Tiet 17 tich vo huong cua hai vecto

Nhiệt liệt chào mừng thầy c
và các em học sinh vÒ dù


Sở giáo dục & đào tạo tháI binh
Trờng thpt binh thanh

Bài tập tích vô hớng của hai vectơ
(Tiết 19)

Ngày 13 tháng 11 năm 2008


Kiểm tra bài cũ
Câu 1: Cho tam giác ABC uvuông
cân
uu
r uuu
r u
uu
r uuu
rtại A có AB=AC=a.
AB.AC, AB.BC.
Tính các tích vô hớng
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(2;4), B(1;1), C(-2;2).
a, Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
b, Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
A
a
C

B
Hình c1


Kiểm tra bài cũ
Câu 1: Cho tam giác
uuu
rABC
uuu
r uvuông
uu
r uuu
r cân tại A có AB=AC=a. Tính các
AB.AC, AB.BC.
tích vô hớng
A
Giải:

uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
AB
.
AC
0
+, Vì AB AC nên:

+, Ta có:

a

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
AB.BC  AB . BC .cos AB,BC
uuu
r uuu
r
 AB.BC.cos BE ,BC







�
 AB.BC.cosEBC
 a.a 2.cos1350   a2
C¸ch kh¸c:



C

B


E

uuu
r uuu
r 1 uuu
r uuu
r 2 uuu
r 2 uuu
r2
AB.BC 
AB  BC  AB  BC
2
1
  AC2  AB2  BC2 
2
1
  a2  a2  2a2    a2
2



Hc:
uuu
r uuu

r uuu
r uuu
r uuu
r
AB.BC  AB. AC  AB
uuu
r uuu
r uuu
r2
uuu
r2
 AB.AC  AB   AB   a2






Kiểm tra bài cũ
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, có A(2;4), B(1;1),
C(-2;2).
a, Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
b, Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
Giải: Ta có

a,

uuu
r
uuu

r
uuu
r
AB (1; 3), BC  (3;1), AC  (4; 2)

uuu
r
AB  AB  (1)2  (3)2  10
uuu
r
BC  BC  (3)2  12  10
uuu
r
2
2
AC  ACuu
u
(

4)

(

2)
 20
r uuu
r

b, Tac� AB.BC  (1).(3) (3).1 0
Vậy

uuu
r uuu
r
AB BC

và tam giác ABC vuông tại B.

Nhận xét: Có thể chứng minh tam giác ABC vuông tại B bằng cách
chứng minh rằng: AC2 = AB2 + BC2.


Tiết 19 : Bài tập tích vô hớng của hai Vectơ
I. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa tích vô hớng của hai vectơ và các tính chất

rr r r
r r
uv
.  u . v .cos u,v





2. BiĨu thøc täa ®é cđa tÝch v« híng
r
r
r r
NÕu u  (x; y), v (x'; y') thì u.v xx' yy'

3. Độ dài của vectơ và góc giữa hai vectơ

r
rr
2
2
u x y ; cos u,v 

 

xx' yy'
x  y . x'  y'
2

2

2

2

.


Tiết 19 : Bài tập tích vô hớng của hai Vectơ
II. Bài tập:
Dạng 1: Tính tích vô hớng của hai vectơ
Dạng 2: Chứng minh sự vuông góc của hai vectơ
Dạng 3: Biểu thức tọa độ của tích vô hớng và các ứng dụng
Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức về vectơ có liên quan đến tích
vô hớng của hai vectơ

Tiết 19 : Bài tập tích vô hớng của hai Vectơ
II. Bài tập:
Dạng 1: Tính tích vô hớng của hai vectơ
+ áp dụng biểu thức
của định
r r nghĩa:
r r
rr



a.b a . b .cos a,b

+ Dïng tÝnh chÊt cđa
tÝch v« hớng
+ Dùng biểu thức
tọa độ:

rr
a.b xx' yy'

Bài 1: Cho tam gi¸c ABC cã A= 120
uuu
r0,uAB=10,
uu
r uuu
r uuu
r

AB.AC, AC.CB.
AC=5. TÝnh c¸c tích vô hớng

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy hÃy tính tích vô h
ớng của các cặp vectơ sau:

a,
b,
c,

r
r
a(2; 3), b(6;4);
r
r
a(3;2), b(5; 1);
r
r
a(2; 2 3), b(3; 3).


