Tiet 27 nhi thuc niuton

6
1

4

3

2

5

10
7

8

9

Trắc ngh

20 - 11


Bài 3

GV: LÊ VĂN QUANG


Niu Tơn

Tiết 26:

Pascal

NHỊ THỨC NIU – TƠN


Kiểm tra bài
cũ
k
0
1
2
.
Suy
ra
Viết
cơng
thức
tính
C
1)
C2 ; C 2 ; C2
n
0
3

1
3

2

3

3
3

C ,C ,C ,C
2) Nêu hai tính chất cơ bản của số
Giải
n!

C =
k
n

k !(n − k )!
n−k
n

C

k
n

; C = 1; C = 2; C = 1
0
2

1
2

C = 1, C = 3, C = 3, C = 1
0
3

1
3

C =C ; 0≤k ≤n
k
k −1
C = Cn + C n ; 1 ≤ k ≤ n
k
n
k
n +1

2
2

2
3

3
3


NHỊ THỨC NEWTON
Tiết 26

1

Công thức nhị thức Newton
?1 Khai triển hằng đẳng thức và thay các
hệ số bằng các tổ hợp tương ứng
Nhóm chẵn:
Nhóm lẻ:

( a + b)

2

( a + b)

3


NHỊ THỨC NEWTON
Tiết 26

C =1

Giải
0 2
12a

(a + b) = C
2

0 3
13a

(a + b) = C
3

+

1
22ab +
1 2
33a b +

C

+C

Tương tự: (a + b)4 = ?
4
0 4
1 3
4
4

0
2

2 2
12b

C

2 2
33ab

C

3 3
13b

+C

C =2
C =1
1
2
2
2

C =4 14
(a + b) = C a + C a b + C a b + C ab + C4 b
C =3
2 2 2
4

Thay 4 bởi n thì có cơng thức như thế nào

3
4

0
3 3

1
3

C =3
C =1
2
3
3
3


NHỊ THỨC NEWTON
Tiết 26

1

Công thức nhị thức Newton
1 n −1
n

kk n − k k
n

(a + b) = C a + C a b + ... + C a b + ... + C b
n

0 n
n

n

=∑
k =0

n n
n

k n − k kk
k
Cn a b k ( quy ước a0 = b0 = 1)

Nhóm 1: nhận xét về biểu thức viết sau dấu

n

∑
k =0

Nhóm 2:Tính hệ số của x12y13 trong khai triển(x + y)25
Nhóm 3, 4: Viết khai triển (x + 2)6


ĐẠI SỐ 11

NHỊ THỨC NEWTON

Tiết 26

Giải
Hệ số của x12y13 trong khai triển (x + y)25 là:

25!
13
C25 = 13!12! = 5200300
0 6
1 5
2 4 2
3 3 3
(x + 2)6
=C x +C x 2+C x 2 +C x 2
6

6

6

6

+C x 2 + C x 2 + C 2
4 2 4
6

5
6

5

6 6
6

= x + 12 x + 60 x + 160 x + 240 x + 192 x + 64

6

5

4

3

2


I. Công thức Nhị thức Niu – Tơn:

( a + b)

n

= C0n a n + C1n a n −1 b + ... + Ckn a n −kb k + ... + Cnn −1a b n −1+ Cnn b n
Ta có cơng thức tính số hạng thứ K + 1

k n−k k
n

Tk+1 = C a b
Ta có cơng thức nhị thức Niu Tơn thu gọn:

n

k n −k k
a

+
b
=
C
(
) ∑ na b
n

k =0

Chú ý

(a - b) = [a + (-b) ]
n

n

(1)


I. Công thức Nhị thức Niu – Tơn:
0 n
k n −k k
n −1
n n
1 n −1
n −1
C
C
a

C
C
b
a
+
b
=
a
+
C
a
+
...
+
b
+
...
+
a
b
+ nb
(
)
n
n
n
n
n

HỆ

QUẢ
Từ công thức (1) ta cho a = b = 1 thì VT =
n
0
1

Và

(1)

VP =

Với a = b = 1, ta có 2 = Cn + Cn + ... + C
n có 0 = Cn0 − Cn1 + ... + (−1)k Cnk + ... + (−1)nCnn
Với a = 1; b =–1,ta

VT = 2

n
n

Với a = 1; b =0 – 1 thì
1 VT = ? Và
n VP = ?
VP= 0= Cn + Cn + ... + Cn
VT
VP = Cn0 − Cn1 + ... + (−1)k Cnk + ... + (−1)nCnn


Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng với n ≥ 4, ta có

Cn0 + Cn2 + Cn4 + ...= Cn1 + Cn3 + ...= 2n−1

Giải
Kí hiệu:

A = Cn0 + Cn2 + ...
B = Cn1 + Cn3 + ...

