Đề cương ôn tập HK1 - Toán 8

Trường THCS Phan Đình Phùng Họ và tên HS : ……………………………………. Lớp :…… Tư liệu ôn tập toán lớp 8
HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KỲ 1 – MÔN TOÁN LỚP 8
A/ ĐẠI SỐ :
Bài 1 Thực hiện các phép tính sau :
a) – 2x ( x – 5 ) b) ( 4x + 3 )( 2x – 7 )
c) ( –12x
2
y + 8xy
2
) : ( –4xy ) d) 3x ( x – 5 ) – ( x – 2 )( 3x + 7 )
Bài 2 Phân tích mỗi đa thức cho dưới đây thành nhân tử :
a) 4x
2
y – 8xy
2
b) 4 – ( x – 2 )
2
c) 3x
2
– 6xy + 3y
2
– 3 d) x
2
y – x
3
– 9y + 9x
Bài 3 Tìm x biết
a) x
3
– 9x
2

– 4x – 36 = 0 b) 2x
3
+ x
2
– 8x – 4 = 0
Bài 4 Tìm a để đa thức ( –3x
3
+ 5x
2
– 9x + a ) chia hết cho đa thức ( –3x + 5 ) ?
Bài 5 Rút gọn mỗi phân thức cho dưới đây :
a)
zyx
zyx
25
43
3
12
−
b)
))((6
))((3
2
zxxy
zxyx
−−
−−
c)
2
3

)1(
+
−
xx
xx
Bài 6 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau :
a)
yx
x
2
1
−
và
2
3
xy
x
−
b)
)1(3
2
−
xx
và
)1(2
3
−
xx
Bài 7 Thực hiện phép tính với các phân thức sau :
a)

xy
yx
xy
yx 22
−
+
+
b)
xy
xy
yx
yx
26
6
62
9
22
−
+
−
+
c)
20
2
15
12
10
3 xxx
−
+

−
+
d)
xxx
x
+
−
−
+
22
1
1
3
e)
x
x
x
xx
2
1
12
22
3
22
−
−
−
+
+
B/ HÌNH HỌC :

Bài 1 : Cho ∆ABC nhọn có AH là đường cao. Gọi M, N, K theo thứ tự là trung điểm
của AB, AC và BC.
a) Chứng minh MH = KN ?
b) Chứng minh tứ giác HMNK là hình thang cân ?
c) Gọi O là giao điểm của HN và MK, I là giao điểm của MH và NK. Chứng
minh OI // AH.
Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD, Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD và
BC. Lấy điểm E bất kỳ thuộc AB, gọi I và K lần lượt là các điểm đối xứng với E qua M
và N.
a) Chứng minh các tứ giác AIDE và BKCE là hình bình hành ?
b) Chứng tỏ I và K đều thuộc đường thẳng CD ?
c) Xác định hệ thức liên hệ giữa AB và IK ?
Bài 3 : Cho ∆ABC và một điểm M ở trong tam giác này. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là
trung điểm của AB, AC, MC, MB.
a) Chứng minh tứ giác KEFI là hình bình hành ?
b) Xác định vị trí của điểm M để KEFI là hình chữ nhật ?
c) Tìm mối liên hệ giữa AM và BC để KEFI là hình vuông ?
Trường THCS Phan Đình Phùng Họ và tên HS : ……………………………………. Lớp :…… Tư liệu ôn tập toán lớp 8
HƯỚNG DẪN GIẢI
A/ĐẠI SỐ :
Bài 1 :
a) – 2x ( x – 5 ) = - 2x
2
+ 10
b) ( 4x + 3 )( 2x – 7 ) = 8x
2
– 28x + 6x – 21 = 8x
2
– 22x – 21
c) ( - 12x

2
y + 8xy
2
) : ( - 4xy ) = ( -12x
2
y ) : ( - 4xy ) + 8xy
2
: ( - 4xy ) = 3x - 2y
d) 3x ( x – 5 ) – ( x – 2 )( 3x + 7 ) = 3x
2
– 15x – ( 3x
2
+ 7x – 6x – 14 )
= 3x
2
– 15x – 3x
2
– 7x + 6x + 14 = - 16x + 14
Bài 2 :
a) 4x
2
y – 8xy
2
= 4xy ( x – 2y )
b) 4 – ( x – 2 )
2
= 2
2
– ( x – 2 )
2

= [ 2 – ( x – 2 ) ] [ 2 + ( x – 2 ) ]
= ( 2 – x + 2 ) ( 2 + x – 2 ) = ( 4 – x ) x
c) 3x
2
– 6xy + 3y
2
– 3 = 3 ( x
2
– 2xy + y
2
– 1 ) = 3 [ ( x
2
– 2xy + y
2
) - 1 ]
= 3 [ ( x – y )
2
– 1
2
] = 3 ( x – y – 1 )( x – y + 1 )
d) x
2
y – x
3
– 9y + 9x = x
2
( y – x ) - 9 ( y – x ) = ( y – x ) ( x
2
– 9 )
= ( y – x )( x – 3 )( x + 3 )

