Trắc nghiệm đại số và giải tích 11 trong các đề thi thử THPT quốc gia môn toán

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 TRONG CÁC ĐỀ THI
THỬ THQG VÀ ĐỀ KIỂM TRA


Mục lục
Chương
Chương
Chương
Chương
Chương

1:
2:
3:
4:
5:

Hàm số lượng giác và phương trình lượng
Tổ hợp - Xác suất . . . . . . . . . . . . .
Dãy số - cấp số cộng, cấp số nhân . . . .
Giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

giác
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

3
70
239
287
337


/>
Đại số & giải tích 11

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
NỘI DUNG CÂU HỎI
Câu 1. Phương trình 2 cos x − 1 = 0 có tập nghiệm là
π
π
A. ± + k2π, k ∈ Z .
B. ± + k2π, k ∈ Z .
3
6
π
π
π
π
+ k2π, k ∈ Z; + 12π, l ∈ Z .
D. − + k2π, k ∈ Z; − + 12π, l ∈ Z .
C.

3
6
3
6
Lời giải.

π
x = + k2π
1
π
3
2 cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = = cos ⇔ 
(k ∈ Z) .
π
2
3
x = − + k2π
3
Chọn đáp án A
Câu 2. Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 3π) của phương trình sin 2x−2 cos 2x+2 sin x = 2 cos x+4
là
A. 3π.

B. π.

C. 2π.

D.

π

.
2

Lời giải.
2 sin x cos x − 2 cos x − 2 1 − 2 sin2 x + 2 sin x − 4 = 0
⇔2 cos x(sin x − 1) + 4 sin2 x + 2 sin x − 6 = 0
⇔2 cos x(sin x − 1) + (sin x − 1)(4 sin x + 6) = 0
⇔(sin x − 1)(2 cos x + 4 sin x + 6) = 0
⇔

sin x = 1
2 cos x + 4 sin x = −6.

Phương trình 2 cos x + 4 sin x = −6 vơ nghiệm vì a2 + b2 = 20 < 36 = c2 .
π
sin x = 1 ⇔ x = + k2π (k ∈ Z).
2 
0 < π + k2π < 3π
π π
2
⇔ k ∈ (0; 1) ⇔ x ∈
; + 2π .
Lại có x ∈ (0; 3π) ⇒
k ∈ Z
2 2
π π
Tổng các nghiệm là + + 2π = 3π.
2
2
Chọn đáp án A

21
Câu 3. Tập giá trị của hàm số y = 2 sin2 x + 8 sin x +
là
ï
ò
ï
ò
ï4
ò
3 61
11 61
11 61
A. − ;
.
B.
;
.
C. − ;
.
4 4
4 4
4 4
Lời giải.
11
11
Ta có y = 2(sin2 x + 4 sin x + 4) −
= 2(sin x + 2)2 − .
4
4
Do đó

ï

ị
3 61
D.
;
.
4 4

−1 ≤ sin x ≤ 1
⇔ 1 ≤ sin x + 2 ≤ 3
⇔ 1 ≤ (sin x + 2)2 ≤ 9
⇔ 2 ≤ 2(sin x + 2)2 ≤ 18
11
61
3
⇔ − ≤ 2(sin x + 2)2 −
≤ .
4
4
4
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

3 />

/>
Đại số & giải tích 11

ị

3 61
.
Vậy tập giá trị của hàm số là − ;
4 4
Chọn đáp án A
ï

Câu 4. Tổng các giá trị nguyên m để phương trình (2m + 1) sin x − (m + 2) cos x = 2m + 3 vô nghiệm
là
A. 9.

B. 11.

C. 12.

D. 10.

Lời giải.
Phương trình đã cho vơ nghiệm khi
(2m + 1)2 + (m + 2)2 < (2m + 3)2
⇔ m2 − 4m − 4 < 0
√
√
⇔ 2 − 2 2 < m < 2 + 2 2.
Do m nguyên nên m ∈ {0; 1; 2; 3; 4}, suy ra tổng các giá trị nguyên của m là 10.
Chọn đáp án D
Câu 5.
Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [0; π], các điểm C, D thuộc trục Ox
2π
sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật và CD =

. Độ dài đoạn thẳng BC bằng
3
√
√
2
1
A.
.
B. .
C. 1.
D. 2.
2
2
Lời giải.
2π
π
π
1
Cách Vì CD =
⇒ OD = ⇒ xD = xA = ⇒ yA = .
3
6
6
2
1
1
Ta có AD = ⇒ BC = .
2
2
2π

.
Cách Gọi D (x1 ; 0) , C (x2 ; 0) ⇒ x2 − x1 =
3
Tọa độ A(x1 ; sin x1 ), B(x2 ; sin x2 ).
5π
AB = CD ⇒ sin x1 = sin x2 ⇒ x1 + x2 = π ⇒ x2 =
.
6
ã
Å
Å
ã
5π 1
1
5π
;0 ,B
;
⇒ BC = .
Ta có C
6
6 2
2
Chọn đáp án B
Câu 6. Trong bốn hàm số y = cos 2x, y = sin x, y = tan 2x, y = cot 4x có mấy hàm số tuần hồn
với chu kì π?
A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Lời giải.
2π
.
|a|
π
Hàm số y = tan(ax + b), y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T =
.
|a|
Do đó trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số y = cos 2x tuần hoàn chu kỳ π.

Hàm số y = sin(ax + b), y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T =

Chọn đáp án D
π
π
1
Câu 7. Phương trình sin x.cos + cosx. sin = có nghiệm là:
5
5
2


π
−π
x=
+ k2π
x=

+ k2π


30
30
A. 
k ∈ Z.
B. 
k ∈ Z.
−19π
19π
x=
+ k2π
x=
+ k2π
30
30
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

4 />

/>
Đại số & giải tích 11



π
−π
x = + k2π
+ k2π

x=


6
30
k
∈
Z.
D.
k ∈ Z.
C. 

5π
−19π
x=
+ k2π
x=
+ k2π
6
30
Lời giải.
π
π
1
π
1
sin x.cos + cosx. sin = ⇔ sin x +
=
5
5

2
5
2

π
π
−π
x + = + k2π
x=
+ k2π


5
6
30
⇔
⇔
k ∈ Z.
5π
π
19π
+ k2π
x+ =
x=
+ k2π
5
6
30
Chọn đáp án A
π

Câu 8. Phương trình cos x = cos có tất cả các nghiệm là:
3
π
2π
+ k2π (k ∈ Z).
B. x = ± + kπ (k ∈ Z).
A. x =
3
3
π
π
C. x = ± + k2π (k ∈ Z).
D. x = + k2π (k ∈ Z).
3
3
Lời giải.
π
π
Phương trình cos x = cos ⇔ x = ± + k2π(k ∈ Z).
3
3
Chọn đáp án C
Câu 9. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3 − 2 cos2 3x.
A. min y = 1, max y = 3.

