Bài giảng Sức bền vật liệu 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (819.99 KB, 53 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN MỞ ĐẦU

x Mục tiêu

Sức bền vật liệu là một phần của cơ học vật rắn biến dạng, có ứng dụng rộng rãi
trong các ngành kỹ thuật. Đây cũng là môn học cơ sở cho hầu hết các chuyên ngành
đào tạo tại Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội. Đặc biệt những năm gần đây, hình thức
đào tạo thay đổi từ niên chế sang tín chỉ. Bởi vậy, bài giảng “Sức bền vật liệu” (phần
1) được biên soạn nhằm đáp ứng yêu cầu về tài liệu, cung cấp các kiến thức cơ bản
theo đề cương của môn học cho sinh viên trong trường, giúp sinh viên xác định nội
lực, ứng suất, biến dạng trong các thanh chịu lực cơ bản, giải quyết bài toán bền và
cứng của thanh.

x Phương pháp biên soạn

Bài giảng được biên sọan trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết phần thanh chịu lực cơ
bản. Sau mỗi phần lí thuyết, nhóm biên soạn đều đưa ra một số ví dụ giải mẫu một số
bài tập để giúp sinh viên có được cái nhìn vừa tổng quan, vừa gần gũi với môn học.

x Phạm vi biên soạn

Bài giảng bao gồm 6 chương (có kể đến chương mở đầu), trình bày các hình thức
chịu lực cơ bản của các bộ phận cơng trình (chịu kéo hoặc nén đúng tâm, uốn ngang
phẳng, xoắn thuần túy) và đối tượng xét chủ yếu là thanh thẳng.

x Đối tượng phục vụ

Sinh viên tất cả các ngành đang học học phần Sức bền vật liệu phần 1 (hệ vừa
học vừa làm và chính quy)

x Địa chỉ áp dụng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

MỤC LỤC 
CHƯƠNG MỞ ĐẦU

1. Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu 4

2. Các giả thuyết về vật liệu 4

3. Hình dáng vật thể 5

4. Các hình thức chịu lực của thanh 5

5. Khái niệm về chuyển vị và biến dạng 6

CHƯƠNG 1. NGOẠI LỰC VÀ NỘI LỰC

1.1. Ngoại lực 8

1.2. Nội lực 9

1.3. Biểu đồ nội lực cho thanh 12

1.4. Biểu đồ nội lực cho khung phẳng 15

1.5. Biểu đồ nội lực cho thanh cong 16

CHƯƠNG 2. THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM

2.1. Khái niệm 18

2.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang 18

2.3. Biến dạng của thanh khi chịu kéo (nén) đúng tâm 19

2.4. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng 20

2.5. Đặc trưng cơ học của vật liệu 21

2.6. Ứng suất cho phép- Điều kiện bền - Các bài toán cơ bản 23

2.7. Tính thanh có kể đến trọng lượng bản thân 24

2.8. Bài toán siêu tĩnh 25

CHƯƠNG 3. ĐẶC TRƯNG HÌNHHỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

3.1. Khái niệm 27

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3.3. Mơmen qn tính của một số mặt cắt đơn giản 29

3.4. Công thức chuyển trục của các mômen quán tính 30

3.5. Cơng thức xoay trục của các mơmen qn tính 30

CHƯƠNG 4. XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG

4.1. Khái niệm 34

4.2. Xoắn thuần túy thanh mặt cắt ngang tròn 34

4.3. Xoắn thuần túy thanh mặt cắt ngang khơng trịn 38

4.4. Bài toán siêu tĩnh 40

CHƯƠNG 5. UỐN NGANG PHẲNG THANH THẲNG

5.1. Khái niệm 42

5.2. Uốn thuần túy phẳng 42

5.3. Uốn ngang phẳng 45

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

CHƯƠNG MỞ ĐẦU 
1. Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu

1.1. Nhiệm vụ

SBVL xét đến:

- Điều kiện bền (độ bền): là khả năng bộ phận cơng trình chống lại phá hoại dưới

tác động của ngoại lực không bị đứt, gãy, trượt…

Mỗi bộ phận cơng trình muốn tồn tại được lâu dài khi sử dụng (tức là phải bền
vững dưới tác dụng của ngoại lực) thì chúng phải được chế tạo từ vật liệu thích hợp và
có kích thước đủ lớn cần thiết.

- Điều kiện cứng (độ cứng): là khả năng bộ phận cơng trình chống lại biến dạng

do ngoại lực gây ra khơng có biến dạng, chuyển vị vượt quá cho phép.

Trong nhiều trường hợp, ta phải xác định sự thay đổi hình dáng và kích thước
(tức là biến dạng) của bộ phận cơng trình khi chịu lực. Biến dạng tuy là nhỏ so với
kích thước của bộ phận cơng trình nhưng trong nhiều trường hợp, nó có thể gây cản trở
việc sử dụng bình thường của kết cấu. Vì vậy, ta phải xác định được biến dạng để hạn
chế nó.

- Điều kiện ổn định (độ ổn định): là khả năng cơng trình giữ được vị trí ban đầu

hoặc bảo toàn dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến dạng tương ứng với các tải
trọng tác dụng.

Dấu hiệu của mất ổn định là sự thay đổi bất ngờ dạng cân bằng này sang dạng
cân bằng khác. Mất ổn định có thể xảy ra với tải trọng hồn tồn khơng nguy hiểm đối
với điều kiện bền và điều kiện cứng.

Các cấu kiện phải đảm bảo cả ba điều kiện trên nhưng đồng thời cũng phải đảm
bảo yêu cầu về kinh tế.

Ngồi ra, SBVL cịn giải quyết bài tốn ngược, đó là kiểm tra độ bền, độ cứng,
độ ổn định của bộ phận cơng trình cho trước.

1.2. Đối tượng của SBVL

Đối tượng của SBVL là vật thể thực (vật rắn biến dạng). SBVL nghiên cứu đối
tượng làm việc trong giới hạn đàn hồi

Vật thể thực có nhiều tính chất cơ lý. Vì vậy, để đơn giản hoá bài toán, ta đưa ra
các giả thuyết .

2. Các giả thuyết về vật liệu

2.1. Giả thuyết 1: vật liệu có tính chất liên tục, đồng nhất và đẳng hướng.

+ Liên tục: vật liệu không bị gián đoạn bởi các lỗ rỗng o áp dụng được các tính
chất của tích phân, vi phân trong q trình xây dựng bài tốn.

+ Đồng nhất: tính chất cơ lý tại mọi điểm thuộc vật thể là như nhau.
+ Đẳng hướng: tính chất cơ lý theo mọi phương là như nhau.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2.2. Giả thuyết 2: vật thể có tính chất đàn hồi tuyệt đối (vật

liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tính đàn hồi của vật
liệu được xem là tuyệt đối).

Xét vật thể chịu ngoại lực Pi (khi Pi chưa vượt quá một

giói hạn xác định), vật thể bị biến dạng. Khi bỏ lực Pi , biến

dạng của vật thể được khôi phục: Hình 1

+ Biến dạng được khơi phục hoàn toàn o vật thể đàn hồi tuyệt đối

+ Biến dạng khôi phục khơng hồn tồn (có biến dạng dư) o vật thể đàn hồi
không tuyệt đối

2.3. Giả thuyết 3: chuyển vị và biến dạng của vật thể là vô cùng bé so với kích thước

của vật thể o xem điểm đặt lực không thay đổi khi vật thể biến dạng đơn giản
trong tính tốn.

Từ các giả thiết trên, phương pháp tính trong SBVL là phương pháp cộng tác
dụng (dựa trên nguyên lý độc lập tác dụng: kết quả tác dụng lên vật thể một hệ lực
bằng tổng kết quả do tác dụng riêng của từng lực lên vật thể theo một thứ tự bất kỳ).

Ví dụ: xét dầm đơn giản chịu lực như hình 2. Ta thấy: f = f1+f2

Hình 2 
3. Hình dáng vật thể

Gọi kích thước vật thể theo ba phương là: lx, ly,

3.1. Khối: lx | ly | lz (hình 3). VD: móng máy, móng

nh l ặt

ới của cấu kiện.

ụ: b

Hình 4

nh là đối

a d n tích (A) Hình 5

huộ

cột điện...

3.2. Tấm và vỏ: lx, ly >>lz (với lz là chiều dày) (hình 4)

Hình 3 Gọi măt trung bì à m
cách đều đáy trên và đáy dư

+ Nếu mặt trung
bình là mặt phẳng, ta có
cấu kiện là tấm (bản).Ví

d ản sàn, tấm tng...

mặt trung bình mặt trung bình

+ Nu mt trung bình là mặt cong,
ta có cấu kiện là vỏ. Ví dụ: tháp nước…

3.3. Thanh: lx, ly << lz (chiều dài thanh). Tha

tượng được nghiên cứu chủ yếu trong SBVL.

(C)

Giả sử có diện tích (A) trượt trong khơng gian theo (

một đường cong (C), với trọng tâm O củ iệ

t c đường cong (C) (hình 5). Ta có:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

ện tích mặt cắt ngang của thanh (tiết diện)

ian.
anh cong phẳng.
ng, ta có thanh thẳng.

4.1. K

là biến dạng dài (thanh
bị giãn

giã .

: cột chống, dây cáp... Hình 6

4.2. Uố

thanh (hình 7).

o y. Hình 7

ực

ng ủa lực. hân

cắt (hình 9). Hình 8

Hình 9

g của ngoại lực. Bao gồm:

dịch chuyển đến vị trí mới là
A' và

BB' là chu

Hình 10

ổi hình dạng, kích thước của vật thể
dưới

(theo phương z) Hình 11

+ Diện tích (A) là di
* Phân loại thanh:

+ Nếu trục thanh (C) là đường cong khơng gian, ta có thanh cong không g
+ Nếu trục thanh (C) là đường cong cong phẳng, ta có th

+ Nếu trục thanh (C) là đường thẳ

4. Các hình thức chịu lực của thanh 
éo, nén

- Lực tác dụng đặt dọc theo trục thanh (hình 6).
- Biến dạng của thanh

ra hoặc co ngắn lại).

- Chuyển vị là độ co hay độ n

n

- Lực tác dụng vng góc với trục
- Biến dạng: trục thanh bị cong.
- Chuyển vị: độ võng và góc x a
VD: dầm giữa các tầng nhà...

4.3. Xoắn: xảy ra khi tác dụng lên thanh những ngẫu l

nằm trong mặt phẳng vng góc với trục thanh (hình 8).

4.4. Cắt (trượt): các mặt cắt ngang của thanh có xu hướng

trượt lên nhau dưới tác dụ c ngoại VD: t

bulông chịu

5. Khái niệm về chuyển vị và biến dạng

5.1. Chuyển vị: là sự thay đổi vị trí của phân tố thuộc vật

thể (độ dời chỗ) dưới tác dụn
chuyển vị dài, chuyển vị góc.

Xét vật thể chịu tác dụng của hệ ngoại lực Pi. Sau

khi chịu lực, điểm A và B
B(hình 10). Ta có:

+) AA', yển vị dài.

+) D = n( ', ')

AA BB là chuyển vị góc.

5. 2. Biến dạng: là sự thay đ

tác dụng của ngoại lực.

- Biến dạng dài: xét đoạn thanh có chiều dài dz, chịu kéo
(hình 11). Gọi 'dz là biến dạng dài tuyệt đối của đoạn thanh

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Hzlà biến dạng dài tỉ đối theo phương : H z 'dz
dz
- Biến dạng góc: xét đoạn thanh chịu uốn

hoặc chịu cắt như hình 12. Ta có:
+) D là biến dạng góc xoay

+) J là biến dạng góc trượt

Hình 12

M M Q Q

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chương 1. NGOẠI LỰC VÀ NỘI LỰC

1.1. Ngoại lực: là những lực do mơi trường bên ngồi tác động lên vật thể (S).

Ngoại lực bao gồm tải trọng và phản lực liên kết.

1.1.1. Tải trọng: là ngoại lực tác dụng lên vật thể đang xét, có giá trị, vị trí và tính

chất đã biết.

Phân loại tải trọng:

1.1.1.1. Theo hình thức tác dụng

- Tải trọng phân bố:

+ Tải trọng phân bố trong thể tích vật thể (tải trọng phân bố thể tích - lực khối).
Đơn vị: kN/m3, kG/m3... Ví dụ: trọng lượng bản thân của vật thể.

+ Tải trọng phân bố trên bề mặt vật thể (tải
trọng phân bố bề mặt - lực mặt). Đơn vị: kN/m2,
kG/m2… Ví dụ: tải trọng tác dụng trên sàn.

Gọi q là lực phân bố trên một đơn vị thể tích
hoặc một đơn vị diện tích (q cịn gọi là cường độ tải
trọng phân bố).

Nếu vật thể là thanh, ta thay lực khối hoặc lực
mặt bằng tải trọng phân bố theo chiều dài l (hình
1.1).Vậy q là tải trọng phân bố theo chiều dài thanh.
Đơn vị: kN/m, kG/m.

- Tải trọng tập trung P: khi tải trọng tác dụng lên vật Hình 1.1

thể trên diện tích 'S hoặc trong thể tích 'V rất nhỏ, ta có thể tải trọng đó bằng hợp
lực P đặt tại trọng tâm của 'S hoặc 'V. Đơn vị: kN, kG.

1.1.1.2. Theo tính chất tác dụng

- Tải trọng tĩnh là tải trọng tác dụng có giá trị tăng từ 0 đến giá trị nào đó khơng
đổi (P = const)

- Tải trọng độnglà tải trọng gây ra lực quán tính trong hệ (gia tốc a z 0 nên lực
quán tính Fqt z 0)

1.1.2. Phản lực liên kết: là ngoại lực chưa biết, xuất hiện tại các liên kết giữa vật thể

đang xét và vật thể khác

1.1.2.1. Các loại liên kết:

- Liên kết gối di động, khớp cầu (hình 1.2):

+ Gối di động: cho phép thanh xoay quanh khớp,
di dộng theo một phương nào đó. Do đó xuất hiện thành
phần phản lực theo phương bị ngăn cản di chuyển.

y
x

p(x,z)

p(z)

+ Khớp cầu: mômen của khớp cầu bằng 0. Hình 1.2

- Liên kết gối cố định: thanh xoay quanh khớp nhưng khơng dịch chuyển được
theo phương bất kì (hình 1.3).

