1

(1− x )

2 3

I =∫
0

π
2

π
2

π
2

π
2

2

( 1 − sin t ) .costdt = ∫ cos t.costdt = ∫ cos tdt = ∫  1 + cos2t  dt =

÷
2

0
0
0

dx = ∫

3

2

0

π
2

π

3

π

4

π

π

π
1
12
12
12
1 π 1 sin 2t
12
2
2
= ∫ ( 1 + 2cos 2t + cos 2t ) dt = ∫ dt + ∫ cos 2tdt + ∫ 2cos 2tdt = . + .
2 + ∫ ( 1 + cos 4t ) dt =
40
40
20
80
4 2 2 2
80
0
π
2

π
2

π
π 1
1

π π 1 sin 4t
π π 3π
= + ∫ dt + ∫ cos 4tdt = + + .
.
2= + =
8 80
80
8 16 8 4
8 16 16
0
π
2

I = ∫ cos 3 xdx
π
6

Bài 32: Tính
Giải:

π

sin x  2
I = ∫ cos 3 xdx = ∫ cos 2 x.cosxdx = ∫ ( 1 − sin 2 x ) cosxdx = ∫ ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x ) =  sin x −
÷ =
3 π
π
π
π
π


6
6
6
6
6
1 1 1
5
= 1− − +
=
3 2 24 24
π
2

π
2

π
2

π
2

3

π
4

Bài 33: Tính
Giải:

sin 4 x
sin x + cos 4 x
0

I =∫

4

π
4

π

π

π

4
4
4
sin 4 x
2sin 2 xcos 2 x
2sin 2 xcos 2 x
2sin 2 xcos 2 x
I=∫ 4
dx = ∫ 4
dx = ∫
dx = ∫
dx =

4
4
2
2
1 2
sin x + cos x
sin x + cos x
1 − 2sin xcos x
0
0
0
0 1−
sin 2 x
2
π
π
4
−1
1 2
1
 1 2 
=∫
d 1 − sin 2 x ÷ = − ln 1 − sin 2 x 4 = − ln = ln 2
1 2
2
2

0 1−
sin 2 x  2
0

2

π
2

cos 3 x
dx
π 1 + sin x

I =∫
Bài 34: Tính
Giải:

4

12


π
2

π
2

3

π
2

2

( 1 − sin x ) cosxdx =
2

cos x
cos x
dx = ∫
cosxdx = ∫
π 1 + sin x
π 1 + sin x
π 1 + sin x

I=∫
4

4

4

π
2

∫ ( 1 − sin x ) cosxdx =

π
4

π
1
1

3−2 2


= ∫ ( cosx − cosx sin x ) dx = ∫ cosxdx − ∫ s in 2 xdx =  sin x + sin 2 x ÷ 2 =
2π
4
4

π
π
π
4
4
4
4
π
2

π
2

π
2

π
2

Bài 35: Tính
Giải:

 sin x − cosx 
I = ∫
dx
÷
π  sin x + cosx 
4

π
−d ( sin x + cosx )
 sin x − cosx 
I = ∫
dx
= − ( ln sin x + cosx ) 2 = ln 2
÷ =∫
π
sin x + cosx
π  sin x + cosx 
π
4
4
4
π
2

π
2

π
2

Bài 36: Tính
Giải:
π
2

I = ∫ sin 3 xdx
0

π
2

π
2

π

cos 3 x 
1 2
I = ∫ sin xdx = ∫ sin x sin xdx = − ∫ ( 1 − cos x ) d ( cosx ) = −  cosx −
÷ 2 = 1− =
3 
3 3

0
0
0
0
Bài 37: Tính
Giải:

3

I =∫

2

2

cos3 x
dx
sin x
π

( 4cos 2 x − 3) .cosxdx = 2 4 ( 1 − sin 2 x ) − 3.d sin x =
cos3 x
4cos 3 x − 3cosx
I =∫
dx = ∫
dx = ∫
(
)
∫
sin x
sin x
sin x
sin x
0
1 
1 2


