Ôn tập Toán 12

2
23
x
x
+
2
π
1
2
+x
x
3
x
Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 12
PHẦN I : GIẢI TÍCH
I / Đạo hàm : Kiến thức : Qui tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (SGK), các bài
toán liên quan : + Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
+ Chứng minh đẳng thức
+ Giải pt, bất pt
• Áp dụng :
VD 1: Tính đạo hàm của y= cos
2
x – sin2x tại x =
Có y’ = -2cosx.sinx - 2cos2x
Nên y’( ) = -2cos . sin - 2cos2
 y’( ) = -1
BT tự giải : Tính đạo hàm của hàm số tại điểm
1/ y = sin2x tại x = π b/ y = tgx – cotgx tại x =
2/ y = (2x
2

-5x +1)
2


tại x = -2 d/ y = tại x = 2
3/ y = cos
3
x.sin
2
x tại x = - f/ y = tại x =
4/ y =ln(x+ ) tại x = 1 h/ y = e
2x+1
.sinx tại x = 0
☺  HD : Tính y’, rồi thay giá trò x đã cho vào biểu thức y’ để có kết quả.
VD 2 : Cho y = x.e
sinx
cmr : y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.e
sinx
= 0
Có : y’ = e
sinx
+ x.cosx.e
sinx

y” =cosx.e
sinx
+cosx.e
sinx
-x.sinx.e
sinx

+ x.cos
2
x.e
sinx

nên y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.e
sinx
= 2cosx.e
sinx
-x.sinx.e
sinx
+x.cos
2
x.e
sinx
–(e
sinx
+ x.cosx.e
sinx
)
cosx +x.sinx.e
sinx
-cosx.e
sinx
=0 (đpcm)
BT Tự giải :
1/ Cho y = e
x
.cosx cmr : 2y - 2y’ + y ” = 0
2/ Cho y = ln

2
x cmr : x
2
y” +xy’ =2
3/ Cho y = . Cmr : x
3
y ’ = y
3

4/ Cho y = (x-x
2
).e
x
giải pt y’ + e
x
= 0
5/ Cho y =x
2
.ln giải pt y’ – x = 0
6/ Cho y = x -

. Giải bất phương trình y ’ > 0
☺  HD :


Tính
các đạo hàm (y’, y”…) có mặt trong biểu thức (pt-bpt) cần cm (giải) rồi thay vào
biểu thức (pt-bpt), thu gọn lại để có điều cần cm (pt-bpt đã biết cách giải).
1
4

π
4
π
4
π
3
π
4
π
4
π
4
π
4
π
4
π
73
24
+− xx
xx
xx
sincos2
2sincos
+
−
1
2
+x
Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI

II/ HÀM SỐ : Kiến thức : Xét sự biến thiên, tính lồi, lõm-điểm uốn, tiệm cận của 4 hàm số
và phương pháp giải các dạng toán cơ bản liên quan :
A. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
1/ Điều kiện để h.số đơn điệu (đồng biến/nghòch biến)
Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D thì
+ Đồng biến trên D  y’ ≥ 0 ∀x∈ D
+ Nghòch biến trên D  y’ ≤ 0 ∀x∈ D
• ÁP DỤNG :
VD : Cho y = x
3
-3mx
2
–mx + 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên TXĐ
TXĐ : D=R
y’ = 3x
2
-6mx –m
y’ = 0 có ∆’ = 9m
2
+3m
Hàm số đồng biến trên R  y’ ≥ 0 ∀x∈R
 ∆’ = 9m
2
+3m ≤ 0 (∆’ là tam thức bậc 2 có hệ số a=9>0)
 -
3
1
≤ m ≤ 0
Kết luận : -
3

1
≤ m ≤ 0
Bài tập tự giải: Tìm m để hàm số :
a/ y = x
3
– 3mx
2
(m+2)x –m đồng biến trên TXĐ
b/ y = mx
3
+x
2
+ (2m-1)x + 3m nghòch biến trên TXĐ
c/ y = nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
d/ y = đồng biến trên từng khoảng xác đònh
e/ y = nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
☺  HD :