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Hình 1.3

Hình 1.4 
1.1.2.2. Các phương trình cân bằng

Viết các phương trình cân bằng để xác địnhcác phản lực liên kết.

Đối với bài tốn phẳng, viết được 3 phương trình cân bằng theo một trong các
cách sau:

Dạng 1: Dng 2: Dng 3:

ư

đ

Ư

0
0
0
ư

Ư

A
B

0
0
0
ư

Ư

B
C

AB khụng A X A, B, C không thẳng hàng.

1.2. Nội lực

1.2.1. Khái niệm về nội lực

Giữa các phần tử của vật thể có các lực liên kết để giữ cho vật thể có hình dáng
nhất định. khi có ngoại lực tác dụng, các lực liên kết đó tăng lên để chống lại biến
dạng do ngoại lực gây ra

Vậy: nội lực là độ tăng của các liên kết để chống lại biến dạng do ngoại lực gây
nên.

1.2.2. Khái niệm ứng suất

(Sử dụng phương pháp mặt cắt để đưa ra khái niệm về ứng suất tại một điểm
nào đó trong vật thể)

1.2.2.1. Các thành phần ứng suất

Xét vật thể đàn hồi chịu tác dụng của các lực P1, P2

,...,Pn (hình 1.5).Tưởng tượng 1 mặt phẳng (S) chia vật thể

thành hai phần: (I) và (II).

Khảo sát sự cân bằng của phần (I): phần (I) được cân
bằng trong toàn bộ vật thể là do có hệ nội lực của phần (II)

tác dụng lên. Hệ nội lực này phân bố trên tồn bộ diện tích mặt cắt (A). Hình 1. 5

P3
P2

(I)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Lập hệ trục toạ độ xOyz (hình 1.6):
+ Mặt phẳng xOy là mặt phẳng tiết diện.

+ Trục z A xOy (thường chọn z là trục thanh hoặc trục

dầm).

Tại điểm C(x,y) bất kì:

+ Bao quanh điểm C bằng diện tích khá bé 'A

+ Hợp lực tác dụng lên 'A là 'P G Hình 1. 6

z
x

C(x,y)

Ứng suất trung bình tại điểm C: '

'
G
G

P
p

Ứng suất tại điểm C: lim'

'
G

G P

(với điều kiện 'A luôn bao quanh điểm C)

A' o0

Vậy: ứng suất là đại lượng đặc trưng cường độ nội lực. Đơn vị: kN/cm2, kG/cm2

- ứng suất toàn phần, được phân tích theo hai phương:
G

+ Thành phần ứng suất V theo phương trục z (z là phương pháp tuyến của mặt

cắt): được gọi là ứng suất pháp

+ Thành phần ứng suất W nằm trong mặt phẳng xOy (trong mặt cắt ngang) được

gọi là ứng suất tiếp
pG V WG G

Phân tích ứng suất tiếp W theo hai phương: Ox và Oy
+ theo Ox: Wzx

+ theo Oy: Wzy

*Tại C: tách ra một phân tố hình lập phương bằng
các mặt phẳng song song với hệ trục toạ độ.

x
y

Vy
yx

W
Wyz

V
Wxy
xz

Vz
zy

Wzx

Biểu diễn các thành phần ứng suất ở trên phân
tố(hình 1.7):

+ Theo phương x: Vx, Wyx, Wzx

+ Theo phương y: Vy, Wxy, Wzy

+ Theo phương z: Vz, Wyz, Wxz

Vậy trên phân tố có 3 thành phần ứng suất pháp (Vx, Vy, Vz) Hình 1.7

và 6 thành phần ứng suất tiếp bằng nhau theo quy luật đối ứng (Wyx = Wxy ; Wxz = Wzx ;

Wyz = Wzy)

1.2.2.2. Các thành phần nội lực trên măt cắt ngang

Xét vật thể đàn hồi (S) dạng thanh, chịu các lực P1, P2

,...,Pn (hình 1.8). Thực hiện mặt cắt ngang S vng góc với

trục thanh, chia thanh thành hai phần.

Hình 1.8

Pn
(I)

(II)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Xét phần (I) (hình 1.9): trên diện tích A xuất hiện hệ lực
nội lực

^ `

p để cân bằng với ngoại lựcGi 1

JG
P , 2

JG
P

Thu

^ `

p về O (với O là trọng tâm củ diGi a ện tích A), ta có:
lựcJGP và ngẫu lực

JJG

M . Phân tích các thành phần (hình 1.10)
Phân tích JGP :

ích

ơ en uốn trong mặt phẳng yOz

dA ; A

Hình1.9

X X

P Q : lực cắt theo phương x

:lực cắt theo phương y

Y Y

P Q

: lực dọc

Z Z

P N

JJG

Phân t M:

Mx: m m

My: mômen uốn trong mặt phẳng xOz Hình 1.10

Mz: mơmen xoắn

* Theo định nghĩa, ta có
W

³

X zx

Q dA ; QY W

³

zy

A A

³

Z Z

N d

.
V

³

X z

M ydA ; Y V

³

z. ;

M xdA Z W

³

( .zy Wzx. )

M x y dA

* Để xác định các thành phần nội lực, ta xét cân bằng cho phần I (hoặc phần II):
0

¦

X QX

¦

Pix ;

¦

( ) 0

x X x i

m M m P

¦

Y QY

¦

Piy ;

¦

( ) 0

y Y y i

m M m P

¦

Z NZ

¦

Piz ;

¦

( ) 0

Z Z z i

m M m P

trong đó

¦

JGP là cá ngoi lực tác dụng lên

phần I (hoặc phần II

biệt: khi vật thể (S) là thanh

c ại

).
* Trường hợp đặc

thẳng, các ngoại lực JGP (yOz) (hình 1.11). Ta có: i

P (yOz) nên: ix = 0;

¦

( ) 0

m Pi ;

( ) 0

¦

m Pz JGi

0 Mz = 0

ại z , Qy , Mx

thuộc

ho phần được giữ lại chịu
kéo).

y > 0 khi ó chiều làm cho phần được quay thuận chiều kim đồng hồ.

I (hoặc phần II):

Qx = 0; My = ;

Vậy trên mặt cắt 1-1 chỉ tồn t N
(yOz) và là bài toán phẳng.

*Quy ước dấu:

Hình 1.11

Nz > 0 khi có chiều hướng ra ngồi mặt cắt (hay làm c

Q c

Mx > 0 khi có chiều làm căng các thớ về phía dưới của thanh.

*Để xác định các thành phần nội lực, ta xét cân bằng cho phần
0

¦

Z NZ

¦

Piz

(I)

O
A

(I)

P1 P2

1
1

(I)
MX

Nz Nz

(II)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

¦

Y QY

¦

Piy

( ) 0

¦

mO MX

¦

mO JGPi (với O là trọng tâm mặt cắt ngang)

1.3. Biểu đồ nội lực cho thanh (bài to

hiên của các thành phần nội lực trên

án phẳng)

Biểu đồ nội lực là đồ thị biểu diễn sự biến t
các mặt cắt ngang dọc theo trục thanh.

Dựa vào biểu đồ nội lực để biết: NZ max, QY max, MX max.
 nội l

3.1

thức nội lực: dựa vào các phương trình cân bằng để lập được biểu

nội lự

thanh chịu lực

Xác định PLLK và phân đoạn thanh

Có hai phương pháp để vẽ biểu đồ ực

1. . Phương pháp giải tích 
* Nội dung:

- Lập các biểu

thức nội lực trên mỗi đoạn thanh theo biến là tọa độ z
- Vẽ biểu đồ nội lực: dựa vào các biểu thức

q=8kN/m

c đã lập được để vẽ biểu đồ

Ví dụ 1.1: Vẽ biểu đồ nội lực cho

2m 2m

P=10kN

M=4kNm

A 1 B

1 2

VA VB

như hình 1.12

Lời giải:

- Bước 1: Hình 1.12

Xét cân bằng AB:
0

¦

mB (chiều quy ước tuỳ chọn)

VA.4 + M - q.2.1 - P.2 = 0 VA = 8 (kN)

¦

mA hoặc

¦

Y 0 VB = 18 (kN)

Chia đoạn tục): chia làm hai đoạn.

oạn 1 ( 0 d z1 d 2 ). Xét

(tải trọng trên một đoạn phải liên
- Bước 2: Lập biểu thức nội lực

Đoạn 1: dùng mặt cắt 1-1 thuộc đ
cân bằng phần bên trái mặt cắt (hình 1.13):

¦

Z N(1)z 0

¦

Y Q(1)y VA 8(kN) Hình 1.13

1 0

¦

Đoạn 2: d mặt cắt 2 2 thuộc đoạn 2 ( 0 d z2 d 2 ).

(1)
1

M z

ùng

-Xét cân bằng phần bên phải mặt cắt (hình 1.14):
0

¦

Z N(2)z 0

¦

Y Q(2)y qz2VB 8z2 1 Hình 1.14

2 0 4 2

¦

mO M(2)x qz22 / 2V zB 2 z22 18z

- Bước 3: Vẽ biểu đồ (hình 1.15)

i biết dấu biểu đồ và trị số tung độ.
Để vẽ được biểu đồ nội lực, ta phả

* Quy ước dấu:

VA=8
A

MX
(1)

(1)
(1)

VB=18
B

z
q=8kN/m

2
Qy
MX
Nz

(2)
(2)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

+ Dấu của biểu đồ Nz , Qy: dương ở phía

trên, âm ở phía dưới trục thanh.

+ Dấu của biểu đồ Mx: dương ở phía

dưới, âm ở phía trên trục thanh.

+ Tải trọng q phân bố trên thanh:
q < 0 khi hướng xuống ( p )
q > 0 khi hướng lên ( n )

* Nhận xét:

- Nếu tải trọng tác dụng lên thanh vng

góc với trục Z thì: Nz = 0, H = 0. Hình 1.15

q=8kN/m

2m 2m

P=10kN

M=4kNm

A 1 B

1 2

VA VB

20
kNm

- Nơi nào trên thanh có lực tập trung P thì trên biểu đồ Qy có bước nhảy. Trị số

bước nhảy bằng P

Đi từ trái sang phải: khi P đi xuống thì bước nhảy đi xuống, khi P đi lên thì bước
nhảy đi lên.

- Nơi nào trên thanh có mơmen tập trung M thì trên biểu đồ Mx có bước nhảy.

Trị số bước nhảy bằng

Đi từ trái sang phải: khi M có chiều thuận chiều kim đồng hồ thì bước nhảy đi
xuống, M ngược chiều kim đồng hồ thi bước nhảy đi lên.

* Mối quan hệ vi phân giữa q, Q, M (lập cho q > 0)

( )

q z

dz ;

x
y

dM
Q

dz ;

2 ( )
x

d M

q z

dz (1.1)

- Khi q(z) = 0 :biểu đồ Qy là không đổi, biểu đồ Mx là đường bậc nhất.

- Khi q(z) = const: biểu đồ Qy là đường bậc nhất, biểu đồ Mx là đường bậc hai.

- Khi q(z) < 0 thì biểu đồ Qy là đường nghịch biến; khi q(z) > 0 thì biểu đồ Qy là

đường đồng biến. Do đó, biểu đồ Mx có bề lõm hứng lấy tải trọng phân bố q(z)

- Tùy theo q(z) đồng biến hay nghịch biến trên một đoạn nào đó mà biểu đồ Qy

quay bề lõm về phía dương hay phía âm (phía trên hay phía dưới đường trục) trong
đoạn tương ứng.

- Nơi nào trên thanh có Qy = 0 thì tại đó, biểu đồ Mx có cực trị.

x
y

dM
Q

dz Mx có cực trị

1.3.2. Phương vẽ biểu đồ nội lực theo các điểm đặc biệt

* Nội dung: y

x
y

- Từ (1.1), xác định dạng sơ bộ của biểu đồ (hình 1.16)
y'' < 0 o biểu đồ quay bề lõm về phía âm

y'' > 0 o biểu đồ quay bề lõm về phía dương
- Tính trị số nội lực ở một số mặt cắt đặc biệt

- Dựa vào các nhận xét ở mục (1.1) để vẽ biểu đồ. Hình 1.16

Ví dụ 1.2: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AB chịu lực như hình 1.17

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

- Bước1: Xác định phản lực

liên kết và phân đoạn thanh (1)

(2) (3)

VB
VA

B
A

M1=16kNm

P=12kN

q2=8kN/m

2m
M2=4kNm
q1=12kN/m

C D

Xét cân bằng AB:

Hình 1. 17

¦

mB VA.6 = q1.2.5 + q2.4.2 + M1 - M2 + P.4

VA = 38 (kN)

¦

Y VB = q1.2 + q2.4 + P - VA = 22 (kN)

Phân đoạn: phân làm 3 đoạn
- Bước 2: Vẽ biểu đồ.

+ Đoạn AC (hình 1.18):

q1 = const < 0: biểu đồ Q là đường bậc 1và nghịch (1)y Hình 1.18

biến. (1): bậc 2, nên bề lõm quay về phía âm (phía trên trục z)

A A

Q V

10
X

M q

)
kN

(1) 38(
(1) (1)

C A

Q Q q AC với dấu (+) khi q1 n; dấu (-) khi q1 p

(1)= 38 - 12.2 =14 (kN)

o khơng có cực trị.

' z0

X Y

M Q

;
0

A
X

M dtQAC 0 38 14.2 52( )

C A

X X

M M kN

(dấu r được lấy theo dấu biểu đồ QY)

+ Đoạn CD:

Tại C: biểu đồ Qy có bước nhảy xuống = 12 kN o Q(2)C 14 12 2( kN )

biểu đồ MX có bước nhảy lên = 16 kNm o M(2)C 52 16 36( kNm )

Tại D: (2) (2)

2. 2 6.2 10( )

D C

Q Q q CD kN

biểu đồ QY có điểm = 0 nên biểu đồ Mx có cực trị tại E.