Theo hệ quả ta có

2n = A + B
0 = A– B

Giải hệ này

2n = A + B

0 = A − B
n−1

Ta suy ra A = B = 2


Hoạt động 1: Khai triển các nhị thức Niu tơn sau:
a) (x – 2)6

b) (2m + 1)5

Đáp án

( x − 2)

6

=  x + ( −2)  = C60x6 + C61x5(−2) + C62x4(−2)2 + C63x3(−2)3
6

+ C64x2 (−2)4 + C65x (−2)5 + C66(−2)6
= x6 − 12x5 + 60x4 − 160x3 + 240x2 − 192x + 64

( 2m+ 1)

5

= C50(2m)5 + C51(2m)4 + C52(2m)3 + C53(2m)2
+ C54 (2m) + C55(2m)0
= 32m5 + 80m4 + 80m3 + 40m2 + 10m+ 1


ĐẠI SỐ 11

NHỊ THỨC NEWTON

Tiết 27

CC ++ C
=
C
2 Tam giác Pascal:
C ==CC

n = 0: (a + b)0 = 1
0 +1+ 0
0 + 1 + 1+ 0
n = 1: (a + b)1 =1a +1b
2 + 1b2 0 + 1 + 2 + 1 + 0
n = 2: (a + b)2 =1a2 + 2ab
n = 3: (a + b)3 =1a3+3a
3 2b+3ab
3 2+ 1b3 1 3 3 1
0
3
2
1
k
n
−
k
Viết
Với nC=
C3 C3 1 4 6 4 1
nC
= 4:tiếp:
3 4C3
=
C
n
n
1 5 10 10 5 1
n = 5:
n=5

1 6 15 20 15 6 1
n = 6:
n=6
0
101
22

…

1
12
22

1
122
33


k n− k k
n

Sử dụng công thức Tk+1 = C a

b

13


1
Câu1: Viết số hạng thứ 9 của khai triển  2x − ÷

y


9

 2 1
Câu 2: Tìm số hạng khơng chứa x của kt  x − ÷
x


11

 3 1
Câu 3: Tìm số hạng chứa x5 của khai/tr  x + ÷
x



ĐÁP ÁN:

13

Câu1: Viết số hạng thứ 9 của khai triển


1
 2x − y ÷



8

5


1
8
5
8 x
TL: Số hạng thứ 9 là T9 = C13(2x)  − ÷ = 32C13 8
y
 y
9

 2 1
Câu 2: Tìm số hạng khơng chứa x của khai triển
 x k− x ÷
1


k
2 9− k
k k 18−3k
TL: Số hạng tổng quát là: Tk+1 = C9 (x )  − ÷ = (−1) C9 x
 x
Tk+1 khơng chứa x khi: 18 – 3k = o ⇔ k = 6
Vậy số hạng không chứa x là T7 = (−1)6C96 = 84

11

Câu 3: Tìm số hạng chứa x của khai triển
5

Trả lời câu 3: Số hạng chứa x5 là

 3 1
 x + x÷



7 5
C11
x = 330x5


Hot ng 2: Điền số thích hợp vào chỗ
...
1-Hệ số cđa x12y13 trong khai triĨn (x y)25 lµ.... 13
=
25
2-HƯ sè cđa x3 5200300
trong khai triĨn (3x4)5 lµ....

C

4320

3-HƯ sè cđa x2 trong khai triĨn (3x4)5 lµ....

576

Bài tập 1: Khai triển các biểu thức sau:
a) ( 2x + y) 5

b) ( x – 3)6

Giải

a) ( 2 x + y ) = C ( 2 x ) + C ( 2 x ) y + C ( 2 x ) y 2 +
5

5

0
5

4

1
5

2
5

3

+ C ( 2 x ) y3 + C54 2 x y 4 + C55 y5
2

3
5

= 32 x5 + 80 x4 y + 80 x3 y2 + 40 x2y3 + 10 x y4 + y5
b) ( x – 3)6 = [x +(– 3)]6

= C06 x 6 + C16 x 5 (-3) + C62 x 4 (-3) 2 + C36 x 3 (-3)3 +
5

+ C x (-3) + C x (-3) + C66 ( −3) 6
4
6

2

4

5 1
6

= x 6 -18 x 5 + 135 x 4 - 540 x 3 +1215 x 2 - 1458 x + 729


§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN:
k n −k k
Áp dụng :

Tk +1 = Cn a b

Bài tập 2: Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển biểu thức: (2x +1) 8
Bài tập 3: Tìm hệ số của x2 trong khai triển:

1

x+ 
x


6


Củng cố bài học:
Nắm được,biết khai triển công thức Nhị thức Niu – Tơn
Biết tìm số hạng thứ k + 1
Biết tìm số hạng chứa xk của khai triển
Làm các bài tập sách giáo khoa và bài tập làm
thêm


Bài học đến đây
kết thúc



Câu hỏi trắc nghiệm:
Trong các câu sau mỗi câu đều có
một phơng
án đúng.
HÃy3tìm

phơng
án
5
4
2
2
1)S= 2 + 5.2 .3 + 10.2 .3 + 10.2 .33 +
đó ?
5.2.34 + 35
Có giá trị là :
a) S= 625
c) S
= 3125
2)S=x6-6x53y+15x4(3y)2-20x3.(3y)3+15x2.
b) S =18750
d)
(3y)4
S =-6x.(3y)
1
5
+(3y)6
Lµ khai triĨn cña :
a) S= (x+y)6
c) S
= (x-y)6


3) Số hạng thứ 12 trong khai triển (2x)15 là:
a)

11

4
15

2 C x

b) − 16C x
11
15

11

11

11
15

11

c 16C x
)
4 11
d − 12C15
x
)

4) Khai triĨn (2x-1)5 lµ:
a) 32x5+80 x4 +80x3 +40x2 +10x +1
b) 32x5-80 x4 +80x3 -40x2 +10x -1

c) 16x5+40x4+20x3+20x2 +5x +1
d) -32x5 +80x4 -80x3 +40x2 -10x +1