Tiet 64 on tap chuong III

GV THỰC HIỆN : CAO LAM SƠN


ÔN TẬP CHƯƠNG III
I. Lý thuyết:
1) Nguyên hàm
2) Tích phân
3) Ứng dụng tích phân trong hình học


Nguyên hàm HS sơ cấp

x
+
C
dx
=
∫

xα +1
+ C (α ≠ −1)
=
α +1

∫ x dx
dx
∫ x = ln x x+ C ( x ≠ 0)
∫ e dx = ea + C
+ C ( 0 < a ≠ 1)
a
dx

=
∫
ln a
α

x

x

x

∫ cosxdx = s inx+C

∫ s inxdx = −cosx+C
dx
∫ cos2 x = tan x + C
dx
∫ sin x = −cotx + C
2

Nguyên hàm HS hợp

∫ du = u + C
α +1
u
α
u
∫ du = α + 1 + C ( α ≠ −1)
du
∫ u = ln u + C ( u = u ( x ) ≠ 0 )

u
u
e
du
=
e
+C
∫
u
a
u
a
∫ du = ln a + C ( 0 < a ≠ 1)

∫ cosudu = sin u + C
∫ sinudu = −cosu + C
du
∫ cos 2 u = tan u + C
du
∫ sin 2 u = −cotu + C


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

Bài 1: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a) ∫

( x + 1)

b) ∫ x

x
2

2

dx

x + 5dx
3

c) ∫ (2 − x) sin xdx


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

Đáp án

a) ∫

( x + 1)

2

x + 2x + 1
3/ 2
1/ 2
−1/ 2
dx = ∫

dx = ∫ ( x + 2 x + x )dx
1/ 2
x
x
2 5/ 2 4 3/ 2
1/ 2
= x + x + 2x + C
5
3
2


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

b) ∫ x

x + 5dx

2

3

t = x +5
3

Đặt

⇒t = x +5
2

3

2
⇒ 2tdt = 3 x dx ⇒ x dx = tdt
3
2

∫x

2

2

2
22
x + 5dx = ∫ t ( tdt ) = ∫ t dt
3
3
3

2 3
2 3
3
= t + C = ( x + 5) x + 5 + C
9
9


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

c) ∫ (2 − x) sin xdx
Đặt

u = 2 − x
du = −dx
⇒

dv = s inxdx
v = −cosx

(2
−
x
)
sin
xdx
=
−
(2
−
x
)
c
osxcos
xdx
∫
∫
= ( x − 2)cosx-sinx+C

ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

Bài 2: Tìm một nguyên hàm F(x) của
1
f ( x) =
biết F(4)=5
(1 + x)(2 − x)

1
A
B
(− A + B) x + 2 A + B
=
+
=
( x + 1)(2 − x) x + 1 2 − x
( x + 1)(2 − x)
1

A
=
− A + B = 0 
3
⇒
⇔
2 A + B = 1
B = 1

3
1

1 1
1
⇒
= (
+
)
( x + 1)(2 − x) 3 x + 1 2 − x
.


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

1
1 x +1
⇒ F ( x) = (ln x + 1 − ln 2 − x ) + C = ln
+C
3
3 2−x
1 5
F (4) = 5 ⇔ ln + C = 5
3 2
1 5
⇔ C = 5 − ln
3 2

1 1+ x
1 5
F ( x) = ln
+ 5 − ln
3 2− x

3 2


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t). Có 2 loại:
β

Loại 1: Với các tích phân có dạng

∫

a − x dx
2

2

β

hoặc

α

∫

α

dx
a2 − x2

  π π 
thì ta đặt x = a sin t  t ∈  − ;  ÷.
  2 2 
β

Loại 2: Với các tích phân có dạng

β

dx
dx
hoặc
∫α x 2 + a 2
∫α (ax + b)2 + c 2

  π π 
  π π 
thì ta đặt x = a tgt  t ∈  − ; ÷÷ hoặc ax + b = c tgt  t ∈  − ; ÷÷
  2 2 
  2 2 


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t).
Chú ý: Phương pháp đổi biến số dạng dạng 1 ngồi dùng để tính các tích
phân thuộc 2 loại trên cịn được dùng trong các bài tốn biến đổi tích phân.
Ví dụ:

π

2

π
2

0

0

1. CMR: ∫ cos n xdx = ∫ sin n xdx

2. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

∫

−a

a

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x )dx
0

3. Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

∫

−a

f ( x)dx = 0


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t).
Ví dụ:

4. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

a

f ( x)
∫− a a x + 1 dx = ∫0 f ( x)dx
5. Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

a

0

0

∫ f (a − x)dx = ∫ f ( x)dx


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 2: Tích phân dạng:

b

∫ f (u ( x))u '( x)dx.