= ∫  −4sin x +
d
÷ ( sin x ) = −4. sin x + ln ( sin x ) + C
sin1 
2

I =∫

s in3 x
dx
sin x

Bài 38: Tính
Giải:
s in3 x
3s inx − 4sin 3 x
1
I =∫
dx = ∫
dx = ∫ ( 3 − 4sin 2 x ) dx = 3 x − 2 ∫ ( 1 − cos 2 x ) dx = 3 x − 2 x + 2. sin 2 x + c
sin x
sin x
2
= x + sin 2 x + C
1

Bài 39: Tính
Giải:

I =∫

0

x
dx
x + x2 + 1
4

13


1

2

2
Đặt t = x ⇒ dt = 2 xdx
Đổi cận:
x
0
1
t
0
1
1
1
x
1
dt
I =∫ 4
dx = ∫

2
x + x +1
2 0  1 2 3
0
t + ÷ +
 2 4
Khi đó:
1
y = t + ⇒ dy = dt
2
Đặt
Đổi cận:
t
0
1
1
3
y
2
2
3
2

1

I=
Khi đó:
3

1

dt
1
dy
∫  1 2 3 = 2 ∫  2
20
1
3
2
t + ÷ +
2 y +
÷
 2 4
 4

3
2
y ⇒ dz =
dy
4
3

z=

Đặt
Đổi cận:

1
2
1
3

y
z
3
2

1
I= ∫
21
2

4

3
2
3
dy

3
=
2
4
 3
y2 + 
÷
 4

3

∫

1
3

dz

1
=
3 2 3
3
z +
4
4

3

∫

1
3

dz
=
z +1
2

Khi đó:
z = tan u ⇒ dz = ( 1 + tan 2 u ) du
Đặt
Đổi cận:

1
z
3
3
π
π
u
6
3
I=

1
3

Ta được:
1

Bài 40: Tính

I =∫
0

π
dz
1 1 + tan u
1
π
3
=
2

∫ 1 + tan 2 u du = 3 u π = 6 3
z +1
3π
6
6
π
3

3

∫

1
3

x

( 2 x + 1)

2

2

dx

14


Giải:
5

t = 2x + 1 ⇔ x =

Đặt
Đổi cận:
x
t

t −1
dt
⇒ dx =
2
2

0
1

1
3

t −1
3
x
2 . dt = 1  1 − 1  dt = 1  ln t + 1  3 = 1  ln 3 − 2 
I =∫
dx = ∫ 2

÷

÷


÷
2
t
2 4 ∫  t t2 
4
t 1 4
3
0 ( 2 x + 1)
1
1
1

Khi đó:

3

0

I = ∫ x 2 ( x + 1) dx
9

−1
Bài 41: Tính
Giải:
6 Đặt t = x + 1 ⇔⇒ dt = dx
Đổi cận:
x
-1
0

t
0
1
0

1

1

1

0

0

I = ∫ x 2 ( x + 1) dx = ∫ ( t − 1) t 9 dt = ∫ ( t 2 − 2t + 1) t 9 dt = ∫ ( t 11 − 2t 10 + t 9 ) dt =
9

−1

2

0

t
t
t 1 1 2 1
1
= −2 + ÷ = − + =
11 10  0 12 11 10 660

 12
Khi đó:
12

11

10

π
2

Bài 42: Tính
Giải:

dx
1 + cosx
0

I =∫

 x
d ÷
π
dx
dx
 2  = tan x = 1
I=∫
=
=
2

1 + cosx ∫ 2cos 2 x ∫ cos 2 x
2
0
0
0
0
2
2
π
2

π
2

π
2

1

Bài 43: Tính
Giải:

I = ∫ x15 . 1 + 3 x8 .dx
0

1

Ta có:
7

1

0

0

15
8
8
8
7
∫ x . 1 + 3x .dx = ∫ x . 1 + 3x .x dx

t = 1 + 3x8 ⇒ dt = 24 x 7 dx ⇒ dx =

Đặt
Đổi cận:
x
t
Khi đó:

0
1

dt
24

1
4

15


1

1

4

4

0

0

1

Bài 44: Tính
Giải:
1

I =∫
0

I =∫
0

x + x +1
2

1

=∫x
0

x3
x + x2 + 1

dx = ∫
0

(

1

3

(

x2 + 1 − x

x +1 + x
2

1

x + 1dx − ∫ x dx = ∫ x
2

4

0

2

−t

1

2

)

