Tiet 25 he toa do trong khong gian (muc i II)

Hệ toạ độ trong không gian
Giáo viên soạn: Trần Trọng TiÕn


Trần Trọng Tiến

Đình
Lập

I. Toạ độ của điểm và
1. Hệ
toạ độ
của
véctơ

Trong kh«ng gian, cho ba trơc
x’Ox, y’Oy, z’Oz vu«ng gãc víi
nhau đôi một. Gọi i , j , k lần lợt
là các véctơ đơn vị trên các
trục xOx, yOy, zOz.
Hệ gồm ba trục nh vậy đợc gọi
là hệ trục toạ độ Đề Các
vuông góc Oxyz trong không
gian, hay đơn giản hơn gọi là
hệ toạ độ Oxyz.
Điểm O đợc gọi là gốc toạ độ.
Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz),
(Ozx) đôi một vuông góc với
nhau đợc gọi là các mặt phẳng
toạ độ.

z

>
>

i

x

k

>

j

y

O

Vì i , j , k đôi một
vuông góc nên:
> >

> >

> −>

i . j = 0, j . k = 0, k . i = 0
−>

−>

−>

i = 1, j = 1, k = 1


Trần Trọng Tiến

I. Toạ độ của điểm và
1. Hệ
toạ độ
của
véctơ

z
Hoạt động 1. Trong không gian
M3
Oxyz cho điểm M. HÃy phân
M
tích véctơ OM theo ba vectơ
>
không đồng phẳng i , j , k đÃ
k >
cho trên các
trục
Ox,
Oy,
Oz.
>

Giải
j
i
Dựng
hình
hộp
x M O
1
OM1MM2.M3MMM
Khi đó OM1 , OM2, OM3 cïng ph
¬ng − −− > − −− > − −− >
OM = OM'+ OM 3
− −− >
− >
>
với các vectơ
i
,
j
,
k . Khi đó ta
= OM 1 + OM 2 + OM
3
cã
−>
−>
−>
= x i + y j+ zk

Đình

Lập

M
M

M

M2
y


Trần Trọng Tiến

Đình
Lập

I. Toạ độ của điểm và
2. Toạ
độ của
của
véctơ

z

điểm
Trong không gian Oxyz cho
điểm M tuỳ ý. Vì ba vectơ i ,
j , k không đồng phẳng nên có
một bộ −ba
sè −(x;

y;
z)− >duy nhÊt
−− >
>
−>
sao choOM = x i + y j + z k
Ngợc lại, với bộ ba số (x; y; z)
ta có duy nhất một điểm M
trong không gian tho¶ m·n
− −− >
−>
−>
−>
hƯ thøc
OM = x i + y j + z k
Ta gäi bé ba sè (x; y; z) đó là
toạ độ của điểm M đối với hệ
toạ độ Oxyz đà cho và viết:

M3

M

M

>
>

i

k

M2

>

j

M
y

O
M1
M
Từ định nghĩa ta suy
ra toạ độ hình chiếu
của điểm M trên các
trục Ox, Oy, Oz và các
mặt phẳng toạ độ
(0xy). (0yz), (0xz)

x

là các ®iĨm M1(x; 0;
M= (x; y; z) , hc M(x; y; z).
0), M2(0; y; 0), M3(0; 0;


Trần Trọng Tiến

Đình
Lập

I. Toạ độ của điểm và
2. Toạ
độ của một
của
véctơ
>
>
>
>

điểm
OM = x i + y j + z k  M= (x; y; z) , hc M(x; y; z).
>
3. Toạ độ của
a
vectơ
Trong không gian Oxyz cho a .
z
M3
Khi đó tồn tại duy nhất một bộ
>
>
>
ba sốa>(a
;
a
;

a
)
M
2 a 3j + a k
= 1a i +
1

2

3

Ta gäi bé ba số (a1; a2; a3) đó
là toạ độ của vec tơ a đối với
hệ toạ độ Oxyz cho trớc và viết
a = (a1; a2; a3) hoặcx
a(a
;a3). Trong toạ độ Oxyz,
1;a2xét.
Nhận
toạ độ điểm M chính là toạ
độ của vec tơ OM.
Ta có M=(x; y; z)  OM = (x;
y; z)