A
10
Gi¶i 1: +Ta cã

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r

uuu
r uuu
r B
AB.AC  AB . AC .cos AB, AC





�  10.5.cos1200  25
 AB.AC.cosBAC
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r2
+ Ta cã AC.CB  AC. AB  AC  AC.AB  AC





 25 25  50
Gi¶i 2:

a,

b,
c,

rr
a.b 2.6 (3).4  0;
rr
a.b 3.5 2.(1)  13;
rr
a.b (2).3 (2 3). 3  12.

5
C


Tiết 19 : Bài tập tích vô hớng của hai Vectơ
II. Bài tập:
Dạng 2: Chứng minh sự vuông góc của hai vectơ
+ Sử dụng tính chất
của tích vô hớng:

r r
rr
a b a.b 0
+ Khoảng cách giữa hai
điểm:

AB (xB  xA )2  (yB  yA )2
+ Sư
r dơng:
r

a b xx' yy' 0

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a,
AD=a 2 .Gọi M là trung điểm của AD.
Chứng minh rằng BM vuông góc với AC.

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho A(7;-3),
B(8;4), C(1;5), D(0;-2). Chứng minh rằng tứ giác
ABCD là hình vuông.


A

M

uuu
r uuu
r uuu
r
Gi¶i 3: Ta cã AC  AB  AD,
Bài 4: Trong
uuur mặt
uuu
r phẳng
uuur uuOxy
u
r 1cho
uuu
r A(7;-3), B(8;4), C(1;5), D(0;-2).

a
BM rằng
BA tứ
AM
BA
AD
Chứng minh
giác
ABCD
là hình vuông.
2
Suy ra:
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r 1 uuu
r
u
u
u
r
u
u
u
r
r
uuu
r
AC.BM  (AB  AD).(BA  AD) uuu

27;1), CD  (1
B; 7), DA  (7; 1)
Gi¶i 4: Ta cã AB  (1;7), BC  (
uuu
r uuu
r 1 uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r 1 uuu
r uuu
r
 AB
.BA
 AB
.AD 
.BA
AD
AD2 (1)
AB
 BC
 CD
 AD
DA
  50
.5
Suy ra:
uuu
r uuu
r 2

2
AB2.BC  1.(
1)  0� AB  BC (2)
Vµ
17)  7.(
2
  a  0 0 (a 2)  0
2 ABCD là hình vuông.
Từ (1)
và
suy
uu
u
r (2)uu
ur ra tứ giác
Vậy

AC BM � AC  BM  �
pcm

D

C


Tiết 19 : Bài tập tích vô hớng của hai Vectơ
II. Bài tập:
Dạng 3: Biểu thức tọa độ của tích vô hớng và các ứng dụng
+ Sử
r dụng:

r

a b xx' yy' 0

+ Độ dài của vectơ:
r
a

x2 y2

+ Khoảng cách giữa hai
điểm:

AB (xB xA )2 (yB yA )2
+ Góc giữa hai vectơ:
rr
xx' yy'
cos a,b
x2 y2 . x'2 y'2



Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;3), B(4;2),
C(1;0).
a, Tính chu vi tam giác ABC;
b, Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;
c, Tìm tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;3), B(4;2),
M(x;y). Tìm tọa độ của M để tam giác MAB

vuông cân tại M.


Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;3), B(4;2), C(1;0).
a, Tính chu vi tam giác ABC;
b, Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;
c, Tìm tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải 5:
a, Ta có

AB  (4 1)2  (2 3)2  10
BC  (1 4)2  (0 2)2  13
CA  (1 1)2  (0 3)2  3

VËy chu vi tam gi¸c ABC b»ng

3

10 

13

uuur
uuur
b, Gäi H(x;y). Ta cã AH  (x  1; y 3), BH  (4 x;2 y)
uuu
r
uuu
r
CB  (3;2),

CA  (0;3).
Vì H là trực tâm nên ta có hệ:
uuur uuu
r

3.(x  1)  2.(y 3)  0
�AH.CB  0 �
��
�
r uuu
r
�uuu
0
.(
x

4)

2
.(2

y
)

0
�
�BH.CA  0
VËy H(5/3;2).