 5

3
 t 2 t 2 ÷ 4 29
1
dt = 
−
=
3 ÷1 270
72  5
÷
 2
2 

dx

x3

1

x3

(

t −1
1
1
. t . dt = ∫ t
3
24
72 1
1

I = ∫ x15 . 1 + 3 x8 .dx = ∫ x8 . 1 + 3 x8 .x 7 dx = ∫

3

)(

)

x +1 − x
2

1

)

dx = ∫
0

x3

(

x2 + 1 − x

(x

2

+1− x

2

)

) dx =

∫( x
1

0

3

)

x 2 + 1 − x 4 dx =

1
x5 1
1
x + 1.xdx −
= ∫ x 2 x 2 + 1.xdx −
5 0 0
5
1 4 4 2 4 43

2

2

0

J

8

Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 2 xdx
Đổi cận:
x
0
1
t
1
2

2
2
2
2
3
1
1
1
1 3
1 1
1 5 2 2 3 2
J = ∫ ( t − 1) t . dt = ∫ t 2 − t 2 dt = ∫ t 2 dt − ∫ t 2 dt = t 2 − t 2 =
1 3
1
2
21
21
21
5
1
2

(

5

)

3

2 2 1 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
=
− −
+ =
−
+ =
+
5 5 3 3
5
3
15 15 15
Khi đó:
2 2 1
I=
−
15 15
Vậy
π
4

Bài 45: Tính
Giải:

sin 4 x
dx
1 + cos 2 x
0

I =∫
π

4

π

4
sin 4 x
2sin 2 xcos 2 x
dx = ∫
dx
∫ 1 + cos 2 x
1 + cos 2 x
0
0

9
10

Ta có:
2
Đặt t = 1 + cos x ⇒ dt = −2sin xcosxdx = − sin 2 xdx

cos 2 x = t − 1 ⇒ cos 2 x = 2cos 2 x − 1 = 2 ( t − 1) − 1 = 2t − 3

Đổi cận:
x

0

t

2

π
4
3
2

16


3
2

3

2
2
−2 ( 2t − 3) dt 2 
6
6

I =∫
= ∫  −4 + ÷ = ∫  4 − ÷ = ( 4t − 6 ln t ) 3 =
dt
dt
t
t
t
3
2

2
2
2

Khi đó:

3 
3
4

= 4  2 − ÷− 6  ln 2 − ln ÷ = 2 − 6 ln
2 
2
3

π
2

dx
π 1 + sin 2 x

I =∫
Bài 46: Tính
Giải:

4

π
2

π
2

π
2

dx
dx
dx
=∫
=∫
2
2
π 
π 1 + sin 2 x
π ( sin x + cosx )
π 

4
4
4  2cos  x −
÷
4 




I=∫

π

4

Bài 47: Tính
Giải:

I =∫
0

π
4

co s 2 x

( sin x + cosx + 2 )

dx

π
4

( cosx − sin x ) ( cosx + sin x ) dx
3
( sin x + cosx + 2 )
0
Ta có: 0
t = cosx + sin x + 2 ⇒ dt = ( cosx − sin x ) dx
Đặt
co s 2 x

∫ ( sin x + cosx + 2 )

11

3

π
1
dx
1
π
1

= ∫
= tan  x − ÷ 2 =
π 2
2π
4π 2


cos 2  x − ÷
4
4
4

π
2

Đổi cận:
x

3

dx = ∫

π
4
2+ 2

0

t
2
Khi đó:
2+ 2
( t − 2 ) dt = 2+ 2  1 − 2  dt =  − 1 + 1  2 + 2 = − 1 + 1 + 1 − 1 =
I= ∫
∫  t2 t3 ÷  t t2 ÷ 0
t3
2+ 2 6+4 2 3 9



0
0 
=

1− 2 − 2 2 2
1+ 2
2
+ = −

= −
9 2
6+ 4 2 9 9 2 3+ 2 2

(

)

(

1

)

2 +1

=

4 2 + 4−9
18

(

)

2 +1

=

4 2 −5

18

(

)