+ Xét trường hợp đặc biệt nếu có (hệ số của x có mũ cao nhất bằng 0)
+ Giải điều kiện đồng biến, nghòch biến theo đặc điểm của hàm số đó.
2/ Cmr hàm số đơn điêïu (đồng biến, nghòch biến) :
VD : Cmr ∀m hàm số y = -x
3
+2mx
2
-2m
2
x +1 nghòch biến trên R
Giải : TXĐ : D= R
Để cm hàm số nghòch biến trên R ta cm y’ ≤ 0 ∀x ∈ R

Thật vậy : y’ = -3x
2
+4mx -2m
2
(y’ là tam thức bậc hai có hệ số a = -3 <0)
y’ có ∆’ = -2m
2
≤ 0 ∀m
 y’ ≤ 0 ∀x (đpcm)
Vậy hàm số đã cho nghòch biến trên R
Bài tập tự giải : Cmr ∀m hàm số
a/ y = x
3
+ x
2
+ (m
2
+1)x +m-1 đồng biến trên R
b/ y = nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
c/ y = bb đồng biến trên từng khoảng xác đònh
☺  HD :
CM y’
≥
0 (≤0) ∀
x trên TXĐ

đpcm
2
mx
mmx

+
+−
102
1
12
2
−
−−
x
mxx
2
2
+
++
x
mxmx
mx
mmx
−
++
12
2
12)2(
2
+
−+++
x
mxmx
Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI
B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

- Hàm y = f(x) có TXĐ D có cực trò  y’ =0 có nghiệm x
0
và y’ đổi dấu khi qua x
0
đó
Cụ thể y’ đổi dấu từ : “+” sang “-“ thì hàm số đạt CĐ tại x
0
“-” sang “+“ thì hàm số đạt CT tại x
0

1/Ghi nhớ :
Hàm y = ax
3
+bx
2
+cx +d có :
+ CĐ và CT  y’ =0 có 2 nghiệm phân biệt
a = 0 và b≠0
+ Cực trò 
a≠0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Hàm y= ax
4
+bx
2
+c có:
+ CĐ và CT  y’=0 có 3 nghiệm phân biệt(a.b<0)
+ Cực trò 




≠
≠
0
0
b
a
Hàm
edx
cbxax
y
+
++
=
2
(d≠0) có CĐ và CT y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
Hàm
dcx
bax
y
+
+
=
không có cực trò
2/ ÁP DỤNG
VD : Tìm m để hàm số y =
1
12
2
−
−+−

x
mmxx
có CĐ và CT
Giải : TXĐ : D = R\{1}
y’=
2
2
)1(
12
−
+−−
x
mxx
Hàm số có CĐ và CT  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
 g(x)= x
2
–2x –m +1 =0 có



≠−=
>=∆
0)1(
0'
mg
m
 m >0
Kết luận : m>0
3/ Bài tập tự giải :
Tìm m để hàm số :

a/ y = (m+2)x
3
+3x
2
+mx -5 có cực đại và cực tiểu
b/ y = x
4
+ 2(m-2)x
2
+m +1 có cực đại và cực tiểu
c/ y = có cực đại và cực tiểu
d*/ y = -x
3
+3mx -2m có cực đại tại x = 1
f*/ y = có cực tiểu tại x = 2
Cmr ∀m, hàm số
a/ y = x
3
+mx
2
-x +m-2 luôn có cực trò
b/ y = luôn có cực trò
☺  HD :
Cm
y’ = 0 có 2 nghiệm phâm biệt thuộc TXĐ
c*/ y = luôn có 2 điểm cực trò . Tìm m để khoảng cách giữa
3
1
2
2

−
+−
x
mmxx
mx
mxx
−
+−
22
2
1
1)1(
2
−
++−
x
xmx
1
1)1(
2
−
++−
x
xmx
Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI
hai điểm cực trò là nhỏ nhất.
C. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐỒ THỊ H.SỐ CÓ ĐIỂM UỐN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
- Hàm y=f(x) có điểm uốn tại (x
0
;y

0
) 
VD : Tìm m để đồ thò hàm số y = mx
3
+ 6x+ 2m
2
-1 có điểm uốn U(0;1)
Giải : TXĐ D=R
y’ = 3mx
2
+6 ; y” = 6mx
Điều kiện bài toán  