(2) (2) 36 1.2.2 36,3

2 6

E C CE

M M dtQ

(2) (2) 36,3 1.10.10 28

2 6

D E ED

M M dtQ

+ Đoạn DB: q2 = const < 0 Q : bậc 1, nghịch biến. (3)y

(3) 10 6.2 22

B B

Q V

Tại D: biểu đồ MX có bước nhảy xuống = 4 kNm

o (3) 28 4 32( )

M kNm

(3) (3) 32 10 22.2 0

B D DB

M M dtQ

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

MX
kNm

52
36

10
2

kN
QY

VB
VA

B
A

M1=16kNm

P=12kN

2m
2m

q2=8kN/m

2m
M2=4kNm
q1=12kN/m

14 2/6 10/6

32
36,3

C D

Hình 1.19 
1.4. Biểu đồ nội lực cho khung phẳng

1.4.1. Định nghĩa: khung phẳng là tập hợp các

thanh liên kết với nhau tại các điểm nút. Trục
các thanh nằm trong một mặt phẳng (hình 1.20).

1.4.2. Vẽ biểu đồ cho khung phẳng

Vẽ biểu đồ nội lực cho từng thanh xiên có

quy ước dấu: dấu biểu đồ N, Q như thanh ngang; Hình 1.20

B C

MX > 0 khi làm căng của các thớ trong của khung. Sau đó ghép các thanh vào, kiểm

tra sự cân bằng nút.

Ví dụ 1.3: Vẽ biểu đồ nội lực cho khung
chịu lực như hình 1.21

C
B

M=4kNm
P=3kN

q1=4kN/m

=2k

4m 6

kNm
MX

kN
NZ

5
3

5/2

3/2

14
6

31/4
1

2 2

Lời giải:

- Bước 1: Xác định PLLK và phân
đoạn.

Chia thành 2 đoạn: đoạn 1(BC) và
đoạn 2 (AB)

- Bước 2: Lập biểu đồ nội lực.
+ Đoạn 1: dùng mặt cắt 1-1 thuộc
đoạn 1. Xét cân bằng phần bên phải mặt
cắt: (0 d z1 d 3)

¦

Z N(1)Z 0

¦

Y (1) 1 1( ). 1 12

2 3

Y z

Q q z 2z Hình 1.21

(1) 3

1( ) 1 1 1

1 1 2

0 .

2 3 9

¦

mO MX q z z z z

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

¦

Z (2) 14.3 6

¦

Y QY(2) q z2. 2 P 2z23

¦

(2) 2 2

2 2 1 2 2

1 1

.3. .3 3 10

2 2 3

MX Pz q z M q z z

(Nhận xét: đoạn 1 tại C có q1 = 0

nên QC cực trị; tại điểm có Qy = 0 o

biểu đồ Mx có cực trị)

- Bước 3: Vẽ biểu đồ nội lực
- Bước 4: Kiểm tra sự cân bằng
của các nút.

Tách nút B ra khỏi khung (hình

1.23), tác dụng lên nút gồm nội lực và ngoại lực Hình 1.22

q1(z)=4z1/3

C
Qy

(1)

z1 z

q1=4

P=3kN

M=4kNm

B C

(2)

phải cân bằng.

M1=6

Q1=6

N1=0

P=3M=4

M2=7
N2=6

Q2=3 B

1 2 0 3 3 0

¦

X N Q P

1 2 6 6 0

¦

Y Q N

1 2 4 6 10 0

¦

mB M M M

o nút khung cân bằng nên biểu đồ vẽ chính xác. Hình 1.23

1.5. Biểu đồ nội lực cho thanh cong

Xét thanh cong bất kì, chịu tải trọng phân bố q(s) (hình

1.24). Tại mặt cắt m-m có các nội lực: N, M, Q. m q(s)

m
q(s)

N
M

* Quy ước dấu:

+ Dấu biểu đồ N, Q như thanh thẳng.
+ MX > 0 khi làm thanh cong thêm.

* Quan hệ vi phân giữa các thành phần:

dN Q

ds ; ( ) U

dQ N

q s

ds ;

Hình 1.24

Q
ds

với là bán kính cong tại mặt cắt đang xét. U

R
P

M
Q

Ví dụ 1.4: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu lực
như hình 1.25

Lời giải:

- Bước 1: Xác định phản lực liên kết và phân
đoạn thanh.

P N

- Bước 2: Lập biểu đồ nội lực

Dùng mặt cắt m-m thuộc AB. Xét
cân bằng phần bên trái mặt cắt:

0 d M d S/2

sin 0

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

cos 0 cos

M M

¦

Y Q P Q P

. sin 0 . sin

M M

¦

mO M P R M P R

- Bước 3: Vẽ biểu đồ

M 0 S/6 S/3 S/2

N 0 - 3 / 2P -P/2 -P

Q -P -P/2 - 3 / 2P 0

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Chương 2. THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 
2.1. Khái niệm

P m

A B

P Nz=P>0
Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt

ngang của thanh chỉ có thành phần nội lực Nz (hình 2.1). Ví

dụ: dây cáp, cột gạch, dây ròng rọc....

Nz > 0 o thanh chịu kéo (Nz hướng ra ngoài mặt cắt). Hình 2.1

Nz < 0 o thanh chịu nén (Nz hướng vào mặt cắt).
2.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang

* Thí nghiệm: xét thanh có chiều dài l, mặt

cắt ngang có kích thước (bxh) như hình 2.2.
Khi thanh chưa chịu lực, vạch lên mặt

ngoài của thanh những đường: Hình 2.2

P
P

l
l+'l

+ song song với trục thanh o tượng trưng cho các thớ dọc

+ vng góc với trục thanh o tượng trưng cho mặt cắt ngang thanh.

Giả sử thanh chịu kéo o thanh có chiều dài (l +'l), kích thước mặt cắt ngang
(b-'b)x(h-'h). Sau khi thanh chịu lực, quan sát các đường kẻ, ta thấy:

+ Các đường song song trục thanh sau biến dạng vẫn thẳng và song song trục

thanh.

+ Các đường vng góc với trục thanh tuy có thay đổi khoảng cách nhưng vẫn
vng góc với trục thanh.

Cho rằng biến dạng bên trong thanh cũng như bên ngoài thanh, ta đưa ra các giả
thuyết:

a) Giả thuyết về các thớ dọc: trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép lên

nhau, cũng không tách xa nhau o mặt cắt dọc thanh: Vy = 0

b) Giả thuyết về các mặt cắt ngang: trong quá trình biến dạng, các mặt cắt ngang

tuy thay đổi về vị trí nhưng vẫn phẳng và vng góc với trục thanh.

Xét điểm C bất kì trên mặt cắt ngang nào đó. Tưởng tượng tách một phân tố tại C
bằng các mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ.

Phân tố tại C khơng có ứng suất tiếp (do mặt cắt ngang luôn phẳng), chỉ có ứng
suất pháp Vz.

Theo nhà bác học Huc: ứng suất pháp gây ra biến dạng dài, ứng suất tiếp gây ra

biến dạng góc. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng (dựa vào thực nghiệm): Vz = E.Hz

(định luật Hooke)

Đối với mỗi loại vật liệu: mô- đuyn đàn hồi E = const

Vì mặt cắt ngang vng góc với trục thanh nên Hz = const trên mỗi mặt cắt ngang

Vz = const.

Theo định nghĩa, ta có: V

³

V V Z

Z Z Z Z

N dA A

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

2.3. Biến dạng của thanh khi chịu kéo (nén) đúng tâm 
2.3.1. Biến dạng dài dọc trục

Thanh giãn ra (khi chịu kéo) hoặc ngắn lại (khi chịu nén)
một lượng 'l (biến dạng tuyệt đối của thanh).

Xét đoạn thanh dz tách ra bởi mặt cắt 1-1 và 2-2. Khi thanh biến
dạng, giả sử mặt cắt 1-1 giữ nguyên, mặt cắt 2-2 dịch chuyển đến

vị trí 2'-2' (hình 2.3) Hình 2.3

'dz
dz

2
2'

'dz = Hzdz = VZ

E dz =

N
dz

o 'l = '

³

l l

dz dz

EA: độ cứng của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm

+ Khi NZ const

EA thì 'l =

N l

+ Khi thanh chia thành n đoạn, mỗi đoạn có li,

( )

i
Z

EA = const, ta có:

'l = ( )

1 1( )

¦

n i

Z i
i

i i

N l
l

2.3.2. Biến dạng ngang

Gọi biến dạng ngang tỉ đối theo phương x, y tương ứng là Hx và Hy.

Theo nhà toán học người Pháp - Pốt xơng, ta có: Hx = Hy = -PHz

với P là hệ số Poát xông, phụ thuộc vật liệu (0 d P d 0,5).

Ví dụ 2.1: Cho hệ thanh chịu lực như hình 2.4.
HB là dầm cứng. các thanh 1, 2, 3 cùng vật liệu
có: E= 2.104 kN/cm2. Yêu cầu:

2a
q=2kN/m

a=1m
P=20kN

(1) (1)A=10cm2

(2)

(3)

A/2
C

H B

a/2

1. Tính ứng suất trong các thanh.
2. Tính chuyển vị đứng của điểm H.

Lời giải:

- Xác định lực dọc trong các thanh
Xét cân bằng dầm HB (hình 2.5)

0 .2 .3 .2 .a a N2 70(k )

¦

mB N a P a q N Hình 2. 4

3
3

0 .2 .2

30( )

¦

mD N a Pa q

N kN

.
a a

N
Xét cân bằng nút C (hình 2.5):

'
1 1

¦

X N

2 1 1

0 2 sin 30 70(

¦

Y N N N k )

P=20kN

a=1m

q=2kN/m

2a N3

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Thanh 1: 1 2
1

7( / )

V N kN cm

1 1 2

1 4

70.100

3,5.10 ( )

2.10 .10

' l N l c

EA m

C
D

N1 N'1

(với 1 0 1( ) 100

l m ) Hình 2. 6

in 30
a

Thanh 2: 2 2

2
2

3,5( / )

V N kN cm ;

2
2 2

2 4

70.100

1,75.10 ( )

2.10 .20

' l N l cm

Thanh 3: 3 2

3
3

6( / )

V N kN cm ;

2
3 3

3 4

30.100

3.10 ( )

2.10 .5

' l N l c

EA m

- Tính chuyển vị đứng của điểm H:
Mơ tả sơ đồ biến dạng của kết cấu
(hình 2.6)

'C = sin 301 0 2 1 7.10 (2

'l '

l c )m

C'
'l

H D B

B'
D'

2a
a

'D = 'C + 'l2 = 8,75. 10-2 (cm) Hình 2.7

'H = HH' ; BB' = 'l3

Ta có: HH' = BB' + 3

2(DD' - BB') HH' =

2DD' -
1

2BB' =

3
2'D

-1
2'l3

Vậy: 'H = (3

28,75 -
1
23).10

-2 = 0, 116cm

P P

2.4. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Cho thanh chịu kéo đúng tâm như trên hình 2.7.
Xét điểm C bất kì trên thanh. Cắt qua C bằng mặt cắt
xiên m-m (hình 2.9).

Tại C: tách phân tố hình hộp (hình 2.9). Hình 2.8

Xét cân bằng phân tố lăng trụ tam giác (hình 2. 10).

D = (D >0 khi quay chiều dương trục z ngược

chiều kim đồng hồ 90
m

( , )z Q

0 sang chiều dương trục Q)

Vz
z

Phân tố có các cạnh: dx, dy, dz.
Lập hệ trục:

+ trục u A mặt phẳng nghiêng

+ trục v nằm trong mặt nghiêng Hình 2.9

0 . y 0 V VU Zcos2D

V V D

¦

U Z

u dx cos dxd

cos

0 sin . dy 0

W V D

¦

UV Z

v dx dx

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

sin 2
2
V

W Z D

UV (2.1)

* Nhận xét: Vmax VZ với D = 0

2
V

W r Z

max với D = 45

0, 1350

Xét mặt cắt xiên n-n A m-m: D1 = D + 900 Hình 2.10

Vz Vu

W
dx

1 sin

V VV Zcos D VZ D

D
z
m

m u

n
D1

sin 2 sin 2

2 2

V V

W Z D Z D

VU (2.2)

(2.1) và (2.2) ®W WV V V Hình 2.11 
¯

U V Z

UV VU

* Định luật đối ứng của ứng suất tiếp: nếu trên một mặt nào đó có ứng suất tiếp

thì trên mặt vng góc với nó cũng tồn tại ứng suất tiếp, chúng ngược dấu nhau và có
trị số bằng nhau (cùng hướng vào hoặc đi ra xa giao tuyến chung)

W >0 khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ 900 sang

chiều của W.

2.5. Đặc trưng cơ học của vật liệu

Các đặc trưng cơ học là các thông số chỉ ra khả năng chịu lực và biến dạng của
vật liệu trong từng trường hợp chịu lực cụ thể. Việc nghiên cứu đặc trưng cơ học của

vật liệu được tiến hành thơng qua các thí nghiệm.

* Phân loại vật liệu:

+ Vật liệu giòn: bị phá hỏng ngay khi biến dạng còn rất bé. Ví dụ: gang, gạch,
bêtơng...

+ Vật liệu dẻo: chỉ bị phá hỏng với biến dạng khá lớn. Ví dụ: thép, nhơm...

2.5.1. Thí nghiệm kéo

a) Mẫu thí nghiệm: có dạng hình trụ như hình 2.12

Mẫu được kiểm tra về độ rỗng, tạp chất, độ bóng...Mẫu
phải đạt tiêu chuẩn và được chế tạo trong xưởng.