2 +1

π
4

Bài 48: Tính
Giải:

co s 2 x
dx
sin x + cosx + 2
0

I =∫
π
4

∫

π

4
( cosx − sin x ) ( cosx + sin x ) dx
co s 2 x

dx = ∫
sin x + cosx + 2
sin x + cosx + 2
0

Ta có: 0
t = cosx + sin x + 2 ⇒ dt = ( cosx − sin x ) dx
12 Đặt

17


Đổi cận:
x
t
Khi đó:

π
4
2+ 2

0
2

I=

2+ 2

∫
0

( t − 2 ) dt = 2+

∫

t

2

0

2+ 2
 2
= 2 + 2 − 2 ln 2 + 2 − 3 + 2 ln 3 =
 1 − ÷dt = ( t − 2 ln t )
0
 t

(

(

)

)

3
= 2 − 1 + 2 ln 3 − ln 2 + 2  = 2 − 1 + 2 ln



2+ 2
π
2

I = ∫ sin 2 x ( 1 + sin 2 x ) dx
3

0
Bài 49: Tính
Giải:
2
13 Đặt t = 1 + sin x + 2 ⇒ dt = 2sin xcosxdx = sin 2 xdx
Đổi cận:
π
x
0
2
t
1
2

π
2

Khi đó:

3

0

1

π
2

Bài 50: Tính
Giải:
Ta có:

2

I = ∫ sin 2 x ( 1 + sin 2 x ) dx = ∫ t 3dt =

t4 2
1 15
= 4− =
41
4 4

I = ∫ sin xcosx ( 1 + cosx ) dx
2

0

π
2

π
2

π
2

0

0

I = ∫ sin xcosx ( 1 + cosx ) dx = ∫ sin xcosx ( 1 + 2cosx + cos 2 x ) dx = ∫ ( cosx + 2cos 2 x + cos 3 x ) .sin xdx
2

0

14 Đặt t = cosx ⇒ dt = − sin xdx
Đổi cận:
π
x
0
2
t
1
0
 t 2 2t 3 t 4  1 17
I = − ∫ ( t + 2t + t ) dt = ∫ ( t + 2t 2 + t 3 ) dt =  +
+ ÷ =
3
4  0 12
2
1
0
Khi đó:

0

1

2

π
2

Bài 51: Tính
Giải:
Ta có:

I =∫
0

3

sin xcosx
a 2cos 2 x + b 2 sin 2 x

dx

18


π
2

I=∫

0

π
2

sin xcosx
a cos x + b sin x
2

2

2

2

dx = ∫
0

π
2

sin xcosx
a ( 1 − sin x ) + b sin x
2

2

2

2

dx = ∫
0

sin xcosx

(b

2

− a ) sin x + a
2

2

2

dx

2tdt = 2 ( b 2 − a 2 ) sin xcosxdx

t = ( b 2 − a 2 ) sin 2 x + a 2 ⇒ t 2 = ( b 2 − a 2 ) sin 2 x + a 2 ⇒ 
tdt
sin xcosxdx = 2
b − a2

15 Đặt
Đổi cận:
π
x

0
2
t
|a|
|b|
b
b
b−a
tdt
1
1
I=∫
= 2
.t = 2
=
2
2
2
2
b −a
a+b
a b −a
a t(b −a )
Khi đó:
2
x +1
I =∫ 3
dx
3x + 2
0

Bài 52: Tính
Giải:
t = 3 3 x + 2 ⇒ t 3 = 3 x + 2 ⇒ 3t 2 dt = 3dx; x =

16 Đặt
Đổi cận:
x
t

0
2
2
2
3
t −2
2
5
2
3 .t 2 dt = 1 t 4 + t dt = 1  t + t  2 = 1  42 − 4 2 − 1  = 37 − 4 2
( ) 3  5 2 ÷ 3 2 3  5 5 ÷ 15

÷
t
3 3∫2





3

2

I=
4

I=

∫

3

Khi đó:
Bài 53: Tính
Giải:

t3 − 2
3

2

∫x
7

dx
x2 + 9

t = x 2 + 9 ⇒ t 2 = x 2 + 9 ( t > 0 ) ⇒ tdt = xdx;

