Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (681.72 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Ngô Văn Vinh

Bất đẳng thức là một bài toán hay và đa dạng có nhiều phương pháp giải.Các
dạng toán này thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.Trong
chương trình tốn chun khối 10 , các em chỉ mới tiếp cận các bất đẳng thức :
Cauchy;BCS;Cauchy-Schwarz; Holder,….Nhằm trang bị cho các em kĩ năng vận
dụng các bất đẳng thức trên để giải tốn nên tơi viết chun đề này. Chun đề
này chỉ trình bày hai phương pháp giải : Phương pháp hệ số bất định và Phương
pháp lượng giác hóa dành cho giảng dạy học sinh giỏi khối 10.

1. Một số kiến thức cơ bản

a. Bất đẳng thức Cauchy

Cho a a1, ,....,2 an 0. Khi đó ta ln có 1 2 n n 1 2...

n

a a a

a a a
n

Dấu bằng xảy ra khi a1 a2 .... an
b. Bất đẳng thức BCS

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

(a b a b a bn n) a a a bn b bn

Dấu bằng xảy ra khi 1 2

1 2

n

a a a

b b b

c. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Cho b b1, ,...,2 bn 0. Khi đó ta ln có
2

2 2 2

1 2

1 2 1 2

n
n

n n

a a a

b b b b b b

Dấu bằng xảy ra khi 1 2

1 2

n

a a a

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

d. Các đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác
Trong tam giác ABC ta ln có

2 2 2

1 / tan tan tan tan tan tan

2 / tan tan tan tan tan tan 1

2 2 2 2 2 2

3 / cos cos cos 2 cos cos cos 1

cos cos cos

4 / , , 0,

A B C A B C

A B B C C A

A B C A B C

A B C x y z
x y z

x y z xyz

2. Phƣơng pháp hệ số bất định

Ví dụ 1 Cho , ,x y z 0 và thỏa x y z 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P x2 8y2 2z2

Giải

Cách 1

2 2 2 2

2 8 2 2 2 ( ) 104

1 1

1 1 / 8 1 / 2

8 2

Cauchy Schwarz

x y z x y z

P x y z

Giá trị nhỏ nhất của P bằng 104 , khi x 8,y 1,z 4

Cách 2 Giả sử P đạt giá trị nhỏ nhất khi x a y, b z, c a b c, , , 0
Theo Bất đẳng thức cơsi ta có

2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2

x a ax y b by z c cz

2 8 2 2 2 (2 16 4 ) ( 2 8 2 2 )2

P x y z ax by cz a b c

Tìm a,b,c sao cho

2 16 4

, 13

1 1 1

a b c

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Do đó, theo bất đẳng thức cơsi ta có

2 82 16 , 2 12 2 , 2 42 8

x x y y z z

2 8 2 2 2 (16 16 16 ) (82 8 2.4 )2 104

P x y z x y z

Ví dụ 2 Cho , ,a b c 0thỏa a b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 3

P a b c

Giải

Do vai trò a,b như nhau nên ta có thể giả sử P đạt giá trị nhỏ nhất tại

0, 0

a b x c y

Theo bất đẳng thức cosi ta có

2 2 2 , 2 2 2 , 3 3 3 3 2

a x ax b x bx c y y cy

2 2 3 ( )2 3 2 (2 2 2 )3

P a b c a b x cy x y

Tìm x,y sao cho 2x y 3,2x 3y2
Giải hệ trên ta được

19 37 1 37

12 6

x y

Do đó 541 37 37

108

P

Giá trị nhỏ nhất của P bằng 541 37 37

108 khi

19 37 1 37

12 6

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ví dụ 3 Cho , ,a b c 0 thỏa 2 3 325

a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 3 4

S a b c

Giải

Tìm các số thực dương x,y,z sao cho s đạt giá trị nhỏ nhất tại a x b, y c, z
Theo bất đẳng thức cosi ta có

2 2 2 , 3 3 3 3 2 , 4 4 4 4 4 3

a x ax b b y b y c c c z c z

Vậy 2 3 2 4 3 2 1 3 1 4

2 3 2 3

S ax b y c z x y z

Tìm x,y,z sao cho 2 3 4 , 2 3 325 2, 8, 3

2 3 9 3

x y z x y z x y z

Do đó 2807

S

Ví dụ 4 Cho a b c, , 0 .Chứng minh rằng S a 3c c 3a 4b 6

a b b c c a

Giải

Tìm các số thực dương m,n,p sao cho

3 3 4

a c c a b

Q m n p

a b b c c a

(m 1)a mb 3c 3a nb (n 1)c pa 4b pc

a b b c c a

Tìm m,n sao cho 1 3 2

3 1

m m

m n

n m

với m n 2

1 1 4

(3 2 3 ) pa b pc

Q a b c

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Tìm p sao cho 4 6

3 2 3

p p

p

Do đó Q (3a 2b 3 )c 1 1 6a 4b 6c

a b b c c a

1 1 1 1 16

(3 2 3 ) (3 2 3 ) 16

3 2 3

C S

a b c a b c

a b b c c a c a a b c

10 16 6

S Q S . Dấu bằng xảy ra khi a b c
Ví dụ 5 Cho , , 3

a b c thỏa a b c 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 1 2 1 2 1

a b c

P

a b c

Giải Ta tìm m,n sao cho

(1)