B. min y = 1, max y = 5.

C. min y = 2, max y = 3.

D. min y = −1, max y = 3.

Lời giải.
Phương pháp:
Tập giá trị của hàm số y = cos x là [−1; 1].
Cách giải:
Ta có
−1 ≤ cos 3x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ cos2 3x ≤ 1 ⇔ −2 ≤ −2 cos2 3x ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 3 − 2 cos2 3x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ y ≤ 3.
Vậy min y = 1, max y = 3.
Chọn đáp án A
π
Câu 10. Cho x, y ∈ 0;
2

thỏa mãn cos 2x + cos 2y + 2 sin(x + y) = 2. Tìm GTNN của
P =

A. min P =

3
.
π

B. min P =

sin4 x cos4 y
+
.
y
x

2
.
π

C. min P =

5
.
π

D. min P =

2
.
3π

Lời giải.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức:

a2 b 2
(a + b)2
a
b
+
≥
, (x, y, a, b > 0), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = .
x
y
x+y

x
y

Cách giải:
sin2 x + cos2 y
sin4 x cos4 y
P =
+
≥
y
x
x+y
Ta có:

2

≥

1
x+y

(1)

cos 2x + cos 2y + 2 sin(x + y) = 2 ⇔ 2 cos(x + y) · cos(x − y) + 2 sin(x + y) = 2
⇔ cos(x + y) · cos(x − y) = 1 − sin(x + y).
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

5 />

/>

Đại số & giải tích 11

π
Mà 1 − sin(x + y) ≥ 0, ∀x, y; cos(x − y) > 0, ∀x, y ∈ 0;
⇒ cos(x + y) ≥ 0.
2
1
2
π
≥
⇒02
x+y
π
2
π
Từ (1) và (2) suy ra P ≥ , ∀x, y ∈ 0;
.
π
2

sin2 x
cos2 y


=

 y
x
π

2
2
⇒x=y= .
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi
sin
x
+
cos
y
=
1

4


 x+y = π
2
π
2
Vậy Pmin = khi và chỉ khi x = y = .
π
4
Chọn đáp án B
Câu 11. Tập xác định của hàm số y = tan x là:
A. R\ {0}.

(2)

π
+ kπ, k ∈ Z .

2
D. R\ {kπ, k ∈ Z}.

B. R\

C. R.
Lời giải.

π
Điều kiện xác định: cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z.
2
π
Vậy tập xác định là R\
+ kπ, k ∈ Z
2
Chọn đáp án B

√
π
2
Câu 12. Nghiệm của phương trình cos x +
=
là
4
2 

x = kπ
x = k2π
(k ∈ Z).
B. 

(k ∈ Z).
A. 
π
π
x = − + kπ
x = − + kπ
2
2


x = k2π
x = kπ
(k ∈ Z).
D. 
(k ∈ Z).
C. 
π
π
x = − + k2π
x = − + k2π
2
2
Lời giải.

√
x = k2π
π
π
2
π

Phương trình cos x +
=
⇔ cos x +
= cos
⇒
(k ∈ Z)
π
4
2
4
4
x = − + k2π
2
Chọn đáp án D
Câu 13. Phương trình cos 2x + 4 sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (0; 10π)?
A. 5.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Lời giải.
PT đã cho ⇔ −2 sin2 x + 4 sin x + 6 = 0 ⇔

sin x = −1

⇔x=−

π
+ k2π, (k ∈ Z).
2

sin x = 3(V N )
π
1
21
Theo đề: x ∈ (0; 10π) ⇒ 0 < − + k2π < 10π ⇔ < k < .
2
4
4
Vì k ∈ Z nên k ∈ {1; 2; 3; 4; 5}. Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng (0; 10π)
Chọn đáp án A

Câu 14. Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 4 sin x + (m − 4) cos x − 2m + 5 = 0
có nghiệm là:
A. 5.

B. 6.

C. 10.

D. 3.

Lời giải.
4 sin x + (m − 4) cos x − 2m + 5 = 0 ⇔ 4 sin x + (m − 4) cos x = 2m − 5.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

6 />

/>
Đại số & giải tích 11

Phương trình có nghiệm khi 42 +√(m − 4)2 − (2m√− 5)2 ≥ 0
6 − 57
6 + 57
⇔ −3m2 + 12m + 7 ≥ 0 ⇔
≤m≤
. Vì m ∈ Z nên m ∈ {0; 1; 2; 3; 4}.
3
3
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 10
Chọn đáp án C
Câu 15. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y =

sin x + 2 cos x + 1
là
sin x + cos x + 2

1
A. m = − ; M = 1.
B. m = 1; M = 2.
C. m = −2; M = 1.
D. m = −1; M = 2.
2
Lời giải.
sin x + 2 cos x + 1
Ta có y =
⇔ (y − 1) sin x + (y − 2) cos x = 1 − 2y (∗)

sin x + cos x + 2
Phương trình (∗) có nghiệm ⇔ (y − 1)2 + (y − 2)2 ≥ (1 − 2y)2 ⇔ y 2 + y − 2 ≤ 0
⇔ −2 ≤ y ≤ 1. Vậy m = −2; M = 1
Chọn đáp án C
Câu 16. Khi đặt t = tan x thì phương trình 2 sin2 x + 3 sin x cos x − 2 cos2 x = 1 trở thành phương
trình nào sau đây?
A. 2t2 − 3t − 1 = 0.

B. 3t2 − 3t − 1 = 0.

C. 2t2 + 3t − 3 = 0.

D. t2 + 3t − 3 = 0.

Lời giải.
Ta có:
2 sin2 x + 3 sin x cos x − 2 cos2 x = 1 ⇔ 2 sin2 x + 3 sin x cos x − 2 cos2 x = sin2 x + cos2 x
⇔ sin2 x + 3 sin x cos x − 3 cos2 x = 0.
Do cos x = 0 khơng thỏa mãn phương trình sin2 x + 3 sin x cos x − 3 cos2 x = 0 nên chia hai vế cho
cos2 x = 0 ta được tan2 x + 3 tan x − 3 = 0.
Đặt tan x = t ta được phương trình t2 + 3t − 3 = 0.
Chọn đáp án D
x
x
Câu 17. Giải phương trình 2 cos − 1 sin + 2 = 0?
2
2
2π
π
A. x = ±

+ k2π,(k ∈ Z).
B. x = ± + k2π,(k ∈ Z).
3
3
π
2π
C. x = ± + k4π,(k ∈ Z).
D. x = ±
+ k4π,(k ∈ Z).
3
3
Lời giải.

x
2 cos − 1 = 0 (1)
x
x
2
Ta có: 2 cos − 1 sin + 2 = 0 ⇔ 
.
x
2
2
sin + 2 = 0 (2)
2
x
x
1
x
π

2π
Giải (1): 2 cos − 1 = 0 ⇔ cos = ⇔ = ± + k2π ⇔ x = ±
+ k4π,k ∈ Z.
2
2
2
2
3
3
x
Giải (2): sin + 2 = 0, phương trình vơ nghiệm.
2
2π
Vậy phương trình có họ nghiệm là x = ±
+ k4π,k ∈ Z.
3
Chọn đáp án D
Câu 18. Tập xác định của hàm số y = sin 2x là
A. [0; 2].