17 Đặt

Đổi cận:
x
t

dx tdt
tdt
= 2 = 2
x
x
t −9

4
5
5
dt
1 t −3 5 1 7
= ln
2
∫ t − 9 6 t + 3 4 = 6 ln 4
Khi đó: 4
7
4

π
4

Bài 54: Tính
Giải:

dx

1 + tan x
0

I =∫

19


t = tan x ⇒ dt =

18 Đặt
Đổi cận:
x

0

t

0

1
dt
dt
dx = ( 1 + tan 2 x ) dx ⇒ dx =
=
2
2
cos x
1 + tan x 1 + t 2

π
4
1

1 
dt
1
t −1 
1 1 dt 1 1 tdt 1 1 dt
dt = ∫
= ∫
−
− ∫ 2
+ ∫
2 1+
2
2 t +
( 1 + t ) ( 1 + t 2 ) 0  2 ( 1 + t ) 2 ( 1 + t 2 )  1 02 4 t 1 0 t2 + 1 14 22 4 1
0


4 3
4 43 0 3
1

I =∫

J1

J2

J3

Khi đó:
1

J1 =
1

Tính:

2

Tính:

1 ln 2
1 dt
1
∫ t + 1 = 2 ln t + 1 0 = 2
20

2
1
1
1 ln 2
1 tdt
1 d ( t + 1) 1
J2 = ∫ 2
= ∫ 2
= ln t 2 + 1 =

0
2 0 t +1 4 0 t +1
4
4

π
4

1 dt
1
π
∫ t 2 + 1 = 2 ∫ du = 8
20
0
1

J3 =
3

Tính:
ln 2 ln 2 π π ln 2
I=
−
+ = +
2
4
8 8
4
Vậy
π

2

I =∫
π
3

Bài 55: Tính
Giải:
π
2

(với t = tanu)

dx
sin x

dx

π
2

∫ sin x = ∫

π

π

π
2

sin xdx
sin xdx
=∫
2
sin x π 1 − co s 2 x

3
3
Ta có: 3
t = cosx ⇒ dt = − sin xdx
19 Đặt
Đổi cận:
π
π
x
3
2
1
t
0
2
Khi đó:
1
2

1
2

1
2

1
2

1
−dt
dt
1  1
1 
1 dt 1 dt
1
1 1
3
I =∫
=∫
= ∫
+
dt
+ ∫
= − ( ln t − 1 − ln t + 1 ) 2 = −  ln − ln ÷ =
÷ =− ∫
2
2
1− t
2 0  1− t 1+ t 
2 0 t −1 2 0 t +1
2
2 2
2
1 1− t

0
0
2
0

1 1 1
= − ln = ln 3
2 3 2

20


1

x + sin x
dx
cos 2 x

I =∫

Bài 56: Tính
Giải:

0

1

Ta có:

1

1

x + sin x
xdx
sin x
I =∫
dx = ∫
+∫
dx
2
2
cos x
cos x 0 cos 2 x
0
0
1 2 4 14 2 4
4 3
3
I1

I2

π
3

xdx
cos 2 x
0

I1 = ∫

1

Tính
u = x
 du = dx

⇒
1

 dv = cos 2 x dx v = tan x
Đặt 
Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần ta được:
π
π
π
π
π 3
π
3
3
xdx
π 3
sin x
π 3 3 d ( cosx ) π 3
I1 = ∫
= x tan x 3 − ∫ tan xdx =
−∫
dx =

+∫
=
+ ( ln cosx ) 3 =
cos 2 x
3
cosx
3
cosx
3
0
0
0
0
0
0

π 3
1
+ ln
3
2

=

π
3

2

π

3

π
−d ( cosx )
sin x
1
I2 = ∫
dx = ∫
=
3 = 2 −1 = 1
cos 2 x
cos 2 x
cosx
0
0
0

Tính

π 3
− ln 2 + 1
3
Vậy
1
x3
I =∫
dx
x2 + 1
0 x+
Bài 57: Tính

Giải:
Ta có:
I=

1

I =∫
0

x + x +1
2

1

=∫x
0

x3

1

x3

dx = ∫
0

( x+

1

3

4

0

0

x2 + 1 − x

x +1
2

1

x + 1.dx − ∫ x = ∫ x
2

(

2

)(

)

x +1 − x
2

1

)

dx = ∫
0

x3

(

x2 + 1 − x

x2 + 1 − x2

) dx =

∫( x
1

0

3

)

x 2 + 1 − x 4 dx =

1
x5 1
1

x + 1.xdx −
= ∫ x 2 x 2 + 1.xdx −
5 0 0
5
2

20 Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 2 xdx
Đổi cận:
x
0
1
t
1
2
Khi đó:
2