D0 , A0, l0: đường kính, diện tích tiết diện ngang, chiều

dài ban đầu của mẫu. Hình 2.12

D0,A0

b) Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo:

Sự làm việc của mẫu chia làm ba giai đoạn (hình 2.13): P

P
Pb

A
B

C
D

- Giai đoạn đàn hồi (OA): lực tỉ lệ với độ dãn dài (ứng
suất tỉ lệ với biến dạng)

+ Lực lớn nhất: Ptl

+ Giới hạn tỉ lệ:

V tl

P
A

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

- Giai đoạn chảy dẻo (BC): biểu đồ gần như nằm ngang (lực không tăng nhưng
biến dạng vẫn tăng)

+ Lực lớn nhất: Pch

+ Giới hạn chảy:

V ch

P
A

- Giai đoạn củng cố (CD): P n o 'l n. Sau đó P giảm nhưng 'l vẫn tăng.
+ Lực lớn nhất: Pb

+ Giới hạn bền:

V b

P
A

- Nếu cho A0, l0 khơng đổi trong suốt q trình chịu lực

thì biểu đồ (V - H) có dạng giống biểu đồ (P - 'l) (hình 2.14)

Vtl, Vch, Vb là các đặc trưng cho tính bền của vật liệu.

* Khi P < Pch: các mặt cắt ngang p như nhau.

P > Pch: xuất hiện chỗ thắt lại, nếu tiếp tục tăng P thì mẫu

bị đứt. Hình 2.14

b
ch

V
VV
V

P = Pch: xuất hiện các vết nứt nghiêng (do vật liệu gốm các tinh thể liên kết với

nhau tạo thành mạng tinh thể. Ở giai đoạn chảy, các mạng tinh thể trượt lên nhau o
xuất hiện vết nứt, góc nghiêng phụ thuộc vào loại vật liệu).

* Hai đại lượng đặc trưng tính dẻo:

- Độ dãn dài tỉ đối 1 0

100%

G l l

l
đứt.

; với l1 là chiều dài của

mẫu lúc bị

- Độ thắt tỉ đối: 0 1

100%

\ A A ; với A

A 1 là diện tích mặt cắt

ngang tại chỗ bị thắt lại khi mẫu bị đứt.

c) Thí nghiệm kéo vật liệu giịn: Hình 2.15

Chỉ tồn tại giới hạn bền:

V b

A o khả năng chịu kéo kém. Biểu đồ (P - 'l)

được thể hiện ở hình 2.15.

'l
Pb

2.5.2. Thí nghiệm nén vật liệu

a) Mẫu thí nghiệm: hình hộp (mẫu bêtơng) hoặc hình trụ trịn

(mẫu bằng gang, thép).

b) Thí nghiệm nén vật liệu dẻo: chỉ tồn tại giới hạn tỉ lệ và giới

hạn chảy (hình 2.16). Giới hạn bền không xác định được vì có sự
phình ngang của mẫu, mẫu cứ tiếp tục chịu lực mà không bị phá hoại.

c) Thí nghiệm nén vật liệu giịn: chỉ tồn tại giới hạn bền Hình 2.16

Pb(nén) >> Pb(kéo)

Ví dụ: gang: + nén: Pb = 10 MN/m2

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

2.5.3. Hiện tượng biến cứng nguội

Xét biểu đồ kéo vật liệu dẻo (hình 2.17):

- Khi P < Ptl: P p o 'l p, biểu đồ ứng với đoạn

- Khi P t Ptl (ví dụ tại điểm C):

+ Lực P giảm :biểu đồ là đường CO1 // AO o biến

dạng OC1 chỉ khôi phục được phần O1C1 (biến dạng đàn

lầ kéo hứ h tỉ lệ

nh 2.17

ệ và giảm biến dạng dẻo. Người

i tốn cơ bản

khi một điểm nào đó trong thanh
ại.

iều kiện bền: max

hồi), còn biến dạng dư OO1 (hay cón gọi biến dạng dẻo)

+ Lúc này lại tăng lực P, biểu đồ là đường O1CD Ở n t ai: giới hạn

D
C
B
A

P
P

O O1 C1

dẻo đàn hồi

tăng lên (từ OA' o OC'), Hì

biến dạng dẻo giảm đi (một lượng OO1)

Hiện tượng biến cứng nguội làm tăng giới hạn tỉ l
ta lợi dụng hiện tượng này để chế tạo bêtông ứng lực.

2.6. Ứng suất cho phép - Điều kiện bền - Các bà
2.6.1. Ứng suất nguy hiểm -Ứng suất cho phép

* Ứng suất nguy hiểm: là ứng suất (V0 , W0) mà

đạt đến ứng suất này thì coi như thanh bị phá ho

Đ V d Vz 0 (2.3) với: V0 Vb khi là vật liệu giòn

V V0 ch khi là vật liệu dẻo

Thực tế khơng sử dụng cơng thức (2.3) vì vật liệu ở ngồi thực tế khác vật liệu ở
đó sử dụng ứng suất cho phép

trong phịng thí nghiệm. Do

V W0

Ứng suất cho phép:

> @

n ;

> @

W n
với n > 1- hệ số độ tin cậy, lấy theo tiêu chuẩn.

2.6.2. Điều kiện bền cho thanh chịu kéo nén đúng tâm

> @

V z d V

.6.3

+ Chọn tiết diện mặt cắt:

2 .Các bài toán cơ bản

+ Kiểm tra điều kiện bền

> @

N
A

định giá trị tải trọng cho phép

(1), (2) và (3) cùng
vật li

c thanh.
huyển vị của điểm D.

+ Xác

Ví dụ 2.2:

Cho kết cấu chịu lực như hình 2.18. HB,

CD là dầm cứng. Các thanh 2a

E
(2A)
(A)

(3)

(2)
(1)

P=40kN
q=60kN/m

B
(2,5A)

C K D

M=12kNm

ệu: E= 2.104 kN/cm2,

> @

V KN cm . 16 / 2

1. Xác định mặt cắt ngang của cá
2. Tính c

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Lời giải:

- Xác định lực dọc trong các thanh.

Hình 2.18 
Xét cân bằng dầm CD (hình 2.19)

3
3 120( )

N kN

0 .2 .3 .2 .

¦

mC N a P a q a a

- Xét cân bằng dầm HB (hình 2.20):

2 3

0 .3a Mq a a.2 . N .2a

¦

mA N Hình 2.19

N
h thước mặt cắt ngang:

Thanh

2 124( )

N k

1 3 2

0 .2 116(

¦

Y N N q a N k )

- Xác định kíc

> @

1 2

116

7, 25( )

16
t

A A cm

Thanh 2:

> @

2 2

124

2,5 7,75( )

16
t

V
N

A A cm Hình 2.20

Thanh

tA 3,1(cm 2)

> @

3 2 2

6
120

2 7,5( ) 3,75( )

t t

V
N

A A cm A cm

Mô tả sơ đồ biến dạng của kết cấu (hì 2.21)

Vậy chọn 7,25( 2)

A cm

- Tính chuyển vị đứng của điểm D:
nh
2
1 1
1 4
1
116.200

16.10 ( )

2.10 .7,25

' l N l c

EA m
2
2 2
2 4
2
124.200

6,84.10 ( )

2.10 .(2,5.7,25)

' l N l cm

2
3 3

3 4

3 2.10 .(2.7,

120.100

4,14.10 ( )

25)

' l N l cm Hình 2.21

EE' = BB' +

HH = 'l1 ; BB' = 'l2

3(HH' - BB') =

>

@

2 2

6,84 16 6,84 .10 9,89.10 ( )

3
ă á
â ạ

Đ ·
cm

+ 10-2 = 14,03.10-2(cm)

KK' = 'K = EE' 'l3 = (9,89 +4,14).

'D = DD' = 3

2'K = 21,045.10 (cm)

-2

2.7. T

anh có
A, trọng lượng riêng J.

Xét mặt cắt ngang z-z bất kì:

Az (với 0 d z d l) Hình 2.22

ính thanh có kể đến trọng lượng bản thân

Xét thanh chịu lực đúng tâm P như hình 2.22. Th
chiều dài l, diện tích mặt cắt ngang

¦

Z NZ P QZ P

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

V NZ P Jz

A A

Điều kiện bền:Vmax z l( ) P J d Vl

> @

Biến dạng dọc trục:

0 0

( )

2
J

³

l NZ

³

l P J z Pl

l dz dz

EA EA E EA l E

' l Pl Ql

EA EA với Q = J.l.A

(2)

F(z)+d

F

(z)

F(z)

1
1

2 2

N

(1)
*Thanh có độ bền đều: là thanh có ứng suất ở

mọi mặt cắt ngang đều đạt đến ứng suất cho phép
(V Vz

> @

)

Giả sử tồn tại thanh có độ bền đều. Xét đoạn
thanh dz bị cắt bởi mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 2.23):

(2) (1)
(2) (1)

( )

0 0

¦

z z Z

z z z

Z N N Q

N N A dz (2.4) Hình 2.23

Theo định nghĩa:

> @

(1)

(1) (1)

( )
( )

V z V V (2.5)

z z z

N A

> @

(2)

(2) (2)

( ) ( )
( ) ( )

.( )

V V V (2.6)

z z z z

z z

N A dA

A dA

Thay (2.5), (2.6) vào (2.4):

> @

A( )z dA( )z

> @

A( )z JA dz ( )z

> @

( )

z
z

A ln ( )

> @

A C (2.7)

Tại z = 0: A(z) = A0 C = lnA0

Từ (2.7)

> @

( )

( ) 0
0

ln .

J
V

J

V

z
z

A z

A A e

2.8. Bài toán siêu tĩnh

Nếu số ẩn số d số phương trình cân bằng, ta xác định được ẩn số thông qua các
phương trình cân bằngo bài tốn tĩnh định.

Nếu số ẩn số > số phương trình cân bằng o bài toán siêu tĩnh.
Gọi: n - số bậc siêu tĩnh.

n = số ẩn - số phương trình cân bằng

Để giải bài tốn, ta phải lập n phương trình bổ sung (phương trình biến dạng).

Ví dụ 2.3: Cho hệ chịu lực như hình 2.24. Xác định lực dọc tại các mặt cắt 1-1 và 2-2.

Lời giải :

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Phương trình cân bằng:

¦

Z 0 N1 N2P (2.8) 
Phương trình biến dạng: ' l 0

1 2

N

(2)
(1)

N

1 2 0

N a N b

EA EA (2.9)

Từ (2.8) và (2.9): 1 ; 2

Pb Pa

N N

a b a b

Hình 2.24 
Ví dụ 2.4: Cho 3 thanh phẳng thuộc một mặt phẳng liên kết

khớp, cùng vật liệu, cùng độ cứng EF như hình 2.25. Xác
định lực dọc trong các thanh.

Lời giải:

- Xét cân bằng nút (hình 2.26):

3 1

0 sin sin

D D

¦

X N N

1 2

0 N

¦

Y N cos N cos

1 3

1 2

2

®

3 D P

D
¯

N N

N cos N P (2.10 ) Hình 2.25

(1)

A

l

(3)

P

(2)

D
D

o đây là bài tốn siêu tĩnh bậc 1, do đó phải thiết lập thêm 1

phương trình bổ sung. DD

N1 N3

- Phương trình biến dạng:

Mơ tả sơ đồ biến dạng của kết cấu (hình 2.27)

+ Phương trình biến dạng: Hình 2.26

1 2

' 'l l cos D N l1 1 N l2 2 cos

EA EA D

với l2 = l ; l1 = l/cosD.

N1 = N2 .cos2D (2.11)

Từ (2.10) và (2.11):

1 3 1 2 3 ; 2 1 2 3

Pcos P

N N N

cos cos D

Hình 2.27

'

l

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Chương 3. ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 
3.1. Khái niệm

l
P

y
(b)
P

z y

(a)

Đối với thanh chịu kéo (nén) đúng
tâm, ứng suất trong thanh phụ thuộc vào
diện tích mặt cắt ngang (A). Đối với
những trường hợp chịu lực khác thì như
thế nào?

Xét hai trường hợp chịu lực như hình 3.1, Hình 3.1

ta thấy: trường hợp (b) có khả năng chịu lực >> trường hợp (a).

Vậy ứng suất trong thanh (khả năng chịu lực khơng chỉ phụ thuộc (A) mà cịn
phụ thuộc vào các yếu tố khác.

3.2. Mômen tĩnh và các mômen qn tính

x
O

(A)

C
u

B
(dA)
y

Xét mặt cắt ngang có diện tích (A) nằm trong hệ toạ độ
(xOy) bất kì như hình 3.2. Điểm B (x,y) (A), Lấy diện tích
vơ cùng bé dA bao quanh điểm B.

3.2.1. Mômen tĩnh:là lượng đại số được xác định
(cm

( ) ( )

;

³

x y

A A

S ydA S xdA 3 )

- Nếu Sx0 = 0 , Sy0 = 0 thì (x0, y0) là hệ trục trung tâm Hình

3. 2

ủa trọng tâm: mọi trục u đi qua trọng tâm đều là trục trung tâm

C , yC) :

x0uy0 = C với C là trọng tâm của mặt cắt (A)

- Tính chất c
Su = 0

- Công thức xác định trọng tâm C (x

; y x

C C

A A

S S

Giả sử vật thể chia làm n phần: phần i có diện tích Ai, trọng tâm Ci (xi, yi). Ta

có:

( ) 1

1 1

¦

n n i i

i i

x x i i C

i i

i
i

x A

S S x A x

( ) 1

1 1

¦

i i

y y i i C

i i

S S y A y

¦

n n i i

y A

3.2.2. Mơmen qn tính đối với một trục:là lượng đại số được xác định

2 2

( )

; I

³

x
A

I y dA x dA (cm

( )
y

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

3.2.3 (mơmen qn tính độc cực):là lượng đại
ố đư

³

I dA (cm4)

- Mơmen qn tính đối với tâm O với:

. Mơmen qn tính đối với một điểm

s ợc xác định

( )
U

2 2 2

U x y

2 2

( )

³

x y

I x y dA I I

qu h):là lượ ác

ịnh

thì (x0, y0) là hệ trục qn tính chính.