Bài 3 :
a) x
3
+ 9x
2
– 4x – 36 = 0
x
2
( x + 9 ) – 4 ( x + 9 ) = 0
( x + 9 ) ( x
2
– 4 ) = 0
( x + 9 ) ( x – 2 )( x + 2 ) = 0
Hoặc x + 9 = 0 → x = - 9
Hoặc x – 2 = 0 → x = 2
Hoặc x + 2 = 0 → x = - 2
Vậy hoặc x = - 9 hoặc x = 2 hoặc x = - 2
b) 2x
3
+ x
2
– 8x – 4 = 0
x
2
( 2x + 1 ) – 4 ( 2x + 1 ) = 0
( 2x + 1 ) ( x
2
– 4 ) = 0
( 2x + 1 )( x + 2 )( x – 2 ) = 0
Hoặc 2x + 1 = 0 → 2x = - 1 → x = - 1/2

Hoặc x + 2 = 0 → x = - 2
Hoặc x – 2 = 0 → x = 2
Vậy hoặc x = - 1/2 hoặc x = - 2 hoặc x = 2
Bài 4 :
- 3x
3
+ 5x
2
– 9x + a - 3x + 5
- 3x
3
+ 5x
2
x
2
+ 3
- 9x + a
- 9x + 15 Vì phép chia là phép chia hết nên a – 15 = 0
a – 15 → a = 15
Bài 5 :
a)
zyx
zyx
25
43
3
12
−
=
).(3

4.3
223
223
xzyx
yzyx
−
=
2
2
4
x
y
−
b)
))((6
))((3
2
zxxy
zxyx
−−
−−
=
))((6
))((3
2
zxyx
zxyx
−−−
−−
=

)2).()((3
)).()((3
−−−
−−−
zxyx
zxzxyx
=
2
−
−
zx
c)
2
3
)1(
+
−
xx
xx
=
)1)(1(
)1(
2
++
−
xxx
xx
=
)1).(1(
)1).(1(

++
+−
xxx
xxx
=
1
1
+
−
x
x
Bài 6 : a)
yx
x
2
1
−
và
2
3
xy
x
−
* MTC = x
2
y
2

* Nhân tử phụ : + x
2

y
2
: x
2
y

= y (1)
+ x
2
y
2
: xy
2
= x (2)
Trường THCS Phan Đình Phùng Họ và tên HS : ……………………………………. Lớp :…… Tư liệu ôn tập toán lớp 8
* Ta có :
yx
x
2
1
−
=
22
)1(
yx
yx
−
=
22
yx

yxy
−
và
2
3
xy
x
−
=
22
)3(
yx
yx
−
=
22
3
yx
xyy
−
b)
)1(3
2
−
xx
và
)1(2
3
−
xx

* MTC = 6x ( x – 1 )
* Nhân tử phụ : + 6x ( x – 1 ) : 3x ( x – 1 ) = 2 (1)
+ 6x ( x – 1 ) : 2x ( x – 1 ) = 3 (2)
* Ta có :
)1(3
2
−
xx
=
)1(6
2.2
−
xx
=
)1(6
4
−
xx
và
)1(2
3
−
xx
=
)1(6
3.3
−
xx
=
)1(6

9
−
xx
Bài 7 :
a)
xy
yx
xy
yx 22
−
+
+
=
xy
yxyx 22
−++
=
xy
x2
=
y
2
b)
xy
xy
yx
yx
26
6
62

9
22
−
+
−
+
=
yx
xy
yx
yx
62
6
62
9
22
−
−
−
+
=
)3(2
96
22
yx
yxyx
−
+−
=
)3(2

)3(
2
yx
yx
−
−
=
2
3yx
−
c)
20
2
15
12
10
3 xxx
−
+
−
+
MTC = 60
Ta có
20
2
15
12
10
3 xxx
−

+
−
+
=
60
3).2(
60
4).12(
60
6.3 xxx
−
+
−
+
=
60
364818 xxx
−+−+
=
60
223
+
x
d)
xxx
x
+
−
−
+

22
1
1
3
=
)1(
1
)1)(1(
3
+
−
+−
+
xxxx
x
MTC = x ( x – 1 )( x + 1 )
Ta có
)1(
1
)1)(1(
3
+
−
+−
+
xxxx
x
=
)1)(1(
)1.(1