B. [−2; 2].

C. R.

D. [−1; 1].

Lời giải.
Hàm số y = sin 2x xác định trên R.
Chọn đáp án C
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

7 />

/>
Đại số & giải tích 11

√
Câu 19. Cho phương trình (2 sin x − 1)( 3 tan x + 2 sin x) = 3 − 4 cos2 x Tổng tất cả các nghiệm
thuộc đoạn [0; 20π] của phương trình bằng
570
880
875
1150
π.
B.
π.
C.
π.
D.
π.
A.
3
3
3
3
Lời giải.
π
Điều kiện cos x = 0 ⇔ x = + kπ.
2
√

(2 sin x − 1)( 3 tan x + 2 sin x) = 3 − 4 cos2 x
√
3 sin x + 2 sin x cos x
= 3 − 4 cos2 x
⇔ (2 sin x − 1) ·
cos
x
√
⇔ (2 sin x − 1) · ( 3 sin x + sin 2x) + (4 cos3 x − 3 cos x) = 0
√
√
⇔ 2 3 sin2 x − 3 sin x + 2 sin x sin 2x − sin 2x + cos 3x = 0
√
√
⇔ 2 3 sin2 x − 3 sin x + cos x − cos 3x − sin 2x + cos 3x = 0
√
3 sin x(2 sin x − 1) − cos x(2 sin x − 1) = 0
⇔
√
⇔ (2 sin x − 1)( 3 sin x − cos x) = 0
⇔

2 sin x − 1 = 0 (1)
√
3 sin x − cos x = 0 (2)


π
x = + k2π


6
Giải (1): ⇔ 
(k ∈ Z).
5π
x=
+ k2π
6
1
π
Giải (2): ⇔ tan x = √ ⇔ x = + 2π(k ∈ Z).
6
3

π
x = + k2π

6
(k ∈ Z).
Do đó 
5π
x=
+ 2π
6
ß
™
π π
π
5π 5π
5π
Với x ∈ [0; 20π] ta có x ∈

; + π; · · · ; + 19π; ;
+ 2π; · · · ;
+ 18π .
6
6 6
6
ß 6 6
™
875
π π
π
5π 5π
5π
Vậy tổng các nghiệm là
+ + π + · · · + + 19π +
+
+ 2π + · · · +
+ 18π =
π.
6
6
6
6
6
6
3
Chọn đáp án D
Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3 cos x − 1 = 0 trên đoạn [0; 4π] là
15π
17π

A.
.
B. 6π.
C.
.
D. 8π.
2
2
Lời giải.
1
Trường hợp 1: x = arccos + k2π.
3
Å
ã
1
1
1
1
1
Ta có 0 arccos + k2π 4π ⇔ − arccos
k
4π − arccos
⇔ 0 k 1.
3
2π
3
2π
3
Å ã
Å ã

1
1
Khi đó các nghiệm là x = arccos
; x = arccos
+ 2π.
3
3
1
Trường hợp 2: x = − arccos + k2π.
3
Å
ã
1
1
1
1
1
Ta có 0 − arccos + k2π 4π ⇔
arccos
k
4π + arccos
⇔ k ∈ {1; 2}.
3
3
2π Å ã
3
Å 2πã
1
1
Khi đó các nghiệm là x = − arccos

+ 2π; x = − arccos
+ 4π.
3
3
Vậy tổng các nghiệm là 8π.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

8 />

/>
Đại số & giải tích 11

Chọn đáp án D
Câu 21. Tìm tập xác định D của hàm số y =

1

π .
2
π
B. D = R \ k , k ∈ Z .
2
D. D = R \ {kπ, k ∈ Z}.

sin x −

A. D = R \ {(1 + 2k)π, k ∈ Z}.
π
C. D = R \ (1 + 2k) , k ∈ Z .
2

Lời giải.
1
π
π
π
Hàm số y =
π xác định khi sin x − 2 = 0 ⇔ x − 2 = kπ ⇔ x = 2 + kπ, k ∈ Z.
sin x −
2
π
Vậy TXĐ của hàm số là D = R \ (1 + 2k) , k ∈ Z .
2
Chọn đáp án C
Câu 22. Cho phương trình m cos2 x − 4 sin x cos x + m − 2 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m
π
để phương trình có đúng một nghiệm thuộc 0; ?
4
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 0.
Lời giải.
1 + cos 2x
Ta có m cos2 x − 4 sin x cos x + m − 2 = 0 ⇔ m ·
− 2 sin 2x + m − 2 = 0
2
4 + 4 sin 2x
.
⇔ m cos 2x − 4 sin 2x + 3m − 4 = 0 ⇔ m =
3 + cos 2x

4 + 4 sin 2x
π
8 + 24 cos 2x + 8 sin 2x
Xét f (x) =
trên 0;
ta có f (x) =
3 + cos 2x
4
(3 + cos 2x)2
π
π
nên để phương trình có nghiệm trên 0;
Nhận xét f (x) > 0 với mọi x ∈ 0;
4
4
8
π
thì f (0) ≤ m ≤ f
⇔1≤m≤ .
4
3
Vì m nguyên nên m = 1 và m = 2.
π
Khi đó phương trình m cos 2x − 4 sin 2x + 3m − 4 = 0 có đúng một nghiệm trên 0; .
4
Chọn đáp án A
√
Câu 23. Phương trình sin2 x + 3 sin x cos x = 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc [0; 2π]?
A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Lời giải.
Ta có phương trình đã cho
⇔ − cos2 x +
⇔

√

3 sin x cos x = 0

cos x = 0

√
− cos x + 3 sin x = 0

π
x = + kπ
2
⇔
π
x = − + lπ.
6

Vì x ∈ [0; 2π] nên ta có
0≤

π
2

0≤

π
6


π
k=0⇒x=
1
3

2
+ kπ ≤ 2π ⇔ − ≤ k ≤ ⇔ 
3π
2
2
k=1⇒x=
.
2

π
l=0⇒x=
1
11

6

+ lπ ≤ 2π ⇔ − ≤ m ≤
⇔
7π .
6
6
l=1⇒x=
.
6

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

9 />

/>
Đại số & giải tích 11

Vậy phương trình có bốn nghiệm thuộc [0; 2π].
Chọn đáp án D
Câu 24. Phương trình 2 sin x −

π
x = + k2π
4
A. 
, k ∈ Z.
π
x = − + k2π
4

π

x = + kπ

4
C. 
, k ∈ Z.
3π
x=
+ kπ
4
Lời giải.

√

2 = 0 có cơng thức nghiệm
là

π
x = + k2π

4
, k ∈ Z.
B. 
3π
x=
+ k2π
4

3π
x=
+ k2π


4
D. 
, k ∈ Z.
3π
x=−
+ k2π
4

π
√
x = + k2π
√
2 
4
Ta có: 2 sin x − 2 = 0 ⇔ sin x =
⇔
, k ∈ Z.
3π
2
x=
+ k2π
4
Chọn đáp án B
Câu 25. Trong các phương trình sau, phương trình nào vơ nghiệm?
2π
π
=
.
A. tan x = 99.

B. cos 2x −
2
3
3
C. cot 2018x = 2017.
D. sin 2x = − .
4
Lời giải.
2π
π
2π
π
≤ 1 và
> 1 nên phương trình cos 2x −
=
vơ nghiệm.
Vì cos 2x −
2
3
2
3
Chọn đáp án B
√
Câu 26. Số nghiệm của phương trình 2 sin x − 3 = 0 trên đoạn [0; 2π] là
A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Lời giải.
Ta có


π
x = + k2π
√
3

3
2 sin x − 3 = 0 ⇔ sin x =
(k ∈ Z).
⇔
2π
2
x=
+ k2π
3
√

Vì x ∈ [0; 2π] nên phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x =

π
2π
và x =
.
3
3

Chọn đáp án D
Câu 27. Cho hàm số f (x) = cos 2x − cos x + 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên R là
1
1
1
1
A. min f (x) = − .
B. min f (x) = − .
C. min f (x) = .
D. min f (x) = .
8
4
8
4
Lời giải.
Å
ã
Å
ã
1
1
1
1 2 1
1
2
Ta có f (x) = 2 cos x − cos x = 2 cos x − cos x +
− = 2 cos x −
− ≥− .
2

16
8
4
8
8
1
1
Mặt khác, cos x = luôn có nghiệm thực x nên min f (x) = − .
4
8
Chọn đáp án A
Câu 28. Phương trình sin x − 3 cos x = 0 có nghiệm dạng x = arccotm + kπ, k ∈ Z thì giá trị m là
bao nhiêu?
1
A. m = −3.
B. m = .
C. m = 3.
D. m = 5.
3
Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