3.2.4. Mơmen án tính li tâm (mơmen tĩnh qn tín ng đại số được x
đ

( )

³

I xydA (cm4)

Nếu Ix y0 0 0

Nếu mặt cắt (A) có trục đối xứng là trục y thì bất kì trục x
nào vng góc với y đều cho (x,y) là hệ trục quán tính chính
(hình 3.3). Do:

( ) ( /2) ( /2)

³

I xydA xydA xydA

A A A

C nằm trên t
A y thì hệ trục xCy là hệ qn tính chính trung tâm, có tính chất: S

. 3. án tính của một số mặt cắt đơn giản
3.3.1. Mặt cắt hình chữ nhật (hình 3.4)

t h p

Hình 3.3

rục y. Qua C, kẻ trục x

x = Sy = Ixy = 0.

Nếu y là trục đối xứng của mặt cắt, trọng tâm

3 Mômen qu

Lấy một diện íc hân tố dA // x: dA = b.dy

Theo đ/n:

3
/2

2 2. .

³

I y dA y b dy

( )A h/2

Tương tự:

3.3.2. Mặt cắt hình tam giác (hình 3. 5)

Ta có:

Hình 3. 4

.

h

b b

đ/n:

Lấy diện tích phân tố dA // x o xem dA như hình

chữ nhật. Theo

2 2. . .

( ) 0 12

h h y

³

I y dA y b dy

ta có :

x
A

Nếu trục x0 //x, đi qua trọng tâm của hình tam giác,

bh
I

qua đều à trục quán tính chính trung tâm:

Hình 3. 5

3.3.3. Mặt cắt hình trịn (hình 3.6)

Mọi trục đi O l

2 U

x y

I I I

Lấy diện tích phân tố dF như hình vẽ: dA = U.dM.dU

(dA)
O

x
y

b
(dA)

D
U

M
dM

y

x

B
(dA)
x
-x

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Hình 3.6

4 4

2 S

( ) 0 0

. . .

2 32

s R D

³

³ ³

U U M U

I dA d d

64
S

Ix Iy D

3.3.4. Hình vành khăn: (hình 3.7)

4 4 4

(1 )

64 64 64 K

x y

I I SD Sd SD

với K
D

ộc hệ trục xOy, đồng

với: X // x ; Y //

c (A)

+ Điểm Bcó tọa độ (X, Y) trong XO'Y, với:
X = x + b ; Y = y + a.

Lấy diện tích vơ cùng bé dA bao quanh điểm B. Hình 3.8

(3.1) là công thức chuyển trục song song của các mô men quán tính

hợp đặc biệt: n y rục trung tâm (O là trọng tâm của hình):

Sx = Sy = 0

(3.2)

í dụ 3.1: hính trung tâm cho mặt cắt
nh 3

ách c hình:

(3): chữ nhật (4x12)cm

Hình 3.7

en qn tính 
3.4. Cơng thức chuyển trục song song của các mơm

Xét diện tích (A) thu
thời biết Sx , Sy , Ix, Iy, Ixy.

Lập hệ trục XO'Y (hình 3.8)
y . u cầu tìm IX , IY , IXY.

Ta có: toạ độ điểm O trong hệ (XO'Y) là (a,b)
Lấy điểm B bất kì thuộ

+ Điểm B có tọa độ (x,y) trong hệ trục xOy

2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) (

³

A A A

I Y dA ya dA y 2aya d2) A

IX Ix aSx a A

Y y y

I I bS b A (3.1)

XY xy x

I I aS bSy abA

* Trường ếu xO là hệ t

(3.1) 2

°IX Ix a A

®IY Iy b A

°

¯IXY Ixy abA

V Tính mơmen qn tính c

như hì .9

C 1: Chia mặt cắt thành cá

(1): chữ nhật (12x20)cm
(2): chữ nhật (12x12)cm

x
4

4 4

D
d

x
(dA)

B
(A)

x
y

u
O

u
a

b
'

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

xOy là hệ qn tính chính trung tâm của các hình.

Hình 3.9

3 3 3

(1) (2) (3)=12.20 12.12 4.12 6848( 4)

12 12 12

x x x x

I I I I cm

4
4

(1) (2) (3)

y y y y

Iy Iy Jy Jy

I I J J

3 3 3

20.12 12.12 12.4

= 1216( )

12 12 cm

hệ quá tính
cm

hệ quá tính
12

Cách 2: Chia mặt cắt thành các hình (như hình 3.10)

Hình 1: chữ nhật (4x12)cm có x1O1y1 là n

Cách 2: Chia mặt cắt thành các hình (như hình 3.10)

Hình 1: chữ nhật (4x12)cm có x1O1y1 là n

chính trung tâm của hình.
chính trung tâm của hình.

4
1

4.12

576( );

12
x
I cm
3
4
1
12.4
64( )
12
y

I cm Hình 3.10

ính trung tâm của hình.
Hình 2: chữ nhật (12x4)cm có x2O2y2 là hệ qn tính ch

3
4
2
12.4
64( )
12
x

I cm ;

3
4
2

4.12
576( )
12
y

I cm

xOy là hệ quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.

í dụ chính trung tâm cho mặt

Chia mặt cắt thành các hình

Hình 1: chữ nhật (4x12)cm, có x1O1y1 là hệ qn

tính c h.

(1) 2 (2)= 2ª 8 .2 º=576+2 64+8 .4.12ª 2 º

x x x

I I I I I F

(

6848( )

ẳ cm

1 ơ 2 2ẳ ơ

X X

(1) 2
y y

I I Iy2)=Iy12 =64+2.576 1216(Iy2 cm4)

V 3.2: Tính mơmen qn tính
cắt như hình 3.11

Lời giải:

hính trung tâm của hìn

4.12

576( )

I 1 cm ;

12
x
3

4
12.4
64( )

I1 cm

A1 = 4.12 = 48(cm2) 1

âm của hình.
 Hình 3.1

Hình 2: chữ nhật (12x6)cm có x2O2y2 là hệ qn tính chính trung t

3
4
2
12.6
216( )
12
x

I cm ;

3
4
2

6.12
864( )
12
y

I cm ; A2 6.12 = 72(cm2)

;

- Xác định toạ độ trọng tâm O trong hệ x1O1y1:

( )

1 0

x ( ) 1 1 2 2 1

1 2

y y 0. 9.72

5,4( )

48 72

O A A A

y cm

A A

Vậy xOy là hệ quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.

2
4

(1) (2)

1 1 2

= 5,4 3,6

)

ª º

2.

2 2

= 576+5,4 .48 216+3,6 .72 3124,8(

ơ ẳ

x x x X X

I I I I A I A

ê ê

ơ ẳ ¬ ¼ cm

(1) (2) 4

1 2

= = 64+864 928( )

y y y y y

I I I I I cm

O
4
12 x
y
x
O
2
1
1
2
O
2
x
2
O
1

y y2

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

3.5. C

hẳng có diện tích (A) trong hệ trục xOy (hình 3.12), đồng thời biết Ix,

Iy, Ixy

(uOv) bằng cách xoay hệ trục (xOy)

ược
ng trục u)
của hình.

Theo định nghĩa:

2 2

( ) ( )

2 2 2 2

( )

( sin )

( 2 sin . sin )

D D

D D D D

³

A A

I v dA ycos x dA

ông thức xoay trục của các mơmen qn tính

Xét hình p
của hình.
Lập hệ trục
một góc D.

(D > 0 nếu lấy chiều dương trục x quay ng
chiều kim đồng hồ sang chiều dươ

u cầu: tìm Iu , Iv , Iuv
3.5.1. Cơng thức xoay trục

Lấy điểm B bất kì thuộc (A):

x
y (dA)

(A)

O x

u
v

+ B có tọa độ (x,y) trong hệ trục xOy

+ B có tọa độ (u,v) trong hệ trục uOv Hình 3.12

u = xcosD + ysinD
v = ycosD - xsinD

cos x dA

y cos xy

x y x y

2 sin 2 sin2 =I I I -I 2 sin 2

2 2

Iu I cosx D Ixy D Ix D cos D Ixy D

Tương tự:

x y x y

I I I -I

2 sin

2 2

v x

I cos I y 2D (3.2)

x y

I -I

sin 2 s 2

2 D D

uv xy

I I co

(3.2) là cơng thức xoay trục của các mơmen qn tính.

3.5.2. Hệ trục qn tính chính và các mơmen qn tính chính

Giả sử hệ trục quán tính chính xác định bởi D = D0, ta có:

x y

0 0

I -I

sin 2 s 2 0

D D D D

uv xy

I I co

0

D xy

x y

Các mơmen qn tính chính: là các mơmen cực trị

I I ¯D D 2 0 90(truc v)

1 0( )

D D

® truc u

x y x y 2

,min

2 â 2 ạ

max

I I I -I

Đ Ã

r ă á xy

I I

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Quan h gia Iu và Iuv với Ix, Iy, Ixy, D giống quan hệ của ứng suất trên mặt cắt

v với Vx , Vy, Wxy và D. Từ đó đưa ra phương pháp vịng trịn Mo qn

ác mơmen qn tính chính

Chia
- Tra

= 8cm
25cm2 ; z0 = 2,27cm

¬ 100

Ix2 = 154cm4 ; Iy1 = 47,1cm4 ;

Iu2 = 28,3cm4

- y1): Hình 3. 13

nghiêng: Vu , Wu

tính (xem thêm trong >1]).

Ví dụ 3.3: Tính c trung tâm của mặt cắt như hình 3.13

Lời giải:

mặt cắt thành hai hình:
bảng:

> N020a: h

1 = 20cm ; b1

A1 =

Ix1 = 1660cm4

Iy1 = 137cm4

x63x10:

B2 = 10cm ; b2 = 6,3cm ;

A2 = 15,5cm2

x0 = 1,58cm ; y0 = 3,4cm

Xác định trọng tâm O của mặt cắt trong hệ trục (x1O1

2
( ) 1

2
1

0 (2,27 1,58).15,5

1, 4( )

25 15,5

¦

i i
O i
x A
x c
A
1 i
i
m
2

0 (10 3, 4).15,5

¦

y Ai i

( ) 1
2

25 15,5

¦

O i
y
A
1
2,52( )

i
i
cm

o ta lập được hệ trục trung tâm (xOy).
ong hệ trục (xOy):

;

- Tính Ix , Iy , Ixy:

- Tính Ix2y2:

- Toạ độ O1, O2 tr

4
1
1
1
1, 4
:
2,52

®
¯
x
O
y
2
2
2

2, 27 1,58 1, 4 2, 45
:

(10 3, 4 2,52) ,08

®
¯
x
O

(1) (2) 2 2

1 1 1 2 2 2

2 2

= .

= 1660+2,52 .25 154+(-4,08) .15,5 2230,8( )

êơ ẳ êơ ẳ

ê ê

ơ ẳ ơ ẳ

X x x X X

I I I I y A I I y A

(1) (2) 2 2

1 1 1 2 2 2

2 2

= .

= 137+(-1,4) .25 47,1+2,45 .15,5 326,1( )

ê ê

ơ ẳ ơ ẳ

ê ê

ơ ẳ ơ ẳ

y y y y y

I I I I x A I x A

>

@

(2)

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

x2y2 2 2

= 0+(-1,4).2,52.25 I +2,45.(-4,08 ,5 243,1

ª ê

ơ ẳ ơ ẳ

ơ ¼

Xy xy xy X y X y

x y

I I x y A I x y A

(1)

I I

).15

N 20a0

100x63x10
1 2
O
y
O x
1
1
2 2
2
1
u
y0
0

z0 x

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

2 2 2

min 2 2 2

2 2

x y

u x

I I

2 2 ( 2 2).( 2 2)

y xy

x y x u y u

Từ vòng trịn Mo qn tính (hình 3.14), xác định được dấu
có I

I I

I I I I I

m , kẻ tia // u2, cắt vòng tròn tại D (Iy2, Ix2y2) Ix2y2

< 0.

o Ixy > 0 và

gượ

I I I

của Ix2y2: tại điểm B

in = Iu2

(Nhận xét: từ trái sang phải: trục u đi lên

n c lại)

Vậy: 4

2 2 ( 2 2 4

x y x y u

I I Iu ).(I 2I 2) 8,6cm

Ixy = -48,6 - 243,1 = -291,7 (cm4)

- Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm Ouv và các

mơmen qn tính chính: Hình 3.14

2 2.( 291,7)

0,306
2230,8 326,1

D |

xy
x y

I
tg

I I

Mômen qn tính chính trung tâm:

0
1

0
2

8,5
98,5
D
°
®

D
°¯

x y x y 2

,min

I I I -I

2 2

r § Ã

ă á

â ạ

max xy

I I

D
Jx2y2

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

g 4. XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG 
.1. K

thành

mặt cắt, thấy Mz quay thuận chiều kim đồng hồ.

hịu xoắn như mũi khoan, trục các tuốc bin....

ặt cắt ngang tròn.

tr .

cho thanh chịu lực như hìn

- Lập biểu thức nội lực:

Chươn
4 hái niệm

Thanh chịu xoắn thuần túy là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có
phần nội lực Mz.

+ Quy ước: Mz > 0 nếu nhìn vào

Trong thực tế, các chi tiết, bộ phận c
Xét 2 trường hợp chịu xoắn thuần tuý:

+ Thanh m

+ Thanh mặt cắt ngang không òn

Ví dụ 4.1: Vẽ biểu đồ nội lực h 4.1.

Lời giải:

- Xác định phản lực liên kết.

+ Đoạn 1: lập mặt cắt 1-1 thuộc đoạn 1. Xét cân
bằng phần bên trái mặt cắt (hình 4.2): (0 d z1 d a)

(1)

¦

mZ Mz mz

c đoạn 2. X
ằng phần bên trái mặt cắt (hình 4.3): (0 d z2 d a)

+Đoạn 2: lập mặt cắt 2-2 thuộ ét cân

Hình 4.1

( 2)

¦

mZ 0 Mz maM ma

uý thanh mặt cắt ngang tròn

lực: vạch những

sin) và các đường Hình 4.4

ịn v

đứng n.

bị xoắn ốc.
- Vẽ biểu đồ nội lực (hình 4.1)

H

4.2. Xoắn thuần t

ình 4.2 Hình 4.3

4.2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Thí nghiệm: cho thanh trịn chịu xoắn thuần

t như hình 4.4.