21


2

2

)

(

2

2

3
1
1
1 1
1
1 1 3
1 1
I = ∫ ( t − 1) t . dt − = ∫ t 2 − t 2 dt − = − + ∫ t 2 dt − ∫ t 2 dt
2
5 21
5
5 21
21
1
5

3

1 1 5 2 1 3 2 2
1 2 2 2 2 1 1 1 2 4 2 2 2
1 2 2
= − +  t 2. − t 2. ÷ = − +
−
− + = − +
−
=− +
5 2
5 2

31
5 5
5 5 3 3 5
5
3
15 15
1

I=

x
dx
5 − 4x

∫

−1
Bài 58: Tính
Giải:
21 Đặt t = 5 − 4 x ⇒ dt = −4dx
Đổi cận:
x
-1
1
t
9
1
1

I=

∫

−1

=
Khi đó:

5−t  1 
9
9
 − ÷dt 1 9 5 − t
x
5 1
1
4  4
dx = ∫
= ∫
dt = ∫
dt − ∫ tdt =
16 1 t
812 t
16 1
5 − 4x
t
9
1

9 1 2
9 5

5
1
5 13 1
t − . t 3 = ( 3 − 1) − ( 27 − 1) = − =
1 8
8 1 16 3
24
4 12 6

9

I = ∫ x 3 1 − xdx

1
Bài 59: Tính
Giải:
22 Đặt t = 1 − x ⇒ dt = −dx
Đổi cận:
x
1
9
t
0
-8
Khi đó:
9

I = ∫ x 1 − xdx =
3

1

∫ ( 1 − t ) t ( −dt ) = ∫ (

−8

0

3

−8

0

3

)

3
3
468
4
7
3 4 3 7 0
t − 3 t 4 dt =  t 3 − t 3 ÷ = − ( −2 ) + ( −2 ) = −
7  −8
4
7
7
4

π
3

dx
π

π
sin x sin  x + ÷
6
6


I =∫
Bài 60: Tính
Giải:
π
3

π

π

3
3
dx
dx
2dx
I=∫
=∫

=∫
=
2
π π

 3
 π 3 sin x + sin xcosx
1
π
sin x sin  x + ÷ 6 ( sin x ) 
sin x + cosx ÷ 6
6
6

2
 2


22


π
3

=∫
π
6

π
3

2dx

( co s x ) (

3 tan 2 x + tan x

2

)

=∫
π
6

2d ( tan x )

( tan x ) (

π
3

)

3 tan x + 1

= 2 3∫
π
6

d ( tan x )

(

3 tan x

)(

)

3 tan x + 1

=

π
3

1
1


= 2 3∫ 
−
d
÷ ( tan x ) =
3 tan x + 1 
π  3 tan x
6

π

π
3 d
3 tan x + 1
d ( tan x )
3
= 2∫
− 2∫
= 2 ( ln tan x ) − 2 ln 3 tan x + 1
π
tan x
3 tan x + 1
π
π
6
6
6
3
= 2 ln 3 − 2 ln 2 = ln  ÷
2
1
dx
I = ∫ 2x
e +3
0
Bài 61: Tính
Giải:
x
x
23 Đặt t = e ⇒ dt = e dx
Đổi cận:

x
0
1
t
1
e
Khi đó:

(

π
3

)

(

)

π
1 

3
= 2  ln 3 − ln
÷− 2 ( ln 4 − ln 2 )
π
3

6

e
e
e
e
d ( t2 )
dx
dt
tdt
1
2tdt
1
I = ∫ 2x
=
=
=
=
e + 3 ∫ t ( t 2 + 3) ∫ t 2 ( t 2 + 3 ) 2 ∫ t 2 ( t 2 + 3) 2 ∫ t 2 ( t 2 + 3 )
0
1
1
1
1
1

e
e 1
1 1 1
1 
1
e2 + 3 

= . ∫ 2 − 2
d ( t 2 ) = ln t 2 − ln ( t 2 + 3)  =  2 − ln
÷
÷
1 6
2 3 1 t t +3
6
4 