−>

a

−>
−>

i

M1

k

O

M2
M

−>

j

M’

M’’
y


Trần Trọng Tiến

Đình
Lập

I. Toạ độ của điểm và
2. Toạ
độ của một

của
véctơ
>
>
>
>

điểm
OM = x i + y j + z k  M= (x; y; z) , hc M(x; y; z).
3. > Toạ độ
của
>
>
>
>
vectơ.
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ⇔ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 )
z
A
Hoạt động 2. Trong toạ độ Oxyz,
M D
cho hình hộp chữ nhật
B
C
ABCD.ABCD cã ®Ønh A trïng
c
víi gèc O, cã AB, AD, AA’ theo
thø tù cïng híng víi i , j , k có
AB=a, AD = b, AA = c. HÃy tính
toạ độ các véctơ AB , AC, AC

Giải
và
>AM với
> M là
> trung điểm cạnh
AB = a i AB = (a; 0; 0)
C’D’.
− −− >

− −− >

− −− >

−>

− −− >

− −− >

− −− >

− −− >

−>

x

a
B

b
A
C

D
y

− −− >

AC = AB + AD = a i + b j ⇔ AC = (a; b; 0)
−>

−>

−>

− −− >

AC' = AB + AD+ AA' = a i + b j + c k ⇔ AC' = (a; b; c)
− −− >
−>
−>
−>
−>
− −− >
1 − −− > − −− >
1 −>
1
AM = ( AC'+ AD') = (a i + b j + c k + b j + c k ) ⇔ AM = ( a; 2b; 2c )
2

2
2


Trần Trọng Tiến

Đình
Lập

I. Toạ
độ
của
điểm
và
>
>
>
>
của
OM
=véctơ
x i + y > j + z− >k − >M= (x; y; z)
−>
−>

−>

−>
−>
 −>


k . a = k  a1 i + a 2 j + a 3 k 
 −>
− >
−>
= ka1 i + ka 2 j + ka 3 k

a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ⇔ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 )

−>

II. BTTĐ của các phép toán
vectơ.
Trong không gian Oxyz cho

k a = (ka1 ; ka 2 ; ka 3 )

−>
−>
hai
vect¬
a = (a1 ; a 2 ; a 3 ), b = (b 1 ; b 2 ; b 3 )
−>

−>

a ) a ± b = (a 1 ± b 1 ; a 2 ± b 2 ; a 3 ± b 3 )
−>

b ) k a = (ka1 ; ka 2 ; ka 3 ), k ∈ R

Chøng minh
−>

−>

−>

−>

a = a1 i + a 2 j + a 3 k
−>

−>

−>

−>

b = b1 i + b 2 j + b 3 k

−>

−>

−>

−>

−>

−>

−>

a ± b = (a 1 ± b 1 ) i + (a 2 ± b 2 ) j + (a 3 ± b 3 ) k

⇔ a ± b = (a 1 ± b 1 ; a 2 ± b 2 ; a 3 ± b 3 )


Trần Trọng Tiến

Đình
Lập

I. Toạ
độ
của
điểm
và
Ví
dụ
1.
Cho A(1; 3; 2),
>
>
>
>
B(3;-2;1) và C(4;-1;3).
của
véctơ

OM
=
x
i
+
y
j
+
z
k

M=
(x;
y;
z)
>
>
>
>
>

Tìm toạ độ điểm D sao
cho ABCD là
hình bình
Giải
II. BTTĐ của các phép toánhành.
Do ABCD là hình bình
hành khi đó ta
vectơ.
B có:

C
Trong không gian Oxyz cho
>
>
>
>
hai
vectơ
CD = BA
a = (a1 ; a 2 ; a 3 ), b = (b 1 ; b 2 ; b 3 )
D
A
a 1 = b 1
x D − xC = x A − x B
−>
−>
−>

a ) a = b = a 2 = b 2 ; b ) 0 = ( 0; 0; 0) ⇔  y − y = y − y
 D
C
A
B
a = b
z − z = z − z
 3
3
D
C
A