10 />

/>
Đại số & giải tích 11

Với sin x = 0 thay vào phương trình suy ra cos x = 0, loại vì sin2 x + cos2 x = 1 ∀x ∈ R.
1
1

Do đó sin x − 3 cos x = 0 ⇔ 1 − 3 cot x = 0 ⇔ cot x = ⇔ x = arccot + kπ, k ∈ Z.
3
3
1
Vậy m = .
3
Chọn đáp án B
cot x
là
Câu 29. Tập xác định của hàm số y =
cos x − 1
ß
™
ß
™
kπ
k
A. R \
,k ∈ Z .
B. R \
+ kπ, k ∈ Z .
2
2
C. R \ {kπ, k ∈ Z}.
D. R \ {k2π, k ∈ Z}.
Lời giải.
sin x = 0
x = kπ
Hàm số xác định khi và chỉ khi
⇔

(k, l ∈ Z) ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
cos x = 1
x = l2π
cot x
là R \ {kπ, k ∈ Z}.
Vậy, tập xác định của hàm số y =
cos x − 1
Chọn đáp án C
Å
ã
5π
π
Câu 30. Tổng các nghiệm của phương trình sin
− 6x + 15 sin
+ 2x = 16 trên đoạn
4
4
[−2019; 2019] bằng
1285π
1283π
1284π
1282π
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.

8
8
8
8
Lời giải.
Ta có
Å

ã
5π
π
sin
− 6x + 15 sin
+ 2x = 16
4
4
Å
ã
3π
π
⇔ sin 2π −
− 6x + 15 sin 2x +
= 16
4
4
Å
ã
3π
π
⇔ − sin 6x +

+ 15 sin 2x +
= 16
4
4
π
π
π
+ 12 sin 2x +
− 16 = 0 ⇔ sin 2x +
=1
⇔ 4 sin3 2x +
4
4
4
π
π
π
⇔ 2x + = + k2π ⇔ x = + kπ, (k ∈ Z).
4
2
8
π
π
π
Ta có −2019 ≤ + kπ ≤ 2019 ⇔ −2019 − ≤ kπ ≤ 2019 − , (⇔ −642, 8 ≤ k ≤ 642, 5).
8
8
8
Vì k ∈ Z nên k = {−642; −642; . . . ; 641; 642}.
Xét tổng các nghiệm là

π
π
π
π
π
T =
− 642π + . . . +
−π + +
+ π + ... +
+ 642π
8
8
8
8
8
π π
π
1285π
T = 642
+
+ =
.
8
8
8
8
Chọn đáp án B
Câu 31. Tập nghiệm của phương trình 2 cos 2x + 1 = 0 là ß
™
π

π
2π
2π
A. S =
+ k2π, − + k2π, k ∈ Z .
+ k2π, −
+ k2π, k ∈ Z .
B. S =
3
3
3
3
π
π
π
π
C. S =
+ kπ, − + kπ, k ∈ Z .
D. S =
+ kπ, − + kπ, k ∈ Z .
3
3
6
6
Lời giải.
1
2π
π
Có 2 cos 2x + 1 = 0 ⇔ cos2x = − ⇔ 2x = ±
+ k2π ⇔ x = ± + kπ.

2
3
3
π
π
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
+ kπ, − + kπ, k ∈ Z .
3
3
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

11 />

/>
Đại số & giải tích 11

Chọn đáp án C
√

Câu 32. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y =
A. 2.
Lời giải.

C. −2.

B. 0.

3 sin x
. Tính M · m.
cos x + 1

D. −1.

√

3 sin x
(1) có tập xác định R (vì cos x + 2 > 0 , ∀x ∈ R).
cos x + 2
√
√
Khi đó, (1) tương đương với y cos x + 2y = 3 sin x ⇔ y cos x − 3 sin x = −2y (∗).

Xét hàm số y =

Phương trình (∗) có nghiệm x khi y 2 + 3 ≥ 4y 2 ⇔ y 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y ≤ 1.
Do đó: M = 1, m = −1. Vậy M · m = −1.
Chọn đáp án D
Câu 33. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n. Mệnh đề nào sau đây đúng?
n!
n!
A. Pn =
!.
B. Pn = (n − k)!.
C. Pn = .
D. Pn = n!.
(n − k)
k!
Lời giải.
Số hoán vị của tập gồm n phần tử là Pn = n!.
Chọn đáp án D
Câu 34. Tập xác định D của hàm số y =

A. D = R.
C. D = R \ {0}.

2017
là
sin x

B. D = R \ {kπ, k ∈ Z}.
π
D. D = R \ { + kπ, k ∈ Z}.
2

Lời giải.
Điều kiện
Chọn đáp án B
Câu 35. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3x −
bằng

π
.
9
Lời giải.
A.

B.

π
.
6

π
C. − .
6



π
π
3x − = + k2π
x=
π


4
3
Ta có sin 3x −
⇔
⇔
π
2π
4
3x − =
+ l2π
x=
4
3
Trường
 hợp 1: x < 0, x lớn nhất.
17π
k = −1; x = −


36 ⇒ x = − 13π (nhận).
Chọn 
13π
36
l = −1; x = −
36
Trường
 hợp 2: x > 0, x nhỏ nhất.
7π
k = 0; x =

36 ⇒ x = 7π (nhận).
Chọn 
11π
36
l = 0; x =
36
13π 7π
π
Vậy tổng cần tìm là: −
+
=− .
36
36
6

π
4

π
D. − .
9

7π k2π
+
36
3 (k, l ∈ Z).
11π l2π
+
36
3

Chọn đáp án C
Câu 36. Cho phương trình cos x + cos

x
x
+ 1 = 0. Nếu đặt t = cos , ta được phương trình nào sau
2
2

đây?
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

12 />

/>
A. 2t2 + t − 1 = 0.

B. −2t2 + t + 1 = 0.

Đại số & giải tích 11

C. −2t2 + t = 0.

D. 2t2 + t = 0.

Lời giải.

x
x
x
x
x
x
+ 1 = 0 ⇔ 2 cos − 1 + cos + 1 = 0 ⇔ 2 cos + cos = 0. Đặt t = cos , ta
2
2
2
2
2
2
được phương trình 2t2 + t = 0.
Ta có cos x + cos

Chọn đáp án D
Câu 37. Tìm tất cả cácÅgiá trị thực
ã của tham số m để phương trình cos 2x−(2m+1) cos x+m+1 = 0
π 3π

;
?
có nghiệm trên khoảng
2 2
1
A. −1 ≤ m < 0.
B. −1 < m < 0.
C. −1 ≤ m ≤ 0.
D. −1 ≤ m < .
2
Lời giải.
Å
ã
π 3π
Do x ∈
;
⇒ cos x ∈ [−1; 0).
2 2
Ta có cos 2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ⇔ 2 cos2 x − (2m + 1) cos x + m = 0

1
cos x =
loại
⇔ (2 cos x − 1)(cos x − m) = 0 ⇔ 
.
cos x = m
Vậy phương trình đã cho có nghiệm −1 ≤ m < 0.
Chọn đáp án A
π
π

Câu 38. Điều kiện để biểu thức P = tan(α + ) + cot(α − ) xác định là
3
6
π
−π
A. α = + kπ, k ∈ R.
B. α =
+ 2kπ, k ∈ R.
6
3
π
2π
C. α = + 2kπ, k ∈ R.
D. α =
+ kπ, k ∈ R.
6
3
Lời giải.