Đặt t = u(x)

a

Nhận xét: - Trong thực hành, ta có thể trình bày một cách thuận tiện
phép đổi biến số này mà không cần đưa ra biến t.
b

b

a

a

∫ f (u ( x))u '( x)dx = ∫ f (u ( x))d (u ( x))
Ví dụ:

e

e
ln x
1 2 e 1
∫1 x dx = ∫1 ln xd (ln x) = 2 ln x 1 = 2

π

2

π
2

0

0

sin x
sin x
sin x
e
cos
xdx
=
e
d
(sin
x
)
=
e
∫
∫

4

π
2 = e −1

0

4
4
dx
d ( x − 2)
∫3 x − 2 = ∫3 x − 2 = ln x − 2 3 = ln 2 − ln1 = ln 2


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số

b

Đổi biến số dạng 2: Tích phân dạng:

∫ f (u ( x))u '( x)dx.

Đặt t = u(x)

a

Nhận xét: - Trong thực hành, ta có thể trình bày một cách thuận tiện
phép đổi biến số này mà không cần đưa ra biến t.
b

b

a

a

∫ f (u ( x))u '( x)dx = ∫ f (u ( x))d (u ( x))
Chú ý: - Nhiều khi ta phải biến đổi trước khi thực hiện phép đổi biến số.
π /4

Ví dụ:

=

π /4

∫
0

TÝnh:

∫

sin 2 x cos3 xdx

0

sin 2 x cos 2 x cos xdx =

π /4

∫
0

sin 2 x(1 − sin 2 x) cos xdx.


ƠN TẬP: TÍCH PHÂN
2.Phương pháp tích phân từng phần
b
b b
∫a udv = uv a − ∫a vdu
Trong thực hành ta thường gặp các dạng tích phân sau:
Dạng 1:

b

b

b

a

a

a

x
P
(
x
)
sin
xdx

,
P
(
x
)
cos
xdx
,
P
(
x
)
e
dx, với P(x) là đa thức.
∫
∫
∫

Cách giải: Đặt u = P(x), dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx, dv = exdx).
b

Dạng 2:

∫ f ( x) ln xdx.
a

Cách giải: Đặt u = lnx, dv = f(x)dx.
Dạng 3:

b

b

a

a

x
x
e
sin
xdx
,
e
∫
∫ cos xdx. Tích phân hồi quy.

Cách giải: Đặt u = ex, dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx). Tích phân từng phần
2 lần.


ƠN TẬP: TÍCH PHÂN
2.Phương pháp tích phân từng phần
b
b b
∫a udv = uv a − ∫a vdu
Ngồi ra ta cịn gặp một số dạng tích phân sau:
b

∫

Dạng 4: sin(ln x)dx,
a

b

∫ cos(ln x)dx. Tích phân hồi quy.
a

Cách giải: Đặt u = sin(lnx) (u = cos(lnx)), dv = dx. Tích phân từng phần 2 lần.
Chú ý: - Có những bài tốn phải tính tích phân từng phần nhiều lần.
- Đối với dạng 1: Số lần tích phân từng phần bằng số bậc của đa thức P(x).
- Đối với dạng 2: Số lần tích phân từng phần bằng số bậc của hàm số y =
lnx.


ƠN TẬP: TÍCH PHÂN

Bài 3: Tính các tích phân sau:
3

a) I = ∫

0
1

x

1+ x

dx

xdx
b) I = ∫ 2
0 x + 3x + 2
1

c) I = ∫ x.e dx
0

3x


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN

Đáp án:

a) 8/3

8
b) ln
9
2 3 1
c) e +
9
9


ƠN TẬP: TÍCH PHÂN

e2

b) ∫

Bài 4: Tính tích phân sau:

ln x
x

1

dx

1

du
=
dx
u = ln x

x
⇒
1


−
1
2
dv = x dx 
2

v
=
2
x

2

Giải : Đặt
e2

∫
1

ln x
x

dx = 2 x

1/ 2

= 2x

e
1

ln x |

1/ 2

2

e

−∫ 2x
e
1

ln x |

2

1

−1/ 2

e
1/ 2

− 4x

= 4e − (4e − 4) = 4

dx
1

2


ƠN TẬP: TÍCH PHÂN
3. Bài tập

Tính các tích phân sau:
1

3

dx

1) ∫

4− x

0

2

;

dx
2) ∫ 2
;
2 x − 4x + 5
e

π /2

3) ∫ cos5 xdx;
0

ln x 3 2 + ln 2 x
4) ∫

dx;
x
1
e

1

5) ∫ x e dx;
2 2x

0

π /2

7) ∫ e x cos xdx;
0

6) ∫ x 3 ln xdx;
1


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
4. CỦNG CỐ
- Chú ý rèn luyện kĩ năng nhận dạng và vận dụng để tính tính phân.
- Đối với tích phân đổi biến khi tính tốn cần chú ý điều gì?
- Đối với tích phân từng phần khi tính tốn cần chú ý điều gì?

5. DẶN DÒ
- Về nhà xem và làm lại các bài tập trong SGK và sách bài tập.
- Ôn lại phần diện tích và thể tích, làm các bài tập trong SBT.