– tài liệu chuyên đề toán hoi thao khoa hoc cac chuyen de toan bdhg tai khanh hoa cac chuyen de bdhsg ha noi 2012 ky yeu mon toan olp duyen hai bac bo2011 bai tap luyen thi olp 304 lop 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (192.23 KB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ba đờng cônic

Lý thuyết

I.ElÝp

1)Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hằng số a>c.

ElÝp (E) lµ tËp hợp các điểm M thỏa mÃn MF1+MF2= 2a.

(E) = { M: MF1+MF2= 2a}

Ta gäi : F1, F2 là tiêu điểm của (E).

Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E).

2)Phơng trình chính tắc của elip:

(E): 2 1
2
2
2




b
y
a
x

( với b2 = a2- c2 )

3)Hình dạng và tính chất của (E):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)

Tiêu điểm phải F2( c; 0)

*Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0); B1(0; - b); B2(0; b)

*Trơc lín : A1A2= 2a, n»m trªn trơc Ox

Trơc nhá :B1B2= 2b, nằm trên trục Oy

*Tâm sai : e =

a
c

*Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:

Bán kính qua tiêu điểm tr¸i: MF1= a + e.xM= a+

a
c

B¸n kính qua tiêu điểm phải: MF2= a - e.xM= a-

a
c

*Đờng chuẩn: x =

e
a

*Phơng trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x= a; y = b ( Độ dài hai cạnh

là 2a và 2b)

*Trục đối xứng: Ox; Oy
Tâm đối xứng: O

4)TiÕp tuyÕn cña elip

Định nghĩa: Cho elip (E) và đờng thẳng (d) .Đờng thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của

(E) nÕu (d) cã mét ®iĨm chung duy nhÊt với (H)

Định lý :Cho elip (E) có phơng trình chính t¾c:

(E): 2 1
2

2
2

b
y
a

x với b2 = a2- c2

Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( víi A2+B2  0) lµ tiÕp tun cđa (E) khi vµ chØ

khi : A2a2+B2b2=C2

( gọi là điều kiện tiếp xúc)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm duy
nhÊt



















0

1

2
2
2
2

C

By

Ax

b

y

a

x

0

1

2
2

C

b

y

Bb

a

x

Aa

b

y

a

x

(I)
Đặt X=
a
x
, Y=
b
y

ta cã hÖ:

   















0

1 C

Y

Bb

X

Aa

Y

X

(II)

HÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt khi hÖ (II) cã nghiÖm duy nhÊt

 Đờng thẳng (d’): AaX+BbY+C=0 tiếp xúc với đờng tròn (C ): X2+Y2=1


Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đờng thẳng (d’) bằng bán kính R = 1


1
2
2
2
2 

B b
a

A
C



A2a2+B2b2=C2

Hệ quả: Cho elip (E) có phơng trình chính tắc:

(E): 2 1
2
2
2


b
y
a
x

víi b2 = a2- c2

NÕu ®iĨm M(xM; yM) thuộc (E) thì tiếp tuyến của (E) tại M có phơng trình là (d):
1

.
.

2 b

y

y
a

x

x M M

Chứng minh

Do M thc (E) nªn cã : 1

2
2
2
2


b
y
a

xM M

HiĨn nhiªn M thuéc (d)
Ta cã (d): . 2  . 2 1

b
y
y
a

x

x M M

 . 2  . 2  10

b
y
y
a

x

x M M

Theo điều kiện của định lý có :
2

2
2
2

2 b b

y
a
a

xM M













 =
1
2
2
2
2


b
y
a

xM M

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

II.Hypebol

1.Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hng s

a<c.Hypebol (H) là tập hợp các điểm M tháa m·n MF1-MF2 = 2a.

(H) = { M:  MF1-MF2 = 2a}

Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E).

Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E).

2.Phơng trình chính t¾c cđa hypebol:

(H): 2 1
2

2
2




b
y
a
x

( víi b2 = c2- a2 )

3.Hình dạng và tính chất của (H):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)

Tiêu ®iĨm ph¶i F2( c; 0)

*Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0)

*Trôc thùc: A1A2= 2a, nằm trên trục Ox

Trục ảo: B1B2= 2b, nằm trên trục Oy

*Tâm sai : e =

a
c

*Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:

Bán kính qua tiêu điểm trái: MF1= a + e.xM = a+

a
c

xM

B¸n kÝnh qua tiêu điểm phải: MF2= a - e.xM = a-

a

c

xM

*§êng chuẩn: x =

e
a

*Phơng trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x= a; y = b ( Độ dài hai
cạnh lµ 2a vµ 2b)

*Phơng trình các đờng tiệm cận: y =

a
b

 x

* Trục đối xứng: Ox; Oy
Tâm đối xứng: O

4.TiÕp tuyÕn cña hypebol

Định nghĩa:Cho hypebol (H) và đờng thẳng (d) .Đờng thẳng (d) gọi là tiếp tuyến

của (H) nếu (d) không song song với các đờng tiệm cận của (H) v (d) cú mt im
chung duy nht vi (H)

Định lý :Cho hypebol (H) có phơng trình chính tắc:

(H): 2 1
2
2
2




b
y
a

x với b2 = c2- a2

Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( víi A2+B2  0) lµ tiÕp tun cđa (H) khi vµ chØ

khi :

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

( gọi là điều kiện tiÕp xóc)

Chøng minh:

Hai đờng tiệm cận của (H) có phơng trình là:
y= x

a
b

  bxay= 0

Điều kiện để (d) không song song với hai đờng tiệm cận là:

b
B
a
A


  A2b2- B2b2 0

§êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (H) khi A2b2- B2b2 0 (*)và hệ phơng trình sau có

nghiệm duy nhÊt:

(I)



















0

1

2
2
2
2

C

By

Ax

b

y

a

x











































0

1

2
2

C

By

Ax

b

y

a

x

0

1

2
2

x

C

x

By

A

bx

ay

x

a

0

1

2
2

A

bx

ay

a

Bb

x

a

C

bx

ay

x

a

Đặt X=
x
a
, Y=
bx
ay

ta cã hÖ:

   

 



















0

1

2
2

A

Y

a

Bb

X

a

C

Y

X

(II)

HÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt khi hÖ (II) cã nghiệm duy nhất
Đờng thẳng (d):

a
C

X+

a
Bb

Y+A=0 tip xỳc với đờng tròn (C ): X2+Y2=1


Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đờng thẳng (d’) bằng bán kính R = 1


1
2
2
2
2
2 

a
b
B
a
C
A


A2a2-B2b2=C2

Kết hợp với điều kiện (*) thì (d) lµ tiÕp tun cđa(H) khi vµ chØ khi
A2a2-B2b2=C20

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

(H): 2 1
2
2
2




b
y
a

x víi b2 = a2- c2

Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (H) thì tiếp tuyến của (H) tại M có phơng trình là (d):
1

.
.

2  b 

y
y
a

x

x M M

Chøng minh

Do M thuéc (H) nªn cã : 1

2
2
2




b
y
a

xM M

HiĨn nhiªn M thc (d)
Ta cã (d): . 2  . 2 1

b
y
y
a

x

x M M

 . 2  . 2 10

b
y
y
a

x

x M M

Theo điều kiện của định lý có :
2

2
2
2

2 b b

y
a
a

xM M














 =

2
2
2




b
y

a

xM M

VËy (d) là tiếp tuyến của (H) tại M

III. Parabol

1. nh ngha:Cho điểm cố định F và đờng thẳng cố định không đi qua F.Parabol

(P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đờng thẳng .
(P) = { M: MF= d(M; )}

Ta gäi : F lµ tiêu điểm của (P).

Đờng thẳng  là đờng chuẩn của 
p= d(F; ) là tham số tiờu

2.Phơng trình chính tắc của parabol:

(P): y2= 2px

3.Hình dạng và tính chất của (E):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm F(

p

; 0)
*Phng trỡnh ng chun : x = - 2p
*nh : O(0; 0)

*Bán kính qua tiêu ®iĨm cđa ®iĨm M(xM; yM) thc (P) lµ:

MF = d(M; ) = xM+
2

p

*Trục đối xứng: Ox

4.TiÕp tuyÕn cña parabol

Định nghĩa: Cho parabol (p) và đờng thẳng (d) .Đờng thẳng (d) gọi là tiếp tuyến

của (P) nếu (d) không song song với trục đối xứng của (P) và (d) có một điểm
chung duy nhất với (P)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

(P): y2= 2px

Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( víi A2+B2  0) lµ tiÕp tun cđa (P) khi vµ chØ

khi :

pB2=2AC

( gọi là điều kiện tiếp xúc)

Chứng minh:

Ta thấy trục 0x cắt (P) tại một điểm nhng không là tiếp tuyến của (P)
Để (d) không song song víi trơc 0x th× A 0

Khi đó (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất

(I)













0

2 C

By

Ax

px

y





































A

C

By

x

A

C

By

p

y

2 (

)1

( Do A 0)

HÖ (I) cã nghiệm duy nhất khi phơng trình (1) có nghiệm duy nhÊt
 y2 +2p

A
B

y + 2p

A
C

= 0 cã nghiÖm duy nhÊt



’=

A
pC
A

B

p 2








 =0



pB2=2AC ( tháa m·n A0) (®pcm)

HƯ quả: Cho parabol (P) có phơng trình chính tắc:

(P): y2= 2px

NÕu ®iĨm M(xM; yM) thuộc (P) thì tiếp tuyến của (P) tại M có phơng trình là (d):

y.yM= p(x+xM)

Chøng minh

Vì M thuộc (P) nên

IV.Ba ng cụnic

1.nh ngha:Cho im F cố định , một đờng thẳng  cố định khơng đi qua F và

mét sè d¬ng e. Cônic (C) là tập hợp các điểm M sao cho d(MFM;) e.
(C)=










 e

M
d

MF
M

)
;
(
:

Ta gọi: F là tiêu điểm

 là đờng chuẩn
e là tâm sai

2.Nhận xét

*Cho elip (E) có phơng trình chính tắc:
(E): 2 1

2
2




b
y
a
x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Tâm sai e=

a
c

<1
Đờng chuẩn: 1: x = -

e

a

ứng với tiêu điểm trái F1(- c; 0)

2: x =

e
a

ứng với tiêu điểm phải F2( c; 0)

Với mọi ®iĨm M thc (E) th×:

)
;

( 1

1

M
d

MF

)
;

( 2

2

M
d

MF

= e
Vậy đờng (E) là đờng cônic với e< 1.

