Chào mừng
quý thầy cô đến
thăm
lớp 11A
5
Ch¬ng: III
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG
VÀ CẤP SỐ NHÂN
Trong chương này chúng ta sẽ
Bài 1: cứu
PHƯƠNG
QUY
NẠP
nghiên
về mộtPHÁP
phương
pháp
HỌC định trong
chứng minh TỐN
nhiều khẳng
tốn học liên quan tập hợp số tự
nhiên đó là “ Phép quy nạp tốn học.”
Tiếp đó chúng ta sẽ nghiên cứu về
“dãy số” và cuối cùng các em sẽ
được tìm hiểu một số vấn đề xung
quanh 2 dãy số đặc biệt là “cấp số
cộng” và “cấp số nhân.”
11A
Hoạt động 1:
Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) :"3 3n 1" & Q(n) :"2 n ", n �
��
�*
n
n
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Nhận xét tính đúng sai của P(n), Q(n) với mọi n��*
Trả lời:
Cho thêm
n
a)
P
(
n
)
:"3
3n 1"
mđ R(n)
mà khi
thử các
n 3n
? 3n+1
gtrị dầu
3
4
1
đúng, gtrị
9
7
2
sau sai
3
27
4
81
5
243
Q(n) :"2n n "
n
2n
S
1
2
2
4
10
Đ
Đ
3
8
13
Đ
4
16
16
Đ
5
32
?
n
1
Đ
2
Đ
3
Đ
4
Đ
5
Đ
b. Với mọi n ��* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định
chắc chắn là đúng hay sai.
Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) có liên quan đến số
tự nhiên n��*là đúng với mọi n mà khơng thể thử trưc tiếp
được thì ta có thực hiện hai bước sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1 (Bước cơ sở)
B2: Giả sử mệnh đề đúng với
n k �(Giả
1 thiết qui nạp)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi n N*, ta có:
n(n 1)
1 2 3 ... n
2
(1)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi n N*, ta có:
Lời giải:
n(n 1)
1 2 3 ... n
2
(1)
1(1 1)
VP(1)
2
+) Với n = 1, ta có VT(1) 1
,m ệnh đề (1) đúng.
k (k 1)
+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 1 2 3 ... k
(GTQN)
2
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
(k 1)[(k 1) 1]
1 2 3 ... k (k 1)
(2)
2
Thật vậy: VT (2) (1 2 3 ... k ) (k 1)
k (k 1)
2
B1: Kiểm tra
k (k 1)
�k �
k mệnh
2 � đề
�
� VT (2)
(k 1) k 1 � 1� đúng
k 1 �
với n=1
�
2
2
2 �
� B2:
� Giả sử�
mệnh đề
(k 1) ( k 1) 1
đúng với n k �1
VP (2)
Ta chứng minh mệnh
2
n(n đúng
1)
đề cũng
với n=k+1
(1)
Vậy với mọi nN*, ta có:1 2 3 ... n
2
Theo giả thiết quy nạp ta có: 1 2 3 ... k
Hoạt động 2:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng
n
3n n=1
1", n(Bước
��* cơ sở)
Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) :"3 với
B2: Giả sử mệnh đề đúng
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n) đúng
vớihay
n sai?
k �1
Ta chứng minh mệnh đề
cũng đúng với n=k+1
n
? 3n+1
3n
1
3
2
9
3
27
4
81
5
243
4
S
7
10
Đ
Đ
13
Đ
16
Đ
b. Với mọi n��* thì P(n) sai
Để chứng minh mệnh
đề chứa biến P(n)
n �p
đúng khi
ta cần thực hiện
các bước nào ?
c. Dự đoán xem mệnh đề P(n) khi nào?
Trả lời: n �2, n �N c�: "3n 3n 1"
Tiết 37: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp tốn học
2. Ví dụ áp dụng:
Chú ý:
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi
nhiên ta thực hiện theo các bước sau:
n �p, p là một số tự
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=p
B2: Giả sử mệnh đề đúng với
n k �p(Giả thiết quy nạp)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
Bài : PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC
HOẠT ĐỘNG NHĨM
CMR :n �N * c�un (13 1)M6
n
CMR : n �2, n �N c�: 3 3n 1
n
B1: Kiểm tra mệnh đề
đúng với n=p
B2: Giả sử mệnh đề
đúng với n k �2
Ta chứng minh mệnh
đề cũng đúng với n=k+1
CMR : n �N * c�un 13n 1M6 (2)
Với n = 1 ta có:u1 131 1 12M
6(Mệnh đề (2) đúng)
Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:
uk (13k 1)M6
(Giả thiết quy nạp)
k 1
6
Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k+ 1, tức là : uk 1 (13 1)M
Thật vậy:
uk 1 13k 1 1 13.13k 1
12.13k 13k 1
12.13k uk
6 và 12M6 nên suy ra được
Theo giả thiết quy nạp uk M
(13uk 12) M6
Vậy với mọi nN*, ta có:un (13n 1) M
6
CMR : n �2, n �N c�: 3n 3n 1
3
Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3)
k
đúng
Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 2, nghĩa 3 3k 1
là:
( Giả thiết quy nạp )
k 1
Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là: 3 3( k 1) 1
Thật vậy: theo giả thiết quy nạp có:
k 1
3 3k 1 � 3 .3 3(3k 1) � 3 3(3k 1)
k 1
� 3 9k 3
� 3k 1 3k 4 6k 1
k
k
Vì k �2 � 6k 1 0 � (3k+4)+(6k- 1)>3k+4
� 3k 1 3k 4 � 3k 1 3( k 1) 1
Vậy:
n �2, n �N c�: 3n 3n 1
Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC
• Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng
minh bài tốn bằng phương pháp quy
nạp theo hai bước.
• Các bài tập 1,2,3,4 trang 100 SGK
• Đọc bài: Bạn có biết “Suy luận quy nạp”
QUÝ THẦY CÔ CÙNG
CÁC EM SỨC KHỎE
THÀNH ĐẠT