Kết luận : m =±1
• Bài tập tự giải
a. Tìm a và b để đồ thò hàm y = x
3
-ax
2
+bx -2 có điểm uốn U(
3
2
; -3)
b. Tìm m để đồ thò hàm y = x
4
- 2x
2
+4m+1 có 2 điểm uốn thuộc trục hoành

c*. Cho đồ thò hàm y = ax
3
+bx
2
+x +1 có điểm uốn U(1;-2), hãy tính (a+b)
2

D/ GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN [ a;b ]
• Phương pháp chung:
- Tìm các điểm tới hạn của hàm số
- Tính giá trò hàm số tại các điểm tới hạn và ở hai đầu mút của đoạn a, b
- So sánh các giá trò đã tính rồi kết luận về GTLN và GTNN
• Áp dụng :
VD : Tìm GTLN và GTNN của f(x) = -x
3
+ 3x +5 trên [0;3]
Giải : f’(x) = -3x
2
+3
f’(x) = 0 



=
∉−=
1
]3;0[1
x
x
Có f(1) = 7 ; f(0) = 5 ; f(3) = -17

Vậy trên [0;3] hàm số đạt : GTLN là f(1) = 7 và GTNN là f(3) = -13
• Bài tập tự giải : Tìm GTLN và GTNN của
a/ f(x0) = x
3
-6x
2
+10 trên [-3;3]
b/ f(x) = -x
4
+2x
2
-4 trên [-2;2]
E/ VIẾT PT TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ (C) CỦA HÀM SỐ y = f(x)
1/ Dạng 1 : Tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x
0
;y
o
)
PP: PTTT của (C) tại M có dạng y = y’(x
0
)(x-x
0
) +y
0
Cần tìm hệ số góc y’(x
0
) rồi kết luận
(nếu chỉ biết hoành độ x
0
của M thì tìm y

0
=f(x
0
))
VD : Viết PTTT của (C) : y = x
3
- 2x tại diểm có x = 2
Giải : Tại điểm x = 2 thì y = 4
PTTT của (C) tại (2;4) có dạng y = y’(2)(x-2) +4
Có y’ = 3x
2
-2 => y’(2) = 10
KL : PTTT cần tìm là y = 10x-16
4
y
0
=f(x
0
)
y”(x
0
)=0
y” đổi dấu khi qua x = x
0
f(0) =1
y”(0)=0
y” đổi dấu khi qua x=0
2m
2
-1 =1

6m.0=0
y”= 6mx đổi dấu khi qua x=0
m =±1
∀m  m = ±1
m ≠0
Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI
2/ Dạng 2 : Tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc tiếp tuyến là k
PP : - Gọi PTTT cần tìm : y = kx+b
- Do điều kiện tiếp xúc nên hệ sau có nghiệm :



+=
=
bkxxf
kxf
)(
)('
- Giải hệ tìm b rồi kết luận
VD : Viết PTTT của (C ):
1
−
=
x
x
y
biết hệ số góc của tiếp tuyến là -1
Giải : Có
2
)1(

'
−
−
=
x
x
y
Gọi PTTT cần tìm : y = -x +b
Theo điều kiện tiếp xúc thì hệ sau có nghiệm :







+−=
−
−=
−
−
bx
x
x
x
x
1
1
)1(
2

Giải (1) có nghiệm x = 0; x = 2
Thay vào (2) ta có b = 0 ; b = 4
KL : Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài : y = -x và y = -x + 4
Ghi nhớ : - Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau
- Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc bằng -1
3/ Dạng 3 : Tiếp tuyến của (C) đi qua(xuất phát từ) điểm M(x
1
;y
1
)
PP : Gọi PTTT cần tìm : y =k(x-x
1
) + y
1
- Do điều kiện tiếp xúc nê hệ sau có nghiệm :



+−=
=
11
)()(
)('
yxxkxf
kxf
- Giải hêï tìm k rồi kết luận
VD : Viết PTTT của (C) :y = x
3
-6x
2

+3, biết tiếp tuyến đi qua điểm M (6;3)
Giải : Gọi PTTT cần tìm : y = k(x-6) +3
- Do điều kiện tiếp xúc nê hệ sau có nghiệm :