*Cho hypebol (H) có phơng trình chính tắc:
(H): 2 1

2
2
2




b
y
a

x víi b2 = c2- a2

Tâm sai e=

a
c

>1
Đờng chuẩn: 1: x = -

e
a

ứng với tiêu điểm trái F1(- c; 0)

2: x =

e
a

ứng với tiêu điểm phải F2( c; 0)

Với mọi điểm M thuéc (H) th×:

)
;

( 1

1

M
d

MF

)
;

( 2

2

M
d

MF

= e
Vậy đờng (H) là đờng cônic với e> 1.

*Cho parabol (P): y2= 2px

Tiêu điểm F(

p

; 0)

Phng trỡnh ng chun : x =

-2

p

Với mọi điểm M thuộc (P) thì: d(MMF; )= 1
Vậy đờng (P) là đờng cơnic với e=1.

Mét sè d¹ng bµi tËp

Dạng 1. Xác định các yếu tố của (E),(H),(P) khi biết phơng trình chính tắc 
của chúng.

Phơng pháp: Sử dụng các công thức xác định các yếu tố của (E),(H),(P).

Ví dụ 1. Cho elip (E) có phơng trình 1
1
4

2
2


 y

x

Tìm tiêu điểm , tâm sai, đờng chuẩn của (E)
Giải

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

VËy a = 2, b = 1, c = 3

Khi đó : Tiêu điểm của (E) là F1(- 3; 0), F2( 3; 0)

Tâm sai của (E) là e=

2
3

a

c

§êng chn cđa (E) lµ x=

3
4


VÝ dơ 2. Cho hypebol (H) có phơng trình 1
5
4

2
2

y

x

Tỡm tiêu điểm , tâm sai, các đờng tiệm cận của (H)
Gii

Từ phơng trình chính tắc của (H) a2= 4, b2=5c2=a2+b2=9.

VËy a = 2, b = 5, c = 3

Khi đó : Tiêu điểm của (H) là F1(-3; 0), F2(3; 0)

T©m sai cđa (H) lµ e=

2
3


a
c

Đờng tiệm cận của (H) là y=

2
5

 x

VÝ dơ 3. Cho parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y2= 4x

Tìm tiêu điểm và đờng chuẩn của (P).

Giải

Tõ phơng trình của (P)2p= 4p = 2
Ta có : Tiêu ®iĨm cđa (P) lµ F(1; 0)
Đờng chuẩn của (P) là x = - 1

Dạng 2. Lập phơng trình chính tắc của (E),(H),(P).

Phng phỏp :Để lập phơng trình chính tắc của (E)(H)(P) ta cần xác định các hệ số

a, b,p trong các phơng trình đó.

Ví dụ 4.Lập phơng trình chính tắc của elip (E) , biết (E) đi qua điểm M( 5 ; - 2) và
khoảng cách giữa hai đờng chuẩn bằng 10.

Gi¶i

Gäi phơng trình chính tắc của (E) là: 2 1
2
2
2

b
y
a

x víi b2=a2- c2

Phơng trình đờng chuẩn là: x =

e
a



 Khoảng cách giữa hai đờng chuẩn là

c
a
e

a 2 2

 = 10

 a2= 5c

 a4=25 c2 a4=25(a2-b2)

 b2=a2- 
25

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Do (E) ®i qua ®iĨm M( 5; - 2) nªn: 52  42 1

b

a 

1
25
4
5
4
2
2 


a
a
a
5(1-
25
2
a

)+4= a2
-25

a

 a4- 30a2+225 = 0

(a2- 15)2= 0  a2= 15

Thay vµo (*) thì b2= 6

Vậy phơng trình của (E) là: 1
6
15
2
2

 y
x

Ví dụ 5. Viết phơng trình chính tắc của hypebol (H) , biết (H) đi qua M(- 2;1)và 
góc giữa hai đờng tiệm cận bằng 600.

Gi¶i

Gäi phơng trình chính tắc của (H) là: 2 1
2
2
2

b
y
a

x với b2=c2- a2

Vì M (H) nên 42  12 1
b

a (*)

Phơng trình hai đờng tiệm cận là: 1: y =

a
b

x  bx- ay = 0
2: y =

-a
b

x  bx+ ay = 0
Góc giữa hai đờng tiệm cận là:

cos(1;2) =

2
2
2
2
a
b
a
b




 cos600 =

2
2
2
2
a
b
a
b



2
1
=
2
2
2
2
a
b
a
b



 2 b 2 a2 = b2+a2













)
(
)
(
2
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a

b
a
b
a
b
a
b







2
2
2
2
3
3
b
a
a
b

Với b2= 3a2 thay vào (*) đợc a2= 
3
11

; b2= 11

 Pt (H): 11 1

3
11
2
2

 y
x

Với a2=3b2 thay vào (*) đợc a2= 1; b2= 
3
1

 Pt (H): 1

3
1
1
2
2

 y
x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Gi¶i

Ta cã elip (E): 1
9

2
2


y

x cã a2 = 25, b2= 9 c2= a2-b2=16 c = 4.