1 3

a

m a n
a

(2)

1 3

b

m b n

b

(3)

1 3

c

m c n

c
Cộng các vế tương ứng (1),(2) và (3) ta được

2 1 2 1 2 1 1 3 (4)

a b c

m a b c n

a b c

Ta chọn n sao cho 3 9 3

10 10

n n . Với 3

n ta có

1 3

1 3 10

a

m a
a

1 3 9

( 1) 0

3 10 10

a m a a

Ta tìm m sao cho ( 2 1) 3 9 0

10 10

m a a khi 1

a ta có 18

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ta cách giải như sau. Ta chứng minh bổ đề 3, )
4

x , ta có

18 1 3

1 25 3 10

x

1 3

36 0

3 4

x x , đúng.
Áp dụng bổ đề trên cho ba biến a,b,c ta được

18 1 3

(5)

1 25 3 10

a

a
a

18 1 3

(6)

1 25 3 10

b

b
b

18 1 3

(7)

1 25 3 10

c

Cộng các vế tương ứng (5),(6) và (7) ta được 2 2 2 9

1 1 1 10

a b c

a b c .Vậy

giá trị lớn nhất của P bằng 9

10 khi

1
3

a b c
Ví dụ 6 Cho a b c, , 0thỏaa2 b2 c2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 1 3

P a b c

a b c

Giải

Tương tự ta chứng minh bổ đề x 0, 3 ta có

2 2

1 3 1 5

( 1) ( 1) ( 4) 0

2x 4 x 2 x x

x đúng x 0, 3 .

Áp dụng bổ đề trên cho ba biến a,b,c ta được

2 2 2

1 1 1 3 1 15 15

( 3)

2 4 2 2

P a b c a b c

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ 7. Cho , ,x y z thỏaxy yz zx 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 5 2

P x y z
Giải

Tìm m 0 sao cho P x2 2y2 5z2 2 (m xy yz zx)

2 2 2 2

(1 m x) (m 2)y (m 5)z m x( y z)

2 2 2 ( )2

(1)

1 1 1 1

1 2 5

x y z x y z

m m m m

(1) đúng 1 1 1 1 1

1 2 5 m

m m m m .

Ta có

2 2 2

2 3 6

1 1 1

2 3 6

C S

x y z

x y z x y z

2 2 2 5 2 2( ) 2

x y z xy yz zx
ví dụ 8. Cho x y z, , thỏaxy yz 3zx 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P x2 y2 z2

Giải
Tìm m 0 sao cho

2 2 2 2 3

x y z m xy yz zx

2
2

2 2 2 3 2 3 2 3 3

3 3

y y

x y z m x z m x z

2 2 2

(3 1) 1 (3 1) 3 3

3 3

m y

m x y m z m x z

2 2 2 3 3

3 3 3

(1)

3 1 3 1

3 1 3 3 1

y

x z

x y z

m m m m

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

(1) đúng 6 1 1 3 17

3m 1 m 3 m m 4

Ta có 2 2 2 3 17( 3 ) 3 17

2 2

P x y z xy yz zx

Ví dụ 9 Cho a b c, , 0thỏaa2 b2 c2 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P a b c 2 3 4
Giải
Ta tìm các số , ,x y z 0 sao cho P đạt giá trị lớn nhất tại a x b, y c, z . 
Ta có

2 3 4
cos

2 3 4

9
i

a a b b b c c c c a b c
x x y y y z z z z x y z

2 3 4
cos

2 3 4

9
i

a b c a b c

x y z x y z

Mặt ,2 3 4 ( 2 2 2) 42 92 162

BCS

a b c

x y z x y z Dấu bằng xảy ra

2 2 2

2 3 4 2 3 4

ax by cz x y z

Hơn nũa, x2 y2 z2 1

nên ta có 2, 1 , 2

3 3 3

x y z
Cách giải

2 3 4 cos

2 2 2

2 3 4 2 2 2

2 3 4 4 9 16

9 ( )

1 2

2 1 2

2 1 2 2

3
3

3 3

3 3 3 3 3

i BCS

a b c a b c

a b c

2 3 4 32 3

6561

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài tập tƣơng tự

1/ Cho , ,x y z 0thỏax y z 31. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

2 3 5

P x y z

2/ Cho x y z, , 0thỏa3x 2y 3z 66. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

6 4 3

P x y z

3/ Cho , ,x y z 0thỏax2 2y2 3z2 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