+−=+−
=−
(2) 3)6(36
(1) 123
23
2
xkxx
kxx
Từ (1) và (2) ta có : x
3
-12x
2
+36x = 0  x= 0; x =6
Thay vào (1) ta có k = 0; k = 36
KL : có 2 tiếp tuyến thoả mãn dề bài : y = 3 và y = 36x -213
Bài tập tự giải : Viết pt tiếp tuyến của đồ thò hàm số
a/ y = -2x
3
+ 3x
2
-3x + 1 tại điểm có x = 1
b/ y = x

3
-3x +3 tại giao của đồ thò với trục tung
c/ y = - x
4
+ 6x
2
-6 tại các điểm cực trò
d/ y = song song với với đt (d) : y = -3x+2
5
(1)
(2)
2
63
2
−
+−
x
xx
1
12
+
−
x
x
Có dồ thò (C)
(d) cùng phương với ox
Có dồ thò (C)
(d) cùng phương với ox
Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI
e/ y = -x

3
+6x
2
-3 vuông góc với đt (d) : y = -
9
1
(x-100)
f/ y = đi qua điểm (1;
2
5
)
g/ y = xuất phát từ gốc tọa độ
G/ Biện luận số nghiệm của PT A(x) = 0 qua đồ thò (C) y = f(x) đã vè
- Biến đổi pt đã cho về dạng f(x) = k
- Sô nghiệm của pt đã cho là số giao điểm của 2 đường :



=
=
ky
xfy )(
- Dựa vào số giao điểm của (C) và (d) => KL số nghiệm của pt đã cho.
VD : y = x
3
-3x
2
có đồ thò (C) đã vè
Biện luận theo m số nghiệm của pt : x
3

-3x –m +1= 0 (1)
Giải : Pt (1)  x
3
-3x
2
= m -1
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường



−=
−=
1
3
23
my
xxy
Dựa vào đồ thi ta có
y
-1 0 1 2 3
x
-2
(d)
(C)
-4
6
1
22
2
+

++
x
xx
+



−<
>
⇔



−<−
>−
3
1
41
01
m
m
m
m
(d) và (C) có 1 chung nên (1) có 1 nghiệm
+



−=
=

⇔



−=−
=−
3
1
41
01
m
m
m
m
(d) và (C) có 2 điểm chung nên (1) có hai nghiệm
+ -4< m-1 < 0  -3<m< 1
Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI
Bài tập tự giải :
a/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = -x
3
+3x
2
-1 (C)
Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt : x
3
-3x
2
+k+1 =0
b/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = x
4

-2x
2
-1 (C)
Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt : x
4
-2x
2
-k-1 =0
c/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y =
(C)
1
22
2
−
+−
x
xx
Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt :
0k
1
22
2
=+
−
+−
x
xx
d/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y =
(C)
1

12
−
+
x
x
Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt :
01kk)x-(2
=++
H/ CM ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(x) CÓ MỘT TÂM ĐỐI XỨNG, TRỤC ĐỐI XỨNG
- Hàm trùng phương (f(-x) = f(x)) : có đồ thò đối xứng qua trục oy
- Hàm bậc 3 : Có đồ thò đối xứng qua điểm uốn
- Hàm hữu tỉ (2 hàm cơ bản) : có đồ thò đối xứng qua giao điểm của 2 tiệm cận.
Để cm hàm số có tâm đối xứng cần thực hiện các bước :
+ Xác đònh tâm đối xứng I(x
0
;y
0
cần chứng minh
+ Thực hiện phép đổi hệ trục 0xy sang IXY với phép tònh tiến theo
>−−
OI
có :



+=
+=
I
I
yYy

xXx
(1)
7
Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI
+ Thay (1) và hàm số của đồ thò (C) : Y = f(X) (C ’)
+ Cm hàm này là hàm lẻ
 (C ‘) nhận gốc I làm tâm đối xứng => (C) nhận I làm tâm đối xứng
VD : Cm đồ thò (C) của hàm y = x
3
-2x -2 có một tâm đối xứng
Giải : TXĐ : D = R
y’ = 3x
2
-2
y” = 6x; y” = 0  x = 0 => y = -2
 (C) có điểm uốn U(0;-2 ) làm tâm đối xứng
Ta Cm (C) nhận U(0;-2) làm tâm đối xứng
Thực hiện phép đổi hệ trục 0xy sang UXY với phép tònh tiến theo
>−−
OU
Có :