Tiêu điểm của (E) là F1(-4; 0), F2(4; 0)

Gọi phơng trình chính tắc cđa hypebol (H) lµ: 2 1
2

2
2




b
y
a
x

víi b2= c2- a2.

Vì các tiêu điểm của(H) trùng với các tiêu điểm của (E) nên có c = 4
Do (H) có tâm sai e =

a
c

= 2  c = 2a  a = 2
 b2= c2- a2= 12

Vậy phơng trình của (H) là : 1
12
4

2
2

y

x

Ví dụ 7.Viết phơng trình chính tắc của parabol (P) biết tiêu điểm F(5; 0)
Giải

Gọi phơng trình chính tắc của parabol (P) là: y2= 2px

Do tọa độ tiêu điểm F(5; 0) nên

p

= 5  p = 10
VËy phơng trình của (P) : y2= 20x

Ví dụ 8.Viết phơng trình chính tắc của elip biết elip tiếp xúc với hai
đờng thẳng d1: x+ y - 5 = 0

d

2: x- 4y - 10 = 0

Giải

Phơng trình chính tắc cđa elip cã d¹ng (E): 2 1
2

2
2




b
y
a
x

víi b2= a2 - c2

Do (E) tiếp xúc với hai đờng thẳng d1 và d2 nên theo điều kiện tiếp xúc có

100

16

25

2
2

b

a

b

a

5

20

2
2

b

a

Vậy phơng trình của (E): 1
5
20

2
2


 y

x

Ví dụ 9. Viết phơng trình chính tắc của parabol (P) biết khoảng cách từ ttiêu điểm F
đến đờng thẳng x + y- 12 = 0 l 2 2

Giải

Gọi phơng trình chính tắc cña (P) : y2= 2px

Tọa độ tiêu điểm F(

p

;0)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

d(F; )=

2
12
2 
p

=2 2  p= 16 hc p = 32.

Vậy phơng trình của (P): y2= 32x hoặc y2= 64x

Dạng 3. Lập phơng trình tiếp tuyến của các đờng cơnic

Ví dụ 10.Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1; 4) và tiếp xúc với

hypebol (H) : 1

4
1

2
2


 y

x . Tìm tọa độ tiếp điểm.

Gi¶i

Gọi M(xo;yo) là tiếp điểm của (d). Khi đó đờng thẳng d có phơng trình dạng:

(d): x0.x-
4

.
0 y

y

= 1

Vì (d) đi qua A(1; 4) nên: xo - yo = 1 (1)

Mặt khác M thuộc (H) nên: 1
4
1

2
0
2
0

y

x (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra









0

1

0
0

y

x



















3

8

3

5

0
0

y

x

M ( 1;0) hc M( -

3
5

; -

3
8

)

TiÕp tun cđa (H) lµ: x = 1 x - 1 = 0
hc -

3
5

x +

3
2

y = 1  5x -2y + 3 = 0
Ví dụ 11.Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng elip:

1
4
5

2
2


 y

x

và 1

5
4

2
2

y

x

Giải

Gọi tiếp tun chung cđa hai elip lµ (d): Ax+ By+C = 0 ( víi A2+B20)

Theo ®iỊu kiƯn tiÕp xóc cã :

















2
2
2

5

4

5 C

B

A

C

B

A













2
2

9B

C

B

A

Chän A= 1 















3

1 C

B

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

(d): x  y  3 = 0 ( đây là 4 tiếp tuyến chung)

Dng 4. Lp phng trỡnh các đờng cơnic khơng ở dạng chính tắc 
 Xác định các yếu tố của các đờng cơnic khơng ở dạng chính tắc

Phơng pháp: * Sử dụng phép tịnh tiến trục tọa độ đa về dạng chính tắc

- Trong hệ tọa độ 0xy có I(x0; y0)

- Tịnh tiến hệ tọa độ 0xy theo vectơ OI đợc hệ tọa độ IXY

- Công thức đổi tọa độ là















0
0

y

Y

y

x

X

x

( Thật vậy, nếu lấy điểm M bất kỳ. Giả sử tọa độ M= (x; y) trong hệ
tọa độ 0xy và tọa độ M= (X; Y ) trong hệ tọa độ IXY. Khi đó :OI=

(x0; y0)= x0 i +y0 j

OM = (x; y)= x i +y j

IM = (X; Y)= X i +Y j

Do OM OIIM nªn















y

Y

y

x

X

x

)

* Sử dụng định nghĩa để lập phơng trình các đờng cơnic

Ví dụ 12.Cho đờng cong (H) có phơng trình x2-4y2- 2x- 16y -19= 0. Chứng minh

rằng (H) là một hypebol. Tìm tọa độ các tiêu điểm , các đỉnh , phơng trình hai đờng
tiệm cận của hypebol (H).