α + π = π + kπ
π
3
2
⇔ α = + kπ(k ∈ R).
Biểu thức xác định khi
π
α −
6
= kπ
6

Chọn đáp án A
Câu 39. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
x−1
A. y = sin x.
B. y =
.
C. y = x2 .
x+2
Lời giải.

D. y = x3 + 2.

Trong các đáp án đã cho chỉ có hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn (chu kỳ T = 2π).
Chọn đáp án A
Câu 40. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 3 sin x + m cos x = 5 vô nghiệm?
A. m > 4.

B. |m| ≥ 4.

C. m < −4.

D. −4 < m < 4.

Lời giải.
Phương trình 3 sin x + m cos x = 5 vô nghiệm khi và chỉ khi:
32 + m2 < 52 ⇔ m2 < 42 ⇔ −4 < m < 4.
Chọn đáp án D
Câu 41. Số nghiệm của phương trình cos2 x + cos x − 2 = 0 trong đoạn [0; 2π] là
A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 1.

Lời giải.
Ta có cos2 x + cos x − 2 = 0 ⇔

cos x = 1
cos x = −2

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

⇔ x = k2π.
vơ nghiệm
13 />

/>
Đại số & giải tích 11

x ∈ [0; 2π] ⇒ x = 0; x = 2π.
Chọn đáp án A
Câu 42. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 sin4 x + cos2 x + 3 bằng
31
A.
.
B. 5.
C. 4.
8

Lời giải.

D.

24
.
5

TXĐ: D = R.
Biến đổi y = 2 sin4 x − sin2 x + 4. Đặt t = sin2 x, 0 ≤ t ≤ 1.
Xét hàm số f (t) = 2t4 − t2 + 4 liên tục trên đoạn [0; 1].f (t) = 8t3 − 2t = 2t (4t2 − 1)
1
Trên khoảng (0; 1) phương trình f (t) = 0 ⇔ t =
2
Å ã
1
31
Ta có: f (0) = 4, f
= , f (1) = 5.
2
8
31
1
31
1
π kπ
Vậy min f (t) =
tại t = ⇒ min y =
khi sin2 x = ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = +
.

R
t∈[0;1]
8
2
8
2
4
2
Chọn đáp án A
Câu 43. Điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x là
π
π kπ
π
B. x = + kπ.
C. x = +
.
A. x = + kπ.
4
2
8
2
Lời giải.
sin 2x
Hàm số y = tan 2x =
xác định khi và chỉ khi:
cos 2x
π
π kπ
cos 2x = 0 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = +
, k ∈ Z.

2
4
2
Chọn đáp án D
Câu 44. Tìm nghiệm của phương trình sin 2x = 1
π
π
3π
A. x = + k2π.
B. x = + kπ.
C. x =
+ k2π.
2
4
4
Lời giải.

D. x =

π kπ
+
.
4
2

D. x =

kπ
.
2

Phương pháp
Sử dụng công thức giải phương trình lượng giác đặc biệt: sin f (x) = 1 ⇔ f (x) =

π
+ k2π
2

Cách giải:
sin 2x = 1 ⇔ 2x =

π
π
+ k2π ⇔ x = + kπ.
2
4

Chọn đáp án D
x π
x
Câu 45. Tập nghiệm của phương trình sin2
−
tan2 x − cos2 = 0 là.
2
4 
2



x = π + kπ

x = π + k2π
x = π + k2π
x = π + kπ



A. 
.
B.
.
C.
.
D.
.
π
π
π
π
x = − + kπ
x = − + kπ
x = − + k2π
x = − + k2π
4
4
4
4
Lời giải.
Điều kiện cos x = 0 (∗).
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

14 />

/>
Khi đó

Đại số & giải tích 11

x π
x
−
tan2 x − cos2 = 0
2
4
2
2
π
sin x
1
1
= (1 + cos x)
⇔ 1 − cos x −
2
2
2 cos x
2
2
⇔ (1 − sin x) sin x = (1 + cos x) cos2 x
sin2

⇔ (1 − sin x) (1 − cos x) (1 + cos x) = (1 + cos x) (1 − sin x) (1 + sin x)

⇔ (1 − sin x) (1 + cos x) (sin x + cos x) = 0

sin x = 1

π
π
⇔
 cos x = −1 ⇔ x = 2 + k2π, x = π + k2π, x = − 4 + k2π (k ∈ Z) .
tan x = −1
Chọn đáp án B
Câu 46. Số điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình sin3 x − 3 sin2 x + 2 sin x = 0 trên đường
tròn lượng giác là
A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 5.

Lời giải.


sin x = 0

x = kπ
(k ∈ Z).
sin3 x − 3 sin2 x + 2 sin x = 0 ⇔ 
sin x = 1 ⇔
x = k2π

sin x = 2
Vậy có ba điểm biểu diễn.
Chọn đáp án C
Câu 47. Số nghiệm của phương trình
A. 4.

B. 2.

sin 3x
= 0 trên đoạn [0; π] là
1 − cos x
C. 3.

D. Vơ số.

Lời giải.
1

ĐKXĐ: cos x = 1.

kπ
Phương trình tương đương sin 3x = 0 ⇔ 3x = kπ ⇔ x =
với (k ∈ Z).
3
kπ
3 Ta có 0 ≤ x ≤ π ⇔ 0 ≤
≤ π ⇔ 0 ≤ k ≤ 3. Suy ra k = 0, k = 1, k = 2, k = 3. Do đó x = 0,
3
π
2π

x= ,x=
, x = π.
3
3
2π
π
So sánh điều kiện ta có x = , x =
, x = π.
3
3
Chọn đáp án C
π
Câu 48. Nghiệm của phương trình sin x +
= 0 là
3
π
π
A. x = − + kπ, k ∈ Z.
B. x = − + k2π, k ∈ Z.
3
3
π
C. x = + k2π, k ∈ Z.
D. x = kπ, k ∈ Z.
6
Lời giải.
2

Ta có

π
π
= kπ, k ∈ Z ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z.
3
3
π
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = − + kπ, k ∈ Z.
3
Chọn đáp án A
sin x +

π
3

=0⇔x+

Câu 49. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

15 />

/>
Đại số & giải tích 11

A. Hàm số y = cos x đồng biến trên tập xác định.
B. Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn chu kì 2π.
C. Hàm số y = cos x có đồ thị là đường hình sin.
D. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
Lời giải.
Theo tính chất của hàm số y = cos x, ta có

Tập xác định của hàm số y = cos x là D = R.
Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn chu kì 2π.
Hàm số y = cos x đồng biến trên (−π +k2π; k2π) và nghịch biến trên (k2π; π +k2π) (với k ∈ Z).
Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
Hàm số y = cos x có đồ thị là đường cong hình sin.
Chọn đáp án A
Câu 50. Tập
™
ß nghiệm của phương trình™sin 2x + cos x = 0 làß
π
π
π k2π
π k2π
k∈Z .
B. S = − + k2π, +
k∈Z .
A. S = − + kπ, − +
2
6
3
2
2
3
ß
™
π
π kπ
π
π
C. S =

k∈Z .
+ k2π, +
D. S = − + kπ, + k2π k ∈ Z .
2
6
3
2
4
Lời giải.
Ta có

π
x = + lπ
2

cos x = 0

π

sin 2x + cos x = 0 ⇔ cos x(2 sin x + 1) = 0 ⇔ 
1 ⇔ x = − 6 + l2π (l ∈ Z).