- Trước khi thanh chịu
đường thẳng // trục thanh (đường

tr ng góc với trục thanh.

- Sau khi chịu lực, ta thấy:
+ Mặt cắt ngàm

+ Các đường // trục thanh

+Các đường trịn vẫn vng góc với trục thanh và khoảng cách giữa các đường
trịn khơng thay đổi.

Từ đó đưa ra 2 giả thuyết

D
a=1m
a

D
B

m M=2ma

(1) (2)

A B D

1
m

M(1)z

m 2ma Mz(2)

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

g và vng góc với trục

ết về bán kính của mặt cắt ngang: bán kính của mặt cắt ngang luôn

một phân tố bằng các mặt như sau

2 cách nhau khoảng dz.
ột góc d

phân tố khơng có biến dạng dọc trục z.

M - góc xoắn tương đối giữa 2 mặt cắt 1-1
và 2-2.

JU - góc trượt giữa 1-1 và 2-2 do suất tiếp ra Hình 4.5

chịu Mz: điểm A có vị trí mới là A'. Theo giả thuyết (b): OA = OA' = U

* Giả thuyết về mặt cắt ngang: mặt cắt ngang luôn phẳn

thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt là không đổi (giả thuyết a).

* Giả thuy

thẳng và độ dài khơng đổi (giả thuyết b).

Ngồi ra còn tuân theo 3 giả thuyết đầu tiên của SBVL
- Xét điểm A bất kì thuộc thanh. Tách tại A

(hình 4.5):

+ 2 mặt cắt ngang 1-1 và

2-+ 2 mặt phẳng đi qua trục z làm với nhau m D

+ 2 mặt trụ trục z có bán kính U và (U + dU)
Theo giả thuyết (a), ta có:

AE = BF = CG = DH = dz
o

o trên mặt cắt ABCD (hay EFGH) khơng có ứng
suất pháp, chỉ có ứng suất tiếp WU.

Gọi: d

ứng WU gây

Sau khi
dM = nAO'A

U U

M U M

J J AA OAtgd d

EA dz dz U

U M

J d

dz (4.1) 
Ta có: W W WGU GP GR

trong đó: WGRP vng góc với bán kính; WGR hướng theo phương bán kính

Từ giả thuyết (b), có: WR = 0. Vậy: W WU

G G

Theo định luật Hooke: (4.2)

(4.1) và (4.2)

U U

W JG

Từ : W U G.dM.U (4.3)

Theo định nghĩa: 2 2

( ) ( ) ( )

. .U . . . U

M M M

³

A A A

d d

dA G dA G I

dz dz

U W

³

M dA G

M z T

d M

dz GI (4.4)

khi c

+ GIU - độ cứng của thanh hịu xoắn.

ọi T dM là góc xoắn tỉ đối (góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau

một khoảng bằng đơn vị).

Từ (4.3) và (4.4):
dz

U
U

W Mz U

dD
1

C
E

D
H

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

+ IU = IP - mơmen qn tính độc cực

4 4

.(1 ) 0,1 .(1

D K | D 4)

32 K

U ố i với U (hình 4.6).

U o WU = 0

+) Khi U =

P x y

I I I

*Nhận xét:

+) W phân b bậc nhất đố
+) = 0

D o W = max .

P P

J W

z z

M D

3 4

0,2 .(1 )

| K

P
P

W D

D : mơmen chống

oắn Hình

4.6

4.2.2. Biến

Gọi M là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt đầu thanh (góc xoắn tồn phần)

oạ hanh c

W

max

x của mặt cắt ngang.

dạng

Xét đ n t ó chiều dài dz:

Từ (4.4), ta có:

0 0

U U

M z M

³

d dz d dz

GI GI (

l l

M M

4.5)

Nếu

U
z

const

GI thì (4.5) được viết lại: M U

M l
GI

n có chiều dài li ,

( )

( U)

i
z

const

GI :

Nếu thanh chia ra n đoạn: mỗi đoạ

( )
1 1( U)

i i

GI
M M

¦

n i

¦

n M l zi i

4.2.3. Kiểm tra bền và kiểm tra cứng

Mặt cắt kiểm tra là mặt cắt có Mz max

4.2.3.1. Điều kiện bền

m O nhất (các điểm ở biên)

max =

- Điểm kiểm tra: điểm nằm xa trọng tâ

> @

3 4

0,2 (1 )

W
d W
K

z max z max
P

M M

W D

- Công thức kiểm tra: W

t W

t cắt ngang theo điều kiện bền:

rong đó: 0 - ứng suất nguy hiểm (được xác định từ thực nghiệm)

n - hệ số độ tin cậy (n >1)
- Các bài toán cơ bản:

+ Kiểm tra bền.

> @

0,2 W (1

+ Chọn kích thước mặ 4

)
t

max
b

M
D

ọng cho phép theo điều kiện bền.

.2.3

+ Xác định giá trị tải tr

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

> @

- Công thức kiểm tra: 4 4

.0,1 (1 )

T d

z max z max
max

GIP G D T

M M

(rad/m)

gang
- Các bài toán cơ bản:

+ Kiểm tra điều kiện cứng.

+ Chọn kích thước mặt cắt n theo điều kiện cứng:

> @

0,1. (1 )

Tz max K

M
D

+ Xác định giá trị tải trọng cho phép theo điều kiện cứng.

í d mặt cắt ngang và

4.7. Cho biết:

;

h kích thước mặt cắt ngang

2. Với g

- Vẽ biểu đồ nội lực Mz(hình 4.7):
V ụ 4.2: Cho thanh có

chịu lực như hình

m = 2 (kNm/m);

> @

W kN cm ; 5 / 2

> @

T 0, 25rad m/ 0,25.102rad cm/
G = 8.103 kN/cm2.

Yêu cầu:
1.Xác địn
của thanh.

iá trị mặt cắt ngang tìm được ở (1), Hình 4.7

tìm góc xoắn tồn phần MAC.

Lời giải:

(1)
z max

M = 2 kNm = 2.102 kNcm ; M(2)z max= 4 kNm = 4.10

2 kNcm

- Xác định kích thước mặt cắt ngang:

+ Theo điều kiện bền:
* Đoạn 1 (đoạn AB):

> @

(1) 2

3 2.10 5,85( )

0,2 0, 2.5

z max
b

d cm

+ Theo điều kiện cứng:

> @

(1) 2

4
4

2 3

2.10

3,16( )

0,1. . 0,1.0,25.10 .8.10

z max
c

d c

G m

^

`

5,85(

d max d db c cm )

+ Theo điều kiện bền:
* Đoạn 2 (đoạn BC):

> @

(2) 2

3 4.10 7,36( )

0,2

0,2.5
t

Wmax

D cm

+ Theo điều kiện cứng:

> @

(2) 2

4
4

2 3

4.10

3,76(

0,1. . 0,1.0,25.10 .8.10

t z x

D cm

G )

^

`

7,36( )

D D cm

max Db c

Mặt khác: D = 2d chọn: d = 5,85 cm; D = 2.5,85 = 11,7 cm.

M=ma
m

B C

a a=1m

2
1-1

d D=2d

2-2
4

2
kNm

C
B

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

4 4

0,1 0,1.5,85 117,1( )

I d cm4 ; IP2 0,1D4 0,1.11,74 1861,1(cm4)

- Tính góc xoắn tồn phần MAC: MAC = MAB + MBC

trong đó:

1 1

0 U 0 U 1 0 8.10 .11

P z

GJ GI GI

100

(1) 2 2

100 100

2 100

1,06.10 ( / )

7,1

³

Mz dz

³

z dz z rad cm

3 0,268.10 ( / )

8.10 .1861,1

M z

BC rad cm

(2)

400.100

M l

8.10-2 (rad/cm) = 0,1328 (rad/m)

í dụ thanh trịn đường kính D = 8cm chịu lực

như h

AC = 1,32

V 4.3: Cho

ình 4.8. Biết:

> @

W kN cm ; 5 / 2

> @

T 0,25 /

rad m ;
.103 kN

G = 8 /cm2

c ở (1), tìm góc

xoắn tồn ph Hình 4.8

(hình 4.8):
Yêu cầu:

1. Xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên

a=1m
a

C
B

m M=2ma

3ma
Mz ma

thanh . A B

2. Với giá trị mặt cắt ngang tìm đượ
ần MAC.

Lời giải:

- Vẽ biểu đồ nội lực Mz

z max

M = 3ma (kNm) = 3m.102 kNcm

- Xác định tải trọng cho phép:
+ Theo điều kiện bền:

> @

3 3

0,2. . 0,2.8 .5 512( )

d W

max kNcm

M D

3m.102 d 512 m d 1,71 (kNm/m)

+ Theo điều kiện cứng:

> @

4 3 2

0,1. . . 0,1.8 .8.10 .0,25.10 1024(

d T

max

M D G 4 kNcm )

d 1024 m d 3,41 (kNm/m)
Vậy, giá trị tải trọng cho phép:

3m.102

> @

m 1,71(kNm/ )m
- Tính góc xoắn tồn phần MAC: MAC = MAB + MBC

trong đó:

100

(1) 2 2

100 100

3 4

0 U 0 U 2. 0 8

P z

GI GI GI

1,71 1,71. 1,71.100

0,52.10 ( / )

.10 .0,1.8

³

Mz dz

³

zdz z rad cm

3 4 1,56.10 ( / )

8.10 .0,1.8

M BC rad cm

(2)

2 3.171.100

M l

AC = 2,08.10-2 (rad/cm) = 2,08 (rad/m)

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Thí nghiệm: lấy một thanh mặt cắt ngang hình chữ nhật. Trước khi thanh chịu
xoắn, vạch lên mặt ngoài thanh những đường thẳng // trục thanh và những đường

vng)

kẻ
méo, mặt cắt ngang củ

ng hình chữ nhật chịu
oắn

n mặt cắt ngang:

ứng: W phân bố theo quy luật
đường cong có tâm uốn tại tâm O

theo
A và A'

Wmax =

thẳng vng góc với trục thanh (tạo nên lưới ô

Sau khi thanh chịu xoắn, nhận thấy: trục thanh
đều bị cong đi, ô vuông bị

vẫn thẳng nhưng các đường
a thanh bị vênh đi.

4.3.1. Thanh mặt cắt ngang hình chữ nhật

Xét thanh có mặt cắt nga

x thuần tuý (hình 4.9)

Luật phân bố ứng suất tiếp trê
- Tại các điểm góc:W = 0
- Các trục đối x

- Dọc các cạnh: W phân bố theo đường

cong. Wmax tại

z
oan

với W

W bh

3 Hình 4.9

xoắn = D

W1 = J.Wmax

T Mz với I

xoan

GI xoắn = Eb

3h

ới các kích thước khác của mặt cắt ngang. Ví dụ: ống

hiều dày G của

ỏng kín

uần tuý, mặt
hình 4.

bé o uất tiếp

+ Xét điểm A bất kì trên mặt cắt ngang:

WA =

trong đó: D, E, J phụ thuộc vào tỉ số h/b, được tra bảng. Các cô
rút ra từ thực nghiệm.

4.3.2. Thanh có thành mỏng

ng thức trên được

Thanh có thành mỏng là thanh mà mặt cắt ngang có bề dày G
nhỏ hơn so v

trịn mỏng, thép dát hình I, > , L...

Đường trung bình là đường chia đơi c mặt cắt

Hình 4.10 
(hình 4.10).

4.3.2.1. Thanh có thành m

Đường trung bình là đường khép kín .
Xét thanh thành mỏng kín chịu xoắn th

cắt ngang như 11.

+ Vì G xem ứng s W phân bố đếu theo G

2A GA

M o W

max =

0 min

2 G

A Hình 4.11

T = 2

( )
0

4A G G G

4.3.2.2. Thanh có thành mỏng hở

³

M dS với S - độ di ng trung bỡnh

Wmax
A

A'
1

max

W1 b

G

đuờng
trung bình

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

ng không khép

thanh ỏng hở x thuần với mặt hình

4.12. Chia mặt cắt ra n hình chữ nhật có: chiều rộng Gi , chiều dài h

Wi =

Đường trung bình là đườ kín.

Xét có thành m chịu oắn tuý cắt ngang như

z
i
xoan

I o Wmax = Gm

z
ax
xoan

T = z

xoan

I
M

G ; trong đó:

3
1

¦

n G

Ixoan ih i

Thực tế: m

¦

n G3

1 i i

xác định bằng thực nghiệm (tra bảng)

.4. B êu tĩnh

í d cho thanh chịu lực như hình

4.13

xoan
i

với m - phụ thuộc hình dạng mặt cắt ngang, Hình 4.12

4 ài tốn si

V ụ 4.4: Vẽ biểu đồ nội lực

Lời giải:

- Xét cân bằng thanh AB:
0

¦

mZ MA MB M (4.6)

o đây là bài tốn siêu tĩnh ậc 1
ình 4.14):

Hình 4.13

bổ sung.

b , phải lập thêm 1 phương trình

- Lập mặt cắt 1-1 và 2-2 (h

(1)
(2)

0 °

Ư

z A

M M

ỡnh biến dạng:

AC AB + MBC = 0 (4.7) ình 4.14

°¯Mz MB

- Phương tr

M = M H

trong đó:

(1) (1)

M z

GI G

U U

M l M a

I ;

(2) (2)

2 .

U U

M a (4.8)

thay (4.8) vào (4.7

z z

M l M

GI GI

), ta có: .2 . 0

U U

MA a M aB

GI GI (4.9)

Từ (4.6) và (4.9) 3

2
°°

®
°

M
M

°¯ B

- Vẽ biểu đồ nội lực (hình 4.15)

H

ình 4.15

í d trụ trịn HB liên kết ngàm tại H, chịu mômen xoắn M0, gắn với hai

ệt đối cứng (hình 4.16). Biết HB có: G , d.
hanh CD và KL có cùng l, E, A. Xác định biến dạng dài của CD, KL.