Gi¶i

Ta cã (H) : x2-4y2- 2x- 16y -19= 0

 (x-1)2- 4(y+2)2= 4

     1
1

2
4

12 2





 y

x

Tịnh tiến hệ trục 0xy theo vectơ OI với I(1; - 2) thành hệ tọa độ IXY.

Công thức đổi tọa độ :















2

1 Y

y

X

x

Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có phơng trình:
1

1
4

2
2


 Y

X

a2=4, b2=1 nªn c2=a2+b2=5 a= 2, b = 1, c= 5

Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

+ Các đỉnh A1(- 2; 0), A2( 2; 0)

+ Phơng trình hai đờng tiệm cận: Y =

2
1

 X

Chuyển kết qua trên về hệ tọa độ 0xy thì (H) có:

+ Tọa độ tiêu điểm : : F1( 1- 5; - 2), F2(1+ 5;- 2)

+ Các đỉnh A1(- 1; - 2), A2( 3; -2 )

+ Phơng trình hai đờng tiệm cận: y =

2
1

 (x-1)-2

Ví dụ 13. Viết phơng trình của parabol (P) có trục đối xứng là trục 0x, có đờng 
chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(5; 4)

Gi¶i

Theo đầu bài thì phơng trình đờng chuẩn của (P) là:
: x = 0 ( trục 0y)

Vì trục đối xứng 0x đi qua tiêu điểm nên tọa độ tiêu điểm của (P)là F( c; 0)
Do điểm A thuộc (P) nên: AF = d(A;)

 (c-5)2+(-4)2= 52

 c= 8 hoặc c = 2

Với c = 8 thì F(8;0). LÊy bÊt k× M(x; y ) thuéc (P)

 MF= d(M, )

 (8 x)2y2 = x
(8-x)2 + y2 = x2

 y2= 16x – 64

Vậy phơng trình (P): y2= 16x – 64

 Víi c = 2 th× F(2;0). LÊy bÊt k× M(x; y ) thuéc (P)
 MF= d(M, )

 (2 x)2y2 = x
(2-x)2 + y2 = x2

 y2= 4x – 4

Vậy phơng trình (P): y2= 4x 4

Vớ d 14. Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đờng cong (P) có phơng trình 
16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0

Chứng minh rằng (P) là một parabol. Tìm tọa độ tiêu điểm và phơng trình đờng
chuẩn của parabol đó.

Gi¶i

Ta cã M(x; y)(P) 16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0

25( x2+y2-2x+4y+5) = 9x2+16y2-24xy+6x-8y+1

( x-1)2 + (y+2)2 =

5
1
4
3








 x y

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Đặt F(1; -2) và đờng thẳng : 3x- 4y + 1= 0.
Khi đó (*)  MF2= d2(M; )

 MF = d(M; )

Vậy (P) là phơng trình parabol với tiêu điểm F(1; -2) và đờng chuẩn
: 3x- 4y + 1= 0.

Dạng 5. Xác định điểm M nằm trên (E),(H),(P) thỏa mãn điều kiện cho trớc.

VÝ dô 15. Cho elip (E) : 1

9
25

2
2

y

x . Tìm trên (E) một điểm M sao cho MF

1=2MF2

Gi¶i

Ta cã a2= 25  a= 5

b2= 9 b= 3

c2= a2- b2 = 16  c =4

Gi¶ sư M(x0; y0) (E)  1
9
25

2
0
2

0 y

x

(*)

Mặt khác theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có :
MF1= a +

a
c

x0 =5 +
5
4

MF2= a

-a
c

x0 =5
-5
4

§Ĩ MF1= 2MF2 th× : 5 +
5

x0 = 2( 5-
5
4

x0)

 125 x0= 5  x0 = 12
25

Thay vµo (*) ta cã : 1
9
144

25 2
0


 y 

144
119
9

2
0 

y

 y0= 119
12

3


Vậy tọa độ của M= 








 119

12
3
;
12
25

VÝ dô 16. Cho hypebol (H): 1
3
9

2
2


 y

x

a)Tìm trên (H) điểm M có tung độ l 1

b)Tìm trên (H) điểm M sao cho góc F1MF2 bằng 900.

c) Tìm trên (H) điểm M sao cho F1M= 2F2M.

Gi¶i

Ta cã : a2 = 9  a =3

b2= 3  b = 3

c2=a2+ b2= 12c= 12

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1
3
1
9
2



x  2 3

4
9
2



 x
x

Vậy tọa độ của M là



2 3;1



b)Gọi tọa độ M= ( x0; y0)

Do gãc F1MF2 b»ng 900  OM= OF1=OF2

 x02y02 c x02+ y02= 12

Do M thuéc (H) nªn 1

3
9

2
0
2

0  y 

x  3x

02- 9y02= 27

Ta cã hÖ

















27

9

3

12

2
0
2
0
2
0
2
0

y

x

y

x















4

3

5

45

2
0
2
0

y

x





















2

3

2

5

3

0
0

y

x

Vậy tọa độ điểm M là:







2
3
;
2
5
3
; 








2
3
;
2
5
3
; 