sin x = −
7π
2
x=
+ l2π
6


Biểu diễn
ß các nghiệm này trên đường
™ tròn lượng giác ta được tập nghiệm của phương trình đã cho
π
π k2π
là S = − + k2π, +
k∈Z .
2
2
3
Chọn đáp án B
√
Câu 51. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x + 3 cos x = 1.
π
π
π
A. S = − + k2π, + k2π k ∈ Z .
B. S =
+ k2π k ∈ Z .
6
2
6
C. S = −

π
π
+ kπ, + kπ k ∈ Z .
6
2

D. S = k2π,

π
+ k2π k ∈ Z .
3

Lời giải.
Ta có
sin x +

√

√

3 cos x = 1 ⇔

1
3
1
π
sin x +
cos x = ⇔ sin x +
2
2
2
3

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = −



π
x = − + k2π
1
6
= ⇔
(k ∈ Z).
π
2
x = + k2π
2

π
π
+ k2π, + k2π k ∈ Z .
6
2

Chọn đáp án A
Câu 52. Trong các hàm số sau, hàm nào là hàm số chẵn?
π
A. y = 1 − sin2 x.
B. y = cos(x + ).
C. y = x |sin x|.
3
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

D. y = sin x + cos x.

16 />

/>
Đại số & giải tích 11

Lời giải.
Nhận xét: Ta nhận thấy tập xác định của bốn hàm số đã cho đều là R nên ∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R.
Xét y = 1 − sin2 x có y (−x) = 1 − sin2 (−x) = 1 − sin2 x = y(x).
Vậy hàm số y = 1 − sin2 x là hàm số chẵn.
y (−x) = y(x)
π
π
Xét y = cos x +
có y (−x) = cos −x +
⇒
3
3
y (−x) = −y(x).
π
không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ.
Nên hàm số y = cos x +
3
Xét y = x |sin x| có y (−x) = (−x) |sin (−x)| = −x |− sin x| = −x |sin x| = −y(x).
Nê hàm số y = x |sin x| là hàm số lẻ.
Xét y = sin x + cos x có y (−x) = sin (−x) + cos (−x) = − sin x + cos x ⇒

y (−x) = y(x)

y (−x) = −y(x).
Nên hàm số y = sin x + cos x không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ.
Chọn đáp án A
Câu 53. Có bao nhiêu nghiệm của phương trình sin2 x−sin x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π?

A. 3.
Lời giải.

B. 1.

C. 2.

D. Khơng có x.

Ta có

⇔

sin2 x − sin x = 0
sin x = 0
sin x = 1


⇔ 

Do 0 < x < π ⇒ x =

x = kπ
π
x = + k2π.
2

π
.
2

Chọn đáp án B
Câu 54. Trong khoảng (−π; π), phương trình sin6 x + 3 sin2 x cos x + cos6 x = 1 có
A. 4 nghiệm.

B. 1 nghiệm.

C. 3 nghiệm.

D. 2 nghiệm.

Lời giải.
Ta có sin6 x + cos6 x = sin2 x + cos2 x
Do đó phương trình tương đương với

3

− 3 sin2 x cos2 x sin2 x + cos2 x = 1 − 3 sin2 x cos2 x.

3 sin2 x cos x − 3 sin2 x cos2 x = 0
⇔ sin2 x cos x (1 − cos x) = 0
⇔

cos x = 0
cos x = ±1.

Vẽ đường tròn đơn vị ra, ta thấy phương trình có 3 nghiệm trên (−π; π), nên tập nghiệm là S =
π
π
− ; 0;

.
2
2
Chọn đáp án C
Câu 55. Tổng các nghiệm trong đoạn [0; 2π] của phương trình sin3 x − cos3 x = 1 bằng
5π
7π
3π
A.
.
B.
.
C. 2π.
D.
.
2
2
2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

17 />

/>
Đại số & giải tích 11

Lời giải.
Ta có sin3 x − cos3 x = 1 ⇔ (sin x − cos x)(1 + sin x cos x) = 1.
√
√
√

π
Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x −
, − 2 ≤ t ≤ 2.
4
1
2
Có t = 1 − 2 sin x cos x ⇒ sin x cos x = (1 − t2 ).
2
ï
ò
1
2
3
(1) trở thành t 1 + (1 − t ) = 1 ⇔ t − 3t + 2 = 0 ⇔ (t − 1) (t3 + t − 2) = 0.
2
√
t=1
π
1
π
= 1 ⇔ sin x −
=√
⇔
⇔ 2 sin x −
4
4
2
t = −2 (loại)



π
π
π
x − = + k2π
x
=
+ k2π

4
4
2

⇔
⇔
(k, l ∈ Z) .
3π
π
x = π + l2π
+ l2π
x− =
4
4
π
Có x ∈ [0; 2π] nên ta có các nghiệm x = π; x = .
2
3π
.
Vậy tổng các nghiệm x ∈ [0; 2π] của phương trình đã cho là
2

(1)

Chọn đáp án D

Câu 56. Hàm số y =
A. x =

2 sin x + 1
xác định khi
1 − cos x

π
+ k2π.
2

B. x = kπ.

C. x = k2π.

D. x =

π
+ kπ.
2

Lời giải.
Hàm số xác định khi 1 − cos x = 0 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π với k ∈ Z.
Chọn đáp án C
Câu 57. Phương trình cos x − m = 0 vô nghiệm khi m là
A. −1 ≤ m ≤ 1.

B. m > 1.

C. m < −1.

D.

m < −1

.

m>1
Lời giải.
Phương trình cos x − m = 0 ⇔ cos x = m.
Vì −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x nên phương trình trên vơ nghiệm ⇔

m>1
m < −1

.

Chọn đáp án D

Câu 58. Tìm nghiệm của phương trình sin4 x + cos4 x + cos x −
π
+ kπ, k ∈ Z.
3
π
C. x = + k2π, k ∈ Z.
4

Lời giải.
A. x =

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

π
π
3
· sin 3x −
− = 0.
4
4
2

π
+ k2π, k ∈ Z.
3
π
D. x = + kπ, k ∈ Z.
4

B. x =

18 />

/>
Đại số & giải tích 11

Phương trình đã cho tương đương với
Å

ã
1 2
1
π
3
1 − sin 2x +
sin 4x −
+ sin 2x − = 0
2
2
2
2
Å
ã
1
1
3
⇔
1 − sin2 2x + (sin 2x − cos 4x) − = 0
2
2
2
Å
ã Å
ã
1 2
1
1
3
2

⇔
1 − sin 2x +
sin 2x − + sin 2x − = 0
2
2
2
2
1
1 2
sin 2x + sin 2x − 1 = 0
⇔
2
2
sin 2x = 1
⇔
sin 2x = −2(vô nghiệm)
π
π
⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z.
2
4
Chọn đáp án D
Câu 59. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = tan x.

B. y = sin x.

C. y = cos x.

D. y = cot x.

Lời giải.
Các hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x là các hàm số lẻ.
Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
Chọn đáp án C
ã
Å
π
3π
Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; π)
Câu 60. Cho phương trình sin 2x −
= sin x +
4
4
của phương trình trên.
7π
3π
π
A.
.
B. π.
C.
.
D. .
2
2
2
Lời giải.