−=
=
2Yy
Xx
(1)
Thay (1) vào hàm số của (C) : Y = X

3
-2X (C ‘)
Xét Y = X
3
-2X có
TXĐ : D’ =R
f(-X) = (-X)
3
-2(-X) = -X
3
+2X = - f(X)
 Y=f(X) là hàm lẽ nên (C’) nhậïn gốc U(0;-2) làm tâm đối xứng
 (C) nhận U làm tâm đối xứng (đpcm)
Bài tập tự giải : Cm đồ thò (C) của các hàm số sau có một tâm đối xứng
a/ y = -x
3
-3x
2
+4 b/ y = 2x
3
+3x -1
c/
2
23
+
−
=
x
x
y

d/
1
22
2
+
+−−
=
x
xx
y
I/ TÌM CÁC ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN TRÊN ĐỒ THỊ (C) CỦA CÁC
HÀM HỮU TỈ CƠ BẢN y = f(x)
PP : - Thực hiện phép chia đa thức để để có hàm số dạng y = A(x) +
)(xB
k
- Để y nguyên thì x nguyên và B(x) phải là ước số của k
- Giải B(x) = m, với m là các ước số của k đề tìm x và y tương ứng rồi KL
VD : Tìm các diểm có tọa độ nguyên trên đồ thò (C) của y =
2
43
2
−
+−
x
xx
Giải : có y = x – 1 +
2
2
−
x

Để y nguyên thì x nguyên và x-2 phải là ước số của 2
 x -2 =±1 ; x -2 = ±2
x - 2 = 1  x = 3 , y = 4
x - 2 = -1  x = 1, y = -2
x – 2 = 2  x = 4 , y = 4
x – 2 = -2  x = 0, y =-2
KL : có 4 điểm trên (C) có tọa độ nguyên : (0;-2); (1;-2); (3;4); (4;4)
8
Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI
BÀI TẬP TỔNG HP
1/ Cho hàm y = x
3
-3x
2
+mx
a/ Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x = 2
b/ Đònh m để hàm số nhận điểm U(1;3) làm điểm uốn của đồ thò
c/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 0
d/ Dựa vào đồ thò (C ), biện luận theo k số nghiệm của pt : x
3
-3x
2
–k = 0
e/ Tính dthf giới hạn bởi (C ) và trục hoành
2/ Cho hàm y = -x
3
-mx
2
+2mx -m -1 (C
m

)
a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số khi m = 0
c/ Viết pt tiếp tuyến của đồ thò (C ) vuông góc với đt (d) : x - 3y - 5 = 0
d/ Tính thể tích khối tròn xoay sinh bời (C ) khi quay quanh 0x trên [-1;0]
e*/ Cmr (C
m
) luôn đi qua một điểm cố đònh và họ các đường cong (C
m
) tiếp xúc
nhau tại điểm ấy.
3/ Cho hàm y = x
4
-2mx
2
-2m
a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các giá trò CĐ và CT trái dấu
b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 3
c/ Viết PT tiếp tuyến của (C ) tại điểm trên (C ) có x = -1
4/ Cho hàm y = -x
4
+ (3m+5)x
2
-(m+1)
2

(C
m
)
a/ Đònh m để đồ thò hàm số đạt cực trò tại điểm có x = 1

b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = -1
c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm M(2; -8)
5/ Cho hàm y =
a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác đònh
b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 1
c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm trên oy có tung độ là 4
d/Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : y = kx+1
e*/ Cmr đường thẳng (d) : y = -x +k luôn cắt (C ) tại hai điểm phâm biệt A và B.
Tìm k để đoạn AB ngắn nhất.
6/ Cho hàm y =
a/ Tìm m để hàm số nghòch biến trên các khoảng xác đònh.
b/ Đònh m để tiệm cận đứng của hàm số đi qua điểm (3; 2006)
c/ Khảo sát và vẽ (C ) khi m = 3
d/ Cmr (C) có một tâm đối xứng.
e/ Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi (C ) khi quay quanh 0x trên [1;2]
f/ Viết pt tiếp tuyến của (C) đi qua giao điểm của (C) với trục hoành.
7/ Cho y =
a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác đònh
b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 0
c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm trên (C ) có x = -1
d/ Tìm k để đường thẳng (d): y = kx +1 cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B.
9
2
2
2
+
+
x
mx
mx

mx
−
−−
12
1
1)1(
2
−
−++
x
xmx