1

I=

dx

∫ ( 11 + 5x )

2

−2

Bài 62: Tính
Giải:
24 Đặt t = 11 + 5 x ⇒ dt = 5dx
Đổi cận:
x
-2
1
t
1

6
1
6
dx
1 dt
1 6 −1 1 1
I=∫
= ∫ 2 =−
=
+ =
2
51t
5t 1 30 5 6
−2 ( 11 + 5 x )
Khi đó:
e
sin ( ln x )
I =∫
dx
x
1
Bài 63: Tính
Giải:
t = ln x ⇒ dt =

25 Đặt
Đổi cận:

dx
x

23


x
t
Khi đó:

1
e
0
1
e
1
1
sin ( ln x )
I =∫
dx = ∫ sin tdt = −cost = −cos1 + cos 0 = 1 − cos1
0
x
1
0
5

I = ∫ x 2 − 9dx

Bài 64: Tính
Giải:

3

t2 + 9
2t
2
t + 9 t2 − 9
t2 − 9
x2 − 9 = t − x = t −
=
⇒ dx =
dt
2t
2t
2t 2
26 Đặt
Đổi cận:
x
3
5
t
3
9
Khi đó:
5
9 2
9
 t2 9
t − 9 t2 − 9
81  9
 t 9 81 
I = ∫ x 2 − 9dx = ∫
. 2 dt = ∫  − + 3 ÷dt =  − ln t − 2 ÷ = ...

2t
2t
4 2t 4t 
6t  3
8 2
3
3
3
t = x + x2 − 9 ⇒ x =

I=

1

∫ ( sin x + cosx )

π
−
12

Bài 65: Tính
Giải:
I=

π
4

π
4

π
−
12

dx

π
1
1
1
π
3

dx = ∫
dx = − cot  x + ÷ 4 =
π
2 π
2
4 π
2
2

− sin  x +
−
÷
12
4
12

π

4

1

∫ ( sin x + cosx )

2

2

1

I = ∫ sin xdx

0
Bài 66: Tính
27 Đặt t = x ⇒ dx = 2td
Đổi cận:
x
0
1
t
0
1
Khi đó:
1

I = 2 ∫ t sin tdt
0

u = t
 du = dt
⇒

Đặt  dv = sin tdt v = −cosx
Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần ta được:
1
1
1
1
I = −2 ( tcost ) + 2 ∫ costdt = −2 ( tcost ) + 2 ( sin t ) = 2 ( sin1 − cos1)
0 0
0
0

24


B. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1

2

Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax trong đó P(x) là một đa thức Đặt
u = P ( x )


 dv = ...

u = ln x


Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt  dv = ...
1

Bài 1: Tính

I = ∫ xe 2 x dx
0

 du = dx
u = x

⇒

1 2x
2x
 dv = e dx v = e

2
Đặt
Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần:
1
1
1
1 1
1 2x 1 1 2x
1 2 1 2x
1
1
1

e2 + 1
2x
I = ∫ xe dx = xe
− ∫ e dx = e − ∫ e d ( 2 x ) = e 2 − e 2 x = e 2 − ( e 2 − 1) =
0 20
0 2
2
2
40
2
4
4
4
0
π
3

x
dx
cos 2 x
0

I=∫

Bài 2: Tính
u = x
du = dx

dx ⇒ 


v = tan x
 dv = co s 2 x

Đặt
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
π
π
π
π
π 4
π
3
3
x
π 3
sin x
π 3 3 d ( cosx ) π 3
π 3
I=∫
dx = x tan x 3 − ∫ tan xdx =
−∫
dx =
+∫
=
+ ln cosx 3 =
− ln 2
2
cos x
3
cosx

3
cosx
3
3
0
0
0
0
0
0
1

I = ∫ x 2 e x dx

0
Bài 3: Tính
2

 du = 2 xdx
u = x
⇒

x
x
 dv = e dx v = e
Đặt 
Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần:
1
1
1

2 x
2 x 1
x
I = ∫ x e dx = x e − 2∫ xe dx = e − 2 ∫ xe x dx
0 0
0
0
1

J = ∫ xe x dx

0
Tiếp tục tính:
u = x
du = dx
⇒

x
dv = e dx v = e x
Đặt 

25