π
3π
Å
ã
x = π + k2π
2x
−
=
x
+
+
k2π
3π
π
4
4

= sin x +
⇔
⇔
sin 2x −
2π (k ∈ Z).
π
π
3π
4
4
x= +k
2x − = π − x −
+ k2π

6
3
4
4
– Xét x = π + k2π(k ∈ Z).
1
Do 0 < x < π ⇔ 0 < π + k2π < π ⇔ − < k < 0 vì k ∈ Z nên khơng có giá trị của k.
2
π
2π
– Xét x = + k (k ∈ Z).
6
3
π
2π
1
5
< π ⇔ − < k < . Vì k ∈ Z nên k = 0, k = 1. Suya ra
Do 0 < x < π ⇔ 0 < + k
6
3
4
4
π
5π
x = và x =
.
6
6
π 5π

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng (0; π) là +
= π.
6
6
Chọn đáp án B
√
Câu 61.
trình 8 cos 2x · sin 2x · cos 4x = − 2
 Giảiπ phương
π
x=
+k
x=
32
4 (k ∈ Z).

A. 
B.
3π
π
x=
+k
x=
32
4


π
π
x=

+k
x=
32
4 (k ∈ Z).

C. 
D.
5π
π
x=
+k
x=
32
4
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

π
π
+k
8
8 (k ∈ Z).
3π
π
+k
8
8
π
π
+k
16

8 (k ∈ Z).
3π
π
+k
16
8

19 />

/>
Đại số & giải tích 11

Lời giải.
√
√
√
8 cos 2x · sin 2x · cos 4x = − 2 ⇔ 4 sin 4x · cos 4x = − 2 ⇔ 2 sin 8x = − 2

π
√
+ k2π
8x
=
−
− 2
4

⇔ sin 8x =
⇔
5π

2
8x =
+ k2π
4

π
π
x=− +k
32
4
⇔ 
π (k ∈ Z).
5π
+k
x=
32
4
Chọn đáp án B
Câu 62. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.

B. Hàm số y = tan 2x − sin x là hàm số lẻ.

C. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.

D. Hàm số y = tan x · sin x là hàm số lẻ.

Lời giải.
Xét hàm số y = tan 2x − sin x.
π

π
+k , k ∈Z .
Tập xác định D = R \
4
2
Giả sử với x bất kỳ thuộc D suy ra −x ∈ D.
Mà f (−x) = tan (−2x) − sin (−x) = − tan 2x + sin x = −f (x).
Do đó hàm số y = tan 2x − sin x là hàm số lẻ.
Chọn đáp án B
Câu 63. Số giá trị nguyên m để phương trình

√

4m − 4 · sin x · cos x +

√

m − 2 · cos 2x =

√

3m − 9

có nghiệm là
A. 7.

B. 6.

C. 5.

D. 4.

Lời giải. 



m≥1
4m
−
4
≥
0




Điều kiện m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 ⇔ m ≥ 3 (∗).






m≥3
3m − 9 ≥ 0
Với điều kiện (∗) ta có
√

√
√

4m − 4 · sin x · cos x + m − 2 · cos 2x = 3m − 9
√
√
√
m − 1 · sin 2x + m − 2 · cos 2x = 3m − 9 (1)
⇔
Để phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
Ä√
ä2 Ä√
ä2 Ä√
ä2
m−1 +
m−2 ≥
3m − 9
⇔ m − 1 + m − 2 ≥ 3m − 9 ⇔ m ≤ 6.
Chọn đáp án D
Câu 64. Số nghiệm x ∈ (0; 12π) thỏa mãn phương trình cos 2x + cos2 x − sin2 x = 2 là
A. 10.

B. 1.

C. 12.

D. 11.

Lời giải.
Ta có
cos 2x + cos2 x − sin2 x = 2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

20 />

/>
Đại số & giải tích 11

⇔ 2 cos 2x = 2 ⇔ cos 2x = 1
⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
Để thỏa mãn bài toán khi 0 < kπ < 12π ⇔ 0 < k < 12 mà k ∈ Z nên k = 1, 2 . . . , 11 suy ra có 11
nghiệm x ∈ (0; 12π).
Chọn đáp án D
Câu 65. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình
4 sin x +

π
π
· cos x −
3
6

= m2 +

√
3 sin 2x − cos 2x.

có nghiệm?
A. 7.

B. 1.

C. 3.

D. 5.

Lời giải.
Ta có
√
π
π
· cos x −
= m2 + 3 sin 2x − cos 2x
3
6
√
π
π
⇔ 2 sin 2x +
+ sin
= m2 + 3 sin 2x − cos 2x
6
2
√
√
3 sin 2x + cos 2x + 2 = m2 + 3 sin 2x − cos 2x
⇔
m2 − 2
⇔ cos 2x =
.
2
4 sin x +

Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

⇔

 2
m −2



≥ −1
m2 − 2
2
≤1⇔

2
m2 − 2


≤1
2
m2 ≥ 0
⇔ −2 ≤ m ≤ 2.
m2 ≤ 4

Do m ∈ Z suy ra m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}. Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Chọn đáp án D
Câu 66. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
A. y = cos x tuần hồn với chu kì π.

B. y = cos x nghịch biến trên khoảng (0; π).

C. y = cos x là hàm số chẵn.

D. y = cos x có tập xác định là R.

Lời giải.
Hàm số y = cos x là hàm số tuần hồn với chu kì 2π.
Chọn đáp án A
Câu 67. Số nghiệm thuộc đoạn [0; 2018π] của phương trình cos 2x − 2 sin x + 3 = 0 là
A. 2017.

B. 1009.

C. 1010.

D. 2018.

Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

21 />

/>
Đại số & giải tích 11

Ta có
cos 2x − 2 sin x + 3 = 0 ⇔ 1 − 2 sin2 x − 2 sin x + 3 = 0
⇔ sin2 x + sin x − 2 = 0
sin x = 1

⇔

sin x = −2 (loại)
π
⇔ x = + k2π, k ∈ Z.
2
π
1
4035
+ k2π 2018π ⇔ −
k
.
2
4
4

Theo giả thiết x ∈ [0; 2018π] ⇔ 0
Do k ∈ Z nên k ∈ {0; 1; . . . ; 1008}.

Vậy phương trình đã cho có 1009 nghiệm.
Chọn đáp án B
Câu 68. Diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường trịn lượng giác biểu diễn các nghiệm
của phương trình cos2 x + 3 sin x√· cos x = 1.
√
3 10
A. 3.
B.
.
10
Lời giải.

√
3 10
C.
.
5

D.

√
2.

Phương trình đã cho viết lại như sau
3 sin x · cos x − sin2 x = 0 ⇔

sin x = 0
tan x = 3

⇔

x = kπ
x = α + mπ

k, m ∈ Z;

tan α = 3.

Gọi A, B lần lượt là các điểm cuối biểu diễn cho họ nghiệm

y

x = kπ, k ∈ Z trên đường tròn lượng giác.
Gọi M , N lần lượt là các điểm cuối biểu diễn cho họ nghiệm

M

x = α + mπ, m ∈ Z trên đường tròn lượng giác.
Tứ giác AM BN là hình chữ nhật, suy ra SAM BN = 4SAOM .
÷ = α và tan α = 3 nên cos2 α = 1 hay sin α = √3 .
Ta có AOM
10
10
Vậy
√
3
1
3 10
.
SAM BN = 4SAOM = 4 · · 1 · 1 · √ =
2
5
10

x

B

O

A

N

Chọn đáp án C
Câu 69. Phương trình sin x =
sin x = 2019x)
A. 1288.
Lời giải.

x
có bao nhiêu nghiệm thực? (Đã sửa câu hỏi so với đề gốc
2019

B. 1287.

C. 1290.

D. 1289.

x
Điều kiện phương trình có nghiệm: −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −1 ≤
≤ 1 ⇔ −2019 ≤ x ≤ 2019.
2019
x
x
Ta có: sin x =
⇔ sin x −
= 0.
2019
2019

x
Xét hàm số f (x) = sin x −
trên [−2019; 2019].
2019
−x
x
f (−x) = sin(−x) −
= − sin x +
= −f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ.
2019
2019
⇒ x0 là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì −x0 là một nghiệm của phương trình
f (x) = 0.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