B
c) a và b cùng phơng khi và
x D = x A − x B + xC = 1 − 3 + 4 = 2
chØ khi a1=kb1 , a2 = kb2 ,
− −− >

a
=
ka
⇔
y D − y C = y A − y B + y C = 3 + 2 − 1 = 4
d ) AB = ( x B − 3x A ; y B −3y A ; z B − z A )
z − z = z − z + z = 2 − 1 + 3 = 4
 D C A B C
e) M lµ trung ®iĨm AB khi
+ xB y A + y B z A + z B 
 x Akhi
vµMchØ
VËy D = (2; 4; 4)
=
;
;

2
2
2 

a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ⇔ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 )

Trần Trọng Tiến

I. Toạ
độ
của
điểm
và
Ví
dụ
2.
>
>
>
>
của
OM
=véctơ
x i + y > j + z− >k − >M= (x; y; z) Cho A(1; 1; 1),
−>
−>
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ⇔ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 )

Đình
Lập

B(0;7/3;2/3) và C(7/4; 0;
5/4). Chứng minh A, B, C
Giải
II. BTTĐ của các phép toánthẳng hàng.
>

7
2 

vect¬.
AB =  0 − 1; − 1; − 1
Trong không gian Oxyz cho
3
3

>
>
hai
a = vectơ
(a1 ; a 2 ; a 3 ), b = (b 1 ; b 2 ; b 3 )
4
1

=  − 1; ; − 
3
3

a 1 = b 1
−>
−>
−>

− −− >
a ) a = b = a 2 = b 2 ; b ) 0 = ( 0; 0; 0)
5 
7

AC
=
−
1
;
0
−
1
;
− 1

a = b
4
4
3
3
1
3
c) a và b cùng phơng khi vµ
=  ; −1; 
chØ khi a1=kb1 , a2 = kb2 ,
4
4
− −− >
− −− >
4 − −− >
d ) AB = ( x B −a3x A=; yka
−
y
;

z
−
z
)
3
B
A
B
A
⇒ AB = AC
3
e) M là trung điểm AB khi
=> AB , AC cïng ph¬ng
+ xB y A + y B z A + z B 
 x Akhi
vµMchØ
=
;
;

hay A, B, C thẳng hàng.
2
2
2



Trần Trọng Tiến

Đình

Lập

I. Toạ
độ
của
điểm
và
Ví
dụ
3.
Cho A(1; 3; 2),
>
>
>
>
M(3;-2;1) . Tìm toạ ®é
cđa
vÐct¬
OM
=
x
i
+
y
j
+
z
k

M=

(x;
y;
z)
−>
−>
−>
−>
−>
®iĨm B sao cho A, B ®èi
xøng nhau qua ®iĨm M.
Giải
II. BTTĐ của các phép toán
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ⇔ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 )

vect¬.
Trong không gian Oxyz cho

Do A và B đối xứng
>
>
hai
vectơ
nhau qua M nên M là
a = (a1 ; a 2 ; a 3 ), b = (b 1 ; b 2 ; b 3 )
trung điểm AB, nên ta
a 1 = b 1
cã  x + x y + y z + z 
−>
−>
−>


A
B
B
B
; A
; A

a ) a = b = a 2 = b 2 ; b ) 0 = ( 0; 0; 0) M = 
2
2
2 

a = b
 3
3
 x B = 2x M − x A = 2.3 1 = 5
c) a và b cùng phơng khi vµ

chØ khi a1=kb1 , a2 = kb2 , ⇔  y B = 2y M − y A = 2.( −2) − 3 = −7
− −− >
 z = 2z − z = 2.1 − 2 = 0
 B
d ) AB = ( x B −a3x A=; yka
−
y
;
z
−
z

)
M
A
3
B
A
B
A
e) M là trung điểm AB khi
+ xB y A + y B z A + z B 
 x Akhi
vµMchØ
=
;
;

2
2
2 


VËy toạ độ điểm B =
(5; -7; 0)


Củng cố
Qua bài học học sinh cần nắm đợc
1. Hệ toạ độ trong không gian.
2. Toạ độ của vectơ.
3. Toạ độ của điểm, toạ độ hình chiếu

của một điểm trên các trục toạ độ và
các mặt phẳng toạ độ.
4. Các phép toán về vectơ.
5. Điều kiện ba điểm thẳng hàng, phơng
pháp tìm toạ độ của một điểm qua
phép đối xứng t©m.