2
3
;
2
5
3
; 









2
3
;
2
5
3

c)V× MF1= 2MF2 nên F1M > F2M M thuộc nhánh phải vµ F1M- F2M = 2a = 6

Ta có

6

2

2
1
2
1

MF

6

12

2
1

MF

Theo công thức bán kính qua tiêu điểm:
MF1= ax0 

c

a a+

a
c

x0= 3+

3
3
2 x

0 = 12

 x0=

3
9

Do M thuéc (H) nªn thay x0=

2
3

9 vào (H) ta đợc:

1
3
4
27 02



 y  y02=
4
69

y0=
2
69


</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

VÝ dô 17. Cho parabol (P): y2 = 4x.

a)Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4.

b)Tỡm trờn (P) im M O sao cho khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khong
cỏch t M n 0x.

Giải

a)Từ phơng trình (P): y2 = 4x  p = 2

Ta cã : MF = xM+
2

p

= 4  xM +1 = 4  xM = 3

Thay vµo (P)  yM2= 12  yM =

Vậy tọa độ điểm M là: (3; 2 3).

b)Gọi tọa độ M= (x ;y).

Do M thuéc (P) nªn : y2 = 4x x 0

Từ giả thiết M O và khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến
0x ta có: x 2y 0  x = 2y 0

Ta cã hÖ:













0

2

4 y

x

y













8

16 y

x

Vậy tọa độ M là (16; 8) và ( 16; - 8).

Dạng 6.Chứng minh các tính chất của đờng cơnic

VÝ dơ 18. Cho hypebol (H): 2 1
2
2
2




b
y
a

x víi b2 = c2- a2 cã các tiêu điểm F

1, F2. Lấy

M l im bt kì trên (H). Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M đến hai đờng
tiệm cận có giá trị khơng đổi.

Gi¶i

Phơng trình hai đờng tiệm cận của (H) là:

1: bx+ay = 0

2: bx - ay = 0

Đặt toạ độ M= (x0; y0)

Khi đó : d1= d(M; 1)= 2 2

0
0

b
a

ay
bx




d2= d(M;2) = 2 2

0
0

b
a

ay
bx




 d1.d2 = 2 2

0
0

b
a

ay
bx

. 02 20

b
a

ay
bx

2
2

2
0
2
2
0
2

b
a

y
a
x
b

Vì M thuọc (H) nên :  1

2
2
0
2

b
y
a

x b2x

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

VËy d1.d2 = 2 2
2
2.

b
a

 (§pcm)

VÝ dơ 19. Cho parabol (P): y2 = 4x.Đờng thẳng (d) bất kỳ đi qua tiêu điểm F có hệ

số góc k 0 cắt (P) tại M và N.

a.Chng minh rng : Tích khoảng cách từ M và N đến trục 0x có giá trị khơng đổi.
b.Tìm k sao cho FM = 4.FN.

Giải

Vì (d) đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k 0 nên có phơng trình:

d: y = k( x - 1)

Phơng trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là:
[k(x - 1)]2 = 4x  k2x2 - 2(k2+ 2) x + k2 = 0 (*)

'= (k2+2)2 - k4= 2k2+4 > 0 k

Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Vy ng thng (d) luụn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N
a.Hoành độ hai điểm M và N là hai nghiệm của phơng trình (*)
Theo định lý Viet có: xM + xN = 2

2 2)
(

2
k

k  (1)

xM.xN = 1 (2)

Ta cã : d1 = d(M; 0x) = yM = 4xM

d2 = d(M; 0x) = yN = 4xN

 d1.d2 = 16xMxN = 4 khụng i.

b) Từ phơng trình (P) Tham số tiêu p =p

Theo công thức bán kính qua tiêu ®iÓm:
MF = 1 + xM

NF = 1 + xN

Để MF = 4NF thì 1+ xM = 4( 1 + xN)

 xM - 4xN = 3 ( 3)

Tõ (2) vµ (3)  xM = 4; xN = 1/4

Thay vµo (1)  k =

4
3


Bài tập đề nghị

Bµi 1. Cho hypebol (H) : 4x2 - y2 - 4 = 0

a) Xác định toạ độ tiêu điểm ca (H)

b) Tìm điểm M nằm trên (H) sao cho M nhìn hai tiêu điểm F1; F2 của (H) dới mét

gãc vu«ng

HD: b) - Lập phơng trình đờng trịn (C) đờng kính F1F2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

§S: a) F1( - 5; 0); F2( 5; 0)

b) M 











5
4
;
5
3

Bµi 2.Cho hypebol (H): 1
5
4

2
2


 y

x vµ : x - y + m = 0

a) Chøng minh r»ng : §êng thẳng luôn cắt (H) tại hai điểm M, N thc hai nh¸nh
kh¸c cđa (H) . ( xM < xN)

b)Xác định m để F2N = 2F1N biết F1, F2 là hai tiêu điểm của (H)

HD: a) - Lập phơng trình hoành độ giao điểm của  và (H)

