Tiet 26 he toa do trong khong gian (muc III) bai tap

Chào mừng các thầy cô giáo về dự
giảng

Giaựo vieõn: Chu Thị
Luyến
Trung
tâm GDTX – HN – DN Chí
Linh


Câu 1:
Trong không gian Oxyz, cho:
I(a; b; c),
M(x; y; z)
Tính độ dài đoạn thẳng
IM.


(S)

Câu 2: Nêu định
nghóa
.M
r
mặt cầu
(S) tâm I bán k
I.

S(I; r) = {M | IM =
r}

z

(S)

c
r

.M

. I (a; b; c)

.

O

b

y

a
x

Trong không gian
Oxyz, mặt cầu
S(I; r) có phương
trình như thế
nào?

IV. Phương trình mặt
cầu:

z

(S)

c
r

.M (x; y; z)

. I (a; b; c)

.

O
a
x

b

y


z
z

IV. Phương trình

mặt cầu:

(S)

c
r

..

O
O
a
x
x

.M (x; y; z)

.I (a; b; c)
b

y

y


Để lập phương trình mặt cầu, cần
xác định 2 yếu tố:
1. Tâm mặt cầu I(a; b; c).
2. Bán kính r của mặt cầu.
Kết luận phương trình mặt cầu là:

Ví dụ 1:
2
2
(x-a)
+
(y-b)2 trình
+ (z-c)
= phương
r2 (1) trình
Trong
các
phương
sau,
Hoạt động 4:
nào là phương trình mặt cầu? Nếu là
Viết
phương
trình
mặt
cầu
tâm
I(1;định
-2; 3)tọa
có
phương
trình
mặt
cầu,
hãy
xác

bán
r =và
5. bán kính?
độkính
tâm
a) (x+1)2 + (y+2)2 + (z-3)2 = 3

(1a)

b) (x+1)2 + (y-1)2 + (z+2)2 = -10 (1b)
c) (x-2)2 + (y+1)2 + (2z + 1)2 = 4. (1c)


Để lập phương trình mặt cầu, cần
xác định 2 yếu tố:
1. Tâm mặt cầu I(a; b; c).
2. Bán kính r của mặt cầu.
Kết luận phương trình mặt cầu là:
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 (1)
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương
trình nào là phương trình mặt cầu? Nếu là
phương trình mặt cầu, hãy xác định tọa độ
2 kính?
tâm a)
và
bán
(x+1)
+ (y+2)2 + (z-3)2 = 3 (1a)
Phương trình (1a) là phương trình mặt
cầu

+) Tâm(-1;
I -2;
+) Bán3)kính 3
r=


Để lập phương trình mặt cầu, cần
xác định 2 yếu tố:
1. Tâm mặt cầu I(a; b; c).
2. Bán kính r của mặt cầu.
Kết luận phương trình mặt cầu là:
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 (1)
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương
trình nào là phương trình mặt cầu? Nếu là
phương trình mặt cầu, hãy xác định tọa
độ tâm và 2bán kính?
b) (x+1) + (y-1)2 + (z+2)2 = -10 (1b)
Phương trình (1b) không là phương trình
mặt cầu
Vì: r2 = -10 < 0 (vô lí).


Để lập phương trình mặt cầu, cần
xác định 2 yếu tố:
1. Tâm mặt cầu I(a; b; c).
2. Bán kính r của mặt cầu.
Kết luận phương trình mặt cầu là:
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 (1)
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương
trình nào là phương trình mặt cầu? Nếu là

phương trình mặt cầu, hãy xác định tọa độ
tâmc)và
bán
kính?
2
(x-2)
+ (y+1)
(1c)
22 + ( z + 1)2 = 4
Phương trình (1c) không là phương trình
mặt cầu
Vì hệ số của z trong ngoặc bằng 2, hệ số
của x,y trong
ngoặc bằng 1.


Xét mặt cầu
S(I; r): (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 (1)
⇔ x2 – 2ax+ + y2 – 2by + + z2 – 2cz + = r2
2
2
2
a
b
c
2
2
2
2
⇔ x + y + –z 2ax

– 2ax
– 2by
– 2by
- -2cz
+d=
+0
d=0
2
z(1’)
2cz
(d = a2 + b2 + c2 - r2)

Phương trình:
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (2)
là phương trình mặt cầu với điều kiện nào?


Phương trình:
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (2)
là phương trình mặt cầu với điều kiện nào?