V ụ 4.5: cho

thanh CD, KL bằng một thanh CK tuy
T

hi
2

G h1

M M(1)z M(2)z M

1 2

B
C

1 2

2a a

2M/3
C

B
A

M/3

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Lời giải:

- Xét cân bằng HBCK (hình 4.17):

- Phương trình biến dạng (hình 4.18):

xoắn toàn phần của HB

1 2

¦

Y N N N (4.10)

'l = b.tgM = b.M (4.11)

với M: góc

( )i

GI
- Vẽ

¦

z l i

biểu đồ Mz (hình 4.19)

Hình 4.16

ậy: 0 2 ) 0 4

( 2

U U

M M Nba Nb a M Nba

GI GI GI (4.12)

hay a

T (4.12) vào (4.11), t
có:

0 4

.
.

M Nb

N l
b

EA GI a

(4.13)

Từ (4.10) và (4.13):

0
1 2

. U .

l GI ab EA

. .
M a EA

N N N Hình 4.17 Hình 4.18

2
0

' ' 1 2 Na M a

. P .

l l

EA l GI ab EA

Hình 4.19

A B

a
a

M 2Nb

M0-2Nb

2Nb

a b

H B

L
(G,d)

D
(EA)

B
H

C
M0

N1 C

b b

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

ệm

là đường cong phẳng o thanh chịu
ốn p

n góc
với t

Hình 5.1

thuộc mặt phẳng đối xứng (là mặt phẳng chứa trục quán tính
tính chính trung tâm)

(là mặt phẳng chứa các tải trọng) và mặt phẳng biến
hợp uốn phẳng.

g hợp:

.2.1

dầm mà t
m trong mặt phẳng quán tính ch

5.2.2

uốn thuần tuý như hình 5.2.

óc trục dầm, tạo nên những ơ
hữ n

Chương 5. UỐN NGANG PHẲNG NHỮN
5.1. Khái ni

G THANH THẲNG

Thanh chịu uốn: là thanh có trục bị uốn cong
dưới tác dụng của ngoại lực.

Trục thanh

u hẳng.

Ngoại lực: lực tập trung hay phân bố vuô g
rục thanh, hoặc mômen nằm trong mặt phẳng
chứa trục thanh.

Ở đây, ta chỉ xét những thanh (hình 5.1) có:
+ Mặt cắt ngang có trục đối xứng (trục y)
+ Tải trọng tác dụng

chính trung tâm o mặt phẳng quán
Nếu mặt phẳng tải trọng
dạng trùng nhau thì ta trường

Xét hai trườn

+ Dầm uốn thuần tuý phẳng.
+ Dầm uốn ngang phẳng.

5.2. Uốn thuần tuý phẳng 
5 . Khái niệm

Dầm chịu uốn thuần túy phẳng là rên mọi mặt cắt ngang chỉ có thành

ính trung tâm (mặt phẳng yOz).

phần nội lực Mx nằ

. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Xét dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật
(bxh), chịu

Thí nghiệm:

- Vạch lên mặt ngoài dầm những đường
thẳng // và vuông g

c hật.

- Sau biến dạng, ta thấy:

+ Đường thẳng song song trục dầm trở
thành đường cong.

+ Đường thẳng A trục dầm vẫn thẳng và A trục dầm. Hình 5.2
Từ đó đưa ra hai giả thuyết:

2
1

1 2

2 b

y
x
P

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

V à H ật Huc)

như hình 5.3 , các thớ trên
ủa d

ng hoà tạo thànhlớp trung hoà.

(biến dạng
đường

dz cắt ra khỏi thanh

à 2- hi biến dạng, ta có:

a) Giả thuyết về mặt cắt ngang: trước và sau khi biến d

luôn phẳng và vng góc với trục dầm.

b) Giả thuyết về các thớ dọc: trong quá trình biến dạ

ạng, mặt cắt ngang dầm

g, các thớ dọc của dầm
không ép lên nhau và không đẩy xa nhau.

- Vật liệu dầm làm việc trong giới hạn đàn hồi ( v tuân theo định lu

- Nhận xét: với dầm chịu uốn

c ầm co lại, các thớ dưới dãn ra. Từ thớ co sang thớ dã

sẽ có thớ không co, không dãn và được gọi là thớ trung hoà.
+ Tập hợp các thớ tru

Hỡnh 5.3

đuờng
trung hoà

+ Giao ca lp trung ho và mặt cắt ngang

là đường trung hoà (ĐTH).

1 2

Bỏ qua các biến dạng của mặt cắt ngang
nhỏ), coi như mặt cắt ngang không thay đổi. Vậy
trung hoà là đường thẳng.

- Xét đoạn thanh bởi mặt cắt 1-1

v 2 (hình 5.4). Sau k

+ Theo tính chất thớ trung hồ: dz = U.dM
+ Thớ ab cách thớ trung hoà một đoạn là y:

abt = dz ; abs = (U + y)dM Hình 5. 4

Theo định nghĩa: H

s t
z

ab ab y

ab (5. 1)

- Xét điểm C bất kì nào đó của dầm.Tách tại C một phân

h hộp bằng các mặt phẳ ới các trục toạ độ).

trên mặt cắt ngang tố

ình ng song song v

(b): trên các mặt // trục z khơng có ứng suất pháp (Vx = Vy = 0)

+ Theo giả thuyết (a): góc của phân tố sau biến dạng khơng thay đổi o trên các
mặt phân tố khơng có ứng suất tiếp, chỉ tồn tại Vz.

+ Theo giả thuyết

Theo định luật Huc: V H .

z z

E (5.2)

eo định nghĩa:

( ) ( )

0 0

U U

³

z z z x

A A

E E

N dA N ydA S

Sx = 0 x là trục trung tâm

Vì y là trụ tr m của mặt cắt

ngan

c đối xứng nên xOy là hệ quán tính chính ung tâ
g.

( ) ( )

³

x z

A A

M ydA

U U x

E E

y dA I

M : độ cong của trục quán tính chính trung tâm (5.x

U EIx 3)

EIx - độ cứng của dầm khi chịu uốn

a b

thí trung hoµ

1 2

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Từ (5.2) và (5.3) V x
z

M
y
I

* Luật phân bố của Vz trên mặt cắt ngang c

sẽ
bằng nhau và tỉ lệ với d (d: khoảng cách đế

- Những điểm nằm xa đường nhất có Vmax,

min

ng p i l

ủa dầm (hình 5.5):

với trục x (có cùng tung độ y)
n đường trung hồ).

- Phân bố bậc nhất đối với y.

- Những điểm nằm trên đường thẳng song song
có Vz

- Điểm nằm trên ĐTH (trên trục x) có
Vz = 0

+ Nếu trục x khô hả à trục đối xứng:

V x k

max max

M
y

I ; V min .

x n
max
x

M
y
I
là trục đối xứng
+ Nếu trục x cũng

(hình 5.6): y = n

max

y =

k
max

h Hình 5.5

min

V V x

max

với Wx = 2Ix

h : mômen chống uốn của mặt cắt

gan

Hình 5.6

đối với vật liệu dẻo

Vật liệu dẻo có:

n g

5.2.3. Điều kiện bền 
.2.3

5 .1.Điều kiện bền

> @ > @ > @

V V Vk n

Điều kiện bền: maxV d V

> @

5.2.3.2.Điều kiện bền đối với vật liệu giòn

Vật liệu dịn có:

> @ > @

V z V k n

Điều kiện bền

> @

min

V d V

°¯ n

V d V

° max k

5.2.4. Hình dáng hợp lí của mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang hợp lí nếu đảm bảo điều kiện (khả ăng chịu là lớn nhất),

tiết kiệm vật liệu.

5.2.4.1. Yêu cầu về bền: ứng suất trong dầm đạt tới ứng suất cho phép.

bền n lực

O x

y
b

M

x

Vn

O x

y
x
M

Vk
n

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

> @

V Mx k V °½

> @

min .

V
°

¾ V

°
V

ax k
n

max

x n y

M (5.4)

V ° n

max n

y
I

(5.4): đối với vật liệu dẻo:

max max k k

x m

I y

Từ

> @ > @

V V k n

max max

k n y y trục x đối xứng.

(5.4)

5.2.4.2. Yêu cầu tiết kiệm vật liệu

àm việc gần hết khả
năng;

gầ ờng trung hồ làm việc ít

iệ ở xa đường trung hồ. 5.7

.3.1

ịu uốn ngang phẳng như hì

và

ong
hì

có nh ặt

bị biến dạng góc,
ứng suất tiếp.
+ Thớ dọc: một số thớ co lại, một số

đối với vật liệu dòn: trục x chia chiều cao mặt cắt theo tỉ số ở

Từ biểu đồ Vz (hình 5.5), ta thấy:

- Vật liệu ở vùng có Vmax, Vmin l

- Vật liệu càng ở n đư

hơn.

Vậy nên bố trí vật l u Hình

+Với vật liệu dẻo: trục x đối xứng mặt cắt

hợp lí là những mặt cắt như hình 5.7

+ Với vật liệu dòn: mặt cắt hợp lí là những

mặt cắt như hình 5.8

Hình 5.8 
5.3. Uốn ngang phẳng

5 . Định nghĩa: dầm chịu uốn ngang phẳng là dầm mà trên mặt cắt ngang có các

thành phần nội lực Mx, Qy nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm yOz.

5.3.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Xét dầm ch nh 5.9.

mặt ngoài dầm những đường thẳng //
ật (thớ dọc và các mặt cắt ngang)

dầm (thớ dọc) bị cong nhưng vẫn s
nhau cũng không tách xa nhau (thực tế t
chỉ đúng khi h <<b). Vậy ứng suất trên m
- Trước khi dầm chịu lực: vạch lên

vng góc trục dầm, tạo nên những ơ chữ nh
- Sau biến dạng, ta thấy:

+ Những đường thẳng song song trục
song với trục dầm, các thớ dọc khơng ép lên
ưng vì sự thay đổi ấy nhỏ nên bỏ qua,
cắt dọc: Vy = 0.

+ Những đường thẳng A trục dầm

khơng cịn thẳng và khơng cịn A trục

dầm. Mặt cắt ngang khơng cịn phẳng mà

bị vênh. Mặt cắt ngang

vì vậy trên mặt cắt ngang có

thớ dãn ra nên trên mặt cắt ngang có Vz.

l
P/2

P/2 Qy

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Theo lí thuyết đàn hồi: tách ra một phân tố tại điểm D (x,y) bất kì thuộc mặt cắt
ngang thì trên các mặt phân tố có Vz , Wzy

Hình 5.9

5.3.2.1. Ứng suất pháp Vz

V x

z
x

y
I

uốn thuầ cắt ngang phẳng:

-Trong n t phẳng, mặt (5.5)

hơng cịn phẳng nên công thức (5.5)

đúng nữa. Tuy nhiên, trong LTĐH, c ng

inh ầm chịu uốn ngang phẳ để

nh V

- Trong uốn ngang phẳng, mặt cắt ngang k

khơng cịn ơng thức tính Vz rất phức tạp và chứ

ng, vẫn dùng được công thức (5.5)
như mặt cắt ngang là phẳng).

m được rằng, đối với d

tí z mà sai số khơng lớn lắm (h nhỏ nên xem

Vậy: V x

z
x

M
y
I

5.3.2.2. Ứng suất tiếp W

phẳng

mặt c m

D thuộc mặt cắt ngang

1-1. Qua kẻ đường thẳng // Ox, cắt các biên

, B; cắt C.

zy - Công thức 
Jurapski

a) Phương củaWzy :

Xét đoạn dầm uốn ngang dầm có

ắt ngang như hình 5.10 (b << h o ặt
cắt ngang hẹp) chịu uốn ngang phẳng.

Xét điểm (x,y)
D,

của mặt cắt tại A Oy tại

Ứng suất tiếp tại B :W W WG GB GB

B zy zx Hình 5.10

ứ

Theo định luật đối ng, mặt bên có WGB

xz. Mặt khác, do mặt bên dầ

tác dụng (N

m khơng có lực

z = 0; Mz = 0) nên W W Bxz Bzx 0

Vậy: W WG GB
B zy

Tương tự: W WG GA
A zy

ứng nên ta có:

Do tính chất đối x W WA B

Giả sử tại C: nếu W có chiều bất kì thì C do tính chất đối xứng,
y:

tồn tại hai thành phần WC(hình 5.11)o vơ lí. Vậ W WC

C zy Hình 5.11

p) nên ứng suất tiếp của các điểm trên
Do AB nhỏ (giả thuyết mặt

AB đi qua D chỉ có phương y và có trị số bằng C B A

b) Trị số củaW :

cắt ngang hẹ

nhau (phân bố đều):

ài dz bằng 2
ặt c

- Mặt phẳng // Oz đi qua điểm D, chia

oạn phần (hình 2)

Đặt BC = bC : chiều rộng của mặt cắt

W W W

zy

- Cắt đoạn dầm có chiều d

m ắt 1-1 và 2-2.

đ dz thành 2 5.1

W WC

C B

C
B

W

Vz(1)

(2)
z

K dz

D
D

(2-2)

(1-1)

A B

B
B

W

zx

W

zy

W

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

ngang qua diểm cần tính ứng suất D.

0
Đặt diện tích ABEF là A
PTCB của đoạn dz :

Hình 5.12

¦

Z V

³

(1)

³

2) W

C C

z z

A A

dA V( dA yz. .b dzC 0 (5.6)

Mặt khác: V (1) x

z
x

M
y

I ;

(2)

V z

I
hay (5.7) vào (5.6):

x x

M dM

y (5.7)

. . 0

³

C C

x x x

yz C

A A

x x

M M dM

ydA ydA b dz

I I

. .

³

C
x
yz C
A
x

ydA b dz

1
.