� 5

�x 
� 3
�
�y  2


Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;3), B(4;2), M(x;y). Tìm tọa
độ của M để tam
uuurgiác MAB vuông cân
uuur tại M.
Gi¶i 6: Ta cã

MA  (1 x;3 y), MB  (4 x;2 y)

Theo bµi ra ta cã hƯ:

uuur uuur
uuur uuur
�MA.MB  0 �(1 x).(4 x)  (3 y).(2 y)  0
�MA.MB  0 �
�� 2
��
�
2
2
2
2
2
�MA  MB
�MA  MB

�(1 x)  (3 y)  (4 x)  (2 y)
�x2  y2  5x  5y 10  0 �x2  5x  6  0
��
��
�y  3x  5
�y  3x  5
(x  2, y  1)
�
��
VËy M(2;1) hc M(3;4).
(
x

3,
y

4)


Cách khác: Gọi H là trung điểm của AB.
Theo bài
ra
uuur u
uurta cã hÖ:
uuur uuur
�
�
�MA. MB  0 �MA. MB  0
r uuu
r � �uuuu

r uuu
r
�uuuu
�MH  AB
�MH . AB  0


Tiết 19 : Bài tập tích vô hớng của hai Vectơ
II. Tổng kết:
Dạng 1: Tính tích vô hớng của hai vectơ
Dạng 2: Chứng minh sự vuông góc của hai vectơ
Dạng 3: Biểu thức tọa độ của tích vô hớng và các ứng dụng
Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức về vectơ có liên quan đến tích
vô hớng của hai vectơ
III. Bài tập về nhà:
+ Làm các ý còn lại của bài tập trên lớp
+ Bài tập 1,2,3,4,5,6,7: SGK trang 45-46


Chúc thầy cô và các em học s
mạnh khoẻ, hạnh phóc !


Tiết 19 : Bài tập tích vô hớng của hai Vectơ
II. Bài tập:
Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức về vectơ có liên quan đến tích
vô hớng của hai vectơ
+ Dùngrt/cr phân
r
rphối:

r rr
a.(b c) a.b a.c
+ Dùng quy tắc 3
điểm đối với phép
cộng hoặc trừ vectơ.

uuu
r uuu
r uuu
r
AB BC  AC
uuu
r uuu
r uuu
r
AB  OB  OA

+ Dïng công thức
hình chiếu:

r r
u
u
r r
a.b a'.b

Bài 7: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB=2R.
Gọi C và D là 2 điểm thuộc đờng tròn sao cho 2
dây cung AC và BD cắt nhau tại I.
a, Chứng minh rằng :

uur uuu
r uur uuu
r
uur uuu
r uur uuu
r
AI .AC  AI .AB vBI .BD BI .BA

b, Gọi M là điểm nằm ngoài đờng tròn (O). Đ
ờng thẳng qua M cắt đờng tròn (O) tại hai
điểm E, F. Chứng minh rằng :

uuur uuur
ME.MF  MO2  R2


F

E

Gi¶i 7:

M

a, Ta cã:

uur uuu
r uur uuu
r

uur uuu
r uur uuu
r
AI .AC  AI .AB � AI .AC  AI .AB  0
uur uuu
r uuu
r
uur uuu
r
� AI .(AC  AB)  0 AI .BC 0 (1)
Đẳng thức (1) đúng vì

O

A

uur uuu
r
AI BC

Chứng minh tơng tự ta cũng có

F
uu
r uuu
r uu
r uuu
rD
BI .BD  BI .BA

I

uuur
ME lµ

b, Ta vÏ đờng kính
uuuuFF
r thì FE MF nên
hình chiếu của MF '
trên đờng thẳng MF. Do đó:
uuur uuur uuuu
r uuur
uuur uuuu
r
uuur uuu
r
ME.MF  MF '.MF  MO  OF ' . MO  OF
uuur uuu
r
uuur uuu
r
uuur2 uuu
r2
 MO  OF . MO  OF  MO  OF  MO2  R2

uuur uuur
Chú ý: Nếu điểm M cố định thì giá trịME.MF là một số không
đổi và đợc gọi là phươngưtíchưcủaưđiểmưMưđốiưvớiưđườngưtròn
uuur uuur
2
2
ME
.
MF

MO

R
tâmưO. Kí hiệu:
M/(O)=

P

B

C