2 3 4

P x y z 
4/ Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 3 3 3

2 2 2

a b b c c a
P

a c b a c b

3. Phƣơng pháp lƣợng giác hóa

Vị dụ 1 :Cho a,b,c là các số thực khác 0, c>b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

2 2 2 2 2

2 2 2 2

bc a b a c c a b
P

a b a c

Giải

Ta có

2 2 2 2 2 2 2 2

bc a b c

P

a b a c a b a c

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ta lại có:

2 2 2 2

2 2

( ; ); ( ; ); ( ;0)

cos cos ,

AB b a AC c a BC c b

bc a
A AB AC

a b a c
b

B BA BC

a b
c
C CA CB

a c

Do đó

2
2

cos cos cos

2 cos cos cos

2 2

1 3 3

2 sin 1 2 sin 2 sin

2 2 2 2 2 2

P A B C

A B A B

C

C C C

Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a b c abc

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

1 1 1

16 1 2 1 2017 1

P

a b c

Giải : Giả sử tồn tại một tam giác nhọn ABC sao cho

tan ; tan ; tan

tan tan tan tan tan tan

a A b B c C

A B C A B C

Khi đó:

1 cos

16 1

1 cos

2 1

1 cos

2017

2017 1

A
a

B
b

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2 2 2

cos cos cos 16 2 2017 4068549

16 2 2017 2.16.2.2017 129088

A B C

P

Dấu bằng xảy ra khi

2 2 2

16 1 2 1 2017 1

a b c

Ví dụ 3: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a b c 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b abc

a bc b ca c ab

Giải

Ta viết lại biểu thức P như sau

1 1

1 1 1

a b abc

P

a bc b ca c ab
ab

c
bc ca ab

a b c

Mặt khác, a b c ab ca ab bc bc ca

c b c a a b

Suy ra tồn tại một tam giác sao cho

2 2

tan ; tan ; tan

2 2 2

cos cos sin

2 2 2

1 (cos cos sin )

bc A ca B ab C

a b c

A B

P C

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ta có:

4
cos

cos cos sin 2 cos cos sin

2 2

2 sin 1 cos 2 1 cos 1 cos

2 2 2 2

3 3 cos 3 3 cos

2 2 2 3 3

4 8

3
i

A B A B

A B C C

C C C C

C C

Vậy 1 3 3

P

Dấu bằng xảy ra khi

2
;

6 3

2 3 3; 7 4 3

A B C

a b c

Ví dụ 4: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a b c abc

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 4bc 1 4ca 1 1

bc ca ab

Giải

Từ giả thiết ta có

1 1 1 1

2 1

4bc 4ca 4ab 8abc .

Do đó tồn tại một tam giác nhọn sao cho

1 1 1

2 cos ,A 2 cos ,B 2 cosC

bc ca ab

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2 2 2

2 2

1 1

4 cos 1 4 cos 1 4 cos

cos cos

P A B C

A B

2 2 2

2 sin 2 2 sin 2 4 sin 4

4 sin( )cos( ) 4 sin 4 4 sin 4 sin 4 (2 sin 1) 5 5

A B C

A B A B C C C C

Vậy P 5

Dấu bằng xảy ra khi

;

12 6

, 3 2 3

A B C

a b c

Bài tập tương tự:

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa 1 1 1 6

3a 2b c

Tìm giá trị lớn nhất của

4 9 36

a b c

p

a bc b ca c ab

Bài 2:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa 1 1 1 6

2 3

a b c

Tìm giá trị lớn nhất của

36 9 4

a b c

P

a bc b ca c ab

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Tìm giá trị lớn nhất của 2 2

1 1 1

a b c

P

a b c

Bài 5:Cho a,b,c các số thực dương thỏa abc a b c c; 1

Tìm giá trị lớn nhất của 4 1 2 1 2 2

1 1 1

c
P

a b c

Bài 6:Cho x,y,z các số thực dương thỏa xyz x z y

Tìm giá trị lớn nhất của 2 2

2 2 2

2 2 4 3

1 1 1 1 1

z z

P

x y z z z

Bài 7:Cho a,b,c các số thực dương thỏa ab bc ca 1

Tìm giá trị lớn nhất của

2 2

1 4

b c

P

b c

a

Bài 8:Cho a,b,c các số thực dương thỏa a b c 1

Tìm giá trị lớn nhất của P a b c

a bc b bc c ab

Bài 9:Cho x,y,z các số thực dương thỏa 6x 3y 2z xyz

Tìm giá trị lớn nhất của

2 1 (4 2 4)( 2 9)

x yz
P

x y z

Bài 10:Cho a,b,c các số thực dương thỏa 2017ac ab bc 2017

Tìm giá trị lớn nhất của 22 2 2 2 23

1 2017 1

b
P

a b c

</div>

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

<b>CÁC PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC </b>

Ngô Văn Vinh

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về