(2) ⇔ (x+A)2 + (y+B)2 + (z+C)2 = A2 + B2 + C2 –
D (2’)


Ví dụ 2:
Phương trình sau có là phương trình
mặt cầu không? Nếu là phương trình
mặt cầu hãy xác định tọa độ tâm và
bán kính?

a) x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 8z + 21 = 0
(2a)
b) x2 + 2y2 + z2 + 6x – 4y + 2z – 1 = 0
(2b)
c) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x + 8y – 4z + 10 = 0
(2c)


Ví dụ 2:

Lời giải:

a)x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 8z + 21 = 0
(2a)Ta coù:2A = ⇒ A = -1
-2
2B = ⇒ B = 2
4 = ⇒ C = -4
2C
-8D = 21
⇒ A2 + B2 + C2 – D 0
=
Vậy phương trình (2a) không là phương
trình mặt cầu.


Ví dụ 2: Lời giải:
b) x2 + 2y2 + z2 + 6x – 4y + 2z – 1 = 0
(2b)
Phương trình (2b) không là phương trình mặt
cầu.

Vì: hệ số của x2, y2, z2 khaùc nhau.
c) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x + 8y – 4z + 10 = 0
⇔ x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 2z + 5 = 0.
A -1 ;
C -1
=
=
B 2 ;
D 5
= 2
=
2
2
⇒ A + B + C – D1> 0
=Vaäy phương trình (2c) là phương trình
mặt cầu+)
có: (1; -2; 1)
Tâm I
1 =1
+) Bán
kính r =

(2c)


Ví dụ 3:
Xác định tâm và bán kính của mặt
cầu có phương trình:
x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0 (**)

(2)

(1)


Ví dụ
3:Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có
phương trình:
x2 + y2 +Lời
z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0 (**)
giải:
Cách
2:
Ta có: A 2
=
-1
B=
3
C=
5
D=
Tính A2 + B2 + C2 –
D⇒=Tâm (I-2; 1; -3)
Bán kính r 9 = 3
=

9

20

Ví dụ
3:
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có
phương trình:
x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0 (**)
Lời giải:
Cách 2:
2
2
(**) ⇔ (x+2)+
(y-1)+
=9
(z+3)2
⇒ Tâm (I -2; 1;
-3)
Bán kính 9 = 3
r=


Cho mặt cầu S(I; r):
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D =
0 (2)
2
2
2
(A
+
B
+

C
– Dcuûa
> 0) mặt cầu
Để tìm tâm và bán kính
(S), ta thực hiện
một trong hai cách sau:
+ Cách 1: 1. Xác định các hệ số A, B, C,
D.
2. Tính A2 + B2 + C2 - D
2
3. Kết luận: Tâm
A 2 + I(-A;
B2 + C-B;
- D -C),
Bán kính r =
+ Cách 2: Biến đổi phương trình (2) về dạng
phương trình:
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2
(1)
Kết luận: Tâm I(a; b; c)
Bán kính r.


1.Cách lập phương trình mặt cầu:
1. Tìm tâm I(a; b; c).
2. Tìm bán kính r (r > 0).
Kết luận:
S(I; r): (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2

(1)

2. Phương trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D =
là phương trình mặt cầu với điều kiện A2 + B2
Khi đó mặt cầu có:
+ Tâm I(-A; -B; -C)
A2 + B
+ Bán kính
r 2=+ C2 - D


Trong khoâng gian Oxyz:

uuuu
r
r
r
r
1. M = (x; y; z) ⇔ OM = x.i + y.j + z.k)
r
r
r
r
r
2. a = (a1 ; a 2 ; a 3 ) ⇔ a = a1.i + a 2 .j + a 3 .k
r
3. a = (a1;a 2 ;a 3 )
r
b = (b1;b 2 ;b3 )
r r
+) a ± b = (a1 ± b1; a 2 ± b 2 ; a 3 ± b3 )

r
+) k.a = k(a1;a 2 ;a 3 ) = (ka1; ka 2 ; ka 3 ) , k ∈ ¡
r
4. a = (a1;a 2 ;a 3 )
r
b = (b1;b 2 ;b3 )
rr
a.b = a1.b1 + a 2 .b 2 + a 3 .b3

5. Phương trình
mặt cầu.


Các em về nhà học bài và làm bài tập 5

Gợi ý:
Bài 5: Làm tương tự ví dụ 2
và ví duï 3.


Bài 6:
a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

A.

.
I

r

.B


Bài 6:
b) Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A v

.C

.A

r