)1)(1(
).3(
+−
−
−
+−
+
xxx
x
xxx
xx
=
)1)(1(
)1(3
2
+−
−−+
xxx
xxx

=
)1(
1
)1)(1(
)1(
)1)(1(
12
)1)(1(
13
222

−
+
=
+−
+
=
+−
++
=
+−
+−+
xx
x
xxx
x
xxx
xx
xxx
xxx
e)
x
x
x
xx
2
1
12
22
3
22

−
−
−
+
+
=
xxx
x
xx
2
)1)(1(
12
)1(2
3
−
+−
−
+
+
MTC = 2x ( x -1 )( x +1 )
Ta có
xxx
x
xx
2
)1)(1(
12
)1(2
3
−

+−
−
+
+
=
)1)(1(2
)1)(1(2.2
)1)(1(
2).12(
)1)(1(2
)1.(3
+−
+−
−
+−
−
+
−+
−
xxx
xx
xx
xx
xxx
x
=
)1)(1(2
)1.(4
)1)(1(
24

)1)(1(2
33
22
+−
−
−
+−
−
+
−+
−
xxx
x
xx
xx
xxx
x

=
)1)(1(2
)44(2433
22
+−
−−−+−
xxx
xxxx
=
)1)(1(2
442433
22

+−
+−−+−
xxx
xxxx

=
)1)(1(2
1
+−
+
xxx
x
=
)1(2
1
−
xx
B/ HÌNH HỌC : A
Bài 1 :
a. Xét ∆AHB vuông tại H có HM là đường
đường trung tuyến ( gt ) nên HM =
2
AB
( 1 ) M N
Trong ∆ABC có N là trung điểm của AC ( gt ) O
và K là trung điểm của BC ( gt ) nên NK là
đường trung bình của ∆ABC → NK =
2
AB
( 2 ) B H K C

Từ ( 1 ) & ( 2 ) → HM = NK I
b) Trong ∆AHC vuông tại H có HN là đường trung tuyến ( gt ) nên HN =
2
AC
( 3 )
Trường THCS Phan Đình Phùng Họ và tên HS : ……………………………………. Lớp :…… Tư liệu ôn tập toán lớp 8
+ ∆ABC có M là trung điểm của AB ( gt ) và K là trung điểm của BC ( gt ) nên MK là
đường trung bình của ∆ABC → MK =
2
AC
( 4)
Từ ( 3 ) & ( 4 ) → HN = MK (a)
+ ∆ABC có M là trung điểm của AB ( gt ) và N là trung điểm của AC ( gt ) nên MN là
đường trung bình của ∆ABC → MN // BC hay MN // KH
→ MNKH là hình thang (b). Từ (a) & (b) → MNKH là hình thang cân.
c) Hướng dẫn :
+ Chứng minh OH = OK → O ∈ đường trung trực của HK
+ Chứng minh IH = IK → I ∈ đường trung trực của HK
Hay OI ⊥ BC mà AH ⊥ BC ( gt ) nên OI // AH
Bài 2 :
a. Tứ giác AIDE có 2 đường chéo AD và EI cắt nhau A E B
trung điểm M của mỗi đường nên là H.B.hành.
M N
I D C K
Tứ giác BKCE có hai đường chéo BC và EK cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường
nên là hình bình hành.
b. + Vì AIDE là hình bình hành nên AE // ID
+ Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD Kết hợp với tiên đề Ơclit ta có
+ Vì BKCE là hình bình hành nên EB // CK 4 điểm I, D, C và K thuộc 1
+ Vì E ∈ AB ( gt ) đường thẳng hay I và K ∈ CD

c. Ta có ID = AE ( cạnh đối của hình bình hành )
CK = EB ( ------------- nt --------------- )
→ ID + CK = AE + EB = AB hay ID + CK + CD = AB + CD = 2.AB
Vậy IK = 2.AB
Bài 3 : A
a. + ∆ABC có EF là đường TBình
nên EF // BC và EF = BC / 2
+ ∆MBC có KI là đường TBình E M F
Nên KI // BC và KI = BC / 2 K I
→ EF // KI và EF = KI
Tứ giác EFIK có hai cạnh đối vừa B C
song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành
b. Để hình bình hành KEFI trở thành hình chữ nhật thì EK ⊥ EF hay EK ⊥ BC
( vì EF // BC ). Mặt khác trong ∆ABM thì EK là đường trung bình nên EK // AM, vậy
AM ⊥ BC hay điểm M nằm trên đường cao của ∆ABC thì khi đó hình bình hành KEFI
trở thành hình chữ nhật.
c. Để hình chữ nhật KEFI trở thành hình vuông thì EK = EF → AM = BC
mà EK = AM / 2 và EF = BC / 2 ( theo trên )
Kết luận : Khi AM ⊥ BC và AM = BC thì tứ giác KEFI trở thành hình vuông.
→ OI ⊥ HK