W dMx

³

ydA (5.8)

. C

A
C x

dz b I Hình 5.13

Ta có:

°
®
°
¯

³

y
C :
x
A
ydA S
dM
Q

dz thay vào (5.8) .

.
W W

C
y x
yz zy

x C

Q S

I b (5.9)

Công thức (5.9) gọi là công thức Jurapski.

c) Ch a Wzy: cùng chiều với Qy.

d) Luật phân bố ứng suất tiếp Wzy của một số mặt c

Mặt cắt hình chữ nhật (hình 5.14)

b = b ; AC =

iu c
t: 
*
C .
2
Đ Ã
ă á
â ạ
h
b y

yC = 1. 1

2 2 2 2

§ Ã Đ Ã

ă á ă á

â ạ â ạ

y h y h y

2
2
. .

2 4
Đ Ã
ă á
â ạ
C

x C C

b h

S y A y

Vy:

2
2

.
4

W ă á

â ạ
y
zy
x
y
2
§ ·
Q h

I
trung hồ):

- Tại y = 0 (các điểm thuộc đường Hình 5.14

2 2

. . 3

W W Q hy Q hy Qy

8 8. 2

zy max

x bh

I A

- ại

y (tại các

Để đơn giản hoá: xem mặt cắt gồm 3 hình chữ nhật
ghép lại.

biên): Wzy = 0

* Mặt cắt hình chữ I (hình 5.15):

1 2

Mx M +dMx x

d
y
h
b
t
D
K
y
x

x Wmax

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

+ Phần lịng là hình chữ nhật chiều rộng d, chiều cao (h - 2d):

2
( )

2

ă

â x

I d + Phn : hỡnh ch nht

cú chiu rng
Đ

Q Ã

W á

ạ

l
zy

với Sx tra bảng.

b, chiều cao t. Hình 5.15

( ) . .

2 2 2

§ ·

W d y ă á y

Q h t Q x

tx h t

I tx â ạ Ix

nh)

Thực tế thấy:

+ Ứng suất của phần giao giữa lịng và đế khơng xét đến vì phức tạp và có trị số

( )

W !!l d

zy zy nên ta chỉ xét sự phân bố ứng suất tiếp Wzy ở phần lòng

- Tại y = 0 (các điểm thuộc đường trung hoà):
của mặt cắt.

( )

W Wl y x

zy max
x

I d
Q S

- Tại điểm K (giao giữa phần lòng và phần đế): xét điểm K thuộc phần lòng

.Đ Ã

W ă

â ạ

K x

Q
S

I d 2 ¸

K
x

với

y t

- Tại

2 C

y (tại các biên): do A = 0 C 0

Sx Wzy = 0

2 2

.
3

* Mặt cắt hình trịn (hình 5. 16):W K

y
x

R y

- Tại y = 0:

2 4

3 3

W W y y

zy max

I A

- Tại r

Q R Q

y R : Wzy = 0
.3.3

Hình 5.16

g phẳng

5.17
ì : VK ≠ 0 ; WK ≠ 0 phân tố t

Vậy phải kiểm tra bền cho cả 3 trạng thái ứng suất.

) Ki hân tố trạn i ứng suất đơn:

- Mặt cắt kiểm tra: có

5 . Kiểm tra bền cho dầm chịu uốn ngan

Xét đoạn dầm chịu uốn ngang
phẳng (hình 5.17). Trên mặt cắt ngang có
3 loại trạng thái ứng suất

- Phân tố C (C’)( các phân tố ở
biên): chỉ có V (Vz max, min) ; W = 0 phân
tố trạng thái ứng suất đơn.

- Phân tố B (nằm trên đường trun

hoà Ox): Vz =0 ; W = Wmax phân tố trạng thái trượt thuần tuý. Hình

- Phân tố K bất k rạng thái ứng suất phẳng.

a ểm tra bền cho p g thá

x max

- Điểm kiểm tra: các điểm ở biên

M (xem trên biểu đồ Mx)

- Công thức kiểm tra:

D
O
R

Wmax

Mx Qy
C

C'
K

V

min

min

max

V

max

W

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

+ Vật liệu dẻo:

> @ > @ > @

V V V n k max V d V

> @

V d
°

® max

+ Vật liệu dòn:

min n

b) Kiểm tra bền cho phân tố trượt thuần tuý:

V d V

°¯

- Mặt cắt kiểm tra: có

max

- Điểm kiểm tra: các điểm trên đường trung hoà.

Q (xem trên biểu đồ Qy)

- Công thức kiểm tra:

> @

/ 2
V
°

W d W ®max

/ 3
V
°¯

) Ki biệt)

- Mặt cắt kiểm tra: có

c ểm tra bền cho phân tố phẳng đặc biệt: (chọn phân tố đặc

Q và M cùng lớn (mặt cắt D) x

- Điểm kiểm tra: chọn điểm có Vz và Wzy cùng lớn (điểm K)

- Công thức kiểm tra:

o thuyết bền g suất tiếp lớ nhất (thuyết bền thứ 3):

+ The ứn n

> @

2 4 2

V V t K W d VK

n thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất:
+ Theo thuyết bề

> @

2 3 2

V V W d Vt K K

tương đương.
trong đó: Vt - ứng suất tính tốn, ứng suất

V D

K K

M
y

I ;

,
,

x bc K

(A).
ng cho phép (P)

ta xác định A hoặc P sơ bộ theo (a), sau đó kiểm t
.

C
D x
K

Q S

á trị tải trọ

n không phức tạp, ra

cho (

chấp nhận được).

í dụ 5.1: Kiểm tra ền cho

ầm ịu l biết

=

* Các bài toán cơ bản:

+ Kiểm tra bền

+ Chọn kích thước mặt cắt ngang

+ Xác định gi

Để bài tố

b, c) (nếu sai số < r 5% thì

V b

d ch ực như hình 5.18,

D
C

>

V

@

16 kN/cm .

Lời giải:

- Vẽ biểu đồ nội lực
56

y max

Q kN ;

x max

M kNm

= 50.102 kNcm
- Tính đặc trưng hình học:

48
32

56
1,5

0,5
24

M
1m

q=16kN/m

1m 2m

P=16kN

M=16kNm

A B

VA VB

P=16kN

32
kNm

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Xác định trọng tâm O của mặt cắt trong hệ toạ độ x1O1y1:

;
0

O
i

x 1 0 4.( 8.6) 1( )

20.12 8.6

y cm Hình 5.18

)

(1) (2) ( 2. )

Ix1 y A1 1 (Ix2 y A 22. 2

x x x

I I I

> @

3 3

1 1

.20 .12 1 .20.12 .8 .6 5 .8.6

12 12

§ · § Ã

ă á ă á 6784( 4)

â ạ â ¹ cm

= 9.12.4,5 = 486 (cm3)

ất đơn:

(1/2)
x

- Kiểm tra bền

+ Kiểm tra bền cho phân tố trạng thái ứng su n 11 ! k 9

max max

y cm y cm

> @

2) V 16( / 2)

m kN cm

2
min

50.10

.11 8, /

6784

V V xmax n

max
x

max y kN c

+ Kiểm tra bền cho phân tố trượt thuần tuý:
1(

. 56.486

0,33( / )

W y max x

max

Q S
kN cm
. 6784.12
x C
I b

> @ > @

8( / 2)

max

W W kN cm

+ Kiểm tra bền cho phân tố phẳng đặc biệt:
ặt cắt tại D có:

- Mặt cắt kiểm tra: m

40 ; 48 48.10

D D

Q kN M kNm kNcm

- Điểm kiểm tra: điểm K thuộc phần dưới (hình 5.19) Hình 5.19

bC = 3 + 3 = 6 cm ; , 3

2.12. 9 240( )

2
Đ Ã
ă á
â ¹
C
x K

S cm ; yK = 8+1 = 9 (cm)

48.10

.9 6,37( / )

6784

V D

K K

y kN cm

, 40.240 0,24( /

. 6784.6

W D x K

K kN
I b
2
.
)
C
Q S
cm
x C

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (thuyết bền thứ 3):

> @

2 4W 2 6,3724.0, 242 6,38( / 2) V

K kN cm

u cầu về bền.

í dụ 5.2: Xác địn ích thước mặt c chịu lực như hình 5.20, biết

= 16 kN/cm2.

-Vẽ biểu đồ nội lực:

V V t K

Vậy: dầm đảm bảo yê

V h k ắt ngang cho dầm

> @

V

Lời giải:

y max

Q kN ; Mx max 60kNm = 60.102 kNcm

- Tính đặc trưng hình học

K
y
y

O
8
3
6
2
3
x
O
2
2
x

y y1 y2

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

(1) (2)

3 3

4 4

1 1

(8 ) .3 2. (6 ) .

12 12

92 ( )

x x x

I I I

b b b

b cm

b

3 3

23 ( )

/ 2 4

x
x

I b

W b cm

P2=12kN

MX
kNm
22,78
22
44
29
27
kN
QY

VD=105

VA=27

M1=8kNm

P1=24kN

2m
2m
q=16kN/m
2m
5

1,6875 0,3125
12
60
50

C D M2=4kNm

h b

(1) (2)

3 3

=(4 .3 ).2 2.( .3 ).1,5

15 ( )

x x x

S S S

b b b b b b

b cm

- Xác định sơ bộ kích thước mặt
cắt ngang theo điều kiện bền cho phân
tố trạng thái ứng suất đơn:

> @

2
3
60.10
16 2,54
23

V x max d V t

max b cm

W b Hinh 5.20

- Kiểm tra bền cho hai phân tố còn lại
+ Kiểm tra bền cho phân tố trượt thuần tuý:

> @ > @

2 2

. 61.15.2,54

0,15( / ) 8( / )

. 92.2,54 .2,54 2

W y max x W

max

x C

Q S

kN cm kN cm

I b

+ Kiểm tra bền cho phân tố phẳng đặc biệt:
Mặt cắt kiểm tra: mặt cắt tại D có

61 ; 60 60.10

D D

Q kN M kNm kNcm .

Điểm kiểm tra: điểm K thuộc như hình 5.21
yK = 3b; bC = b = 2,54 cm

3 3

, .3 . 3 10,5 172,1( )

2
Đ Ã
ă á
â ạ
C
x K
b

S b b b b cm

2 2

4 3

60.10 60.10 .3

.3 11,94( / )

92 92.2,54

V D

K K

y b kN

I b
O
y
x
b
b
b b
6b
b K

cm Hinh 5.21

, 2

4 2

. 61.10,5. 61.10,5

1,08( / )

. 92 . 92.2,54

C
D x K
K

x C

Q S b

kN cm

I b b b

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất :

> @

2 4 2 11,942 4.1,082 12,13( / 2)

V V W t K K kN cm V

Vậy, với b = 2,54 cm, dầm đảm bảo yêu cầu về bền.

Ví dụ 5.3: Cho dầm chịu lực như hình 5.22. Xác định giá trị tải trọng cho phép tác
dụng lên dầm, biết

>

@

= 16 kN/cm2, dầm có mặt cắt ngang là IN020.

Lời giải:

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Qy max 3,5 (qa kN )

6 (

x max

M qa kN )m

=6qa2.102 (kNcm)
- Đặc trưng hình học của mặt
cắt ngang (tra bảng):

h = 20 cm; b = 10 cm
d = 0,52 cm; t = 0,82 cm
Ix = 1810 cm4 ; Wx = 181 cm3

Sx = 102 cm3

- Xác định sơ bộ tải trọng cho
phép theo điều kiện bền cho phân tố

trạng thái ứng suất đơn:

> @

2 2 2 2

6 .10 6 .2 .10

181 181

V x max d V

M qa q

max

W Hình 5. 22

6qa2

3qa

3qa2

qa /8
a
q

a=2m M=qa a
A

7qa/2

kNm
MX

P=qa

qa/2
B

5qa/2 3qa/2

qa/2

1, 2( / )

dq kN m

Chọn q =1,2 kN/m, kiểm tra bền cho hai phân tố còn lại
- Kiểm tra bền cho phân tố trượt thuần tuý:

> @ > @

. 3,5 . 3,5.2.1,2.102

0,91( / )

. . 1810.0,52

8( / )

2
W

V
W W

y max x x

max

x C x C

max

Q S qa S

kN cm

I b I b

kN cm

- Kiểm tra bền cho phân tố phẳng đặc biệt:
+ Mặt cắt kiểm tra là mặt cắt tại A có

2 2 2

3,5 ( ); 6 ( ) 6 .10 ( )

A A

Q qa kN M qa kNm qa kNcm .

+ Điểm kiểm tra là điểm K (thuộc phần lòng)

bC = d = 0,52 cm ; yK = h/2 - t = 10 - 0,82 = 9,18(cm)

2 2

9,18

102 0,52. 80,1( )

2 2

C K

x K x

S S d cm

2 2

6.1,2.2 .10

.9,18 14,6( / )

1810

V A

K K

y k

I N cm

, 2

. 3,5.1,2.2.80,1

0,71( / )

. 1810.0,52

W D Cx K

x C

Q S

kN cm
I b

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất :

> @

2 4 2 14,62 4.0,712 14,66( / 2)

V V W t K K kN cm V

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Phan Văn Cúc - Vũ Bá Mai, Cơ học cơ sở 1, NXB Xây dựng 2005 
2. Lê Ngọc Hồng, Sức bền vật liệu, NXB KH&KT 2006

3. Vũ Đình Lai, Sức bền vật liệu, NXB Giao thông vận tải 2009

4. Nguyễn Văn Liên - Đinh Trọng Bằng - Nguyễn Phương Thành, Sức bền vật liệu, 
NXB Xây dựng 2003

</div>

Bài giảng Sức bền vật liệu 1

Ư

Ư

Ư

Ư

Ư

Ư

Ư

Ư

Ư

^ `

^ `

<sub>³</sub>

³

<sub>³</sub>

<sub>³</sub>

³

³

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

<sub>³</sub>

<sub>³</sub>

<sub>³</sub>

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

> @

> @

> @

> @

> @

¦

¦

¦