- Chừng minh phơng trình đó ln có hai nghiệm trái dấu
b) - Tìm toạ độ xM , xN

- Dïng c«ng thức bán kính qua tiêu điểm

Bài 3. Viết phơng trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trờng hợp dới đây:
a) (E) có một tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)

b)(E) đi qua điểm M( 1;

15 ) và có tiêu cự 4

c)(E) ®i qua hai ®iÓm M( 3;

5
4

), N (- 4;

5
3

)
d)(E) đi qua M( 1;

3 ) và tâm sai e = 
2

§S: a) 1

147
196

2
2


 y

x

b) 1

4
16

2
2


 y

x

c) 1
25

2
2


y

x

d) 1
4

2
2

y

x

Bài 4.Viết phơng trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi thờng hợp sau:
a)(H) có tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)

b)(H) đi qua điểm A( 4 2; 5) và có đờng tiệm cận y =

4
5x

c)(H) cã tiªu cự bằng 2 5 và có tiệm cận xiên y = 2x
d)(H) đi qua A( 1; 0) và B( 3; 1)

§S: a) 1

2
2


 y

x b) 1

25
16


 y

x c)

1
4

2
2


 y

x d) 1

2
1
1

2
2


 y

x

Bµi 5. Viết phơng trình của parabol (P) trong mỗi trơng hợp dới đây

a)(P) cú ng chun l : x+ y = 0 và tiêu điểm F(2; 2)

b)(P) trục đối xứng là trục 0x; có đờng chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(3; 1)
c)(P) có trục đối xứng là trục 0x và đi qua điểm A(4; 1); B(1; 2)

HD:a) M(x; y)  (P)  d(M; ) = MF  Phơng trình của (P)
b)- Do trục đối xứng là trục 0x nên toạ độ F(a; 0)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

c) -Tiêu điểm F thuộc trục 0x nên toạ độ F(a; 0)
- Đờng chuẩn   0x nên : x = b

- Tõ















BF

B

d

AF

A

d

)

,

(

)

,

(

suy ra a vµ b

- Lập phơng trình (P) nh phần a)
ĐS: a) x2 + y2 -2xy -8x -8y +16 = 0

b) y2 - 2(3 2 2)x + (3 2 2)2 = 0

c) y2= - x + 5

Bài 6. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua (12; -3) và tiếp xúc với elip 1
18
32

2
2



 y

x

ĐS: 3x + 4y - 24 = 0 và 3x - 28y -120 = 0

Bài 7. Viết phơng trình tiếp tuyÕn cña hypebol (H) : 1
4

2
2


 y

x vÏ tõ điểm (1; 4)
ĐS: x - 1 = 0 và 5x - 2y + 3 = 0

Bài 8. Viết phơng trình tiÕp tuyÕn cña parabol (P) : y2 = 4x ®i qua ®iĨm (- 1; 
3
8

)
§S: x - 3y + 9 = 0 vµ 9x + 3y + 1 = 0

Bµi 9. Cho hypebol (H) 2 1
2
2
2




b
y
a
x

a)Tính độ dài phần đờng tiệm cận nằm giữa hai đờng chuẩn
b)Tính khoảng cách từ tiêu điểm tới đờng tiệm cận

c)Chứng minh rằng : Chân đờng vng góc hạ từ một tiêu điểm tới các đờng tiệm
cận nằm trên đờng chuẩn tơng ứng với tiêu điểm đó.

HD:

a) - Lập phơng trình hai đờng chuẩn và hai đờng tiệm cận
- Xác định toạ độ các giao điểm

- Tính độ dài đoạn tiệm cận nằm giữa hai đờng chuẩn (do tình đối xứng nên
hai đoạn là bằng nhau)

b) Do tính đối xứng của (H) nên chỉ cần tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến
một đờng chuẩn bất kỳ

c) - Gọi I là chân đờng vng góc hạ từ F2 đến đờng tiệm cận d: bx + ay = 0

- Do I thuộc d nên toạ độ I( x0; -

a

b

x0)

- Từ IF 2 ud suy ra toạ độ I

- Kiểm tra I thuộc đờng chuẩn ứng với tiêu điểm F2

§S: a) 2a b) b

Bài 10( ĐH-CĐ khối D- 2005) Cho elip (E) : 1
1
4

2
2


 y

x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

(E) biết A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
HD: - Đặt toạ độ A(x0; y0) suy ra toạ độ B(x0; - y0)

- Tõ











AC

AB

E

B

A

,

(

)

suy ra toạ độ a, b.

§S: A(

7
3
4
;
7

2 ) , B(

7
3
4
;
7

2  ) hoặc A(

7
3
4
;
7

2 ), B(

7
3
4
;
7

2 )

Bài 11.(CĐ Cơ khí luyện kim -2007)Viết phơng trình của hypebol (H): 1
4
9

2
2

y

x

bit tiếp tuyến đó đi qua A( 3; 1)

ĐS: x - 3 = 0 và 5x - 6y - 9 = 0

Bài 12. (CĐ S phạm Vĩnh phúc - 2007)Cho elip (E) : 9x2 + 16y2 = 144. Lập phơng

trình tiếp tuyến của (E) đi qua M( 4;

2
3

) .
ĐS: x - 4 = 0 vµ 9x +16 y - 60 = 0

Bµi 13.

a) Viết phơng trình elip (E) biết hai tiêu điểm là F1(- 10; 0) , F2( 10 ; 0) và độ dài

trơc lín lµ 2 18.

b)Đờng thẳng d tiếp xúc với (E) tại M cắt hai trục toạ độ tại A và B . Tìm toạ độ M
sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất

HD: b) - Đặt toạ độ M(x0; y0)

- Lập phơng trình tiếp tuyến tại M
- Xác định toạ độ A, B theo x0, y0.

- TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c OAB theo x0, y0.

- Dùng điều kiện M thuộc (E) để tìm GTNN của SOAB

§S: a) 1

8
18

2
2


 y

x

b)Min S= 12 khi M( 3 ; 2)

Bài 14.(Cao đẳng tài chính kế tốn 2006).Cho elip (E): 1
4
8

2
2


 y

x với các tiêu điểm

F1; F2. Tìm M thuộc (E) sao cho MF1 - MF2 = 2

HD: Sư dơng c«ng thøc tính bán kính qua tiêu điểm

ĐS: M( 2 ; 3)

Bµi 15.

a) Lập phơng trình chính tắc của hypebol (H) với tổng hai bán trục bằng 7 và phơng
trình hai đờng tiệm cận là y =

4
3
 x

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

§S:a) 1
9
16

2
2


 y

x b)5x - 4y

16 = 0

Bài 16. (CĐ Giao thông vận tải 1997)Cho hypebol (H) : x2- y2 = 8. Viết phơng trình

chớnh tc ca elip i qua A( 4; 6) và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm ca hypebol
ó cho .

ĐS: 1

48
64

2
2

y

x

Bài 17.Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64

a) Xác định các tiêu điểm F1, F2 , tâm sai và vẽ elip

b) Gọi M là điểm bất kì trên (E) . Chứng minh rằng tỷ số khoảng cách từ điểm M
tới tiêu điểm phải F2 và tới đờng thẳng x =

3
8

có giá trị khơng đổi.
HD: b)- Lấy bất kì M(x0; y0) thuộc (E)

- Sử dụng công thức bán kính qua tiêu ®iÓm tÝnh MF2

- TÝnh d(M; ) víi : x =

3
8

- LËp tû sè

)
,
(

2

M
d

MF

§S: a) F1( - 12 ; 0), F2( 12 ; 0)

2
3
)
,
(

M
d

MF

Bài 18.Lập phơng trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai e =

5 vµ tiÕp xóc

với đờng trịn tâm I( 0; 4) bỏn kớnh 2

5
21.

HD: - Lập phơng trình tổng quát cña (H) : 2 1
2
2
2




b
y
a
x

- Lập phơng trình đờng trịn (C)

- Lập phơng trình hồnh độ giao điểm của (H) và (C).
-Từ điều kiện e =

5 và phơng trình hồnh độ giao điểm có nghiệm kép suy

ra a , b.

§S: 1

2
2

y

x

Bài 19.(ĐH-CĐ khối A - 2008)Viết phơng trình chính tắc của elip (E) biết tâm sai e

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

HD : Tõ

















20 )

(2

3

5 b

a

e

suy ra a, b.

§S: 1

16
36


 y

x

Bµi 20.Cho elip (E) : 2 1
2

2
2




b
y
a

x (a>b>0)

a) Chøng minh r»ng víi ®iĨm M bÊt kú thuéc (E) th× ta cã bx a

b) Giả sử đờng thẳng (d): y = kx cắt elip (E) tại A. Tính OA theo a, b, k.
c) Gọi A, b thuộc (E) sao cho OA OB. Chứng minh rằng : 12 12

OB

OA có giá trị

khụng đổi.
HD:

a) - Đặt toạ độ M( x0; y0)

- Tõ ®iỊu kiƯn 2 1
2
0
2

0  

b
y
a

x vµ a>b> 0 suy GTLN, GTNN cña OM2 = x
02+y02

b) - Đặt toạ độ A(x0; y0)

- Từ A = (d) (E) suy ra toạ độ A
- Tính OA

c) ¸p dơng phần b)
ĐS: b) OA =

2
2
2

2
1

a
k
b

k
ab

</div>

– tài liệu chuyên đề toán hoi thao khoa hoc cac chuyen de toan bdhg tai khanh hoa cac chuyen de bdhsg ha noi 2012 ky yeu mon toan olp duyen hai bac bo2011 bai tap luyen thi olp 304 lop 10

Lý thuyết





















0

1

<i>C</i>

<i>By</i>

<i>Ax</i>

<i>b</i>

<i>y</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

0

1

<i>C</i>

<i>b</i>

<i>y</i>

<i>Bb</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>Aa</i>

<i>b</i>

<i>y</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

   

   

















0

1

<i>C</i>

<i>Y</i>

<i>Bb</i>

<i>X</i>

<i>Aa</i>

<i>Y</i>

<i>X</i>





















0

1

<i>C</i>

<i>By</i>

<i>Ax</i>

<i>b</i>

<i>y</i>

<i>a</i>

<i>x</i>