22 />

/>
Đại số & giải tích 11

x = 0 là một nghiệm của phương trình f (x) = 0
1
.
f (x) = cos x −
2019
Å
ã
1
1
Cho f (x) = 0 ⇔ cos x =

⇔ x = ± arccos
+ k2π, (k ∈ Z).
2019
2019
Xét trên (0; 2π] ta có bảng biến thiên:
Å
x

arccos

0
+

f (x)

1
2019

Å

ã
− arccos
−

0

1
2019

ã

+ 2π

2π

+

0

≈ 0.99

≈ −0.003

f (x)
≈ −1.00

0

⇒ phương trình f (x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 2π].
Xét trên (2π; 4π] ta có bảng biến thiên:
Å
x

arccos

2π
+

f (x)

1

2019

ã

Å
− arccos

+ 2π
−

0

1
2019

ã
+ 4π

4π
+

0

≈ 0.99

≈ −0.006

f (x)
≈ −0.003

≈ −1.00

⇒ phương trình f (x) = 0 có 2 nghiệm thuộc (2π; 4π].
Tương tự, phương trình f (x) = 0 có 2 nghiệm thuộc mỗi chu kỳ (4π; 6π], (6π; 8π], ... , (640π; 642π].
Xét trên (642π; 2019] ta có bảng biến thiên:
Å
x

arccos

642π
+

f (x)

1
2019

ã
+ 642π

0

2019
−

≈ 0.00
f (x)
≈ −0.99

≈ −0.13

⇒ phương trình f (x) = 0 có 2 nghiệm thuộc (642π; 2019].
⇒ phương trình f (x) = 0 có 643 nghiệm dương.
Hàm số f (x) là hàm số lẻ ⇒ phương trình f (x) = 0 có 643 nghiệm âm.
⇒ Số nghiệm thực của phương trình f (x) = 0 là: 643 + 643 + 1 = 1287 (nghiệm).
Chọn đáp án B
cos 4x − cos 2x + 2 sin2 x
= 0. Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các
cos x + sin x
điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường√trịn lượng giác.
√
√
√
2
2
A. 2.
B. 2 2.
C.
.
D.
.
2
4
Lời giải.

Câu 70. Cho phương trình

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

23 />

/>
Đại số & giải tích 11

π
+ kπ (k ∈ Z).
4
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương

Điều kiện: cos x + sin x = 0 ⇔ x = −

y

N

cos 4x − cos 2x + 2 sin2 x = 0

P

⇔ 2 cos2 2x − 1 − cos 2x + 1 − cos 2x = 0
B

H

A

⇔ 2 cos2 2x − 2 cos 2x = 0
x
O

cos 2x = 0
⇔
cos 2x = 1

π
Q
M
2x = + lπ
2

⇔
2x = h2π

π lπ
x= +

4
2 (l, h ∈ Z).
⇔
x = hπ
π
Điều kiện: x = − + kπ (k ∈ Z) được biểu diễn lên đường tròn lượng giác là khác các điểm M , N .
4
π lπ
Nghiệm x = + (l ∈ Z) được biểu diễn lên đường tròn lượng giác là các điểm M, P, N, Q.
4
2
Nghiệm x = hπ (h ∈ Z) được biểu diễn lên đường tròn lượng giác là các điểm A, B.
Khi đó nghiệm của phương trình được biểu diễn trên đường trịn là hình chữ nhật AP BQ.
Trong tam giác ABP như hình vẽ - kẻ đường cao P H. √

1
2 √
Diện tích tứ giác AP BQ là SAP BQ = 2S ABP = 2 · · 2 ·
= 2.
2
2
Chọn đáp án A
Câu 71. Cho hai số thực thỏa mãn x2 + y 2 = 1. Đặt P =

x2 + 6xy
. Khẳng định nào sau đây
1 + 2xy + 2y 2

là đúng?
A. Giá trị nhỏ nhất của P là −3.
C. P khơng có giá trị lớn nhất.

B. Giá trị lớn nhất của P là 1.
D. P khơng có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải.
Do x2 + y 2 = 1 nên tồn tại giá trị α sao cho

x = sin α

. Khi đó ta có

y = cos α
P =

sin2 α + 6 sin α · cos α
1 − cos 2α
⇔
P
(1
+
sin
2α
+
1
+
cos
2α)
=
+ 3 sin 2α
1 + 2 sin α · cos α + 2 cos2 α
2
⇔ (2P + 1) cos 2α + (2P − 6) sin 2α = 1 − 4P (∗)

Từ phương trình (∗) ta có điều kiện tồn tại α là
3
(2P + 1)2 + (2P − 6)2 ≥ (1 − 4P )2 ⇔ 8P 2 + 12P − 36 = 0 ⇔ −3 ≤ P ≤ .
2
Suy ra min P = −3.
Chọn đáp án A
1
Câu 72. Tập xác định của hàm số y = √
là
sin x + 1
π

π
A. R \
+ k2π, k ∈ Z .
B. R \ − + k2π, k ∈ Z .
2
2
π
C. R \ − + kπ, k ∈ Z .
D. R.
2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

24 />

/>
Đại số & giải tích 11

Lời giải.
Do sin x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ R nên hàm số xác định khi và chỉ khi
sin x + 1 = 0 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = −

π
+ k2π, k ∈ Z.
2

Chọn đáp án B
√

√
3

Câu 73. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình
= 3 cot x + 3 là
2
sin x
5π
π
π
B. − .
C. − .
A. − .
6
6
2
Lời giải.

D. −

2π
.
3

Điều kiện sin x = 0.
√

⇔
⇔
⇔

Do đó nghiệm âm lớn nhất của

√
3
=
3
cot
x
+
3
sin2 x
ã √
Å
1
− 1 − 3 cot x = 0
sin2 x
√
cot x(cot x − 3) = 0

π
x = + kπ
cot x = 0
2
, (k ∈ Z).
√ ⇔
π
cot x = 3
x = + kπ
6
ß
™
π 5π

π
phương trình là max − ; −
=− .
2
6
2

Chọn đáp án C
Câu 74. Nghiệm của phương trình lượng giác cos2 x − cos x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π
là
A. x = 0.

B. x =

3π
.
4

Lời giải.
cos2 x − cos x = 0 ⇔

C. x =

π
.
2

π
D. x = − .
2


π
x = + kπ
cos x = 0
2
⇔
, (k ∈ Z).
cos x = 1
x = k2π

Do đó các nghiệm của phương trình trên khoảng (0; π) là x =

π
.
2

Chọn đáp án C
Câu 75. Tất cả các nghiệm của phương trình tan x = cot x là
π
π
π
A. x = + k , k ∈ Z.
B. x = + k2π, k ∈ Z.
4
4
4
π
π
π

C. x = + kπ, k ∈ Z.
D. x = + k , k ∈ Z.
4
4
2
Lời giải.
sin x = 0
π
Điều kiện
⇔ x = k , (k ∈ Z).
2
cos x = 0
π
π
π
π
− x ⇔ x = − x + kπ ⇔ x = + k , (k ∈ Z).
2
2
4
2
π
π
Đối chiếu điều kiện được các nghiệm của phương trình là x = + k , (k ∈ Z).
4
2
Chọn đáp án D
tan x = cot x ⇔ tan x = tan

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

25 />