ĐỀ THI HSG TOAN 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI BẮC BỘ

K THI CHN HC SINH GII CC TRNG CHUYấN
VNG DUYấN HI BC B NM 2009
THI CHNH THC
Mụn: TON
Lp 10
Thi gian 180 phỳt
Bi 1: (4 im) (Trn Phỳ-Hi Phũng)
Cho a, b, c l cỏc s thc dng. Gii h phng trỡnh:
( )
( )
( )
2
2
2
ax by x y
by cz y z
cz ax z x

+ =


+ =


+ =


Bi 2: (4 im) (Lờ Hng Phong - Nam nh)

Cho x; y; z l cỏc s thc dng. Chng minh rng:

3 3
( )
2
y
x z
x y z
y z z x x y
+ + + +
+ + +

B i 3: ( 4 điểm) (Chuyên Thái Bình-Thái Bình)
Trờn na ng trũn ng kớnh AB ly im C. Gi D l trung im ca
cung AC. Gi E l hỡnh chiu vuụng gúc ca D trờn BC, F l giao im ca AE
vi na ng trũn.
Chng minh rng BF i qua trung im ca DE.
Bài 4: (4 điểm) (Chuyên Hà Nam-Hà Nam)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dơng (x,y) thoả mãn :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
5 3 2 2 2 2 3 3 1
2 2 2 1 2 2 1 2 0 1
y y
x x x x y y x x x x
+
+ + + + + + + + + =
Bi 5: (4 im) (Nguyn Trói-Hi Dng)
Cú 300 qu tỏo, trng lng ca mt qu bt kỡ khụng ln hn 3 ln trng
lng ca mt qu khỏc. Chng minh rng cỏc qu tỏo ny c chia thnh 75
nhúm, mi nhúm 4 qu sao cho trng lng ca mt nhúm bt kỡ khụng ln hn
3

2
ln trng lng ca nhúm khỏc
---Ht---